2018届静安区高三二模数学Word版(附解析)
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，则的最小值为．10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞013．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．17．（14分）设双曲线C ：，F 1，F 2为其左右两个焦点．（1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为，求动点P 的轨迹方程．18．（20分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n ≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．2018年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=4．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=4．故答案为：4．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是1．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当，且求出：m2＞4进一步求出：m＞2或m＜﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价于x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则，求得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，则的最小值为4．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．10．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q=1，则S2015=2015a1＞0；若q≠1，则S2015=，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014=a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选C．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x ≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C 2上，代入求得2p=4，∴抛物线C 2的标准方程为y 2=4x ．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C 1：（a ＞b ＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C 1的标准方程为+y 2=1；由c==，左焦点（，0），C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离﹣1，故选B ．15．（5分）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a=a ⊕e=a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R ，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R ，使得对任意a ∈R ，都有1×a=a ×1=a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③【解答】解：①若A=R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法， 其单位元素为全为0的矩阵；③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M ． 故选D ．三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）18．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．【解答】解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）综上：…（1分）20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n ≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．【解答】解：（1）1，4，7．（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3，当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4，当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5，∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2∴…（2分）由a n=3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以，当m=3t﹣2（t∈N*）时：，当m=3t﹣1（t∈N*）时：，当m=3t（t∈N*）时：，所以（其中t∈N*）．。
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2018.4上海静安中考数学二模试卷及答案（word
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2018.4上海崇明中考数学二模试卷及答案。
2018届静安区高三一模数学Word版(附解析)(可编辑修改word版)
上海市静安区 2018 届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算lim(1 -n →∞nn +11 - i ) 的结果是2 2. 计算行列式x 23i +1 1 + iy 2的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线- = 1有公共的渐近线，且经过点 A (-3, 2 3) 的双曲线方程是9 164. 从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答）5. 已知函数 f (x ) = a ⋅ 2x + 3 - a （ a ∈ R ）的反函数为 y = f -1(x ) ，则函数 y = f -1(x ) 的图像经过的定点的坐标为6. 在(x - a )10 的展开式中， x 7 的系数是 15，则实数 a =7. 已知点 A (2,3) 到直线 ax + (a -1) y + 3 = 0 的距离不小于 3，则实数 a 的取值范围是8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系 xOy 中，若OP = xe 1 + ye 2（其中e 1 、e 2 分别为斜坐标系的 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量， x , y ∈ R ），则点 P 的坐标为(x , y ) ，若在斜坐标系 xOy 中， ∠xOy = 60︒ ，点 M 的坐标为(1, 2) ，则点 M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为8，则该圆锥的侧面积等于3⎧(5 - a )x +1 x < 110. 已知函数 f (x ) = ⎨ x⎩ a取值范围为（ a > 0 ， a ≠ 1）是 R 上的增函数，则实数 a 的 x ≥ 111. 已知函数 f (x ) =| sin 2x - 3 cos x cos(3- x ) - 1| ，若将函数 y = f (x ) 的图像向左平移 2 2a 个单位（ 0 < a < ），所得图像关于 y 轴对称，则实数 a 的取值集合为12. 已知函数 f (x ) = ax 2 + 4x +1，若对任意 x ∈ R ，都有 f ( f (x )) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知无穷等比数列{a } 的各项之和为 3，首项 a = 1 ，则该数列的公比为（）n212A. 1B.2C. - 1D.1或 23 33 3 314. 设全集U = R ， A = {x | y = log 3 (1 - x )}， B = {x || x -1 |< 1} ，则(C U A ) B = （）A. (0,1]B. (0,1)C. (1, 2)D. [1, 2)15. 两条相交直线l 、 m 都在平面内，且都不在平面内，若有甲： l 和 m 中至少有一条直线与相交，乙：平面与平面相交，则甲是乙的（）16. 取值范围为（）三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1 = 4 ，异面直线 BC 1 与 AA 1 所成角的大小为 3.（1） 求正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 求直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）A.C. 充分非必要条件充要条件B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件若曲线| y |= x + 2 与C : x 2 + y 2= 1 恰有两个不同交点，则实数A. (-∞, -1] (1, +∞) 4 4B. (-∞, -1]C. (1, +∞)D. [-1,0) (1, +∞)18.在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量m = (a,cos B) ，n = (b,cos A) ，且 m ∥ n ， m ≠n .（1）求证：A +B =；2（2）若x ⋅ sin A sin B = sin A + sin B ，试确定实数x 的取值范围.19.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P、Q 分别在边BC 、CD 上），设∠PAB =，tan=t.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角∆CPQ 的周长；（2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面积为S （平方百米），试求S 的最大值.3 = ⋅20. 如图，已知满足条件| z - 3i |=| - i | （其中i 为虚数单位）的复数 z 在复平面 xOy 对应 点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面 xOy 上的复数 z = x + yi （ x ∈ R ， y ∈ R ）对应的点为(x , y ) ，定直线 m 的方程为 x + 3y + 6 = 0 ，过 A (-1,0) 的一条动直线l 与直线 m 相交于N 点，与圆C 相交于 P 、Q 两点， M 是弦 PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证： l 与 m 垂直； （2）当| PQ |= 2 时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN ，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.321.已知数列{a } 的通项公式为a =n（n, a∈N *）.n n n +a（1）若a1 、a2 、a4 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （k ≥ 10 且k ∈N *）与a ，使得a 、a 、a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；1 3 k（3）求证：数列{a n } 中的任意一项a n 总可以表示成数列{a n } 中的其它两项之积.7B 1AC7 [ , - =参考答案一. 填空题1. 02.-6i x 2 y 2 1 3. 4. 60 5. (3,0)6. - 129 16 4 7. (-∞,3] U 3+∞) 77 58. 9.4 210. [3,5)11. { , , , } 12 3 12 612. a ≥ 3二. 选择题 13. B14. D15. C16. A三. 解答题17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） A 1C 1B解：（1） ∠BBC 是异面直线 BC 与 AA 所成的角，所以∠BBC = ………2 分1 1 1 11 1 3因为 BB 1 = AA 1 = 4 ，所以B 1C 1 = 4 ，................4 分于是，三棱柱体积V = SH = S AA = 3 ⋅16 ⋅ 3⋅ 4 = 48………6 分∆ABC 1 4（2） 过 B 作 BD ⊥ AC ，D 为垂足，则 BD ⊥ 平面 AA 1C 1C ，∠B C 1D 是直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成的角， ............................................... 8 分BD = 6,B C 1 = 8 ，（ DC 1 = 2 ），所以直线 BC 与平面 AAC C 所成的角为arcsin 3 ………………14 分1 1 1 4( arctan 3 7 ， arccos 7)7 418．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）3 32 = = ) ∴ t 1 -∈= =解：（1） m = (a , cos B ), n = (b , cos A ), 且m // n ， ∴ a cos A - b cos B = 0 ………2 分又 a sin A = b sin B= 2R ∴sin A cos A = sin B cos B , 即sin 2 A = sin 2B又∆ABC 中0 < 2 A , 2B < 2∴ 2 A = 2B 或2 A + 2B = 即 A = B 或 A + B = ……5 分2若 A B ，则 a = b 且cos A = cos B ， m n ，m ≠ n∴ A + B = 2………………………………6 分 （2）由 x ⋅sin A sin B = sin A + sin B 可得 x = sin A + sin B =sin A + cos A………………8 分sin A sin B sin A c os A设sin A + cos A = t ，则t = 2 sin( A + ，34.................................................................. 10 分0 < A < 2 ∴ 4< A + 4 < 4∴1 < 2 sin( A + ) ≤4∴t 2 = 1+ 2 s in A c os A 2 - sin A ⋅ cos A =……………11 分22t21x ， t在t (1, 2] 上单调增 ∴ x = t = 2 ≥2 = 2t 2-1 t - 1t tt 2 -12t - 1 -t∴实数 x 的取值范围为[2 2, +∞) ............................................ 14 分19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）Q CDPAB解：（1）∠PAB =, tan = t ，所以 BP = t ， CP = 1- t ； 因为点C 、P 、Q 不共线，所以0 < t < 1 ， DQ = tan(45︒ -) = 1- t , CQ = 1- 1- t;PQ =1+ t 2 =;… ................... 5 分1+ t1+ t 1+ t直角△ CPQ 的周长= (1- t ) + (1- 1- t ) + 1+ t 1+ t 2 1+ t=2… ...................6 分 (2) S =1- t - 1 ⋅ 1- t2 2 1+ t ………………8 分=2 - 1 (t +1+ 2 ) ≤ 2 -………………12 分2 t +1212245CP 2 + CQ 2 2= ⋅ = - ⎩ ylCM Q P AOxNm当t +1 = 时，等号成立． ......................... 13 分探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为2 - 平方百米．……14 分 20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解: (1) 由已知，圆心C (0,3) , k m= - 3, ................................ 2 分则 k l =3 - 0 = 30 + 1.故 k m ⋅ k l = -1 ，所以直线l 与m 垂直 ........................................ 4 分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为3x - y + 3 = 0 ） (2) 当直线l 与 x 轴垂直时,易知 x = -1符合题意; ....................................... 5 分当直线与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为 y = k (x + 1) ....................... 6 分由于 PQ = 2 ,所以 CM = 1....................... 7 分由 CM == 1 ,解得 k =4 .................................................. 9 分3故直线l 的方程为 x = -1或4x - 3y + 4 = 0 ......................................10 分(3)当l 与 x 轴垂直时,易得 M (-1,3) , N (-1,- 5) ,又 A (-1,0) ，则 AM 3= (0,3),AN = (0,- 5) ,故t AM AN5 ....................................... 