第3章_基于虚位移原理的变分法(1)
变分法简介
xB
L
xA
1
dy dx
2
dx
y=y(x)不同，曲线的长度就会不同，也就是说L是曲线y=y(x)的 函数，这就是泛函。
下面不加证明的给出泛函问题的一些定义:
一、泛函 其值由一个或几个函数确定的函数称为泛函。简单记： 泛函-函数的函数。 对前述例题，记为:
xB
L y x
建立控制方程；然后结合具体的定解条件(边界条件和初始条件)求 解控制方程。显然，问题的物理实质不同，控制方程和定解条件也 就不同。然而，它们可被一般地表示为(图2．2)
A1 u
A
u
A2
u
0
M
B1 u
B
u
B2
u
0
M
结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领 域。 前面以弹性力学平面问题为例，阐释了有限单元法的 基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏系统性和深刻 性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述 有限单元法的基本原理，
内容包括： (1)介绍定解问题的微分方程提法； (2)根据微分方程的等效积分形式，推导虚位移原理及势能变
其中，C，D，E，F是微分算子。通常上式称为微分方程的弱形式(weakform)， 相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。
由于分部积分的缘故，场函数u的导数的阶次在弱形式中比在等效积分形 式中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续性。当然，
降低对u的连续性要求是以提高 v和 v的连续性要求为代价的。不过，由 于原来对 v和 并v 无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。
1[1].广义变分原理及其应用1.
![1[1].广义变分原理及其应用1.](https://img.taocdn.com/s3/m/28266f2fb4daa58da0114a00.png)
教材上介绍了从余能原理得到海林格-赖斯 纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按 思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。
2) 增广格式——高阶拉氏乘子法（钱伟长） 基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构 造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到 新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。 请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建 立的泛函是三变量的无条件泛函。 3) 等价格式——龙驭球格式 基本思路是，用自然条件构造正定二次型， 按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 16
从而建立了含可选参数的广义变分原理。
1.3.2 变分原理间的相互关系
最基本的是结构力学中介绍的虚功原理， 它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要 求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程 成立。 虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移 是任意的，条件的改变导致结论的改变，由 此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等 价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV -∫VFbiuidV- ∫SζFsiuidS
中ui 是泛函变量，其他是增广变量。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10
2) 泛函所满足的条件 泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为 泛函的强制条件。
在余能泛函中ζij 所需满足的平衡条件（内部 和边界）即为强制条件。 VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS 在势能泛函中ui 所满足的协调条件即为强制 条件。
V：δζij ,j =0 Sζ ：δζijnj=0 需证明的是：∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。
虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。
1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。
这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。
2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。
定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。
