裂纹扩展分析XFEM在断裂问题中的应用

目录1 引言 (1)1.1 研究的背景 (1)1.2 研究的内容和途径 (1)1.2.1 研究的内容 (1)1.2.2 研究的途径 (1)1.3 研究的意义 (2)2 扩展有限元法的基本理论 (3)2.1 单位分解法 (3)2.2 水平集法 (4)2.2.1 水平集法对裂纹的描述 (4)2.2.2 水平集法对孔洞描述 (5)2.3 扩展有限元法 (6)2.3.1 扩展有限元法的位移模式 (6)2.3.2 扩展有限元离散方程的建立 (6)2.3.3 扩展有限元的单元积分 (7)3 断裂力学的基本理论 (9)3.1 裂纹的基本类型 (9)3.2 几种常见的断裂判断依据 (10)3.2.1 应力强度因子 (10)3.2.2 J积分 (10)3.2.3 COD判据 (11)3.3 线弹性断裂力学 (11)3.3.1 线弹性断裂力学适用范围 (12)3.3.2 应力强度因子准则 (12)3.4 弹塑性断裂力学 (13)3.4.1 J积分 (13)3.4.2 COD理论 (15)4 算例分析 (16)4.1 算例1 (16)4.1.1 建立裂纹体的几何模型 (16)4.1.2 裂纹体的有限元模型 (16)4.1.3 裂纹体的材料性能 (17)4.1.4 裂纹体的条件设置 (17)4.1.5 结果分析 (18)4.2 算例2 (22)4.2.1 椭圆孔对裂纹扩展的影响 (22)4.2.2 圆形孔对裂纹扩展的影响 (29)4.2.3 方形孔对裂纹扩展的影响 (32)4.2.4 三角形孔对裂纹扩展的影响 (35)4.2.5 孔形对裂纹扩展的影响 (38)本章小结 (41)结论 (44)参考文献 (45)致谢 (47)1 引言1．1 研究的背景自20世纪初以来，桥梁、船舶、管道、压力窗口、发电设备的汽轮机和发电机转子等曾多次发生过断裂事故，例如因为压力窗口的大型化或厚截面压力窗口的增多以及低温压力容器在化工、石油等工业中的广泛使用，使得断裂事故迭有发生，这些事故在世界各国都引起了广泛的关注，通过大量的断裂事故可以表明，构件的断裂都是由于其内部存在各种类型的裂纹所致，而这些裂纹的存在和扩展，使得结构的承载力在某种程度上不断削弱，从而影响了工程结构的质量与安全，所以研究断裂内部裂纹起裂情况及扩展规律，对工程的设计以及施工、维护等方面都具有重大的指导意义，不论是从经济、人身安全、技术等哪方面来考虑，深入研究裂纹起裂及扩展规律都显得更为有意义。

1.2 研究的内容和途径1.2.1 研究的内容本文在认真、充分阅读研究了扩展有限元理论的基础上，把工作步骤分为两部分，首先，通过应用扩展有限元方法对断裂力学中的Ⅰ型裂纹的扩展问题进行了数值模拟，获得了裂纹扩展的整个过程，并对反映模型裂纹扩展性能的断裂参数进行考虑分析，其中包括应力强度因子，J积分，能量释放率等，绘制了裂纹扩展的应变能历史曲线变化趋势图；然后考虑孔洞对模型裂纹扩展的影响，通过改变孔的形状（如：椭圆形、圆形、方形、三角形）、大小、位置等，研究各种组合情况下，孔洞对裂纹扩展的影响，进而确定何种形状大小和位置时最容易扩展，何种情况最不易扩展。

1.2.2 研究的途径针对结构裂纹的扩展问题，研究的一个有效的重要途径是利用数值分析方法进行数值模拟来研究，而在这其中，由于有限元法的数学理论较为成熟，并且随之出现了一些相比较成熟的商业软件，也正因为如此，有限元法成为目前工程问题上应用最广泛的方法之一。

