广东省佛山市高中数学 第三章 直线与方程 3.33.4 点到直线的距离和平行线间的距离学案(无答案)
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》851PPT课件
[解] 设直线的斜率为 k，由斜截式得 l1 的方程 y＝kx＋ 1，即 kx－y＋1＝0，由点斜式可得 l2 的方程 y＝k(x－5)，即 kx－y－5k＝0.在直线 l1 上取点 A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距 离 d＝|11＋＋5kk2|＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152.
第三章 直线与方程
1．直接利用两平行直线间的距离公式． 2．在一条直线上任意选取一点，利用点到直线的 距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交 点、坐标为整数的点)．
第三章 直线与方程
例2 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2， 且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
|2×4＋232＋×302－10|＝
2 ＝2 13
13 13 .
[解法二] 因为 l1∥l2 且 C1＝－8，C2＝－10，所以由两
条平行直线间的距离公式得
d＝|－8－22＋－3120|＝2
13 13 .
第三章 直线与方程
第三章 直线与方程
例3 已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x －y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直 线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．
则点 M 到 l1，l2 的距离相等，
则|t－3－t＋1|＝|t－3－t－1|，解得
2
2
t＝32，
∴M(32，32)．
又 l 过点 A(2,4)，
第三章 直线与方程
由两点式得4y－－3232＝2x－－3232， 即 5x－y－6＝0， 故直线 l 的方程为 5x－y－6＝0.
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》854PPT课件
Y
Q P
B
A X
解：直线BA的斜率 kBA
30 2 (4)
1 2
直线PQ的斜率 kPQ
2 1 1 (3)
1 2
因为 kBA kPQ ，所以直线 BA// PQ
例12，求证：顺次连结（A 2，
3）、B（5，-
7 2
）、C（2，3）
D（ 4，4）四点所得的四边形是梯形。 y
D●
4C
3
●
分析:1.什么是梯形?
PQ得
1m 1 m1 3
1，解得
m
2
所以当m 2 时，直线 AB 与直 线 PQ 垂直
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
一、知识内容上
l1 // l2 k1 k2（前提:两条直存线在不）重合,斜率都
l1
l2
k1k2
1
（前提：两条直线都有斜率， 并且都不等于零）
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系 （2）数形结合的思想
y l2
l2
l1
y l1
O
α1
α2
xO
x
结论2:
L1 ⊥ L2
k1k2=－1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在
两条直线垂直，一定是它们的斜率 乘积为－1这种情况吗？
例1.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
x o -4
2
5
2.怎么样处理直线平行?
-3
●
A
●B
解：Q
k AB
7 (3) 2 52
高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离教案 新人教A版必修2
∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.
代入(*)得|P′N|= 即d= ,.
②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d= .
证明：设P0(x0,y0)是直线A x+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d= .
例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.
解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,
d= .
点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.
变式训 练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离.答案： .
作业
P110 9.10.
板
书
3.3.3点到直线的距离&
3.3.4两条平行直线间的距离
两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d= .
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
教学
反思
相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|= .
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.
2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
高中数学第三章直线与方程3.3点到直线的距离3.4两条平行直线间的距离课件新人教A版必修
已知实数x,y满足关系式x+y+1=0,求S= x2 y2 2x 2y 2 的最小值. 思路点拨 S= x2 y2 2x 2 y 2 = (x 1)2 ( y 1)2 ,它表示点(x,y)与点(1,1)间的距离,可用点 到直线的距离公式求最小值,也可以用x表示y,将求S的最小值转化为求二次函数 的最小值. 解析 解法一:因为S= x2 y2 2x 2 y 2 = (x 1)2 ( y 1)2 , 所以它可以看作一个动点M(x,y)与一个定点N(1,1)间的距离,即点N(1,1)与直线l:x +y+1=0上任意一点M(x,y)的距离. 所以|MN|的最小值为点N到直线l的距离,
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
定义 公式
距离公式
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段 的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0
| Ax0 By0 C |
的距离d=①
A2 B2
(A2+B2≠0)
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
1.在利用点到直线的距离公式求距离时,直线方程必须是一般式方程. ( √ ) 2.在求两条平行直线间的距离时,可以在其中一条直线上任取一点,转化为求点到 直线的距离. ( √ ) 3.使用两条平行直线间的距离公式求距离时,两直线方程中x、y的系数必须对应 相等. ( √ )
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》283PPT课件
A
l
A’
4、直线关于直线的对称直线问题
直线关于直线对称的情形：
相交对称
l1
平行对称
l1
l
l
l2
l2
例：直线2x y 0关于y轴对称的直线方程为______ 直线3x 4 y 5 0关于x轴对称的直线方程为______
例 : 求直线l1 : x y 2 0关于直线 l : 3x y 3 0对称的直线l2的方程.
