2019-2020年高中第二册(下A)数学排列组合及应用

2019-2020年高中第二册(下A)数学排列组合及应用一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭。

则每天不同午餐的搭配方法总数是（）A．22 B．56 C．210 D．4203．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A．6种B．8种C．10种D．16种4．湖北省分别与湖南、安徽、陕西三省交界,且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法的种数是（）A．240 B．120 C．60 D．3205．空间6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为（）A．15 B．30 C．45 D．606．体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（）A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元7．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为A．12 B．72 C．60 D．408．在某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到一次，则三天都迟到的学生人数的最大可能值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A，E，B，F，C，G，D，H，O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个10．有赤玉2个，青玉3个，白玉5个，将这10个玉装在一个袋中，从中取出4个，取出的玉同色的2个作为一组，赤色一组得5分，青色一组得3分，白色一组得1分，得分合计的不同分值是m种，则m等于（）A．9 B．8 C．7 D．611．若集合A 、A 满足AA=A ，则称(A,A)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A=A 时，(A,A)与(A,A)为集合的同一种分拆，则集合A={a,a,a}的不同分拆种数是（ ）A ．27B ．26C ．9D ．812.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则第1，2号同学都同意的候选人的人数为（ ） A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++ B ．2221212111k k a a a a a a +++++++ C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．用红、黄、蓝、白4种颜色染矩形ABCD 的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同颜色．如果颜色可以反复使用，则不同的染色方法共有 种．14．三位数中、如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则这个数为凹数，如524、746等都是凹数。

那么各个数位上无重复数字的三位凹数共有_____个．15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 （用数字作答）种不同情况． 16．在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种． 三、解答题（共计74分）17．（12分）人排成一排照相，A ．B ．C 三人互不相邻，D ．E 也不相邻，共有多少种排法？18．（12分）有些至少是三位的自然数，除去首两位数字外，每位数字都是它前面两个数字的和，并且最后的两位数字之和至少是10，例如257，1459等等．那么这样的自然数一共有多少个？19. （12分） 若f 是集合A={a,b,c,d}到B={0,1,2}的映射，且()()()()4f a f b f c f d +++=,试问：这样的不同映射f 共有多少个？20. （12分）已知都是正数，将所有型如（i,j,k=1,2,3,4, 且i,j,k 互不相同）的数按从小到大的顺序组成一个数列，记该数列的各项和为S ， （1）指出这个数列共有多少项？ （2）试证：S21．（12分）A（１）能构成多少个从A 到A 的映射？ （２）能构成多少个从A 到A 的一一映射？（３）能构成多少个从A 到A 的映射，且恰有一个元素无原象？22．（14分）从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数， （1） 若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有‗‗‗‗‗‗‗‗个；若组成等比数列，则这样的等比数列共有‗‗‗‗‗‗‗‗个;（2）若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有‗‗‗‗‗‗‗‗个；若其和是大于10的偶数，则这样的数组有‗‗‗‗‗‗‗‗个； （3） 若所取三数中每两个数之间至少相隔两个自然数，则这样的数组有‗‗‗‗‗‗‗‗个．高二数学下学期数学参考答案（9）一、选择题1A 2C 3C 4D 5C 6D 7C 8C 9C 10C 11A 12D4解：D 320A C A C C C A C 2225222313354445=++． 5解：． 二、填空题 13．解：８４；14．解：形如“*0*”、“*1*”、“*2*”、“*3*”、“*4*”、“*5*”、“*6*”、“*7*”的数一共有：240A A A A A A A A 2223242526272829=+++++++；15．解： 16．解： 三、解答题17．解：A ．B ．C 三人互不相邻的排法共有种，（4分）其中D ．E 相邻的有（）种，（8分）所以共有符合条件的排法-（）=11520种．（12分）18．解： 由于后面的每位数字都是它前面的两位数字的和，因此每个这样的自然数完全被它的前两位数字决定。