这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。
3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。
这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。
4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。
这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。
此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。
在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。
总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。
通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。
虚位移法的原理与应用
虚位移法的原理与应用1. 简介虚位移法（Virtual Displacement Method）是一种经典的结构力学分析方法。
它基于平衡原理和位移相容性原理，用虚位移原理来求解结构受力和变形问题。
本文将介绍虚位移法的原理以及其在实际工程中的应用。
2. 虚位移法的原理虚位移法的基本思想是，一个静力学问题可以通过最小化系统总势能来得到结构的相应。
虚位移法假设结构的位移场可以通过一个虚位移函数来表达，在满足边界条件的情况下，构建系统的虚功原理，可以得到结构的平衡方程。
具体来说，虚位移法的原理包括以下几个步骤：2.1 建立虚位移函数首先，建立一个虚位移函数，其满足边界条件以及位移相容性。
虚位移函数通常是一个多项式或三角函数形式。
2.2 计算系统总势能利用虚位移函数和受力情况，计算系统的总势能，可以通过对虚功原理的应用来得到。
2.3 最小化总势能将系统总势能对虚位移函数的系数进行变分，并令其为0，得到一组代数方程。
解这组方程可以得到结构的平衡方程。
2.4 求解结构响应由平衡方程，可以求解结构的受力分布和位移场分布。
3. 虚位移法的应用虚位移法广泛应用于各种结构的力学分析和设计中。
以下列举了一些虚位移法的应用领域：3.1 静力学分析虚位移法可以用于求解各种静力学问题，如梁、柱、桁架等结构的受力分析。
通过建立适当的虚位移函数，可以得到结构的内力分布和位移场。
3.2 动力学分析虚位移法也可以扩展到动力学分析中。
通过将虚位移函数与时间相关联，并结合动力学方程，可以求解结构的动态响应。
3.3 结构优化设计虚位移法可以用于结构的优化设计。
通过变分原理和虚功原理，可以最小化系统总势能，得到最优的结构形状和尺寸。
3.4 轴对称问题对于轴对称问题，虚位移法是一种非常有效的分析方法。
通过在径向和周向方向上引入合适的虚位移函数，可以求解轴对称结构的受力和位移问题。
4. 总结虚位移法是一种基于虚功原理的结构力学分析方法。
通过建立虚位移函数和最小化系统总势能，可以得到结构的平衡方程和响应。
虚位移原理
31
MA XA A
YA
Mq
E B
δyE
δyB
l
l
P1 α C
P2
δyD
D
l
l
⑶ 给 ，而令δxA 、δyA=0， 则δyE = l , δyB=2l ，
∵δyC = 0， 2 ∴δyD =l= 2l ，
虚功方程为
－MA－M +2qlδyE +P1sinαyB－ P2δyD＝0
非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。
不稳定约束 如 f (x , y , z ，t )=0
在任意瞬时t，其约束方程为
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
6
⒊双面约束和单面约束
双面约束 ------如果约束不仅限制质点在某一 方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动， 称之为双面约束，或固执约束
l
l
29
δyA =0！ AB不能有转动
A=0！ A不能有竖直向位移
q
AM Ell源自P1 αBC
l
P2
D l
MA
q
XA
A
E
YA δxA M
解:将固定端约束解除
P1
α
B
C
δxB
P2 D
δxD
⑴给δxA ，而令δyA =0 、 A=0，
则：δxB =δxA
虚功方程为 XAδxA－P1cosαδxA＝0
(XA－Plcosα)δxA＝0 ∴XA ＝ P1cosα ＝ 3.46 (kN)
C
M A
DP a
虚位移原理
FA
rA l cos rB l sin
(FAl cos FBl sin) 0
rA
0 (FAl cos FBl sin) 0
则 : FA tan
0
FB
2.解析法 FAyA FBxB 0
rB
FB x
xB l cos xB l sin
（2）虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条 件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
n
δ w Fi δ ri 0
—几何法
i 1
n
δ w (Fxi δ xi Fyi δ yi Fzi δ zi ) 0 —解析式
用解析法：建立图示坐标系 （座标原点：固定点A），系
统的虚功方程为：
k2l(sin sin0 )xO1 k2l(sin sin0 )xO2 k2l(sin sin0 )xO2 k2l(sin sin0 )xH PxH 0
