高考数学数列与函数的综合应用学案

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2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列的综合应用

第六节数列的综合应用【核心考点·分类突破】考点一等差、等比数列的综合问题(规范答题)[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{a n}的公差为d,且d>1,令b n=2+,记S n,T n分别为数列{a n},{b n}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{a n}的通项公式;(2)若{b n}为等差数列,且S99-T99=99,求d.审题导思破题点·柳暗花明(1)思路:根据等差数列的定义,灵活运用给定的条件,即可得到所求等差数列的通项公式;同时帮助学生理解题设条件,以顺利进入第(2)问的情境.(2)思路:所给题设条件“{b n}为等差数列”要求学生能够灵活转化为求解数列{a n}中公差与首项的关系,可以采用通性通法来解答.规范答题微敲点·水到渠成【解析】(1)因为3a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d,[1分]关键点根据已知条件,列方程求出首项a1和公差d的关系.所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,又T3=b1+b2+b3=2+3+4=9,所以S3+T3=6d+9=21,即2d2-7d+3=0,解得d=3或d=12(舍去),[3分]所以a n=a1+(n-1)d=3n,所以的通项公式为a n=3n.[4分]阅卷现场(1)没有过程,只有a n=3n得1分;(2)结果正确时漏写a1=d不扣分;(3)d=12漏舍只得1分.(2)因为b n=2+,且为等差数列,所以2b2=b1+b3,即122=21+123,[6分]所以61+-11=61+2,所以12-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d.[8分]传技巧取的前3项,利用等差中项2b2=b1+b3,得到首项a1和公差d之间的关系.解法一:①当a1=d时,a n=nd,所以b n=2+=2+B=r1,S99=99(r99)=99×50d,T99=99×51.因为S99-T99=99,所以99×50d-99×51=99,关键点利用S99-T99=99,列出关于d的方程,结果注意d>1.即50d2-d-51=0,解得d=5150或d=-1(舍去).[10分]②当a1=2d时,a n=(n+1)d,所以b n=2+=2+(r1)=,避易错讨论另一种情况,不可遗漏.S99=99(2r100)=99×51d,T99=99×50.因为S99-T99=99,所以99×51d-99×50=99,即51d2-d-50=0,解得d=-5051(舍去)或d=1(舍去).[11分]综上,d=5150.[12分]解法二:因为S99-T99=99,由等差数列的性质知,且99a50-99b50=99,即a50-b50=1,传技巧利用等差数列的性质,可以简化运算过程.列方程求出a50,注意由d>1可知a n>0.所以a50-255050=1,即a502-a50-2550=0,解得a50=51或a50=-50(舍去).[10分]①当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得d=5150.②当a1=2d时,a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾,应舍去.[11分]综上,d=5150.[12分]解法三:因为,都是等差数列,且a nb n=n(n+1),=B=1(+1).[8分]所以可设=1(+1)=B或敲黑板构造新数列要考虑全面,少写一组不得分.(i)当a n=1(n+1),b n=kn时,S99-T99=1(2+3+…+100)-k(1+2+…+99)=99,即50k2+k-51=0,解得k=-5150或k=1,因为d=k>1,所以均不合题意.[10分](ii)当a n=kn,b n=1(n+1)时,S99-T99=k(1+2+…+99)-1(2+3+…+100)=99,即50k2-k-51=0,解得k=5150或k=-1.因为d=k>1,所以k=5150,所以d=5150.[12分]拓思维高考命题强调“多思考,少运算”的理念,试题面向全体学生,为考生搭建展示数学能力的平台.本解法根据给出的条件,巧妙的构造新的数列,突破常规解法,灵活运用数列知识,解题方法“高人一招”,解题速度“快人一步”.【解题技法】等差、等比数列综合问题的求解策略1.基本方法:求解等差、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程(组),确定基本量;2.基本思路:注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项以及证明数列为等差、等比数列的方法确定解题思路.【对点训练】(2022·全国甲卷)记S n为数列{a n}的前n项和.已知2+n=2a n+1.(1)证明:{a n}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求S n的最小值.【解析】(1)由2+n=2a n+1,得2S n+n2=2a n n+n①,所以2S n+1+(n+1)2=2a n+1(n+1)+(n+1)②,②-①,得2a n+1+2n+1=2a n+1(n+1)-2a n n+1,化简得a n+1-a n=1,所以数列{a n}是公差为1的等差数列.(2)由(1)知数列{a n}的公差为1.由a4,a7,a9成等比数列,得72=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,所以S n=-12n+(-1)2=2-252=12(n-252)2-6258,所以,当n=12或n=13时,(S n)min=-78.考点二数列与函数、向量的综合[例2](1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)=13x3+4x,记等差数列{a n}的前n项和为S n,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,则S2022等于()A.-4044B.-2022C.2022D.4044【解析】选A.因为f(-x)=-13x3-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,所以f(a1+2)=-f(a2022+2),所以a1+2+a2022+2=0,所以a1+a2022=-4,所以S2022=2022(1+2022)2=-4044.(2)数列满足a1=1,a2=5,若m=1,r1+1,n=+r2,-2,m·n=0,则数列的通项公式为________.【解析】由已知m·n=0,得1×+r2-2r1+1=0,即r2-r1-r1-=2,则r1-是首项为a2-a1,公差为2的等差数列,则a n+1-a n=2-1+-1×2=2+1,于是a n=--1+-1--2+…+2-1+a1=2n+2-1+…+2×2+1=2+-1+…+2+1=n2+n-1.答案:a n=n2+n-1【解题技法】数列与函数、向量的综合问题的求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形;(3)涉及数列与三角函数有关的问题,常利用三角函数的周期性等特征,寻找规律后求解;(4)涉及数列与向量有关的综合问题,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式求解.【对点训练】1.已知数列{a n}满足a n+2-a n+1=a n+1-a n,n∈N*,且a5=π2,若函数f(x)=sin2x+2cos22,记y n=f(a n),则数列{y n}的前9项和为()A.0B.-9C.9D.1【解析】选C.由题意知数列{a n}是等差数列.因为a5=π2,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π.f(x)=sin2x+2cos22,所以f(x)=sin2x+cos x+1,所以f(a1)+f(a9)=sin2a1+cos a1+1+sin2a9+cos a9+1=2.同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.因为f(a5)=1,所以数列{y n}的前9项和为9.2.数列{a n}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为________.【解析】因为a4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=151+9-2,因为d∈[1,2],所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=15-2.当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-12.答案:-12考点三数列与不等式的综合【考情提示】数列不等式作为考查数列综合知识的载体,因其全面考查数列的性质、递推公式、求和等知识而成为高考命题的热点,重点考查不等式的证明、参数范围、最值等.角度1数列中的最值[例3]公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m,a n满足a m a n=1612,则1+4的最小值为()A.32B.53C.43D.1310【解析】选A.由等比数列的通项公式知a m=a1×2m-1,a n=a1×2n-1,由a m a n=1612,可得12×2m+n-2=1612,易知a1≠0,故2m+n-2=16,解得m+n=6,则1+4=16(m+n)·(1+4)=16(1+4++4)≥16(5+2)=32(当且仅当m=2,n=4时取等号).角度2数列中的不等式证明[例4](2023·宁德模拟)已知数列,满足b n=a n+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)n项和为S n,求证:12≤S n<1.【解析】(1)由b n=a n+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.又因为数列为等差数列,故公差为d=a2-a1=1,因此a n=n,b n=n+n2.(2)由(1)可得b n=n+n2,所以1=1r2=1-1r1,所以S n=11+12+13+…+1=(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1-1r1)=1-1r1,又因为n∈N*,所以0<1r1≤12(n=1时等号成立),所以12≤1-1r1<1,即12≤S n<1.角度3数列中的不等式恒成立[例5]已知数列{a n}的通项公式为a n=5-n,其前n项和为S n,将数列{a n}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项,记{b n}的前n项和为T n.若存在m∈N*,使对任意n∈N*,S n≤T m+λ恒成立,则实数λ的取值范围是()A.[2,+∞)B.(3,+∞)C.[3,+∞)D.(2,+∞)【解析】选D.依题意得S n=(4+5-)2=(9-)2,根据二次函数的性质知,当n=4,5时,S n 取得最大值为10.另外,根据通项公式得数列{a n}的前4项为a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,观察易知抽掉第二项后,余下的三项可组成等比数列,所以数列{b n}中,b1=4,公比q=12,所以T n=4(1-12)1-12=8(1-12),所以4≤T n<8.因为存在m∈N*,对任意n∈N*,S n≤T m+λ恒成立,所以10<8+λ,所以λ>2.【解题技法】数列与不等式交汇问题的解题策略(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.(3)数列中有关项或前n 项和的恒成立问题,常转化为数列的最值问题;求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.【对点训练】1.(2023·重庆模拟)设a >0,b >0,若3是3a 与9b 的等比中项,则1+2的最小值为()A .92B .3C .32+2D .4【解析】选A .因为3是3a 与9b 的等比中项,所以32=3a ·9b =3a +2b ,所以a +2b =2,所以1+2=12·(1+2)·(a +2b )=12(5+2+2)≥12·(5+2)=92,当且仅当a =b =23时取等号.2.数列{a n }满足a 1=14,a n +1=14-4,若不等式21+32+…+r2r1<n +λ对任何正整数n 恒成立,则实数λ的最小值为()A .74B .34C .78D .38【解析】选A .因为数列{a n }满足a 1=14,a n +1=14-4,所以反复代入计算可得a 2=26,a 3=38,a 4=410,a 5=512,…,由此可归纳出通项公式a n =2(r1),经验证,成立,所以r1=1+1(r2)=1+12(1-1r2),所以21+32+…+r2r1=n +1+12(1+12-1r2-1r3)=n +74-12(1r2+1r3).因为要求21+32+…+r2r1<n +λ对任何正整数n 恒成立,所以λ≥74.3.(2023·南京模拟)已知数列的前n 项和为S n ,a 1=2,(n -2)S n +1+2a n +1=nS n ,n ∈N *.(1)求数列的通项公式;(2)求证:112+122+…+12<716.【解析】(1)(n -2)S n +1+2a n +1=nS n ,则(n -2)S n +1+2(S n +1-S n )=nS n ,整理得到nS n +1=(n +2)S n ,故r1(r1)(r2)=(r1),,故(r1)=11×2=1,即S n=n(n+1).当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,验证当n=1时满足,故a n=2n,n∈N*.(2)12=142<142-1=12(12-1-12r1),故112+122+…+12<14+12(13-15+15-17+…+12-1-12r1)=14+12(13-12r1)<14+12×13=512<716.考点四数列在实际问题中的综合应用[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为B1B1=0.5,B1B1=k1,B1B1=k2,B1B1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【解析】选D.设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依题意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,且B1+B1+B1+B1B1+B1+B1+B1=0.725,所以0.5+33-0.34=0.725,故k3=0.9.(2)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是()A.11B.13C.15D.17【解析】选B.设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为a n,q=200%=2,则a1=a(1+q),a2=a1(1+2)=a(1+q)(1+2),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+12)×(1+122)×(1+123)=40532a≈12.7a,即5年后,鱼的质量预计为原来的13倍.【解题技法】数列在实际应用中的常见模型等差模型如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差等比模型如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比递推数列模型如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项a n与第(n+1)项a n+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和S n 与前(n+1)项和S n+1之间的递推关系【对点训练】1.(2023·武汉模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第15项为()A.196B.197C.198D.199【解析】选C.设该数列为,则a1=2,a2=3,a3=6,a4=11.由二阶等差数列的定义可知,a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…所以数列r1-是以a2-a1=1为首项,公差d=2的等差数列,即a n+1-a n=2n-1,所以a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,a n+1-a n=2n-1.将所有上式累加可得a n+1=a1+n2=n2+2,所以a15=142+2=198,即该数列的第15项为198.2.(2023·深圳模拟)将一个顶角为120°的等腰三角形(含边界和内部)的底边三等分,挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形,得到与原三角形相似的两个全等三角形,再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去,最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线,如图所示.已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是()A.1681B.2081C.827D.1027【解析】选A.根据题意可知,每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的13,所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的23,由此可得,第n次操作之后所得图形的面积是,即经过4次操作之后所得图形的面积是=1681.。

