2020版高考数学(理)刷题小卷练： 19 Word版含解析
2019-2020普通高等学校招生全国统一考试数学卷(理)含详解 (7)
高等学校全国统一数学文试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(1)0P x x x =-≥，101Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q 等于（ ）Ａ．∅Ｂ．{}1x x ≥Ｃ．{}1x x >Ｄ．{}1x x x <0或≥2．函数4sin 21y x π⎛⎫=++ ⎪3⎝⎭的最小正周期为（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π3．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ）Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1Ｄ．24．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是（ ） Ａ．:p a b >，22:q a b > Ｂ．:p a b >，:22abq >Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab <Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x-+> 5．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ） Ａ．(0)(2)2(1)f f f +< Ｂ．(0)(2)2(1)f f f +≤ Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +>6．若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0Ｂ．2-Ｃ．52-Ｄ．3-7．在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．128．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）Ａ．12344812161040C C C C CＢ．21344812161040C C C C CＣ．23144812161040C C C C CＤ．13424812161040C C C C C 9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（ ） Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120O B aO A a O C =+，且A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（ ） Ａ．100Ｂ．101Ｃ．200Ｄ．20111．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．912．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图（1）所示，令()C t 表示时间段[0]t ，内的温差（即时间段[0]t ，内最高温度与最低温度的差）．()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（ ）4 4 8 12 24 O ()C t Ａ16 20 t16 44812 1620 24t图（1）()Q t4 48 16 20 O Ｂ24 12 t16()C t416416 ()C t()C t第II 卷二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．已知向量(1sin )a θ=，，(1cos )b θ=，，则a b -的最大值为 ．14．设3()l o g (6)f x x=+的反函数为1()f x -，若11[()6][()6]27f m f n --++=，则()f m n +=．15．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为．16．已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ） Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求a b ，的值及函数()f x 的单调区间；1C1B1AACB（2）若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19．（本小题满分12分） 在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22sin 3A =， （1）求22tansin 22B C A++的值； （2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值．20．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．（1）求O 点到面ABC 的距离；（2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E AB C --的大小． 21．（本小题满分12分）如图，椭圆22221(0)x y Q a b a b +=>>：的右焦点为(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++，2sin 0b θθπ⎛⎫=< ⎪2⎝⎭≤．设轨迹H 的最高点和最低点分别为M 和N ．当θ为何值时，MNF △为一个正三角形？22．（本小题满分14分） 已知各项均为正数的数列{}n a ，满足：13a =，且11122n nn n n n a a a a a a +++-=-，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22212n n S a a a =+++，22212111n nT aa a a =+++，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使n n S T +为整数．ＡＯＥＣＢOP AF BDxyl普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2019-2020普通高等学校招生全国统一考试数学卷(理)含详解 (3)
普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21(1i)+等于（ ）A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-解析：2)1(1i +=i i 2121-=，选D. 2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．130解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以512345S a a a a a =++++111111111512233445566=-+-+-+-+-=，选B.3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥D ．2a >解析：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为=R ，所以a 2，选C.4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若=0a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B. 5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 解析：由函数f(x)＝sin()()的最小正周期为得2=ω，由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），选A.6．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为x y 34=，即034=-y x ，45|020|=-=r ，圆方程为16)5(22=+-y x ，即A ，选A.7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)-，， D ．(1)(1)-∞-+∞，，解析：由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C. 8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥ C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥ D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D. 9．把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2解析：令x=1得a n =1+2+22+ (2)=12212111-=--++n n ， 222322lim 112lim 11=--⋅=--++∞→∞→n n n nn n a a ，选D. 10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，，则A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π4B ．π2C ．24π D ．22π 解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R 2=1+1+2=4得R=1，AC=222R R +=，所以∠AOC=2π（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为2π，选B. 11．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增, 当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B.12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数， 则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．37 B ．47C ．114D ．1314解析：从中任取三个数共有8439=C 种取法，没有同行、同列的取法有6111213=C C C ，至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-，选D.111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭yxD(2,0)A(5,3)E(0,3)C(0,2)B(-1,3)O第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．解析：画出可行域知z =2x -y 在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得 最大值7，范围是[-5，7].14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．解析：设c=1，则121212122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=a c e a a c a a b . 15．两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．解析：ξ的取值有0，1，2，11222244(0),(1),9999C C p p ξξ⨯====== 1(2).9p ξ== 所以E ξ=4412012.9993⨯+⨯+⨯=16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a ；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b ，则有b a ；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b ，b c ，则有a c ． 则称“~”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______． 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等 解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即17AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得17sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==． 所以，最小边2BC =．18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长 都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，ABCD1A1C1BAO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得455AF =， 又1122AG AB ==， 210sin 4455AG AFG AF ∴===∠． 所以二面角1A A D B --的大小为10arcsin4． （Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，，1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得111333BCD A BD S S d =△△，1322BCD A BD S d S ∴==△△． ABC D1A1C1BOF∴点C 到平面1A BD 的距离为22． 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(123)BA =-，，．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(113)AD =--，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，．令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n ，1113364222AB AB AB -->===-n n ．∴二面角1A A D B --的大小为6arccos4． （Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，xzAB CD1A 1C1BO Fy1(200)(123)BC AB =-=-，，，，，．∴点C 到平面1A BD 的距离1122222BC AB d AB -===．19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司 交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ． 本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用 数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，． （Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大， 最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F ，， 直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--， Oyx1 1- l FP B QMFO A xy12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：12MA AF MBBFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AF MBBB BF ==．…………②由①②得：12AF AF BFBFλλ-=，即120λλ+=．21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为1312932n S a S =+=+，，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分.解：（Ⅰ）由已知得112133932a a d ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩，，2d ∴=，故212(2)n n a n S n n =-+=+，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2n n S b n n==+． 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2(2)(2)(2)q p r +=++．2()(2)20q pr q p r ∴-+--= p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，．与p r ≠矛盾． 所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N ． 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数 研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查 分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e xf x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： x (0ln )k ， ln k (ln )k +∞，()f x ' - 0 +()f x 单调递减 极小值单调递增 由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，．。
2019-2020普通高等学校招生全国统一考试数学卷(理)含详解 (5)
普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数：=i-11的共轭复数是 A. 21+21i B. 21-21i C.1-i D.1+i（2）已知等差数列{a n }中，a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是 A.15 B.30 C.31 D.64（3）在△ABC 中，∠C =90°，AB =（k ,1）, AC =(2,3),则k 的值是A.5B.-5C.23 D.- 23 （4）已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ； ②若m ∥α,n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α,m ∥β，则α⊥β. 其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3（5）函数f(x)=a a+b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 A.a ＞b ,b ＜0 B.a ＞1,b ＞0 C.0＜a ＜1,b ＞0 D.0＜a ＜1,b ＜0（6）函数y =sin(ωx+φ)（x ∈R ，ω＞0，0≤φ＜2π ）的部分图象如图，则A. ω=2π,φ=4π B. ω=3π,φ=6π C. ω=4π,φ=4π D. ω=4π,φ=45π（7）已知p ：|2x -3|＜1,q ：x (x -3) ＜0，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 （8）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A.arccos515 B. 4πCDEGA 1B 1C 1D1C.arccos510 D. 2π （9）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种（10）已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x （a ＞0,b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 A.4+23 B. 3-1 C.213+ D. 3+1（11）设a ，b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a +b 的最小值是A.-22B.-335 C.-3 D.-27（12）f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f (2)=0，则方程f (x )=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4 D5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
【精编版】2020年高考数学(理)必刷试卷3(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足2223()4S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵S=()22234a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到312cos *sin 42ac B ac B =，tanB=3，∵B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得22AC =，又4PA =，则81626PC =+=，6OP =，所以球表面积为224()4(6)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (72)
2020高考数学模拟试题（理科）第I 卷(选择题部分，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l.己知集合A ＝{x|lnx>0}，集合B ＝{x ∈N|(x －1)(x －5)≤0}，则A ∩B ＝ A.{0，l ，2，3，4，5} B.{l ，2，3，4，5} C.{l ，2，3，4} D.{2，3，4，5}2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是A.y ＝xln|x|B.y ＝xcosxC.y ＝2x －2－x D.y ＝e x ＋e －x 3.设a ∈R ，则“y ＝sinax 周期为2π”是“a ＝1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，3,6c A π==，则B ＝A.6π B.3π C.6π或2π D.3π或23π5.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f'(x)，且函数y ＝(x －l)f'(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)6.已知函数g(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，a ＝g(log 20.2)，b ＝g(20.2)，c ＝g(0.20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 7.若实数a 满足2log 13a<，则a 的取值范围是A.(23，1) B.(0，23)∪(1，＋∞) C.(1，＋∞) D.(23，1)∪(1，＋∞) 8.函数y ＝3|x|sin2x 的图像可能是9.若130,0,cos(),sin()2243422ππππβαβα<<-<<+=-=，则sin()2βα+= A.539-B.33C.539D.33- 10.设x ∈R ，函数f(x)单调递增，且对任意实数x ，有f[f(x)－e 2x ]＝e 2＋1(其中e 为自然对数的底数)，则f(ln2)＝A.e 2＋1B.3C.e 4＋1D.5 11.将函数y ＝cos2x 的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到y ＝f(x)的图象。
2020版高考数学(理)刷题小卷练： 9 Word版含解析
答案： 和(2，＋∞)
解析：函数求导可得f′(x)＝2x－5＋ ＝ (x>0)，令f′(x)＝ >0，即(2x－1)(x－2)>0，解得x>2或0<x< ，故函数f(x)的单调递增区间是 和(2，＋∞)．
7．[2019·吉林模拟]函数y＝ 在[0,2]上的最大值是()
A. B.
C．0D.