11 分 3当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k (x + 1) ,代入圆的方程 x 2 + ( y - 3)2 = 4 得2222x + x - k 2 + 3k(1 + k )x + (2k - 6k )x + k - 6k + 5 = 0 .则 x M = 1 2 = 2 1 + k 2 ,y M = k (x M + 1) = 3k 2 + k 1 + k 2 ,即 M ( - k 2 + 3k 1 + k 23k 2+ k , 1 + k 2) ,………13 分 3k +1 3k 2 + k 3k +1⎧ y = k (x + 1), AM = (1+ k 2 , 1+ k 2 )= 1+ k 2（1, k ) .又由⎨x + 3y + 6 = 0, - 3k - 6 - 5k -5 -5k -5得 N (, ) ,则 AN = ( , )= (1, k ) . 1 + 3k 1 + 3k 1+ 3k 1+ 3k 1+ 3k2 23 - k + 3 k 2 + 1AM AN AM ⋅ AN = - AM l1 3 k 3 1 k -15k - 5 -5k (3k2 + k ) -5(1+ 3k )(1+ k 2 )故t = AM ⋅ AN =（ (1+ k 2 )(1+ + 3k ) (1 =） + k 2 )(1+ 3k ) (1+ 3k )(1+ k 2 )= -5 . 综上, t 的值与直线l 的斜率无关,且t = ⋅= -5 . ……16 分（3） 另解:连结CA 并延长交直线m 于点 B ,连结CM , CN , 由(1)知 AC ⊥ m , 又CM ⊥ l ,所以四点 M , C , N , B 都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得t =21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分）124解：(1) a 1 =1 + a ， a2 =2 + a ， a 4 =4 + a ，∵ a 1 ， a 2 ， a 4 成等差数列，∴ a 1 + a 4 = 2a 2 ， ............................... 2 分 化简得 a 2 = 2a ，∵ a ∈N *，∴ a = 2 ．................................................. 4 分(2) 假设存在这样的k ， a 满足条件， a 1 =1 1 + a ， a 3 = 3 3 + a， a k = k ， k + a∵ a ， a ， a 成等比数列，∴ (a )2 = a a ， ................................... 6 分去分母,展开得9a 2 + 9ka + 9a = ka 2 + 6ka ,化简得(3k + 9)a = (k - 9)a 2 , ∵ a ∈N *，∴ (k - 9)a = 3k + 9,(a - 3)k = 9 + 9a ，当 k = 10 时, a = 39 ;当k = 11 时, a = 21；等等． .................................8 分 一般的,设t = k - 9 ∈ N *, l = a - 3∈ N * ,则 a = 3 +36 , k = 9 +36 . ……9 分tl∵ a ∈N *，∴ l , t 需为 36 的公约数, k 的取值集合为⎧k k = 9 + 36 , l = 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36⎫⎨ ⎬⎩ ⎭(或者列举{10，11，12，13，15，18，21，27，45} ) ........................................... 11 分(3) 即证存在k ， t ≠ n ，使得 a n = a k a t……………………12 分即证：⇔k - n = k + a ⇔ k - n =k + an (k + a ) ， t = …………15 分 nk ktn t k - n令 k = n + 1，则t = n (k + a ) = n (n + 1 + a ) ∴对任意n ， a n = a n +1a n (n +1+a ) , 即数列中的任意一项 a n 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18 分 n 2n 2n 2n + a注:直接构造出 a k 与 a t 亦可，例如：n + a =2n + 2a = 2n + a ⋅(2n ， + a ) + a⋅ AN = - AC ⋅ AB = -5............................ 16 分 n = k ⋅ t ⇔ 1 + a = (1 + a )(1 + a ) ⇔1 = 1 + 1 + an + a k + a t + a n k tn k t kt所以 a n =a2n ⋅a2n+a .。
静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜03． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β4． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）5． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ）A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤6． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k）的是（）A ．B ．C ．D ．7． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞08． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．149． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（）A ．3B ．4C ．D ．1310．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．﹣2B ．±2C ．0D ．2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，]C ．（﹣∞，]D ．（﹣∞，]12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x ）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）二、填空题13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．不等式恒成立，则实数的值是__________.()2110ax a x +++≥16．i 是虚数单位，化简： = ．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()21ln 2f x x x =-18．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题19．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程． 20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是1C 2=ρ2C 是参数）．θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；1C 2C （Ⅱ）求的取值范围，使得，没有公共点．t 1C 2C 21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点, 极轴为轴正半轴，建立直角坐标系．C 4sin()3πρθ=-x xOy （1）求曲线的直角坐标方程；C （2）若点在曲线上，点的直角坐标是（其中P C Q (cos ,sin )ϕϕ)ϕ∈R 22．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （1﹣），a ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）的最小值为0．（i ）求实数a 的值；（ii ）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=f （a n ）+2，记[x]表示不大于x 的最大整数，求证：n ＞1时[a n ]=2．23．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．24．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解． 2．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．3．【答案】C【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．4．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．5．【答案】D【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β，故选D【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用． 6．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键． 7． 【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0，故选：C ．【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础． 8． 【答案】A 【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．10a >0d <9． 【答案】D【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4），解得=13．故选：D ．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题． 10．【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．12．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．二、填空题13．【答案】 1 ．【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．14．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．a15．【答案】1试题分析：因为不等式恒成立，所以当时，不等式可化为，不符合题意；()2110ax a x +++≥0a =10x +≥当时，应满足，即，解得.10a ≠2(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩20(1)0a a >⎧⎨-≤⎩1a =考点：不等式的恒成立问题.16．【答案】 ﹣1+2i ．【解析】解： =故答案为：﹣1+2i ． 17．【答案】()0,1【解析】18．【答案】 ①②④ 【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1，∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2=1，∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即=，∴M=．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=；（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则=M ﹣1=，即，∴代入4x+y ﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题． 20．【答案】【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程是，1C 222=+y x 曲线的普通方程是…………5分2C )21221(1+≤≤+=t y t x（Ⅱ）对于曲线 ，令，则有．1:C 222=+y x 1x =1y =±故当且仅当时，，没有公共点，001112-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或1C 2C 解得．……10分12t >21．【答案】【解析】（1）∵，4sin()3πρθ=- ∴，4(sin cos cos sin )33ππρθθ=- ∴，22sincos ρρθθ=-∴曲线的直角坐标方程为．C 2220x yy ++-= （2）曲线可化为，C 22((1)4x y ++-=∴曲线是圆心，半径为的圆，C 2∵点的直角坐标是，Q (cos ,sin )ϕϕ ∴点在圆：，Q O 221x y +=∴，即的最大值为．125PQ OC ≤++=PQ 522．【答案】【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=．当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ．所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）．综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意；当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0，令g （x）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=，由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x ）=0．因此，a=1．（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣1+，所以a n+1=f （a n ）+2=1++lna n ．由a 1=1得a 2=2于是a 3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a 3＜．猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n ＜．下面用数学归纳法进行证明．①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，h（）=1++ln＜1++1＜．故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．综上可得，n＞1时[a n]=2．【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．23．【答案】【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=1，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，得，∴k AB==﹣=﹣，∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0．（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1，则cos∠F1PF2==﹣1=﹣1=﹣1，又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．（3）∵=12，=3，∴=9．则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，故所求的椭圆方程为=1．【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=×2π×2×2=4π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB===2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．。
2018第二学期静安区高考数学二模考试参考答案
