高中数学每日一练必修四007
(word版)高一数学必修4试题附答案详解
高一数学必修4试题附答案详解第I卷一、选择题：(每题5分，共计60分)1 .以下命题中正确的选项是〔〕A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2.角的终边过点P4m，3m，m0，那么2sin cos的值是〔〕A．1或－1B．2或2C．1或2D．－1或255553 .以下命题正确的选项是〔〕A假设a·b=a·c，那么b=c B假设|ab||a b|，那么a·b=0C 假设a//b，b//c，那么a//cD假设a与b是单位向量，那么a·b=14 .计算以下几个式子，①tan25tan353tan25tan35,②2(sin35cos25+sin55cos65),1tan15tan63③,④，结果为的是〔〕1tan1521tan6A.①②B.①③C.①②③D.①②③④5 .函数y＝cos(4－2x)的单调递增区间是〔〕A．[kπ＋，kπ＋5π]B．[kπ－3π，kπ＋]8888C．[2kπ＋，2kπ＋5π]D．[2kπ－3π，2kπ＋]〔以上k∈Z〕88886 .△ABC中三个内角为A、B、C，假设关于x的方程x2xcosAcosBcos2C0有一根为1，2那么△ABC一定是〔〕A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形7.将函数f(x)sin(2x )的图像左移，再将图像上各点横坐标压缩到原来的1，那么所332得到的图象的解析式为〔〕1Aysinx Bysin(4x)Cysin(4x 2Dysin(x) )3338.化简1sin10+1sin10，得到〔〕A－2sin5B－2cos5C2sin5D2cos59 .函数f(x)=sin2x·cos2x是()A周期为π的偶函数B周期为π的奇函数C周期为的偶函数D周期为的奇函数.2210.假设|a|2，|b|2且〔a b〕⊥a ，那么a与b的夹角是〔〕〔A〕6〔B〕〔C〕〔D〕5 431211.正方形ABCD的边长为1，记AB＝a，BC＝b，AC＝c，那么以下结论错误的选项是．．A．(a－b cB．(a＋b－c a)·＝0)·＝0C．(|a－c|－|b|)a＝0D．|a＋b＋c|＝212.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如下列图，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，假设直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是1,那么sin2cos2的值等于〔〕25A．124C．77 B．D．－252525二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13.曲线 y=Asin( x＋ )＋k〔A>0, >0,||<π〕在同一周期内的最高点的坐标为(,4)，最低点的坐标为(5。
高一数学必修4练习题及答案
高一数学必修4练习题及答案必修4测试练1.已知sinx=-4/5，且x在第三象限，则tanx=5/3.2.已知向量a=(-1,2)，则|a|=√5.3.a=(-1,2)，b=(1,2)，则a·b=-3.4.a=(-1,2)，b=(1,2)，a与b所成的角为x，则cosx=-1/5.5.无明显错误。
6.把函数y=sin2x的图象向右平移π/6个单位后，得到的函数解析式是y=sin(2x+π/6)。
7.无明显错误。
8.函数y=tan(x/37π)的单调递增区间是(37kπ。
37(k+1)π)，其中k∈Z。
9.设0<α<β<π/2，sinα=5/13，cos(α-β)=-3/5，则sinβ的值为12/13.10.△ABC中，已知tanA=3/4，tanB=4/3，则∠C等于60°。
11.如果θ是第三象限的角，而且它满足1+sinθ=cos²(θ/2)+sin²(θ/2)，那么θ是第二象限角。
12.y=sin(2x+π/5)的图象的一条对称轴是x=π/10.13.已知0<θ<π/2，则1-sin²θ=cos²θ。
14.函数y=3sin(2x+π/3)的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象向左平移π/6个单位而得到。
一、选择题：无错误。
二、填空题：16、[-7,9]17、π/218、y=sin(2x)19、π/220、y=a+bsin(2x+π/3)三、解答题：20、解：f(x)=cosx-sinx+2sinxcosx=cosx(1-2sinx)+sinx令g(x)=1-2sinx，则g(x)的最小正周期为π，当g(x)取最小值-3时，sinx=2/3，此时f(x)取最大值7/3，所以f(x)的最小正周期为π，当x=arcsin(2/3)时，f(x)取最大值7/3.21、(1) tanx=√(1-sin²x)/sinx=√(16/25)/(-3/5)=-8/32) sinx=3/522、(1) sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny2) tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)23、MA=−b/2i−a/2j。
高一数学必修4练习题
高一数学必修4练习题高一数学必修4通常包括函数、三角函数、解析几何等重要内容。