k2l(sin sin0 )xO1 k2l(sin sin0 )xO2 k2l(sin sin0 )xO2 k2l(sin sin0 )xH PxH 0
其中：
xO1
xO2
l sin 3l sin
xH
5l sin
xxOO12
l cos 3l cos
xH 5l cos
k2l(sin sin0 )[l cos 5l cos ] P5l cos 0
i 1
证明： •必要性 命题：如质点系平衡，则上式成立。
Fi FNi 0
变分法基本原理范文
变分法基本原理范文变分法是一种数学方法，用于求解变分问题。
它是分析力学、泛函分析、控制论和最优化等领域中的基本工具之一、变分法的基本原理是根据给定的泛函，通过对其进行适当的变分，即对泛函的自变量进行微小的变化，在满足边界条件的前提下，寻找使得泛函取得极值的解。
这篇文章将介绍变分法的基本原理和应用。
在数学和物理中，泛函是函数的集合，其中自变量是函数。
泛函可以被视为一个函数空间中的点，它将函数映射为实数。
变分问题是在给定的约束条件下，寻找使得一些泛函取得极值的函数。
这个极值函数被称为变分问题的解。
变分法的基本思想是将泛函中的函数替换为具有相同边界条件的变分函数，并对这个变分函数进行微小的变化。
然后，通过求解变分函数的变分，来确定使得泛函取得极值的函数。
为了更好地理解变分法的基本原理，我们将通过一个简单的例子进行说明。
假设我们要求解下面的变分问题：\[ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') dx \]这里，$y$是未知的函数，$y'$是$y$的导数，$x_1$和$x_2$是给定的边界点。
我们的目标是找到函数$y(x)$，使得泛函$J[y]$取得极值。
首先，我们引入一个变分函数$y(x) + \epsilon \eta(x)$，其中$\epsilon$是一个小的实数，$\eta(x)$是任意的可微函数，并满足边界条件$\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$。
然后，我们将变分函数代入原始的泛函中：\[ J[y + \epsilon \eta] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y + \epsilon \eta, y' + \epsilon \eta') dx \]在这里，$\eta'(x)$是$\eta(x)$的导数。
然后，我们对上述表达式关于$\epsilon$进行泰勒展开：\[ J[y + \epsilon \eta] = J[y] + \epsilon\frac{dJ[y]}{d\epsilon} + O(\epsilon^2) \]我们希望找到使得泛函取得极值的函数，因此可以令$\frac{dJ[y]}{d\epsilon}$等于零，即：\[ \frac{dJ[y + \epsilon \eta]}{d\epsilon} = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} \eta + \frac{\partialF}{\partial y'} \eta' \right) dx = 0 \]这里，我们利用了对泛函的导数与边界条件的关系$\frac{dJ[y]}{d\epsilon} = \frac{dJ[y+\epsilon\eta]}{d\epsilon}$。
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
变分法
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。 再以最简单的轴向受压的杆件为例， 总势能包括外力势能和弹性体的变形势 能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 参数，随位移增大，弹性体的应变能增 大，而外力势能减小，其变化曲线如图 所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x
15
使用最小势能原理的解题方法： 直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的 待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的， 相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实 位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
ui 0
0 ain
19
迦辽金法 (Galerkin)
基本思路： 寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这 些容许函数的组合构造一个试函数 。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可 以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
最小势能原理������ ������ 在给定的外力作用下，满 足位移边界条件的各组位移中， 实际存在的位移，应使系统的总 势能成为驻值。当系统处于稳定 衡时，总势能取极小值，通常也 为最小值。
量子化学_变分法
nn
nn
w cjcksjk cjckH jk
j1 k 1
j1 k 1
因为变分积分是n个独立参数所决定的，可看作为 W=W（C1，C2，…，Cn）
w
ci
n j 1
n
C jCk S jk
k 1
W
ci
n j 1
n
C jCk S jk
k 1
ci
nn
C jCk H jk