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
❖ A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
（如：点Ａ(-1,3)到直线x=6的 距离是____7____.)
y
P(x0,y0)
x d Ax0 By0 C
O
A2 B2
l:Ax+By+C=0
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
直线方程为：x y 1 0
3、点关于直线的对称点问题
明确点A关于直线l对称的点A’之间的关
系。
① kl • kAA' 1
②A和A’的中点在直 线l上.
A
l
A’
求点A(2,2)关于直线2x 4 y 9 0的 对称点A'的坐标.
解法：设所求的点是A’ （a,b),利用A与A’两点连 线与原直线垂直关系，得 出两点所在直线的斜率关 系（1），又利用中点坐标 公式求出中点，代入原方 程得关系（2），解方程组 求出a和b即可.
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P（x0，y0）y P
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》975PPT课件
即：x y 4 0 .
y
点C1，0 到x y 4 0的距离
1 0 4
h
5
.
12 12
2
AB 3 12 1 32 2 2 .
1
5
因此， SABC
2 2
2
5. 2
4A
3
2h
1
C
-1 O 1 2
B
3x
过程设计
例▪3
⑴已知点 A2,3 到直线 y ax 1
的距离为1，求 a 的值；
▪
▪ ⑵ 已知点 A2,3 到直线 y x a
《点到直线的距离》
复习引入
两点间的距离公式是什么？
已知点 P1x1, y1，P2 x2, y2 ，则
P1P2 x2 x1 2 y2 y12 .
y
P2
N2
M2
O
Q
M1 x N1 P1
点到直线距离公式
1 特殊情况
y
|x0|
y0
P0 (x0,y0)
|y0|
O
x0
x
点到直线距离公式
y
|y1-y0|
课堂练习：3.求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且与直线 l 距离 为 3 的直线方程．
解 ∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间距离公式得 | b 6 | ＝3， 52 (12)2
解之得c＝45或c＝－33， 所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y －33＝0.
Q·R·
O P·2,0 x
过程设计
问题1 如何求点P(2,0) 到直线 x y 0 的距离？
方法③ 利用三角函数
PQ OP sin 45o
广东省佛山市高中数学 第三章 直线与方程 3.33.4 点到直线的距离和平行线间的距离学案(无答案)
3.3-3.4 点到直线的距离和平行线间的距离【学习目标】1.掌握点到直线的距离公式及其结构特征；2.理解两平行线间的距离的概念，掌握两平行线间距离的计算方法；3.进一步体会“数形结合”与“化归”的数学思想方法. 【重点难点】重点：两到直线的距离公式和平行线间的距离公式． 难点：点到直线距离公式的应用． 【学法指导】阅读教材，认真理解两点间距离公式 【学习过程】 一.课前预习阅读教材106~107P P 的内容，通过自学你能明白以下问题吗？ 1.点11(,)A x y 到x 轴的距离是d = ． 2.点11(,)A x y 到y 轴的距离是d = ． 3.点(2,0)A 到直线y x =的距离是d = ． 4.点(,)06A -到直线y x =-的距离是d = ．5.对于直线l ：0Ax By C ++=，如何求点00(,)P x y 到l 的距离？ 二.课堂学习与研讨1.师生探究·合作交流新知1:点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = ． 仔细体会下面的证明思路：（1）如图，0RP 平行于x 轴，0SP 平行于y 轴，由00(,)P x y 的坐标如何得出R ，S 的坐标？ （2）在0Rt RP S ∆中，求出斜边RS 的长；（3）由面积相等，得等式000||||||||RP SP RS P Q ⋅=⋅， 从而得出点到直线的距离公式．