高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (15)(含解析)

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人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题(含解析)

人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题1.设函数y=ax2+(b−2)x+3．(1)若不等式y>0的解集为{x|−1<x<3}，求a，b的值；(2)若x=1时，y=2，a>0，b>−1，求1a +4b+1的最小值；(3)若b=−a，求不等式y≤1的解集．2.已知y=ax2+(b+1)x−3x−1(x≠1)．(1)当a=1，b=2时，求y的取值范围；(2)当a=0时，求y<1时x的取值范围．3.已知函数f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R).(1)若不等式f(x)<0的解集为⌀，求m的取值范围；(2)当m>−2时，解不等式f(x)≥m；(3)若不等式f(x)≥0的解集为D，且[−1,1]⊆D，求m的取值范围．4.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+2,a∈R．(1)当a>0时，求不等式f(x)≥0的解集；+1有2个不同的正实根，求实数a的取值范围．(2)若存在m>0使关于x的方程f(x)=m+1m5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,−1).求f(x)≤0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,1)．(ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;,(x<1)，求函数g(x)的最大值．(ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)−ca(x−1)6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,−1).求f(x)≤0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,1)．(ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;,(x<1)，求函数g(x)的最大值．(ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)−ca(x−1)7.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业)结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？8.已知f(x)=2x2+ax+b过点(0,−1)，且满足f(−1)=f(2)(1)求f(x)的解析式(2)若f(x)在[m,m+2]上的值域为[−32,3]，求m的值(3)若f(x0)=x0，则称x0为y=f(x)的不动点，函数g(x)=f(x)−ax+a有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2>0，求x1x2+x2x1的最小值9.经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/ℎ)与汽车的平均速度v(km/ℎ)之间的函数关系为：y=920vv+3v+1600(v>0)，(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/ℎ，则汽车的平均速度应在什么范围之内？(2)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/ℎ)10.(Ⅰ)已知a>0，b>0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；(Ⅱ)已知a>0，b>0，c>0，求a3+b3+c3+(1a +1b+1c)3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．11.已知不等式ax2−3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)=(2a+b)x−1(a−b)(x−1)(x∈A)的最小值．12.函数f(x)=x2+ax+3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．13.已知f(x)=x|x−a|+2x，x∈R(1)若a=2，求f(x)在[0,3]上的最大值；(2)若a>2，求f(x)的单调区间；(3)若存在a∈[−2,4]，使得方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．14.现对一块边长8米的正方形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上(异于A，C)，设(米)，的面积记为(平方米)，其余部分面积记为(平方米)．(1)当(米)时，求的值；(2)求函数的最大值；(3)该场地中部分改造费用为(万元)，其余部分改造费用为(万元)，记总的改造费用为W(万元)，求W取最小值时x的值．15.某市近郊有一块400m×400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3000m2的矩形场地(如图所示).图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小矩形场地形状、大小相同)，塑胶运动场地总面积为S m2．(1)求S关于x的函数关系式，并给出定义域；(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值．16.某建筑队在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？17.已知二次函数y=ax2+bx−a+2．(1)若关于x的不等式ax2+bx−a+2>0的解集是{x|−1<x<3}，求实数a，b的值；(2)若b=2，a>0，解关于x的不等式ax2+bx−a+2>0．18.某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米．(1)求总造价y(元)关于底面一边长x(米)的函数解析式；(2)当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？19.已知实数x>0，y>0．(1)若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；(2)若x>y，求xy2x−y +xy+1y2的最小值．20.已知函数f(x)=ax2+2x+c的最低点为(−1,−2)(1)求不等式f(x)>7的解集；(2)若对任意x∈[2,4]，不等式f(x−t)≤x−2恒成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)∵不等式ax 2+(b −2)x +3>0的解集为{x|−1<x <3}，∴−1和3是方程ax 2+(b −2)x +3=0的两个实根，从而有{−b−2a =23a=−3，解得{a =−1b =4；(2)∵2=a +b −2+3，∴a +b +1=2，又a >0，b >−1，所以1a +4b+1=12(1a +4b+1)(a +b +1)=12(5+b+1a+4ab+1)≥12(5+2√b+1a·4a b+1)=92，当且仅当{b+1a =4ab+1,a +b +1=2,即{a =23,b =13时等号成立，所以1a +4b+1的最小值为92．