广东省佛山市顺德区罗定邦中学高中数学《圆的标准方程》学案新人教A版必修2

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高中数学 4.1.1 圆的标准方程学案新人教A版必修2

4.１.1 圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3) +(y-2) =5；(2)(x+4) +(y+3) =7；(3)(x+2) + y=4例２ (1)已知两点P (4，9)和P (6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x ，y)、B(x ，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．四．当堂检测１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是（）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外Ｂ．在圆内Ｃ．在圆上Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（）Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y xＣ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。

高中数学圆的方程学案新人教A版必修2

圆的方程----一般式教学目标：1 掌握圆的一般方程，能判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程化为标准方程。

2 会用待定系数法求出圆的基本量F E D ,,,从而求出圆的一般方程。

重难点：会根据已知条件恰当选择圆的基本量求圆方程.一课前预习1 圆的标准式________________2 022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件____________________3若0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的范围.4 下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径：（1）0422=-+x y x（2）052422=+--+y x y x5 已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，求b 的值二课中研学例1 ABC ∆的三个顶点)0,1(),2,5(),3,4(C B A ，求ABC ∆外接圆圆心.变)3,3(),1,3(),1,1(C B A例2 （1）点)3,1(在圆)0(032222≠=--+a ay ax y x 的外部，求实数a 的取值范围.（2）画出243x x y -+=表示的曲线.例3 已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+t y t x t y x（1）若方程表示圆，求t 的范围（2）求该圆半径为r 的取值范围.例4 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 时6米，在建造时，每隔3米需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长(精确到0.01米)三课堂反馈1 已知点)1,1(P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，求实数a 的取值范围.2 画出方程211y x -=-表示的曲线3求圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程.四课后整学：数友14.2T。

高中数学《圆的标准方程》教案10 新人教A版必修2

4.1.1 圆的标准方程（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.应用举例例1 写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(5,1)M--是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2 + (y–b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2 + (y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2 + (y0–b)2= r2，点在圆上.（3）(x0–a)2 + (y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例 1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+ 3)2+ ( y+ 3)2 =25.把M1 (5，–7)，M2(5-，–1) 的坐标代入方程(x–2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(5-，–1)的坐标代入方程(x–2)2+ (y+3)2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例 2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2 解：设所求圆的方程是(x–a)2 + (y–b)2 = r2. ①因为A (5，1)，B (7，–3)，C(2，–8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b ra b ra b r⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩解此方程组，得师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2= r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)6––4––2––––2 –––4––––55AM=|AC |=22(13)(12)+++= 5. 所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x + 3)2 + (y +2)2=25.归纳总结 1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成巩固深化备选例题例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2；（2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2(a ≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2；（2）圆心为(–2，1)，半径为|a |.例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x – a )2 + (y – b )2 = r 2由条件知222222(2)(3)(2)(5)230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解方程组得21210a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2= 10 解法2：12AB k =，AB 的中点是(0，–4)，所以AB 的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩因为圆心为(–1, –2 )又22(21)(32)10r =++-+=.所以所求的圆的方程是(x + 1)2+ (y + 2)2= 10.例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA |、|PB |、|PC |中的中间值.||10,||13,||25PA PB PC ===.因为|PA |＜|PB |＜|PC | 所以圆的半径||13r PB ==.故所求的圆的方程为(x – 2)2+ (y + 1)2= 13.。