j1 k 1
w
0
ci
求：
h2
0 8 2 I
8 2 I
h2
8I
2
S11 0 d 2
2
S13 0 sin d 0
2
S12 0 (1 cos)d 0
S21 S12
S31 S13 0
S22
2 cos2 d
0
2
S32 0 cossin d 0
2
S23 0 sin cosd 0
S33
[
Hˆ
]
c
(24c2
64c
128)(86c 8) (43c2 8c (24c264c 128)2
80)(48c
64)
0
23C2 + 56C – 48 = 0
C1 = -3.107， C2 = 0.6718 得C1代入约2.2380 hv， C2代入约0.5172 hv，即变分积分值为 0.5172 hv，
H11
2 0
f1*Hˆ f1d
2 0
(
h2
8 2
I
d2
d 2
cos )dຫໍສະໝຸດ 0H12 2 0
f1*Hˆf 2d
2 0
分析力学1—虚位移原理
y
A( xA , y A )
l
因为 xB l cos
作变分运算
y A l sin
O
x B
x
B( xB , yB )
xB l sin y A l cos
所以
xB tg y A
比较以上两种方法，可以发现，几何法直观， 且较为简便，而解析法比较规范。
l
rC C
Q
x
PrA QrC 0
rC a
B
式中
re l rA 2 cos cos
P
故有 P
l Qa 0 2 cos
由于 ，于是得 0
l Q P 2 a cos
二、求系统的平衡位置 例3 图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重W的重 物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为k， 其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。
B
b
D a A
b W E
a C
解：以系统为研究对象，建立如 图的坐标。
y
B
系统受力有主动力W ，以及 非理想约束的弹性力 F 和F ，将
其视为主动力。其弹性力的大小 为
W D E x F F A C
F k k (2b cos l )
主动力作用点的坐标及其变分为
y
B( xB , yB ) vB r
O
yB r
x
为几何约束方程。
xB r 0 为运动约束方程。
运动约束方程的一般形式为
C
f j ( x1, y1, z1, , xn , yn , zn ; x1, y1, z1, , xn , yn , zn ; t ) 0
虚位移原理与力学的变分原理
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
WR Ri ri 0，i为质点数
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
§1.2 虚功原理
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参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
第3章_基于虚位移原理的变分法(1)
在前述有限元的直接刚度法里，我们采用材料力学中的 叠加原理来求解直梁和刚架的单元刚度矩阵。但对于复 杂的二维平面甚至三维立体的力学问题，就无法采用直 接刚度法来求解单元刚度矩阵，此时我们可以采用基于 虚位移原理的变分法。
2、基本概念
2.1 虚位移原理（虚功原理）
在材料力学中，虚功原理表述为：在虚位移中，外力所 做虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功（虚应变 能）。
单元节点力列阵 Pe [qimiqjmj ]T
位移函数 v( x) N e eT N T
其变分为 δv( x) δ eT N T
将以上两式代入
δ eT P e
d2 (δv) d2v l dx2 EI dx2 dx
得到 δ eTPe δ eT N TEIN edx l δ eTPe δ eT N T EIN dx e l Pe N TEIN dx e l
将上式与 P e [K相]e比 e较，得到单元刚度矩阵的表达式。
[K ]e N TEIN dx l
3.4 通过积分计算单元刚度矩阵
[K ]e
N TEIN dx EI
l
[
l
N1N
2N
3N
4]T[
N
1N
2N
3N
4]dx
l( N1)2 dx
[K ]e
EI
l N 2N1dx
l N 3N1dx l N4N1dx
在挠曲线各点上产生相应的虚位移 δ和v(虚x)转角 δ（ (即x)虚
功原理中的虚变形）。根据虚功原理得到以下方程式。
qiδfi miδi q jδf j m jδ j
M( x)d(δ )
l
qiδfi miδi q jδf j m jδ j
变分原理-第3章
6 个应变分量 在弹性力学中共有三类 15 个待求的函数—3 个位移分量 u i ，
eij ，6 个应力分量 σ ij 。
令物体所占空间为 V，V 的边界为 S，边界 S = S u + S p ，在 S u 上给定位移， 在 S p 上给定外力。在 V 中给定体积力 Fi 。 弹性力学的方程很多，其中直接从某一客观规律导出的方程称为基本方 程。弹性力学的客观规律有三条，因此相应的基本方程也有三类。 1、 连续条件—包括几何方程和位移边界条件
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（ 在 V 域 内 ）
（1）
ui − u i = 0
（在 S u 边界上）
2、 应力应变关系—又称本构方程，通常有两种表示法
∂A = σ ij ∂eij