以下是一些练习题，供同学们练习使用：一、函数的基本概念1. 判断下列函数的定义域：- \( f(x) = \frac{1}{x} \)- \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)- \( h(x) = \log_{2}(x) \)2. 求下列函数的值域：- \( f(x) = 2x + 3 \)- \( g(x) = x^2 - 4x + 4 \)3. 判断下列函数的奇偶性：- \( f(x) = x^2 \)- \( g(x) = |x| \)二、三角函数1. 计算下列三角函数的值：- \( \sin 30^\circ \)- \( \cos 60^\circ \)- \( \tan 45^\circ \)2. 利用诱导公式化简下列表达式：- \( \sin(\pi - x) \)- \( \cos(\pi + x) \)3. 利用二倍角公式计算：- \( \sin 2x \) 当 \( x = 30^\circ \)- \( \cos 2x \) 当 \( x = 60^\circ \)三、解析几何1. 已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求直线AB的斜率和方程。
2. 已知圆的方程为 \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)，求圆心坐标和半径。
3. 已知椭圆的方程为 \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)，求其长轴和短轴的长度。
四、综合应用1. 利用函数的性质，证明不等式 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1) \) 对所有正整数n成立。
2. 利用三角函数的性质，证明 \( \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right) \)。
高一数学必修4同步作业全套练习(绝对精版)第三部分
1.4.3 正切函数的性质与图像班级 姓名 学号课前扫描：1、正切函数的定义域 ；值域是 。
2、正切函数的最小正周期为 。
3、正切函数是 。
4、正切函数正弦函数在开区间 内都是 函数。
课后作业： 一、选择题：★1、下列函数中，周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A 、tan y x = B 、sin y x = C 、tan y x = D 、sin 2y x = ★2、函数2tan 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A 、6π B 、3π C 、2πD 、23π★3、若tan 1x ≤-，则（ ） A 、()2224k x k k Z ππππ-<<-∈ B 、()32224k x k k Z ππππ+<<+∈ C 、()24k x k k Z ππππ-<≤-∈ D 、()24k x k k Z ππππ-≤≤+∈★★4、直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan 2xy =相交的相邻两点间的距离是（ ） A 、2πB 、πC 、2πD 、与a 值有关 二、填空题：★5、函数()lg 1tan y x =+的定义域是 。
★6、已知函数()tan 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像过点,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ= 。
★★7、若()tan f x x =，则()1f 、()0f 、()1f -从小到大排列为 。
★★8、函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间是 。
三、解答题：★★9、根据正切函数的图像，写出使下列不等式成立的x 的集合： ★★★10、求函数1tan 3y x π=⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域。
★★★11、不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 （1）2tan 5π⎛⎫-⎪⎝⎭与tan 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）5tan 412π与11tan 312π⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）tan1470与tan1570★★★★12、求函数3tan tan 2y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的周期及单调区间。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)(最新-编写)11487
2
2
C. [
2k , 3
2k ](k
Z)
2
2
5.已知 tan( 14 ) a, 那么 sin1992 15
（）
B. (
2k ,
3
2k )(k Z )
2
2
D. ( 2k , 2k )(k Z )
|a|
A.
1 a2
a
B.
1 a2
C. a 1 a2
D. 1 1 a2
6.设角 35 ,则 2sin( ) cos( ) cos( ) 的值等于
4
三、解答题（15、16 每题 7 分，17、18 每题 8 分）
15.已知角 a 的终边与 y 轴的正半轴所夹的角是 30 ，且终边落在第二象限，又 720 < a <
0 ，求角 a .
16.已知角 a 45 ，（1）在区间[720 ,0 ) 内找出所有与角 a 有相同终边的角 ；
（2）集合 M {x ︱ x k 180 45 ， k Z} , N {x ︱ x k 180 45 k Z}
的值等于
（）
4
A.
3
B.
C. 4
3
4
3
5.函数 y sin x cos x 的定义域是
D.与 的取值有关 D. 3
4
（）
A. 2k , (2k 1) , k Z
B.
