圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt
直线与圆锥曲线相交【PPT】共23页文档
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置课件
直线是二维空间中的一维图形，表示 两点之间所有点的集合。
位置关系的分类与定义
相交
当直线与圆锥曲线至少有一个交点时，称为 相交。
相切
当直线与圆锥曲线仅有一个交点时，称为相 切。
相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，称为相离。
02 直线与圆锥曲线相交的位 置关系
直线与圆锥曲线交点个数的问题
01 直线与圆锥曲线可能有一个、两个或无交点。 02 判断交点个数需要利用代数方法，如判别式法。 03 交点个数与直线的斜率和圆锥曲线的类型有关。
离点距离的计算
离点距离是指离点到直线或圆锥曲线的 某一点的距离，可以通过坐标计算得到。
计算方法为使用两点间距离公式，即 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
根据具体问题，可以选择不同的点 作为计算离点距离的基准点，如直 线的交点、圆锥曲线的顶点等。
05 直线与圆锥曲线位置关系 的几何意义
几何问题的求解方法
代数法
通过代数运算和方程求解的方法，求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
解析几何法
利用解析几何的基本原理和方法，通过代数运算和方程求解的方法， 求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
几何直观法
通过观察和想象，利用几何图形的性质和特点，直接求解几何问题。
06 直线与圆锥曲线位置关系 的实际应用
几何图形的构造与解释
直线与圆锥曲线相交
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线相切； 当直线与圆锥曲线有两个交点时，表示直线与圆锥曲线相交。
直线与圆锥曲线相切
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线 相切。
直线与圆锥曲线相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，表示直线与圆锥曲线相离。
高中数学圆锥曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点
2
的轨迹是 .
2
2
解析: (-1) + (-1) 表示动点
|++2|
P 到定点(1,1)的距离,
表示
√2
动点 P 到定直线 x+y+2=0 的距离,即原等式表示动点 P 到定点(1,1)
和定直线
1
x+y+2=0 的距离之比等于常数 ,且
2
轨迹为椭圆.
答案:椭圆
12/8/2021
第十一页，共三十三页。
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思考
一
二
(sīkǎo)辨
析
【做一做2】 求曲线(qūxiàn)2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点.
解:由
2 2 + 3 + 3 = 0,①
=1的右焦点,
在椭圆上求一点M,
+
使|AM|+2|MF|取得最小值.
思维点拨:点A在椭圆内部,先将点M到焦点的距离转化为到相应准线的距离,
再利用数形结合的思想方法求解.
12/8/2021
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
解:由题意可知
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探究(tànjiū) 探究(tànjiū)
直线与圆锥曲线的交点ppt课件
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
直线与圆锥曲线相交22页PPT
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
直线与圆锥曲线相交
11、战争满足了，或对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线相交的一种题型解法课件(共17张PPT)共19页文档
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
பைடு நூலகம்
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
直线与圆锥曲线的位置关系：直线与 圆锥曲线相交的一种题型解法课件
（共17张PPT）
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
谢谢！
新北师大选修2-1高中数学 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
§4曲线与方程4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[对应学生用书P63]圆锥曲线上点M (x ，y )到定点F (c,0)的距离和它到定直线x ＝a 2c 的距离比是常数e .问题1：若F (4,0)，l ：x ＝254，e ＝45，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示：x 225＋y 29＝1，椭圆．问题2：若F (5,0)，l ：x ＝165，e ＝54，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？提示：x 216－y 29＝1，双曲线．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . 当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆； 当e >1时，圆锥曲线是双曲线； 当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ 提示：正确．问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？提示：3条．曲线的交点设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e .2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．[对应学生用书P63][例1] 曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x ＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P 使|PF |＝5. [思路点拨] (1)可由|MF |与d (d 为M 到l ：x ＝165的距离)比为54，列出M (x ，y )满足的关系，进而求出曲线的方程．(2)由|PF |＝5，可得P 到l 的距离为4，从而可求得P 的坐标．[精解详析] (1)设d 是点M 到定直线l 的距离，根据题意，曲线上的点M 满足|MF |d ＝54，由此得(x －5)2＋y 2⎪⎪⎪⎪165－x ＝54，即(x －5)2＋y 2＝54⎪⎪⎪⎪165－x ， 两边平方整理得x 216－y 29＝1.(2)设P (x ，y )到l 的距离为d ，由|PF |＝5，得d ＝4. 即⎪⎪⎪⎪165－x ＝4，解得x ＝365或x ＝－45. 由于|x |≥4，故x ＝－45不合题意，舍去．由x ＝365得y ＝±6514.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫365，±6145. [一点通]圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．1.抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |，∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3. 答案：A2．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．解：∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋D.当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图．把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P⎝⎛⎭⎫463，2为所求的点.[例2] 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 5＋y m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知 0<m <5.