高考数学复习学案(第13讲)函数的综合应用

高考数学复习学案13：函数的综合应用高考要求：1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题知识点归纳：函数的综合问题主要有如下几个方面：1函数的概念、性质和方法的综合问题；2函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；3函数与解析几何的综合问题；4联系生活实际和生产实际的应用问题函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:在应用中深化基础知识在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展以数学知识为载体突出数学思想方法数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化因此本课题也十分重视转化的数学思想重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的重点是通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用难点是函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高题型讲解：例1 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（）A.0 B.1 C.0或1 D.1或2分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C例2方程lgx+x=3的解所在区间为（）A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图象(如图2)它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D.至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较0x 与2的大小当x=2时，lgx=lg2，3-x=1由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断例3 (1)一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0，试证明之；(2)试用上面结论证明下面的命题：若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca ＞-1分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)， x ∈(m ， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手(1)证明：当k ＞0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是增函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(m)＞0；当k ＜0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是减函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(n)＞0所以对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0成立(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1则f(a)=(b+c)a+bc+1当b+c=0时，即b=-c ， f(a)=bc+1=-c2+1因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0当b+c ≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x 的一次函数因为|b|＜1，|c|＜1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”把证明ab+bc+ca ＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0，由于式子ab+bc+ca+1中， a ，b ，c 是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0 (也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)例4 假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg ，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购mkg 为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购可增加2x 个百分点（1）写出税收y （元）与x 的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x 的取值范围解：（1）由题知，调节后税率为(8)%x -，预计可收购(12%)m x kg +，总金额为1.2(12%)m x +元 ∴231.2(12%)(8)%(40042)(08)12500m y m x x x x x =+-=--<≤（2）∵元计划税收1.28%m ⋅元，∴1.2(12%)(8)% 1.28%78%m x x m +-≥⋅⋅，得242880x x +-≤，442x -≤≤，又∵08x <≤，∴x 的取值范围为02x <≤例5 某航天有限公司试制一种仅由金属A 和金属B 合成的合金，现已试制出这种合金400克，它的体积50立方厘米，已知金属A 的比重d 小于每立方厘米9克，大于每立方厘米8.8克；金属B 的比重约为每立方厘米7.2克（1）试用d 分别表示出此合金中金属A 、金属B 克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属A 、金属B 克数的取值范围解：（1）此合金中含A 金属x 克、B 金属y 克，则400507.2x y x y d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，解得40(8.89)7.2d x d d =<<-，360(8)(8.89)7.2d y d d -=<<-（2）∵407.240(1)7.27.2d x d d ==+--在(8.8,9)上是减函数，∴200220x << 360(8)0.8360(1)7.27.2d y d d -==---在(8.8,9)上是增函数，180200y <<例6 已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2R ，且)2-≠a （I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析式；（II ）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数；命题Q ：函数)(x g 是减函数如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；（III ）在（II ）的条件下，比较2lg 3)2(-与f 的大小解：（1）),()(),()(),()()(x h x h x g x g x h x g x f =--=-+=).()()(x h x g x f +-=-∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-++++=+∴.|2|lg )1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g解得.|2|lg )(,)1()(2++=+=a x x h x a x g （2）|2|lg 4)1()21()(22+++-++=a a a x x f 函数在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数， ,21)1(2+-≥+∴a a 解得.2231-≠-≤-≥a a a 且或又由函数x a x g )1()(+=是减函数，得.21,01-≠-<∴<+a a a 且∴命题P 为真的条件是：.2231-≠-≤-≥a a a 且或命题Q 为真的条件是：21-≠-<a a 且又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，.23->∴a （2）由（1）得(2)2lg |2| 6.f a a =+++ 3,(2)2lg(2)62a f a a >-∴=+++又设函数010ln 212)(,6)2lg(2)(>++='+++=a a v a a a v ∴函数)(a v 在区间),23[+∞-上为增函数又.2lg 3)2(),23()(,23,2lg 3)23(->->->∴-=-f v a v a v 即时当例7若f （x ）在定义域（－1，1）内可导，且a x f 又当;0)(<'、0)1,1(=+-∈b a b 且时，()()0.f a f b +=解2(1)(1)0f m f m -+-> 解：0)(,)1,1()(<'-x f x f 且内可导在 )1,1()(-∴在x f 上为减函数又当b a ,0)()(,0),1,1(=+=+-∈b f a f b a 时)()(),()(a f a f a f b f -=--=∴即)1,1()(-∴在x f 上为奇函数)1()1(0)1()1(22m f m f m f m f -->-⇔>-+-∴ 2111111111)1()1(222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-⇔->-⇔m m m m m m f m f ∴原不等式的解集为)2,1(例8 函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅（Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围（Ⅰ）解：令.0)1(),1()1()11(,121=+=⨯==f f f f x x 解得有（Ⅱ）证明：令121,x x ==-[(1)(1)](1)(1),(1)0f f f f -⨯-=-+--=有解得令).()(),()1()(,121x f x f x f f x f x x x =-∴+-=-=-=有∴)(x f 为偶函数（Ⅲ）.3)4()16()416(,2)4()4()44(=+=⨯=+=⨯f f f f f f∴)64()]62)(13[(3)62()13(f x x f x f x f ≤-+≤-++即（1）∵),0()(+∞在x f 上是增函数，∴（1）等价于不等式组:⎩⎨⎧≤-+-<-+⎩⎨⎧≤-+>-+.64)62)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x x x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>R x x x x x ,331,537,313或或 ∴.331313753<<--<≤-≤<x x x 或或∴x 的取值范围为}.533313137|{≤<<≤--<≤-x x x x 或或例9已知函数224 , (0),()4 , (0).x x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨-+⎪-<⎪⎩(1) 求证: 函数()f x 是偶函数;(2) 判断函数()f x 分别在区间]2,0( 、),2[∞+ 上的单调性, 并加以证明;(3) 若121||4,1||4x x ≤≤≤≤, 求证: 12|()()|1f x f x -≤解： (1) 当0x >时, 0x <-, 则224()()4(),()()x x x x f x f x x x ++---+=-=--24x x x ++=∴()()f x f x =-当0x <时, 0x ->, 则224()()4(),()()x x x x f x f x x x -+-+-+=--=--24x x x -+=-,∴()()f x f x =-综上所述, 对于0x ≠, 都有()()f x f x =-,∴函数()f x 是偶函数(2) 当0x >时, 244()1,x x f x x x x ++==++设210x x >>, 则21211212()()(4)x x f x f x x x x x --=⋅-⋅ 当212x x >≥时, 21()()0f x f x ->; 当2120x x ≥>>时, 21()()0f x f x -<,∴函数()f x 在(0, 2]上是减函数, 函数()f x 在[2,)+∞上是增函数(3)由(2)知, 当14x ≤≤时, 5()6f x ≤≤,又由(1)知, 函数()f x 是偶函数,∴当1 || 4x ≤≤时, 6)x (f 5≤≤,∴若11 || 4x ≤≤, 21 || 4x ≤≤, 则15()6f x ≤≤, 25()6f x ≤≤, ∴121()()1f x f x -≤-≤, 即12|()()|1f x f x -≤例10已知函数)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=（t 为参数）（1）写出函数)(x f 的定义域和值域；（2）当]1,0[∈x 时，求函数)(x g 解析式中参数t 的取值范围；（3）当]1,0[∈x 时，如果)()(x g x f ≤，求参数t 的取值范围解：（1）函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，值域为R（2）]1,0[,02∈>+x t x .0>∴t（3）当⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔≤≤≤t x x t x x g x f x 2102)()(,10时 .)21()10(21max x x t x x x t -+≥⇔≤≤-+≥设,1,21,1,212-=≤≤+=-+=m x m x m x x U 则 .281)41(222)1(2222++--=++-=--=∴m m m m m U当.1,)0(1max ===U x m 时所以1t ≥学生练习：1对函数b ax x x f ++=23)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代 A.tt g 21log )(= B.t t g )21()(= C.g(t)=(t －1)2 D.g(t)=cost 2方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ()3已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数`x a y )25(--=是减函数若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是A.a ≤1B.a<2C.1<a<2D.a ≤1或a ≥24方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)5如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)6已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a 是常数)（）A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论 7已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(π2，π)，则tan θ的值是（）A. －43B. －34C. 43D. 348已知等差数列的前n 项和为S n ，且p q S S =，则p q S +＝____ 9关于x 的方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是____10正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为_________11 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________12已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则 2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++=13已知,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为_____________14设函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)(1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围；(2)若f(x)的值域是R ，求实数a 的取值范围15设不等式2x －1>m(x 2－1)对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立求x 的取值范围16 设等差数列{A.}的前n 项的和为S n ，已知A.＝12，S 12>0，S 13<0①求公差d 的取值范围；②指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由 (1992年全国高考) 17 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA ＝AB=2r ，求异面直线PB 和AC 的距离18 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的大小成等差数列，且tanA ·tanC ＝2＋3，又知顶点C 的对边c 上的高等于43,求△ABC 的三边a 、b 、c 及三内角19 设f(x)＝lg 1243++x x a，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围20已知偶函数f(x)=cos θsinx －sin(x －θ)+(tan θ－2)sinx －sin θ的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x 的集合21已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调（Ⅰ）求字母,,a b c 应满足的条件；（Ⅱ）设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =参考答案1不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域选项B ，C ，D 均缩小了()f x 的定义域，故选A2先作出f(x,y)=0关于y 轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又f(2－x,y)=0即为((2),)0f x y --=，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位故选C3命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数22x x a ++的判别式440a ∆=-≥，从而1a ≤；命题q 为真时，5212a a ->⇒<若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1<a<2，故选C4图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C ；5函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A ；6从反面考虑，注意应用特例，选B ； 7设tan θ2＝x (x>0），则212x x +＋1122-+x x ＝15，解出x ＝2，再用万能公式，选A ；8利用S n n 是关于n 的一次函数，设S p ＝S q ＝m ，S p q p q ++＝x ，则（m p ,p ）、(m q ,q)、(x ，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x ＝0，则答案：0；9设cosx ＝t ，t ∈[-1,1]，则a ＝t 2－t －1∈[－54,1]，所以答案：[－54,1]；10设高h ，由体积解出h ＝23，答案：246；11设长x ，则宽4x ，造价y ＝4×120＋4x ×80＋16x ×80≥1760，答案：176012运用条件知：(1)(1)()f n f f n +==2，且2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++ =2(2)2(4)2(6)2(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f +++=1613依题意可知212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，从而可知12,(1,0)x x ∈-，所以有 21240(1)01b ac f a b c c x x a ⎧⎪->⎪-=-+>⎨⎪⎪=<⎩24b ac b a c c a ⎧>⎪⇒<+⎨⎪<⎩，又,,a b c 为正整数，取1c =，则1a b a b +>⇒≥，所以22444a b ac a a ≥>=⇒>，从而5a ≥，所以2420b ac >≥，又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++有最小值为11下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2424b a c >≥，所以5b ≥, 又5a c b +>≥,所以6a c +≥,所以11a b c ++≥,综上可得:a b c ++的最小值为1114分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax 2+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解解：(1)2()lg(21)f x ax x=++的定义域是R2210u ax x⇔=++>对一切实数x恒成立因为a=0或a＜0不合题意，所以a>⎧⎨∆<⎩，解得a＞1(2)2()lg(21)f x ax x=++的值域是R221u ax x⇔=++能取遍一切正实数当a＜0时不合题意；当a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；当a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R15分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x2－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题对此的研究，设f(m)＝(x2－1)m－(2x －1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件f f () ()20 20<-<⎧⎨⎩解：问题可变成关于m的一次不等式：(x2－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1), 则f x xf x x()()()()()()22121022121022=---<-=----<⎧⎨⎪⎩⎪解得x∈（712-,312+）说明本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x2－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题16 分析：①问利用公式A.与S n建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S n是n的二次函数，将S n中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S n取最大值的函数最值问题解：①由A.＝A.＋2d＝12,得到A.＝12－2d，所以S12＝12A.＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，S13＝13A.＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0解得：－247<d<－3② S n＝nA.＋12n(n1－1)d＝n(12－2d)＋12n(n－1)d＝d2[n－12(5－24d)]2－d2[12(5－24d)]2因为d<0，故[n－12(5－24d)]2最小时，S n最大由－247<d<－3得6<12(5－24d)<65，故正整数n＝6时[n－12(5－24d)]2最小，所以S6最大说明：数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性本题的另一种思路是寻求A.>0、A.<0 ，即：由d<0知道A.>A.>…>A.，由S13＝13A.<0得A.<0，由S12＝6(A.＋A.)>0得A.>0所以，在S1、S2、…、S12中，S6的值最大17 分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD∴MD.＝x2＋[(2r－x)sinθ]2＝(sin2＋1)x2－4rsin2θx＋4r2sin2θ＝(sin2θ＋1)[x－2122r sinsinθθ+]2＋41222r sinsinθθ+即当x＝2122r sinsinθθ+时，MD取最小值212r sinsinθθ+为两异面直线的距离说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答比如再现性题组第8题就是典型的例子18 分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解解：由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝3 (1＋3)设tanA、tanC是方程x2－(3＋3)x＋2＋3＝0的两根，解得x1＝1，x2＝2＋3设A<C，则tanA＝1，tanC＝2＋3，∴A＝π4，C＝512π由此容易得到a＝8，b＝46，c＝43＋4说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决19分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg 1243++x x a有意义的函数问题，转化为1＋2x＋4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题解：由题设可知，不等式1＋2x＋4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(12)2x＋(12)x＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立设t＝(12)x, 则t≥12，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－1 2∴ t2＋t＋a＝0在[12,+∞)上无实根，即 g(12)＝(12)2＋12＋a>0，得a>－34所以a的取值范围是a>－3 4说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化在解决不等式(12)2x＋(12)x＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”：设t＝(12)x,t ≥12，则有a ＝－t 2－t ∈(－∞,－34]，所以a 的取值范围是a>－34其中最后得到a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”20 解：f(x)=cos θsinx －(sinxcos θ－cosxsin θ)+(tan θ－2)sinx －sin θ=sin θcosx+(tan θ－2)sinx －sin θ因为f(x)是偶函数，所以对任意x ∈R ，都有f(－x)=f(x)，即sin θcos(－x)+(tan θ－2)sin(－x)－sin θ=sin θcosx+(tan θ－2)sinx －sin θ,即(tan θ－2)sinx=0，所以tan θ=2 由22sin cos 1,sin 2,cos θθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==；，55cos 552sin θθ或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.55cos 552sin θθ，此时，f(x)=sin θ(cosx －1)当sin θ=552时，f(x)=552(cosx －1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；当sin θ=552-时，f(x)=552-(cosx －1)最小值为0，当cosx=－1时，f(x)有最大值为554,自变量x 的集合为{x|x=2k π+π,k ∈Z}21 解：（1）(0)00f c =⇒=；()()00f x f x a +-=⇒=2'()3f x x b =-，若()f x [1,)x ∈+∞上是增函数，则'()0f x ≥恒成立，即2min (3)3b x ≤= 若()f x [1,)x ∈+∞上是减函数，则'()0f x ≤恒成立，这样的b 不存在综上可得：0,3a c b ==≤（2）（证法一）设0()f x m =，由00[()]f f x x =得0()f m x =，于是有30030 (1) (2)x bx m m bm x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，（1）－（2）得：33000()()x m b x m m x ---=-，化简可得22000()(1)0x m x mx m b -+++-=， 001,()1x f x m ≥=≥，22001410x mx m b b ∴+++-≥-≥>，故00x m -=，即有00()f x x =（证法二）假设00()f x x ≠，不妨设00()1f x a x =>≥，由（1）可知()f x 在[1,)+∞上单调递增，故000[()]()()f f x f a f x x =>>，这与已知00[()]f f x x =矛盾，故原假设不成立，即有00()f x x =课前课后备注：。