(3)因为b =−a ，可得y =ax 2−(a +2)x +3≤1，即可得ax 2−(a +2)x +2≤0，即(x −1)(ax −2)≤0， ①当a =0时，不等式即为−2x +3≤1，解得[1,+∞)；②当a <0时，方程(x −1)(ax −2)=0的根x 1=1，x 2=2a <0，故不等式的解集为(−∞,2a ]∪[1,+∞);③当a >0时，方程(x −1)(ax −2)=0的根x 1=1，x 2=2a >0， (a)当a =2，即2a =1时，即可得{1}； (b)当a >2，即2a <1时，即可得[2a ,1]； (c)当a <2，即2a <1时，即可得[1,2a ]；综上所得，当a =0时，不等式y ≤1的解集为[1,+∞)；当a <0时，不等式y ≤1的解集为(−∞,2a ]∪[1,+∞)；当0<a <2时，不等式y ≤1的解集为[1,2a ]；当a =2时，不等式y ≤1的解集为{1}；当a>2时，不等式y≤1的解集为[2a,1]．解析：本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题．(1)由题可知−1和3是方程ax2+(b−2)x+3=0的两个实根，将−1和3代入方程即可得到关于a，b的方程组，求解即可得到a，b的值；(2)由题a+b+1=2，a>0，b>1可得1a +4b+1=12(1a+4b+1)(a+b+1)=12(5+b+1a+4ab+1)，利用基本不等式即可求解1a +4b+1的最小值．(3)将不等式化简然后对a的值进行分类讨论进行求解即可得．2.答案：解：(1)∵当a=1，b=2时，y=x2+3x−3x−1=x−1+1x−1+5(x≠1).①当x>1时，x−1>0.y=x2+3x−3x−1=x−1+1x−1+5≥2+5=7，当且仅当x=2时取等号．②当x<1时，x−1<0，1−x>0．y=x−1+1x−1+5=5−[(1−x)+11−x]≤−2+5=3，当且仅当x=0时取等号．∴y的取值范围为{y|y≤3或y≥7}．(2)∵当a=0时，y=(b+1)x−3x−1，∴由y<1得：bx−2x−1<0⇒(bx−2)(x−1)<0．①当b=0时，解集为{x|x>1}；②当b<0时，解集为{x|x>1或x<2b}；③当2b=1，即b=2时，解集为空集；④当2b >1，即0<b<2时，解集为{x|1<x<2b}；⑤当0<2b <1，即b>2时，解集为{x|2b<x<1}．解析：(1)当a =1，b =2时，y =x 2+3x−3x−1=x −1+1x−1+5(x ≠1)讨论x >1和x <1利用基本不等式求解．(2)因为当a =0时y =(b+1)x−3x−1，下面解分式不等式(b+1)x−3x−1<1，要注意作等价变形，还有对b 的取值分类讨论．3.答案：解：(1)①m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2<0解集不是空集，舍去，②m +1≠0时，即m ≠−1时，{m +1>0Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0, 即{m >−13m 2−4⩾0,∴{m >−1m ⩽−2√33或m ⩾2√33, 解得m ≥23√3，∴m 的取值范围是[23√3,+∞)；(2)∵f(x)≥m ，化简得：[(m +1)x +1](x −1)≥0， ①m +1=0时，即m =−1时，解集为{x|x ≥1}， ②m +1>0时，即m >−1时，(x +1m+1)(x −1)≥0， ∴−1m+1<0<1，解集为{x|x ≤−1m+1或x ≥1}，③m +1<0时，即−2<m <−1时，(x +1m+1)(x −1)≤0， ∵−2<m <−1，∴−1<m +1<0，∴−1m+1>1， ∴解集为{x|1≤x ≤−1m+1}；(3)由题意得，(m +1)x 2−mx +m −1≥0对于任意x ∈[−1,1]恒成立，整理得：m(x 2−x +1)≥1−x 2，∵x 2−x +1=(x −12)2+34>0恒成立，∴得m ≥−x 2+1x 2−x+1=−1+2−xx 2−x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，设t =2−x,t ∈[1,3]，则x =2−t ， ∴2−xx 2−x+1=t(2−t)2−(2−t)+1=tt 2−3t+3=1t+3t−3≤2√3−3=2√3+33，当且仅当t =3t ，即t =√3，x =2−√3时取等号，此时−1+2−x x 2−x+1≤2√33， ∵m ⩾−1+2−xx 2−x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，∴m 的取值范围是m ≥2√33．解析：本题考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等内容，是中档题． (1)分m +1=0与m +1≠0两种情况求解即可；(2)对不等式化简得[(m +1)x +1](x −1)≥0，分m +1=0、m +1>0和m +1<0三种情况讨论即可；(3)由题意得，(m +1)x 2−mx +m −1≥0对于任意x ∈[−1,1]恒成立，得m ≥1−x 2x −x+1对于任意x ∈[−1,1]恒成立，设t =2−x,t ∈[1,3]，由基本不等式即可得出结果．4.答案：解：(1)由题意，f(x)=ax 2−(a +2)x +2≥0，即(ax −2)(x −1)≥0，因为a >0，所以解方程(ax −2)(x −1)=0得x 1=2a ,x 2=1， ①当2a >1时，即当0<a <2时，解不等式(ax −2)(x −1)≥0，得x ≤1或x ≥2a ，此时不等式f(x)≥0的解集为{x|x ≤1或x ≥2a }；②当2a=1时，即a=2时，解不等式(ax−2)(x−1)≥0，得x∈R，此时不等式f(x)≥0的解集为R；③当2a <1时，即当a>2时，解不等式(ax−2)(x−1)≥0，得x≥1或x≤2a，此时不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥1或x≤2a}；综上，当0<a<2时，不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤1或x≥2a}；当a=2时，不等式f(x)≥0的解集为R；当a>2时，不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥1或x≤2a};(2)当m>0时，令t=m+1m +1≥2√m×1m+1=3，当且仅当m=1时取等号，则关于x的方程f(x)=t可化为ax2−(a+2)x+2−t=0，关于x的方程ax2−(a+2)x+2−t=0有两个不同正根，则{△=(a+2)2−4a(2−t)>0(1) a+2a>0(2)2−ta>0(3)，由(1)知：存在t∈[3,+∞)使不等式4at+(a+2)2−8a>0成立，故4a×3+(a+2)2−8a>0，即a2+8a+4>0，解得a<−4−2√3或a>−4+2√3，由(2)(3)式可得a<−2，故实数a的取值范围是(−∞,−4−2√3).解析：本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中档题．(1)解不等式ax 2−(a +2)x +2⩾0，即(ax −2)(x −1)⩾0，然后就2a 与1的大小进行分类讨论，求出该不等式的解集，(2)t =m +1m +1⩾3，将问题转化为：关于x 的方程ax 2−(a +2)x +2−t =0有两个不同的正根，得出Δ>0，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数a 的取值范围．5.