高二数学独立事件概率例题解析人教版

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高二数学概率与统计中的独立事件与条件概率

高二数学概率与统计中的独立事件与条件概

率

概率与统计是高中数学中的重要部分，也是我们日常生活中经常会

用到的知识。其中，独立事件与条件概率是概率与统计中的两个重要

概念。本文将详细介绍高二数学概率与统计中的独立事件与条件概率，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 独立事件

独立事件指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响。换句话说，如果两个事件是独立的，那么第一个事件的发生概率不会对第二

个事件的发生概率产生任何影响。

举个例子来说明独立事件。假设我们有一副标准的52张扑克牌，

从中抽取一张牌，再把它放回去，再抽取一张牌。这里，第一次抽到

红心A的概率是1/52，而第二次抽到红心A的概率也是1/52。由于两

次抽牌是相互独立的，第一次抽到红心A并不会影响第二次抽到红心

A的概率。

2. 条件概率

条件概率指的是在给定某个条件下，另一个事件发生的概率。条件

概率可以表示为P(A|B)，读作“在B发生的条件下，A发生的概率”。

设A、B为两个事件且P(B)≠0，那么A在B发生的条件下的概率

P(A|B)可以用下面的公式计算：

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

这个公式告诉我们，条件概率可以通过将事件A与事件B同时发生的概率除以事件B发生的概率来计算。

再举个例子来说明条件概率的应用。假设有一个有人口统计数据的

城市，其中男性占总人口的一半，女性占总人口的一半。而且，在所

有男性中，有10%是左撇子。现在，如果我们随机挑选一个人，问他

是男性的情况下他也是左撇子的概率是多少？

根据题意，我们可以设事件A为“这个人是男性”，事件B为“这个

高中数学第二章随机变量及其分布事件的独立性学案含解析新人教A版选修2_3

2.2.2 事件的独立性

自主预习·探新知

情景引入

在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%,如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只要有一人答出即为该组获胜．试问：哪方获胜的可能性大？

新知导学

相互独立事件

1．概念

(1)设A,B为两个事件,若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即__P(B|A)＝P(B)__,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做__相互独立事件__．

(2)对于n个事件A1,A2,…,A n,如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响,则称n个事件A1,A2,…,A n相互独立．

2．性质

(1)如果事件A与B相互独立,那么事件A与__B__,A与__B__,__A__与__B__也都相互独立．

(2)若事件A与B相互独立,则P(A|B)＝__P(A)__,P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．

(3)若事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于__每个事件发生的概率积__,即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．

并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．

预习自测

1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是0.7,则恰有一人投中的概率是( A )

A ．0.42

B ．0.49

C ．0.7

D ．0.91

高二数学事件的相互独立性3

两人各射击一次，则他们都中靶概率是( D)
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
(D)
14 25
（3）某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1，P2，P3。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是 (1－P1) (1－P2) (1－P3) 。
2004 年 8 月 28 日，在雅典奥运会女子排球决赛中，中国队苦战 5 局，以 3 比 2 战胜俄罗斯队，时隔28年重夺奥运金牌！

1 0.3 0.1 0.97
若事件A、B相互独立，且事件A发生的概率是p1,事件B发生的概率是 p2,则
（1）事件A、B同时发生的概率是
（2）事件A、B恰有一个发生的概率是
p1 p2
p1 (1 p2 ) p2 (1 p1 )
（3）事件A、B至少有一个发生的概率是
（1）那么什么叫做事件A和B相互独立？
（2）如果事件A和B相互独立，那么
A和B ，A 和B，A 和B 也都相
互独立吗？
（3）若相互独立事件A和B同时发生，那
如何求它们的概率P(AB)？ ① 公式的猜想： P( A B) P( A) P( B) ② 个例的验证：结合前面的判断题④，验证你的猜想. ③ 你能结合条件概率公式来说明吗？