答案：A
解析：易知y′＝ ，x∈[0,2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1<x≤2，所以函数y＝ 在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝ 在[0,2]上的最大值是y|x＝1＝ ，故选A.
∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
∴g(x)max＝g(1)＝1，∴0<2a<1，∴0<a< .故选A.
7．[2019·河南鹤壁高级中学基础训练]若函数f(x)＝ x3－ x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()
A．2b－ B. b－
C．0D．b2－ b3
当a>0时，f(x)在(－∞，－a－1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(－a－1，a－1)上单调递减，根据题意此时0<a－1<1，得到1<a<2；
当a<0时，f(x)在(－a－1，＋∞)和(－∞，a－1)上单调递增，在(a－1，－a－1)上单调递减，根据题意此时0<－a－1<1，得到－2<a<－1.
2．[2019·沈阳监测]设函数f(x)＝xex＋1，则()
2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）基础阶段测试（四）
2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）基础阶段测试（四）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·河北武邑中学二次调研)设i是虚数单位，若复数z＝i1＋i，则z－＝()A.12－12i B．1＋12iC．1－12i D.12＋12i答案 A解析由z＝i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i2＝12＋12i，得z－＝12－12i.故选A.2．(2019·浙江百校联考)已知集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|y＝ln (1－x)}，则A∩B等于() A．{x|x≥0} B．{x|x＜1}C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}答案 C解析集合A＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}，B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|0≤x＜1}，故选C.3．(2019·石家庄二模)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是()A ．支出最高值与支出最低值的比是8∶1B ．4至6月份的平均收入为50万元C ．利润最高的月份是2月份D ．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 答案 D解析 由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6∶1，故A 错误；由题图可知，4至6月份的平均收入为13×(50＋30＋40)＝40万元，故B 错误；由题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C 错误；由题图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D 正确．故选D.4．(2019·赤峰市高三二模)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 8＝17S 4，则a 5＝( )A ．8B ．－8C ．±16D ．16 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，S 8＝8a 1,17S 4＝17×4a 1＝68a 1， 因为a 1≠0，所以S 8＝8a 1，S 8≠17S 4；当q ≠1时，S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1－q 81－q，17S 4＝17a 1(1－q 4)1－q ＝17(1－q 4)1－q，故1－q 81－q ＝17(1－q 4)1－q ，解得q ＝－1或q ＝－2或q ＝2，因为等比数列{a n }为正项等比数列，故q ＝2，所以a 5＝a 1·24＝16，故选D.5．(2019·佛山二模)已知(1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n (n ∈N *，n <10)的展开式中没有常数项，则n 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 B解析 ∵已知(1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n (n ∈N *，n <10)的展开式中没有常数项，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n 的展开式中没有负一次项和常数项． ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －3r， 故n －3r ≠0，且n －3r ≠－1， 即n ≠3r ，且n ≠3r －1，∴n ≠3,6,9，且n ≠2,5,8，故n 的最大值为7，故选B.6．(2019·咸阳二模)已知G 是△ABC 的重心，若GC →＝xAB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.13 D ．－13 答案 C解析 由题意，画图，如图所示．由重心的定义，可知AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)． ∴GC →＝AC →－AG →＝AC →－ 13(AB →＋AC →)＝－13AB →＋23AC →.∴x ＋y ＝－13＋23＝13.故选C.7．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324 答案 B 解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.8．(2019·佛山一中二模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，x 2－ax ，x <0(a ∈R )为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (a )>f (2a )>f (0)B ．f (a )>f (0)>f (2a )C ．f (2a )>f (a )>f (0)D ．f (2a )>f (0)>f (a ) 答案 C解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1＋a ＝2，所以a ＝1，易知当x ≥0时，f (x )是增函数，又知2a >a >0，所以f (2a )>f (a )>f (0)，故选C.9．(2019·大庆三模)第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tan θ＝2，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为( )A.14B.15C.25D.35 答案 B解析 设大正方形为ABCD ，小正方形为EFGH ，如图，则tan θ＝AFBF ＝2，设小正方形的边长为a ，则AFAF －a＝2，即AF ＝2a ， ∴大正方形的边长为5a ，则小正方形与大正方形的面积比为a 25a 2＝15.故选B.10．(2019·广州二模)若曲线y ＝x 3－2x 2＋2在点A 处的切线方程为y ＝4x －6，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m ＞0，n ＞0)上，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．6＋4 2D ．8 2 答案 C解析 设A (s ，t )，y ＝x 3－2x 2＋2的导数为y ′＝3x 2－4x ，可得切线的斜率为3s 2－4s ，由切线方程为y ＝4x －6，可得3s 2－4s ＝4，t ＝4s －6， 解得s ＝2，t ＝2或s ＝－23，t ＝－263，由点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m ＞0，n ＞0)上， 可得2m ＋2n ＝1成立⎝ ⎛⎭⎪⎫s ＝－23，t ＝－263，舍去，则1m ＋2n ＝(2m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥2⎝⎛⎭⎪⎫3＋2n m ·2m n ＝6＋42， 当且仅当n ＝2m 时，取得最小值6＋42，故选C.11．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca ＝2，即e ＝ 2.故选A.12．(2019·深圳二模)如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝5，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( )A. 6B.62C.52D.54 答案 B解析 将四面体ABCD 补成长、宽、高分别为3，2，1的长方体(如图)． 由于EF ⊥α，故截面为平行四边形MNKL ，可得KL ＋KN ＝5，设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin θ＝sin ∠HFB ＝sin ∠LKN ， 解得sin θ＝265，∴S 四边形MNKL ＝NK ·KL ·sin ∠NKL ≤265⎝⎛⎭⎪⎫NK ＋KL 22＝62， 当且仅当NK ＝KL 时取等号．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·合肥一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x >0，y >0，x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，则z ＝2x －y 的取值范围为________． 答案 (－1,6) 解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为－1； 当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为6. 所以z ＝2x －y 的取值范围为(－1,6)．14．(2019·肇庆二模)已知数列{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝4，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 28＝________.答案 1020解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝4， ∴q 2＝a 3a 1＝2，∴a 2n ＝(a 1q n －1)2＝4×(q 2)n －1＝4×2n －1＝2n ＋1，∴a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 28＝4(1－28)1－2＝1020. 15．(2019·长春质检)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案3解析 因为在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，根据余弦定理，可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 所以A ＝π3，sin A ＝32.又bc ＝4，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.16．(2019·宣城二模)关于x 的方程kx －ln x x ＝2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个实根，则实数k 的最小值是________．答案 2e ＋1e 2解析 由kx －ln x x ＝2得kx －2＝ln xx ， 设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，g ′(x )≥0，即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上为增函数，且g (e)＝ln e e ＝1e ，直线y ＝kx －2过定点(0，－2)， 设过点(0，－2)与g (x )相切的切线为l ，若方程kx －ln x x ＝2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个实根，则直线y ＝kx －2在切线l 与过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，1e 的直线之间，由图象知当直线过点A 时直线的斜率最小， 此时k 的最小值为k ＝1e －(－2)e －0＝1e ＋2e ＝2e ＋1e 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·郑州第二次质量预测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n >0，前n 项和为S n ，若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)在数列{a n }中，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ① ∵a n ＝S n ＋S n －1， ②且a n >0， ∴①÷②得S n －S n －1＝1(n ≥2)， ∴数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公差为1的等差数列， ∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)，知a n ＝2n －1，∴c n ＝(2n －1)×22n －1， 则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，4T n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1， 两式相减，得－3T n ＝2＋2(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)22n ＋1 ＝2＋2×8(1－22n －2)1－4－(2n －1)22n ＋1＝－103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53－2n 22n ＋1，∴T n ＝(6n －5)22n ＋1＋109.18．(本小题满分12分)(2019·山东德州一模)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，E ，F 为AB 的三等分点，且EF ＝CD ，将△AED 和△BFC 分别沿DE ，CF 折起到A ，B 两点重合，记为点P.(1)证明：平面PCF⊥平面PEF；(2)若PF＝FC，求PD与平面PFC所成角的正弦值．解(1)证明：因为AB∥CD，EF＝CD，所以四边形CDEF为平行四边形，所以∠AED＝∠AFC；又因为△AED≌△BFC，所以∠AED＝∠BFC，从而∠AFC＝∠BFC＝90°，所以PE⊥ED，PF⊥FC.因为CF∥DE，所以PE⊥FC，又因为PE∩PF＝P，PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，所以FC⊥平面PEF.又因为FC⊂平面PFC，所以平面PEF⊥平面PFC.(2)在平面PEF内作PO⊥EF，垂足为O，取CD的中点为M.由(1)可知，FC⊥平面PEF，故FC⊥PO，可得PO⊥平面CDEF，所以PO⊥OM，PO⊥OF，又因为PF＝PE，所以OE＝OF，所以OM∥FC，所以OF⊥OM，所以OP，OF，OM两两垂直；以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PF ＝FC ＝2，而△PEF 为等边三角形，所以P (0,0，3)，F (1,0,0)，C (1,2,0)，D (－1,2,0)，所以PF →＝(1,0，－3)，PC →＝(1,2，－3)，PD →＝(－1,2，－3)； 设n ＝(x ，y ，z )为平面PFC 的法向量， 由⎩⎨⎧n ·PF →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3z ＝0，x ＋2y －3z ＝0，可取n ＝(3，0,1)．设PD 与平面PFC 所成的角为θ， 则sin θ＝|n ·PD →||n ||PD →|＝64，所以PD 与平面PFC 所成角的正弦值为64.19．(本小题满分12分)(2019·南昌一模)市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年，新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业，经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装，已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．(用频率估计概率)(1)若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，求一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率；(2)若该商家全部使用A 型节能灯或B 型节能灯，则为保证正常营业，应购买哪一种节能灯更合算？解 (1)由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.0010×200＝0.2， 用频率估计概率，得B 型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为15. 