答案：(1)由题意可得{−ba =4c a =3f(2)=4a +2b +c =−1,解得{a =1b =−4c =3,∴f (x )=x 2−4x +3,解不等式f (x )≤0，即x 2−4x +3≤0，即(x −1)(x −3)≤0，解得1≤x ≤3，因此，不等式f (x )≤0的解集为{x |1≤x ≤3}； (2)(ⅰ)由题意可知{a <0−ba =−1ca=−2,所以cx 2+bx +a >0可化为ca x 2+ba x +1<0，即−2x 2+x +1<0，得2x 2−x −1>0，解得x <−12或x >1，所求不等式的解集为(ⅰ)由(ⅰ)可知g(x)=b(x 2+1)−c a(x −1)=a(x 2+1)+2aa(x −1) =x 2+3x −1=(x −1)2+2(x −1)+4x −1=−[(1−x)+(41−x)]+2因为x <1,所以1−x >0，所以(1−x)+(41−x )⩾4，当且仅当1−x =41−x ，即x =−1时取等号，所以−[(1−x)+(41−x )]⩽−4，−[(1−x)+(41−x )]+2⩽−2，所以当x =−1时，g(x)max =−2.解析：本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，二次函数解析式和最值，属于中档题．(1)由方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，可解得f(x)的解析式，由一元二次不等式的解法可得f(x)≤0的解集；(2)(i)由题意可知{a <0−b a =−1ca =−2，则由a ，b ，c 的关系式转化原不等式cx 2+bx +a >0后可解得答案； (ii)由(i)可知g(x)=(x−1)2+2(x−1)+4x−1=−[(1−x)+(41−x )]+2 ，由基本不等式可得g(x)的最大值．6.答案：(1)由题意可得{−ba=4ca=3f(2)=4a +2b +c =−1,解得{a =1b =−4c =3,∴f (x )=x 2−4x +3,解不等式f (x )≤0，即x 2−4x +3≤0，即(x −1)(x −3)≤0，解得1≤x ≤3，因此，不等式f (x )≤0的解集为{x |1≤x ≤3}； (2)(ⅰ)由题意可知{a <0−b a =−1ca=−2, 所以cx 2+bx +a >0可化为c a x 2+ba x +1<0，即−2x 2+x +1<0，得2x 2−x −1>0，解得x <−12或x >1，所求不等式的解集为(ⅰ)由(ⅰ)可知g(x)=b(x 2+1)−c a(x −1)=a(x 2+1)+2aa(x −1) =x 2+3x −1=(x −1)2+2(x −1)+4x −1=−[(1−x)+(41−x )]+2 因为x <1,所以1−x >0，所以(1−x)+(41−x )⩾4，当且仅当1−x =41−x ，即x =−1时取等号，所以−[(1−x)+(41−x )]⩽−4， −[(1−x)+(41−x )]+2⩽−2，所以当x =−1时，g(x)max =−2.解析：本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，二次函数解析式和最值，属于中档题．(1)由方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，可解得f(x)的解析式，由一元二次不等式的解法可得f(x)≤0的解集；(2)(i)由题意可知{a <0−b a =−1ca =−2，则由a ，b ，c 的关系式转化原不等式cx 2+bx +a >0后可解得答案； (ii)由(i)可知g(x)=(x−1)2+2(x−1)+4x−1=−[(1−x)+(41−x)]+2 ，由基本不等式可得g(x)的最大值．7.答案：解：(1)由题意，得10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x 2−500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a −3x500)x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a −3x500)x ≤10(1000−x)(1+1500x)，所以ax −3x 2500≤1000+2x −x −1500x 2，所以ax ≤2x 2500+1000+x ，即a ≤2x500+1000x+1在x ∈(0,500]时恒成立．因为2x500+1000x ≥2√2=4，当且仅当2x500=1000x，即x =500时等号成立，所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5．所以a 的取值范围为(0,5]．解析：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．(1)根据题意可列出10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．8.答案：解：(1)由题设f(0)=−1，得b =−1，由f(−1)=f(2)，对称轴为x =−a4=−1+22，则a =−2，∴f(x)=2x 2−2x −1(2)由题，f (12)=−32，令f(t)=3，解得t =−1或t =2． ∵f(x)在[m,m +2]上的值域为[−32,3]，∴m =−1时，在[−1,1]上值域满足题意．m +2=2，即m =0时，在[0,2]上的值域满足题意． ∴m =0或−1．(3)等价于2x 2−(a +3)x +a −1=0有两个正实数根x 1，x 2，∴{△=(a +3)2−8(a −1)⩾0x 1+x 2=a +32>0x 1x 2=a −12>0⇒a >1, 则x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(a+32)2a−12−2=12[(a −1)+16a−1]+2⩾2+12⋅2√(a −1)⋅16a −1=6当且仅当a =5时取等号，故x 2x 1+x1x 2的最小值为6．解析：本题考查利用待定系数法求解函数的解析式，给定函数的值域，求解参数的范围，以及均值不等式的应用，综合性强，难度较大．(1)由f(x)=2x 2+ax +b 过点(0,−1)，得b =−1，再由f(−1)=f(2)，可求a ，由此可得结论； (2)由f(x)min =f (12)=−32，再求出f(t)=3时的t =−1或t =2，由题知m 只能m =−1或m +2=2，解出此时的m 的值，再检验，可得结论；(3)先求出g(x)有两个不相等的不动点的条件a >1，在将x 1x 2+x 2x 1表示为x 2x 1+x 1x 2=12[(a −1)+16a−1]+2，利用基本不等式可得结论．9.答案：解：(1)由条件得920vv 2+3v+1600>10，整理得v 2−89v +1600<0，即(v −25)(v −64)<0.解得25<v <64． (2)依题意，y =9203+(v+1600v)≤3+2√1600=92083，当且仅当v =1600v ，即v =40时，上式等号成立，所以ymax =92083≈11.1(千辆/时)．∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/ℎ且小于64km/ℎ.当v =40km/ℎ时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．解析：(1)某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y =920v v 2+3v+1600(v >0)可得，在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，920vv 2+3v+1600>10，解不等式即可求出v 的范围．(2)根据基本不等式性质可知9203+(v+1600v)≤3+2√1600，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．10.答案：解：证明：(Ⅰ)∵a >0,b >0，a 4+b 4≥(a 2+b 2)22≥12[(a+b)22]2=12×4=2.(当且仅当a =b 时等号成立)(Ⅱ)a >0,b >0,c >0，∴a 3+b 3+c 3+(1a+1b+1c)3⩾3√a 3b 3c 33+(3√1abc3)3⩾2√3√a 3b 3c 33⋅(3√1abc3)3=18，当且仅当a =b =c =√33时，原式取最小值18.