注意:运用点到直线的距离公式，必须把直线方程化为 ． 特殊情况：00(,)P x y 到直线x a =的距离d = ；00(,)P x y 到直线y b =的距离d = ．新知2:两平行直线10Ax by C ++=与20Ax by C ++=的距离d = ． 注意:求两平行直线距离，必须将直线方程化为 ， 且x 、y 的系数 ．2.例题选讲例1.求过点(1,2)P -练习1.求过点(1,2)M ，且与点(2,3)A ，(4,5)B -的距离相等的直线l 的方程．例2.若直线1l 与直线2l 34200x y --=平行且距离为3，求直线1l 的方程．练习2.已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，求与它们等距离的平行线的方程．例3.在直线30x y +=上找一点,使它到原点和直线320x y +-=的距离相等．练习3.求直线211160x y ++=关于点(0,1)P 对称的直线方程．3.归纳与小结（1）点00(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=（A ， B 不同时为0）的距离：d =．使用该公式时应该注意：①公式中的直线方程必须化为一般式；②若点00(,)P x y 在直线l 上，则P 到直线l 的距离为0，此时公式仍适用； ③特别地，点00(,)P x y 到x 轴的距离为0||y ，到y 轴的距离为0||x ．２.两条平行直线1l ：10Ax By C ++=，2l ：20Ax By C ++=（12C C ≠）之间的距离：d =两条平行直线1l 与2l 的形式必须是一般式，同时x 和y 前面的系数必须分别化为一致． 三.达标检测A 基础巩固1.教材138P ：练习1,2,32.点P 在x 轴上,若它到直线4330x y --=的距离等于1，则P 的坐标是 （ ） A.(2,0)-或1(,0)2- B.(2,0)或1(,0)2C.(2,0)-或1(,0)2D.(2,0)或1(,0)2-3.动点P 在直线240x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为 ( )A.5B.5C.5D.5B 提升练习4.直线l 过点(5,10)P ，且与原点的距离等于5，则直线l 的方程为 ．5.1l :2340x y ++=,2l :4650x y +-=之间的距离为 ． 四.拓展延伸与巩固1.已知点(3,4),(6,3)A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3.33.3.4 点到直线的距
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
(2)解法一:把直线方程化为一般式为 x-2=0. 由点到直线的距离公式,得 d=|-1+0×2-2|=3.
12+02
解法二:∵直线 x=2 与 y 轴平行, ∴由图知 d=|-1-2|=3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)解法一:由点到直线的距离公式,得 d=|-1×0+2-1|=1.
答案:-1+ 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
两平行线间的距离 【例2】求与直线l:5x-12y+6=0平行,且与直线l距离为3的直线方 程. 思路分析:设出所求直线的方程,用待定系数法求解.
解:设所求直线方程为 5x-12y+c=0, 则由题意,得 |������-6| =3,解得 c=-33 或 c=45.
2的直线方程
2
为
.
解析:显然直线x=-1到原点的距离为1,所以所求直线的斜率是存
在的.
设所求直线的方程为y-2=k(x+1),化成一般式为kx-y+2+k=0.
由题意,得
|2+������| =
������2+1
22,解得 k=-1 或-7.
故适合题意的直线方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0
即 d=|0+2×0-1| =
12+22
55,
所以 x2+y2 的最小值是
5 5
2
= 15.
答案:15
探究一
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》42PPT课件
目标： 掌握两平行线之间的距离公式，会求两平 行线之间的距离.
