1.4_事件的独立性
1.4 事件的独立性及贝努力概型
例2 某人进行射击,设每次射击的命中率为p,独立射击n次， 试求至少击中两次的概率
解: 以X记击中次数
P(X2) =1-P(X<2) =1-P(X=0)-P(X=1) =1-(1-p)n-Cn1p(1-p)n-1
例3 做一系列独立试验,每次试验中成功的概率为p,求 在成功n次之前已经失败了m次的概率 解： 令A={第n+m次试验成功} B={前n+m-1次试验中失败m次(成功了n-1次)} C 则所求的概率为： P(AB)=P(A)P(B)= p · mn+m-1 (1-p) mpn-1
(2) 假设需要n门高射炮, 则由题意:P(A1∪…∪An )>0.99
一.贝努里概型
1.试验的独立性概念 定义4:设事件A,B分别是试验E1,E2的任意两个事件, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称试验E1,E2是相互独立的 “试验是相互独立的”指的是试验的结果是相互独立的
设一个试验E只有两个可能的结果A,A,且P(A)=p,P(A)=1-p=q (p<1) 将E独立地重复n次,构成一个试验,叫做(n重)贝努里试验, 记作En (概型)
“一次抛掷n枚硬币”的试验可以看成“一枚硬币重复抛n次”， 所以也可以看成一个(n重)贝努里试验 掷一颗骰子,有六种结果.但如果我们只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况,则“掷一颗骰子”也可以看作是 (一重)贝努里试验．
?
2.二项概率
二项概率公式
b(k;n,p)= P({En中事件A恰好出现k次})=Cnk pkqn-k
则称事件A,B,C相互独立
注
A,B,C相互独立 A,B,C两两相互独立； ？
2)多个事件的独立性 定义3: (略)
事件的独立性名词解释
事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。
它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。
在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。
在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。
通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。
在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。
社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。
例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。
通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。
在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。
法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。
在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。
同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。
在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。
人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。
通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。
总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。
研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。
通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。
它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。
简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。
比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。
那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。
从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。
如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。
但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。
因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。
独立性的概念在很多实际问题中都有体现。
比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。
因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。
再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。
因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。
其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第7页
例3 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命 中率分别为 0.6 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲 击中的概率.。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第6页
例2 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率 分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.
Hale Waihona Puke 8页 第一章 §1.4 事件的独立性与伯努利概型 例4 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子 中各随机地抽取一粒，求：
（1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽 这一事件，则所求的概率为
P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和B相互独立．
第一章
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们日常生活和数学、统计学的学习研究中，“事件的独立性”是一个非常重要的概念。
理解事件的独立性，对于我们准确分析和预测各种情况有着关键的作用。
那什么是事件的独立性呢？简单来说，如果事件 A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，并且事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 A。
第二次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
我们再来看一个稍微复杂一点的例子。
从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件 A 是抽到红桃牌，事件 B 是抽到 A 牌。
这两个事件就不是独立的。
因为如果抽到了红桃 A，那么事件 A 和事件 B 就同时发生了。
所以事件 A 的发生会影响事件 B 的发生概率。
那如何判断两个事件是否独立呢？我们有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B)。
其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
比如说，一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，从中随机取出一个球，事件 A 是取出红球，事件 B 是取出偶数号球。
事件 A 的概率 P(A) ＝5/10 ＝ 1/2，事件 B 的概率 P(B) ＝ 5/10 ＝ 1/2。
而事件 A 和事件 B 同时发生，也就是取出既是红球又是偶数号球的概率P(A ∩ B) ＝ 2/10 ＝1/5。
因为 1/5 ＝ 1/2 × 1/2，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
理解了事件的独立性，对于解决很多实际问题都有帮助。
g1.4事件的相互独立性
若A, B独立，则 P ( AB ) = P ( A) P ( B ); 独立，
互不相容用于加法： 互不相容用于加法：
互不相容， 若A，B互不相容，则 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ).
它们的关系是什么呢? 它们的关系是什么呢?
9
独立性的应用 乙各打一枪， 例:甲、乙各打一枪，甲中 的概率是 0.7，
出现的条件下， 事件 B出现的条件下，事件 A出现的概率
记为P ( A B ).
P( AB) P( A | B) = , P(B)
P(B)>0
P( AB) = P(B)P( A B).