或
∂B = eij ∂σ ij
（ 在 V 域 内 ）
（2） 3、 平衡方程—包括 V 内的平衡方程和力的边界条件
Sp Su
(
)
[(
)
]
（10）
δu i , δλi 在 S u 上， δu i 在 S p 上都是独立的， 令 δΠ * = 0 , 得 由于 δeij , δu i , δλij 在 V 内，
∂A + λij = 0 ∂eij
（在 V 域内）
（11）
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（10）
σ ij , j + Fi = 0
λi − u i = 0
（11） （12）
σ ij n j − p i = 0 η i + λi = 0
将上面各式与式（1） （2 ） （4 ） （5）对比，很容易确定
3.变分法与Hamilton原理(中科大) 哈密顿原理
第3章变分法与H AMILTON原理一、泛函与变分1.泛函普通函数是从数到数的映射()泛函是普通函数概念的推广，自变量可以为任意集合，集合数学物理中常见的泛函自变量常取为函数，[]。
例()是函数；[]()是泛函，并且有[][][]例[]∫ ( ) ，则()[]()[]例[]∫{()}泛函可类比于多变量函数，(){}[] { ()| 的定义域}这里的()相当于前面多变量函数的自变量，；泛函[]是以不可数无穷多个变量()()作为自变量的函数。
例复合函数可以看成是一族泛函，()[] ( ̇()) ( ())，其中是参数。
2.泛函的连续性对于泛函[]，给定函数()，如果能够满足1 / 34，当|()()||()()|| ( )()( )()|时，有|[][]|则称泛函[]在处阶接近的连续。
3.变分泛函可类比于多变量函数，多变量函数()，自变量的微分为；泛函 [ ]的自变量为{ ()| 定义域}，自变量的变分()() ( )，即函数的无穷小改变。
小参量法的定义为()()，其中为任意无穷小量，()为任意连续有界函数。
类似于数学分析中的-语言，这是严格的数学定义。
下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
函数的微分()()()泛函的变分[][][]例[]()[]()()()()例位移⃗[]⃗(()())，虚位移⃗⃗(()())⃗(())⃗()。
例[]∫()()，（变分与积分可交换在后面证明）[][][]∫()()()()∫()()∫{()()()()}4.L AGRANGE变分基本引理2 / 34设()在区间[]上连续，()及其2阶导数在[]上连续，且在端点处() ()。
如果任意这样的函数()均满足∫()()，则必有[]()。
用反证法很容易证明：反设()()，不妨设()。
由于()连续，存在点的邻域[][]，在[]上()。
现在构造()为(){[] ( ())( ())[]则∫()()∫()()∫()与∫()()矛盾，所以()()。
弹性力学的变分原理 ppt课件
ilil
σ u il,iul ilul,i il,iul ilil σu σ :ε
V f udv σ udv
V
V
σ f udv σ :εdv σ :εdv
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
即几何连续条件
即平衡条件 它们构成弹性力学问题的解。
二、容许位移、容许应变
比较
只对应于一个连续的位移场，但不一定 对应于一个平衡的应力状态，即与 对应的 应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对 应一个平衡的应力状态。
容许位移和应变不一定是真实的位移和应 变。但反之，真实的位移和应变必然是容许 的。
一般情况下，泛函具有如下形式：
二、函数的微分 与变分
1、自变量的微分dx 2、函数的微分-因变量增量 3、函数的变分-与微分对应，仍为函数
注意到：
与(*)式比较，可见： 即：
结论：导数的变分等于变分的导数，或变分
记号与求导记号可以互换。
三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增 量可以写成
1 2
ij
ui, j
ui, j
1 2
ijui, j
ijui, j
1 2
ijui, j ijui, j
iju j,i
1 2
ij
ui, j
u j,i
ijij
V f udv t uds f udv n σ uds
弹簧
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12EI
l3 6EI
k e
l2
12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2 12EI
l3
6EI l2
6EI
l2 2EI
l
6EI l2 4EI
l
这与第二章直接刚度法通过材料力学叠加原理得到的 单元刚度矩阵完全相同。
4、两点说明
l N1N 2dx l( N 2)2 dx l N 3N 2dx l N4N 2dx
l N1N 3dx l N 2N 3dx l( N 3)2 dx l N4N 3dx
l
N
1N
4dx
l
N
2N
4dx
l l
N 3N4dx ( N4)2 dx
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N1
6 l2
x
6 l3
x2
x
3
j
写成矩阵形式 v( x) [N1N2N3N 4][ fii f j j]T
式中
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N4
1 l
x2
1 l2
x3
上述位移函数可进一步缩写成 v( x) N e
