包头经管定量分析第八章方差分析

是否相等，但本质上它 所研究的是变量之间的关系。 在研究两个数值型变量的关系时， 所用的方法是回归分析。 在研究一个（或多个）分类型自 变量与一个数值型因变量之间的 关系时，方差分析就是主要的方 法之一。
F—检验法是检验两个正态随机变量的 总体方差是否相等的一种假设检验方法。 主要通过比较两组数据的方差 S^2，以 确定他们的精密度是否有显著性差异。 F检验是统计学中的比较基础的理论， 很多统计分析会运用到F检验，包括方 差分析。方差分析将判断均值的变化的 量转化为方差，根据方差分析的数学假 设前提，可以知道该方差统计变量是符 合F分布的统计变量，所以用F检验就可 以判断均值是否相同。

比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异
这种差异可以看成是随机因素的影响，或抽样的随机 性造成，称为随机误差
2. 系统误差
因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异

比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异
这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能
是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系 统性因素造成的，称为系统误差
方差分析的基本思想和原理
(均方—MS) 5.因此，判断行业对投诉次数是否有显著性影 响这一问题，实际上也就是检验被投诉次数的 差异主要是由于什么原因引起的。 如果这种差异主要是系统误差，说明不同 行业对投诉次数有显著影响。 在方差分析的假定前提下（见下面），要 检验行业（分类自变量）对投诉次数（数值型 因变量）是否有显著影响，在形式上也就转化 为检验4个行业被投诉次数的均值是否相等的 问题。
的次数独立
方差分析中的基本假定
1.
2.
在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 4个正态总体的均值是否相等 如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本 的均值也会很接近（不知道4个总体的均值，用样本检验是否相等） 4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的
各组平均值 xi (i 1,2,, k ) 与总平均值 x 的离 差平方和（水平项误差平方和） 反映各总体的样本均值之间的差异程度 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
(计算组间平方和 SSA)
SSA xi x ni xi x
k 2 k i 1 j 1 i 1
方差分析中的有关术语
1.
因素或因子 所要检验的对象

分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子
2. 水平或处理
因子的不同表现

零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本数据

每个行业被投诉的次数
方差分析中的有关术语
1.
试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的
全部观察值 x ij与总平均值 x 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295
构造检验的统计量
1.
2. 3. 4.
方差分析的基本假定
1.
每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正
态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布
2.
3.
各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，4个行业被投诉次数的方差都相等 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉
68 39 29 45 56 51
31 49 21 34 40
44 51 65 77 58
什么是方差分析?
1.
2. 3.
分析4个行业之间的服务质量是否有显著差 异，也就是要判断“行业”对“投诉次数” 是否有显著影响 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 若它们的均值相等，则意味着“行业”对投 诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质 量没有显著差异；若均值不全相等，则意味 着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之 间的服务质量有显著差异
既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理
1.平方和除以相应的自由度(经过平均后的数值)
(均方—MS)
2.若原假设成立（如果不同行业对投诉次数没有
影响，即均值相等），组间均方与组内均方的 数值就应该很接近，它们的比值就会接近1（只 含随机误差） 3.若原假设不成立，组间均方会大于组内均方， 它们之间的比值就会大于1（包含随机和系统误 差） 4.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水 平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有 影响。
构造检验的统计量
1. 2.
全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为
(计算全部观察值的总均值)
x
x
i 1 j 1
k
ni
ij
n n 式中：n n1 n2 nk

n x
i 1
k
i i
构造检验的统计量 (例题分析)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1. 2. 3.
证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越 充分
方差分析中的基本假定

如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4

4个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一 正态总体
f(X)
m1 m2 m3 m4
X
第八章 方差分析
在前面讨论两个总体均值相等 的假设检验中，使用的检验方法 是z检验和t检验等。但在许多实 际问题的统计分析中还要讨论两 个以上总体的均值是否相等的假 设检验问题。这时用一种叫“方 差分析”的方法来检验这些样本 的平均数差异的显著程度。

两个样本间的通常用t检验或Z检验， 也可以用方差分析。三个以上样本 之间的叫方差分析，因为要计算组 内方差和组间方差。 方差分析(Analysis of Variance， 简称ANOVA)，又称“变异数分析” 或“F检验”，是R.A.Fisher发明的， 用于两个及两个以上样本均数差别 的显著性检验。
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果 SSE = 2708

•
H0 ：m1 = m2 =…= mk
自变量对因变量没有显著影响
H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
如果拒绝原假设，自变量与因变量之间有显著关系；反之，不能认为有显著关系。
构造检验的统计量


构造统计量需要计算： 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS)
构造检验的统计量

如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们 被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈 现的模式也就应该很接近。
方差分析的基本思想和原理
1.
散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被 投诉的次数之间有显著差异

这种差异可能是由于抽样的随机性造成的
2.
需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析

平均数差异显著性检验不全叫
方差分析。如果对两组数据做总 体平均数是否有差异的检验有好 几种情况：相关大样本平均数差 异显著性检验、相关小样本平均 数差异显著性检验、独立大样本 平均数差异显著性检验和独立小 样本平均数差异显著性检验。
方差分析是针对三组及三组以上要
做平均数差异显著性检验时所用的 方法，原因是做多组平均数检验的 原理是先要对多组实验处理之间的 差异（组间差异）与每组自身的抽 样误差（组内差异）的比值做检验， 且这个比值的计算是要用到计算组 间方差和组内方差。所以叫方差分 析。
5 Ð Ò µ
» ¬ ² Í Ð Ò ±Í Ë ´ Ê µ É µ Í µ » ¶ ß Î ý Ä ¢ ã ¼
方差分析的基本思想和原理
1.
从散点图上可以看出

不同行业被投诉的次数有明显差异 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同

家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较 低
2.
行业与被投诉次数之间有一定的关系
1 2 : : n
x11 x12 : : x1n
x21 x22 : : x2n
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
单因素方差分析之分析步骤
• 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
提出假设
1.
一般提法

2.
• 自变量对因变量有显著影响 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
方差分析的基本思想和原理
(误差平方和—SS)
1. 2.
数据的误差用平方和表示 组内平方和（SSE） 因素的同一水平下数据误差的平方和

比如，零售业被投诉次数的误差平方和
3.
只包含随机误差 组间平方和（SSA） 因素的不同水平之间数据误差的平方和

比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
ni
2
前例的计算结果 SSA = 1456.608696
构造检验的统计量 (计算组内平方和 SSE或残差平方和 )
1. 2. 3. 4.
每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差 平方和（误差项平方和） 反映每个样本各观察值的离散状况 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为
SSE xij xi
试验
2.
总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体

零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体