高考数学总复习数列的综合应用学案理新人教A版

学案32 数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n .(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( )A ．12B ．18C ．22D ．442．(2011·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于 ( )A.23B.32C ．－16D ．－563．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n －1)－2n4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟5．(2011·台州月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝n n 2＋58，则数列{a n }的最大项为 ( ) A ．第7项 B ．第8项C ．第7项或第8项D ．不存在6．(2011·南京模拟)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lgb n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝________.探究点一等差、等比数列的综合问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .变式迁移1 假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：①数列{b n }是等比数列；②b 2>4；③b 4>32；④b 2b 4＝256.其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题例2 (2011·温州月考)已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .变式迁移2 已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．探究点三数列在实际问题中的应用例3 (2011·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3 假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为 ( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 22．(2011·漳州模拟)数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 ( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 ( )A ．1 001B ．991C ．999D ．9904．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )A ．6秒B ．7秒C ．8秒D ．9秒5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于 ( )6．(2011·丽水月考)若数列{a n }的通项公式a n ＝5⎝⎛⎭⎫252n －2－4⎝⎛⎭⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y ＝________.7．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24……………………………………三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湘潭模拟)已知点(1，13)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？10．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11．(14分)(2011·广东执信中学模拟)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案自主梳理1．(4)n ＝1或n ≥2自我检测1．C 2.B 3.C 4.C 5.B6.919课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q . 又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12. 由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2. 变式迁移1 D [设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．]例2 解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13. (2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝92⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝⎛⎭⎫1－13， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝9n 2n ＋1，∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012，又∵9n 2n ＋1＝92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1递增，且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92，即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n . (2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ， ∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立． ∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3 解依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500，第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300，依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列．设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18. ∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003. ∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1， ∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811， ∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元．纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ，即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区1．C 2.B 3.B 4.B 5.D6．3 7.21 8.1079．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .…………………………………………………(1分) a 1＝f (1)－c ＝13－c ， a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29， a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ， ∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2×⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *；………………………………(3分) ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1 ＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分) 又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.……………………………………………………………………(6分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋ 12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(10分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009， ∴满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(12分) 10．解设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(4分) 当n ≥5时，B n ＝16⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫325－132－1＋ 16⎝⎛⎭⎫324(n －5)－400＝81n －594，…………………………………………………………(8分) ∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，……………………………………………………………(2分) ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分) (2)记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ， 12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.…………………………………………………………(9分) (3)∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分) 当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．……………………………………………………(14分)。

高考数学一轮复习数列的综合运用导学案

数列的综合应用一、课前学习1．数列{}n a 满足n a =，则{}n a 中的最大项为第项，最小项是第项。

2．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15,1054≤≥S S ，则7S 的最大值为.3．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且213-=n n S ，则=++++13221n n a a a a a a .4．设平面内有)3(≥n n )(n f 表示这n 条直线交点的个数，则=)4(f ；当4≥n 时，=)(n f .5．设数列1{2}n -按“第n 组有n 个数()n N •∈”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第100组中的第一个数__________. 二、合作学习例1．已知函数()(,xf x a b ax b=+为常数且0)a ≠满足(2)1f =且()f x x =有唯一解。

（1）求()f x 的表达式；（2）记1()(*,1)n n x f x n N n -=∈>且1(1)x f =，求数列{}n x 的通项公式；（3）记1n n n y x x +=，数列{}n y 的前n 项的和为n S ，求证：43n S <。

例2．设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a b ⋅在[0，1]上的最小值与最大值的和为na ，又数列{nb }满足：1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ．（1）求n a 和n b 的表达式；（2）n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.例3．幂函数y =2(,)n n n P t t （n = 1,2,……）与x 轴正半轴上的点n Q 及原点O 构成一系列正1n n n P Q Q -∆（Q 0与O 重合），记1||n n n a Q Q -=。

高三数学总复习数列综合题应用教案设计

高三数学总复习《数列》综合题应用教案设计一、设计思想1、设计理念利用信息技术手段优化教学过程，改善教学效果。

2、设计背景在数学的教学过程中，利用传统的媒体（如黑板、粉笔等）教学已经不能适应新课改的要求，需要新的技术手段来促进教学。

3、教材的地位与作用本节教材在学生学习过数列的相关概念与公式的基础上，学习利用数列的公式解答高考题中有关数列的题。

本设计是高一下册最后一章的教学内容。

二、学习目标⑴知识与技能掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，能用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式解答高考题中有关数列的题。

⑵过程与方法通过教师总结的一般解题方法——“六步法”，体会一般的解题过程，正确解题。

⑶情感、态度与价值观通过对数列的学习，发展数学思维。

教学重点掌握4个有关数列的公式教学难点掌握一般解题方法，正确解题。

三、教学设想：本节课采用以教为主的课堂教学模式,利用PPT讲解。

四、教学过程（一）直接导入通过说明数列在高考题中所占分值17分左右，来说明其重要性。

直接导入教学（二）复习重点四个公式（三）提出一般解题方法——六步法1.审题(注意点要标注)2.分析求什么？3.分析已知条件4.把所有已知条件化成a1、d或a1、q的形式5.解方程组，得a1、d和a1、q6.作答(四)重难点突破——09年高考试题文科数学（全国一）例题：(17)(本小题满分10分)设等差数列{an }的前项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前项和为Tn，已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式。

解：设{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q>0，由题得：1+2d+q2=17 (1) q2+q+1-(3+3d)=12 (2) q>0 (3)解(1) (2) (3)得：q=2,d=2.所以，an =2n-1,bn=2n-1(五) 课堂小结利用正确的解题步骤解题。

高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案

高三数学一轮复习第33课时数列的综合应用学案例1 已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}对n∈N*，均有c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2 012.思考题1 已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．题型二数列与函数、不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝log k x(k为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)若b n＝a n·f(a n)，当k＝2时，求数列{b n}的前n项和S n；(3)若c n＝a n lg a n，问是否存在实数k，使得{c n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．思考题2 已知函数f(x)对任意实数p，q都满足f(p＋q)＝f(p)·f(q)，且f(1)＝13 .(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式(2)设a n＝nf(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项的和，求证：S n<34；(3)设b n＝nf n＋f n(n∈N*)，数列{b n}的前n项和为T n，试比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1T n与6的大小．题型三数列与导数、解析几何的综合应用例3 已知在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式； (2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.思考题3 已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(x n，f(x n))处的切线与x轴的交点为(x n＋1,0)(n∈N*)，其中x1为正实数．(1)用x n表示x n＋1；(2)若x1＝4，记a n＝lg x n＋2x n－2，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{a n}的通项公式．题型四数列的实际应用例4 为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车40辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．思考题4 某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为S n亩，求S n的表达式．。

天津市高考数学一轮复习数列的综合应用问题导学案

数列的综合问题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．例2.设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ；（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.例3.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T例4.已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .演练方阵A 档（巩固专练）1 ．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ( ) A. 21B. 22C. 2D.22.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 ( ) （( 9A. 18B. 24C. 60D. 903.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 634.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1 B53C.- 2 D 3 5.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（） A.－2 B.－12 C.12D.2 6.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（）A. 90B. 100C. 145D. 1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =A.38B.20C.10D.98．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n+ D ．2n n +9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 10.设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．B 档（提升精练）1.若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；前8项的和8S = .（用数字作答）2.设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。