2k
2
, (2k
1)
,
k
Z
C.
k
2
,
(k
1)
,
k
Z
D. 2k , (2k 1) , k Z
6.若
是第三象限角，且 cos
高中数学北师大版必修4同步单元小题巧练：(7)正切函数
同步单元小题巧练（7）正切函数1、函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为( ) A. π,π,Z 22ππk k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B. ()()π,1π,Z k k k +∈C. 3ππ,π,Z 44πk k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D. 3ππ,π,Z 44πk k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭2、tan690︒的值为( )A.B. 3-C.D.3、已知tan 2α=,则()()tan tan 2απα-+-的值为()A. 2B. 12C. 4D. 4-4、函数1tan tan y x x =+是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数5、函数tan()4y x π=-的定义域为（ ） A. 3|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ B. 3|2,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ C. |,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ D. |2,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭6、tan(1920)-︒的值是（ ）A. 1B. 1-C.D. 7、已知角α的终边在直线2y x =上，则tan α的值是（ ）A. 2B. 2±C.D.±8、直线3y =与函数()tan 0y x ωω=>的图像相交,则相邻两点间的距离是()A. πB. 2πω C. πω D. 2πω9、完成下列题目:1. tan 2015︒的符号为( )A.正号B.负号C.零D.不能确定2.若tan sin 0θθ⋅<,则θ位于( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限10、点1,2P n ⎛⎫- ⎪⎝⎭为角α的终边与单位圆在第二象限的交点,则tan α= ( )A.B.C.D. 11、关于x 的函数()()tan f x x ϕ=+有以下几种说法:①对任意的(),f x ϕ都是非奇非偶函数;②不存在ϕ,使()f x 既是奇函数,又是偶函数;③存在ϕ,使()f x 是奇函数;④对任意的ϕ,()f x 都不是偶函数.其中一个假命题的序号是 ______.因为当ϕ=______时,该命题的结论不成立.12、函数()22tan tan 2f x x x =++的值域是________. 13、已知5sin 7m π=,那么52cos 4tan 477ππππ⎛⎫⎛⎫-⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________.14、已知()3,P y 是角α终边上一点,且tan α=则y =_____.15、函数3tan 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像的对称中心的坐标是__________。
高一数学必修4复习题
高一数学必修4复习题高一数学必修4一、选择题1．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．524π C ．4π D ．724π2．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．524π C. 4π D ．724π 3．将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的部分图像如图所示，若将()x f 图像上的所有点向右平移12π个单位得到函数()x g 的图象，则函数()x g 的单调递增区间为（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππC ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12,12ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--,12,127ππππ5．若函数3cos y x x=-的图象向右平移m （0m >）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．4π C. 23πD ．3π6．当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A φ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且图象关于直线2x π=对称 B ．偶函数且图象关于点()0π，对称C.奇函数且图象关于点02π⎛⎫⎪⎝⎭，对称D ．偶函数且图象关于点02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 7．已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则下列关于函数()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（ ）A ．()g x 在区间 123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1- B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3π个单位得到 C. ()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到8．三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3π C. 23π D ．34π9．函数cos 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，与函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合，则ϕ=（ ） A ．12π B ．6π C ．3πD ．512π 10．函数()sin(2)f x A x ϕ=+（2πϕ≤，0A >）部分图像如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()3f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数C ．()f x 在5(,)36ππ上是减函数D ．()f x 在5(,)36ππ上是增函数 11．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12．函数xx y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．12π=xB ．12π-=x C. 3π=x D ．6π-=x13．已知函数2()sin ()f x x ω=12-（0ω>）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（0a >），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．34πC ．2π D ．4π 14．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x=+-的最小值是（ ）A ．122-+．122+．1 D 2 15．设动直线x a=与函数2()2sin ()4f x x π=+和()32g x x=的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A 2B 3．2 D ．316．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（ ）A ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭17．函数()sin 31f x x x ωω=+的最小正周期为π，当[]x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m -的最小值为（ ）A ．12πB ．73πC ．6πD ．163π18．如图，某地一天从6:14时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x b ωϕ=++，则中午12点时最接近的温度为（ ）A ．26C ︒B ．27C ︒ C ．28C ︒D ．29C ︒ 19．已知()510sin ,ααβαβ=-=均为锐角， 则cos 2β=（ ）A ．3B ．1-C ．0D ．120．已知),0(πα∈,若31)4tan(=-απ,则=α2sin （ ） A ．-54 B ．54 C ．45- D ．45 21．已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（ ）A.43B.33C.33D.4322．已知1sin()63πα-=，则cos 2()3πα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的值是（ ） A ．79- B ．79 C ．13- D ．1323．已知tan 3θ=，则sin 21cos 2θθ=+（ ） A ．3 B ．3-3．324．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断① tan 1tan AB= ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin22=+B A④CB A 222sin cos cos=+其中正确的是（ ）(A)①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③25．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则角C 的大小为 ( )(A)30︒ (B)150︒ (C)30︒或150︒ ( D)90︒26．将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间（ ）A.