4
3.全概率公式 全概率公式
如果随机试验的基本空间 Ω = { A , A ,L, A }, 1 2 n
B 且Ω = A + A2 + L+ An , 事件 ⊂ Ω, 1 B = BΩ = B( A + A2 + L+ An ) 1 = BA + BA2 + L+ BAn , 1 ∴ P(B) = P(BA ) + P(BA2 ) + L+ P(BAn ) 1
0 1
24
有关小概率事件
•一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小 但 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小 只试验次数多,这个事件的发生几乎是肯定的 这个事件的发生几乎是肯定的. 只试验次数多 这个事件的发生几乎是肯定的 (就象上例中命中率 就象上例中命中率0.02, 就象上例中命中率 但至少击中两次的概率为0.997一样 一样.) 但至少击中两次的概率为 一样
事件的独立性探究事件的独立性及其对概率的影响
事件的独立性探究事件的独立性及其对概率的影响在概率论中，事件的独立性是一个重要且基础的概念。
研究事件的独立性不仅能帮助我们更好地理解概率，还能在实际生活中应用到许多领域。
本文将探究事件的独立性以及其对概率的影响。
一、事件的独立性事件的独立性指的是两个或多个事件之间的相互关系。
如果两个事件相互独立，那么一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
简而言之，一个事件的发生与其他事件的发生没有任何因果关系。
对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则可以认为它们是相互独立的：1. 事件A的发生与事件B的发生无关；2. 事件A的发生与事件B的不发生无关；3. 事件B的发生与事件A的不发生无关。
通过以上条件，我们可以判断事件之间是否独立，并在概率计算中应用这一概念。
二、事件独立性对概率的影响事件的独立性对概率的计算有着重要的影响，下面将从两个方面具体探讨。
1. 乘法法则乘法法则是计算两个独立事件同时发生的概率的基本原理。
根据乘法法则，如果事件A和事件B相互独立，那么它们同时发生的概率可以通过将它们各自发生的概率相乘得到。
即：P(A∩B) = P(A) × P(B)这个公式在实际问题中非常有用，可以帮助我们计算同时发生多个独立事件的概率。
2. 置换法则置换法则是指当事件A和事件B是相互独立的时候，它们的补事件也是相互独立的。
具体来说，如果事件A和事件B相互独立，则有：P(A') = 1 - P(A)P(B') = 1 - P(B)这个法则在概率计算中非常实用，并且可以帮助我们计算一个事件不发生的概率。
三、事件独立性的应用事件的独立性不仅仅是概率论中的一个概念，还可以应用到多个领域中，例如：1. 投资与风险管理在投资领域，事件的独立性对于风险管理非常重要。
如果我们可以将投资组合中的不同事件看作相互独立，那么我们可以更好地评估投资组合的风险，并采取相应的措施来降低风险。
2. 运输与物流管理在运输与物流管理中，事件的独立性对于预测和优化物流活动非常重要。
1.4 随机事件的独立性
0.8
定理1.4 若事件A与事件B相互独立，
则A与B，A与B，A与B也分别相互独立
证 因为PAB PAPB，所以
PAB PA B 由对称性知
注：事件的独立 性与事件的互不 相容是两个完全 不同的概念
P A AB
A与B相互独立
P A P AB
A1，A2， ，An也相互独立，故
P n Ai 1 n P Ai
n
1 1 PAi
i1
i 1
i 1
注3： 相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立。
例 四张卡片上分别写着 110,011,101,000,从中任取一张，
记 Ai={第 i 个数字为 1} i=1,2,3.