解析：该题主要考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，考查了学生的运用与计算能力． (Ⅰ)根据已知条件a >0，b >0，利用基本不等式证明：a 4+b 4⩾2．(Ⅱ)根据已知条件知a >0，b >0，c >0，利用基本不等式求最值方法写出取最小值时a ，b ，c 的值．11.答案：解：(1)不等式ax 2−3x +2<0的解集为A ={x|1<x <b}，所以1和b 是方程ax 2−3x +2=0的两根，则{a −3+2=0ab 2−3b +2=0, 解得a =1，b =2；(2)由(1)得f (x )=4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥8，当且仅当4(x −1)=1x−1，取等号，即x =32∈A 时，函数f(x)有最小值8．解析：本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题．(1)利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，即可求出结果； (2)将a 、b 的值代入，利用基本不等式求解即可得最小值．12.答案：(1)[−6,2]；(2)[−7,2]；解：(1)∵x∈R时，f(x)≥a，即x2+ax+3−a≥0恒成立，∴Δ=a2−4(3−a)≤0，∴a2+4a−12≤0，∴−6≤a≤2.所以a的取值范围是[−6,2]．(2)∵x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，∴只需f(x)min≥a，x∈[−2,2]．f(x)的对称轴为x=−a2，分类：①−a2≤−2即a≥4时，f(x)min=f(−2)=7−2a≥a，∴a≤73(舍去)；②−2<−a2<2即−4<a<4．则f(x)min=f(−a2)=3−a24≥a；∴a2+4a−12≤0，∴−6≤a≤2，∴−4<a≤2；③−a2≥2即a≤−4时，f(x)min=f(2)=7+2a≥a，∴a≥−7，∴−7≤a≤−4．综合①②③知，a的取值范围为[−7,2]．解析：本题考查一元二次不等式恒成立的问题。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (6)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (6)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.若定义在[−2,2]上的奇函数f(x)满足当x∈(0,2]时，f(x)=3x．9x+1(1)求f(x)在[−2,2]上的解析式；(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于方程f(x)=λ在x∈[−2,2]上有实数解？2.已知函数f(x)=log a(ax2−x)．(1)若a=1，求f(x)的单调区间；2(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．3.若非零函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)⋅f(y)=f(x+y)，且当x<0时f(x)>1．(1)求证：f(x)>0；(2)求证：f(x)为R上的减函数；(3)当f(4)=116时，对a∈[−1,1]时恒有f(x2−2ax+2)≤14，求实数x的取值范围．4.已知函数f(x)=−3x+13x+1+3．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若不等式f(3x−1)+f(k·3x+1+3k)>0在区间[0,+∞)上有解，求实数k的取值范围．5.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=2，任取a，b∈[−1,1]，a+b≠0，都有f(a)+f(b)a+b> 0成立．(1)判断并证明函数f(x)在[−1,1]上是单调性．(2)解不等式f(x)<f(x 2).(3)若对任意x ∈[−1,1]，函数f(x)≤2m 2−2am +3对所有的a ∈[0,32]恒成立，求m 的取值范围．6. 函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对一切x >0，y >0都有f(x)+f(y)=f(xy)，当x >1时，有f(x)>0．(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并加以证明;(3)若f(4)=2，求f(x)在[1,16]上的值域．7. 已知函数f(x)=4+m(13)x +(19)x ．(1)当m =−2,x ∈(−∞,0)时，求函数f(x)的值域；(2)若对任意x∈[0,+∞),总有f(x)≤6成立，求实数m的取值范围．8.已知函数f(x)=log2(2x+1)+kx(k∈R)．(1)当k=0时，用定义证明函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若函数f(x)是偶函数，(i)求k的值;(ii)设g(x)=log2(a⋅2x−12a)+12x(a∈R)，若方程f(x)=g(x)只有一个解，求a的取值范围．9.已知函数f(x)=a x−a+1(a>0，且a≠1)恒过定点(12,2)(1)求实数a．(2)若函数g(x)=f(x+0.5)−1，若函数F(x)=g(2x)−mg(x−1)，求F(x)在[−1,0]的最小值ℎ(m)．10.已知函数f(x)=x2+2|x−a|−4，(其中a为常数)(1)若a=2，写出函数f(x)的单调递增区间(不需写过程)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；(3)当a>0时，若对任意实数x，不等式f(x)≥−1恒成立，求正实数a的取值范围．11.已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；log2(a⋅2x+2√2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12围．⋅2x+1−6，其中x∈[0,3]，12.已知函数f(x)=22x−52(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足：f(x)−a≥0恒成立，求a的取值范围．13.宝应某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x(万件)之间满足关系：(其中m为小于12的正常数)已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.(注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润⋅14.已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是φ(a+x)+φ(a−x)=2b，给定函数f(x)=x−6．x+1(1)求函数f(x)图象的对称中心；(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性(只写出结论即可)；(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2)，求实数m的取值范围．15.已知函数f(x)=x2+2|x−a|−4，(其中a为常数)(1)若a=2，写出函数f(x)的单调递增区间(不需写过程)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；(3)若对任意实数x，不等式f(x)≥−1恒成立，求实数a的取值范围．。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (33)(含解析)