静安区2017学年第二学期教学质量检测 高三数学解答及评分标准 2018.5一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．{0，2，4}2．3． {}1x x ≥- 4．125． 46．（-4，-3，2） 7．5,12x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8．24x y =- 9． 50 10．94 11．112．[二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13． D ． 14．A 15．C 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分)解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； 4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. 14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，1分由已知有212,2a a b ==， 2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， 3分圆心(,2)k A k - 5分 所以，△12k A F F的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= 6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．14分 （用椭圆另外两个顶点（短轴端点））在圆上进行判断也可） 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -． 所以(1,0,2)AP =-，11(,,1)22BM =--，52AP BM ⋅=||5AP =，6||BM =． 3分 则cos ,6||||5AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………6分（2）1(1,,0)2AB =-，11(,,1)22BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第19题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =． 得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =． 9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =， ……………10分所以n 2OB ⋅=，||29n =，1||2OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ ＝112122()n n a a n n--+=+ 2分 即12nn b b -= 3分 又 111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠ 所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． 4分 （2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ 6分 若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 7分111111222221n n n n a a a a n n -+⎛⎫⎛⎫-=+⋅--+⋅+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭＝11112212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭＝11122(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ 8分 由 111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得 11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立 由于 112(1)(2)n n n --++单调递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． 10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， 13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T <，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+-<-++>-，即1122a +>，所以0a >．又a Z ∈，所以对所有正整数a ，都能使数列{}n T 是单调递减数列． 16分 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-，………………………1分解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ………………………………4分 （利用图像求解也可）（2）由01xx>-解得01x <<． 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥，当01x <<时，该不等式即为(2)7a x -+≥； …………………………5分 当=2a 时，符合题设条件；……………………6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求；……………………7分当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ………………………10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--，…………………………12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =-…………………………15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即．…………18分。
2018静安区高三二模数学Word版（附解析）
上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）一.1.已知集合A={1,3,5,7,9},3={0,1,2,3,4,5},则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是^77）「2.若复数Z满足z（l-Z）=2Z（，是虚数单位），则|z|=3.函数y=Jlg（x+2）的定义域为4.在从4个字母。
、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d事件的概率是________5.下图中的三个直角三角形是一个体积为20cn?的几何体的三视图，则/,=6.如上右图，以长方体ABCD—ABCQ的顶点Q为坐标原点，过。
的三条棱所在的直线UUL1UULL为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB］的坐标为（4,3,2）,则四；的坐标为7.方程cos2x=-虫的解集为28.己知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点（a>0）到焦点F的距离为5,则该抛物线的标准方程为9.秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入几、X的值分别为4、2,则输出g的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号,例如5*2=10）10.已知等比数列{%}的前灯项和为（”eN*）,且夺=，%—%=---'则。
3 的值为TT11.在直角三角形A3。
中，/A=-,AB=3,AC=4,E为三角形ABC内一点，2、/2ulul uuu uuiuS.AE=~,AE=AAB+piAC,则32+4/z的最大值等于12.已知集合梨={3,[)|3+、)2+"+)-2<0},={(-X,_y)|(x—2a)2+(_y——I)2<a2,若A B0,则实数a取值范围为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.能反映一组数据的离散程度的是（）A,众数B,平均数 C.中位数 D.方差14.若实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根a,/?,且\a-/3\=3，那么实数m 的值是()5,5A.—B.1C.—1D.---2215.函数f(x)=Asin(cox+(p)(A>0,刃>0)的部分图像如图所示，则/•(;)的值为()A.—B.—C.—D.02 2 216.已知函数/'(X)=-『+x+10,实数也、.亏、土满足茶+x2<0,x2 +x3<0,.r3+x,<0, plij/（x1）+/（x2）+/（x3）的值（）A,一定大于30B,一定小于30C,等于30 D.大于30、小于30都有可能三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17,某峡谷中一种昆虫的密度是时间f的连续函数（即函数图像不间断）.昆虫密度。
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞013．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．17．（14分）设双曲线C ：，F 1，F 2为其左右两个焦点．（1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为，求动点P 的轨迹方程．18．（20分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．2018年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=4．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=4．故答案为：4．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是1．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当，且求出：m2＞4进一步求出：m＞2或m＜﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价于x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则，求得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．10．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q=1，则S2015=2015a1＞0；若q≠1，则S2015=，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014=a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选C．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C 2上，代入求得2p=4，∴抛物线C 2的标准方程为y 2=4x ．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C 1：（a ＞b ＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C 1的标准方程为+y 2=1；由c==，左焦点（，0），C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离﹣1，故选B ．15．（5分）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a=a ⊕e=a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R ，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R ，使得对任意a ∈R ，都有1×a=a ×1=a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③【解答】解：①若A=R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法， 其单位元素为全为0的矩阵；③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M ． 故选D ．三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）18．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．【解答】解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．水秀中华S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）水秀中华综上：…（1分）20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．【解答】解：（1）1，4，7．（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3，当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4，当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5，∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2∴…（2分）由a n=3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以，当m=3t﹣2（t∈N*）时：，当m=3t﹣1（t∈N*）时：，水秀中华当m=3t（t∈N*）时：，所以（其中t∈N*）．。
上海市静安区达标名校2018年高考二月调研数学试卷含解析
上海市静安区达标名校2018年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b ，b =(1)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．02．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]3．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π5．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个6．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ） A ．1B ．2CD ．37．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-8．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④10．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．323D ．23311．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人12．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A．1 2B．35C．710D．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区2018高三上学期高中教学质量检测数学试卷含解析
一、填空题静安区 2019-2020 学年度第一学期高中教学质量检测 高三数学试卷（模拟试卷）1. 若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 _______．【答案】4【解析】∵，且复数 是纯虚数∴，即故答案为 42. 若 为 上的奇函数，当 时，【答案】-2【解析】∵ 为 上的奇函数∴，∵当 时，，则_______．∴∴故答案为 3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上，则该正三棱锥的体积是_______；【答案】【解析】试题分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该 球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为 1，所以底面三角形的边长为 a，， ，该正三棱锥的体积：．考点：正三棱锥的体积．4. 在菱形中，，【答案】1 【解析】如图所示：， 为 的中点，则的值是_______；在菱形中，，∴ 故答案为 1 5. 用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米． 【答案】【解析】半径为 1 米的半圆的周长为为1设圆锥的底面半径为 ，则，即，则制作成圆锥的底面周长为 ，母线长∴圆锥的高为∴圆锥的体积 故答案为 6. 已知 为锐角，且 【答案】 【解析】∵ ∴ ∵，则 ________ ．∴∴故答案为点睛：三角函数求值中，要注意“角”的变换，察出“已知角”与“待求角”之间的关系， 再选择应用两角和与差的正弦余弦公式变形．7. 设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的 ，都有成立；②【答案】，则 的取值范围是_________．∴∴或故答案为点睛：本题主要考查三角函数的性质，考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确转化不等式恒成立是解答本题的关键8. 若不等式的解集是区间的子集，则实数 的取值范围为________．【答案】【解析】由题意可得：不等式等价于设∵不等式的解集是区间 的子集∴ ∴ 故答案为 9. 已知且 ， )，，若对任意实数 均有，则 的最小值为________．【答案】4【解析】∵且 ， )，，且对任意实数 均有∴对任意的实数 均成立∴，即∵ ∴ ，则，即 故答案为 4，当且仅当 ， 取等号......................10. 如图，正方形的边长为 2， 为 的中点，射线 从 出发，绕着点 顺时针方向旋转至 ，在旋转的过程中，记为， 所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数 有以下三个结论：①；② 对任意，都有；③ 对任意，且，都有；其中所有正确结论的序号是_______；【答案】①②【解析】设 交正方形于点 ，如图所示：①当 时，∵∴,故①正确②∵根据题意可知，当∴表示正方形∴时，∵，且表示射线 未经过正方形的面积，∴成立，故正②确③不妨设∵则由题意可知，从 到 ，阴影部分面积不断扩大，即有∴∵即∴，故③错误故答案为①② 二、选择题11. “抛物线的准线方程为 ”是“抛物线重合”的（ ）的焦点与双曲线的焦点A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵抛物线的标准方程为，其准线方程为∴∵双曲线的∴焦点为 ∵抛物线即为∴抛物线的焦点为 ，则∴∴“抛物线的准线方程为 ”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件 故选 A 12. 已知等比数列 前 项和为 ，则下列一定成立的是（ ）A. 若 ，则； B. 若 ，则；C. 若 ，则； D. 若 ，则．【答案】C【解析】设等比数列 的公比为 ，且若，则 ，所以，故 正确， 不正确；若，则可能大于 0，也可能小于 0，因此 ， 不正确．故选 C 13. 某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人 参加，那么不同的发言顺序有（ ）A. 336 种； B. 320 种； C. 192 种； D. 144 种.【答案】A 【解析】根据题意，分 2 种情况讨论， 若只有甲乙其中一人参加,有种情况；若甲乙两人都参加,有种情况，则不同的发言顺序种数 192+144=336 种， 故选：A.14. 已知椭圆 抛物线 焦点均在 轴上， 的中心和 顶点均为原点 ，从每条 曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 的左焦点到 的准线之间的距离为 （）A. ； B. 【答案】B； C. 1； D. 2．【解析】∵由表可知，抛物线 焦点在 轴的正半轴，设抛物线,∴将代入 ，代入可得,即∴抛物线 的标准方程为，则焦点坐标为 ,准线方程为,,则有设椭圆,把点代入得,，即∴ 的标准方程为;∵ ∴左焦点∴ 的左焦点到 的准线之间的距离故选 B 点睛：本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用及学生的 计算能力，属于中档题．