又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0<m <5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)． [一点通]解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 解析：由题意，得4m 2＋n2 >2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.答案：A4．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1， 即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.[例3] 过点P (－1,1)的直线与椭圆x 4＋y 2＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.[思路点拨] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[精解详析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 因为点P 是AB 的中点，所以有 x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1－x 2)]2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303. [一点通]1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．直线y ＝kx ＋b 与曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．5．已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长． 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.6．已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：点(2,4)位于抛物线y 2＝8x 上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－54，54 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫54，－54C.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)>0， 即k >54或k <－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C. 答案：C3．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案：B5．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．解析：法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋1，x 2－y 23＝1， 得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k 2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4， y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3.显然x 1－x 2≠0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6. 答案：66．已知点M 到定点F (1,0)的距离与M 到定直线l ：x ＝3的距离的比为33，则动点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x －1)2＋y 2|x －3|＝33，∴3(x －1)2＋3y 2＝(x －3)2. ∴2x 2＋3y 2＝6. ∴所求方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝17．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，点A (8,8)，求线段AB 的中点到准线的距离．解：设AB 的中点是P ，到准线的距离是|PQ |，由题意知点F (2,0)，直线AB 的方程是：y ＝43(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝43(x －2)，消去x 得y 2＝8⎝⎛⎭⎫34y ＋2⇒y 2－6y －16＝0⇒y 1＝8，y 2＝－2. ∴|AB |＝1＋(34)2|y 1－y 2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ |＝12|AB |＝254.8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB |的值是多少．解：(1)设P (x ，y )，由椭圆的定义知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1. 故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4. 消去y ，并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1 ＝－4k 2－1k 2＋4＝0，所以k ＝±12. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝54×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫±4172＋4×1217＝46517.。
高中数学第2章圆锥曲线44.1直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选择性必修第一册
+
2
=1 截得的线段的中点坐标是
2
解析:设截得的线段两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),中点为(x0,y0),由
消去 y,整理得 3x +4x-2=0,则 Δ=4
2
所以
1 + 2 2
1
x0= 2 =-3,y0=x0+1=3.
2 1
故所求中点坐标为(- , ).
3 3
答案:C
2
4
+4×6>0,x1+x2=-3,
2
2
2
> 0,
与双曲线 C 有两个不同的公共点.
1.用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系,当Δ>0时,直线与圆锥曲
线相交;当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切;当Δ<0时,直线与圆锥曲线相离.
2.联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是不是零.
【变式训练2】 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴
+ + = 0,
消去 y,可得 ax2+bx+c=0.
(,) = 0
(1)当a≠0时有:
位置关系
相交
相切
相离
表2-4-1
公共点个数
2
1
0
方程
Δ>0
Δ= 0
Δ<0
(2)当a=0时,方程ax2+bx+c=0只有一个解,即直线与圆锥曲线只有一个公共
点,此时该直线与圆锥曲线不是相切,而是相交.
由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2,两式相减得|CA|-|CB|=-4
北师大版选修2-1高中数学3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交》ppt课件
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点.
-6-
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
1
2
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
3.直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同的点,或直线与抛物线的对称轴平行. 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对 称轴. 相离:直线与抛物线没有公共点. (2)判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组, 于是: ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切(1 个公共点); ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交(2 个公共点); ③方程组无解⇔直线与抛物线相离.