所以一年内一支B 型节能灯在使用期间需更换的概率为45.所以一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫153＝32625. (2)共需要安装5支节能灯，若选择A 型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元； 若选择B 型节能灯，由于B 型节能灯一年内需更换的支数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，45，故一年内需更换灯的支数的期望为5×45＝4支．故一年共需花费⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋45×5×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元．因为967.5>870，所以该商家应选择A 型节能灯．20．(本小题满分12分)(2019·重庆六区一模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，其左、右焦点为F 1(－2，0)及F 2(2,0)，过点F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列．(1)求椭圆C 的方程；(2)记△GF 1D 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2，试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？请说明理由．解 (1)∵|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4. 又∵c ＝2，∴b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，将其代入x 216＋y 212＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2.∴点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－8k 23＋4k 2， ∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 23＋4k 2，6k 3＋4k 2. ∵DG ⊥AB ，∴6k 3＋4k 2－8k23＋4k2－x D×k ＝－1，解得x D ＝－2k 23＋4k2，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 23＋4k 2，0， ∵Rt △GDF 1和Rt △ODE 相似，∴若S 1＝S 2， 则|GD |＝|OD |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 23＋4k 2－－2k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3＋4k 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k 23＋4k 2，整理得8k 2＋9＝0，∵方程8k 2＋9＝0无解， ∴不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.21．(本小题满分12分)(2019·新乡模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2a ln x ，若函数f (x )在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求实数a 的取值范围； (2)证明：f (x 1)＋f (x 2)＋ln 2＋32>0.解 (1)因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)上有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2， 所以f ′(x )＝2x －2＋2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个根x 1，x 2，且x 1<x 2， 即x 2－x ＋a ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的根x 1，x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a >0，a >0，解得0<a <14.(2)证明：由题意可知x 1，x 2(0<x 1<x 2)是方程x 2－x ＋a ＝0的两个不等的实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a ，其中0<a <14.故f (x 1)＋f (x 2)＝x 21－2x 1＋2a ln x 1＋x 22－2x 2＋2a ln x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2a ln (x 1x 2) ＝2a ln a －2a －1，令g (a )＝2a ln a －2a －1，其中0<a <14， 故g ′(a )＝2ln a <0，所以g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，则g (a )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－ln 2－32，即f (x 1)＋f (x 2)＋ln 2＋32>0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·辽宁抚顺一模)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋2(t为参数)．(1)求曲线C 1的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设D 为曲线C 1上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标．解 (1)由已知，得ρ2＝2ρsin θ，得x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，所以C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0.(2)由(1)知曲线C 1是以C (0,1)为圆心、半径为1的圆， 设点D (cos α，1＋sin α)，因为点D 在第二象限， 所以直线CD 的斜率k CD ＝tan α＝－33，得 α＝5π6，得点D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·辽宁抚顺一模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若∀x ∈R ，f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|， 当x ≤－1时，f (x )＝－x －1－x ＋1＝－2x ≥5，解得x ≤－52；当－1<x <1时，f (x )＝x ＋1－x ＋1＝2≥5， 解集为∅；当x ≥1时，f (x )＝x ＋1＋x －1＝2x ≥5，解得x ≥52；综上，当a ＝1时，不等式f (x )≥5的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.(2)显然有a ≠0，由绝对值的三角不等式，得f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a －x ＋1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≥2， 所以|m －1|≤2，解得－1≤m ≤3， 即m ∈[－1,3]．。
2020届理科高考数学专题练习含解析(对数与对数函数)
2020届理科高考数学专题练习含解析（指数与指数函数）1、下列运算中正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．2332()()a a -=-C ．01)1=D ． 2510()a a -=-2、函数()21,x f x =-使()0f x ≤成立的 x 的集合是( )A. {|0}x x <B. {}=0x xC. {|1}x x <D. {}|1x x =3、如果指数函数()y f x =的图象经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,那么()()42f f ⋅等于( )A.8B.16C.32D.644、若函数1()2x f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象经过一、二、四象限,则()f a 的取值范围为( ) A. ()0,1 B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ()1,1- D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5、已知函数1()2x f x a +=-（0a >且1a ≠），且函数()y f x =-的图像经过定点()1,2-，则实数a 的值是（ ）A.1B.2C.3D.46、下列函数中,与函数22x x y -=-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( )A.sin y x =B.3y x =C.1()2x y = D.2log y x =7、函数2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. (]0,28、已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ( ) A.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数9、函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A.12B. 14C. 2D. 410、已知函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠,且(1)0f >,则关于 x 的不等式的解集为( )A.()2,1- B.()(),21,-∞-⋃+∞ C.()1,2- D. ()(),12,-∞-⋃+∞11、已知5.0log 2=a ，6.03=b ，36.0=c ，c b a ,,大小关系为_______.12、若集合{}31log ,1,,1,2||x A y y x x B y y x ⎛⎫==>==> ⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎭⎪⎪⎩⎭⎝则A B ⋂=__________ 13、若2510a b ==,则11a b +=__________ 14、已知函数()()0,1x f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数,则函数()()log 1a g x x =+的图像大致是__________.15、已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<< 1.求函数()f x 的定义域 2.若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：解析：3答案及解析：答案：D解析：设()(0x f x a a =>且1)a ≠ 由已知得221,44a a -== ∴2a =于是()2x f x =所以()()4264222264f f ⋅=⋅==.4答案及解析：答案：B解析：依题意可得(0)1,0,f a a =-⎧⎨-<⎩解得01a <<,1()2a f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数1()2xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()g x 在()0,1上为减函数,故1(),12f a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：D8答案及解析：答案：B解析：()f x 的定义域是R ,关于原点对称,由11()33()33x xx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 为奇函数.单调性:函数 3?x y =是R 上的增函数,函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数,根据单调性的运算,增函数减去减函数所得新函数是增函数,即1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的增函数.综上选B9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：a c b <<解析：12答案及解析： 答案：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：13答案及解析：解析：14答案及解析：答案：④解析：根据指数函数的单调性先确定a 的范围,然后得出对数函数log a yx =的图像,最后利用平移变换得到()()log 1a gx x =+的图像. 由函数()()0,1x f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数,得01a <<,将log a y x =的图像向左平移1个单位长度得到()()log 1a gx x =+的图像.故填④.15答案及解析： 答案：1.要使函数有意义,则有10{30x x ->+>解之得31x -<<,所以函数的定义域为()3,1-2.()()()()()22log 13log 23log 14a a a f x x x x x x =-+⎡⎤=--+=-++⎣⎦∵31x -<<∴()20144x <-++≤∵01a <<∴()2log 14log 4aa x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴()min log 4a f x =由log 44a =-得44a -=∴144a -==解析：。
2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(四) 含解析
素养提升练(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·福州一中二模)已知i 为虚数单位，则i1＋i的实部与虚部之积等于( ) A ．－14 B.14 C.14i D ．－14i 答案 B 解析 因为i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，所以i 1＋i的实部与虚部之积为12×12＝14.故选B. 2．(2019·汉中二模)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0，x ∈Z }，B ＝{m,2}，若A ⊆B ，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 A ＝{x |1<x <4，x ∈Z }＝{2,3}，又A ⊆B ， ∴m ＝3.故选C.3．(2019·皖江名校联考)2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%，该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少； ③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 2017年的快递业务总数为242.4＋948＋9.6＝1200万件，故2018年的快递业务总数为1200×1.25＝1500万件，故①正确．由此2018年9～12月同城业务量完成件数为1500×20%＝300万件＞242.4万件，所以比2017年有所提升，故②错误.2018年9～12月国际及港澳台业务量为1500×1.4%＝21万件，21÷9.6＝2.1875，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，故③正确．综上所述，正确的结论有2个，故选B.4．(2019·株洲一模)在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为( ) A.16 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 由x 2－x <0，得0<x <1.∴在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为1－02－(－2)＝14.故选D.5．(2019·安阳一模)设F 1，F 2分别为离心率e ＝5的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1，F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ，N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b ＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 A解析 由题意知e ＝5＝c a ，∴ba ＝2，故渐近线方程为y ＝2x ，以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝2x ，得y ＝±2c 5，由双曲线与圆的对称性知四边形MA 2NA 1为平行四边形，不妨设y M ＝2c 5，则四边形MA 2NA 1的面积S ＝2a ×2c 5＝4，得ac ＝5，又5＝ca ，得a ＝1，c ＝5，b ＝2，故选A.6．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A. 7．(2019·马鞍山一模)函数f (x )＝sin xx ＋x 2－2|x |的大致图象为( )答案 D解析 f (1)＝sin1＋1－2＝sin1－1<0，排除B ，C ，当x ＝0时，sin x ＝x ＝0，则x →0时，sin x x →1，f (x )→1＋0＝1，排除A ，故选D.8．