则
P( A1 )
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
(2) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的和事件 的概率可简化为
n
PA1 A2 An 1 P Ai i 1
例3（保险赔付）设有 n个人向保险公司购买人身意
外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生
意外的概率为0.01，
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个
则称事件A1, A2 , A3相互独立。 事件的情形
注1：
如果n n 2个事件A1, A2 L An相互独立，则将
其中任何m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成的n个新的事件仍相互独立。
设5个事件A1 A2 A3 A4 A5相互独立
则
A1 A2 A3 A4 A5 也相互独立
注2：
若A1, A2 , , An是n个相互独立的事件， 则这个事件中至少有一个发生的概率为
概率论与数理统计课件 1.4事件的独立性
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A1A2…An)=P(A1) P(A2) …P(An) 则称随机试验 E1, E2,.., En相互独立. 例如
试验E1：掷一枚硬币，观察出现正反面的情况
试验E2：掷一颗骰子，观察出现的点数 显然，试验 E1,E2 的先后次序不影响每次试验的 结果，所以 E1,E2 是相互独立的。
n重伯努利试验
又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3
P(A) 1 P(A) 1 P(A1 A2 A3 )
1 P(A1)P(A2 )P(A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
独立试验概型
相互独立的试验 设有随机试验 E1, E2,.., En, 如果对 Ei 的任意结 果（事件）Ai，i=1,2,…,n，都有
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A B) 1 P( A B)
1.4 事件的独立性与伯努利概型
设Ai “第i次试验事件A发生” i 1,2,, n
则 P ( Ai ) P ( A), i 1,2,, n
记：P ( A) p
P(A发生k次）=？
二项概率
P(A发生k次）=
k Cn
p 1 p
k
n k
Pn (k )
填空
1、一射手向指定目标射击4枪，各枪射中与否相互
伯努利概型： 1000 , p 0.0001 n
P(发生交通事故的次数不超过1次) P1000(0) P1000(1)
1．何谓两事件独立？ 在实际应用中，如何判断两事件的独立性？
2.两事件相互独立与互不相容（互斥） 这两个概念有何关系？
n
3.何谓n重贝努利试验， 计算有关事件概率的方法是什么？
则说A与B相互独立
事件的独立性
• 定义1.4.1 • 对任意的事件A，B， • 若满足等式
P(AB)=P(A)P(B) .
• 则称事件A与B 相互独立.
在实际应用中,往往根据问题的 实际意义去判断两事件是否独立.
如： 1.一批产品共n件，从中抽取两件，
设 Ai=“第i件是合格品” i=1,2.
若抽取是有放回的, 则A1与A2是
P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A)(C ) P ( BC ) P ( B )(C ) P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C )
则称事件A，B，C 相互独立，
注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
射中 未射中
1、电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为
0.2，则3个灯泡在使用1000小时后最多只有
概率1.4事件的独立性
(2) 计算n个相互独立的事件A1 , A2 ,, An的和事件
的概率可简化为
P A1 A2 An 1 P Ai
i 1 n
三、独立性的概念在计算概率中的应用 三个臭皮匠顶个诸葛亮！！ 对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1 U A2 U A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1UA2UA3) 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
3
P(A1UA2UA3) 1 P ( A1 A2 An )
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
练
习
例. 某保险公司把被保险人分为三类：“安全 的”、“一般的”与“危险的”。统计资 料表 明，对于上述3种人而言，在一年期间内发 生事故的概率依次为0.05、0.15与0.30。如 果在被保险人中“安全的”占15%，“一 般 的”占55%，“危险的”占30%，试问： 1. 任一被保险人在一年中发生事故的概 率是多少？ 2. 如果某被保险人在一年中发生了事故， 则他属于“危险的”一类人的概率是多 少？
概率统计4 事件的独立性 教学设计
《概率统计II 》教学设计 事件的独立性1 事件的独立性教学设计【教学题目】§1.4 事件的独立性【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解事件独立性的概念，熟练掌握独立性的性质及其简单应用。
【教学思想】1、由掷两颗骰子实例，采用启发式、提问式教学，引导学生分析掷骰子试验的解题结果，抽象出二事件B A 与相互独立的条件：()()()P AB P A P B ，并给出独立性的定义，体现由特殊到一般，由个性到共性的教学思想。
2、“从特殊到一般、具体到抽象”，引导学生抽象出事件相互独立性的性质，教会学生分析解决问题的思维和学习及研究方法。
“教是为了不教”，体现了“授人以渔”。
3、通过问题的引入和实际案例问题的分析及应用，培养学生“数学就在我们的身边” 及“学数学、用数学”的意识和能力。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）回顾条件概率公式和乘法原理，分析引例；（2）两事件的独立性的定义；（3）事件A 、B 独立的定理。
2、重难点分析：事件之间的独立性可以使积事件的计算得以简化，也是n 重伯努利实验、二项分布以及随机变量的独立性等重要内容的基础，因此掌握事件独立的内涵、性质是本次课的重点。
本节知识的难点在于事件独立的判断。
在实际应用中，可以应用事件独立的定义，但更多的是根据实际问题的意义或经验事实进行判断。
通过举例帮助同学们理解两事件独立并掌握其应用，为学习多个事件相互独立奠定基础。
【教学方法和策略】黑板板书结合PP T 演示，采用启发式、提问式教学，分析学生熟悉的掷骰子实验，从特殊到一般、具体到抽象，引导学生抽象出事件相互独立性的概念；通过启发式和讲练式，引导学生分析研究事件相互独立的性质；再通过实例应用的分析示范，教会学生理解并应用事件相互独立性的概念及性质分析和解决问题的思维方式，培养学生应用数学的能力。
【教学安排】教学内容：1、引入（1分钟）随机事件的独立性是概率论中重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论前期最重要的一些结论大都是在独立性假定下获得的。
概率论与数理统计1.4事件的独立性与二项概型
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ).