高中数学《圆的标准方程》学案11 新人教A版必修2

高中数学《圆的标准方程》学案11 新人教A 版必修2例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例 3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？典型例题四例4 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个分析：把034222=-+++y x y x 化为()()82122=+++y x ，圆心为()21--，，半径为22=r ，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C ．典型例题五例5 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路．解：设直线l 的方程为()34+=+x k y即043=-+-k y kx根据r d ≤有214322≤+-++kk k整理得0432=-k k解得340≤≤k ．典型例题六例6 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．典型例题七例7 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A的对称点A '的坐标为()33--，，其次设过A '的圆C 的切线方程为()33-+=x k y根据r d =，即求出圆C 的切线的斜率为34=k 或43=k进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334=+-y x 或0343=--y x图3最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为0334=++y x 或0343=-+y x光路的距离为M A '，可由勾股定理求得7222=-'='CM C A MA ．说明：本题亦可把圆对称到x 轴下方，再求解．典型例题八例8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ，则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥，所以AH OC //，OA CH //，OC OA =，所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．典型例题九例9 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．典型例题十例10 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．分析：设P 、Q 两点的坐标为),(11y x 、),(22y x ，则由1-=⋅OQ OP k k ，可得02121=+y y x x ，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为x y ，由直线l 与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQ OP k k ⋅的值，从而使问题得以解决．解法一：设点P 、Q 的坐标为),(11y x 、),(22y x ．一方面，由OQ OP ⊥，得1-=⋅OQ OP k k ，即12211-=⋅x y x y ，也即：02121=+y y x x ． ① 另一方面，),(11y x 、),(22y x 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x 的实数解，即1x 、2x 是方程02741052=-++m x x ②的两个根．∴221-=+x x ，527421-=m x x ． ③ 又P 、Q 在直线032=-+y x 上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121x x x x x x y y ++-=-⋅-=．将③代入，得51221+=m y y ． ④将③、④代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>∆成立， ∴3=m ．解法二：由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有0)2(9)6)(2(31222=++-+++y x my x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ．由于0≠x ，故可得012)3(4))(274(2=++-+-m xym x y m ．∴OP k ，OQ k 是上述方程两根．故1-=⋅OQ OP k k ．得127412-=-+m m，解得3=m ．经检验可知3=m 为所求．说明：求解本题时，应避免去求P 、Q 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、Q 存在．解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．典型例题十一例11 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．典型例题十二例12 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？典型例题十三例13 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．典型例题十四例14 已知对于圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ，，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：运用圆的参数方程，设P 的坐标为()θθsin 1cos +，， [)πθ20，∈ 即θcos =x ，θsin 1+=y ， ∵0≥++m y x 恒成立 ∴()y x m +-≥恒成立即()θθsin 1cos ++-≥m 恒成立∴只需m 大于等于()θθsin 1cos ++-的最大值．令()()14sin 21sin cos sin 1cos -⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=++-=πθθθθθu u 的最大值为12-∴12-≥m说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法．采用这种设法的优点在于，一方面可以减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数的观点看，这种设法的实质就是三角代换．另外本题也可以不用圆的参数方程求解，本题的实质就是求最值问题，方法较多．但以上述解法较简．典型例题十五例15 试求圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)上的点到点)4,3(A 距离的最大(小)值．分析：利用两点间距离公式求解或数形结合求解．解法一：设P 是圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x 上任一点，则)sin 2,cos 2(θθP ．所以22)sin 24()cos 23(θθ-+-=PAθθsin 16cos 12425--+=)43arctan ()sin(2029=+-=ϕϕθ．因为R ∈θ，所以R ∈+ϕθ，因此当1)sin(-=+ϕθ时，72029=+=最大值PA ．当1)sin(=+ϕθ时，32029=-=最小值PA ．解法二：将圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x 代入普通方程得422=+y x ．如图所示可得，A P 1、A P 2分别是圆上的点到)4,3(A 的距离的最小值和最大值．易知：31=A P ，72=A P ．说明：(1)在圆的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数)中，),(b a A 为圆心，)0(>r r 为半径，参数θ的几何意义是：圆的半径从x 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P 所得圆心角的大小．若原点为圆心，常常用)sin ,cos (θθr r 来表示半径为r 的圆上的任一点．(2)圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具．典型例题十六例16 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++．由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++，也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ，由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ①βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222r y x =+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．典型例题十七例17 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=x y u 的取值范围．分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x 、y ，转化为三角问题来解决．解法一：设圆122=+y x 上任一点)sin ,(cos θθP 则有θcos =x ，θsin =y )2,0[πθ∈ ∴1cos 2sin +-=θθu ，∴2sin cos -=+θθu u∴)2(sin cos +-=-u u θθ．即2)sin(12+=-+u u ϕθ（u =ϕtan ） ∴1)2()sin(2++=-u u ϕθ．又∵1)sin(≤-ϕθ∴1122≤++u u解之得：43-≤u ．分析二：12+-=x y u 的几何意义是过圆122=+y x 上一动点和定点)2,1(-的连线的斜率，利用此直线与圆122=+y x 有公共点，可确定出u 的取值范围．解法二：由12+-=x y u 得：)1(2+=-x u y ，此直线与圆122=+y x 有公共点，故点)0,0(到直线的距离1≤d ．∴1122≤++u u 解得：43-≤u ．另外，直线)1(2+=-x u y 与圆122=+y x 的公共点还可以这样来处理：由⎩⎨⎧=++=-1)1(222y x x u y 消去y 后得：0)34()42()1(2222=++++++u u x u u x u ，此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222≥+++-+=∆u u u u u ，解之得：43-≤u ．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．典型例题十八例18 已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．分析一：为了使不等式0≥++m y x 恒成立，即使m y x -≥+恒成立，只须使m y x -≥+min )(就行了．因此只要求出y x +的最小值，m 的范围就可求得．解法一：令y x u +=，由⎩⎨⎧=-+=+1)1(22y x u y x得：0)1(2222=++-u y u y ∵0≥∆且228)1(4u u -+=∆， ∴0)12(42≥++-u u ．即0)122≤--u u ，∴2121+≤≤-u ， ∴21min -=u ，即21)(min -=+y x 又0≥++m y x 恒成立即m y x -≥+恒成立． ∴m y x -≥-=+21)(min 成立， ∴12-≥m ．分析二：设圆上一点)sin 1,(cos θθ+P [因为这时P 点坐标满足方程1)1(22=-+y x ]问题转化为利用三解问题来解．解法二：设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值．设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(rb y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．典型例题十九例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中34tan =φ）．所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．则3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ，得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ．所以433max +=t ，433min -=t ．即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由11222=++--=k k k d ，得433±=k ．所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．典型例题二十例20 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解：以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为a 3元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费即：2222)5()5(3y x a y x a +-≤++．∵0>a ， ∴2222)5()5(3y x y x +-≤++ 化简整理得：222)415()425(≤++y x ∴以点)0,425(-为圆心415为半径的圆是两地购货的分界线．圆内的居民从A 地购货便宜，圆外的居民从B 地购货便宜，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．。