(2019·南宁二模)已知△ABC 的一内角A ＝π3，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设AO →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 由题意可知，O 为△ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆O 中，∠CAB 所对应的圆心角为2π3，点B ，C 为定点，点A 为优弧上的动点，则点A ，B ，C ，O 满足题中的已知条件，延长AO 交BC 于点D ，设AO →＝λAD →，由题意可知，AD →＝1λAO →＝m λAB →＋n λAC →，由于B ，C ，D 三点共线，据此可得，m λ＋n λ＝1，则m ＋n ＝λ，则m ＋n 的最大值即λ＝|AO →||AD →|的最大值，由于|AO →|为定值，故|AD →|最小时，m ＋n 取得最大值，由几何关系易知当AB ＝AC 时，|AD →|取得最小值，此时λ＝|AO →||AD →|＝23.故选A.9．(2019·合肥二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.32 D.22答案 D解析 解法一：如图所示，以线段F 1A 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －c 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，化为x 2－(a －c )x ＋y 2－ac ＝0.直线F 1B 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，联立⎩⎨⎧bx －cy ＋bc ＝0，x 2－(a －c )x ＋y 2－ac ＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac 2－b 2c a 2，abc －b 3＋a 2b a 2， k AP ＝abc ＋bc 2ac 2－b 2c －a 3，kF 2B ＝－bc . ∵F 2B ∥AP ，∴ac ＋c 2ac 2－b 2c －a 3＝－1c ， 化为e 2＝12，e ∈(0,1)，解得e ＝22.故选D. 解法二：F 1A 为圆的直径，∴∠F 1P A ＝90°. ∵F 2B ∥AP ，∴∠F 1BF 2＝90°，∴2a 2＝(2c )2，解得e ＝22.故选D.10．(2019·郑州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin (x ＋a )，x ≤0，cos (x ＋b )，x >0的图象关于y 轴对称，则y ＝sin x 的图象向左平移________个单位，可以得到y ＝cos(x ＋a ＋b )的图象．( )A.π4B.π3C.π2 D ．π 答案 D解析 函数f (x )＝⎩⎨⎧sin (x ＋a )，x ≤0，cos (x ＋b )，x >0的图象关于y 轴对称，故f (x )＝f (－x )，所以sin(x ＋a )＝cos(－x ＋b )＝cos(x －b )，整理得2k π＋a ＝π2－b (k ∈Z )，所以a ＋b ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则y ＝cos(x ＋a ＋b )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋π2＝－sin x ，即y ＝sin x 的图象向左平移π个单位， 得到y ＝sin(x ＋π)＝－sin x .故选D.11．(2019·大同一模)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，AB ⊥AC ，则该三棱锥体积的最大值是( )A.323B.163C.643 D ．64 答案 A解析 设AB ＝m ，AC ＝n ，则S △ABC ＝12mn ，△ABC 外接圆的直径为m 2＋n 2，如图，三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×12mn ×PO 1＝13×12mn ×⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2＋n 24＋3≤13×m 2＋n 24⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2＋n 24＋3，设t ＝m 2＋n 24，则f (t )＝13t (9－t ＋3)，f ′(t )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫9－t －t 29－t ＋3，令f ′(t )＝0，得t ＝8，f (t )在(0,8)上递增，在[8,9]上递减，∴f (t )max ＝f (8)＝323，即该三棱锥体积的最大值是323.故选A.12．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1} D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1} 答案 D解析 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象．(1)先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况． 当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.(2)再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.②相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点．过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·宝鸡二模)已知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α的值为________．答案3 5解析因为曲线f(x)＝23x3，所以函数f(x)的导函数f′(x)＝2x2，可得f′(1)＝2，因为曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，所以tanα＝f′(1)＝2，所以sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝tan2α－12tanα＋1＝4－14＋1＝35.14．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．答案 5解析第一次循环，S＝12，x＝2；第二次循环，S＝12＋22＝32，x＝3；第三次循环，S＝32＋32＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋42＝5，满足x≥4，结束循环．故输出的S的值是5.15．(2019·郴州二模)某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种．答案156解析安排6名老师到4个班，其中按1,1,2,2分法，共有C16C15C24C22＝180种，刘老师和王老师分配到一个班，共有C14C13A22＝24种，所以刘老师和王老师不在一起的安排方案有180－24＝156种．16．(2019·海南二模)已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且BE ＝3，则菱形ABCD 面积的最大值为________．答案 12解析 设AE ＝x ，则AB ＝AD ＝2x ，∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴⎩⎨⎧ AB ＋AE >BE ，AB －AE <BE ，即⎩⎨⎧ 2x ＋x >3，2x －x <3⇒⎩⎨⎧x >1，x <3，∴x ∈(1,3)，设∠BAE ＝θ，在△ABE 中，由余弦定理可知9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos θ，即cos θ＝5x 2－94x 2，S菱形ABCD ＝2x ·2x ·sin θ＝4x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－94x 22＝－9(x 4－10x 2＋9)，令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，则S 菱形ABCD ＝－9[(t －5)2－16]， 当t ＝5时，即x ＝5时，S 菱形ABCD 有最大值12.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·潍坊市三模)设数列{a n }满足a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2＋2n ＋1a n 的前n 项和S n .解 (1)由n ＝1得a 1＝2， 因为a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n ，当n ≥2时，a 1·2a 2·3a 3·…·(n －1)a n －1＝2n －1， 由两式作商得，a n ＝2n (n >1且n ∈N *)， 又因为a 1＝2符合上式， 所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)设b n ＝2＋2n ＋1a n ，则b n ＝n ＋n ·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋2＋…＋n )＋(2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n )， 设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， ①所以2T n ＝22＋2·23＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， ② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以S n ＝T n ＋n (n ＋1)2， 即S n ＝(n －1)·2n ＋1＋n (n ＋1)2＋2.18．(本小题满分12分)(2019·湖南、湖北八市十二校联合调研)近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：(1)根据散点图判断，在推广期内y ＝a ＋bx 与y ＝c ·d x (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2：表2：8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．参考数据：⎝ ⎛⎭⎪其中v i ＝lg y i ，v －＝17∑i ＝1v i 参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝a ^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝∑ni ＝1u i v i －n u －v－∑n i ＝1u 2i －n u－2，a ^＝v －－β^u －.解 (1)根据散点图判断，y ＝c ·d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型．(2)∵y ＝c ·d x ，两边同时取常用对数得，lg y ＝lg (c ·d x )＝lg c ＋x lg d ； 设lg y ＝v ，∴v ＝lg c ＋x lg d ，∵x －＝4，v －＝1.54，∑7i ＝1x 2i ＝140，∴lg d ^＝∑7i ＝1x i v i －7x v∑7i ＝1x 2i －7x －2＝50.12－7×4×1.54140－7×42＝728＝0.25.把样本中心点(4,1.54)代入v ＝lg c ＋x lg d ，得 lg c^＝0.54 ， ∴v^＝0.54＋0.25x ，∴lg y ^＝0.54＋0.25x ， ∴y 关于x 的回归方程式为y ^＝100.54＋0.25x ＝100.54×(100.25)x ＝3.47×100.25x ， 把x ＝8代入上式，y ^＝3.47×102＝347. 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ， 则Z 的取值可能为2,1.8,1.6,1.4， P (Z ＝2)＝0.1；P (Z ＝1.8)＝0.3×12＝0.15；P (Z ＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7；P (Z ＝1.4)＝0.3×16＝0.05， 分布列为：2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)．19．(本小题满分12分)(2019·广州市二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且AD＝PB.(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；(2)若AD⊥PB，求二面角D－PB－C的余弦值．解(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以AD＝AB＝BD.因为O为AD的中点，所以OB⊥AD.在△APD中，∠APD＝90°，O为AD的中点，所以PO＝12AD＝AO.设AD＝PB＝2a，则OB＝3a，PO＝OA＝a，因为PO2＋OB2＝a2＋3a2＝4a2＝PB2，所以OP⊥OB.因为OP∩AD＝O，OP⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，所以OB⊥平面P AD.因为OB⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD.(2)解法一：因为AD⊥PB，AD ⊥OB ，OB ∩PB ＝B ， PB ⊂平面POB ， OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB . 所以PO ⊥AD .由(1)得PO ⊥OB ，AD ⊥OB ，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0,1)， 所以PD →＝(－1,0，－1)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝AD →＝(－2,0,0)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝－x 1－z 1＝0，n ·PB →＝3y 1－z 1＝0，令y 1＝1，则x 1＝－3，z 1＝3， 所以n ＝(－3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝－2x 2＝0，m ·PB →＝3y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝0，z 2＝3， 所以m ＝(0,1，3)．设二面角D －PB －C 为θ，由于θ为锐角， 所以|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝42×7＝277.所以二面角D －PB －C 的余弦值为277. 解法二：因为AD ⊥PB ， AD ⊥OB ，OB ∩PB ＝B ， PB ⊂平面POB ， OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB . 所以PO ⊥AD .所以PO ＝a ，PD ＝2a . 过点D 作DH ⊥PB ，H 为垂足，过点H 作HG ∥BC 交PC 于点G ，连接DG ，因为AD ⊥PB ，BC ∥AD ， 所以BC ⊥PB ，即HG ⊥PB .所以∠DHG 为二面角D －PB －C 的平面角． 在等腰△BDP 中，BD ＝BP ＝2a ，PD ＝2a ， 根据等面积法可以求得DH ＝72a . 进而可以求得PH ＝12a ， 所以HG ＝12a ，PG ＝22a .在△PDC 中，PD ＝2a ，DC ＝2a ，PC ＝22a ， 所以cos ∠DPC ＝PD 2＋PC 2－DC 22PD ·PC＝34.在△PDG 中，PD ＝2a ，PG ＝22a ，cos ∠DPC ＝34， 所以DG 2＝PD 2＋PG 2－2PD ·PG ·cos ∠DPG ＝a 2，即DG ＝a . 在△DHG 中，DH ＝72a ，HG ＝12a ，DG ＝a ，所以cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·HG ＝277.所以二面角D －PB －C 的余弦值为277.20．(本小题满分12分)(2019·扬州一模)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－2，y )， ∴OP →＝(x ，y )，OQ →＝(－2，y )．∵OP →·OQ →＝0，∴OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x . 所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T .设直线AM 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，∴x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2， ∴直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋2x 21－2x 1＋12x ＋14y 21＝0， 化简得2x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0，解得x 3＝14x 1或x 3＝x 1.