八年级数学下册第2章四边形27正方形习题课件新版湘教版
八年级数学下册第2章四边形2.7正方形教学课件新版湘教版
D
O C
【例题】
例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证形
3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线
BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等
腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结
2
论的序号是_____.
【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于 点M，由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边 形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2EC. 答案：①②④⑤
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形.
2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5
湘教版八年级数学下册平行四边形教学课件(2课时共37张)
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流.
D
四边形ABCD是
平行四边形
B
平行四边形ABCD记作“□ ABCD”.
C
新知探究 1
每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形
（或图中的□ABCD）四条边的长度、四个角的大小，
由此你能做出什么猜测？
A
D
B
C
通过视察和测量，我发 现平行四边形的对边相
等 ，对角相等.
你能证明吗？
如图，连接AC.
答：1.不是.反例：
2.不是.反例：
练习
3.如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连 接EB，EC.求证：四边形ABEC是平行四边形.
证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD. ∵DE=AD， ∴四边形ABEC是平行四边形.
4. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线MN经过
点O，分别与AB，CD交于点M，N，连接AN，CM.求 证：四边形AMCN是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，∠MBO=∠NDO. ∵∠BOM=∠DON， ∴△BOM≌△DON(ASA).∴MO=NO. ∴四边形AMCN是平行四边形.
A
D
1O4
3
2
B
C
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线相互
平分.
【例3】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相
交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD 的周长.
解：∵AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
∴OC=
1 2
AC=3，OD=
1 2
八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形课件 湘教下册数学课件
又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当 ∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足 ∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
第三十一页，共四十九页。
第三十二页，共四十九页。
【火眼金睛】
如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，若 AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么(shén me)图形？证明你
一组对角(duìjiǎo)，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
第十二页，共四十九页。
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (
)C
A.对角线相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相(hù 平分 xiāng) D.对角线互相垂直
第十三页，共四十九页。
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点(dǐngdiǎn)A，B，C，D正好
B
A
E
ADF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，A E∴B ED=F,AF.
(2)略
第十一页，共四十九页。
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线” 1.边：四条边都相等且每组对边平行.
2.角：四个角都是直角.
3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分
(2)求正方形EFGH的面积.
第四十五页，共四十九页。
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG， 同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形( ， jǔxíng) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，
湘教版八年级数学下册第二章《 正方形》优课件
又∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°， ∴∠2+∠3=90°. ∴∠D/A/B/=90°. ∴四边形A/B/C/D/是正方形.
练习
1.已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.
解，如图，设AB=x,则BC=x， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，即对角线AC为斜边. ∴AB2+BC2=AC2，故2x2=16cm2，
即 x 2 2 cm.
正方形ABCDDE 面积为 SA2B8cm 2.
练习
2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形 一定是正方形吗？为什么？ 答：一定是正方形，理由： 如图，矩形ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：矩形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=OC=OD. ∵AC⊥BD, ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
点的直线都是它的对称轴. 3.正方形的判定：
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月1日星期五2022/4/12022/4/12022/4/1 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/12022/4/12022/4/14/1/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/12022/4/1April 1, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
2.7 正方形
装修房子铺地板的瓷砖（如图）大多是正方形的形状， 它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什 么关系？
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章四边形 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
∴2x+3x= 180°,
解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14，解得y=2. ∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一 起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条， 线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
B
FC
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
练一练
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=___5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°_ ， ∠D=___5_0_°_.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= __1_6___.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°_，∠B=__8_0_°__.
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
2024八年级数学下册第2章四边形2.7正方形习题课件新版湘教版
(3)拓展延伸 如图③，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF
于点 G，连接 GE.若已知 AB＝2 2，CD＝14BC，则 GE ＝___1_0____．
【点拨】对于线段之间的关系的结论猜想题，一般要考虑 两种情况：一是位置关系，即平行或垂直；二是数量关系， 即相等或倍数关系，若是三条线段，一般存在三者间的和 差关系．这两种情况下的结论一般可以观察图形得到．如 此题中，BC与CF的垂直关系易得；BC，CD，CF之间的 数量关系在不同图形中也容易辨识．
∵DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形．
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10．在四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列条 件中，能判定这个四边形为正方形的是____④________． ①AD∥BC，∠ABC＝∠ADC；②AC＝BD，AB＝CD， AD＝BC；③OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC；④OA＝OB ＝OC＝OD，AC⊥BD.