高中数学(圆的一般式方程)学案新人教A版必修2 学案

【重难点】
重点：圆的一般方程的特点及应用
难点：根据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关问题
自主学习案
【知识梳理】
思考：方程表示什么图形？为什么？____________________________
方程表示什么图形？为什么？____________________________
1.形如x2+y2+Dx+Ey+F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1
3．已知实数x,y满足则的最大值为（）
A. B. C. D.
课后练习案
1.圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆与圆
的交点的圆的方程．
2. 已知方程x2+y2–2(t+ 3)x+ 2(1–t2)y+ 16t4+ 9 = 0表示一个圆，求
（1）t的取值范围；
例4 已知线3;y2= 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程(画图）
【当堂检测】
1．圆的方程为（x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为( )
A.(1,-1) B. C.(-1,2) D.
2．若方程表示圆，则a的值为（）
【预习自测】
1. 圆的一般方程为__________________________
2.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
（1）转化为标准方程为____________________圆心为___________,
半径为___________
（2）(2) 转化为标准方程为____________________圆心为___________,
例2 △ABC的三个顶点的坐标是A (5，1)，B(7，–3)，C(2，–8). 求它的外接圆的方程

高中数学《圆的标准方程》学案2 新人教A版必修2

第5课时圆的方程1．圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F>0)，圆心为，半径r ＝．3．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的参数方程为_________．x 2＋y 2＝r 2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F ＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．例1. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6．解：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0 由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==37y x∴圆心为C(7，－3)，半径r ＝65 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65 (2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 将P 、Q 两点坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=--②F E D ①F E D 1032042 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0变式训练1：求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程．由A （2，－3），B （－2，－5），得直线AB 的斜率为k AB = －5－(－3)－2－2 = 12 ,线段AB 的中点为（0，－4），线段AB 的中垂线方程为y ＋4=－2x,即y ＋2x ＋4=0,解方程组240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2 =10 所求圆的方程为（x ＋1)2＋(y ＋2)2=10例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x 2+y 2+x-6y+m=0,得5y 2-20y+12+m=0.设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=.512m+∵OP ⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2.∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-321，,半径r=25.方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M ⊥PQ ，∴21=MO k.∴O 1M 的方程为:y-3=2⎪⎭⎫⎝⎛+21x ,即：y=2x+4.由方程组.03242⎩⎨⎧=-++=y x x y解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r 2.∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121(3-2)2+5=44)6(12m --+∴m=3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21.方法三设过P 、Q 的圆系方程为 x 2+y 2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上.∴m-3λ=0，即m=3λ. ∴圆的方程可化为x 2+y 2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0即x 2+(1+λ)x+y 2+2(λ-3)y=0.∴圆心M ⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(221λλ，，又圆在PQ 上.∴-21λ++2（3-λ）-3=0， ∴λ=1，∴m=3.∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.变式训练2：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 |AB|=222CM r -=.54]）21（）13（[25222=-+--此时，k t =-C Mk 1,从而k t =-31121--=2.∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值.解（1）圆心C （-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=56431204)2(322=++⨯+-⨯.∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=56+1=511，最小值为d-r=56-1=51.（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点.∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5.（3）设k=12--x y ，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点，∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k≤433+,∴k max =433+，k min =433-.变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0. （1）求y-x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解（1）y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,3202=+-b，解得b=-2±6.所以y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22）00（）02（-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。