()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B.()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， C.()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， D.()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 27．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=- 28．已知函数()sin x 3f x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为（ ）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-8066 二、解答题29．已知函数()2cos sin()3f x x x π=-23sin cos x x x++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()0f x m -=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有一实根，求m 的取值范围．30．已知函数()23sin 22cos f x x x a=--在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.（1）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设11016,0,,,221213235f f πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.31．已知函数()xx x x x f 44cos cos sin 2cos--=.（1）若x 是某三角形的一个内角，且()22-=x f ，求角x 的大小；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求()x f 的最小值及取得最小值时x 的集合.32．已知函数()21sin 23cos 2f x x x=⑴求()f x 的最小正周期和最小值；⑵将函数()f x 的图象上每一点横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()g x 的值域．33．已知函数()23)sin()sin 244f x x x x aππωωω=+-++（0ω>）的图象与直线y m =（0m >）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且()f x 的最大值为1．（2）将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数m 的取值范围．34．已知函数()4sin cos 4f x x x ωπω⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭在4x π=处取得最值，其中()0,2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移36π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若α为锐角，()23g α4=cos α.35．已知函数2()2sin cos()42f x x x π=--． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设(0)2πα∈，，且3()285f απ+=，求tan()4πα+．36．已知函数f(x)2cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R. (1)求f 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求f 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 37．已知函数Rx x x x x f ∈+=,cos sin cos )(2（1）求)6(πf 的值； （2）若53sin =α，且),2(ππα∈，求)242(πα+f .38．已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.39．已知函数()sin 2cos 2()f x a b x c x x R =++∈的图像过点(0,1),(,1)4A B π，且b >0，又()f x 的最大值为221.（1）将写成含的形式;（2）由函数y =()f x 图像经过平移是否能得到一个奇函数y =()g x 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．40．（本小题满分10分）3tan123︒- .41． 已知函数⎤⎡πππ。
数学 必修四 基础练 一-学生用卷
6.求函数 的最大值__________．
三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）
7.已知函数 ， ．
求函数 的单调区间；
若把 向右平移 个单位得到函数 ，求 在区间 上的最小值和最大值．
8.已知向量| |=2， =（- ， ）Fra bibliotek且 与 夹角为 ，
数学必修四基础练一
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1.若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ）
A. B. C.1D.
2.若cos（ -α）= ，则sin2α=（ ）
A. B. C.- D.-
3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ )的最小正周期为π，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )
A.关于点 对称B.关于点 对称
C.关于直线 对称D.关于直线 对称
4.设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A.f（x）的一个周期为-2π
B.y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C.f（x+π）的一个零点为x=
D.f（x）在（ ，π）单调递减
二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
（1）求| +2 |；
（2）若（ +k ）⊥（2 - ），求实数k的值．
高中数学 每日一题(6月12日-6月18日)新人教A版必修4(2021年整理)
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6月12日 三角函数（1）高考频度:★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆1．若()1πsin ππ32αα-=≤≤,且，则cos α的值为A ．22 B ．22- C ．42 D ．42- 2．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=A ．12B ．12- C ．3- D ．33．若角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()πsin cos πtan 2π2θθθ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭A ．43B ．43-C ．34D ．34-4．已知角α的终边上一点()(),30P m m -≠，且2cos mα=. （1）求m 的值； (2）求sin α和tan α的值.1．B 【解析】由题意知()1πsin π,π32αα-=≤≤，则222cos 1sin αα=-=,故选B 。
2．C 【解析】由于sin15cos75=，所以()()3sin15cos75cos1502f f ===-，故选C. 3． A 【解析】由题意知4tan 3θ=-．根据诱导公式得()()πsin cos πtan 2π2θθθ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭44cos cos tan tan 33θθθθ⎛⎫--=-=--= ⎪⎝⎭．故选A ． 4．【解析】（1）由题设知,3x m y ==则(2222||3r OP m ==+（O 为原点），23r m =+所以2cos 22m m r α===，2322r m =+=238m +=，解得5m =(2）当5m =时，10cos 4α=，6sin 4α=-，sin 15tan cos 5ααα==-；当5m =-时,10cos α=-，6sin 4α=-，sin 15tan cos ααα==。
人教版高中数学必修4(题库及答案)
高中数学必修4练习题高中数学练习题（必修4）第一部份 [三角函数] 练习题1、计算：()︒+︒-︒+︒-180cos 12270sin 80sin 390sin 6 解：原式=()()︒+︒+︒-⨯+︒-180cos 1290180sin 80390sin 6()11290sin 816-⨯+︒+⨯-=1012186-=-⨯+-=2、计算：23sin6cos 6sin 6tan 434tan2cos22ππππππ++-+- 解：原式=()2312321334310222-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⨯ 3、化简：ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+，其中α为第二象限角。
解：原=()()()()ααααααααααααcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1sin 1sin 1sin 1sin 122222222--+=--+=----+因为α为第二象限角，所以0cos <α，则原式=αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=-++-=4、已知m =⎪⎭⎫⎝⎛-απ6cos ()1≤m ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos ，⎪⎭⎫⎝⎛-απ32sin 解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ65cos =m -=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαππ6cos 6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ32sin =m =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+απαππ6cos 62sin 5、化简：()[]()[]()()θπθπθπθπ+--+++k k k k cos sin 1cos 1sin ，其中Z k ∈。