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ) P ( Ai An ) P ( Ai ) P ( An ) P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
k Pn (k ) Cn pk qnk ,
k 0, 1, 2, , n
其中 p + q = 1.
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次 不发生，由试验的独立性，有
P Ai1 Ai 2 Aik Ai ,k 1 Ain pk (1 p)nk pk qnk .
k 在n次试验中，A发生k次的方式有 Cn 种.且任何两种
方式都是互不相容的，于是有
k P (k ) Cn pk q nk , n
显然
k Pn (k ) Cn p k q n k ( p q)n 1. k 0 k 0
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第k+1项，故 亦称为二项概率公式.
例4设随机试验E中,事件A出现的概率0＜P(A)＜1， 试证不断独立重复试验时，A迟早会出现的概率为1．
证 设Ai={A在第i次试验出现}， i=1,…,n
P（Ai）=r ，前n次试验中，A都不出现的概率为
P( A1 A2 An ) (1 r )n ,
因此，在n次试验中，A至少出现一次的概率为
或
P(C) 1 P(A B)
1 (1 P( A))(1 P( B))
2、多个事件的独立性 2.1 3个事件的独立性的定义 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
1.4 事件的独立性
在相同条件下，将伯努利试验独立重复进行n次, 称这n次试验为n重伯努利试验.
注:“独立”——每次试验的结果互不影响； “重复”——每次试验中事件A的概率相同, 即P(A)保持不变.
伯努利定理
设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ，则在n重伯努利试验中Ａ恰好发
生活中的例子2：
日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也 大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学 者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场 正规的考试仅凭运气能通过吗?
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试， 具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写 作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸 心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假 设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题 以上，可以看成85重贝努利试验。
解 设Ａi表示"第i门炮命中敌机",i=1,2,3. (1) 设Ａ表示"恰有一门炮命中敌机".
P( A) P( A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 )
P( A1 A2 A3) P( A1A2 A3) P(A1 A2 A3)
P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) 0.150.80.75 0.850.20.750.850.80.25 0.385
技巧:复杂事件 从对立面计算
1 P(A1 A2 A3)
概率论4-独立性
P( A) p,
P( A) 1 p,
不同的p可用来描述不同的Bernoulli试验.
由n个(次)相同的、独立的Bernoulli试验组成的试 验，称为n重Bernoulli试验。 如: ① 检查7个产品, 合格情况; ② 打靶10次, 脱靶情况;
③ 诞生100个婴儿, 性别情况.
设Bn,k = “n重Bernoulli试验中A恰好发生k次”,
3 5 5 5 5
1 5 1 k C5 2 k 0 2 1 2
5
思考: 若采用只要有一方获胜三局则终止比赛,
情况如何? 证 : 设 Ak表示“经过 k局比赛 ,甲获胜”事件, 则 “甲获胜” = A3∪A4∪A5 并且
1 P( A3) C 2
§1.4 独立性
1.4.1 事件的独立性
两个事件之间的独立性是指一个事件的发生不
影响另一个事件的发生.
注: 两个事件独立不是指这两个事件互不相容.
定义1 若事件A与B满足 P(AB) = P(A)P(B), 则称A
与B相互独立，简称A与B独立.