∵x 3＝14x 1＝x 2，∴BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB . ∴S △MBD ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|2y 2|，且△MBD 的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|， ∴S △MBD ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|·r ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|2y 2|， ∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 2||y 2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝11x 2＋12＋1y 22＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12，令t ＝x 2＋12，则t >1， ∴r ＝112t －1＋1t 2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r >12＋1＝2－1， 即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝ln x 2－ax ＋bx (a ，b >0)，对任意x >0，都有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＝0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＝ln x 2－ax ＋b x ＋ln 2x －4a x ＋xb 4＝0，得b ＝4a ，f (x )＝ln x 2－ax ＋4a x ，f ′(x )＝1x －a －4a x 2＝－ax 2＋x －4ax 2(x >0)．令h (x )＝－ax 2＋x －4a ，若Δ＝1－16a 2≤0时，求得a ≥14，此时h (x )≤0，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．若Δ＝1－16a 2＞0，即0<a <14时，h (x )有两个零点， x 1＝1－1－16a 22a >0，x 2＝1＋1－16a 22a >0，h (x )开口向下，当0<x <x 1时，h (x )＜0，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x 1<x <x 2时，h (x )＞0，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >x 2时，h (x )＜0，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥14时，f (x )单调递减；当0<a <14时，f (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增．(2)由(1)知当a ≥14时，f (x )单调递减，不可能有三个不同的零点；当0<a <14时，f (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增， f (2)＝ln 22－2a ＋2a ＝0，又x 1x 2＝4，有x 1<2<x 2，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增， f (x 1)<f (2)＝0，f (x 2)>f (2)＝0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3， 令g (a )＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3，g ′(a )＝－4a 2a 2＋1a 2＋12a 2＝12a 4－2a ＋1a 2，令h (a )＝12a 4－2a ＋1，h ′(a )＝48a 3－2，由h ′(a )＝48a 3－2＝0，求得a 0＝1324>14，当0<a <14时，h (a )单调递减，h (a )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝364－12＋1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝g (a )＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递增， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝g (a )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3ln 2－4＋116<0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2<0，f (x 2)>0，1a 2>x 2， 由零点存在性定理知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1a 2有一个根，设为x 0， 又f (x 0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＝0,0<4x 0<x 1，4x 0是f (x )的另一个零点，故当0<a <14时，f (x )存在三个不同的零点，分别为4x 0，2，x 0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·郴州三模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)，点M (0，－2)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其形状；(2)曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，若1|MA |＋1|MB |＝174，求sin α的值． 解 (1)由ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ＝4cos θ－4sin θ，所以ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ.即x 2＋y 2＝4x －4y ，(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.所以曲线C 2是以(2，－2)为圆心，22为半径的圆． (2)将⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α代入(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.整理得t 2－4t cos α－4＝0.设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝－4.1|MA |＋1|MB |＝|MA |＋|MB ||MA ||MB |＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2|4＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 24＝16cos 2α＋164＝174. 解得cos 2α＝116，则sin α＝154.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·郴州三摸)已知f (x )＝|ax ＋2|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3x 的解集； (2)若f (1)≤M ，f (2)≤M ，证明：M ≥23.解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )>3x 可化为|2x ＋2|>3x . 当x ≤－1时，－2x －2>3x ，x <－25，所以x ≤－1；当x>－1时，2x＋2>3x，x<2，所以－1<x<2.所以不等式f(x)>3x的解集是(－∞，2)．(2)证明：由f(1)≤M，f(2)≤M，得M≥|a＋2|，M≥|2a＋2|，3M＝2M＋M≥2|a＋2|＋|2a＋2|，又2|a＋2|＋|2a＋2|≥|4－2|＝2，所以3M≥2，即M≥2 3.。
2020版高考数学(理)刷题小卷练：35Word版含解析
所以直线与椭圆相交． 2．已知直线 y＝ kx＋1 与双曲线 x2－y42＝1 交于 A，B 两点，且|AB|
＝8 2，则实数 k 的值为 ( )
A．± 7
41 B．± 3或± 3
C．± 3
41 D．± 3
答案： B
解析： 由直线与双曲线交于 A，B 两点，得 k≠±2.将 y＝kx＋1
A.
4．[2019 ·宁波九校联考 ]过双曲线
x2－
y2 b2＝
1(b>0)的左顶点
A作
斜率为 1 的直线 l ，若 l 与双曲线的两条渐近线分别交于 B，C，且 2A→B
＝B→C，则该双曲线的离心率为 ( )
A. 10
10 B. 3
C. 5
5 D. 2
答案： C
解析： 由题意可知，左顶点 A(－1,0)．又直线 l 的斜率为 1，所
3或
±
41 3.
3．[2019 ·兰州模拟 ]已知直线 y＝kx－k－1 与曲线 C：x2＋2y2＝
m(m>0)恒有公共点，则 m 的取值范围是 ( )
A ．[3，＋∞ ) B．(－∞， 3]
C．(3，＋∞ ) D．(－∞， 3) 答案： A
解析： 直线 y＝ kx－k－ 1 恒过定点 (1，－ 1)．因为直线 y＝kx－k －1 与曲线 C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点， 则曲线 C 表示椭圆， 点 (1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以 12＋2×(－1)2≤m，所以 m≥3，选
x2 D. 4 －
y2＝
1
答案： D 解析： 由题意可得 c＝ 5，得 a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程
2020版高考数学(理)刷题小卷练： 23 Word版含解析
A. B. －
C. D. －
答案：B
解析：因为a1＋a2＋…＋an＝ ＝n(n＋2)，所以bn＝ ＝ ，故Tn＝ ＝ － ，故选B.
7．[2019·合肥质检]已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 018＝()
A．12里B．24里
C．36里D．48里
答案：B
解析：设第一天走a1里，则每天走的里数组成的数列{an}是以a1为首项，以 为公比的等比数列，由题意得S6＝ ＝378，解得a1＝192(里)，∴a4＝a1× 3＝192× ＝24(里)，故选B.
5．[2019·湖南郴州质量监测]在等差数列{an}中，a4＝5，a7＝11.设bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前100项和S100＝()
4．[2019·黑龙江大庆模拟]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天，共走378里．”请问第四天走了()
4．[2019·甘肃张掖月考]数列 的前2 017项的和为()
A. ＋1 B. －1
C. ＋1 D. －1
答案：B
解析：通过已知条件得到 ＝ － ，裂项累加得S2 017＝ － ＋ － ＋…＋ －1＝ －1，故选B.
5．[2019·资阳诊断]已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝ 则数列{an}的前20项和为()
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：基础巩固练(三) 含解析
基础巩固练(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖南衡阳三模)若集合{x |2x >22}＝{x |log 12(x －a )<0}，则实数a 的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．1 答案 A 解析依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32＝{x |x >a ＋1}， ∴a ＋1＝32，故a ＝12.故选A.2．(2019·黔东南州一模)1－2i 1＋i ＋1＋2i1－i ＝( )A ．－1B ．－iC ．1D ．i 答案 A 解析1－2i 1＋i ＋1＋2i 1－i＝－1－3i －1＋3i2＝－1，故答案为A.3．(2019·辽宁省辽南协作体一模)下列判断错误的是( ) A ．“|a |<|b |”是“|am |<|bm |”的充分不必要条件B ．若綈(p ∨q )为真命题，则p ，q 均为假命题C ．命题“∀x ∈R ，ax ＋b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax ＋b >0”D ．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤3)＝0.72，则P (ξ≤－1)＝0.28 答案 A解析 当m ＝0时，若“|a |<|b |”，则“|am |<|bm |”不成立，即充分性不成立，故A 错误；若綈(p ∨q )为真命题，则p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题，故B 正确；命题“∀x ∈R ，ax ＋b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax ＋b >0”正确，故C 正确；若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤3)＝0.72＝P (ξ>－1)，则P (ξ≤－1)＝1－P (ξ>－1)＝1－0.72＝0.28，故D 正确，故选A.4．(2019·衡水模拟)已知e 1＝(1,0)，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为30°，若3e 1－e 2，e 1＋λe 2相互垂直，则实数λ的值是( )A ．－ 3 B. 3 C ．33＋4 D ．－33＋4答案 A解析 因为3e 1－e 2，e 1＋λe 2相互垂直，所以(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝0，整理得到3e 21＋(λ3－1)e 1·e 2－λe 22＝0，故3＋(λ3－1)×32－λ＝0，故λ＝－3，故选A.5．(2019·齐齐哈尔二模)函数f (x )＝6x2x＋2－x的图象大致是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－6x2－x ＋2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x >0时，f (x )>0，排除D ，故选C.6．(2019·银川一中二模)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是( )A ．16＋ 2B ．12＋22＋2 6C ．18＋2 2D ．16＋2 2答案 B解析 根据三视图可知原几何体为四棱锥E －ABCD ，则它的表面积＝S △ADE ＋S △EDC ＋S △ABE ＋S △BEC ＋S 梯形ABCD＝12×2×2＋12×2×4＋12×2×22＋12×23×22＋12×(2＋4)×2＝12＋22＋2 6.故选B.7．(2019·哈六中模拟)实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ≤0，2x ＋y ≥0，y (y －m )≤0，若z ＝3x ＋y 的最大值为5，则正数m 的值为( ) A ．2 B.12 C ．10 D.110 答案 A解析 如图，先由⎩⎨⎧2x －y ≤0，2x ＋y ≥0画出可行域，发现y ≥0，所以由y (y －m )≤0可得y ≤m ，且m 为正数．画出可行域为△AOB (含边界)区域．将z ＝3x ＋y 转化为y ＝－3x ＋z ，它是斜率为－3的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，即m ＝－3·m2＋5，解得m ＝2.故选A.8．(2019·洛阳三模)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行程序框图，则输出的n ＝( )A ．62B ．59C ．53D ．50 答案 C解析 正整数n 被3除余2，得n ＝3k ＋2，k ∈N ； 被8除余5，得n ＝8l ＋5，l ∈N ； 被7除余4，得n ＝7m ＋4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53.故选C.9．(2019·烟台一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6答案 C解析 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋φ的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω＝－12＝sin(π＋φ)＝－sin φ，即sin φ＝12， ∴φ＝π6，∴－ωπ6＝k π＋π3，当ω取最小值时，取k ＝－1， 可得ω＝4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，故选C.10．(2019·厦门一模)现有甲班A ，B ，C ，D 四名学生，乙班E ，F ，G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有( )A ．10种B ．15种C ．18种D ．19种 答案 D解析 由题意按甲、乙班参加人数分情况讨论如下： 若甲班1人，乙班3人，共1种方法；若甲班2人，乙班2人，共C 13C 23＝9种方法；若甲班3人，乙班1人，共C 23C 13＝9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有1＋9＋9＝19种．故选D.11．(2019·青岛二中一模)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，则双曲线的离心率是( )A.102B.62C.52D.23 答案 A解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .