数值分析 华中科技版第4版 第二章

例 思 练 7
相应的线性插值多项式可表示为 L1 ( x ) lk ( x ) yk lk 1 ( x ) yk 1 因此,只要确定基函数lk ( x )与lk 1 ( x ), 就可求出 多项式L1 ( x )（线性插值多项式）。 2 抛物线插值 已知三个点及对应点的函数值（三个插值条件）
，确定 n 2，插值节点 3 个（三个插值条件） 一个二次多项式，对应抛物线插值（二次插值） 。
拉格朗日插值就是从这些最基本的插值出发， 然后扩充到已知 n 1个插值条件，求一个 n 次 多项式。
例 思 练 5
二、线性插值与抛物线插值 1 线性插值
假定已知区间 xk , xk 1 的两端点处函数值
例 思 练 3
y
y f (x ) y P (x )
yn
y1
0
x1
xn x
三、插值类型
根据插值函数的类型分为： 1)多项式插值：函数作成多项式。 2)三角插值：函数作成三角函数的多项式。
P ( x ) sin x ,
3)有理函数插值。
cos x
4)分段插值：函数作成分段多项式。 ★
例 思 练
y k f ( xk ), y k 1 f ( xk 1 )。
几何意义： 过 xk , yk , xk 1 , yk 1 这两点作一条直线L1 ( x ) 来近似代替曲线f ( x )， L1 ( x )是插值曲线。
例 思 练
0
y
y L1 ( x )
y f ( x)
二元、三元函数也有类似的插值。
4四 插值余 Nhomakorabea项
§2 拉格朗日插值
三拉格朗日插值多项式
二线性插值与抛物线插值
一插值多项式的存在唯一性
一、插值多项式的存在唯一性
对给定函数 f ( x )，插值多项式 P ( x ) 必存在且唯 一。拉格朗日插值利用插值基函数，牛顿插值利用 均差和差分，得到的最终形式都是一样的。

其中 y0 , y1 ,..., yn 已知， x0 , x1 ,..., xn 已知， 而 a0 , a1 ,...,an 未知，待求。于是欲求的问题就转化 成线性方程组（未知元，方程个数都是 n 1）的 求解问题。 因此，要求多项式 P ( x ) ，只要解这个 n 1阶 线性方程组即可。
例 思 练 11
三、拉格朗日插值多项式
已知n 1个点及对应点的函数值 1个插值条件， (n ) 求一个n次插值多项式 n ( x )。 L
假设Ln ( x )满足插值条件：
x y
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
即Ln ( xi ) yi f ( xi ) ( i 0,1,2,...,n) Ln ( x )的具体作法也是先确定插值基函数（n次）
1 求多项式P ( x )
设一n次多项式 P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an （a0 0）
求P ( x )也就是求a0 , a1 ,...,an , 这就要根据已知的 n 1个插值条件，将每个节 点的值代入
例 思 练 1
n n P ( x0 ) y0 a0 x0 a1 x0 1 an1 x0 an n n P ( x1 ) y1 a0 x1 a1 x1 1 an1 x1 an n n P ( xn ) yn a0 xn a1 xn 1 an1 xn an
n 1个，设它们分别为L0 ( x )，L1 ( x )，，Ln ( x ), ... 再求n次插值多项式的表达式 Ln ( x ) l 0( x ) y0 l 1( x ) y1 l n( x ) yn 我们称其为拉格朗日插值多项式。
例 思 练 12
n次插值基函数具有如下 特点： 1）l0 ( x ), l1 ( x ),...,ln ( x )都是n次多项式。 2）在节点上 1 i 0 l0 ( xi ) 0 i 0 1 i 1 l1 ( xi ) 0 i 1 1 ik l k ( xi ) 0 i k 1 i n l n ( xi ) 0 i n （角标一致时等于 ，否则等于0） 1
例 思 练 8
抛物线插值（二次）插值基函数特点：
1) lk 1 ( x ), lk ( x ), lk 1 ( x )本身都是二次式。
2) 在节点上有
1 i k 1 l k 1 ( x i ) (1) 0 i k 1 1 i k l k ( xi ) ( 2) 0 i k
这说明n 1阶线性方程组的系数行列式不等于零， 从而解存在唯一，插值多项式P ( x )存在唯一。
如果要求的插值函数是次多项式，只要给 n 出n 1个插值条件即可求出多 项式系数 0 , a1 ,..., a n， a 并且这个 次多项式存在唯一。 n
例 思 练 4
介绍两种最简单的插值：
，确定 n 1，插值节点 2 个（两个插值条件） 一个一次多项式，对应线性插值。
例 思 练 2
2 证明插值多项式P ( x )的存在唯一性。
根据代数知识，由克兰姆法则，方程组的解 存在唯一的充要条件是欲求解的线性方程组的系 数行列式不为零。 因此，在这里的系数行列式为
n x0 n x 0 1