高考数学专题复习数列的综合应用教案文教案

福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习数列的综合应用教案文1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等.3.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.4.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b ＝r1＋r n 1＋r n－1a.[难点正本疑点清源]1.用函数的观点理解等差数列、等比数列(1)对于等差数列，由a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，a n是关于n的一次函数，对应的点(n，a n)是位于直线上的若干个离散的点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列. 若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2＋qn (p、q∈R).当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.(2)对于等比数列：a n＝a1q n－1.可用指数函数的性质来理解.①当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列是递增数列；②当a1>0,0<q<1或a1<0，q>1时，等比数列{a n}是递减数列.③当q＝1时，是一个常数列.④当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.2.解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题、精心联想、沟通联系；(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.题型一等差数列与等比数列的综合应用例1在等比数列{a n} (n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设b n＝log2a n，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n ；(3)试比较a n与S n的大小.探究提高在解决等差数列和等比数列综合题时，恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项.已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝(1＋q)a n－qa n－1 (n≥2，q≠0).(1)设b n＝a n＋1－a n (n∈N*)，证明：{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a n是a n＋3与a n＋6的等差中项. 题型二数列与函数的综合应用例2已知函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n (n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性.探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查学生的逻辑分析能力.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x －1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为417，数列{a n}满足a1＝2，(a n＋1－a n)g(a n)＋f(a n)＝0 (n∈N*).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n＝3f(a n)－g(a n＋1)，求数列{b n}的最值及相应的n.题型三数列与不等式的综合应用例3 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n .(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n <b n .探究提高由a n ＋b n ＝1得到a n 的表达式，然后利用裂项相消法求得S n ，将4aS n <b n 转化为(a －1)n2＋(3a －6)n －8<0对任意n ∈N *恒成立.利用二次函数的性质进行分析，设f (x )＝(a －1)x 2＋3(a －2)x －8，对x 2的系数分a ＝1，a >1及a <1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立的a 的取值范围.已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ； (3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0032对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .题型四数列的实际应用例4 某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)探究提高解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现.从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2010年投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(2010年为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ (参考数据：lg 2＝0.301 0)15.用构造新数列的思想解题试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.审题视角 (1)从求证内容来看，首先要求出S n .(2)从S n 与S n －1的递推关系看，可考虑构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n .(3)可考虑用放缩法证明. 规范解答(1)解 ∵a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2 (n ≥2)，[2分]∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，[3分]∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.[5分]将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1，得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＝1，12n －2n 2n ≥2.[6分](2)证明 ∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝12－14n；[10分]当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1.综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.[12分]批阅笔记 (1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列.构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形.(2)本题首先要构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决.事实上：14n 2<14n n －1，也可以看成一个新构造：b n ＝14n n －1. (3)易错分析：构造不出新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ，从而使思维受阻.不会作不等式的放缩.方法与技巧1.深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等.4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题. 失误与防范1.等比数列的前n 项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习.2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解.专题四数列的综合应用(时间：60分钟) A 组专项基础训练题组一、选择题1.(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A.15B.12C.－12D.－152.(2010·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A.6B.7C.8D.93.设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n二、填空题4.(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为_____________.6.在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 三、解答题7.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值.8.某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%；若购买某种股票，年分红利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.(1)问买股票多少年后，所得红利才能和原来的投资款相等？(2)经过多少年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等？(精确到整年) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.06≈0.025 3)B 组专项能力提升题组一、选择题1.{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于 ( )A.3n ＋1＋2 B.3n ＋1－2C.3n＋2D.3n－22.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2 (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n( )A.有最小值63B.有最大值63C.有最小值31D.有最大值313.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小正整数n 是 ( )A.5B.6C.7D.8二、填空题4.(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米.5.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________.6.对正整数n ，若曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为____________. 三、解答题7.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1n n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ·2n，求数列{b n }的前n 项和S n .8.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1na n ＋3 (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由. 答案题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)S n ＝9n －n 22 a n ＝25－n (n ∈N *)(3)解显然a n ＝25－n>0，当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4，∴当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9时，a n >S n .变式训练1 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列.(2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1n ， q ＝1(3)解由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1. 由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去).于是q ＝－32. 另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6).由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，即2a n ＝a n ＋3＋a n ＋6，n ∈N *.所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项.例2 解 (1)由已知得log 22a n －1log 22a n ＝2n ，∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0.∴a n ＝n ±n 2＋1.∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0.∴a n ＝n －n 2＋1.(2)∵a n ＋1a n ＝n ＋1－n ＋12＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1n ＋1＋n ＋12＋1<1，又∵a n <0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列.变式训练2 (1)f (x )＝(x －1)2(2)a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＋1(3)解 b n ＝3(a n －1)2－4(a n ＋1－1)，令b n ＝y ，u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，则y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122－14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122－34. ∵n ∈N *，∴u 的值分别为1，34，916，2764，…，经比较916距12最近，∴当n ＝3时，b n 有最小值是－189256，当n ＝1时，b n 有最大值是0. 例3 (1)b 1＝34，b 2＝45，b 3＝56，b 4＝67(2)b n ＝n ＋2n ＋3(3)解 a n ＝1－b n ＝1n ＋3，∴S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝14×5＋15×6＋…＋1n ＋3n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋3－1n ＋4＝14－1n ＋4＝n 4n ＋4. ∴4aS n －b n ＝an n ＋4－n ＋2n ＋3＝a －1n 2＋3a －6n －8n ＋3n ＋4.由条件可知(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0在[1，＋∞)上恒成立即可满足条件. 设f (x )＝(a －1)x 2＋3(a －2)x －8，则a ＝1时，f (x )＝－3x －8<0，恒成立；a >1时，由二次函数的性质知不可能成立； a <1时，对称轴x ＝－32·a －2a －1＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1<0.f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数. f (1)＝(a －1)＋(3a －6)－8＝4a －15<0.∴a <154，∴a <1时，4aS n <b n 恒成立.综上知，a ≤1时，4aS n <b n 恒成立.变式训练3 (1)a n ＝23n ＋13(2)－49(2n 2＋3n ) (3)2 012例4 解 (1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)×50>400×(1.08)n －1×0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 变式训练4 (1)a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(2)解设经过n 年，旅游业的总收入超过总投入，由此b n －a n >0，即1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1－4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n >0，令x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，代入上式得5x 2－7x ＋2>0，解此不等式，得x <25，或x >1(舍去)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <25，由此得n ≥5. 答至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 课时规范训练 A 组1.A2.A3.A4.33 5.－10 6.97.解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0.由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2).②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得b n ＝－n ·2n，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n). 设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n， ③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，即－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，即2n>26.∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x是单调递增函数，∴满足条件的n 的最小值为5. 8.解设该人将1万元购买股票，x 年后所得的总红利为y 万元，则y ＝24%＋24%(1＋6%)＋24%(1＋6%)2＋…＋24%(1＋6%)x －1＝24%(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06x －1)＝4(1.06x－1).(1)由题意，得4(1.06x－1)＝1， ∴1.06x＝54.两边取常用对数，得x lg 1.06＝lg 54＝lg 5－lg 4＝1－3lg 2.∴x ＝1－3lg 2lg 1.06≈1－3×0.301 00.025 3≈4.(2)由题意，得4(1.06x－1)＝(1＋6%)x，∴1.06x＝43.解得x ≈5.答 (1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等； (2)经过大约5年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等. B 组1.A2.A3.C4.2 0005.n 2－n ＋626.2n ＋1－27.(1)a n ＝n ＋1n，n ∈N * (2)S n ＝n ·2n ＋18.解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2. ∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍). ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *). (2)b n ＝1na n ＋3＝12n n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1. 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋2－n2n ＋1 ＝12n ＋2n ＋1>0，∴数列{S n }是单调递增的.∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.。