高中数学人教A 版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (33)一、解答题（本大题共29小题，共348.0分）1. “十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工．已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x 千件且能全部销售完，每千件的销售收入为g (x )万元，已知g (x )={13.5−130x 2(0<x ≤10)168x−20003x 2(x >10)． (1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式；(2)月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润．2. 在函数定义域内，若存在区间[m,n]，使得函数值域为[m +φ,n +φ]，则称此函数为“φ档类正方形函数”，已知函数f (x )=log 3[2k ⋅9x −(k −1)3x +k +2]．(1)当k =0时，求函数y =f(x)的值域；(2)若函数y =f(x)的最大值是1，求实数k 的值；(3)当x >0时，是否存在k ∈(0,1)，使得函数f(x)为“1档类正方形函数”⋅若存在，求出实数k 的取值范围，若不存在，请说明理由．3. 已知：函数g(x)=ax 2−2ax +1+b(a ≠0,b <1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x ．(1)求a ，b 的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,1]时恒成立，求实数k 的取值范围；(3)如果关于x 的方程f(|2x −1|)+t ⋅(4|2x −1|−3)=0有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．4. 定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：对任意的x ，y ∈(−1,1)，都有：f(x)+f(y)=f(x+y 1+xy )．(1)求证：函数f(x)是奇函数;(2)若当x ∈(−1,0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(−1,1)上是减函数;(3)若f(12)=−1,f(x)⩽t 2−2at +1对所有x ∈[−12,12],a ∈[−1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．5.二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[−1,1]时，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．(3)设函数f(x)在区间[a,a+1]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．6.已知函数f(x)=2a x+a−4(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．2a x+a(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，t·f(x)≥2 x−2恒成立，求实数t的取值范围．7.已知函数f(x)=(t−1)⋅13x+3x(x∈R)为偶函数.(1)求实数t的值；(2)求不等式f(2x)<103的解集；(3)若不等式f(2x)+4<mf(x)有实数解，求实数m的取值范围.8.2020年是我国全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (30)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (30)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.如果函数y=f(x)的定义域为R，且存在实数a，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(−x)成立，那么称此函数f(x)具有“性质P(a)”．(1)判断函数y=|x+1|是否具有“性质P(a)”，若具有“性质P(a)”，求出所有实数a的取值集合;若不具有“性质P(a)”，请说明理由;(2)已知函数y=f(x)具有“性质P(0)”，且当x≤0时，f(x)=(x+m)2，求函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域．2.已知函数f(x)=x−4x，x∈[1,2]．(1)求函数y=f(x)的值域;(2)设F(x)=x2+16x2−2a(x−4x)，x∈[1,2]，a∈R，求函数y=F(x)的最小值g(a)．(3)对(2)中的g(a)，若不等式g(a)>−2a2+at+4对于任意的a∈(−3,0)时恒成立，求实数t 的取值范围．3.已知函数f(x)=x|2a−x|+2x，a∈R，(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若存在实数a∈[−2,2]，使得关于x的方程f(x)−tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．4.已知奇函数f(x)=a⋅3x+a−2(−1≤x≤1)，函数g(x)=−[f(x)]2+4mf(x)−1的最大值为ℎ(m)．3x+1(1)求实数a的值；(2)求ℎ(m)；(3)令φ(m)=ℎ(m)+1，若存在实数α，β，当函数φ(m)的定义域为[α,β]时，值域也为[α,β]，求实数α，β的值．5. 函数f (x )(x ∈R )满足：对于任意实数x ，y ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )+12恒成立，且当x >0时，f (x )>−12恒成立．(1)求f (0)的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并加以证明；(3)若方程F (x )=f (max {−x,2x −x 2})+f (−k )+1=0，其中max {a,b }={a (a ≥b )b (a <b )有三个实根x 1，x 2，x 3，求u =(x 1+x 2+x 3)+x 1⋅x 2⋅x 3的取值范围．6. 对于定义域为I 的函数，如果存在区间[m,n]⊆I ，同时满足下列条件：①函数f(x)在区间[m,n]上是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]．则称[m,n]是函数y =f(x)的一个“和谐区间”．(1)写出函数f(x)=12x 2(x ≥0)的一个“和谐区间”(不需要解答过程)；(2)证明：函数g(x)=4−5x 不存在“和谐区间”；(3)已知：函数ℎ(x)=(a 2+a)x−4a 2x (a ∈R,a ≠0)有“和谐区间”[m,n]，当a 变化时，求出n −m 的最大值．7.已知函数f(x)=|x2−1|+x2−kx．(Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性；(Ⅱ)若函数f(x)在[0,2]有两个不同的零点x1，x2，证明：1x1+1x2>2；(Ⅲ)设k>0，若对任意x1，x2∈[0,2]都有|f(x1)−f(x2)|≤6，求k的取值范围．8.f(x)=−x|x−a|+a2,a∈R.(1)若f(x)为奇函数，求a的取值范围．(2)当a>0时，A={y|y=f(x),x∈[a2,a]}，B={y|y=f(f(x)),x∈[a2,a]}.若A=B，求a的值．9.已知函数f(x)=1−4x1+4x +log31−x1+x．(1)求f(log20212020)+f(log202112020)的值；(2)若对于区间[−12,12]内的每一个x，都有f(x)>4x+m恒成立，求实数m的范围．10.设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的一个“不动点”，也称f(x)在定义域D上存在不动点．