高中数学4.1.1《圆的标准方程》学案(新人教版必修2)

第4.1.1节圆的标准方程课标解读栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性.编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作.栏目功能：针对本节教学内容，在教材处理、教法等方面简要阐述一些有建设性的教学建议，使教师的教学目标性强、针对性强.编写要求：注意应突出启发性、过程式原则，不要写的太死，要写出最好的教学手段，怎样处理新旧知识的联系以及处理问题的方法和注意事项，不要完全照搬教参。

1．本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识；在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。

难点是用数形结合法求圆的标准方程。

2．在得到圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-之后，用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。

即若点M 在圆上，由上述结论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若N 的坐标适合方程，说明点N 与圆心A 的距离为r 。

3．对于圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，应强调其圆心为C(a ,b )，半径为r ，注意方程中的减号。

4．提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。

5．在引导学生列关于a 、b 、r 的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。

学习策略栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。

编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条理性要强。

1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。

新人教A版必修2高中数学学案教案： §4.1.1 圆的标准方程

"数学§4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2 "本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):4.1.1 圆的标准方程1课时4.1.2 圆的一般方程1课时4.2.1 直线与圆的位置关系2课时4.2.2 圆与圆的位置关系2课时4.3.1 空间直角坐标系1课时4.3.2 空间两点间的距离公式1课时本章复习1课时§4.1 圆的方程§4.1.1 圆的标准方程一、教材分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-, |CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.（三）应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m).图2解:建立坐标系如图,圆心在y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52.设点P 2(-2,y 0),由题意y 0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52,解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2+y 2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程. 活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(-+-b a =r+1, ①由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-•-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36.点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47). 又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-, 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.（四）知能训练课本本节练习1、2.（一）拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.（六）课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.（七）作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第2、3题.。

《圆的方程》学案9(新人教A版必修2).doc

《直线与圆的方程》复习指导(二)一热点剖析直线与圆是最基本的图形，有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型在考试中出现较多.空间直角坐标系及空间两点之间的距离常与空间向量结合出现.与圆有关的应用问题也是考查的热点，既有基本知识的应用，又有综合运用知识分析问题、解决问题的综合应用.1. 确定圆的方程的条件圆的标准方程(x-tz)1 2 3 +(y-Z?)2 = r 2中，有三个参数d, b, r ,只要求出d, b, r ,圆的方程就被确定.因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a, b,厂的方程组求a, b,尸，或直接求出圆心(°,历和半径八一般步骤为：(1) 根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；(2) 根据已知条件，建立关于a, b,厂的方程组；(3) 解方程组.求出a, b,厂的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 2. 点%)与圆的位置关系若(x 0-«)2+(y 0-^)2=r 2,则点 P 在圆上；若(x 0-«)2+(y 0-/7)2>r 2,则点 P 在圆外;若(x 0-a)2+(y 0-fe)2<r 2,则点 P 在圆内.3. 二元二次方程F +歹2 +加+㊂+尸=°是否表示圆的条件当d = r 时，直线与圆相切；当d ＞厂时，直线与圆相离.注意：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用儿何法.5. 直线与圆相切，切线的求法 1 当£>2 + E 2-4F> 0时，方程(*)表示以f-—1为圆心，丄如+ £2_4F 为 I 2 2丿 2半径的圆；2 当D 2+E 2-4F = O0'J-,方程(*)表示点-匕上；I 2 2；3 当D 2+E 2-4F< 0时，方程(*)没有实根，因此它不表示任何图形.当方程(*)表示圆时,我们把它叫做圆的一般方程，确定它需要三个独立条件D E, F, 且£>24-£2-4F>0,这就确定了求圆的方程的方法一一待定系数法.注意：用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组.4. 直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种(1) 代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解，即△>(),则相交；若有两组相同的实数解，即△=(),则相切；若无实数解,即△<(),则相离.(2) 几何法:由圆心到直线的距离d 与半径厂的大小来判断:当dvr 时,直线与圆相交;的方程 ( 2+ 1 2丿 £)2 + E 2_4F 4 (*)先将二元二次方程配方，得(E\(1)当点y())在圆x2 + y2 = r±时，切线方程为+ y Q y - r2；(2)当点Pg，儿)在圆(x-a)2+(y-i)2=r2±,则切线方程为(x Q -a)(x-a) + (y0-b)(y-b) = r；(3 )斜率为R且与圆/ + y2 =厂2相切的切线方程为y = kx±厂、.提示：斜率为k且与圆(x-a)2-^-(y-b)2 = r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y = kx + m，然后变成一般式kx-y + m = O f利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求加.(4)点儿)在圆外，则设切线的方程为y-y()=k(x-x Q),变成一般式后,利用圆心到直线的距离等于半径，解出R ,注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不要忽略.6.圆与圆的位置关系从交点个数，也就是方程组的解的个数來判断，有时得不到确切的结论•比如两圆只有一个交点时，虽然相切，但是是外切还是内切就很难分清楚.所以判断两圆的位置关系.通常还是从圆心距与两圆半径的关系下手，设两圆的圆心分别为a，。