提示：分k 是奇数或偶数讨论。
即n k 2=，或12+=n k 。
答案：原式=-1。
6、已知：0cos 3sin =+αα，求ααcos ,sin 的值。
解：由已知条件得，ααcos 3sin -=，又1cos sin 22=+αα，所以()1cos cos 322=+-ααα，101cos 2=α，1010cos ±=α 由ααcos 3sin -=知，αsin 与αcos 异号，则角α属于第二或第四象限。
高一数学必修4练习题
高一数学必修4练习题高一数学必修4练习题数学是一门需要不断练习的学科，通过反复做题，我们可以更好地理解和掌握数学知识。
高一数学必修4是学生们接触到的第一个高中数学必修课程，其中的练习题对于我们的学习至关重要。
在这篇文章中，我将介绍一些高一数学必修4中的重要练习题，并对其解题思路进行讲解。
第一章：函数与方程在函数与方程这一章中，有许多重要的概念和定理，如函数的定义、函数的性质、函数的图像、一次函数、二次函数等。
对于这些知识点，我们需要通过大量的练习来巩固和运用。
1. 解一元一次方程：解一元一次方程是数学中最基础的运算之一。
通过解方程，我们可以求出未知数的值。
在这一部分的练习题中，我们需要注意将方程进行变形，使得未知数的系数为1，然后通过逆运算将方程两边的式子化简，最终得出未知数的值。
2. 解一元二次方程：解一元二次方程是高中数学中比较复杂的运算之一。
在这一部分的练习题中，我们需要掌握用配方法、因式分解法和求根公式等方法来解方程。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据题目的要求选择合适的解法。
第二章：图形的性质图形的性质是数学中的一个重要内容，通过研究图形的性质，我们可以更好地理解和运用几何知识。
1. 平面直角坐标系：平面直角坐标系是我们研究图形的基础工具。
在这一部分的练习题中，我们需要掌握如何在平面直角坐标系中表示点的坐标、如何计算两点之间的距离以及如何判断点是否在图形上等。
2. 直线与圆的性质：直线和圆是我们研究图形的重要对象。
在这一部分的练习题中，我们需要掌握直线的斜率、直线的方程以及圆的方程等知识。
通过运用这些知识，我们可以求出直线与直线、直线与圆、圆与圆之间的位置关系。
第三章：三角函数三角函数是高中数学中的一个重要内容，它是研究三角形的一种工具。
通过研究三角函数，我们可以计算三角形的各种性质。
1. 正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要定理。
在这一部分的练习题中，我们需要掌握如何根据已知条件运用正弦定理和余弦定理求解三角形的边长和角度。
高一数学必修4练习题
高一数学必修4练习题一、三角函数1. 判断下列函数的奇偶性：(1) y = sin(x)(2) y = cos(x + π)(3) y = tan(2x)2. 求下列函数的定义域：(1) y = arcsin(x 1)(2) y = arccos(2x^2 3)3. 化简下列表达式：(1) sin^2(x) + cos^2(x)(2) tan(x) cot(x)(3) sin(x + π/2) cos(x π/2)二、三角恒等变换1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) sin^2(x) + cos^2(x)(2) 1 2sin^2(x)(3) tan^2(x) + 12. 求证下列等式：(1) sin(α + β)sin(α β) = sin^2(α) sin^2(β)(2) cos(α + β)cos(α β) = cos^2(α) sin^2(β)三、解三角形1. 在△ABC中，已知a=5，b=8，A=45°，求B的度数及边c的长度。
2. 在△AB C中，已知b=10，c=12，B=60°，求A的度数及边a的长度。
3. 在△ABC中，已知a=6，b=8，C=120°，求A、B的度数。
四、平面向量1. 已知向量a=(2,3)，求向量a的模长。
2. 已知向量a=(4,3)，求向量a的单位向量。
3. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a与向量b的夹角。
五、复数1. 写出下列复数的代数形式：(1) 2(cosπ/3 + isinπ/3)(2) 3e^(iπ/4)2. 求下列复数的模：(1) 1 + i(2) 3 4i3. 已知复数z满足|z 1| = |z + 1|，求复数z在复平面上的几何位置。
六、空间几何与立体几何1. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3)到原点的距离是多少？2. 给定平面方程3x 4y + z = 7，求该平面上的一个单位法向量。
新人教A版高中数学必修四全册同步课时练习(附答案)
新人教A 版高中数学必修四全册课时练习任意角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .] 2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( ) A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.] 4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960° [40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°－147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解](1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{γ|k ·360°＋45°＜γ＜k ·360°＋55°，k ∈Z } .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.]弧度制(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．] 2.29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ， 故合在一起即为{α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1(cm)，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．把角－274π用角度制表示为________．－1 215° [－274π＝－274×180°＝－1 215°.]7．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． π5，π3，7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．2 3 [设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则32a ×13＝r ，则r ＝36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：ar＝a36a ＝63＝2 3.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[能力提升练]1．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )D [∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．]2．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________．[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]任意角的三角函数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33C [sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，r ＝12＋（－3）2＝2，∴sin α＝－32.] 3．已知角α的终边在函数y ＝－|x |的图象上，则cos α的值为( ) A ．22B ．－22C ．22或－22D ．12C [由y ＝－|x |的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－22；当α终边落在第四象限时，cos α＝22.] 4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC [∵θ是第二象限角，则θ2一定是第一或第三象限角，这时tan θ2一定为正值，故选C.]5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点(1，0)在x 轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝2π3的终边上，∵OQ ＝1，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝ ．－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第 象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝ ．－8 [因为|OP |＝x 2＋（－6）2＝x 2＋36， 所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[能力提升练]1．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[]2k π，2k π＋π，k ∈ZB [由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝ ．35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝（－3cos θ）2＋（4cos θ）2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为 ．