知识回顾 点到直线的距离公式
点 P( x0, y0 ) 到直线 Ax By C 0
的距离（ A2 B2 0）？
d Ax0 By0 C A2 B2
情境引入
求平行线 2x 7 y 8 0 和 2x 7 y 6 0 的距离
问题导学
求平行线 2x 7 y 8 0 和 2x 7 y 6 0 的距离
思考2：是否可以在直线 2x 7 y 8 0
上取一般的点 P x0, y0 来求距离？
探究
思考：是否可以在直线 2x 7 y 8 0
上取一般的点 P x0, y0 来求距离？
将上面思考推广到一般直线会有什么结论：
课后作业
1.P110 A组10; 2.P114 A组10、11、12
解：思在考直1：线这两条2平x行直7线y 间的6 距离0是上否任为取固
定以的 选一？ 择点如 哪，何 个例求 点如这？两条P平(行3,直0)线, 间则的距P离(3？, 0可), 到直线 2x 7 y 8 0 的距离
就是两平行线间的距离．因此
d
23708
14
14
53 .
22 (7)2
53 53
探究
求证：两平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0, ( A, B 0且C1 C2 ) 的距离为
d C1 C2 . A2 B2
证明：设点 P(x0 , y0 ) 是直线 Ax By C2 0
上任一点，则点 P 到直线 Ax By C1 0
求下列两条平行线的距离： 课本108页第 2题
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》279PPT课件
在直线l1上任取一点P x0, y0 ，过P作直线l2的垂线，垂足为Q.
则P到直线l2的距离为：PQ
=
Ax0 By0 C2 A2 B2
Q 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C1
PQ = C1 C2 A2 B2
例1 求与直线l : 5x 12 y 6 0平行且到l的距离为2的直线方程.
解：设所求直线方程为：5x 12 y C 0
C6 C6
d
2
52 122 13
C 32或C 20
所求的直线方程为: 5x 12 y 32 0或5x 12 y 20 0
练习1.求与直线2x 3y 3 0和2x 3y 9 0平行且距离 相等的直线方程. 解：设所求的直线方程为2x 3y C 0,依题意得 与直线2x 3y 3 0的距离为d C 3
6
m
所以m 2
6x 2 y 1 0化为3x y 1 0
2
ห้องสมุดไป่ตู้两条平行线间的距离为
3 1
d
2 10
32 12 4
练习2 若直线l1 : x 2 y 1 0与直线l2 : 2x ay 3 0平行， 则l1与l2的距离为（ C ）
A. 5
B. 1
C. 5
D. 1
5
5
2
2
解：由于l1 : x 2 y 1 0与直线l2 : 2x ay 3 0平行，
两条平行线间的距离
回顾：点到直线的距离
平面上任意一点P x0, y0 到直线l : Ax By C 0
( A, B不同时为0)的距离为
d Ax0 By0 C A2 B2
yP
l1
怎样求任意两条平行线的距离呢？
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》828PPT课件
y
●（1，1）
O
x
思考：是否存在过P点且与原点距离为 2 的 直线？为什么？
小 结：
(1)点到直线的距离公式 d Ax0 By0 C A2 B2
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数
d 2 (1) 5
O
3
3
x l:3x=2
[例6]已知点A（1，3）B（3，1）C（-1，0）
求△ABC的面积 y
A
h
CO
B
x
练：《金版》P68A级 5
小 结：
点到直线的距离公式: d Ax0 By0 C A2 B2
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
作业
课本 P110A组 9
d k 2 2 2(k 2)2 k 2 1
1 k2 2
k 2 8k 7 0, k 1或k 7,
∴ l 的方程为： 7x+y+5=0 或 x+y-1=0
注意：当直线的斜率不明确时，注意分斜率 不存在和存在两种情况分析．
例5、求经过点P（1，1）且和坐标原点距离
最大的直线方程.
整理为对应相等的形式。
Q AB 0,这时l与x轴, y轴都相交,
y
R
By0 A
C
,
y0
l
R
P
S
x0 ,
Ax0 B
C
d
Q
O
Sx
由 1 d RS 1 PR PS
2
2
点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0y的距离：
高中数学第三章直线与方程3.3.3_3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课件新人教A版必修2
1.(点到直线的距离)原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( D )
(A)1
(B) 3 (C)2
(D) 5
2.(两平行线间的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( B ) (A)3x-4y-1=0 (B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0 (C)3x-4y+1=0 (D)3x-4y-21=0
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知识探究
1.点到直线的距离
| Ax0 By0 C |
(1)点到直线的距离公式:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d= A2 B2 (当
A=0 或 B=0 时,也成立).