15. 对于集合 ，定义了一种运算“ ”，使得集合 中的元素间满足条件：如果存在元素 ，使得对任意 ，都有，则称元素 是集合 对运算“ ”的单位元素．例如： ，运算“ ”为普通乘法；存在 ，使得对任意，都有，所以元素 是集合 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“ ”：① ，运算“ ”为普通减法；②{表示 阶矩阵，}，运算“ ”为矩阵加法；③（其中 是任意非空集合），运算“ ”为求两个集合的交集．其中对运算“ ”有单位元素的集合序号为（ ） A. ①②； B. ①③； C. ①②③； D. ②③． 【答案】D 【解析】对于①，若 ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单 位元素；对于②，表示 阶矩阵，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为 0 的矩阵；③（其中 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合 ．故选 D三、解答题 16. 将边长为 的正方形（及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为 ，其中 与 在平面的同侧.(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线 与 所成的角的大小.【答案】(1) (2) .【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ，，再由三角形面积公式计算后即得.（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，根据，知或其补角为直线 与所成的角，再结合题设条件确定，．得出试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ．由 的长为 ，可知．即可．，．（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，则，所以或其补角为直线 与 所成的角．由 长为 ，可知，又 从而 因为，所以 为等边三角形，得 平面 ，所以， ． ．在中，因为，，，所以，从而直线 与 所成的角的大小为 ．【考点】几何体的体积、空间角 【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、 直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的 角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选 择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运 算能力等.视频17. 设双曲线 ：，为其左右两个焦点．(1)设 为坐标原点， 为双曲线 右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点 与双曲线 的两个焦点 求动点 的轨迹方程．的距离之和为定值，且的最小值为 ，【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设， ，左焦点，由利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围；（2）根据题设得 点轨迹为椭圆，利用，本不等式求解椭圆方程即可.试题解析：（1）设，，左焦点，，结合余弦定理以及基（）对称轴 ∴（2）由椭圆定义得： 点轨迹为椭圆，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立∴，则∴，∴动点 的轨迹方程为18. 如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长 千米的直线段 ，且．游乐场的后一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 ．（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口 距海岸线 最近距离为 千米，现准备从入口 修一条笔直的景观路到 ，求景观路 长；（3）如图，在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线 上，一边在半径 上，另外一个顶点 在圆弧 上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时 的值．【答案】（1）（2）景观路 长为 千米 (3)【解析】试题分析：（1）由题意可得，代入点 ，即可求出解析式．本题考察的三角函数求值，令，即可求出此时的横坐标，从而根据两点间的距离即可求出景观路 的长度．作图求平行四边形的面积，再根据，即可求出最值． 试题解析：1）由已知条件，得 又∵又∵当时，有∴ 曲线段 的解析式为．（2）由得又∴ 景观路 长为 千米 （3）如图，作轴于 点，在在中，…6 分 中，∴当时，即时：平行四边形面积最大值为考点：实际问题中建立三角函数模型19. 设集合存在正实数 ，使得定义域内任意 都有．(1) 若，试判断 是否为 中的元素，并说明理由；(2) 若，且，求 的取值范围；(3) 若（ ），且，求 的最小值．【答案】（1）（2） （3）【解析】试题分析：（1）利用，判断出；（2）由，通过判别式小于 0，求出 的取值范围；（3）由题意得，推出，即对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时及当时，分别求解最小值即可.试题解析：（1）∵，∴.（2）由∴，故.（3）由,即：∴对任意都成立∴当时，；当时，；当时，.综上：20. 设数列 满足：① ；②所有项；③．设集合，将集合 中的元素的最大值记为 ．换句话说， 是数列 中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数列 的伴随数列．例如，数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3．（1）若数列 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3，请写出数列 ；（2）设，求数列 的伴随数列 的前 100 之和；（3）若数列 的前 项和 前 项和 ．（其中 常数），试求数列 的伴随数列【答案】（1）1,4,7（2） 见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列 ；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对 分类讨论求出伴随数列 的前 100 项以及它们的和；（3）由题意和 与 的关系式求出 ，代入得，并求出伴随数列 的各项，再对 分类讨论，分别求出伴随数列 的前 项和 ．试题解析：（1）1,4,7．（2）由，得∴当时，当时，当时，当时，当时，∴（3）∵∴当 时，∴由得：∵使得成立的 的最大值为 ，∴当时：当时：当时：∴点睛：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻 找规律是难点，是难题．。
2018届静安区高三一模数学Word版(附解析)
市静安区 2018届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12每题5分，共54分）1.计算lim(1n) 的结果是n n 12.1i2（此中 i 为虚数单位）计算队列式1的值是3i 1 i3.与双曲线x2y21有公共的渐近线，且经过点A( 3,2 3) 的双曲线方程是9164.从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事部署、迎宾策划三项不一样的工作，每人肩负一项工作，则不一样的选派方案有种（用数值作答）5.已知函数 f ( x) a 2x 3 a（a R）的反函数为y f 1 (x) ，则函数 y f 1 (x) 的图像经过的定点的坐标为6.在 ( x a)10的睁开式中，x7的系数是15 ，则实数a7.已知点 A(2,3) 到直线 ax(a 1)y 30 的距离不小于 3 ，则实数a的取值围是8.近似平面直角坐标系，我们把平面两条订交但不垂直的数轴组成的坐标系（两条数轴的uuur ur uur 原点重合于 O 点且单位长度同样）称为斜坐标系，在斜坐标系 xOy 中，若OP xe1ye2（其ur uurx 轴、y轴正方向上的单位向量，x, y R ），则点 P 的坐标为中 e1、 e2分别为斜坐标系的( x, y) ，若在斜坐标系xOy 中，xOy 60 ，点 M 的坐标为 (1,2) ，则点 M 到原点 O 的距离为9.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为8，则该圆锥的侧面积等于310.已知函数 f ( x)(5a)x 1 x10 ， a 1）是 R 上的增函数，则实数a的a x x（ a1取值围为11.已知函数 f ( x)|sin2 x3cos xcos(3x)1| ，若将函数 y f (x) 的图像向左平22移a 个单位（0 a），所得图像对于y 轴对称，则实数 a 的取值会合为12.已知函数 f ( x)ax24x 1 ，若对随意x R ，都有 f ( f (x))0 恒建立，则实数a的取值围为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.{ a n 31已知无量等比数列} 的各项之和为，首项 a1，则该数列的公比为（）22A.1B.2C.1D. 1 或 23333314.设全集 U R ， A{ x | y log3 (1 x)} ， B{ x || x1| 1} ，则 (C U A)I B（）A.(0,1]B. (0,1)C.(1,2)D.[1,2)15.两条订交直线l 、m都在平面，且都不在平面，如有甲：l和 m 中起码有一条直线与订交，乙：平面与平面订交，则甲是乙的（）A.充足非必需条件B.必需非充足条件C.充要条件D.既非充足也非必需条件16. 若曲线| y | x 2 与 C : x2y21 恰有两个不一样交点，则实数取值围为（）44A.(, 1]U (1,)B.(, 1]C.(1,)D.[1,0) U (1,)三.解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中， AA1 4 ，异面直线BC1与AA1所成角的大小为3.（1）求正三棱柱ABC A1B1C1的体积；（2）求直线BC1与平面AAC1 1C所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）18.ur r( b,cos A) ，在ABC中，角A、、的对边分别是 a 、b、c ，设向量 m(a,cos B) ，nB Cur r ur r且 m ∥ n ， m n .（1）求证： A B；2（2 ）若x sin Asin B sin A sin B ，试确立实数x 的取值围.19.如图，有一块边长为 1 （百米）的正方形地区ABCD ，在点 A处有一个可转动的探照灯，其照耀角PAQ 一直为45°（此中点 P 、 Q 分别在边 BC 、 CD 上），设 PAB，tan t .（1）当三点 C 、 P 、 Q 不共线时，求直角CPQ 的周长；（2）设探照灯照耀在正方形ABCD 部地区 PAQC 的面积为 S （平方百米），试求 S 的最大值.20. 如图，已知知足条件| z 3i | | 3 i| （此中i为虚数单位）的复数z 在复平面xOy对应点的轨迹为圆 C （圆心为 C ），设复平面xOy 上的复数 z x yi （ x R ， y R ）对应的点为 (x, y) ，定直线m的方程为 x3y 6 0 ，过 A( 1,0)的一条动直线l 与直线m订交于 N点，与圆 C订交于 P、Q两点， M 是弦 PQ中点.（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当| PQ | 2 3时，求直线l的方程；uuuur uuur（3 ）设t AM AN ，试问t能否为定值？若为定值，恳求出 t 的值，若 t 不为定值，请说明原因.21.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n n（ n,a N*）.n a（1）若 a1、 a2、 a4成等差数列，求 a 的值；（2）能否存在 k （ k10 且 k N *）与 a ，使得a1、a3、a k成等比数列？若存在，求出k 的取值会合，若不存在，请说明原因；（3 ）求证：数列{ a n } 中的随意一项a n总能够表示成数列{ a n } 中的其余两项之积.参照答案一. 填空1. 02. 6ix 2 y 2 1 5. (3,0)3.164. 60946.1 7.( ,3] U[ 3,)8. 79.422710.[3,5)11. {,,7,5} 12. a 312 3 12 6二.13. B 14. D 15. C 16. A三. 解答17 ．（本 分 14 分，第 1 小 分 6 分，第 2 小 分 8 分）A 1C 1B 1ACB解：（1） B 1BC 1 是异面直 BC 1 与 AA 1 所成的角，因此B 1BC 1 =⋯⋯⋯2分3因为 BB 1 AA 14 ，因此 B 1C 14 3， ⋯⋯⋯⋯4分于是，三棱柱体积 V SHSABCAA13163448 3⋯⋯⋯ 6 分4（ ）过 B 作 BD AC ， D 为垂足，则BD 平面 AACC ， 2 1 1 BC 1D 是直 BC 与平面 AAC C 所成的角， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分111BD 6, BC 18 ，（ DC 1 2 7 ），因此直 BC 与平面 AAC C 所成的角 arcsin3⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分11 14( arctan37， arc cos7 )7418 ．（本 分 14 分，第1 小 分 6 分，第2 小 分 8 分）uvv uv v⋯⋯⋯2 分解：（ 1 ）Q m(a,cos B), n (b,cos A), 且 m // n ， a cos A b cos B 0又a b2Rsin Acos A sin B cos B , 即 sin 2 Asin 2Bsin A sin B又 ABC 中02A,2 B 22A 2B 或2A 2B即 AB 或A B⋯⋯5 分ur2若 A B ， a b 且 cos ArcosB ， m n ，ur rQ mnAB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2（ 2 ）由 x sin Asin B sin A sin B 可得xsin A sin B sin A cosA⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分sin Asin Bsin A cos Asin Acos A t ， t2 sin( A4) ，Q 0 A A4312 sin( A) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2444t 21 2sin A cos Asin A cos At 2 1 ⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分2x2t2 ， Q t 12] 上 增xt 222 1在 t (1,11 2 2tt 1 tt2t1t222t数 x 的取 [2 2,) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分19 ．（本 分 14 分，第 1小 分6分，第2 小 分8 分）DQCP45oAB解：（1）PAB,tan t ，因此 BP t ， CP 1t ；因 点 C 、P 、Q 不共 ，因此 0t 1， DQtan(45) 1 t, CQ11t ;t 21 t1 tPQCP 2 CQ 2 = 1 ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tt2直角 △ CPQ的周 = (1 t )1 t 1 =2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分(1t)tt 1 1 t1 1(2) S=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分2 2 1 t=21(t 1t 2 ) 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分21当 t 1 2 ，等号建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分探照灯照耀在正方形 ABCD部地区的面S最大2 2 平方百米．⋯⋯14分20 ．（本分 16 分，第 1小分 4 分，第 2 小分 6 分，第 3 小分 6 分）ylCQMPAO xNm解: (1)由已知，心 C (0,3), k m 1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分330k l 3 .故 k m k l 1 ，因此直 l 与m垂直.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分01（直 l 点（-1，0）和（0，3），因此方程3x y30）(2)当直 l 与x垂直,易知 x1切合意 ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当直与 x 不垂直,直l的方程 y k( x1).⋯⋯⋯⋯ 6 分因为 PQ2 3 ,因此CM 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分由 CMk31 ,解得k4⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分k 2.13故直 l 的方程 x 1或4 x3y40.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分(3) 当l与x垂直 ,易得M ( 1,3),N( 1,5) ,又 A(1,0)， AM(0,3),5uuuur uuur 3AN(0, 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分) ,故 t AM AN3当 l 的斜率存在,直 l 的方程y k(x 1) ,代入的方程 x2( y 3)2 4 得(1 k 2 )x 2(2k 26k ) x k 26k50. x M x1x2k 23k,21k 2y M k( x1)3k 2k M ( k 23k , 3k 2k ),⋯⋯⋯ 13 分M1k2, 即1k21k23k 1 3k 2k3k1y k (x1),（.