式中N [ N1 N 2；N 3 N 4] e [ fii f j j]T
在挠曲线各点上产生相应的虚位移 δ和v(虚x)转角 δ（ (即x)虚
功原理中的虚变形）。根据虚功原理得到以下方程式。
qiδfi miδi q jδf j m jδ j
M( x)d(δ )
l
qiδfi miδi q jδf j m jδ j
M( x)d(δ )
l
由挠曲线的近似微分方程，弯矩可写成
v(0) i v(l ) j
根据材料力学可知，截面转角和挠度之间的关系是 ( x) v。( x)
将上述v(x)的表达式（位移函数）代入四个边界条件得到如下 四个方程式。
a0 fi
a1 i
a0 a1l a2l 2 a3l 3 f j
a1 2a2l 3a3l 2 j
a0 fi
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N 2
1
4 l
x
3 l2
x2
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N 3
6 l2
x
6 l3
x2
N4
1 l
x2
1 l2
x3
N 4
2 l
x
3 l2
x2
N1
6 l2
12 l3
x
N2
4 l
6 l2
x
N 3
6 l2
12 l3
x
N4
2 l
6 l2
x
代入所有的 N（i i = 1, 2, 3, 4)，通过积分计算得到如下单元 刚度矩阵。
x
3 l2
x2
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N 3
6 l2
x
6 l3
x2
N4
1 l
x2
1 l2
x3
N 4
2 l
x
3 l2
x2
3.3 用虚位移原理求单元刚度矩阵
在平衡状态下，梁单元有挠曲线v(x)，其节点位移分别为fi、θi 、fj、θj 。给该单元的节点任意虚位移δfi 、 、δ、i δf j ，δ由 j此
3.2 形状函数
上式中的Ni（i = 1, 2, 3, 4)叫做形状函数，有时简称为形函数。 在梁单元中,它表示一个两端固定的梁只产生一个单位位移时 梁弯曲成的形状（如下图所示）。其性质将在下一章讲解。
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N1
6 l2
x
6 l3
x2
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N 2
1
4 l
将上式与 P e [K相]e比 e较，得到单元刚度矩阵的表达式。
[K ]e N TEIN dx l
3.4 通过积分计算单元刚度矩阵
[K ]e
N TEIN dx EI
l
[
l
N1N
2N
3N
4]T[
N
1N
2N
3N
4]dx
l( N1)2 dx
[K ]e
EI
l N 2N1dx
l N 3N1dx l N4N1dx
M(x)
EI
d2v dx 2
d
d
dx
dx
d dx
dv dx
dx
d2v dx 2
dx
因为虚位移具有和实位移相同的性质， 因此以上方程也适用于虚位移。故
d( δ
)
d2 (δv) dx 2
dx
上述虚功原理方程式变为
δ eT P e
d2 (δv) d2v l dx2 EI dx2 dx
式中单元节点虚位移列阵 δ e [δfiδiδf jδ j ]T
2.1 虚位移原理（虚功原理）
在材料力学中，虚功原理 表述为：在虚位移中，外 力所做虚功等于内力在相 应的虚变形上所做的虚功 （虚应变能）。
2.2 虚位移和变分
在材料力学中，我们规定实位移是v，对应的虚位移就 是v*。但严格来讲，虚位移应该用变分符号表示为δv。变 分与微分有相似的地方，都具有无限小变化的意思。但严 格来讲，二者是两个完全不同的数学概念。
1、背景
在前述有限元的直接刚度法里，我们采用材料力学中的 叠加原理来求解直梁和刚架的单元刚度矩阵。但对于复 杂的二维平面甚至三维立体的力学问题，就无法采用直 接刚度法来求解单元刚度矩阵，此时我们可以采用基于 虚位移原理的变分法。
2、基本概念
2.1 虚位移原理（虚功原理）
在材料力学中，虚功原理表述为：在虚位移中，外力所 做虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功（虚应变 能）。
解得
a1 a2
i
3 l2
fi
2 l
i
3 l2
f
j
1
l
j
a3
2 l3
fi
1 l2
i
2 l3
f
j
பைடு நூலகம்
1 l2
j
将所有的ai代入前述v(x)的表达式得到插值形式的位移函数。
v( x)
1
3 l2
x2
2 l3
x3
fi
x
2 l
x2
1 l2
x
3
i
3 l2
x2
2 l3
x3
fj
1 l
x2
1 l2
3、应用基于虚位移原理的变分法求解直梁 的单元刚度矩阵
3.1 位移函数
假设图示直梁单元的位移函数v(x)（插值函数）为： v( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
实际上对于直梁单元，v(x) 就是在其上各点的挠度f 。
已知单元在两个节点的边界条件：
x 0 v(0) fi x l v(l) f j
1、在后面研究更复杂的弹性力学平面问题时，我们不再 采用直接刚度法，而采用基于虚位移原理的变分法。
单元节点力列阵 Pe [qimiqjmj ]T
位移函数 v( x) N e eT N T
其变分为 δv( x) δ eT N T
将以上两式代入
δ eT P e
d2 (δv) d2v l dx2 EI dx2 dx
得到 δ eTPe δ eT N TEIN edx l δ eTPe δ eT N T EIN dx e l Pe N TEIN dx e l