圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt

又∵A，B在椭圆上，
2 2 2 2 ∴x1＋4y1＝16，x2＋4y2＝16. 2 两式相减，得(x1－x2)＋4(y2－y2)＝0， 2 1 2
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， y1－y2 －x1＋x2 1 1 ∴ ＝ ＝－ ，即 kAB＝－ . 2 2 x1－x2 4y1＋y2 1 ∴所求直线方程为 y－1＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y－4＝0.
3 令Δ>0，即48－32k>0，此时k< . 2 3 令Δ<0，即48－32k<0，此时k> . 2 3 ∴当k＝± 2，或k＝ 时，直线l与双曲线只有一个交点； 2 3 当k<－ 2，或－ 2<k< 2，或 2<k< 时，直线l与双曲 2 线有两个交点； 3 当k> 时，直线l与双曲线没有交点. 2
的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通 过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到 点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．
1.抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它 的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差 数列，则 ( )
fx，y＝0， 反过来，该 gx，y＝0.
方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的 坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离
与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 16 5 到直线 l：x＝ 的距离之比是常数 ，(1)求此曲线方程；(2) 5 4 在曲线求一点 P 使|PF|＝5. 16 [思路点拨] 可由|MF|与 d(d 为 M 到 l：x＝ 的距离) 5 5 比为 ， 列出 M(x， y)满足的关系， 进而求出曲线的方程． (2) 4 由|PF|＝5，可得 P 到 l 的距离为 4，从而可求得 P 的坐标．
[一点通] (1)在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点 差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲 线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即 把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足 Δ>0. (2)直线 y＝kx＋b 与曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 时，弦长公式为|AB|＝ 1＋k |x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)．
4．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)，求过点P(1,2)的
直线l的斜率(存在)的取值范围，使l与C分别有一个交
点，两个交点，没有交点．
解：设直线l为y－2＝k(x－1)，代入双曲线方程中，有(2 －k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0. 当k2＝2时，即k＝± 2时，有一个解． 当k2≠2时，Δ＝4(k2－2k)2－4(2－k2)(－k2＋4k－6) ＝48－32k. 3 令Δ＝0可得k＝ . 2
得：(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， 又直线与椭圆有公共点， ∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立， 即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，故m的取值范围是m∈[1,5)． [一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有
[精解详析]
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭 两式相减得： (1)
x2＋2y2＝4， 1 1 圆上得： 2 x2＋2y2＝4， 2
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 显然 x1≠x2，故由(1)得： y1－y2 x1＋x2 kAB＝ ＝－ . x1－x2 2y1＋y2 因为点 P 是 AB 的中点，所以有： x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.
2
1 1＋ 2 k
y2 π 2 5．过双曲线 x － ＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为 的弦 AB， 3 6 求 AB 的长．
解：双曲线焦点为 F1(－2,0)、F2(2,0)， 3 将直线 AB 方程：y＝ (x＋2)代入双曲线方程， 3 得 8x2－4x－13＝0.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 1 13 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . 2 8 ∴|AB|＝ ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
4 6 4 6 得 x＝ (负值舍之)，即 P ，2为所求的点. 3 3
[例2]
x2 y2 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 ＋ m ＝1 5
总有公共点，求m的取值范围． [思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与
椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭 圆的位置关系可求m的范围．代数法：联立直线与椭圆方程 组成方程组，根据方程组有解来求m的范围．
16 即 5 －x＝4，解得
36 4 x＝ 或 x＝－ . 5 5
4 由于|x|≥4，故x＝－ 不合题意，舍去． 5 36 6 由x＝ 得y＝± 14. 5 5
36 6 ∴点P的坐标为 ，± 5
14 . 5
[一点通]
圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列
解析：由抛物线定义： |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. p p p 又∵|AA′|＝x1＋ ，|BB′|＝x2＋ ，|CC′|＝x3＋ ， 2 2 2
椭圆.
16 5 问题2：若F(5,0)，l：x＝ ，e＝ .则点M的轨迹方程是什 5 4 么？轨迹呢？ x2 y2 提示： － ＝1 双曲线. 16 9
圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的
距离之比为定值e.