解：∵AB＝AD＝4 2，∴BD＝ AB2＋AD2＝
（4 2）2＋（4 2）2＝8.∵四边形 ABCD 为正方形，
∴易得 AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD＝4. 又 AE＝CF＝2，∴OA－AE＝OC－CF， 即 OE＝OF＝4－2＝2，易知四边形 BEDF 为菱形．
∵∠DOE＝90°，∴DE＝ DO2＋EO2＝ 42＋22＝2 5.
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11．[中考·常德]如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB 与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是
( C) A．BE＝ AE12 B．PC＝PD C．∠EAF＋∠AFD＝90° D．PE＝EC
【点拨】∵F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴AF＝BE.
AF＝BE，
八年级数学下册第2章四边形2.7正方形练习湘教版
课时作业(二十一)[2.7 正方形]一、选择题1．如图K－21－1，在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，则∠CPQ的度数为( )链接听课例3归纳总结图K－21－1A．50° B．60° C．45° D．70°2．2018·滨州下列命题，其中是真命题的为( )A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形3．2017·枣庄如图K－21－2，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )图K－21－2A．2 B. 3 C. 2 D．14．如图K－21－3，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT等于( )图K－21－3A. 2 B．2 2 C．2 D．15．如图K－21－4，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，交BF于点M，连接BE，EF，则∠EBF的度数是( )图K－21－4A．45° B．50°C．60° D．无法确定6．2017·钦州一模如图K－21－5，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为链接听课例3归纳总结( )图K－21－5A.7 22B．3 2 C．5 D．67．2018·仙桃如图K－21－6，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是链接听课例3归纳总结( )图K－21－6A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空题8．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形(只填写一个即可)．9．如图K－21－7所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a 于点E，BF⊥a于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________．10．2017·宿迁如图K－21－8，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1.若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．图K－21－811．如图K－21－9，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于________°.图K－21－912．2018·武汉以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是________．三、解答题13．如图K－21－10，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.(1)求证：∠CAB＝∠DAB；(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.链接听课例4归纳总结图K－21－1014．如图K－21－11，在正方形ABCD中，E是BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.图K－21－11(1)求证：△ABE≌△EGF；(2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE的长．15．如图K－21－12，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF 的距离AH始终保持与AB的长度相等，在点E，F的移动过程中：(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．图K－21－12猜想、探究如图K－21－13①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM.(1)如图②，当点B，C，F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变时，试探究线段DM与FM有怎样的关系，请写出猜想，并给予证明；(2)如图③，当点E，B，C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变时，探究线段DM与FM有怎样的关系，请直接写出猜想．图K－21－13详解详析课堂达标1．[解析] C ∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝DA ＝BC ＝CD ，∠C ＝90°.∵P ，Q 分别为BC ，CD 的中点，∴CP ＝CQ.∵∠C ＝90°，∴∠CPQ ＝45°.故选C.2．[解析] D 一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故A 选项是假命题；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故B 选项是假命题；对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故C 选项是假命题；一组邻边相等的矩形是正方形是正确的，故D 选项是真命题．3．[解析] B ∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB ＝AB ＝2.∵把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，∴BM ＝12BC ＝1.在Rt △BMF 中，FM ＝FB 2－BM 2＝22－12＝ 3.故选B.4．