人教版数学高二-《事件的相互独立性》名师PPT

高中数学
• 1．相互独立的概念 • 设A，B为两个事件，如果P(AB)P＝(A)P(B)
，则称事件A与事件B相互独立． • 2．相互独立的性质 • 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也
都相互独立．
高中数学
1．从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合
格的概率为31，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概
＝0.96.
∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)＋P(A1 A2 )＋
事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则“2人都击中目标”为事件A·B • 又∵P(A)＝P(B)＝0.6 • ∴P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
高中数学
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人击中目标”就是 A·B 与 A ·B 有一个发生，则事件发生，因此其概率为 P(A·B )＋ P( A ·B)
高中数学
解析：设 A 表示“从甲袋摸出一球是红球”，B 表示 “从乙袋中摸出一球是红球”，则 P(A)＝31，P(B)＝12，P( A ) ＝23，P( B )＝21.
于是两个球都是红球的概率为 P1＝P(AB)＝P(A)P(B)＝13×12＝16.
高中数学
两个球都不是红球的概率为
P2＝P( A B )＝P( A )P( B )＝23×12＝13.
由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件 A，B 不相互独立．

高二数学独立重复试验某事件发生的概率试题

1.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________________.

【答案】

【解析】由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有，，，，，，∴摸一次中奖的概率是，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰

好有3人获奖的概率是.

【考点】次独立重复试验中恰好发生次的概率.

2.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0.1,0＜p＜1)，则E(X)＝________.

【答案】1－p

【解析】X服从两点分布，∴E(X)＝1－p.

3.已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝1)的值为________．

【答案】

【解析】∵X～B，

∴P(X＝1)＝C

13·＝.

4.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．

【答案】X的分布列为

X012345

【解析】解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，即X～B，

k k5－k，k＝0,1,2,3,4,5，

即有P(X＝k)＝C

从而X的分布列为

X012345

5.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.

人教版高中数学选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》

P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.
(2) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示.由于事件与互斥，根据
概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
(3)“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可
以用
和
表示.由于事件AB ，
两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立
⑶“掷一枚硬币，得到正面向上”与掷一枚骰子，向上的面是３点”
不是互斥事件，而是相互独立事件。
如果A、B是两个相互独立的事件，那么1-P（A）•P（B）表示什么？
想一想？
表示相互独立事件wk.baidu.com、B中
至少有一个不发生的概率
即
即时训练:
1.甲、乙两同学同时解一道数学题，设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，试用事件A、B表示下列事件：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，
那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·… · P（An）
A与是不是相互独立的?
与
，
与B ，

专题28 事件的相互独立性(解析版)

专题28 事件的相互独立性

一、单选题

1．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通

过强基计划的概率分别为43

，那么两人中恰有一人通过的概率为

A．3

B．

C．1

D．

【试题来源】辽宁省部分重点高中2020-2021学年高二下学期期中考试

【答案】D

【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.

【解析】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通

过的概率为

41137

545420

P=⨯+⨯=.故选D.

2．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢

两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为1

，则甲队获得冠军的概率为

A．4

B．

C．2

D．

【试题来源】江西省赣州市2021届高三二模【答案】B

【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为1

、

，甲队要获得冠军，则至少在两局

内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.

【解析】由题意知每局甲队获胜的概率为1

，乙队获胜的概率为

，

所以至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，

当第一局甲队获胜，其概率为1

；

当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为

212339

⨯=. 所以甲队获得冠军的概率为

125

399

+=.故选B. 3．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是

高二数学事件的相互独立性1

例5 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1/4，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1/12，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2/9. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率.
相互独立事件习题课
知识要点 1.相互独立事件的概念：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
2.相互独立事件的性质： (1)若事件A与事件B相互独立，则事件 A与 B ，A 与B， A 与 B 相互独立. （2）若事件A1，A2，…，An两两之间相互独立，则 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)；（3）若事件A与B相互独立，则
100
例3 用A，B，C三个不同的电子元件连接成一个系统，如图.当元件A正常工作，且元件B、C至少有一个正常工作时，该系统正常工作.已知元件A，B，C正常工作的概率分别是0.8，0.9，0.9，求该系统正常工作的概率.
B A
0.792
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
例4 某三支足球队中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6.比赛规定第一局：甲对乙；第二局：第一局的胜者对丙；第三局：第二局的胜者对第一局的负者；第四局：第三局的胜者对第二局的负者，求乙队四连胜的概率. 0.09

高二数学独立事件积概率

⑷机床维护事件的概率
例４一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概率分别为0.9、0.8、0.85, 求一小时内下列事件的概率 (Ⅰ)没有一台机床需要维护; (Ⅱ)至少有一台机床不需要维护.
(5)电路故障事件的概率问题

例５如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ三个开关(图中从上往下三个开关分别 ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路不通的概率.