虽然如此，但针对裂纹扩展问题，传统的有限元法在应用上也存在着很大的困难，主要的原因就在于传统的有限元分析方法中用自由表面模拟裂纹面，而由于裂纹的不断扩展使的整个模型的计算网格是不断变化的，为了使裂纹始终处于自由表面上，这就需要在计算的过程中网格不断地进行调整以适应这一特点，由此而增加的计算量与工作量是非常大的。

为了解决这一问题，1999年由Belytschko T教授的研究组提出了一种求解不连续力学问题的数值方法，即扩展有限元法（XFEM），它不但继承了传统有限元法（CFEM）的所有优点，并且这种方法能够使得裂纹完全独立于有限元网格，裂纹可以从单元的内部开裂，可以对裂纹的扩展进行全自动的模拟，这样就不需要我们在计算过程中根据裂纹的扩展不断对网格进行重新的设置，就能够充分的避免了CFEM中存在的困难，现在，XFEM已经成为裂纹扩展分析领域中最有前景的方法。

本文主要应用abaqus软件，abaqus软件6.9以前的版本，也是可以使用crack 模块对裂纹扩展进行模拟及断裂参数计算的，但是裂纹的扩展路线不是任意的成为该方法的最大的缺点，裂纹的扩展必须沿着我们指定的某一具体方向，而且不能模拟扩展的过程，因此它具有极大的局限性。

通过Sukumar、Prevost、Elguedj等人的不懈努力，从abaqus6.9版本开始，软件引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程，最重要的是在XFEM中，裂纹被允许以任意的方向扩展，既可以应用于二维的平面模型也可以应用于三维立体模型，而且不需要对网格进行重新划分，既可以研究静态的裂纹也可以研究扩展的裂纹。

1.3 研究的意义伴随着科学研究和工程应用问题的逐步深入，以断裂力学为基础的包含缺陷结构的失效评定规范也已被充分的应用于结构的设计和维修中，为了能够更明确的把握在不同外部条件下（如：高温、高压等）结构的缺陷是如何发展的，我们就不得不研究结构在不同部位的初始裂纹以及裂纹扩展的情况，还包括它对整个结构的影响，如果能够通过模拟来实现对裂纹扩展的了解与计算，还可以进一步深入分析结构裂纹扩展的失效机制，这样我们就可以通过改进结构来增加它的使用寿命，从而提高结构的生产与使用效益，这样是非常有意义的。

2 扩展有限元法的基本理论所谓扩展有限元（Extend Finite Element Method ，XFEM)是以标准有限元的理论为基本框架，保留了传统有限元的优点，但对传统有限元法进行了重大改进，扩展有限元法的核心是应用扩充不连续性质的形函数来表示计算区域内出现的间断，在计算的过程中，对不连续场的描述可以完全独立于网格的边界，因此，其在处理断裂问题时具有较好的优越性与实际性，利用扩展有限元法，就可以方便的模拟裂纹扩展的实际路径，还可以模拟带有孔洞和夹杂的非均质材料的裂纹体的裂纹扩展情况。

XFEM 与传统有限元的本质区别在于XFEM 所涉及的网格与物理或几何界面无关，进行裂纹扩展模拟时也不需要我们再对网格进行重新的划分，并且可以避免在强应力与变形集中区域（如：裂纹尖端）进行高密度网格划分的问题，也就是说，当我们计算裂纹扩展问题时，应用了扩展有限元法就不需要我们再考虑裂纹内部的任何细节问题，主要是通过应用水平集法来确定裂纹的实际位置，并对裂纹的扩展路径进行追踪，从而可以改善裂纹影响区域内的单元的形状函数，而利用单位分解的特性，可以让扩展有限元与传统有限元具有相同的刚度矩阵。

下面针对扩展有限元的基本原理介绍几个简单的概念：2.1 单位分解法单位分解法（partition of unity method ，PUM ）是一种相对来说比较广义化的方法，通过以下方法来实现它的构成，为了使其尽可能精确的逼近局部的函数先对其进行分片，再将各分片“粘合”，最终实现对函数的全局逼近。