(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.
的最小值是( )
(A)2
(B)2 2 (C)4
(D)2 3
解 析 : 因 为 (m,n) 在 4x+3y-10=0 上 , 所 以 m2+n2 的 最 小 值 表 示 原 点 到 直 线 4x+3y-10=0 的距离的平方,即( 10 )2=4.故选 C.
42 32
【备用例3】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这 条直线的方程.
数m=
.
解析:(1)由题意,得 | 9 16 7 | = |18 4m 7 | ,
5
5
高中数学第三章直线与方程3.3.3、4点到直线的距离两条平行直线间的距离aa高一数学
1．点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)
|Ax0＋By0＋C|
的距离 d＝
A2＋B2
.
2．点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝ |y0| ，到 y 轴的距离 d ＝ |x0| .
12/11/2021
第七页，共四十二页。
[答一答] 1．点到直线的距离公式中，直线 l 的方程是哪种形式？如 果是斜截式方程，如何求？
提示：在直线 l1 上任取一点 P(x0，y0)，则 Ax0＋By0＝－C1. 点 P 到直线 l2 的距离为 d＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C2|＝ |CA1－2＋CB22| .
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第十一页，共四十二页。
4．两条平行线 x＋y－1＝0,2x＋2y＋5＝0 之间的距离是 d＝ |－112＋－152|＝3 2吗？
∴由下图知 d＝|2－1|＝1.
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第十五页，共四十二页。
直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再 用公式；直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成 立，但由于直线是特殊直线与坐标轴垂直，故也可采用数形结 合法求点到直线的距离.
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[解] ∵A(1,1)，C(4,2)， ∴|AC|＝ 4－12＋2－12＝ 10，直线 AC 的方程为 x－3y ＋2＝0.
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第二十三页，共四十二页。
根据点到直线的距离公式，可得点 B(m， m)到直线 AC 的
距离
d＝|m－3
m＋2|， 10
∴S＝12|AC|·d＝12|m－3 m＋2|
知识点二 两条平行直线间的距离
[填一填]
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》91PPT课件
行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？
y l1
l2
oP
x
3.两条平行直线间的距离
已知两条平行直线方程为:
Ax By C1 0和Ax By C2 0
则它们之间的距离为:
Hale Waihona Puke d C1 C2 A2 B2理论迁移
例1 已知直线
复习
▪ 1.点到直线距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注意： 要把直线方程化为一般式．
▪ 2.特殊情况
y
y y1 y1
x x1
|y1-y0|
|x1-x0|
y0 P0 (x0,y0)
O
x0
x1
x
3.3.4两条平行直线间的距离
【目标导学】
1、理解两条平行直线间距离的概念； 2、会将两条平行直线间的距离转化为点到 直线的距离； 3、会巧妙取点，使计算简单。
【主体自学】 看书P119
并完成后面练习
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平行直线间的距离 的含义是什么？
A
B
思考2:你有什么办法求两条平行直线之 间的距离？
思考3:直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么？
思考4:根据上述思路，你能推导出两平
和
与
,l1与l2是否平行？若平
行,求l1与l2的距离.
作业
P120 A组 T9、T10 B组 T4
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》729PPT课件
第三单元·直线与方程
3.3.4两条平行直线间的距离
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知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋ y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什 么规律吗？ 答案 点 A，B，C 到直线 l2 的距离分别为 2， 2， 2.规律是当两直线平 行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
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解答
(2)求d取最大值时，两条直线的方程. 解 由(1)知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
解答
总结 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利 用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.
变式训练 已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，
C1≠C2
时，d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等.
变式训练 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程； 解 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
|C－6| 由两平行直线间的距离公式，得 2＝ 52＋－122， 解得C＝32或C＝－20， 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
解析 由题意，得63＝m1 ，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
|－1＋6| 由两平行线间的距离公式，得 62＋22＝
540＝
10 4.