高中数学 4.1.2圆的标准一般方程教案新人教A版必修2

4.1.2 圆的标准一般方程一、教学目标1、目标：（1）在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋D x＋E y＋F=0表示圆的条件,通过对方程x2＋y2＋D x＋E y＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.（2）能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程.2、解析：圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.二、预习导引1，圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0.时，二元二次方程称为圆的一般方程，此时圆心坐标，半径。

三，问题引领、探究新知问题1：前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?问题2：这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?问题3：给出式子x 2+y 2+D x +E y +F=0,请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.问题4：把式子(x －a )2＋(y －b )2=r 2与x 2+y 2+D x +E y +F=0配方后的式子比较,得出x 2+y 2+D x +E y +F=0表示圆的条件.问题5：对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?师生活动：学生思考，回答。

教师总结后得出讨论结果：1、以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.2、我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.3、把式子x 2+y 2+D x +E y +F=0配方得 (x +2D )2+(y +2E )2=4422F E D -+. 4、(x －a )2＋(y －b )2=r 2中,r ＞0时表示圆,r =0时表示点(a ,b ),r ＜0时不表示任何图形. 因此式子 (x +2D )2+(y +2E )2=4422F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆；(ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x =-2D ,y =-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 综上所述,方程x 2+y 2+D x +E y +F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+D x +E y +F=0的形式,但方程x 2+y 2+D x +E y +F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+D x +E y +F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0.我们把形如x 2+y 2+D x +E y +F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.5、圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.练习内化例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x +12y +9=0;(2)4x 2+4y 2-4x +12y +11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x +12y +9=0,得D=-1,E=3,F=49, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x +12y +9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x +12y +11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x +12y +11=0不表示圆的方程. 点评:对于形如A x 2+B y 2+D x +E y +F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+D x +E y +F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练：求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x +6y =0;(2)x 2+y 2+2by =0.(2)x 2+y 2+2by =0配方,得x 2＋(y +b )2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b ),半径为|b |例2 ：求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标. 解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x +6y =0,即(x －4)2＋(y +3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程 y -21=-(x -21), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程 y -23=-3(x -25), ② 联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。