概率乘法公式

一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么 P(AB)=P(A)· P(B) 也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式
2、例题精析
(1)产品检验事件的概率问题 (p.67) 例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？
(6)频率问题
例6 在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20, 射中7环及8环频率0.40, 射中3环至6环频率0.10,计算小强射击成绩7 环及以上频率和射击成绩3环及以下频率. 例７己知甲射手射中目标的频率为80%, 乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？
（2）扑克牌抽取事件的概率问题(p.67)

高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲人教版

【基础知识精讲】

1.相互独立事件与事件的积

事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.

设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.

2.相互独立事件发生的概率

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A ·B)＝P(A)·P(B) (1)

证明：设甲试验共有N 1种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有m 1种，乙试验共有N 2种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有m 2种，由于事件A 与B 相互独立，N 1，m 1与N 2，m 2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N 1·N 2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.

另外，考察属于事件AB 的试验结果，显然，凡属于A 的任何一种试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有m 1·m 2种.因此得：

P(AB)＝

121N N m m ⋅⋅＝11N m ·22N m

∴ P(AB)＝P(A)P(B)

这个公式进一步推广：P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )

即：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.

值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)

高二数学独立事件与乘法公式试题答案及解析

1.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知

射手射击了5

次，求：

(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；

(2)其中恰有3次击中目标的概率．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意可知，该射手在一、三、五次击中目标，在二、四次未击中目标，而每次

射击的结果互不影响，因此由概率乘法公式可知所求概率为；（2）

该射手射击了次，其中恰有次击中目标，符合次独立重复试验恰发生次概率模型，根据二

项分布相关内容，可知故所求概率为.

试题解析：（1）该射手射击了次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中

目标次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，

故所求其概率为；

（2）该射手射击了次，其中恰有次击中目标，符合独立重复试验概率模型，

故所求其概率为.

【考点】独立随机事件的概率.

2.设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%．生产

这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是

A．0．13B．0．03C．0．127D．0．873

【答案】C

【解析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率为

则次品率为1－0．873＝0．127．

【考点】相互独立事件概率乘法公式．

3.一种电脑屏幕保护画面，只有符号随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出

高二数学互斥事件相互独立事件人教版知识精讲

高二数学互斥事件相互独立事件人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

互斥事件相互独立事件

二. 重点、难点：

1. 互斥事件：)()()(B P A P B A P +=+（加法）

2. 对立事件：1)()(=+A P A P

3. 相互独立事件：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（乘法）

4. 电子元件A 、B 接入电路正常工作的概率

（1）串联 )()(B P A P P ⋅=

（2）并联 )()(1B P A P P ⋅-=

【典型例题】

[例1] 有三个电器件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，将其中某两个并联后再与第三个串联，求使电路不发生故障的概率最大值。

A. T 1T 2并联

B. T 2T 3并联

C. T 1T 3并联

∴ 846.0)()](1[)(321=⋅-=T P T T P A P 686.0)()](1[)(132=⋅-=T P T T P B P 776.0)()](1[)(231=⋅-=T P T T P C P

∴ T 1T 2并联，再与T 3串联，不发生故障概率最大。

[例2] 某射击手，射击一次击中目标的概率为0.8，他连续射击三次。

（1）全部击中的概率

（2）击中目标的概率

（3）恰有一次击中目标的概率

解：三次射击击中的事件依次为A 1、A 2、A 3

（1）)()(321A A A P A P ⋅⋅=512.08.0)()()(3321==⋅⋅=A P A P A P

（2）B 均不击中

33212.0)()()()(=⋅⋅=A P A P A P B P

高中数学课时练习13事件的相互独立性含解析新人教A版选修2_3

事件的相互独立性

【基础全面练】 (15分钟 30分)