高中数学第三章直线与方程3.3.3-3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离省公开课一等奖新名师
对变量问题要善于从函数的观点去思考，利用函数的知识去解决， 如本题之关键在于建立面积 S 与变量 m 之间的函数关系式，转 化为二次函数最值问题，同时在解题时又要考虑到问题的实际意 义．
第21页
3.两条互相平行的直线分别过点 A(6，2)和 B(－3， －1)，并且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.求： (1)d 的变化范围； (2)当 d 取最大值时，两条直线的方程． 解：(1)如图，显然有 0<d≤|AB|. 而|AB|＝ （6＋3）2＋（2＋1）2 ＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0，3 10]．
1 A.2
B．32
C．1
D．3
解析：选 B.直线即为 x＝12. 所以所求的距离 d＝|－1－12|＝32.
3．若点(4，3)到直线 3x－4y＋C＝0 的距离为 1，则 C＝________．
答案：±5
第5页
4．两平行直线 3x－4y＋1＝0 与 ax－8y＋c＝0 的距离为 3，则 a ＝__________，c＝__________． 解析：由题意得34＝a8.所以 a＝6. 直线 3x－4y＋1＝0 即为 6x－8y＋2＝0. 由平行线间的距离公式得 62＋|2（－－c| 8）2＝3. 所以|2－c|＝30.即 c＝－28 或 c＝32. 答案：6 －28 或 32
解析：d＝
|－4| ＝ 12＋12
4 ＝2 2
2.
答案：2 2
第28页
4．与直线 3x－4y＋1＝0 垂直，且与点(－1，－1)距离为 2 的直 线方程为____________． 解析：设所求直线方程为 4x＋3y＋C＝0. 则|4×（－1）＋423＋×3（2 －1）＋C|＝2，即|C－7|＝10. 解得 C＝－3 或 C＝17. 故所求直线方程为 4x＋3y－3＝0 或 4x＋3y＋17＝0. 答案：4x＋3y－3＝0 或 4x＋3y＋17＝0
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》655PPT课件
1.了解两条平行线间的距离公式的推导过程； 2.能求有关平行线间的距离.
3.3.4 两条平行直线间的距离
1.理解两条平行直线间的距离公式的推导；（难点） 2.两条平行直线间的距离公式及其应用.（重点）
1.点到直线距离公式：
点 P(x0, y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离为 d Ax0 By0 C
A2 B2
2.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线 段的长. （2）探究： 能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
由两平行线间的距离公式得 d 8 (10) 2 13
22 32
13
1．两直线都与 x 轴垂直时，d 两直线都与 y 轴垂直时，d
2.求下列两条平行线的距离： (1) l1:2x+3y-8=0 ，l2:2x+3y+18=0
(2) l1: 3x+4y=10 ，l2: 3x+4y-5=0
3.到直线 3x 4y 11 0 的距离为2的直线方程为（） （A）3x 4y 1 0 (B) 3x 4y 1 0 或 3x 4y 21 0 （C）3x 4y 1 0 (D)3x 4y 21 0
A2 B2
就是直线 l1 和 l2 间的距离．
注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为
l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 .
例1、已知 ：l1 : 2x 3y 8 0 , l2 : 2x 3y 10 0
l1与l2是否平行？若平行，求l1 与l2 间的距离.
解法一：l1
的斜率
k1
2 3
，l2
的斜率
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》18PPT课件
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
两平行线间的 距离处处相等
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例. 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0
与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。
的距离？ 2) 如何取点，可使计算简单？
阅读课本自学 例7 已知直线 l1 : 2x 7y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0
l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
？如何取点，可使计算简单
体会例7所蕴含的解题技巧,并总结归纳.
例. 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
（1）A(-2,3) , l: 2x+3y+18=0； （2） A(1,-2) , l: 4x+3y=0； （3）（-5，7）, l: 12x+5y-3=0；
概念
两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长.
两平行线间的距离处处相等.