{－2，0，2} [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，即角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2，0，2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.三角函数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在D [终边在y 轴上的角的正切线不存在，故A ，C 错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B 错，因此选D .]2．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上， 又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x ≤π4.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为 ．AT>MP>OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．利用三角函数线写出满足tan x ＜3且x ∈(0，2π)的x 的取值范围为 ． ⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3 [由tanx ＜3得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，又∵x ∈(0，2π)， ∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3.]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．[解] 画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6≤θ＜2k π＋π3或2k π＋2π3＜α≤2k π＋7π6，k ∈Z . 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2. [解] (1)∵要使函数f (x )有意义，∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0， 故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2或x ＝（2k ＋1）π，k ∈Z .(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，9－x 2≥0. 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．[能力提升练]1．在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]同角三角函数的基本关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.]3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [sin α＋cos α＝23得1＋2sin αcos α＝49，所以sin αcos α＝－518＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13B [因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又因为0＜θ＜π4，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B .]二、填空题 6．化简11＋tan 220°的结果是 ．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝ ．0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，∴sin α－cos α＝0.]8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝ ． 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．[解] (1)原式＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1， 即4tan 2α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.[能力提升练]1.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]2．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝ ．±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]三角函数的诱导公式（1）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－1 B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．若P (－4，3)是角α终边上一点，则cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）的值为________． －53 [由条件可知sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34， ∴cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53.] 7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝________．－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．[解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.10．已知f (α)＝sin （π＋α）cos （2π－α）tan （－α）tan （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝－sin αcos α（－tan α）（－tan α）sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[能力提升练]1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]三角函数的诱导公式（2）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0， ∴θ为第二象限角．]2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13 B ．13 C ．223 D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin （θ－5π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin （－θ－4π）＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin （θ－π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos （－θ）cos θsin （－θ）＝（－sin θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.]二、填空题6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝________． 35 [∵角α的终边经过点P (3，4)，∴sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35.]7．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________．－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________．－425 [由f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ.又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝－425.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α） ＝cos αtan α－sin α（－cos α）＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－（sin θ＋cos θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ） ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan ·（8π＋π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan （π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以左边＝右边， 所以等式成立．[能力提升练]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]2．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3的值为________．－12 [f (α)＝（－sin α）·（－cos α）（－cos α）·（－tan α）＝sin αcos αsin α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－π3＝－cos π3＝－12.]正弦函数余弦函数的图像(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2，2π可得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象D [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．]4.