高中数学圆的标准方程学案新人教A版必修2

圆的标准方程教学目标：1 掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心坐标和半径2 会用待定系数法求圆的基本量r,，从而求出圆的标准方程a,b一课前预习1圆的定义：平面内到顶点的距离等于定长的点的集合定点是______ 定长是_____________2 以O为顶点，r为定长，如何建立圆的方程第一步：建系_____________________________第二步：设点_____________________________第三步：列式_____________________________第四步：化简得出方程______________________3圆的标准方程___________________________________4写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为6 的圆的方程为_____________________________ （2）经过点P（6,3），圆心为C（2，-2）的圆的方程为__________________________ 5求以点C(-1,-5)为圆心，并且和y轴相切的圆的方程.6已知点)1--BA,求以线段AB为直径的圆的方程,6((-),5,4二课中研学例1 (1)求过点)1,12=-+yx上的圆的方程A且圆心C在直线0-B),1,1(-(（2）圆心在直线02=+y x 且与直线01=-+y x 相切于点)1,2(-的圆的方程（3）圆C 与02=-+y x 相切于点)1,1(p 且圆心到y 轴的距离为2，求圆C 的方程.例2 已知圆C 的方程为1)1()(22=+-+-a y a x(1)若原点和圆心C 的距离最小时，求a 的值；(2)求证：圆C 的圆心在一条定直线上.例3 已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？变：假设货车的最大宽度为a米，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？四课堂反馈：1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0--yx相切的圆的方程3=742圆心在x轴上且过点)3BA的圆的方程.4,1(-,2(),3一个圆经过P(2,-1)和直线1y2-=上，求它的方x相切，且圆心在x=-y程五课后整学数友T2.13。

高中数学 4.1.2圆的一般方程学案设计新人教A版必修2

高中数学 4.1.2圆的一般方程学案设计新人教A版必修24.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程学习目标1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.3.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境我们已经学习了圆的标准方程,请同学们思考方程(x-1)2+(y+2)2=4表示什么图形?它与方程x2+y2-2x+4y+1=0是什么关系?问题1:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后是什么形式?问题2:方程:x2+y2-6x+8y+20=0表示的曲线是什么图形?二、自主探索,尝试解决1.我们知道,圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:;2.圆的标准方程展开都是一个关于x,y的二元二次式x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,反之关于x、y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圆吗?三、信息交流,揭示规律3.圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.关于x,y的二元二次式x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,通过对其进行配方得:;当,即时表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示.当D2+E2-4F<0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.四、运用规律,解决问题4.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长:(1)x2+y2-6x=0(2)x2+y2+2by=0(3)x2+y2-2ax-2ay+3a2=0总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)5.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.解:总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)五、变练演编,深化提高从所给的题目来看,题目主要涉及圆的一般方程的求解和利用圆的一般方程确定圆心和半径进行设计,而所涉及的条件主要是圆上的点,同学们仿照例题可以自己进行题目的编写.6.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?解:六、信息交流,教学相长请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面.七、反思小结,观点提炼1.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)2.求圆的一般方程的方法:待定系数法.3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)中的D,E,F.参考答案二、1.x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0三、3.不都,(x+)2+(y+)2=>0,D2+E2-4F>0,一个点(-,-)四、4.(1)(x-3)2+y2=9 圆心(3,0) 半径r=3(2)x2+(y+b)2=b2圆心(0,-b) 半径r=|b|(3)(x-a)2+(y-a)2=a2圆心(a,a) 半径r=|a|5.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)则解得所求圆的方程为:x2+y2-8y+6x=0圆心为(4,-3),半径为r=5五、6.设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A(0,1),B(2,1),C(3,4)的坐标分别代入圆的方程,得解得∴经过A,B,C三点的圆方程为x2+y2-2x-6y+5=0.再将点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1)2+22-2×(-1)-6×2+5=0,所以点D也在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D这四点在同一个圆上.。

高中数学《圆的标准方程》教案1 新人教A版必修2

4.1.1 圆的标准方程教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题教学过程：一、复习准备：1．提问：两点间的距离公式？2．讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？3．思考：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？二、讲授新课：1. 圆的标准方程：①设定点 A(a ，b)，半径r ，设圆上任一点M 坐标为(x ，y)．②写点集:根据定义，圆就是集合P={M||MA|=r}④化简方程: 将上式两边平方得222)))(r b x a x =-+-(建系设点→写点集→列方程→化简方程⇒圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？⑥师指出：只要a ，b ，r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a 、b 、r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决．2. 圆的标准方程的应用例1、写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．)例2、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？(从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决)探究：点M （00,y x ）在圆222r y x =+内的条件是什么？在圆外呢？例3、 ABC ∆的三个定点的坐标分别是 A(5,1), B(7,-3), C(2,-8),求它的外接圆的方程（用待定系数法解）思考：你还有其它方法吗？例4、已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C 在直线L:10x y -+=上，求圆心为C的圆的标准方程。

广东省佛山市顺德区罗定邦中学高中数学《圆的标准方程》学案 新人教A版必修2

高中数学 4.1.1 圆的标准方程学案 新人教A版必修2

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