问题
想一想
1. 怎样判断两条直线是否平行？
探究
2.设l1//l2，如何求l1和l2间的距离？ 1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 3 0 7 12x 5 0 40
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：(1,0) 或 ( 171 ,0)
37
练习
求两条平行线间的距离：
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》800PPT课件
A2 B2
由于两平行直线l1和l2的斜率k1=k2，所以两直 线必可写成Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的形式， 所以可以用公式:
d C1 - C2 A2 B2
计算两直线间的距离。
例九
求直线a：2x+3y-1=0与b:4x+6y-5=0的正中 平行直线。
直线a可化为4x+6y-2=0.设正中平行直线为 4x+6y+C=0,
A
l2
A oB
x
B
A点取在l1与坐标轴的交点时，计算较为简单。
例题
求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离。
解: 在直线 2x -7y -6=0 上取 P( 3, 0), 则 P( 3, 0)到 直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的距离。
| 2 3 7 0 8 | 14 14 53
d
22 (-7)2
53 53
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距
离是多少？
y
l1
l2
o
x
观察两平行线的系数有什么特点。
y
l1
l2
Ao
x
B
在l1与x轴交点处取
A( C1 ,0) A
，A点到l2的距离
d
|
A (- C1) A
B 0 C2 |
| C2 - C1|
A2 B2
➢（二）能力目标 ➢通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、 分析归纳、抽象概括、数学表达 ➢等基本数学思维能力．
➢（三）情感目标
➢引导学生用联系与转化的观点看问题，体验 在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培 养合作意识和创新精神；同时感受数学的形 式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.3_3.3.4点到直线的距离_两平行线
1§3.3.3-3.3.4点到直线的距离—两平行线间的距离年级：高一一、温故互查1．已知平面上两点),(),,(222111y x P y x P ，则21,P P 的距离=21P P ______________________ (1)若)1,3(),3,8(B A -，则=AB ___________ (2)若)1,9(),1,2(N M ，则=MN _________ 2.已知点P 的横坐标为2，点P 与点)6,1(-Q 间的距离为103，则点P 的纵坐标__________ 3.已知点)0,10(B ),5(与a A -间的距离是17，则 =a ____________________ 二、设问导读（一）探究：1.点到直线的距离1、在平面直角坐标系中，若点P 到直线l 的距离是指____________________________2、在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ,则当0B 0==或A 时，怎样用点P 的坐标和直线l 的方程表示点P 到直线l 的距离呢?3、在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ,则当0B 0≠≠或A 时，又怎样用点P 的坐标和直线l 的方程表示点P 到直线l 的距离呢?通过探索发现，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点________),(1x R ； 作y 轴的平行线，交l 于点)(_______,2y S ，由⎩⎨⎧=++=++020011C By Ax C By x A 得：⎩⎨⎧==________________________________21y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=____________________________2010y y PS x x PR ，那么 _________________________________)(_________)(_________22⨯=+=RS4、设d Q P =0,怎么求d 呢？5、当0B 0≠≠或A 时，上述公式是否成立？6、两条平行直线间的距离是指：7、思考（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？（2）如何取点，可使计算简单？ 结论：两条平行直线0A 021=++=++C By x C By Ax 与间的距离为：2221BA C C d +-=三、自学检测例5：点)2,1(0-P 到直线23:=x l 的距离.思考：还有其他解法吗？例6：已知点),0,1(),1,3(),3,1(-C B A 求ABC ∆的面积.思考：还有其他解法吗？例 7：已知直线,01216:,0872:21=--=--y x l y x l 1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.