题目的第二个条件说明，当前两位数字固定时，我们要求这样的数尽可能大，既符合题设条件的数只有一个．为保证位数至少有三位，最前面的两位数字的和应当不超过9。

因此当首位数字依次为1，2，...，8，9时，第二位数字分别有9，8，...，1种可能，合计为(1+9)*9/2=45个．（12分） 19．解：4=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+1.所求的不同映射有种．（12分） 20．解：（1）这个数列共有项；（6分） (2)S=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++++++++++412323414231314243212143x x x x x x x x )x x x x x x x x ()x x x x x x x x (.（12分）21解：（１）； （4分） （２）A ； （8分） （３）．（12分）22解：（1）设A=‗，从A 或B 中任取两个数总可作等差数列的第一，二项，且等差中项唯一存在，因此所求的等差数列共有个．用列举法：公比是3或的等比数列有4个；公比是2或的等比数列有10个；公比是4或的等比数列有2个，共有等比数列16个．（4分）（2）设{}{}19,,4,1,18,,6,310⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=A A ，，则从每个集合中任取3个数，或每个集合中各取1个数，其和必是3的倍数，故所求的数组共有38421717163736=++C C C C C 个；又设A=‗，则从中取3个数且和为偶数的取法有种，其中3个数的和不大于10的有6个。

故合条件的数组共有570–6=564个．（9分）（3）运用如下模型：将3个黑球与19个白球排成一排，且每个黑球右边各连排两个白球分别形成一个“位置”，这样只有13个白球与3个“黑白球组合”排在16个“位置”上，排法有，对每种排法中的前20个球从左至右赋值1，2，…，20，则三个黑球上的数即为取出的数，因此所取的数组共有个．（14分）2019-2020年高中第二册(下A)数学斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段．2．有关平面的斜线的几个概念．3．有关射影的几个概念．4．射影定理．5．有关直线和平面成角的几个概念．（二）能力训练点1．加深对数学概念的理解掌握．2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念．2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习．3．教学疑点及解决方法：（1）“斜线在平面上的射影”是“直线和平面所成的角”的基础；“斜线在平面上的射影”这一小节出现概念较多，为了便于学生理解和记忆，可以边画出课本的图形1-30边讲解，结合图形记忆，快而且准．教学中，一般先画出斜线AC与平面α斜交于C，再过AC上一点A引AB⊥α，垂足为点B，连结BC，然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段，线段AB是点A到平面α的垂线段，点B是点A到平面α的垂线的垂足，直线BC是线段AC在平面α上的射影．（2）斜线段在平面上的射影是一条线段，斜线在平面上的射影是直线，垂线和垂线段在平面上的射影退化成一个点．（3）为照顾一般习惯说法，课本中定义射影是用“在平面上”，而说点、直线“在平面内”，并非不同．（4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立．（5）直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角；（6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置：②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°．③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°．三、课时安排1课时．四、学生活动设计常规活动．（略）五、教学步骤（一）新课概念教学1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．2．平面的斜线的有关概念一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．3．射影的有关概念过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．说明：教师边画出课本图形1-30，边讲解．点B—点A在平面上的射影AB—点A到平面的垂线段AC—平面的一条斜线C—斜足线段AC—斜线段直线BC—斜线AC在平面上的射影线段BC—斜线段AC在平面上的射影（板书）（1）．点在平面上的射影．（2）．点到平面的垂线段．（3）．斜线、斜足、斜线段．（4）．斜线在平面上的射影．（5）．线段在平面上的射影．（二）射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短．关于射影定理说明如下：设A为平面α外一点，AO⊥α，AB、AC为任意两条斜线，O为垂足，则OB和OC分别是AB和AC的射影．则AB和AC分别为Rt△ABO和Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知AB2＝AO2+OB2；AC2＝AO2+OC2；比较上面两个等式，得还可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO过点A向平面α所引线段中最短的一条．（三）直线与平面成角1．定义：（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．（2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．（3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角．2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：（1）直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；（3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．（让学生看书3分钟，加以理解）（四）例题分析1．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求：（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；（2）EF与面A1C1所成的角；（3）EF与面AC所成的角．解：（2）45°．（3）45°．2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内，AC和BC与M所成的角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．分析：作出CD与平面M所成的角，然后去解含这个角的三角形．解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，∴∠CDC1＝60°．3．可让学生完成课后练习1、2．（五）归纳小结这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．六、布置作业作为一般要求，完成习题四9、10．补充：1．AB是直角三角形ABC的斜边，三个顶点在平面M的同侧，它们在M内的射影分别是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA1＝3cm，BB1＝5cm，CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积．解：设正三角形A1B1C1的边长为x．则AC2＝x2+1BC2＝x2+1AB2＝x2+22∵AC2+BC2=AB2，2．已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO的长．参考答案：。