例1.4.1 在有三个孩子的家庭中, 假定新生婴儿是男 或是女是等可能的 . 设 A表示“有男孩也有女 孩”事件, B表示“至多只有一个女孩”事件, 则由古典定义知, 而
对于n个试验E1, E2, …, En, 假如E1的任一结果、
E2的任一结果、…、En的任一结果都是相互独
立的，则称试验E1, E2, …, En相互独立。
假如这n个试验还是相同的，则称其为n重独立
重复试验。
1.4.3 n重 Bernoulli 试验 定义 只有两个结果(成功与失败,记为A与 A )的试 验称一个产品, 看是否合格. 注: 在一次Bernoulli试验中, 设成功的概率为p, 即:
交大：概率论与数理统计1.4事件的独立性
Ch1-83例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 事件的独立性 设第 i 次求 取得白球为事件 A i ( i =1, 2 ) .,)(12A A P ,)(12A A P ,)(,)(21A P A P 解 ,8/3)(12=A A P ,8/3)(12=A A P ,)(8/3)(21A P A P ==)()()(12212A A P A P A A P ==§1.4 事件的独立性事件 A 1 发生与否对 A 2 发生的概率没有影 响可视为事件A 1与A 2相互独立)()()8/3()(121221A A P A P A A P ==定义 设 A , B 为两事件，若 )()()(B P A P AB P =则称事件 A 与事件 B 相互独立)()(21A P A P =两事件相互独立的性质❑ 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 ❑ 若 )()(,0)(A B P B P A P =>则若 )()(,0)(B A P A P B P =>则❑ 若 ,0)(,0)(>>B P A P 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥”不能同时成立 (自行证明)四对事件 BA B A B A B A ,;,;,;,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 独立独立B A B A ,,⇒事实上)()()()(B A P A P B A A P AB P -=-=[])()()(1)(B P A P B P A P =-=)()()(B P A P A P -=Ch1-87三事件 A , B , C 相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称 A , B , C 两两独立)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ===(1) )()()()(C P B P A P ABC P =(2)A ,B ,C 相互独立 A , B , C 两两独立定义Ch1-88 例2有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。
1.4。事件的独立性
即A1 ，A2 ，A3两两独立
而
但P（A1 A2 A3）=1/4
P（A1）P（A2）P（A3）=1/8
从而A1 ，A2 ，A3不相互独立
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例3 设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,4,},B={1,5,6,7}, C={1,4,5,8}, 则 但 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) P(AB)=1/8≠P(A)P(B)
3） 若P（A）>0,P(B)>0,则A，B相互独立，与A，B互不相 容，不能同时成立。
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例1 抛甲，乙两枚硬币，观察正反面出现的情况。设事件A 为“甲币出现H”，事件B为“乙币出现H”。试讨论事件A，B的 独立性。
解： Ω={HH，HT，TH，TT}
A={HH，HT} B={HH，TH} P（A）=1/2 P（B）=1/2
P（AB）=1/4= P（A）P（B）
所以 事件A，B相互独立
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(二)、独立事件的性质 1、对于任意事件A，A与事件Ω独立，A与Φ独立。 2、如果事件A与事件B相互独立，则A与 BC， AC与B 和 AC与 BC也相互独立 3、如果A与Bi（i=1,2, …,n）相互独立，且BiBj=Φ（i≠j）
2 3 n Cn Cn ... Cn 2n n 1个
（3）
2）由定义3知：若A1，A2，…，An相互独立，则它们 之中任意m（2≤m≤n）个事件也一定相互独立，反之则不一 定。
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关于独立性，作如下几点说明：
(3)多个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立 未必是相互独立． (4)两个事件独立与两个事件对立也是不同的概念．一 般地，两个事件对立则这两个事件一定不独立，两个事 件独立则这两个事件不一定对立．
定理 1 若四对事件 A与B, A与B, A与B, A与B 中有一对 是相互独立的，则另外三对也是相互独立的．
2000 i 1
2000 2000 2000 P Ai 1 P Ai 1 P Ai i 1 i 1 i 1 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A2000 )
1 (1 0.001)2000 1 0.9992000 0.8648.