数列综合应用教案

数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。

检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。

二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。

等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

高三数学教案：数列的综合运用

专题训练第十讲: 数列的综合运用学校学号班级姓名知能目标1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n 项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.综合脉络1. 揭示数列本质数列与函数的关系数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整数集*N (或它的有限子集}n ,,4,3,2,1{Λ )的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.等差数列与函数的关系公差0d ≠时, n n S ,a 分别是n 的一次函数和二次函数. 反过来, 如果n a 是n 的一次函数, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列; 如果n S 是n 的二次函数且常数项为0, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列.通项n a 与前n 项和n S 之间的关系: .)2n (S S )1n (S a 1n n 1n ⎩⎨⎧≥-==-2. 分析高考趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n 项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等. (一) 典型例题讲解:例1. 已知2)1(f =, 21)n (f 2)1n (f +=+)N n (*∈, 求)101(f 的值.例2. 已知数列1a }a {1n =中，且,)1(a a k1k 2k 2-+=- ,3a a kk 21k 2+=+其中Λ,3,2,1k =(1) 求53a ,a ; (2) 求}a {n 的通项公式.例3. 在公差不为零的等差数列}a {n 及等比数列}b {n 中, 已知a 1＝1, 且a 1＝b 1, a 2＝b 2, a 8＝b 3.(1)求数列}a {n 的公差d 和}b {n 的公比q ;(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n, 都有b b log a n a n +=成立, 若存在, 求出a 、b 的值, 若不存在, 说明理由.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. 数列}a {n 的通项公式为1n n 1a n ++=, 若}a {n 前n 项和为24, 则n 为 ( )A. 25B. 576C. 624D. 6252. 设数列}a {n 是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 63. 设)N n (n 213n 12n 11n 1)n (f *∈+++++++=Λ, 那么)n (f )1n (f -+等于 ( ) A. 1n 21+ B. 2n 21+C. 2n 211n 21+++D. 2n 211n 21+-+4. 若数列}a {n 前8项的值各异, 且n 8n a a =+对任意*∈N n 都成立, 则下列数列中可取遍}a {n 前8项值的数列为 ( ) A. }a {1k 3+ B. }a {1k 2+ C. }a {1k 4+ D. }a {1k 6+5. 已知数列}a {n , 那么“对任意的*∈N n , 点)a ,n (P n n 都在直线1x 2y +=上”是“}a {n 为等差数列”的 ( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S (万件)近似地满足)12,,2,1n )(5n n 21(90nS 2n Λ=--=. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5 万件的月份是 ( ) A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月二. 填空题7. 数列)21(1++)421(+++++Λ)221(1n -+++Λ前n 项和为______ ____.8. 设}a {n 是首项为1的正项数列, 且0a a na a )1n (n 1n 2n 21n =+-+++),3,2,1n (Λ=, 则它的通项公式是=n a ____ _____ .9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个数列的公比 , 项数为 .10. 在各项均为正数的等比数列}a {n 中, 若,9a a 65=则1032313a log a log a log +++Λ= .三. 解答题11. 数列}a {n 的前n 项和为n S , 且1a 1=, ,S 31a n 1n =+,,3,2,1n Λ=求 (1) 2a ,3a ,4a 的值及数列}a {n 的通项公式; (2) n 242a a a +++Λ的值.12. 有穷数列}a {n 的前n 项和S n ＝2n 2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的平均值是79. (1)求数列}a {n 的通项; (2)求数列}a {n 的项数及抽取的项数.13. 已知等比数列}a {n 共有m 项)3m (≥, 且各项均为正数, 1a 1=, 1a ＋2a ＋7a 3=. (1) 求数列}a {n 的通项n a ;(2) 若数列}b {n 是等差数列, 且11a b =, m m a b =, 判断数列}a {n 前m 项的和m S 与数列}21b {n -的前m 项和m T 的大小并加以证明.数列的综合运用解答(一) 典型例题例1. 解：,21)1n (2)n (f ,21)n (f )1n (f 2)1(f ⨯-+=+=+=故.52)101(f = 例2. 解：(1) 0)1(a a 12=-+=, ,33a a 23=+=,4)1(a a 234=-+=,133a a 245=+=所以, .13a ,3a 53==(2) ,3)1(a 3a a k k 1k 2k k 21k 2+-+=+=-+ 所以,)1(3a a kk 1k 21k 2-+=--+同理,)1(3a a 1k k 3k 21k 2----+=-……,).1(3a a 13-+=-所以+--+)a a (1k 21k 2++---Λ)a a (3k 21k 2=-)a a (13)],1()1()1[()333(1k k 1k k -++-+-++++--ΛΛ由此得],1)1[(21)13(23a a kk 11k 2--+-=-+ 于是.1)1(2123a k 1k 1k 2--+=++ 1)1(2123)1(1)1(2123)1(a a k k k1k k k 1k 2k 2=-+=-+--+=-+=--}a {n 的通项公式为:当n 为奇数时, ;121)1(23a 21n 21n n -⨯-+=-+ 当n 为偶数时, .121)1(23a 2n2n n -⨯-+= 例3. 解：(1) ⎩⎨⎧==⇒=+=+==0d 1q q b d 7a ,q b d a .1a b 2111111 或⎩⎨⎧==5d 6q .∴≠∴≠ .1q .0d Θ取⎩⎨⎧==5d 6q . (2) .6b ,4n 5a 1n n n -=-=假设存在, 则有b 6log )1n (4n 5b 6log 4n 5a 1n a +-=-⇒+=--.1b 6a 46log b 56log 6log b 6log n 4n 55a a a a ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=⇒-+=-⇒∴存在⎩⎨⎧==1b 6a 5, 使b b log a n a n +=成立.(二) 专题测试与练习一.二. 填空题 7. 2n 2S 1n n --=+; 8. ;n19. 2 , 8 ; 10. 10 .三. 解答题11. 解: (1) 由,S 31a ,1a n 1n 1==+,,3,2,1n ΛΛ =得 ,31a 31S 31a 112===,94)a a (31S 31a 2123=+==,2716)a a a (31S 31a 32134=++==由)2n (a 31)S S (31a a n 1n n n 1n ≥=-=--+, 得),2n (a 34a n 1n ≥=+又31a 2=, 所以),2n ()34(31a 2n n ≥=-∴ 数列}a {n 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2n (,)34(31)1n (,1a 2n n ;(2)由(1)可知n 242a ,,a ,a Λ是首项为31, 公比为2)34(项数为n 的等比数列, ∴].1)34[(73)34(1)34(131a a a n 22n 2n242-=--⋅=+++Λ12. (1) .3S a ,1a 4a S S a 11n 1n n n ==-=⇒-=-.1n 4a n -=∴(2) 设抽去是第k 项则有:791n a a a a a n1k 1k 21=-+++++++-ΛΛ,79n 79a a a a a n 1k 1k 21-=++++++∴+-ΛΛ移项得: 79na a 79a a a n1k 1k 21=++++++++-ΛΛ,所以抽去的是79, .20k 791k 479a k =⇒=-⇒=13. 解: (1) 设等比数列}a {n 的公比为q, 则,7q q 12=++ ∴2q =或3q -=, ∵}a {n 的各项均为正数, ∴2q =. 所以n a 1n 2-=.(2) 由n a 1n 2-=得12S mm -=. 数列}b {n 是等差数列, ,1a b 11==1m m m 2a b -==,而=m T )21b ()21b ()21b ()21b (n 321-++-+-+-Λ ,2m m 222m m 22122m )b b b b (2m 1m 1m n 321---⋅==-+=-++++=Λ∵.12)4m ()12(2m S T 2m m 2m m m +⋅-=--⋅=--- ∴当3m =时, 3333S T ,1S T <∴-=- . ∴当4m ≥时, m m S T >.。

2021年高考数学一轮复习第六篇数列第5讲数列的综合应用教案理新人教版

2021年高考数学一轮复习第六篇数列第5讲数列的综合应用教案理新人教版【xx年高考会这样考】1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力．【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系．一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )．A．－4 B．－6 C．－8 D．－10解析由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6.答案 B2．(xx·运城模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝( )．A．7 B．8 C．15 D．16解析设数列{a n}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S 4＝1－241－2＝15.答案 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 6q 3＝b 7⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10.答案 B4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )．A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4. 答案 D5．(xx·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0，S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0，∴n ＝10时，S n 最大．答案 10考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4. ∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n . 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0， ∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .考向二数列与函数的综合应用【例2】►(xx·南昌模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值； (2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . [审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．解 (1)由题意，S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1·(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．【训练2】 (xx·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 11－331－3＝133，解得a 1＝13. 所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1.又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 考向三数列与不等式的综合应用【例3】►(xx·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn ＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S nn 的最大值，从而确定k 的最小值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n2.(3)由(2)知S n ＝n 9－n2，∴S n n ＝9－n 2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n＝0；当n ＞9时，S n n＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19. 解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．【训练3】 (xx·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．(1)解设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n)， 2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜52；当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞52.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．一、数列与解析几何交汇【示例】►(xx·陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.二、数列与三角交汇【示例】►(xx·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.。

数列综合题和应用性问题教案

数列综合题和应用性问题教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的综合题型，包括数列的求和、通项公式、递推关系等。

2. 培养学生解决实际应用问题的能力，将数列知识运用到实际情境中。

3. 提高学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容：1. 数列的综合题型：求和公式、通项公式、递推关系等。

2. 数列在实际应用中的问题：例如求等差数列的前n项和、求等比数列的某项值等。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的综合题型的解法，实际应用问题的解决。

2. 教学难点：数列的递推关系的运用，实际问题中的参数设置。

四、教学方法：1. 案例分析法：通过具体的数列综合题型和实际应用问题，引导学生分析和解决问题。

2. 小组讨论法：分组讨论数列的综合题型和解题策略，促进学生之间的交流与合作。

3. 练习法：布置相关的数列综合题和应用性问题，让学生巩固所学知识。

五、教学过程：1. 导入新课：通过引入一些数列的综合题型和实际应用问题，激发学生的兴趣，引发思考。

2. 讲解与示范：讲解数列的综合题型的解法，示范解决实际应用问题的过程。

3. 案例分析：分析具体的数列综合题型和实际应用问题，引导学生学会分析和解决问题。

4. 小组讨论：让学生分组讨论数列的综合题型和解题策略，培养学生的合作意识。

5. 练习与反馈：布置相关的数列综合题和应用性问题，让学生进行练习，并及时给予反馈和讲解。

6. 总结与反思：让学生总结数列综合题和应用性问题的解题方法，反思自己在解题过程中的不足。

7. 布置作业：布置一些数列综合题和应用性问题，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括发言、讨论和练习情况。