[解析] B △BCD 与△GCE 都是等腰直角三角形，由此可以推出△GTD 也是等腰直角三角形，GD ＝4，由勾股定理可知GT ＝2 2.5．[解析] A 如图，过点E 作EG ⊥BC ，EH ⊥CD ，垂足分别为G ，H ，易证明△BEG ≌△FEH(HL)，得∠BEG ＝∠FEH ，所以∠BEF ＝∠GEH ＝90°，所以∠EBF ＝45°.故选A.6．[解析] C ∵四边形ABCD 是正方形，AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠EAF ＝45°.又∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°，∴∠AEF ＝45°，∴EF ＝AF ＝3.∵△EFC 的周长为12，∴FC＝12－3－EC ＝9－EC.在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋FC 2，∴EC 2＝9＋(9－EC)2，解得EC ＝5.故选C.7．C8．[答案] 答案不唯一，如AC ⊥BD 或AB ＝BC[解析] 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．9．[答案] 7[解析] 可证△ABF ≌△DAE ，则有EF ＝AF ＋AE ＝DE ＋BF ＝4＋3＝7.10．[答案] 10[解析] 连接PC.根据正方形的对称性知PA ＝PC ，所以当点C ，P ，E 在同一条直线时，PA ＋PE ＝PC ＋PE ＝CE 最小，再根据勾股定理求得CE ＝BC 2＋BE 2＝32＋12＝10.11．[答案] 65[解析] ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ＝45°.在△ABE 与△ADE 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE(SAS)，∴∠AEB ＝∠AED.∵∠CBF ＝20°，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝70°，∴∠AED ＝∠AEB ＝180°－45°－70°＝65°.12．[答案] 30°或150° [解析] 分两种情况：(1)如图①，等边三角形ADE 在正方形ABCD 的内部．∠CDE ＝∠CDA －∠ADE ＝90°－60°＝30°.∵CD ＝DE ，∴∠DCE ＝75°，∴∠ECB ＝90°－75°＝15°，同理可以得到∠EBC ＝90°－75°＝15°，∴∠BEC ＝150°.(2)如图②，等边三角形ADE 在正方形ABCD 的外部．∠CDE ＝∠CDA ＋∠ADE ＝90°＋60°＝150°.∵CD ＝DE ，∴∠CED ＝15°.同理∠AEB ＝15°，∴∠BEC ＝∠AED －∠CED －∠AEB ＝60°－15°－15°＝30°.13．证明：(1)∵AB 是CD 的垂直平分线， ∴AC ＝AD ，AB ⊥CD ，∴∠CAB ＝∠DAB(等腰三角形的三线合一)． (2)∵ME ⊥AC ，MF ⊥AD ，∠CAD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠AEM ＝∠AFM ＝90°， ∴四边形AEMF 是矩形．又∵∠CAB ＝∠DAB ，ME ⊥AC ，MF ⊥AD ， ∴ME ＝MF ，∴矩形AEMF 是正方形． 14．解：(1)证明：∵∠AEF ＝90°， ∴∠AEB ＋∠GEF ＝90°. 又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠GEF ＝∠BAE.∵FG ⊥BC ，∴∠EGF ＝90°＝∠ABE.在△ABE 与△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠EGF ，∠BAE ＝∠GEF ，AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EGF(AAS)．(2)∵△ABE ≌△EGF ，AB ＝2， ∴AB ＝EG ＝2，S △ABE ＝S △EGF .∵S △ABE ＝2S △ECF ，∴S △EGF ＝2S △ECF ， ∴EC ＝CG ＝1.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝AB ＝2，∴BE ＝2－1＝1.15．解：(1)∠EAF 的大小没有变化． 理由：根据题意，知AB ＝AH ，∠B ＝90°. 又∵AH ⊥EF ，∴∠AHE ＝90°＝∠B. 在Rt △BAE 和Rt △HAE 中， ∵AE ＝AE ，AB ＝AH ， ∴Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴∠BAE ＝∠HAE ＝12∠BAH.同理可证Rt △HAF ≌Rt △DAF ，∴∠HAF ＝∠DAF ＝12∠HAD ，∴∠EAF ＝∠HAE ＋∠HAF ＝12∠BAH ＋12∠HAD ＝12(∠BAH ＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∴∠EAF 的大小没有变化． (2)△ECF 的周长没有变化． 理由：C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC ， 由(1)得BE ＝EH ，HF ＝DF.又∵BC ＝DC ，EF ＝EH ＋HF ，EC ＝BC －BE ，FC ＝DC －DF ， ∴C △ECF ＝BE ＋DF ＋BC －BE ＋DC －DF ＝BC ＋DC ＝2BC ， ∴△ECF 的周长没有变化． 素养提升[解析] (1)连接DF ，NF ，由四边形ABCD 和四边形CGEF 是正方形，得到AD ∥BC ，CF ∥GE ，于是得到AD ∥GE ，求得∠DAM ＝∠NEM ，证得△MAD ≌△MEN ，得出DM ＝NM ，AD ＝EN ，推出△DCF ≌△NEF ，证出△DFN 是等腰直角三角形，即可得到结论；(2)连接DF ，NF ，由四边形ABCD 是正方形，得到AD ∥BC ，由点E ，B ，C 在同一条直线上，得到AD ∥CN ，求得∠ADM ＝∠ENM ，证得△MAD ≌△MEN ，得出DM ＝NM ，AD ＝EN ，推出△DCF ≌△NEF ，证出△DFN 是等腰直角三角形，于是得到结论．解：(1)DM ＝FM ，DM ⊥FM. 证明：如图，连接DF ，NF.∵四边形ABCD 和四边形CGEF 是正方形， ∴AD ∥BC ，CF ∥GE.∵点B ，C ，F 在同一条直线上，∴AD ∥GE ， ∴∠DAM ＝∠NEM.∵M 是AE 的中点，∴AM ＝EM. 在△MAD 与△MEN 中，∵∠AMD ＝∠EMN ，AM ＝EM ，∠DAM ＝∠NEM ，∴△MAD ≌△MEN ， ∴DM ＝NM ，AD ＝EN. ∵AD ＝CD ，∴CD ＝EN.又∵CF ＝EF ，∠DCF ＝∠NEF ＝90°， ∴△DCF ≌△NEF ，∴DF ＝NF ，∠CFD ＝∠EFN. ∵∠EFN ＋∠NFC ＝90°， ∴∠CFD ＋∠NFC ＝90°， ∴∠DFN ＝90°，即△DFN 是等腰直角三角形． 又∵DM ＝NM ，∴DM ＝FM ，DM ⊥FM.(2)猜想：DM＝FM，FM⊥DM.。