如图是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]C [根据图象上特殊点进行验证，可知C 正确．]5．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．3π4C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．]二、填空题6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)．]7．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数是________．2 [在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z [由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z .] 三、解答题9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解] 列表：10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解] 观察图形可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4. 因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.[能力提升练]1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1C ．[2，4]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log 2x ≤1，解得0≤log 2x ≤2，即1≤x ≤4.]2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．]3．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，2π)与y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，sin x >cos x ．]4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0， 当x ∈[0，2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.]5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1，3)．正弦余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [函数y ＝x 为奇函数且y ＝sin x 也是奇函数，故f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R 是奇函数．] 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )A B C DD [y ＝cos x 为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴y ＝－x cos x 为奇函数，排除A 、C ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时cos x ＞0，x ＞0，∴y ＜0，故排除B ，选D.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．(k π，0)(k ∈Z ) [∵y ＝sin x 是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2k π，结合正弦曲线可知，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.[能力提升练]1．函数f (x )＝sin x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数A [首先1＋cos x ≠0，即x ≠2k π＋π(k ∈Z )，定义域关于原点对称，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝1＋cos x 是偶函数，所以f (x )＝sin x1＋cos x是奇函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．32 B ．－32C ．0D ． 3 D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cosx 是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x≤π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于________．22 [因为函数f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，又∵3π4∈(0，π]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝sin 3π4＝22.]5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .正弦余弦函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函。
【精品练】新课标高中数学必做100题(必修4)
【精品练】高中数学必做100题—回归必修 4时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修4》共精选15题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修4》精选） 1. 已知角?的终边经过P (4,?3).（1）求2sin ?－cos ?的值； （2）求角?的终边与单位圆的交点P 的坐标. 2. 已知1sin()2πα+=-，计算： （◎P 29 B2） （1）sin(5)πα-； （2）sin()2πα+； （3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-. 3. 求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间. （◎P 44 例2）4. 已知tan α＝13-，计算： （◎P 71 4）（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-； （2）212sin cos cos ααα+.5. 画函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 简图，并说明此函数图象怎样由sin y x =变换而来. （☆P 15例1）6. 某正弦交流电的电压v （单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是 （◎P 58 4改编）),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压v 的周期、频率、振幅； （2）当1600t =，160时，求瞬时电压v ；（3）将此电压v 加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光. 1.4）7. 平面上三个力1F 、2F 、3F 作用于一点且处于平衡状态，1||1F N =，26||F N +=，1F 与2F 的夹角为45︒，求：（1）3F 的大小； （2）3F 与1F 夹角的大小. （◎P 113 4）8. 已知4,3a b ==，(23)(2)61a b a b -+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）若(1,2)c =，且a c ⊥，试求a .9. 已知1tan 7α=，1tan 3β=，求tan(2)αβ+的值. （◎P 138 17） 10. 已知3cos()45πα-=，512sin()413πβ+=-，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求sin()αβ+的值.（◎P 146 2）11. （1）已知1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，求tan tan αβ的值； （◎P 146 7）（2）已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，求cos()αβ-的值. （◎P 147 B2）12. 已知函数22(sin cos )2cos y x x x =++. （◎P 147 9）（1）求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.13. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （◎P 147 10） （1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合.14. 已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x a ππ=++-++的最大值为1. （◎P 147 12） （1）求常数a 的值； （2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合.15. 已知33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-，且[0,]2x π∈.（1）求 a b 及a b +； （2）求函数()sin f x a b a b x =-+的最小值.答案班级： 姓名：（说明：《必修4》部分共精选8题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.必修4》精选）1. 已知角?的终边经过P (4,?3).（1）求2sin ?－cos ?的值； （2）求角?的终边与单位圆的交点P 的坐标. 解：（1）∵ 5r ==， 。
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1.(2016贵州遵义航天中学期末,★☆☆)函数f(x)=tan,x∈R的最小正周期为()
A. B.π C.2π D.4π
2.(2016安徽巢湖期末,★☆☆)函数y=tan的定义域为________.