一方面，若 A, B 独立，则由乘法公式有
P( AB) P( A) P( B | A) P( A) P( B)
同时，若 P( AB) P( A) P( B) 成立，由条件概率有
P( AB) P( A) P( B) P( B | A) P( B) P( A) P( A)
这表明 P( B) P( B | A) 与 P( AB) P( A) P( B) 的表达是等 价的。
2015年8月23日星期日 11
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【例 21】设某地区的人群中，每人血液中含有某种病毒 的概率为 0.001，将 2000 人的血液进行混合，求混合后 的血液中含有该病毒的概率． 解 设 Ai (1 i 2000) 为第 i 人的血液中含有病毒的事
件，混合后的血液中含有病毒的事件为 Ai ，概率为
《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2015年8月23日星期日 1
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§1.4 事件的独立性
2015年8月23日星期日
2
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定义 8 若两个事件 A ， B 满足 P( B) P( B | A) ，则称事 件 A ， B 相互独立(mutual independence)，简称 A, B 独 立．
所以结论成立．
2015年8月23日星期日
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由定义，还可以得到以下两个推论：
(1) 若 事 件 A1 , A2 ,, An , n 2 相 互 独 立 ， 则 其 中 任 意 k (2 k n) 个事件也相互独立．
(2) 若 事 件 A1 , A2 ,, An , n 2 相 互 独 立 ， 则 将
2015年8月23日星期日
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定义 12
设 A1 , A2 ,, An 是 n(n 2) 个事件，如果满足：
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ), i j , P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ), i j k , P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ). 1 2 n 1 2 n
2015年8月23日星期日
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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证明 以下只证明若 A, B 相互独立，则 A 与 B 也相互独 立，其它类似证明．
因为
P( AB) P( A B) P( A) P( AB) P( A) P( A) P( B) P( A)[1 P( B)]
P( A) P( B ).
定义 11
设 A, B, C 是三个事件，如果满足：
P( AB) P( A) P( B), P( BC ) P( B) P(C ), P( AC ) P( A) P(C ), P( ABC ) P( A) P( B) P(C ).
则称这三个事件 A, B, C 是相互独立的．
定义 10 设 A, B, C 是三个事件，如果满足：
P( AB) P( A) P( B), P( BC ) P( B) P(C ), P( AC ) P( A) P(C ).
则称这三个事件 A, B, C 是两两独立的．
2015年8月23日星期日 4
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2015年8月23日星期日 3
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定义 8 若两个事件 A ， B 满足 P( B) P( B | A) ，则称事 件 A ， B 相互独立(mutual independence)，简称 A, B 独 立．
定义 9 若两事件 A ， B 满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事 件 A ， B 相互独立，简称 A, B 独立．
A1 , A2 ,, An 中任意多个事件换成它们各自的对立事件， 所得的 n 个事件仍相互独立．
2015年8月23日星期日
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【例 20】两门高射炮彼此独立地射击一架敌机，设甲炮 击中敌机的概率为 0.9， 乙炮击中敌机的概率为 0.8， 求 敌机被击中的概率？ 解 设 A ={甲炮击中敌机}， B ={乙炮击中敌机}，那么 {敌机被击中 }= A B ．因为 A 与 B 相互独立，所以，有 P( A B ) P (A) P (B ) P (AB )
则称这 n 个事件 A1 , A2 ,, An 是相互独立的．
2015年8月23日星期日
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关于独立性，作如下几点说明：
(1)依据这些定义，容易验证必然事件 与不可能事件 与任何事件是相互独立的．这一事实读者不会感到意 外，因为必然事件 与不可能事件 的发生与否，不受 任何事件的影响，也不影响其它任何事件是否发生．
2015年8月23日星期日 12
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内容小结
2015年8月23日星期日
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习题A
2015年8月23日星期日
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P( A) P(B) P( A)P(B) 0.9 0.8 0.9 0.8 0.98. 另一种解法． 由定理 1 知， A 与 B 相互独立，故
P( A B ) 1 P( A B ) 1 P( AB ) 1 P( A) P( B) 1 (1 0.9)(1 0.8) 0.98.
(2)事件的独立性与互斥是两码事，互斥表示两个事件 不能同时发生，而独立性则表示它们彼此互不影响对方 发生的概率．当 P( A) 0 ， P( B) 0 时，若 A, B 相互独 立 ， 则 P( AB) P( A) P( B) 0 ． 若 A, B 互 斥 ， 则 P( AB) P() 0 ，此时 A, B 相互独立和 A, B 互斥不会 同时成立．