又由AM( 2 ,2)=2 1,k )x 3 y 6 0,1 k 1 k 1 k得 N (3k 6 ,uuur(5,5k)=5(1,k) . 5k) , AN113k13k13k13k3k故 tuuuur uuur2） 5(12AM AN（15k55k (3k k)3k)(1k)5.(1k 2 )(13k)(1k 2 )(1 3k )(13k)(1k 2 )上 , t的与直l的斜率没关 ,且tuuuur uuur5 .⋯⋯ 16AM AN分（3 ）另解 :CA 并延交直m于点 B ,CM , CN , 由(1)知 AC m, 又CM l,因此四点 M ,C , N , B 都在以CN直径的上,由订交弦定理得uuuur uuurt AM AN AM AN AC AB 5 .⋯⋯⋯⋯⋯ 16分21 ．（本分 18 分，第 1 小分4分，第2小分 7分，第 3 小分7 分）解： (1) a111，a22， a44，a 2 a4a∵ a1，a2， a4成等差数列，∴ a1a42a2，⋯⋯⋯⋯ 2 分化得 a22a ，∵ a N * ，∴a 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2)假存在的k ，a足条件，a11， a33， a kk，1a3k aa∵ a1，a3， a k成等比数列，∴ (a3) 2a1a k，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分去分母 , 睁开得9a29ka9a ka26ka ,化得 (3k9) a( k9) a2,∵ a N*，∴(k9)a3k 9,( a3)k 99a ，当 k10,a39 ;当 k11 ,a21；等等．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分一般的 , t k9N* , l a3N * ,a336, k 936.⋯⋯9分t l∵ a N*，∴l , t需 36 的公数 , k的取会合k k 9361,2,3,4,6,9,12,18,36 l, l(或许列10，11，12，13，15，18，21，27，45 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分(3) 即存在k，t n ，使得a n a k a t⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分即：n k t1a(1a)(1 a )1 1 1an a k a t a n k t n k t ktk n k a k n k a， t n(k a)⋯⋯⋯⋯ 15 分nk kt n t k n令 k n1，t n(k a)n( n1a) ∴ 随意 n ， a n a n 1 a n (n 1 a),即数列中的随意一a n能够表示成数列中的其余两之．⋯⋯⋯ 18 分2018届静安区高三一模数学Word 版(附解析) 11 / 11注 :直接结构出 a k n 2n 2n 2n a 与 a t 亦可，比如： 2n 2a 2n a (2n ，n a a) a 因此 a n a 2n a 2n a .。
2018年上海市静安区中考数学二模试卷(可编辑修改word版)
2018 年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4 分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．2．（4 分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．（x+2）2﹣1＝0 C．x2+1＝0D．3．（4 分）如果a＞b，m＜0，那么下列不等式中成立的是（）A．am＞bm B．C．a+m＞b+m D．﹣a+m＞﹣b+m．4．（4 分）如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD 于点E、F，EG 平分∠BEF，如果∠EFG＝64°，那么∠EGD 的大小是（）A．122°B．124°C．120°D．126°5．（4 分）已知两组数据：a1，a2，a3，a4，a5 和a1﹣1，a2﹣1，a3﹣1，a4﹣1，a5﹣1，下列判断中错误的是（）A．平均数不相等，方差相等B．中位数不相等，标准差相等C．平均数相等，标准差不相等D．中位数不相等，方差相等6．（4 分）下列命题中，假命题是（）A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形C．一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形D．有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4 分）计算：（2a）2•a3＝．8．（4 分）分解因式（x﹣y）2+4xy＝．9．（4 分）方程组的解是．10．（4 分）如果有意义，那么x 的取值范围是．11．（4 分）如果函数（a 为常数）的图象上有两点（1，y1）、，那么函数值y1 y2．（填“＜”、“＝”或“＞”）12．（4 分）为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000 株此类花卉的园地内，随机抽测了200 株的高度作为样本，统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）试估计该园地内此类花卉高度小于55 厘米且不小于45 厘米的约为株．13．（4 分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取一个数，这个数既是奇数又是素数的概率是．14．（4 分）如图，在△ABC 中，点G 是重心，过点G 作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．已知，那么．（用向量表示）15．（4 分）如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD，且交CD 于点E，如果OE＝BE，那么弦CD 所对的圆心角是度．16．（4 分）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是．（用含字母a 的代数式表示）．17．（4 分）在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b），规定两种变换：f（a，b）＝（﹣a，﹣b），g（a，b）＝（b，﹣a），那么g[f（1，﹣2）]＝．高度（cm）40～45 45～50 50～55 55～60 60～65 65～70 频数33 42 22 24 43 3618．（4 分）等腰△ABC 中，AB＝AC，它的外接圆⊙O 半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是．三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10 分）计算：（﹣cot45°）2018+||+（π﹣3）0﹣（sin30°）﹣1．20．（10 分）解方程：．21．（10 分）已知：如图，边长为1 的正方形ABCD 中，AC、DB 交于点H．DE 平分∠ADB，交AC 于点E．联结BE 并延长，交边AD 于点F．（1）求证：DC＝EC；（2）求△EAF 的面积．22．（10 分）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润＝销售价﹣成本价）23．（12 分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC、DB 交于点E，点F 在BC 的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF＝∠ADC．（1）求证：；（2）如果BD2＝2AD•DF，求证：平行四边形ABCD 是矩形．24．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B（8，0）和点C（9，﹣3）．抛物线y＝ax2﹣8ax+c （a，c 是常数，a≠0）经过点B、C，且与x 轴的另一交点为A．对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM 的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD 是等腰梯形，且AD∥BC，求点D 的坐标．25．（14 分）如图，平行四边形ABCD 中，已知AB＝6，BC＝9，cos∠ABC．对角线AC、BD 交于点O．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B，交线段PA 于点E．设BP＝x．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．2018 年上海市静安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4 分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．【解答】解：、、既不是分数也不是整数，不属于有理数，故A、B、C 均不符合题意；2，是整数，属于有理数，故D 选项符合题意；故选：D．2．（4 分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．（x+2）2﹣1＝0 C．x2+1＝0 D．【解答】解：A、由得，x≥1，则﹣x＜0，根据算术平方根的定义可知，A 无实根；B、（x+2）2＝1x+2＝±1，x1＝﹣1，x2＝﹣3，B 有实根；C、x2≠﹣1，故 C 无实根；D、由x﹣4≥0 可知，x≥4，则0，0，故D 无实根；故选：B．3．（4 分）如果a＞b，m＜0，那么下列不等式中成立的是（）A．am＞bm B．C．a+m＞b+m D．﹣a+m＞﹣b+m．【解答】解：A、am＜bm，故原题错误；B、，故原题错误；C、a+m＞b+m，故原题正确；D、﹣a+m＜﹣b+m，故原题错误；故选：C．4．（4 分）如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD 于点E、F，EG 平分∠BEF，如果∠EFG＝64°，那么∠EGD 的大小是（）A．122°B．124°C．120°D．126°【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG 平分∠BEF 交CD 于点G，∴∠BEG∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°，故选：A．5．（4 分）已知两组数据：a1，a2，a3，a4，a5 和a1﹣1，a2﹣1，a3﹣1，a4﹣1，a5﹣1，下列判断中错误的是（）A．平均数不相等，方差相等B．中位数不相等，标准差相等C．平均数相等，标准差不相等D．中位数不相等，方差相等【解答】解；因为两组数据：a1，a2，a3，a4，a5 和a1﹣1，a2﹣1，a3﹣1，a4﹣1，a5﹣1，它们的平均数不同，方差相等，中位数不同，标准差相等，故选：C．6．（4 分）下列命题中，假命题是（）A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形C．一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形D．有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确；B、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，错误；C、一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形，正确；D、有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形，正确；故选：B．二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4 分）计算：（2a）2•a3＝4a5 ．【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．故答案为4a5．8．（4 分）分解因式（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2 ．【解答】解：（x﹣y）2+4xy＝x2﹣2xy+y2+4xy，＝x2+2xy+y2，＝（x+y）2．故答案为：（x+y）2．9．（4 分）方程组的解是，．【解答】解：，①﹣②，得3x＝﹣3，解这个方程，得x＝﹣1，把x＝﹣1 代入①，得﹣1+y＝3，解得x＝4，这个方程组的解为，故答案为：．10．（4 分）如果有意义，那么x 的取值范围是 x＞4 ．【解答】解：由题意可知：x﹣4≥0 且x﹣4≠0所以x＞4故答案为：x＞4）、，那么函数值y．（填“＜”、“＝”或“＞”）【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，∴在图象的每一支上y 随x 的增大而增大，∵1，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．（4 分）为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000 株此类花卉的园地内，随机抽测了200 株的高度作为样本，统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）高度（cm）40～45 45～50 50～55 55～60 60～65 65～70 频数33 42 22 24 43 36 试估计该园地内此类花卉高度小于55 厘米且不小于45 厘米的约为960 株．【解答】解：估计该园地内此类花卉高度小于55 厘米且不小于45 厘米的约为3000960 （株），故答案为：960．13．（4 分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取一个数，这个数既是奇数又是素数的概率是．【解答】解：∵在1～9 这9 个数中，既是奇数又是素数的有3、5、7 这三个，∴这个数既是奇数又是素数的概率是，故答案为：．14．（4 分）如图，在△ABC 中，点G 是重心，过点G 作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．已知，那么．（用向量表示）【解答】解：∵DE∥BC，点G 是重心，∴ADAB，DEBC，∴，故答案为：．15．（4 分）如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD，且交CD 于点E，如果OE＝BE，那么弦CD 所对的圆心角是 120 度．【解答】解：连接OC，BC，OD，∵直径AB 平分弦CD，OE＝BE，∴OC＝BC＝OB，∴△OCB 是等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，即弦CD 所对的圆心角是120°，故答案为：12016．（4 分）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是．（用含字母a 的代数式表示）．【解答】解：∵正多边形的一个外角是其内角的一半，∴设外角为x°，则内角为2x°，∴x+2x＝180，x＝60，∴这个正多边形的边数是360÷60＝6，∴它的中心角＝60°，∴正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，∴它的半径为a，∴此正多边形的边心距是a，故答案为：a．17．（4 分）在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b），规定两种变换：f（a，b）＝（﹣a，﹣b），g（a，b）＝（b，﹣a），那么g[f（1，﹣2）]＝（2，1）．【解答】解：由题意得：f（1，﹣2）＝（﹣1，2），g（﹣1，2）＝（2，1），故答案为：（2，1）．18．（4 分）等腰△ABC 中，AB＝AC，它的外接圆⊙O 半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是．【解答】解：如图1，由题意得，∠BOC＝90°，AD⊥BC，则∠OBC＝45°，∴BD＝OD，∴AD1，则cot∠ABC1；如图2，cot∠ABC1，故答案为：±1．三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10 分）计算：（﹣cot45°）2018+||+（π﹣3）0﹣（sin30°）﹣1．【解答】解：原式＝3（﹣1）2018+（）+1﹣（）﹣1＝311﹣2＝2．20．（10 分）解方程：．【解答】解：，（x+4）（x﹣1）﹣5（x+1）＝6xx2+3x﹣4﹣5x﹣5﹣6x＝0，x2﹣8x﹣9＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝9，经检验：x＝﹣1 是增根，舍去∴原方程的根是x＝9．21．（10 分）已知：如图，边长为1 的正方形ABCD 中，AC、DB 交于点H．DE 平分∠ADB，交AC 于点E．联结BE 并延长，交边AD 于点F．（1）求证：DC＝EC；（2）求△EAF 的面积．【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴DC＝BC＝BA＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，AH＝DH＝CH＝BH，AC⊥BD，∴∠ADH＝∠HDC＝∠DCH＝∠DAE＝45°，又∵DE 平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDH，∵∠DAE+∠ADE＝∠DEC，∠EDH+∠HDC＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，∴DC＝EC；（2）∵正方形ABCD，∴AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴（）2，∵AB＝BC＝DC＝EC＝1，AC，∴AE1，Rt△BHC 中，BHBC，∴在△BEC 中，BH⊥EC，S△EBC1，∴（1）2，∴S△AEF（3﹣2）．22．（10 分）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润＝销售价﹣成本价）【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），把（10，40），（18，24）代入得：，解得：，∴y 与x 之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，整理，得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．