四、巩固训练：1. 求原点到下列直线的距离：（1）02623=-+y x （2）y x =2. 求下列点到直线的距离： （1）0343:),3,2(=++-y x l A （2）033:),0,1(=-+y x l B4.求下列两条直线间的距离： （1）;01832,0832=++=-+y x y x （2）043,1043=+=+y x y x5.求两条平行直线012y -x 30123=+=--与y x 间的距离五、拓展延伸1. 已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，求a 的值2.求两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与间的距离.3.已知)6,(a A 到直线0243=--y x 的距离d 为下列各值，求a 的值： （1）4=d （2）4<d （3）4>d4.求平行于直线,02=--y x 且与它的距离为22的直线的方程.。
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3.3-3.4 点到直线的距离和平行线间的距离
【学习目标】
1.掌握点到直线的距离公式及其结构特征；
2.理解两平行线间的距离的概念，掌握两平行线间距离的计算方法；
3.进一步体会“数形结合”与“化归”的数学思想方法. 【重点难点】
重点：两到直线的距离公式和平行线间的距离公式． 难点：点到直线距离公式的应用． 【学法指导】
阅读教材，认真理解两点间距离公式 【学习过程】 一.课前预习
阅读教材106~107P P 的内容，通过自学你能明白以下问题吗？ 1.点11(,)A x y 到x 轴的距离是d = ． 2.点11(,)A x y 到y 轴的距离是d = ． 3.点(2,0)A 到直线y x =的距离是d = ． 4.点(,)06A -到直线y x =-的距离是d = ．
5.对于直线l ：0Ax By C ++=，如何求点00(,)P x y 到l 的距离？ 二.课堂学习与研讨
1.师生探究·合作交流
新知1:点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = ． 仔细体会下面的证明思路：
（1）如图，0RP 平行于x 轴，0SP 平行于y 轴，由00(,)P x y 的坐标如何得出R ，S 的坐标？ （2）在0Rt RP S ∆中，求出斜边RS 的长；
（3）由面积相等，得等式000||||||||RP SP RS P Q ⋅=⋅， 从而得出点到直线的距离公式．
注意:运用点到直线的距离公式，必须把直线方程化为 ． 特殊情况：00(,)P x y 到直线x a =的距离d = ；
00(,)P x y 到直线y b =的距离d = ．
新知2:两平行直线10Ax by C ++=与20Ax by C ++=的距离d = ． 注意:求两平行直线距离，必须将直线方程化为 ， 且x 、y 的系数 ．
2.例题选讲
例1.求过点(1,2)P -
练习1.求过点(1,2)M ，且与点(2,3)A ，(4,5)B -的距离相等的直线l 的方程．
例2.若直线1l 与直线2l 34200x y --=平行且距离为3，求直线1l 的方程．
练习2.已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，求与它们等距离的平行线的方程．
例3.在直线30x y +=上找一点,使它到原点和直线320x y +-=的距离相等．
练习3.求直线211160x y ++=关于点(0,1)P 对称的直线方程．
3.归纳与小结
（1）点00(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=（A ， B 不同时为0）的距离：
d =
．
使用该公式时应该注意：
①公式中的直线方程必须化为一般式；
②若点00(,)P x y 在直线l 上，则P 到直线l 的距离为0，此时公式仍适用； ③特别地，点00(,)P x y 到x 轴的距离为0||y ，到y 轴的距离为0||x ．
２.两条平行直线1l ：10Ax By C ++=，2l ：20Ax By C ++=（12C C ≠）之间的距离：
d =
两条平行直线1l 与2l 的形式必须是一般式，同时x 和y 前面的系数必须分别化为一致． 三.达标检测
A 基础巩固
1.教材138P ：练习1,2,3
2.点P 在x 轴上,若它到直线4330x y --=的距离等于1，则P 的坐标是 （ ） A.(2,0)-或1(,0)2- B.(2,0)或1(,0)2
C.(2,0)-或1(,0)2
D.(2,0)或1(,0)2
-
3.动点P 在直线240x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为 ( )
A.
5
B.5
C.5
D.5
B 提升练习
4.直线l 过点(5,10)P ，且与原点的距离等于5，则直线l 的方程为 ．
5.1l :2340x y ++=,2l :4650x y +-=之间的距离为 ． 四.拓展延伸与巩固
1.已知点(3,4),(6,3)A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值。
2.两平行直线1l ，2l 分别过(1,0)A ，(0,5)B ．（１）1l ，2l 之间的距离为５，求两直线方程； （２）若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围．
【学习后记】请同学们把对本课内容的学习心得体会写下来。