已知函数f(x)=log2(4x−a⋅2x+1+2)．(1)若a=1，求f(x)的不动点；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上存在不动点，求实数a的取值范围；(3)设函数g(x)=2−x，若∀x1,x2∈[−1,0]，都有|f(x1)−g(x2)|≤2成立，求实数a的取值范围．11.若定义在R上的函数f(x)满足：∀x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1成立，且当x>0时，f(x)>−1．(1)求证：f(x)+1为奇函数；(2)求证：f(x)为R上的增函数；(3)若f(1)=1，且∀x≥0,∀y≥0，f[x2−m(2xy+y2)+4m2y2+4]≥7恒成立，求实数m的取值范围．12.设函数f(x)=a x−(k+2)a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)=3，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)，且g(x)在[1,+∞)上的最小值为1，求实数m的2值．13.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．(3)若对于任意x∈[1214.已知二次函数f(x)=ax2+bx+4，其中a，b∈R，且f(x)满足：f(x+1)−f(x)=32x−94．(1)求二次函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)的定义域为A=[m,n]，其中0<m<n，问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数f(x)的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于∀x1∈[0,3]，总∃x2∈[1,2]，使得f(x1)<−5x2+−1，求实数a的取值范围．15.已知函数f(x)=x2+2mx−6在区间[−1,2]上是单调函数．(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)试写出f(x)在区间[−1,2]上的最大值g(m)；(3)设ℎ(x)=x+1，令F(m)={g(m),m∈Aℎ(m),m∈∁R A，若对任意m1,m2∈[−72,a]，总有|F(m1)−F(m2)|≤a+3，求a的取值范围．。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (20)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (20)一、解答题（本大题共28小题，共336.0分）1.已知函数ℎ(x)=x+1x．(1)直接写出ℎ(x)在[12,2]上的单调区间(无需证明)；(2)求ℎ(x)在[12,a] (a>12)上的最大值；(3)设函数f(x)的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f(x1)=f(x2)，则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知f(x)=x+1x (x∈[12,2])，若A=[12,b)是函数f(x)的“Γ区间”，求实数b的最大值．2.已知函数f(x)=x2+(m−2)x−m，g(x)=f(x)x，且函数y=f(x−2)是偶函数．(1)求g(x)的解析式；．(2)若不等式g(sinx)−nsinx ≤0在(0,π2]恒成立，求实数n的取值范围；(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k⋅2log2(x2+4)−9恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．3.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)·x−2m−1在(0,+∞)上单调递增，又函数g(x)=2x+m．2x(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；(2)若不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立，求实数t的取值范围．4.若定义在[−2,2]上的奇函数f(x)满足当x∈(0,2]时，f(x)=3x．9x+1(1)求f(x)在[−2,2]上的解析式；(2)当λ为何值时，关于x的方程f(x)=λ在x∈[−2,2]上有实数解．(a>0,a≠1)是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数5.已知函数f(x)=log a2m−1−mxx+1x的集合)．(1)求实数m的值，并写出区间D;(2)若底数a>1，试判断函数y=f(x)在定义域D内的单调性，并说明理由;(3)当x∈A=[a,b)⊆D(a是底数)时，函数值组成的集合为[1,+∞)，求实数a，b的值．6.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2,f(x+1)−f(x)=2x+3(1)求函数f(x)的解析式(2)设ℎ(x)=f(x)−2tx，当x∈[1,+∞)时，求函数ℎ(x)的最小值7.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)+f(−x)=0，当x>0时，f(x)=2x−x2，(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[1,+∞)时，g(x)=f(x)，当x∈(−∞,1)时g(x)=x2−mx+2m−3，g(x)在R上单调递减，求m的取值范围；(3)是否存在正实数a,b，当x∈[a,b]时，ℎ(x)=f(x)且ℎ(x)的值域为[1b ,1a]？，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由．8.若不等式2x−log a x<0在x∈(0,12)时恒成立，求实数a的取值范围．9.习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章函数的概念与性质综合测试(附答案与解析)

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (10)(含解析)

高中数学人教A 版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (10)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=−x 2+ax ．(1)若a =−2，求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f(m −1)+f(m 2+t)<0恒成立，求实数t 的取值范围．2. 已知函数f (x )是定义在(−2,2)上的奇函数，满足f(1)=15，当−2<x ≤0时，有f (x )=ax+bx 2+4．(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )的单调性，并利用定义证明；(3)解不等式f (2x −1)+f (x )<0．3.设a为实数，记函数f(x)=a√1−x2+√1+x+√1−x的最大值为g(a)．(1)设t=√1+x+√1−x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2)求g(a)；(3)试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a．4.已知函数f(x)={x|x+a|+a2−4a(x≤0) 9x−a⋅3x(x>0)(1)讨论f(x)在(−∞,0]上的单调区间；(2)若a>0，存在m∈R，使f(x)=m存在五个不等根，求a的取值范围．