因为|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .由点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即9a 2＋a 2＝4c 2，得c 2a 2＝104.所以双曲线的离心率e ＝c a ＝102.故选A.12．(2019·大同一中二模)已知定义在R 的函数y ＝f (x )对任意的x 满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1，f (x )＝x 3.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log a x |，x >0，－1x ，x <0，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[－6，＋∞)上有6个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，17∪(7，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤19，17∪[7,9) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，17∪(7,9] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，1∪(1,9] 答案 C解析 因为f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，故f (x )是周期函数且周期为2，如图f (x )的图象与y ＝－1x(x <0)的图象在[－6,0)上有两个不同的交点，故f (x )的图象与g (x )的图象在(0，＋∞)上有4个不同的交点，故⎩⎨⎧|log a 7|<1，|log a 9|≥1，解得7<a ≤9或19≤a <17，故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·贵阳二模)若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 答案 －14解析 ∵(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为4C 25＋8a C 35＝20，∴a ＝－14.14．(2019·永州市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝－2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为43，则b ＋c 的值为________．答案 4 5解析 ∵b tan B ＋b tan A ＝－2c tan B ， ∴sin B (tan B ＋tan A )＝－2sin C tan B . ∴sin B (tan B ＋tan A )＝－2sin C ·sin B cos B . ∴cos B (tan A ＋tan B )＝－2sin C . ∴cos B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝－2sin C .∴cos B ·sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝－2sin C .∴cos B ·sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin Ccos A ＝－2sin C . 解得cos A ＝－12，∴A ＝2π3，∵a ＝8，由余弦定理，得64＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ，又∵△ABC 的面积为43＝12bc sin A ＝12×32bc ，∴bc ＝16，b ＋c ＝4 5.15．(2019·保定市二模)如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为________．答案 23解析 由抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所以抛物线Γ的方程为y 2＝14x ，阴影区域的面积为2⎠⎛01 12x d x ＝23x 32 ⎪⎪10＝23，又因为正方形的面积为1，所以点M 在阴影区域内的概率为23.16．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________.答案 －1解析 如图，∵E 在线段CB 的延长线上，∴EB ∥AD . ∵∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°.∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°. 又∵AB ＝23，∴BE ＝2.∵AD ＝5，∴EB →＝25AD →. ∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－25AD →.又∵BD →＝AD →－AB →，∴BD →·AE →＝(AD →－AB →)⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－25AD →＝AD →·AB →－25AD →2－AB →2＋25AD →·AB →＝75|AD →|·|AB →|·cos 30°－25×52－(23)2 ＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·怀化市二模)已知各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝15，且a 1，a 2，S 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式与S n ；(2)设b n ＝1S n ＋2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 8＝a 1＋7d ＝15.由a 1，a 2，S 3成等比数列知a 22＝a 1S 3， 即(a 1＋d )2＝a 1(3a 1＋3d )＝3a 1(a 1＋d )． 所以(d －2a 1)(a 1＋d )＝0，因a 1＋d ＝a 2≠0， 于是d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2， a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明：因b n ＝1S n ＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2<34.所以原不等式成立．18．(本小题满分12分)(2019·石家庄模拟)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：(1)的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012～2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？参考公式：b^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.参考数据：∑7i ＝1x i y i ＝359.6，∑7i ＝1x 2i ＝259.解 (1)由题意计算，得x ＝6，y ＝8.3,7x －y －＝348.6， 又∑7i ＝1x i y i ＝359.6，∑7i ＝1x 2i ＝259，所以b^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x－2＝359.6－348.6259－7×36＝117≈1.571，所以a^＝y －b ^x ＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13， 所以回归直线方程为y ^＝1.57x －1.13；将x ＝8代入方程，得y ^＝1.57×8－1.13＝11.43， 即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元． (2)由题意可知，λ≥2(万元)的年份有2013,2015,2016,2017,2018，所以两年都是λ≥2(万元)的概率是P ＝C 25C 27＝1021.19．(本小题满分12分)(2019·长沙统测)已知三棱锥P －ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：(1)证明：平面P AC⊥平面ABC；(2)若点M在棱P A上运动，当直线BM与平面P AC所成的角最大时，求二面角P－BC－M的余弦值．解(1)证明：设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得P A＝PB＝PC＝2，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.∵在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB.∵AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC.(2)由(1)知，BO⊥PO，BO⊥AC，BO⊥平面P AC，∴∠BMO是直线BM与平面P AC所成的角，且tan∠BMO＝BOOM＝1 OM，∴当OM最短，即M是P A的中点时，∠BMO最大．由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，于是以OC，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，C (1,0,0)，B (0,1,0)，A (－1,0,0)，P (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，BC →＝(1，－1,0)，PC →＝(1,0，－1)，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12.设平面MBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·MC →＝0，得⎩⎨⎧x 1－y 1＝0，3x 1－z 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1，z 1＝3，即m ＝(1,1,3)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PC →＝0，得⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得y 2＝1，z 2＝1，即n ＝(1,1,1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝533＝53333.由图可知，二面角P －BC －M 的余弦值为53333.20．(本小题满分12分)(2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．解 (1)因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，在抛物线方程y 2＝2px 中，令x ＝p 2，可得y ＝±p .于是当直线与x 轴垂直时，|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 由已知可求得直线AB 的方程为y ＝x －1， 所以M (－1，－2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去x ，得y 2－4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4. 若点P (x 0，y 0)满足条件，则2k PM ＝k P A ＋k PB ， 即2·y 0＋2x 0＋1＝y 0－y 1x 0－x 1＋y 0－y 2x 0－x 2，因为点P ，A ，B 均在抛物线上， 所以x 0＝y 204，x 1＝y 214，x 2＝y 224. 代入化简可得2(y 0＋2)y 20＋4＝2y 0＋y 1＋y 2y 20＋(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2， 将y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4代入，解得y 0＝±2. 将y 0＝±2代入抛物线方程，可得x 0＝1. 于是点P (1，±2)为满足题意的点．21．(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝1e mx (m 是常数)． (1)求函数h (x )＝f (x )g (x )－1的单调区间；(2)当x ∈(0,4e)时，函数h (x )＝f (x )g (x )－1有零点，求m 的取值范围． 解 (1)由题意，知h (x )＝x 2e －mx －1(x ∈R )，则 h ′(x )＝2x e －mx ＋x 2(－m )e －mx ＝e －mx (－mx 2＋2x )(x ∈R )． ①当m ＝0时，令h ′(x )>0，有x >0；令h ′(x )<0，有x <0. 故函数y ＝h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． ②当m >0时，令h ′(x )>0，有0<x <2m ；令h ′(x )<0，有x <0或x >2m .故函数y ＝h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 上单调递增，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，＋∞上单调递减．③当m <0时，令h ′(x )>0，有x >0或x <2m ； 令h ′(x )<0，有2m <x <0.故函数y ＝h (x )在(0，＋∞)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，0上单调递减．综上所述，当m ＝0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当m >0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，＋∞；当m <0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2m 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，0. (2)①当m ＝0时，由h (x )＝0可得x ＝±1，有1∈(0,4e)，故m ＝0满足题意．②当m >0时，若2m ∈(0,4e)，即m >12e 时，由(1)知函数y ＝h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，4e 上单调递减．而h (0)＝－1<0，令h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＝4m 2e －2－1≥0，有－2e ≤m ≤2e ，∴12e <m ≤2e ，若2m ∈[4e ，＋∞)，即0<m ≤12e 时，由(1)知函数y ＝h (x )在x ∈(0,4e)上单调递增．而h (0)＝－1<0，令h (4e)＝16e 2e －4e m －1>0，解得m <12e ln 4e ，而12e ln 4e>12e ，故0<m ≤12e .③当m <0时，由(1)知函数y ＝h (x )在x ∈(0,4e)上单调递增，由h (0)＝－1<0，令h (4e)＝16e 2e －4e m －1>0，解得m <12e ln 4e ，而12e ln 4e>0，故m <0. 综上所述，m 的取值范围是{|m m ≤2e }.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·湖南永州三模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ.(1)写出当α＝3π4时的直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (－1,1)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求1|P A |＋1|PB |的取值范围． 解 (1)当α＝3π4时，直线l 的普通方程为y ＝－x ，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4x ＋y 2＝0.(2)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＋4x ＋y 2＝0，整理得t 2＋(2sin α＋2cos α)t －2＝0，由参数t 的几何意义，有|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝2，|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|， 所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝|t 1－t 2|2＝12＋4sin2α2＝3＋sin2α，又sin2α∈[－1,1]，所以1|P A |＋1|PB |的取值范围是[2，2]．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |. (1)当a ＝1，b ＝1时，求不等式f (x )≤4的解集； (2)若a >0，b >0，f (x )的最小值为2，求1a ＋2b 的最小值．解(1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1＜x ≤1，2x ，x ＞1，可得f (x )≤4的解集为[－2,2]．(2)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |≥|(x ＋a )＋(b －x )|＝|a ＋b |，又f (x )的最小值为2， 所以|a ＋b |＝2，又a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以1a ＋2b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋b a ＋2a b ≥12(3＋22)， 当且仅当a ＝22－2，b ＝4－22时取等号， 故1a ＋2b 的最小值为3＋222.。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020版高考数学(理)刷题小卷练： 6 Word版含解析