答：该经销商想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为15 元．23．（12 分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC、DB 交于点E，点F 在BC 的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF＝∠ADC．（1）求证：；（2）如果BD2＝2AD•DF，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AB∥DC∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BEF+∠DEF＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝∠BEF+∠DEF，∵∠DEF＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠EBF＝∠ADB，∴△ADB∽△EBF，∴；（2）∵△ADB∽△EBF，∴，在平行四边形ABCD 中，BE＝EDBD，∴AD•BF＝BD•BEBD2，∴BD2＝2AD•BF，又∵BD2＝2AD•DF，∴BF＝DF，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE＝DE，∴FE⊥BD，即∠DEF＝90°，∴∠ADC＝∠DEF＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．24．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B（8，0）和点C（9，﹣3）．抛物线y＝ax2﹣8ax+c （a，c 是常数，a≠0）经过点B、C，且与x 轴的另一交点为A．对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM 的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD 是等腰梯形，且AD∥BC，求点D 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x4，∴点B（8，0）关于直线x＝4 的对称点A 的坐标为（0，0），将A（0，0），C（9，﹣3）代入y＝ax2﹣8ax+c 得，解得，∴抛物线解析式为yx2x；（2）设M（4，y），又∵MA＝MC，∴42+y2＝52+（y+3）2，解得y＝﹣3，∴M（4，﹣3），∵MC∥AB 且MC≠AB，∴四边形ABCM 为梯形，∴四边形ABCM 的面积（5+8）×3；（3）设直线BC 的解析式为y＝mx+n，把B（8，0），C（9，﹣3）代入得，解得，∴直线BC 的解析式为y＝﹣3x+24，∵AD∥BC，∴直线AD 的解析式为y＝﹣3x，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴CD＝AB＝8，设D（t，﹣3t），∴（t﹣9）2+（﹣3t+3）2＝82，解得t1＝1（舍去），t2，∴点D 的坐标（，）．25．（14 分）如图，平行四边形ABCD 中，已知AB＝6，BC＝9，cos∠ABC．对角线AC、BD 交于点O．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B，交线段PA 于点E．设BP＝x．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC 于H，且cos∠ABC，AB＝6，∴BH＝AB•cos∠ABC＝2，∵BC＝9，∴HC＝9﹣2＝7，在Rt△ABH 中，根据勾股定理得，AH4在Rt△AHC 中，根据勾股定理得，AC9；（2）如图2，作OI⊥AB 于I，联结PO，AC＝BC＝9，AO＝4.5∴∠OAB＝∠ABC，∴Rt△AIO 中，cos∠IAO＝cos∠ABC∴AI＝1.5，IO＝2AI＝3∴PI＝AB﹣BP﹣AI＝6﹣x﹣1.5x∴Rt△PIO 中，OP2＝PI2+OI2＝x2﹣9x∵⊙P 与⊙O 外切，∴OPx+y∴yxx∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B，交线段PA 于点E．∴定义域：0＜x≤3，（3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E，∴⊙O 与⊙P 相交∵AO 是⊙O 半径，且AO＞OI，∴交点E 存在两种不同的位置，OE＝OA①当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI＝1.5，AE＝3，∴点E 是AB 中点，BEAB＝3，BP＝PE，PI＝3，IO＝3，∴OP3②当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点，OPBC ∴OP＝3 或．。
上海市静安区2018-2019学年第二学期期中教学质量检测（二模）高三数学试卷（含答案）
静安区2018学年第二学期期中教学质量检测高三数学试卷2019.05一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式0121762<++x x 的解集是_____________．答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,232．已知复数i 2i1i2-+=z （其中i 是虚数单位），则=||z ________． 答案：23．已知点A 1,−2,−7 ，B (3,10,9)，C 为线段AB 的中点，则向量CB 的坐标为________． 答案：(1,6,8)4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤--≥-+,20,01,02y y x y x 则目标函数y x z +-=2的最大值为______．答案：25．若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为________． 答案：2π6．已知514tan =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=αtan ___________． 答案：237．已知双曲线C 与椭圆131222=+y x 的焦点相同，且双曲线C 的一条渐近线方程为x y 25=，则双曲线C 的方程为___________． 答案：15422=-y x8．函数y =sinx +cosx − sinx −cosx 的值域是____________． 答案：[−2, 2]9．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，则取出的2个球颜色不同的概率是_____（结果用最简分数表示）． 答案：97 10．若等比数列}{n a （*N ∈n ）满足3031=+a a ，1042=+a a ，则n a a a ⋅⋅⋅ 21的最大值为_______． 答案：729（36）11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c .已知a ，b ，c 依次成等比数列，且21cos )cos(=--B C A ，延长边BC 到D ，若BD =4，则△ACD 面积的最大值为___________． 答案： 312．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21sin )(x a x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+201920172019220191)0(f f f f 1010)1(20192018=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f ，则实数=a ____________． 答案：21二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）（A ）总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007．（B ）总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007．（C ）总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007． （D ）总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007．答案：B14．若a ，b 均为单位向量，则“|2||2|b a b a+=-”是“b a ⊥”的（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件． （C ）充分必要条件．（D ）既不充分又不必要条件． 答案：C15．函数c x b x x f ++=cos sin )(2的最小正周期（）（A ）与b 有关，且与c 有关．（B ）与b 有关，但与c 无关． （C ）与b 无关，且与c 无关．（D ）与b 无关，但与c 有关． 答案：B16．设)(x f 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，若211=a ，)(n f a n =（*N ∈n ），数列}{n a 的前n 项和n S 组成数列 S n ，则有（）（A ）数列 S n 递增，最大值为1．（B ）数列 S n 递减，最小值为12．（C ）数列 S n 递增，最小值为12．（D ）数列 S n 递减，最大值为1．答案：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，BC BA AD m ===12，VA ⊥平面ABCD ．（1）求证：CD ⊥平面VAC ； （2）若VA m =2，求CV 与平面VAD 所成角的大小．17. （1）法1：连结ACAB BC ABC CAB ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，9045取AD 中点G ，连CG ，因为BC ∥AD ，所以四边形ABCG 为正方形． 所以CG GD CGD o =∠=，90∴∠=DCG o 45∴∠=DCA o 90……………………（4分）所以CD ⊥CA ，又VA ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥VA ， CD ⊥平面VA C ………………（6分）法2：用勾股定理逆定理证明∴∠=DCA o 90或者以A 为原点，射线AB ，AD ，AV 所在直线为x,y,z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，DC ∙CA =0. （2）法1：连VG由CG AD VA CG CG VAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面∴∠CVG 是CV 与平面VAD 所成的角………………（11分）VC VA AB BC m CG m CVG o=++==∴∠=222230，∴CV 与平面VAD 所成角为30°………………（14分）法2：以A 为原点，射线AB ，AD ，AV 所在直线为x,y,z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则平面VAD 法向量AB =(m ,0,0)，又VC =(m ,m ,− 2m )，设向量AB 与VC 夹角为θ，则cos θ=VC ∙AB 2m∙m=12，θ=π3，CV 与平面VAD 所成的角为π6。
高考数学试题-2018年上海市杨浦、静安、青浦、宝山四区高三年级联合模拟 最新
2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（满分150分，答题时间120分钟） 2018.4考生注意：1． 本试卷包括试题卷和答题纸两部分．试题卷上题号后注明[文科]的试题，表示文科生做，注明[理科]的试题表示理科生做，未注明的试题所有考生都要做．答题纸另页，正反面． 2． 在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .2．函数sin cos y x x = .3．已知=U R ，集合23|02x M x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R C M = . 4．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .5．若11{2,1,0}12x∈--，则x = . 6．[文科] 若α是方程2x 4x 50-+=在复数范围内的根，则||α= .[理科]设集合{}C x x x A ∈=-=,01|4，z 23i =-，若A x ∈，则z x -的最大值是 .7. [文科]非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则3x y +的最大值为 .[理科]在极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+＝的半径长是 .8．[文科]有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是 .[理科] 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是 分.9．程序框图如图所示，其输出的结果是 . 10．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = .11．[文科] 一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 12．[文科]如图，要做一个圆锥形帐篷（不包 括底面），底面直径6米，高4米，那么至少 需要 平方米的帆布.[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径 均是d ，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .13．[文科] 以抛物线x y 82=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是 .[理科]已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14．[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABC S ∆= .[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（ ）.第9题第12题[文科]第11题(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件16.下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”． 其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 317. [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ 18．[文科] 已知函数2a x f (x)x+=，(a 0)>，x (0,b)∈，则下列判断正确的是（ ）.(A)当b >时，f (x)的最小值为；(B)当0b <≤时，f (x)的最小值为(C)当0b <≤时，f (x)的最小值为2a b b+；BA 1C 1D(D)对任意的b 0> ，f (x)的最小值均为[理科] 设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．三．解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)[文科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，四棱柱的体积为1AD 与PB 所成的角大小.（结果用反三角函数值表示）[理科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P 是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，若PB 与平面11ADD A 成045角，求点1A 到平面ACP 的距离.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．把水放在温度为0θ℃的空气中冷却，若水原来的温度是1θ℃10()θθ>，t 分钟后物体温度θ℃可由公式010()kt e θθθθ-=+-求得，其中，k 是由不同盛水的容器所确定的正常量．（1）若室温为20℃，往某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k 的值；（精确到0.001）（2）若一保温杯的0.01k =，往该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1℃）．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[文科]已知平面向量)1),(sin(x a -=π，)cos ,3(x b =，函数b a x f ⋅=)(． （1）写出函数)(x f 的单调递减区间；第19题[文、理科]（2）设1)6()(+-=πx f x g ，求直线2=y 与)(x g y =在闭区间],0[π上的图像的所有交点坐标.[理科] 已知平面向量(sin(2),1)=- a x π，b =，函数a x f ⋅=)(．（1）写出函数)(x f 的单调递减区间；（2）设nnnn g(x)lim ,(0x 2)x →+∞π=<<ππ+，求函数()=y f x 与)(x g y =图像的所有交点坐标. 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．已知12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 作垂直于x 轴的直线2MF 交椭圆于M ，设2MF d = .（1）证明：,,d b a 成等比数列；(2)若M 的坐标为)，求椭圆C 的方程；（3）[文科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若0⋅=OA OB ，求直线l 的方程．[理科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得OP OA OB =+，求直线l 的方程．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()=y f x 使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()=y f x 是数列{}n a 的“保三角形函数”，(n N*)∈.