5.设a∈R，函数(e为常数，e=2.71828…)．(1)若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；(2)若a<0．①判断并证明函数f(x)的单调性；②若存在x∈[1,2]，使得f(x2+2ax)>f(4−a2)成立，求实数a的取值范围．6.已知函数f(x)=lg(m+2),m∈R．2x(1)当m=−1时，求函数f(x)的定义域；(2)若方程g(x)=f(x)+2xlg2有且仅有一个解，求实数m的取值范围；(3)任取x1,x2∈[t,t+2]，若不等式|f(x1)−f(x2)|≤1对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．7.已知函数f(x)=2x−m的图象过点P(1,1)x(1)求实数m的值，并证明函数f(x)为奇函数；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．8.已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=−2x+1，且f(2)=15．(1)求函数f(x)的解析式(2)令g(x)=(1−2m)x−f(x)求函数g(x)在区间[0,2]的最小值．9.已知定义域为R的函数f(x)=a⋅2x+1+a是奇函数．1+2x(1)求a的值；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(−mt2+t+1)+f(t2−mt)<0恒成立，求实数m的取值范围．10.已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0,b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设g(x)=f(x)。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (5)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (5)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知定义在R上的函数f(x)=x2−2mx+3在(0,+∞)上是增函数．g(x)为偶函数，且当x∈(−∞,0]时，g(x)=12x+m．(1)求g(x)在(0,+∞)上的解析式；(2)若函数f(x)与g(x)的值域相同，求实数m的值；(3)令F(x)={f(x),x<0,g(x),x>0,讨论关于x的方程F(x)=m+3的实数根的个数．2.同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f(x)=ae x+be−x(其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…)．(1)当a=1，f(x)为偶函数时，求b的值；(2)如果f(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；(3)如果f(x)的最小值为2，求a+b的最小值．3.已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(−2)=−1，当−4<x⩽0时，有f(x)=ax+bx+4．(1)求实数a,b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明f(x)在(0,4)上的单调性．4.已知实数a>0，定义域为R的函数f(x)=e xa +ae x是偶函数，其中e为自然对数的底数．(Ⅰ)求实数a值；(Ⅱ)判断该函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明；(Ⅲ)是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t−2)<f(2t−m)恒成立．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．5.设t为实数，函数f(x)=−x2+1, g(x)=|x−t|．(1)讨论函数y=g(x)的奇偶性；(2)当t=2时，求函数y=g(x)−f(x)的最小值；(3)对于函数y=m(x)，在定义域内给定区间[a,b]，如果存在x0(a<x0<b)，满足m(x0)=m(b)−m(a)，则称函数m(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”.如函数b−ay=x2是[−1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数ℎ(x)=f(x)+mx是区间[−1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)=x2+mx+m−7，m∈R．(1)若f(x)在区间[2,4]上单调递增，求m的取值范围；(2)求f(x)在区间[−1,1]上的最小值g(m)；(3)讨论f(x)在区间[−3,3]上的零点．7.已知定义在R上的函数f(x)=x2−2mx+3在(0,+∞)上是增函数．g(x)为偶函数，且当x∈(−∞,0]时，g(x)=12x+m．(1)求g(x)在(0,+∞)上的解析式；(2)若函数f(x)与g(x)的值域相同，求实数m的值；(3)令F(x)={f(x),x<0,g(x),x>0,讨论关于x的方程F(x)=m+3的实数根的个数．8.已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)，且f(x)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2．(1)求a的值；(2)若函数y=f(2x)+f(−2x)+2m[f(x)−f(−x)]在区间[1,+∞)的最小值是−2，求实数m的值．9.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=−x2+4x．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−2,a](a>−2)上的最小值．10.已知f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=ln(x+2).(1)当x<0时，求f(x)的解析式；(2)当m∈R时，试比较f(m−1)与f(3−m)的大小；(3)求最小的整数m(m≥−2)，使得存在实数t，对任意x∈[m,10]，都有f(x+t)≤2ln|x+3|11.已知指数函数f(x)的图象经过点(−1,3)，g(x)=f2(x)−2af(x)+3在区间[−1,1]的最小值ℎ(a)；(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的最小值ℎ(a)的表达式；(3)是否存在m,n∈R同时满足以下条件：①m>n>3；②当ℎ(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．12.已知函数f(x)=x2−2ax−1，x∈[−2,5](1)当a=−1时，求函数的最大值和最小值．(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间x∈[−2,5]上是单调函数．13.已知函数f(x)=log a x(a>1)，关于x的不等式|f(x)|<1的解集为(m,n)，且n+m=10．3(1)求a的值．,9]的最小值为2？若存在，求出λ(2)是否存在实数λ，使函数g(x)=[f(x)]2−2λf(x)+3,x∈[13的值；若不存在，说明理由．14.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立．(1)函数f(x)=1是否属于集合M？说明理由；x(2)若函数f(x)=k⋅2x+b属于集合M，试求实数k和b满足的条件；(3)设函数f(x)=lg a属于集合M，求实数a的取值范围．x2+215.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，f(2)=0.若f(x−1)>0，求x的取值范围。