x0 x1 xn
1 1 1
3
x
n 1
x
n 1 1

n xn

n x n 1
例 思 练 13
n次插值基函数求法与线性，二次插值基函数是 一样的：
对于l0 ( x ),由于x x1，x x2， x xn时，l0 ( x ) 0, ..., 所以l0 ( x )必定含有因子( x x1)( x x2 )...( x xn )。
( x x1 )( x x2 )( x xn ) 如果x x0时， 1，恰好 ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 xn ) 是l0 ( x0 )的值。
( x xk )( x xk 1 ) 如果x xk 1时， 1，恰好是 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) lk 1 ( xk 1 )的值。
记上式为lk 1 ( x ), 显然lk 1 ( x )满足插值条件（ ）。 1 于是定义
( x xk )( x xk 1 ) l k 1( x ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
xk
xk1
x
6
拉格朗日插值形式： xk 1 x x xk y L1 ( x ) yk yk 1 (两点式) （*） xk 1 xk xk 1 xk 均差形式,牛顿插值： f ( xk 1 ) f ( xk ) y L1 ( x ) f ( xk ) ( x xk ) (点斜式) xk 1 xk 基函数特点： xk 1 x x xk 1） 与 都是一次式，（*）式是 xk 1 xk xk 1 xk
yk 1 f ( xk 1 ), yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 ) 求一个二次多项式 y L2 ( x )。
只要确定基函数就可以求出抛物线插值（二次插 值）多项式的表达式。
不妨设抛物线插值基函数分别为lk 1 ( x ), lk ( x ), lk 1 ( x )
它们的线性组合，分别记它们为lk ( x ), lk 1 ( x )。 1 i k 1 i k 1 2） lk ( xi ) l k 1 ( xi ) 0 i k 0 i k 1 这时我们就称lk ( x )和lk 1 ( x )为线性插值基函数。
第二章 插值法
引言 拉格朗日插值 逐次线性插值 均差与牛顿插值
差分与等距节点插值公式
埃尔米特插值
三 插值类型
§1 引言
二
插值法
一 插值问题
例 思 练
一、插值问题
设给定n 1个点及它的函数值
x y
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
这些点的数据信息，在工程中经常要用到， 一般是根据测量得到的，它们之间存在具体的 函数关系f ( x ), 但是现在是未知的，所以要想办 法构造一个多项式P ( x )来近似代替f ( x )
记上式为l0 ( x ), 显然l0 ( x )满足插值条件。于是定义：
( x x1 )( x x2 )( x xn ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 xn )
为n次插值的一个基函数。
例 思 练 14
同理，可作出另外n个基函数。
( x x0 )( x x2 )( x xn ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 xn ) ( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) ( x x0 )( x x1 )( x xn1 ) ln ( x ) ( xn x0 )( xn x1 )( xn xn1 )
1 i k 1 l k 1 ( xi ) ( 3) 0 i k 1
下面具体作插值基函数：
例 思 练 9
对于lk 1 ( x ),由于x xk 和x xk 1时，lk 1 ( x ) 0,
所以lk 1 ( x )必定含有因子( x x k )( x xk 1 )。
5 R( x ) f ( x ) P ( x ) 插值余项 ）
6 f ( x ) 被插函数 ）