(1)已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若(),(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列{}n c 的首项为2018，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040+-=n n S S ，证明{}n c 是“三角形”数列；(3) [文科] 若()lg =g x x 是(2)中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项．[理科] 根据“保三角形函数”的定义，对函数2()2h x x x =-+，[1,]∈x A ，和数列1，1+d ，12+d ，（0>d ）提出一个正确的命题，并说明理由.2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟数学试卷参考答案2018.4一、填空题1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023112 2.π=T 3.]23,2[- 4.43πα= 5. 0 6. 文理7. 文9 理2.5 8. 文128 理 7759. 127 10.12 11. 文5 理15158 12. 文 15π13. 文1322=-y x 理03=++q y px2(40)∆=->p q14. 文65 理 34二、选择题 15.B 16.C 17. 文 C 理C 18.文 A 理A 三、解答题19．[文科]解：由体积为202sin 60⋅=h h=4… 3分 取AD 的中点为E ，联结PE ，PB ，则11⊥BE ADD A ， ……5分1//AD PE ，∠EPB 为直线PB 与直线1AD 所成的角． ……8分经计算=BE=PB …… 10分sin ∠=EPB ， 即异面直线1AD 与PB所成的角为arcsinarctan ）．… 12分 [理科] 解：取AD 的中点为E ，联结BE ，PB ，则11⊥BE ADD A ，∠EPB 为PB 与平面11ADD A 所成的角． …… 2分经计算=BE=PB=PD1=DD…… 4分以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴建立空间直角坐标系，… 5分A，(C，(0,1-P ，= AC，,=PA ， …… 7分 设平面ACP 的法向量(,,)=n x y z ，由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ AC n PA n得= n ， … 10分而1= A A，所以1||⋅== A A n d n …… 12分20．（1）由题意，6071.220(9820)0.007k e k -=+-⇒= …5分 （2）01(1)kt kt e e θθθ--=-+，当0θ、1θ越大时，水温保持时间越长．… 7分0.011500.0115000040(1)10022.8-⨯-⨯=-+⇒=e e C θθ …… 13分答:此时的室内温度为022.8C ． …………………… 14分 21. [文科] 解：（1）)6sin(2cos )sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…4分单调递减区间)](342,32[Z k k k ∈++ππππ； …… 6分 （2）1sin 21)6()(+=+-=x x f x g π，…………………………… 8分 解2)(=x g ，即21sin =x ，],0[π∈x 得65,6ππ=x ，…………12分 所以交点坐标为：)2,65(),2,6(ππ． ……14分 [理科]解：(1))62sin(22cos )2sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…2分单调递减区间为2[k ,k ](k Z)63πππ+π+∈； ……6分 （2）1,(0x )1g(x),(x )20,(x 2)<<π⎧⎪⎪==π⎨⎪π<<π⎪⎩， …… 8分当0x <<π时，解2sin(2x )16π+=，得x 3π=， ……10分 当x =π时，解12sin(2x )62π+=，无解， ……11分 当x 2π<<π时，解2sin(2x )06π+=，得17x 12π=， ……13分 所以交点坐标为：(,1)3π，17(,0)12π． ……14分22.(1)证明：由条件知M 点的坐标为()0,c y ，其中0=y d ，222221,∴+===c d b d b a b a， …… 3分 d bb a∴=，即,,d b a 成等比数列． …… 4分 (2)由条件知1c d =，22212b a a b ⎧=⋅∴⎨=+⎩ …… 6分2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩椭圆方程为22142x y += …… 8分 （3）[文科]设点A ),(11y x 、B ),(22y x ，当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，所以0⋅≠OA OB ． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ．…………… 11分所以21222122x x ,12k 4k 4x x 12k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪⎩+…………………………………………… 13分 由0⋅=OA OB 得1212x x y y 0⋅+⋅=222212121212x x k (x (1k )x x (x x )2k 0⋅+=+⋅++=代入得2222222(1k )(4k 4)2k 012k 12k+--+=++，解得k = 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分[理科]设点P （x,y ），A ),(11y x 、B ),(22y x ，由 OP OA OB =+ ，得1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，此时P )0,22(-不在椭圆上． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ． …… 11分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=++=+=+-=+=222212122212122)222124()22(,2124k kk k k x x k y y y k k x x x … 13分把点P （x,y ）代入椭圆方程得1)21(28)21(432222224=+++k k k k ，解得212=k ， 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分 23． (1)显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数都成立， 即{}n a 是三角形数列． …… 2分因为k>1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<⋅⋅⋅，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>，解得k <所以当∈k 时，()x f x k =是数列{}n a 的“保三角形函数”. …… 5分 (2) 由1438040+-=n n S S 得1438040--=n n S S ,两式相减得1430+-=n n c c所以，1320104-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n c ，经检验，此通项公式满足1438040+-=n n S S ……7分显然12++>>n n n c c c ，因为11123321320102010201044164+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n c c c ，所以{}n c 是“三角形”数列． …… 10分(3) [文科] 因为n g(c )是单调递减函数，所以，由12lg lg lg --+>n n n c c c 得333lg 2010(2)lg lg 2010(1)lg lg 2010(3)lg 444+-++->+-n n n ……14分 化简得4lg 2010lg 3>n ，解得26.4<n ， 即数列{}n b 最多有26项． ……18分(3) [理科] 探究过程： 函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d (0)d >是三角形数列，所以1112d d ++>+，即01d <<．②数列中的各项必须在定义域内，即12+≤d A .③(1),(1),(12)++h h d h d 是三角形数列.由于2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是单调递减函数，所以(1)(12)(1)h d h d h +++>，解得0d <<． 评分建议原则：从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次．对于非完备性的探索包括指向有误的探索，应坚持完成评卷．1．没有写出命题，但有比较完整的探究过程，得分最高不超过4分．2．写出“2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’” 的必要条件之一或者充分条件之一（当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’），并能适当说明理由，得分最高不超过6分．3．能正确指出“当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’”，并能适当说明理由，得分最高不超过4分．4．考生解答出现上述2、3两条交叉情况的，以较高的得分赋分．第一层次 ………………命题4分，证明4分.示例1： 2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的充要条件是12,05+≤<<d A d ． 证明：必要性：因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <，且12+≤d A .充分性：当12,0+≤<<d A d 时，22(1)1,(1)1,(12)14h h d d h d d =+=-+=-， 有(1)(1)(12)0h h d h d >+>+>，且22(1)(12)(1)(14)1(1)h d h d d d h +++=-+->=，故函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”．综上，充要条件是12,05+≤<<d A d . 第二层次 …………… 命题3分，证明3分.示例2：2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的必要条件是550<<d . 解：在A d ≤+21条件下，因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <. 第三层次 …………… 命题2分，证明2分.示例3：当12d A +>时，显然()y h x =不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”.因为，此时(12)h d +不存在.。
2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何
2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）.已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 直线l 在平面α内 D. 直线l 在平面α内或平行14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±α15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. 15（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题：① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>），则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 318（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且123d d =. （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ 的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y .（1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示）， 并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）的一个顶点坐标为(2,0)A，且长轴长是短轴长的两倍.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G H'恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y-=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P-的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为52km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20（2018奉贤二模）. 设复平面上点Z 对应的复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|2||2|6z z ++-=，点Z 的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :221y x n -=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ⋅=，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.20（2018松江二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.20（2018虹口二模）. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.20（2018宝山二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行.（1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左右焦点，动点00(,)P x y （01y ≥）在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(,0)M m （55m -<<）、N ，试比较m 与2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求2F DE ∆的面积最大值.20（2018杨浦二模）. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20（2018长嘉二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆Γ上. （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求COD ∆面积的最大值；（3）若直线m 经过点(1,0)M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线00:l x x =（其中02x >），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||A B d MA d MB =恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.20（2018青浦二模）. 如图，A 、B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值；（2）若直线MN 过点2，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.。