刷题增分练6函数图象及应用刷题增分练⑥小题基础练提分快一、选择题1．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C解析：由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B 错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．[2019·湖北四地七校联考]函数y＝ln|x|－x2的图象大致为A 函数y ＝ln|x |－x 2的定义域为{x |x ≠0}且为偶函数，所以排D.又当x >0时，y ＝ln x －x 2，y ′＝1x －2x ，令y ′的图象可能是图中的( )B通解 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝的图象关于y 轴对称，根据图象特征可知选B.x易知函数f (x )＝sinπx x 2为奇函数且定义域为{x 满足，故选D.A B C D答案：B 解析：∵ y ＝e x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －是奇函数，图象关于原点对称，排除由对数函数图象的变化趋势可知，要使2对任意x<0恒成立，所以如图，定义在[－1，＋∞一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为，－1≤x≤0，≤0，的图象如图所示，则，x>0山西大同一中模拟]已知f(x)＝有三个不同的实数解，则实数将函数y＝f(x)的y轴右侧的图象删去，再保留y轴右侧，即可得到函数y＝f(－|x|)的图象，故选洛阳统考]已知f(x)＝(x－a)·(x－b)(a>b)的大致图象如图的大致图象是(由函数f(x)的大致图象可知3<a<4，－1<b<0x(3<a<4)的图象向下平移－b(0<－b<1)个单位长度得的大致图象是()．a＝1，b＝－2．a＝－1，b＝－2ax2＋bx)e x＝0，解得A B C D 答案：D解析：解法一f′(x)＝－＋2x，则f′(x)>0的解集为(－2)∪(0，2)(x)单调递增；′(x)<0的解集为(－2，0)∪(观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分别是函数f(x)，g(x)图象上的点，若M，N是一对“关联点”．已知，则函数f(x)，g(x)图象上的“关联点”有2－4x，得(x＋2)2＋y2＝4(y≥－2x－1|及y＝|x|2－2|x－2x－1≥0时，y＝xy＝－(x2－2x－1)＝x2－2x－1当x <0时 y ＝x 2＋2x －1 即 y ＝(－x )2－2(－x )－1 步骤：(1)作出y ＝x 2－2x －1的图象；(2)y 轴右方部分不变，再将右方以y 轴为对称轴 向左翻折，即得y ＝|x |2－2|x |－1的图象．。
2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(五) 含解析
素养提升练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林实验中学模拟)在复平面内与复数z ＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i 答案 B 解析 ∵复数z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，∴复数的共轭复数是1－i ，就是复数z ＝2i 1＋i所对应的点关于实轴对称的点A 所对应的复数，故选B. 2．(2019·四川省内江、眉山等六市二诊)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{0,1,2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 由A ∪C ＝B 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，故选A.3．(2019·河北一模)已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A.23 B ．3＋ 3 C.9＋32 D ．2 3 答案 B解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥D 1－ACD 和三棱锥B －A 1B 1C 1后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形，所以其表面积为6×12×12＋2×34×(2)2＝3＋3，故选B.4．(2019·惠州一中二模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y －2≤0，x ≥1，则目标函数z ＝(x ＋1)2＋y 2的最小值为( )A.322B.355 C ．2 D ．4 答案 D解析 作出可行域，可知当x ＝1，y ＝0时，目标函数z ＝(x ＋1)2＋y 2取到最小值，最小值为z ＝(1＋1)2＋02＝4.故选D.5．(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝f (x )＝2x 32x ＋2－x ，x ∈[－6,6]，∴f (－x )＝2(－x )32－x ＋2x ＝－2x 32－x ＋2x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7,8)，排除选项A ，D.故选B.6．(2019·贵阳一中二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π12，2k π＋π12，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 答案 A解析 由图象可知f (0)＝32，故sin φ＝32，因|φ|<π2，故φ＝π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0得到ω·5π6＋π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k 5－25，k ∈Z ，因⎩⎪⎨⎪⎧2πω>5π6，2πω×12<5π6，故65<ω<125，所以ω＝2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π－π2<2x ＋π3<2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－5π12<x <k π＋π12，k ∈Z ，函数y ＝f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·雅礼中学三模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，n 4内任取两个实数x ，y ，满足y >sin x 的概率为( )A ．1－1πB ．1－2πC ．1－3π D.12 答案 B解析 由题意知，3n ＝81，解得n ＝4，∴0≤x ≤π，0≤y ≤1.作出对应的图象如图所示，则此时对应的面积S ＝π×1＝π，满足y ≤sin x 的点构成区域的面积为S 1＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x | π0＝－cosπ＋cos0＝2，则满足y >sin x 的概率为P ＝S －S 1S ＝1－2π.故选B.8．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.9．(2019·成都实验外国语学校三模)设函数f (x )＝a e x －2sin x ，x ∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为( )A.2eπ4 B.2e －π4 C.2e π2 D.2e －π2答案 B解析 函数f (x )＝a e x －2sin x ，x ∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a ＝2sin xe x ，x ∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y ＝a 与g (x )＝2sin xe x ，x ∈[0，π]的图象只有一个交点，设g (x )＝2sin xe x ，x ∈[0，π]，则g ′(x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x e x，当0≤x <π4时，g ′(x )>0，当π4<x ≤π时，g ′(x )<0， 即g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π为减函数，又g (0)＝0，g (π)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2e －π4则可得实数a 的值为2e －π4 ，故选B.10．(2019·淄博模拟)已知直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 由题意可得图象如图所示，F ′为双曲线的左焦点，∵AB 为圆的直径，∴∠AFB ＝90°，根据双曲线、圆的对称性可知，四边形AFBF ′为矩形，∴S △ABF ＝12S 矩形AFBF ′＝S △FBF ′，又S △FBF ′＝b 2tan45°＝b 2＝4a 2，可得c 2＝5a 2，∴e 2＝5⇒e ＝ 5.故选D.11．(2019·聊城一模)如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC ︵的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为( )A.33B.55C.306D.66答案 D解析 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°，设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1， AH ＝5，所以AE ＝6， 连接ED ，ED ＝6，因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成角即为∠EAD ， 在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66，故选D.12．(2019·厦门一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，直线y ＝x －22与圆x 2＋y 2＝2a n ＋2交于A n ，B n (n ∈N *)两点，且S n ＝14|A n B n |2.若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n <λa 2n ＋2对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．[0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞答案 B解析 圆心O (0,0)到直线y ＝x －22，即x －y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，由d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|A n B n |2＝r 2，且S n ＝14|A n B n |2，得22＋S n ＝2a n ＋2，∴4＋S n ＝2(S n －S n －1)＋2，即S n ＋2＝2(S n －1＋2)且n ≥2；∴{S n ＋2}是以a 1＋2为首项，2为公比的等比数列． 由22＋S n ＝2a n ＋2，取n ＝1，解得a 1＝2， ∴S n ＋2＝(a 1＋2)·2n －1，则S n ＝2n ＋1－2； ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－2n ＋2＝2n (n ≥2)， a 1＝2适合上式，∴a n ＝2n .设T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ∴－T n ＝21＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2；∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n <λa 2n ＋2对任意n ∈N *恒成立，即(n －1)·2n ＋1＋2<λ(2n )2＋2对任意n ∈N *恒成立，即λ>n －12n －1对任意n ∈N *恒成立． 设b n ＝n －12n －1，∵b n ＋1－b n ＝n 2n －n －12n －1＝2－n2n ，∴b 1<b 2＝b 3>b 4>…>b n >b n ＋1>…， 故b n 的最大值为b 2＝b 3， ∵b 2＝b 3＝12，∴λ>12.故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江西联考)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是________．答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈N解析 当x <0时，不等式f (x )>12可化为x ＋2>12，解得x >－32， 结合x <0可得－32<x <0；当x ≥0时，不等式f (x )>12可化为sin x >12，解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6， 结合x ≥0可得2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈N .故不等式f (x )＞12的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈N . 14．(2019·西安高新一中四模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析 如图，∵AB →·AC →＝2AB →·AD →，∴AB →·(AD →＋DC →)＝2AB →·AD →， ∴AB →·DC →＝AB →·AD →，∴|AB →|·|DC →|·cos0°＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ， ∴2×1＝|AD →|·cos π4， ∴|AD →|＝22，∴AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →) ＝|AD →|2＋AD →·DC →＝|AD →|2＋|AD →|·|DC →|·cos(π－∠ADC ) ＝|AD →|2＋|AD →|·|DC →|·cos ∠BAD ＝(22)2＋22×2×22＝12.15．(2019·德州一模)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ，g (x )＝4a 2ln x ＋b ，设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当a ∈(0，＋∞)时，实数b 的最大值是________．答案 2 e解析 设P (x 0，y 0)，f ′(x )＝2x ＋2a ，g ′(x )＝4a 2x . 由题意知，f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 20＋2ax 0＝4a 2ln x 0＋b ， ①2x 0＋2a ＝4a 2x 0， ②解②得，x 0＝a 或x 0＝－2a (舍去)，代入①得，b ＝3a 2－4a 2ln a ，a ∈(0，＋∞)， b ′＝6a －8a ln a －4a ＝2a (1－4ln a )， 当a ∈(0，e14)时，b ′>0；当a ∈(e14，＋∞)时，b ′<0.∴实数b 的最大值是b (e14 )＝3e －4eln e14＝2e.16．(2019·安庆二模)过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线l 与抛物线分别交于第一、四象限内的A ，B 两点，分别以线段AF ，BF 的中点为圆心，且均与y 轴相切的两圆的半径为r 1，r 2.若r 1∶r 2＝1∶3，则直线l 的倾斜角为________．答案 2π3解析 由题设有AF ∶BF ＝1∶3，设AF ＝x ，BF ＝3x ，过A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为D ，E ，过A 作BE 的垂线，垂足为S .则AD ＝x ，BE ＝3x ，故BS ＝2x ，所以cos ∠ABS ＝2x 4x ＝12，而∠ABS ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠ABS ＝π3，故直线l 的倾斜角为2π3. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·安徽黄山二模)已知数列{a n }满足1a 1－1＋2a 2－1＋3a 3－1＋…＋na n －1＝n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1.解 (1)因为1a 1－1＋2a 2－1＋3a 3－1＋…＋n a n －1＝n ，① 当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，1a 1－1＋2a 2－1＋3a 3－1＋…＋n －1a n －1－1＝n －1，②由①－②得，a n ＝n ＋1，因为a 1＝2适合上式，所以a n ＝n ＋1(n ∈N *)．(2)证明：由(1)知，b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2，由1(n ＋1)2>0，即T n <1.18．