2. 作业完成情况：检查学生完成的数列综合题和应用性问题的质量，评估学生的理解程度和应用能力。

3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作、交流和问题解决能力。

4. 学生自评和互评：鼓励学生进行自我评价和同伴评价，反思自己的学习过程和进步。

(江苏专用)高考数学二轮复习专题5 函数的综合应用学案

专题5函数的综合应用高考中，函数作为压轴题的考查层出不穷，是历年来高考的热点问题之一，很多时候都以函数为载体考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生的数学素养以及运用数学思想处理问题的能力，填空题中往往也在13、14题的位置作为把关题，结合函数的性质以及图象来考查学生的等价转化能力和数据处理能力.抓住函数的本质，掌握求函数性质的一般方法，特别是求函数值域的方法对我们解决中高档题目有着重要的意义.预测在2013年的高考题中：仍然作为把关题出现在填空题和解答题的后半部分. 结合导数一起考查，利用导数探究函数的性质.1．(2012·启东测试)若实数x 满足对任意正数a >0，均有a >x 2－1，则x 的取值范围是________．解析：由题意得x 2－1≤0，即－1≤x ≤1. 答案：[－1,1]2．函数f (x )＝x 2－a x在[1，＋∞)上的最小值是－4，则正实数a ＝________.解析：f ′(x )＝2x ＋a x2＞0，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1－a ＝－4，a ＝5. 答案：53．关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．解析：两边同除以x ，则k ≤x ＋9x ＋|x －3|，x ＋9x≥6，|x －3|≥0，当且仅当x ＝3，两等式同时取得等号，所以x ＝3时，右边取最小值6.所以k ≤6.答案：(－∞，6]4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________. 解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，即f (x ＋4)＝f (x )，所以f (99)＝f (3)＝13f＝132.答案：1325．已知a >0且a ≠1，当x ∈(－1,1)时，不等式x 2－a x <12恒成立，则a 的取值范围________．解析：不等式x 2－a x <12可化为a x >x 2－12，画出y 1＝a x ，y 2＝ x 2－12的图象．由图可看出12≤a <1或1<a ≤2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2][典例1]函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [解] 法一：设f (x )的最小值为g (a )，则只需要g (a )≥0.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，又a >4，故不存在；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上所述a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x 2＋3≥(1－x )a 对于任意的x ∈[－2,2]恒成立． (1)若1－x ＝0即x ＝1时，显然成立，此时a ∈R .(2)若1－x >0即－2≤x <1，不等式a ≤x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x，利用求导的方法得到g (x )min ＝2，得到a ≤2，(3)若1－x <0即1<x ≤2，不等式a ≥x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x，利用求导的方法得到g (x )max ＝－7，得到a ≥－7.综上所述a 的取值范围为[－7,2]．通过以上解法，我们认识到对于这一类问题，方法较多、思维较强，考察了等价转换的数学思想，对于这类问题我们只有归纳总结，多去研究、探讨才能掌握解题规律，灵活选择解题方法．[演练1](2012·南通、泰州、扬州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R . (1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围； (2)设F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x <1，gx ，x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F (x )上总存在另一点Q ，使得∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．解：(1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x . 由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x <x ，x －ln x >0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min . 设t (x )＝x 2－2xx －ln x，x ∈[1，e]．求导，得t ′(x )＝x －x ＋2－2ln xx －ln x 2.x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数．所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a ≤－1.(2)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点．假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP ·OQ <0. ①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP ·OQ ＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3＋t 2)．由于OP ·OQ <0恒成立，a (1－t )ln(－t )<1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )<1恒成立．当t <－1时，a <1－t－t恒成立．由于1－t－t>0，所以a ≤0.②若－1<t <1，t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)，则OP ·OQ ＝－t 2＋(－t 3＋t 2)(t 3＋t 2)<0，t 4－t 2＋1>0对－1<t <1，t ≠0恒成立．③当t ≥1时，同①可得a ≤0. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]． [典例2](2012·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x )e x，其中e 是自然数的底数，a ∈R .(1)当a <0时，解不等式f (x )>0；(2)若f (x )在[－1,1]上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解． [解] (1)因为e x>0，所以不等式f (x )>0，即ax 2＋x >0.又因为a <0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a <0.所以不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a .(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x )e x＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x，①当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；②当a ≠0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g (x )＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，不妨设x 1>x 2，因此f (x )有极大值又有极小值．若a >0，因为g (－1)·g (0)＝－a <0，所以f (x )在(－1,1)内有极值点，故f (x )在[－1,1]上不单调．若a <0，可知x 1>0>x 2.因为g (0)＝1>0，且g (x )的图象开口向下，要使f (x )在[－1,1]上单调，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧g，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2≥0，－a ≥0.所以－23≤a <0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0.(3)当a ＝0时，方程为x e x＝x ＋2，由于e x>0，所以x ＝0不是方程的解．所以原方程等价于e x －2x－1＝0，令h (x )＝e x－2x－1，因为h ′(x )＝e x＋2x2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上．所以整数k 的所有值为－3,1.第一问看似复杂，利用函数有界性不等式就转化成ax 2＋x >0，解二次含参不等式即可；第二问等价转化成f ′(x )＝(2ax ＋1)e x＋(ax 2＋x )e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ≥0恒成立问题处理，即转化成ax 2＋(2a ＋1)·x ＋1≥0恒成立解决；第三问方程即转化成x e x＝x ＋2的形式，结合函数零点的判断方法解决．[演练2](2012·盐城中学期中)已知函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝bx －x ＋2，其中a ，b ∈R 且ab ＝2.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是增函数．(1)求函数f (x )，g (x )的表达式；(2)若不等式f (x )≥mg (x )对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1恒成立，求实数m 的取值范围； (3)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )－12x 的最小值，并证明当n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )>3.解：(1)f ′(x )＝2x －a x ≤0对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1恒成立，所以a ≥2x 2.所以a ≥2.同理可得b ≥1.∵ab ＝2，∴a ＝2，b ＝1.∴f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －x ＋2.(2)∵f (1)＝1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝74>0，且函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是增函数．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1时，f (x )>0，g (x )>0，∴m ≤f x g x .由条件得⎝ ⎛⎭⎪⎫f x g x min ＝fg＝12－2ln 11－1＋2＝12，∴m ≤12.(3)h ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋x ＋12x ，当x >0时，x ＋x ＋x＋12x>0，则当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0. 故h (x )在x ∈(0,1)递减，在x ∈(1，＋∞)递增．所以h (x )min ＝h (1)＝52，即h (x )的最小值为52.当n ≥2时，h (n )≥h (2)＝7－2ln 2－2＝3＋(2－ln 4)＋(2－2)>3，即h (n )>3. 所以n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )＝h (n )＋n 2>3＋n2>3成立．[典例3](2012·泰州模拟)已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)． (1)如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )有相同的极值点，求a 的值；(2)设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)记函数H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]，若函数y ＝H (x )有5个不同的零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，则f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝a 3，而g (x )在x ＝a －12处有极大值，所以a －12＝a ⇒a ＝－1，或a －12＝a3⇒a ＝3. 综上a ＝3或a ＝－1.(2)假设存在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x )－g (x )＝x (x －a )2－[－x 2＋(a －1)x ＋a ]＝x (x －a )2＋(x －a )(x ＋1) ＝(x －a )[x 2＋(1－a )x ＋1]>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x －a <0，则存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0，1°当a －12>a3，即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0，得a >3或a <－32，故a >3； 2°当－1≤a －12≤a 3，即0<a ≤3时，4－a －24<0，得a <－1或a >3，故a 无解；综上a 的取值范围为(3，＋∞)．(3)据题意有f (x )－1＝0有3个不同的实根，g (x )－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．①g (x )－1＝0有2个不同的实根，只需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12>1⇒a >1或a <－3；②f (x )－1＝0有3个不同的实根，1°当a 3>a 即a <0时，f (x )在x ＝a 处取得极大值，而f (a )＝0，不符合题意，舍去；2°当a 3＝a 即a ＝0时，不符合题意，舍去；3°当a3<a 即a >0时，f (x )在x ＝a3处取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3>1⇒a >3322，所以a >3322.因为①②要同时满足，故a >3322.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫注：a >334也对下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f (x 0)－1＝0和g (x 0)－1＝0同时成立．假设存在x 0使得f (x 0)＝g (x 0)＝1，由f (x 0)＝g (x 0)，即x 0(x 0－a )2＝－x 20＋(a －1)x 0＋a ，得(x 0－a )(x 20－ax 0＋x 0＋1)＝0.当x 0＝a 时，f (x 0)＝g (x 0)＝0，不符合题意，舍去；所以x 0≠a ，即x 20－ax 0＋x 0＋1＝0.