当0<e<1时，圆锥曲线是 椭圆 ； 当e>1时，圆锥曲线是 双曲线 ； 当e＝1时，圆锥曲线是 抛物线 .
[精解详析] 0<m<5，
法一：由于椭圆的焦点在x轴上，知：
又∵直线与椭圆总有公共点， ∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， 02 12 ∴ ＋ m≤1，即m≥1， 5 故m的取值范围是m∈[1,5)． 法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上知：0<m<5. y＝kx＋1 2 2 由x y 5 ＋m＝1
1 13 2 －4×－ ＝3. 8 2
1 1＋ · 3
x2 y2 6．已知椭圆 ＋ ＝1，过点 P(2,1)引一弦，使弦在这点被 16 4 平分，求此弦所在直线的方程．
解：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
(2)
1 把(2)代入(1)得：kAB＝ ，故 AB 的直线方程是 2 1 y－1＝ (x＋1)，即 x－2y＋3＝0. 2 x－2y＋3＝0， 2 2 由x y 消去 y 得：3x2＋6x＋1＝0. 4 ＋ 2 ＝1， 1 ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝ ， 3 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ x1－x22＋[kx1－x2]2 ＝ 1＋k2 x1－x22＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1 24 30 1＋ · ＝ . 4 3 3
p p p x2＋ ＝x1＋ ＋x3＋ ⇒2x2＝x1＋x3. ∴2 2 2 2
答案：A
x2 y2 2．已知点 A(1,2)在椭圆 ＋ ＝1 内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上 16 12 求一点 P 使|PA|＋2|PF|最小．
解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2. 2 1 ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为 ＝ . 4 2 1 设 P 到右准线 l 的距离为 d，则|PF|＝ d，d＝2|PF|. 2 ∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d. 当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的 纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． x2 y 2 把 y＝2 代入 ＋ ＝1， 16 12
(2)若直线的斜率存在，设方程为 y＝kx＋1，
y2＝2x， 由 y＝kx＋1，
得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0， k＝0 时， 当
解得 y＝1， 即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点． 1 当 k≠0 时，由 Δ＝4(k－1) －4k ＝0，得 k＝ . 2
2 2
1 即直线 y＝ x＋1 与抛物线只有一个公共点． 2 1 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝ x＋1. 2
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知识点一 知识点二 考点一
§4 第 三 章
4.2 & 4.3
把握 热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
4.2 & 4.3
圆锥曲线的共同特征 直线与圆 锥曲线的交点
圆锥曲线上点M(x，y)到定点F(c,0)的距离和它到定直 a2 线x＝ c 的距离比是常数e. 问题1：若F(4,0)，l：x＝ 是什么？轨迹呢？ x2 y2 提示： ＋ ＝1 25 9 25 4 ，e＝ .则点M的轨迹方程 4 5
[精解详析]
(1)设 d 是点 M 到定直线 l 的距离，根据题意，
|MF| 5 曲线上的点 M 满足 d ＝ ， 4 x－52＋y2 5 由此得 ＝ ， 16 4 －x 5 即
516 x－5 ＋y ＝ 5 －x， 4
2 2
x2 y2 两边平方整理得 － ＝1. 16 9 (2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4.
[例 3]
x2 y2 过点 P(－1,1)的直线与椭圆 ＋ ＝1 交于 A， 两点， B 4 2
若线段 AB 的中点恰为点 P，求 AB 所在的直线方程及弦长|AB|. [思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代
入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联 立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐 标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下： (1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造 一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也 可利用图形直观判断． (2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式 |AB|＝ 1＋k |x1－x2|＝ 来解决．
2
1 1＋ 2· 1－y2|，弦过焦点时，也可用定义 |y k
问题1：直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，正 确吗？
提示：正确．
问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线 一定相切吗？
提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有
一个交点．
x2 y2 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线 － ＝1仅有 4 3 一个交点？
提示：3条．
曲线的交点 设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，曲线C1和C2的 任意一个交点的坐标都满足方程组
两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较 大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时
选择适当的方法可达到事半功倍的效果．
3．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线 方程． 解：(1)若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为x＝0.显然与抛物 线只有一个公共点，即直线x＝0与抛 物线只有一个公共点．