静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A． B． C． D．2． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜03． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β4． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ） A ．（0，10）B．（，10）C．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）5． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤6． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）A． B． C． D．7． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0 B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0 C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0 D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞08． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 9． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）A ．3B ．4C ．D ．1310．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0D ．2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，] D ．（﹣∞，]12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）二、填空题13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ． 14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.16．i 是虚数单位，化简：= ．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________. 18．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题19．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程是2=ρ，曲线2C 的参数方程是θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x 是参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=-,以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中)ϕ∈R22．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （1﹣），a ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）的最小值为0． （i ）求实数a 的值；（ii ）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=f （a n ）+2，记[x]表示不大于x 的最大整数，求证：n ＞1时[a n ]=2．23．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．24．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．2．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．3．【答案】C【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．4．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．5．【答案】D【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m ∥β，故选D【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．6．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．7．【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x＞0，使得x2﹣x＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．8．【答案】A【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a>，0d<”判断前项和的符号问题是解答的关键．9．【答案】D【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），解得=13．故选：D．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．10．【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，∴4a=0，解得a=0．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．12．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．二、填空题13．【答案】1．【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．14．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．a15．【答案】1试题分析：因为不等式()2110ax a x +++≥恒成立，所以当0a =时，不等式可化为10x +≥，不符合题意；当0a ≠时，应满足2(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩，即20(1)0a a >⎧⎨-≤⎩，解得1a =.1考点：不等式的恒成立问题. 16．【答案】 ﹣1+2i ．【解析】解： =故答案为：﹣1+2i ．17．【答案】()0,1【解析】18．【答案】 ①②④【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1， ∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2=1，∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即=，∴M=．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=；（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则=M ﹣1=，即，∴代入4x+y ﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．20．【答案】【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程是222=+y x ， 曲线2C 的普通方程是)21221(1+≤≤+=t y t x …………5分（Ⅱ）对于曲线1:C 222=+y x ，令1x =，则有1y =±．故当且仅当001112-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或时，1C ，2C 没有公共点， 解得12t >．……10分21．【答案】【解析】（1）∵4sin()3πρθ=-，∴4(sin coscos sin )33ππρθθ=-，∴22sin cos ρρθθ=-，∴曲线C的直角坐标方程为2220x y y ++-=． （2）曲线C可化为22((1)4x y +-=， ∴曲线C 是圆心，半径为2的圆， ∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ， ∴点Q 在圆O ：221x y +=，∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=．当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ． 所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）． 综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意； 当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0， 令g （x ）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=，由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x）=0． 因此，a=1．（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣1+，所以a n+1=f （a n）+2=1++lna n ．由a 1=1得a 2=2于是a 3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n ＜．下面用数学归纳法进行证明．①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，h（）=1++ln＜1++1＜．故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．综上可得，n＞1时[a n]=2．【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．23．【答案】【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=1，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，得，∴k AB==﹣=﹣，∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0．（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1，则cos∠F1PF2==﹣1=﹣1=﹣1，又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．（3）∵=12，=3，∴=9．则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，故所求的椭圆方程为=1．【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=×2π×2×2=4π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB===2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．。
上海市静安区达标名校2018年高考二月数学模拟试卷含解析
上海市静安区达标名校2018年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20173．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．4．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．3y x =C ．22y x =±D ．2y x =±6．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．327．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．139．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8010．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年上海市静安区高考数学二模试卷(解析版)
17．（14 分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t 的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度 C 是指每平方米的昆虫数量，这个 C 的函数表达式为
这里的 t 是从午夜开始的小时
数，m 是实常数，m＝C（8）． （1）求 m 的值； （2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．
cm．
6．（4 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为（4，3，2），则 的坐标为
．
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7．（5 分）方程
的解集为
．
8．（5 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（a，﹣4）（a＞
0）到焦点 F 的距离为 5．则该抛物线的标准方程为
．
9．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值
的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若
输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 q 的值为
．（在算法语言中用“*”表示乘法
运算符号，例如 5*2＝10）
2018 年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4 分）已知集合 A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合
用列举法表示的结果是
（1）若 a＝﹣1，解不等式 f（x）≥0；
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上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3. 函数lg 2y x =+（）的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件 的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线 为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1BD 的坐标为7. 方程3cos22x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=）10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点， 且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于 12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2a B x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m 的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分图像如图所示，则()3f π的值为（ ） A. 22 B. 32 C. 62D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .（1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆.问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）.（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01x x>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2.3. [1,)-+∞4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10.9411. 1 12. 19[14+-二. 选择题 13. D 14. A 15. C 16. B三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分（2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分 由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分 圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分 则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -． 所以(1,0,2)AP =-，11(,,1)22BM =--，52AP BM ⋅=，||5AP =，6||2BM =． ……3分 则530cos ,6||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分 （2）1(1,,0)2AB =-，11(,,1)22BM =--． 设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =． 得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =． ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =， ……10分所以n 2OB ⋅=，||29n =，1||2OB =．则44cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===. 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ……14分 20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分 又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠ 所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分 （2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ ……6分 若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分111111222221n n n n a a a a n n -+⎛⎫⎛⎫-=+⋅--+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ ……8分 由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++，所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>， 则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分 若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<， 所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分 21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可）（2）由01x x>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分（3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+， 则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=， ∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。