3.(2016浙江温州期末,★★☆)已知函数f(x)=2tan(ωx+φ)的最小正周期为,且f=-2,则
ω=________,φ=________.
4.(2016江西南昌莲塘一中期末,★★☆)下列说法正确的序号是________.
(1)第一象限角是锐角; (2)函数y=lo(x2+2x-3)的单调增区间为(-∞,-3);
(3)函数f(x)=|cos x|是最小正周期为2π的偶函数; (4)方程x=tan x,x∈只有一个解为x=0.
5.(2015山东,3,5分,★☆☆)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
平移只是对x而言,4x-=4,故向右平移个单位.
6.(2016课标全国Ⅰ,6,5分,★★☆)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为()
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
首先根据周期公式T=求得函数y=2sin的周期,然后再根据“左加右减”的平移规则判断.
7.(2016北京,7,5分,★★☆)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则()
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
根据左、右平移变换纵坐标不变的原则,可以先求得点P'的横坐标,进而根据“左加右减”的平移规则求得左、右平移变换的最小单位数.
8.(2014重庆,13,5分,★★☆)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=________.
9.(2012课标全国,9,5分,★☆☆)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()
A. B. C. D.
对称轴与周期有着必然的联系.
10.(2013四川,5,5分,★★☆)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的
值分别是()
A.2,-
B.2,-
C.4,-
D.4,
1答案：C解析：由正弦函数的周期公式,得函数f(x)=tan,x∈R的最小正周期T==2π,故选C.
2答案：解析：由题意得2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+π,k∈Z.
故函数y=tan的定义域为.
3答案：2;-解析：由题意知,=,∴ω=2;又f=-2,即2tan=-2,∴2tan φ=-2,即tan φ=-1,又|φ|<,∴φ=-. 4答案：(2)(4)解析：第一象限角为,不一定是锐角,故(1)错;在区间(-∞,-3)上,函数f(x)=x2+2x-3>0且单调递减,由复合函数的单调性可知y=lo(x2+2x-3)在(-∞,-3)上为递增函数,故(2)正确;函数f(x)=cos x的最小正周期为2π,所以f(x)=|cos x|的最小正周期为π,故(3)错;x∈时,恒有tan x>x,即此时tan x=x无解,由于两函数关于原点中心对称,
所以在x∈时方程也无解,所以方程x=tan x,x∈只有唯一解为x=0.故(4)正确.
5答案：B
解析：由y=sin=sin4知,只需将y=sin 4x的图象向右平移个单位即可.
6答案：D
解析：该函数的周期为π,将其图象向右平移个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选
D.
7答案：A
解析：由题意,得t=sin=.则P'的纵坐标也是.将y=代入y=sin 2x中,得x=+kπ或x=+kπ(k∈Z),此为P'的横坐标,则在x=+kπ(k∈Z)中,当k=0时, P'横坐标为x=,此时S取得最小值为-=.故选A.
8答案：
解析：y=sin x y=sin y=sin,
即f(x)=sin,∴f=sin=sin=.
9答案：A
解析：由题意得=2,∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ),∴+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A. 10答案：A
解析：由题中图象可知T=-⇒T=⇒T=π,则ω===2.
又图象过点,
故f=2⇒2sin=2⇒sin=1.
∵-<φ<,∴<φ+<,
∴+φ=,∴φ=-.故选A.。