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4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
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2.直线与圆锥曲线的交点
在直角坐标系 xOy 中,给定两条曲线 C1,C2,它们由如下方程确定: C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0, 求曲线 C1 和 C2 的交点,即要求出这些交点的坐标. 设 M(x0,y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点;因为点 M 在曲线 C1 上,所以它 的坐标满足方程 f(x,y)=0,因为点 M 在曲线 C2 上,所以它的坐标也满足方程 g(x,y)=0.从而,曲线 C1 和 C2 的任意一个交点的坐标都满足方程组
思考 2 直线与二次曲线交点个数的问题如何解决?
圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt
坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离 与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 到直线 l：x＝156的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2) 在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x12－x22)＋4(y21－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－ －yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的
纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． 把 y＝2 代入1x62 ＋1y22 ＝1，
得
x＝4 3
6(负值舍之)，即
4
P
3
6，2为所求的点.
[例2]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1
总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代 入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
[精解详析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭
(教师用书)高中数学 3.4.(2+3)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置 关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问 题的方法．(难点)
圆锥曲线的共同特征
【问题导思】 1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个
2 2 x － c ＋ y 式子：a2－cx＝a x－c2＋y2，将其变形为： ＝ a2 －x c
2 3 即k＝± 3 时，方程(*)有两个相同的实
数解，即直线与双曲线有两重合的公共点；
2 4－3k ＜0， ③ 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实 3 3
数解，即直线与双曲线无公共点． 2 3 2 3 综上所述，当－ 3 ＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜ 3 时，直线与双曲线有两个公共点； 2 3 当k＝± 1或k＝± 时，直线与双曲线有且只有一个公共 3 点； 2 3 2 3 当k＜－ 3 或k＞ 3 时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠± 1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
2 4－3k ＞0， ① 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即－ ＜k＜ ，且k≠± 1时，方程 3 3
(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点；
4－3k2＝0， ② 2 1 － k ≠0，
4.2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲 (1)通过实例了解圆锥曲线的共同特征． (2)了解直线与圆锥曲线的三种位置关系． (3)会求直线与圆锥曲线的交点坐标．
2．过程与方法 在研究直线与圆锥曲线的关系的过程中，进一步体会解 析几何的基本思想． 3．情感、态度与价值观 通过圆锥曲线共同特征的探究，体会从特殊到一般的认 知规律．
2019_2020学年高中数学第三章圆锥曲线与方程4曲线与方程4.24.3直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修2_1
x21＋2y21＝4 x22＋2y22＝4
，两式相减得：x21－x22＋2y21－2y22＝0，
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 显然 x1≠x2，故得：kAB＝xy11－ －yx22＝－2xy11＋＋xy22.①
因为点 P 是 AB 的中点，所以有：
直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为 F(x，y)＝0， 由AFxx＋，Byy＋ ＝C0 ＝0 ，消元(如 y)后，得 ax2＋bx＋c＝0. (1)若 a＝0，直线与圆锥曲线有一个公共点，当直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛 物线的对称轴平行时，把直线方程代入相应圆锥曲线方程后得到的方程是一次方程， 因此，直线和圆锥曲线只有一个交点，但不相切． (2)若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac， ①Δ>0 时，相交于两点； ②Δ＝0 时，相切于一点； ③Δ<0 时，无公共点．
y＝43(x－2)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y2＝8x， 由y＝43x－2，
消去 x 得 y2＝834y＋2⇒y2－6y－16＝0⇒y1＝8，y2＝－2.
∴|AB|＝
1＋342|y1－y2|＝225，由抛物线的定义知：|PQ|＝12|AB|＝245.
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
2．曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它到直线 l：x＝156的距离之比是常数54， (1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
北师大高中数学选择性必修第一册2.4.1直线与圆锥曲线的交点【课件】
(3)直线 l 与双曲线没有公共点.
[解]
－ ＝，
由൝
消去y，整理得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)
＝(－1)，
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)可
化为2x＝5，故此时方程(*)只有一个实数解；当1－k2≠0，即k≠±1时，
基础训练
自主预习
1. 圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值
e. 当 0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当 e＞1 时，圆锥曲线是双曲线；当 e＝1
时，圆锥曲线是抛物线.
2. 直线与圆锥曲线交点个数的判定
对于直线 l：y＝kx＋l，圆锥曲线 C：f(x，y)＝0，它们的交点个数通常
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)，当
＝(－ )＝，
－ ≠ ，
即k＝±
时，方程(*)有两个相同的实数解；
＞，
－
当
即－
＜＜
，且k≠±1时，方程(*)有两个不同
－ ≠ ，
的实数解；
－
< ，即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实数解.