1．下列各对事件中，是相互独立事件的有( ) A ．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”

B ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”

C ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”

D ．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 【解析】选B.在A 中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B 中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C 中，甲，乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标“不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D 中，设“至少有1人射中目标”为事件M ，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件N ，则MN ＝N ，因此当P(M)≠1时，P(MN)≠P(M)·P(N)，故A 、B 不独立．

2．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．

【解析】由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1－a)(1－b). 答案：(1－a)(1－b)

3．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．

高二数学独立事件与乘法公式试题答案及解析

1. 设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%．生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是 A ．0．13 B ．0．03 C ．0．127 D ．0．873

【答案】C

【解析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，

第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率为

则次品率为1－0．873＝0．127．

【考点】相互独立事件概率乘法公式．

2. 甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，，则此密码能被译出的概率为________．【答案】

【解析】三人都不能译出密码的概率为P ＝＝，故三人能破译密码的概率是

1－P ＝1－＝.

3. 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

(1)求p ；

(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．【答案】(1)p ＝0.9 (2)0.9891

【解析】解:记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4.A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流．B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． (1)＝1·2·3，A 1，A 2，A 3相互独立， P()＝P(1·2·3)＝P(1)P(2)P(3)

高二数学n次独立重复试验及概率综合人教版知识精讲

高二数学n 次独立重复试验及概率综合人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容

n 次独立重复试验及概率综合

二. 重点、难点

1. 在一次试验中某事件发生的概率为P ，在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为)(k P n 。

k n k k n n P P C k P --=)1()(

2. )()2()1()0(n P P P P ++++ 11])1[(==+-=n

n P P

【典型例题】

[例1] 甲、乙两人投篮投中的概率分别为0.6、0.7两个各投三次，求得分相同的概率

)()()()()(33221100B A P B A P B A P B A P D P +++=

223213213336.0)7.01(7.0)6.01(6.0)7.01()6.01(C C C +-⋅-+--=

321.07.06.0)7.01(7.0)6.01(33223=⋅+-⋅-C

[例2] 在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为

80，求事件A 在一次试验中发生的概率。

设x A P =)( 3142224334444)1()1()1(81

80x x C x x C x x C x C -+-+-+=404)1(1x C --= 811)1(4=-x 3

2=x

[例3] 同时抛掷15枚均匀的硬币。

（1）求至多有一枚正面向上的概率；

（2）判断正面向上为奇数枚的概率与正面向上为偶数枚的概率是否相等。

（1）)1()0(P P P +=111411515015)2

1()21()21()2

1(=⋅⋅+=C C （2）12331514115)21()21()21)(21()(⋅+=C C P 奇1515152131315)2

[高二数学]事件的独立性讲稿-精品文档

事件的独立性

一、相互独立事件的定义

1．互不影响、互不干涉——互不相容事件

2．举例说明

3．定义：如果时间A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则称B A ,为相互独立事件

4．强调并举例说明 5．推广

二、相互独立事件同时发生的概率：当B A ,相互独立时

1．)()()(B P A P AB P ⋅=

2．)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =

3．)()(1)(B P A P B A P -=+

三、典型例题研究

1．判断正误

（1）若B A ,相互独立，C B ,相互独立，则C A ,相互独立；

（2）若C B A ,,两两独立，则C B A ,,相互独立；

（3）若)()()(B P A P AB P ⋅=，)()()(C P B P BC P ⋅=，)()()(C P A P AC P ⋅=，则)()()()(C P B P A P ABC P ⋅⋅=

2．甲、乙两人独立的破译一个密码，它们能译出密码的概率分别为4

1,31，求：（1）两人都译出密码的概率；（2）两人都译不出密码的概率；

（3）恰有一人译出密码的概率；（4）至少一人译出密码的概率；

（5）至多一人译出密码的概率；（6）密码被译出的概率．

3．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为7.0,5.0,4.0，飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被2人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则飞机必然被击落，求飞机被击落的概率．

4．几道与电路有关的问题

（1）串联电路

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