湘教版八年级下册数学课件第2章四边形2.7正方形
是正方形 的平行四边
形是正方形
基础巩固练
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( A ) A．四个角都是直角 B．两组对边分别相等 C．对角线平分对角 D．内角和为 360°
基础巩固练
2．【教材改编题】如图，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE，那么∠BED 为( ) A．60° B．45° C．30° D．15°
能力提升练
11．【中考·自贡】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边的延 长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE＝DF，连接 AE 和 BF 相交于点 M.求证：AE＝BF.
能力提升练
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝CB＝CD. 又∵CE＝DF，∴BE＝CF.
【答案】B
能力提升练
10．【中考·扬州】如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上， 以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF， M，N 分别是 DC，DF 的中点，连接 MN.若 AB＝7，BE＝5， 则 MN＝________．
能力提升练 【点拨】如图，连接 CF，∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都为 正方形，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝BE＝5，BC＝AB＝7，∠FGC＝90°， ∴GC＝GB＋BC＝5＋7＝12， ∴CF＝ GF2＋GC2＝ 52＋122＝13. ∵M，N 分别是 DC，DF 的中点， ∴MN 是△CDF 的中位线，∴MN＝12CF＝123. 【答案】123
能力提升练 13．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点 P，Q
分别是 AB，AC 上的动点，且满足 BP＝AQ，D 是 BC 的 中点． (1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第2章 四边形 正方形
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
B
C
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
A
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形AFBE是正方形．
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四 边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正 方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
H
A
E 平行四边形
D G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
A
H
D
D
G
E 正方形 G
CB
F
C
正方形
当堂练习
第2章 四边形
2.7 正方形
学习目标
1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
3．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点)
导入新课
情景引入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不 在.
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方
形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC， 1
∵AF=AE，
2
∴BE=AF=AE.
2024八年级数学下册第2章四边形2.7正方形上课课件新版湘教版
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD 相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝ 8 2， 面积为AD2＝8.
A
D
B
C
典例精析
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四
个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方 形
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
A
B
O
∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO,
D
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
O
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
湘教版八年级数学下册第二章《正方形》优课件
（1）画一个正方形，使它的边长为2cm，并且求它的对角线. （2）画一个正方形，使它的对角线长为2cm ，并且求它的边长．
1.已知正方形的一条边长为1cm，求它的对角线长．
解：
已知：正方形ABCD
则： AB＝BC＝1
D
C
AC2 AB2 BC2
A
B
AC AB2 BC2
AC 12 12 2
如图，正方形ABCD被它的两条对角线AC，BD分成了四个三角形， 它们是什么样的特殊三角形？它们全等吗？
由于正方形的对角线相等， 且互相垂直平分，因此 从而△OAB，△OBC， △OCD，△ODA都是等腰直 角三角形，并且它们彼此全 等（SAS）
D
C
O
A
B
你能利用“正方形的两条对角线所在的直线都是它的对 称轴”，说明图中的四个三角形全等吗？
矩形
有一个角是直角
正方形
一组邻边相等
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角． 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点 的直线都是它的对称轴.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2 答：cm，求它的边长和面积．
解 ∵正方形ABCD
D
C
∴ AB＝BC
又 根据勾股定理
AC2 AB2 BC2 A
B
2AB2 AC2
AB 1 AC2 1 42 8 2 2
2
2
2
S正方形ABCD =AB2 = 2 2 =8