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 解 解法一：(1)证明：如图1，连接A 1E . 因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC .又因为A 1F ∥AB ，∠ABC ＝90°， 故BC ⊥A 1F .所以BC ⊥平面A 1EF .因此EF ⊥BC .(2)如图1，取BC 的中点G ，连接EG ，GF ，则四边形EGF A 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ， 所以平行四边形EGF A 1为矩形． 由(1)得BC ⊥平面EGF A 1， 则平面A 1BC ⊥平面EGF A 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上． 连接A 1G 交EF 于点O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角(或其补角)．不妨设AC ＝4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ＝23，EG ＝ 3.由于O 为A 1G 的中点，故EO ＝OG ＝A 1G 2＝152， 所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 解法二：(1)证明：连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， 所以A 1E ⊥平面ABC .如图2，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，C (0,2,0)．因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1,0)．由EF →·BC →＝0，得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →||n |＝45，所以cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.19．(本小题满分12分)(2019·衡水三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X 的期望．解 (1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P ＝C 14C 22C 36·C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 24C 12C 36·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 34C 36·C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝31135. (2)m 的所有取值有1,2,3.P (m ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (m ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (m ＝3)＝C 34C 36＝15，故E (m )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意可知n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，故E (n )＝3×23＝2.而X ＝15m ＋10n ，所以E (X )＝15E (m )＋10E (n )＝50.20．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ，B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2c ＝6，12×2bc ＝3，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧c ＝1，b ＝3，a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)， 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2， ∴my 1y 2＝32(y 1＋y 2)， ∴直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BN 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)， ∴y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)， ∴x ＋2x －2＝y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)＝my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1＝3， ∴x ＝4，∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．21．(本小题满分12分)(2019·山东济南二模)已知函数f (x )＝ax 2＋1. (1)若a ＝1，g (x )＝xf (x )－xe x ，证明：当x ≥5时，g (x )<1；(2)设h (x )＝1－f (x )－1e x ，若函数h (x )在(0，＋∞)上有2个不同的零点，求实数a 的取值范围．解 (1)证明：当a ＝1时．g (x )＝xf (x )－x e x ＝x 3e x ，g ′(x )＝3x 2－x 3e x ＝x 2(3－x )e x . 因为x ≥5，所以g ′(x )<0，所以g (x )在[5，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (5)＝53e 5<532.75<1，即g (x )<1. (2)解法一：h (x )＝1－ax 2e x .(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e x ，当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在[0，＋∞)上的最小值．①若h (2)>0，即a <e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点； ②若h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有1个零点；③若h (2)＜0，即a >e 24时，由于h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有1个零点， 由(1)知，当x ≥5时，e x >x 3，因为4a >e 2>5>2， 所以h (4a )＝1－16a 2e 4a >1－16a 3(4a )3＝1－14＝34>0.故h (x )在(2,4a )上有1个零点，因此h (x )在(0，＋∞)上有2个不同的零点． 综上，h (x )在(0，＋∞)上有2个不同的零点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞.解法二：因为h (x )＝1－ax 2e x ，所以h (x )在(0，＋∞)上零点的个数即为方程1a ＝x 2e x 在(0，＋∞)上根的个数．令k (x )＝x 2e x ，则k ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ， 令k ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，k ′(x )>0，当x ∈(2，＋∞)时，k ′(x )<0， 所以当x ∈(0,2)时，k (x )单调递增， 当x ∈(2，＋∞)时，k (x )单调递减，所以k (x )在(0，＋∞)上的最大值为k (2)＝4e 2，由(1)知，当x ≥5时，e x>x 2，即当x ≥5时，0<x 2e x <1x .因为当x 无限增大时，1x →0，所以当x 无限增大时，x 2e x →0，又因为k (0)＝0，所以当且仅当0<1a <4e 2时，函数k (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝1a 恰好有2个不同的交点，即当且仅当a >e 24时．函数h (x )在(0，＋∞)上有2个不同的零点，故h (x )在(0，＋∞)上有2个不同的零点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·山东郓城三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋22＝0.(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 (1)因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋22＝0，即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0. 将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1. (2)设N (3cos α，sin α)，α∈[0,2π)．点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，化为直角坐标为(－2,2)． 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－1，12sin α＋1.所以点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos α－12sin α－62＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋62≤722，所以当α＝5π6时，点P 到直线l 的距离的最大值为722. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·山东郓城三模)已知函数f (x )＝|ax －2|，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)，若存在x ∈R ，使g (x )－tx ≤2成立，求实数t 的取值范围．解 (1)由|ax －2|≤4得－4≤ax －2≤4，即 －2≤ax ≤6，当a ＞0时，－2a ≤x ≤6a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝－2，6a ＝6，解得a ＝1；当a ＜0时，6a ≤x ≤－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝－2，－2a ＝6，无解．所以实数a 的值为1.(2)由已知g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧－2x ＋1(x ≤－1)，3(－1<x <2)，2x －1(x ≥2)，不等式g (x )－tx ≤2，即g (x )≤tx ＋2，由题意知y ＝g (x )的图象有一部分在直线y ＝tx ＋2的下方，作出对应的图象如下图所示，由图得，当t ＜0时，t ≤k AM ；当t ＞0时，t ≥k BM ，又因为k AM ＝－1，k BM ＝12， 所以t ≤－1或t ≥12，即t ∈(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
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A．5 B．－5
C．－ D．－
答案：B
解析：设菱形ABCD的对角线交于点M，则 ＝ ＋ ， ⊥ ， ＝－ ，又 ＝(3，－1)，所以 · ＝( ＋ )· ＝－ 2＝－5.
6．[2019·沈阳质量检测]已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1， )，且(a－b)⊥b，则实数x的值为()
刷题增分练19平面向量的数量积及应用
刷题增分练⑲小题基础练提分快
一、选择题
1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题：
① ＋ ＝0；②0· ＝0；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：①∵ ＝－ ，∴ ＋ ＝－ ＋ ＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴该命题错误；④当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A.
12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量m满足m·a＝m·b＝1，则|m|＝________.
答案：
解析：如图，设 ＝a， ＝b，A(1,0)，B(－1， )．设m＝(x，y)，由m·a＝m·b＝1，
得 解得
∴|m|＝ ＝ .
刷题课时增分练⑲综合提能力 课时练 赢高分
10．[2019·长春质量监测]已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为 ，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
11．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， )，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________.
答案：－
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， )，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－ ，∴cosθ＝ ＝－ ，∴sinθ＝ ＝ ，∴tanθ＝ ＝－ .
边形ABCD为平行四边形，所以 ＝ ＋ ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以 · ＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.
3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()
一、选择题
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()
A. B．±
C．± D．±
答案：B
解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb)·(a－λb)＝0，整理可得a2－λ2·b2＝0，即λ2＝ ＝ ＝ ，所以λ＝± ，选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形， ＝(1，－2)， ＝(2,1)，则 · ＝()
8．[2019·泰安质检]已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为()
A. B.
C. D.
答案：D
解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－ ，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝ ，又|a|＝1，|2a－b|＝ ＝ ＝ ，所以a与2a－b夹角的余弦值为 ＝ ＝ .
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
故选B.
4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a＝(2,1)，b＝(m，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝()
A. B．5
C. D．10
答案：C
解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1)·(m，－2)＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b＝(1，－2)，∴a－b＝(1,3)，则|a－b|＝ ＝ ，故选C.
2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．
设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①
A．3 B．－3
C．2 D．－2
答案：B
解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，
又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②
联立①②，解得x＝ ，y＝ ，所以c＝ .故选A.
3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()
A．4 B．3
C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
A．－2 B．2
C．4 D．6
答案：B
解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－ )·(1， )＝－3＋ x－3＝0，即 x＝6，解得x＝2 ，故选B.
7．已知 ＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量 在 方向上的投影为()
A．－ B．－3
C. D．3
答案：C
解析：因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以 ＝(5,5)，又 ＝(2,1)，所以向量 在 方向上的投影为| |cos〈 ， 〉＝ ＝ ＝ .
二、非选择题
9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝2 ，则|b|＝________.
答案：4
解析：∵|2a＋b|＝2 ，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.