① 又g (x 0)＝1，即－x 20＋(a －1)x 0＋a ＝1.②联立①②式，可得a ＝0，而当a ＝0时，不满足a ＞3322，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3322时，函数y ＝H (x )有5个不同的零点．本题考查函数与导数的综合应用，利用导数研究函数的极值和最值，第一问是解方程；第二问将不等式有解问题，转化成最值问题处理，但需要讨论，并不简单；第三问思维要求比较高，除了分解方程的根之外，最终关键点是证明这5个根是不同的．[演练3](2012·盐城模拟)已知f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋2)． (1)当x <0时，求f (x )的解析式；(2)当m ∈R 时，试比较f (m －1)与f (3－m )的大小；(3)求最小的整数m (m ≥－2)，使得存在实数t ，对任意的x ∈[m,10]，都有f (x ＋t )≤2ln|x ＋3|. 解：(1)当x <0时，f (x )＝f (－x )＝ln(－x ＋2)．(2)当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋2)单调递增，而f (x )是偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．所以f (m －1)＞f (3－m )⇔|m －1|>|3－m | ⇔(m －1)2>(3－m )2⇔m >2.所以当m >2时，f (m －1)>f (3－m ) ；当m ＝2时，f (m －1)＝f (3－m )；当m <2时，f (m －1)<f (3－m )．(3)当x ∈R 时，f (x )＝ln(|x |＋2)，则由f (x ＋t )≤2ln|x ＋3|，得ln(|x ＋t |＋2)≤ln(x ＋3)2，即|x ＋t |＋2≤(x ＋3)2对x ∈[m,10]恒成立从而有⎩⎪⎨⎪⎧t ≤x 2＋5x ＋7，t ≥－x 2－7x －7，对x ∈[m,10]恒成立，因为m ≥－2,所以⎩⎪⎨⎪⎧tx 2＋5x ＋min＝m 2＋5m ＋7，t－x 2－7x －max＝－m 2－7m －7.因为存在这样的t ，所以－m 2－7m －7≤m 2＋5m ＋7，即m 2＋6m ＋7≥0.又m ≥－2，所以适合题意的最小整数m ＝－1. [专题技法归纳] (1)恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．(2)有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．(3)证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．(4)方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．1．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫na n n ＋1的前n 项和的公式是________________________．解析：y ＝x n－xn ＋1，k ＝y ′|x ＝2＝n ·2n －1－(2n ＋2)·2n －1＝－(n ＋2)2n －1，切点为(2，－2n)，切线方程点斜式为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n －1(x －2)，令x ＝0得a n ＝(n ＋1)·2n，令b n ＝na n n ＋1，则b n ＝n ·2n，令S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，由错位相减法可得S n ＝2－(1－n )2n ＋1.答案：S n ＝2－(1－n )2n ＋12．不等式ax ≤x 在x ∈[0,3]内恒成立，则实数a 的取值范围________．解析：画出两个函数y ＝ax 和y ＝x 在x ∈[0,3]上的图象，由图知，当x ＝3时，3a ≤3，即当a ≤33，x ∈[0,3]时，总有ax ≤x ，所以a ≤33. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，33 3．若f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由于所给函数可分解为y ＝log a u ，u ＝2－ax ，其中u ＝2－ax 在a ＞0时为减函数，所以必须a ＞1；因为[0,1]必须是y ＝log a (2－ax )定义域的子集，所以x ＝1时，a <2.所以1<a <2.答案：(1,2)4．已知a 是实数，函数f (x )＝2x 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间(－1,1)上有零点，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )图象的对称轴为x ＝－12，所以①函数在区间(－1,1)上只有一个零点，此时f (－1)f (1)<0或Δ＝0，即(－3－a )(1－a )<0或7＋2a ＝0，解得－3<a <1或a ＝－72.②函数在区间(－1,1)上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋2a >0，－3－a >0，1－a >0.解得－72<a <－3.综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－3∪(－3,1)．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－3∪(－3,1)5．将函数y ＝－x 2＋2x ＋3－3(x ∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．解析：由y ＝－x 2＋2x ＋3 －3，得(y ＋3)2＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，即(x －1)2＋(y ＋3)2＝4.注意到－x 2＋2x ＋3≥0，从而y ≥－ 3.又x ∈[0,2]，所以函数的图象是x ∈[0,2]的圆弧，如图1.由图可知，当切线从起始位置l 0逆时针转至y 轴时，如图2，都能保证曲线C 是一个函数的图象，所以θ的最大值是l 0的倾斜角的余角，其值是π6.图1 图2 答案：π66．已知函数f (x )的定义域为R ，f (2)＝3，且f (x )在R 上的导函数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x －1，则由条件知g ′(x )＝f ′(x )－1<0，g (2)＝0，函数g (x )＝f (x )－x －1在定义域R 上单调递减，不等式f (x 2)<x 2＋1化为g (x 2)<g (2)，所以x 2>2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是________．解析：令x ＋1＝0，得x ＝－1；令log 2x ＝0，得x ＝1. 令F (x )＝f [f (x )]＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2x ＋＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 22x ＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图象如图所示，由图象可知函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点．答案：48．设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是________解析：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，又f (x )是对称函数，所以在区间[a ，b ]([a ，b ]⊆(－∞，2])上有⎩⎨⎧2－a －k ＝－a ，2－b －k ＝－b ，因此关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同的实根，通过换元并结合图象可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94 9．已知函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，当x ∈(0,1)时，恒有f (x )<0成立，则函数g (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋ax 的单调递减区间是________．解析：当x ∈(0,1)时，|x ＋1|>1，但log a |x ＋1|<0，故由对数函数的图象知，0<a <1.由－32x 2＋ax >0，解得0<x <23a ，即函数g (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋ax 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a .因为二次函数t ＝－32x 2＋ax 的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，a 3，结合函数g (x )的定义域知，函数g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，a 3.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 310．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a(x ＋2)＝0(a >1)有3个不同的实数根，则a的取值范围为________．解析：依题意可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [(x ＋2)－2]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，如图所示，先作出当x ∈[－2,0]时的图象，然后根据函数f (x )是定义在R 上的偶函数，作出其关于y 轴的对称图形，得到x ∈[0,2]时函数的图象．再根据函数的周期性，即可得到x ∈[2,6]时函数的图象，在此坐标系内，作出函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象．由题意知，函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象与函数f (x )在(－2,6]上的图象有3个交点，根据两个函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ log a 4<3，log a 8>3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 3>4，a 3<8，解得34<a <2.故a 的取值范围为(34，2)．答案：(34，2)11．(2012·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x f x f x ，f x f x ，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．解：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )．又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋1－x在x ∈[－2，－1]时恒成立．因为x 2－2x ＋1－x ＝1－x 2≤32，所以a ≥32. (2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ；②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x f x ，f x ，f x f x①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a .从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5；当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2；当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]，当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0，所以g (x )最小值为4a ＋5.综上所述，[g (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4，a ≥－12. 12．已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5，在区间[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，又当x ＝0，x ＝2时取得极小值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)能否找到函数f (x )垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；(3)设使关于x 的方程f (x )＝λ2x 2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为x 1，x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5, ∴c ＝－5.∵函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴x ＝1时取得极大值．又当x ＝0，x ＝2时函数f (x )取得极小值，∴x ＝0，x ＝1, x ＝2为函数f (x )的三个极值点，即f ′(x )＝0的三个根为0,1,2.∴f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋2bx ＝4x (x －1)(x －2)＝4x 3－12x 2＋8x .∴a ＝－4，b ＝4.∴函数f (x )的解析式 f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2－5.(2)若函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴，设对称轴方程为x ＝t ，则f (t ＋x )＝f (t －x )对x ∈R 恒成立，即 (t ＋x )4－4(t ＋x )3＋4(t ＋x )2－5＝(t －x )4－4(t －x )3＋4(t －x )2－5.化简得(t －1)x 3＋( t 2－3 t ＋2)x ＝0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1. 即函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴x ＝1. (3)x 4－4x 3＋4x 2－5＝λ2x 2－5恰好有三个不同的根，即x 4－4x 3＋4x 2－λ2x 2＝0恰好有三个不同的根，即x 2(x 2－4x ＋4－λ2)＝0.∵x ＝0是一个根，∴方程x 2－4x ＋4－λ2＝0应有两个非零的不相等的实数根．∴Δ＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0，且x 1x 2＝4－λ2≠0.∴λ≠0，－2,2.假设存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立．∵|x 1－x 2|＝x 1－x 22－4x 1x 2＝2|λ|＞0，要使m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立，只要m 2＋tm ＋2≤0对任意t ∈[－3,3] 恒成立，令g (t )＝tm ＋m 2＋2 , 则g (t )是关于t 的线性函数．∴只要⎩⎪⎨⎪⎧ g －，g ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤m ≤2，－2≤m ≤－1.∴不存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立．。