[解]
由题意得l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k
－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 由题意有
①若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双
曲线只有一个公共点；
②若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答案：③④
x 2 y 2 (a>b>0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.24.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点121数学
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解析：设 A、B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，运用点差法得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴kAB＝1， 直线 AB 方程为 y＝x. 由yy＝2＝x4，x，解得 A，B 的坐标分别为(0，0)，(4，4)． 又|AF|＝|OF|＝1，∴S△ABC＝12×1×4＝2.
①当 k＝0 时，得x＝12， y＝1.
即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点；
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②当 k≠0 时，若直线与抛物线只有一个公共点， 则 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0. ∴k＝12， ∴直线方程为 y＝12x＋1. 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.
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解：(1)联立yx＝2－kyx2－＝14，，消去 y，由于方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0
有两个不相等的正根．
Δ＝4k2＋20（1－k2）＞0，
∴ －1－2kk2＞0，
－ 25＜k＜ 25， 即 k＞1或－1＜k＜0，
1－－5k2＞0.
k＞1或k＜－1.
方程
相交
___2_____
Δ__>___0
相切 相离
___1____ ___0____
Δ___＝___0 Δ___<__0
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到定点与到定直线距离的比为常数的点的轨迹是圆
锥曲线( × )
(2)
对
于
双
曲
线2x52
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的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通 过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到 点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．
1.抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它 的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差 数列，则 ( )
椭圆.
16 5 问题2：若F(5,0)，l：x＝ ，e＝ .则点M的轨迹方程是什 5 4 么？轨迹呢？ x2 y2 提示： － ＝1 双曲线. 16 9
圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的
距离之比为定值e.
当0<e<1时，圆锥曲线是 椭圆 ； 当e>1时，圆锥曲线是 双曲线 ； 当e＝1时，圆锥曲线是 抛物线 .
理解 教材新知
知识点一 知识点二 考点一
§4 第 三 章
4.2 & 4.3
把握 热点考向
考点二 考点三
Hale Waihona Puke 应用创新演练4.2 & 4.3
圆锥曲线的共同特征 直线与圆 锥曲线的交点
圆锥曲线上点M(x，y)到定点F(c,0)的距离和它到定直 a2 线x＝ c 的距离比是常数e. 问题1：若F(4,0)，l：x＝ 是什么？轨迹呢？ x2 y2 提示： ＋ ＝1 25 9 25 4 ，e＝ .则点M的轨迹方程 4 5
直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下： (1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造 一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也 可利用图形直观判断． (2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式 |AB|＝ 1＋k |x1－x2|＝ 来解决．
2
1 1＋ 2· 1－y2|，弦过焦点时，也可用定义 |y k
16 即 5 －x＝4，解得
36 4 x＝ 或 x＝－ . 5 5
4 由于|x|≥4，故x＝－ 不合题意，舍去． 5 36 6 由x＝ 得y＝± 14. 5 5
36 6 ∴点P的坐标为 ，± 5
14 . 5
[一点通]
圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线
(2)
1 把(2)代入(1)得：kAB＝ ，故 AB 的直线方程是 2 1 y－1＝ (x＋1)，即 x－2y＋3＝0. 2 x－2y＋3＝0， 2 2 由x y 消去 y 得：3x2＋6x＋1＝0. 4 ＋ 2 ＝1， 1 ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝ ， 3 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ x1－x22＋[kx1－x2]2 ＝ 1＋k2 x1－x22＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1 24 30 1＋ · ＝ . 4 3 3
(2)若直线的斜率存在，设方程为 y＝kx＋1，
y2＝2x， 由 y＝kx＋1，
得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0， k＝0 时， 当
解得 y＝1， 即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点． 1 当 k≠0 时，由 Δ＝4(k－1) －4k ＝0，得 k＝ . 2
2 2
1 即直线 y＝ x＋1 与抛物线只有一个公共点． 2 1 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝ x＋1. 2
[一点通] (1)在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点 差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲 线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即 把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足 Δ>0. (2)直线 y＝kx＋b 与曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 时，弦长公式为|AB|＝ 1＋k |x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)．