这里假定n R ⊂Ω为一个开集，}{i Ω为Ω的一个开覆盖，并且在开集Ω上有 11=∑=n i i ϕ （2-1） 则}{i ϕ为开覆盖}{i Ω的一个单位分解。

在开覆盖i Ω上，定义了一个局部逼近空间为)(1Ω⋂Ω⊂i i H V ，而在单位分解法中，该空间是个有限维空间，并且可以按照需求定制。

我们在应用时可以根据被研究对象的一些已知条件和已得知的实验结果来更加合理的构造一空间，使该空间拥有相比较好的逼近效果，这个空间的逼近效果是能够直接影响到整体逼近的收敛性的。

整体逼近函数表达式可以表示为：)(}/{111Ω⊂∈==∑∑==H V v V V V i i n i i i n i i i ϕϕ （2-2）如果把局部的逼近函数表达式改为下式：}{ij i P span V = ),......,3,2,1(i m j = （2-3）则整体的逼近函数就随之改为：},/{11R a P a v v V ij n i mj ij i ij ∈==∑∑==ϕ （2-4）在上式中，我们可以将式中的ij i P ϕ作为一个形函数，该方法对于把各种数值方法联合起来使用具有重要的意义，这样我们常用的数值方法就都可以在上述的框架里实现一致。

在这里，由于单位分解法的创始人I.Babuska 和J.M.Melenk 已经证明了该方法的收敛性，所以，该方法的耦合有着非常坚实的理论基础，而由该方法建立起的全局逼近函数，同样也具有很好的连续性。

2.2 水平集法水平集法（Lever Set Method ，LSM ）是一种用来跟踪界面的移动和形状建模的数值技术方法，它可以对演化中的曲线曲面在笛卡尔网格上进行数值计算，而不需要我们对曲线曲面进行参数化。

在该方法中，我们所研究的界面被表示成比界面还要高一维的水平集曲线，顾名思义，就是当我们研究的问题为二维空间时，裂纹就被认为是一维的曲线。

如，一个移动的界面2)(R t ⊂γ可以表示成函数),(t x φ的水平集曲线： }0),(:{)(2=Φ∈=t X R X t γ （2-5） 其中函数),(t x φ就称为水平集函数。

Stolarska 把水平集法与扩展有限元法相结合起来对裂纹的扩展进行了模拟，通过应用水平集法的追踪特点，进而掌握裂纹的扩展情况，应用扩展有限元进行数值的计算。

Sukumar 也是在扩展有限元中应用水平集法，模拟了材料内含孔洞的裂纹扩展问题。

2.2.1 水平集法对裂纹的描述针对裂纹情况，水平集函数选取下式中的符号距离函数，即：ΓΓ∈-±=Γx x t x t x )(min ),(ϕ （2-6） 这里假设裂纹面为)(t Γ，考察点为x ，如果x 位于裂纹面)(t Γ的上方，那么上式前面的符号就变为“+”，反之就变为“—”。

我们通过ϕ的演化方程就可以得到裂纹的生长情况：0=∇+ϕϕF t （2-7a ） )0,(x ϕ给定 （2-7b ） 其中的),(t x F 是界面上的点)(t x Γ∈在该面上外法线方向上的速度。

2.2.2 水平集法对孔洞的描述当界面处于静止状态时，只应用水平集理论就可以来表示界面。

针对不同形状的孔洞，水平集法在描述上也是有一定的区别的。

对于圆形孔洞：假设圆形孔的半径为r ，ic Ω为第i 个孔洞所占的区域，i c x 为该孔洞的中心，i c r 为第i 个孔洞的半径，参考点为x ，参考点到圆心的距离为i c x x -，则第i 个圆形界面与参考点处的水平集函数为：}{)0,(min ,...,3,2,1i c i c n i r x x x c --==ϕ （2-8）其中，c n 为圆形孔洞的数目。