高三数学一轮复习学案：数列的综合应用学案

数列的综合应用一、知识回顾1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念；2. 等差、等比数列的通项、前n 项和公式；3. 等差、等比数列的重要性质；4. 与数列知识相关的应用题；5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、基本训练1. 数列{}n a 中，12,a =12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩ 是奇是偶，则5a =。

2. 等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1311,,a a a 恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于。

3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，若2110,m mm a a a -+-+=2138m S -=，则m = 。

4. 设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，且10b =，数列{}n c 的前三项依次是1,1,2，且n n n c a b =+，则数列{}n c 的前10项和为。

5. 如果函数()f x 满足：对于任意的实数a b 、，都有()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则(2)(5)(9)(14)(1274)(1)(3)(6)(10)(1225)f f f f f f f f f f +++++=。

三、例题分析例1设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.例2 如图，64个正数排成8行8列方阵．符号(18,18,*)ij a i j i j N ≤≤≤≤∈、表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ．若1112a =，241a =，3214a =，（1）求{}ij a 的通项公式；（2）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及数列{}k A 的通项公式；（3）若1k A <，求k 的值。

高中数学 7.7《数列的综合应用》学案1(老师版) 新人教A版必修5

7.7数列的综合应用一、学习目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2．能够把实际问题转化成数列问题．二、自主学习：【课前检测】1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n 个式子为12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++ 。

2．用数学归纳法证明1)a ,N (n a-1a -1a......a a 12n 1n 2≠∈=++++*++,在验证1n =成立时,左边所得的项为( C ) A.1 B.1+a C.21a a ++ D.231a a a +++【考点梳理】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1.其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+. 注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为：(1)2(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++(等比数列问题).⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1111111......11121-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm m m m m r r ar x r r x r a x r x r x r x r a2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求a n 还是求S n ，特别要准确地确定项数n.3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。

高三数学同步训练之6数列综合学案

第6讲数列综合知识梳理1.等差、等比数列的求项求和问题2.递推数列的求项求和问题3.数列与不等式、函数与方程等知识的综合问题4.数列的探索型、开放型问题例题1.在等差数列{ a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝ .2.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3.设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，满足56S S ⋅+15=0，则d 的取值范围是__________.4. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n =5S n －3 (n ∈N)，求a 1+a 3+…+a 2 n －1的值．5.设数列{}n a 满足12a =，1132n n n a a -+-=⨯. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 6.在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． ⑴设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．7.数列{}n a 是等比数列，1a ＝8，设n n a b 2log =（n N +∈），如果数列{}n b 的前7项和7S 是它的前n 项和组成的数列{}n S 的最大值，且7S ≠8S ，求{}n a 的公比q 的取值范围． 8.已知数列{a n }满足，a n +1＋a n ＝4n －3(n ∈N*)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)若对任意n ∈N*，都有a n 2＋a n ＋12a n ＋a n ＋1≥4成立，求a 1的取值范围．9.已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，． ⑴求{}n a 的通项公式；⑵证明：对任意的0x >，21121(1)3n na x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； ⑶证明：2121n n a a a n +++>+．10.在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

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