两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较 大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时
选择适当的方法可达到事半功倍的效果．
3．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线 方程． 解：(1)若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为x＝0.显然与抛物 线只有一个公共点，即直线x＝0与抛 物线只有一个公共点．
[精解详析] 0<m<5，
法一：由于椭圆的焦点在x轴上，知：
又∵直线与椭圆总有公共点， ∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， 02 12 ∴ ＋ m≤1，即m≥1， 5 故m的取值范围是m∈[1,5)． 法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上知：0<m<5. y＝kx＋1 2 2 由x y 5 ＋m＝1
(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联 立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐 标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
4．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)，求过点P(1,2)的
直线l的斜率(存在)的取值范围，使l与C分别有一个交
点，两个交点，没有交点．
解：设直线l为y－2＝k(x－1)，代入双曲线方程中，有(2 －k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0. 当k2＝2时，即k＝± 2时，有一个解． 当k2≠2时，Δ＝4(k2－2k)2－4(2－k2)(－k2＋4k－6) ＝48－32k. 3 令Δ＝0可得k＝ . 2
[例 3]
x2 y2 过点 P(－1,1)的直线与椭圆 ＋ ＝1 交于 A， 两点， B 4 2
若线段 AB 的中点恰为点 P，求 AB 所在的直线方程及弦长|AB|. [思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代
入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
2
1 1＋ 2 k
y2 π 2 5．过双曲线 x － ＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为 的弦 AB， 3 6 求 AB 的长．
解：双曲线焦点为 F1(－2,0)、F2(2,0)， 3 将直线 AB 方程：y＝ (x＋2)代入双曲线方程， 3 得 8x2－4x－13＝0.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 1 13 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . 2 8 ∴|AB|＝ ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
fx，y＝0， 反过来，该 gx，y＝0.
方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的 坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离
与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 16 5 到直线 l：x＝ 的距离之比是常数 ，(1)求此曲线方程；(2) 5 4 在曲线求一点 P 使|PF|＝5. 16 [思路点拨] 可由|MF|与 d(d 为 M 到 l：x＝ 的距离) 5 5 比为 ， 列出 M(x， y)满足的关系， 进而求出曲线的方程． (2) 4 由|PF|＝5，可得 P 到 l 的距离为 4，从而可求得 P 的坐标．
1 13 2 －4×－ ＝3. 8 2
1 1＋ · 3
x2 y2 6．已知椭圆 ＋ ＝1，过点 P(2,1)引一弦，使弦在这点被 16 4 平分，求此弦所在直线的方程．
解：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
p p p x2＋ ＝x1＋ ＋x3＋ ⇒2x2＝x1＋x3. ∴2 2 2 2
答案：A
x2 y2 2．已知点 A(1,2)在椭圆 ＋ ＝1 内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上 16 12 求一点 P 使|PA|＋2|PF|最小．
解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2. 2 1 ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为 ＝ . 4 2 1 设 P 到右准线 l 的距离为 d，则|PF|＝ d，d＝2|PF|. 2 ∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d. 当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的 纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． x2 y 2 把 y＝2 代入 ＋ ＝1， 16 12
问题1：直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，正 确吗？
提示：正确．
问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线 一定相切吗？
提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有
一个交点．
x2 y2 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线 － ＝1仅有 4 3 一个交点？
提示：3条．
曲线的交点 设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，曲线C1和C2的 任意一个交点的坐标都满足方程组
3 令Δ>0，即48－32k>0，此时k< . 2 3 令Δ<0，即48－32k<0，此时k> . 2 3 ∴当k＝± 2，或k＝ 时，直线l与双曲线只有一个交点； 2 3 当k<－ 2，或－ 2<k< 2，或 2<k< 时，直线l与双曲 2 线有两个交点； 3 当k> 时，直线l与双曲线没有交点. 2
得：(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， 又直线与椭圆有公共点， ∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立， 即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，故m的取值范围是m∈[1,5)． [一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列
解析：由抛物线定义： |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. p p p 又∵|AA′|＝x1＋ ，|BB′|＝x2＋ ，|CC′|＝x3＋ ， 2 2 2