Laurant展开的技巧

朗级数展开式. 这里用到收敛幂级数可以逐项积分的结论.
例 4 求 (ln z) / ( z - 1) 2 以 z0 = 1 为中心的洛朗展开式 (| z - 1| < 1) .
解 :
+∞
∫ ∫∑ lnz
( z - 1) 2
=
1 ( z - 1) 2
dz z
=
1 ( z - 1) 2
( - 1) k ( z - 1) k d z
1
, 0
<|
z|
<1
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汉中师范学院学报 (自然科学)
2001 年第 19 卷
3 洛朗展开的技巧性方法
在环域 R1 < | z - z0 | < R2 上解析的复函数展为洛朗级数的技巧性方法是 :
(1) 先将要展开的复函数分解为两部分之和或两部分之积.
其中一部分在大圆 CR2 内 (| z - z0 | < R2 ) 解析 ,这部分展开只有正幂部分 ,是泰勒展开.
例 3 在 z0 = 0 的领域上将 e1ΠzΠz2 展开为洛朗级数.
∑ ∑ 解 :
1
ez z2
=-
d dz
e
1 z
+∞
=-
d dz k=0
1 k
!
z
-
k
=
+∞ k =1
z- k- 1 ( k - 1)
! , 0
<|
z| <+ ∞
213 逐项积分法展开洛朗级数
先将待展开函数的导函数展开成为洛朗级数 ,然后再对洛朗级数积分得原函数的洛
1
2 z2 -
1
=
z
1 -
1
-
2
1
+
z
2
1
=
z
1 -
1
-
∑ + ∞
k=0
(-
1) k ( z 2 k +1
1) k
, 0
<|
z - 1| < 2
展开式中只有负一次幂和无穷多个正幂项.
212 逐项求导法展开洛朗级数
先将待展开函数的积分形式展开成为幂级数 ,然后再对幂级数求导得原函数的幂级
数展开式. 这里用到收敛幂级数可逐项求导的结论.
第2期
龙姝明 ,等 :Laurant 展开的技巧
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解 :利用基本级数展开公式
+∞
∑ 1
1 -
u
=
uk , |
k =0
u| < 1
视 1Πz2 为 u 可以导出
+∞
∑ 1
z2 -
1
=
11 z2 1 - z - 2
=
k=0
1 z2 k+2
, +
∞>|
z|
>1
展开式中有无穷多个负幂项而无正幂项 ,展开中心 z0 = 0 不是函数的奇点 ,奇点在 z = 1
=
1
zk +2
k =0
j =0
=
j =0
k +1 zk +2
,
|
z| > 1
4 用计算机系统完成洛朗展开
Mathematica 是理工软件包中的佼佼者 ,它有强大的数值计算能力 、符号演算能力 、快 速的微积分运算能力 ,可用来完成对任给只有正幂或只有负幂项的复变函数展开成泰勒 或洛朗级数的工作 ,这只要在 mathematica 环境中输入
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汉中师范学院学报 (自然科学)
2001 年第 19 卷
Series[ f n ( t + z0 ) ,{ t , + ∞, n} ]Π. t → z - z0
就可给出 f ( z) 负幂部分 f n ( z) 的展开 (即洛朗展开) 的前 n 项 ,这里 z0 是展开中心.
aj+ m bj +
( z - z0 ) - m
aj bm + j
m=0
j=0
m=1
j=0
+∞
k
+∞
k
∑ ∑ ∑ ∑ f p1 ( z) f p2 ( z) =
( z - z0 ) k
aj bk- j =
( z - z0 ) k
ak - j bj
k =0
j=0
k =0
j=0
+∞
k
+∞
k
∑ ∑ ∑ ∑ f n1 ( z) f n2 ( z) =
和 z = - 1 处. 因为所给函数只有在小圆 R1 = 1 外解析的部分 ,展开只有负幂项部分.
例 2 在 z0 = 1 的邻域上将函数 f ( z) = 2Π( z2 - 1) 展开成为洛朗级数.
解 :先将 f ( z) 分解为不可约部分分式和形式
2/ ( z2 - 1) = 1/ ( z - 1) - 1Π( z + 1)
穷级数乘法公式 :
若设
+∞
+∞
∑ ∑ f p ( z) =
ak ( z - z0 ) k , f n ( z) =
bj ( z - z0 ) - j
k=0
j=0
+∞
+∞
∑ ∑ f p1 ( z) =
ak ( z - z0 ) k , f p2 ( z) =
bj ( z - z0 ) j
k =0
j=0
( z - z0 ) m
aj+ m bj +
( z - z0 ) - m
aj bm + j
m =0
j=0
m =1
j=0
∑ ∑ ∑ ∑ 1
e z cos z =
+∞
zn
n=0
+∞ j=0
(-
j+ n
1) 2 (1 +
(-
1) j+ n ) Π2
( j + n) !j !
+
+∞
z- m
m=1
+∞ j=0
后 ,再用乘法公式便可完成所给函数的洛朗展开 ,因而我们有
∑ e xz
=
+∞ k=0
x k
k
!
zk
, |
z| <+
∞
∑ e -
x z
=
+∞ j=0
(j
x) !
j
z-
j
,
|
z| > 0
∑ ∑ ∑ ∑ e x( z- 1Πz)
=
+∞
zn
n=0
+∞ j=0
xn+ j ( n + j)
( - x) j ! j!
!
∑ ∑ +
+∞
+∞
z- m
m =1
j =0
(2 j)
( - 1) j !(2 j +
m)
! ,0
<|
z|
<+
∞
例 7 在 z0 = 0 的邻域上展开 e x( z - 1Πz) 为洛朗级数.
解 :原函数可以分解为正幂部分 e xz 和负幂部分 e - xΠz ,因而可利用基本级数分别展开
+
+∞
z- m
m=1
+∞ j=0
xj j!
((m
x) m+ j + j) !
∑ ∑ ∑ ∑ =
+∞ห้องสมุดไป่ตู้
zn
n=0
+∞ j =0
((n
1) j xn+2 j + j) !j !
+
+∞
(-
m=1
1) mz - m
+ ∞ ( - 1) xj m +2 j j = 0 j !( m + j) !
展开在 0 < | z| < + ∞上收敛.
+∞
+∞
∑ ∑ 1
ez
=
bjz - j =
j=0
j=0
1 j!
z
-
j
,
第2期
龙姝明 ,等 :Laurant 展开的技巧
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∑ ∑ cosz =
+∞
akzk
k =0
=
+∞ k =0
(-
k
1) 2 (1 + ( k!
1) k ) Π2 zk
套用前面的乘法公式
可以导出
+∞
+∞
+∞
+∞
∑ ∑ ∑ ∑ f p ( z) f n ( z) =
朗展开或洛朗级数.
尽管求展开系数的公式与泰勒展开的系数公式形式上相同 ,但这里的 ak 不等于
f ( k) ( z0 ) Πk !. 不论 z0 是否为 f ( z) 的奇点 ,洛朗展开的系数公式都只有积分形式. 实际做洛
朗展开时系数计算不能直接用此公式 ,并且实际计算都比较复杂 ,甚至相当困难. 换句话
例 8 以 z0 = 0 为中心 ,将 1Π( z - 1) 2 在| z| = 1 的圆外展开为洛朗级数.
解 :可以直接利用乘法公式
+∞
+∞
+∞
k
+∞
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1
( z - 1) 2
=
1 z (1 - z- 1)
1 z (1 - z- 1 )
=
1 z2