(常考题)人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()xxf x e e -=-，则不等式()()2210f xf x +--<成立的一个充分不必要条件为（） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭2．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x ≥时，()2x f x =，且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[32,)+∞D ．(0,32]3．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的是（） A ．y x =B ．2log y x =C ．1y x x=+D ．5y x =4．已知32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则a 的取值范围（）A ．2a ≥-B ．2a ≤-C ．4a ≥-D ．4a ≤-5．已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，且11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()21x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．函数()22368f x x x x =---+-的值域是( )A ．35,5⎡⎤-⎣⎦B ．[]1,5C ．2,35⎡⎤+⎣⎦D ．35,35⎡⎤-+⎣⎦8．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（） A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞9．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（） A ．2a <-或2a > B ．2a > C ．22a -<< D ．2a <10．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+D ．22y x x =-13．若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(),4-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞14．关于函数1()lg 1xf x x-=+，有下列三个命题： ①对于任意(1,1)x ∈-，都有()()f x f x -=-；②()f x 在(1,1)-上是减函数；③对于任意12,(1,1)x x ∈-，都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+；其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．315．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．函数24xy x =+的严格增区间是_____________. 17．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：对任意()0,x ∈+∞，恒有()()2 2 f x f x =成立；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：①对任意m ∈Z ，都有()20mf =；②函数()y f x =的值域为[)0,+∞； ③存在n ∈Z ，使得()219nf +=；④“函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是__________ 18．已知函数()()1502f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是____. 19．设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(1 0)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是___________.20．函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．21．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.22．设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()2f x xf x x '+>，则不等式()()()220202020420x f x f ---≤的解集为______．23．已知()f x =2243,023,0x x x x x x ⎧-+≤⎨--+<⎩不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.24．如果函数f (x )＝(2)1,1,1x a x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是________．25．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论：①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]；④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.26．函数()ln f x x x x =+的单调递增区间是_______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f x f x +--<化为()()()2211f xf x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<，则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集，只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.2．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 的解析式，分别求得当23x -≤≤时，3x >时，2x <-时，(2)f x +和(3)f x -的表达式，结合题意，即可求得a 的范围，综合即可得答案.【详解】由题意知：2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时，20,30x x +≥-≥，所以2322x x a +-≤⋅，所以212x a -≥，因为23x -≤≤，所以215max (2)232x a -≥==；当3x >时，20,30x x +>-<，所以2(3)22x x a +--≤⋅，所以5232a ≥=；当2x <-时，20,30x x +<-> 所以(2)322x x a -+-≤⋅，所以51232a -≥=，综上32a ≥. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式，分类讨论，将(2)f x +和(3)f x -进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.3．D解析：D 【分析】对四个选项一一一判断：A 、B 不是奇函数，C 是奇函数，但在()0,∞+上不单调. 【详解】对于A ：y =()0,∞+上单调递增,但是非奇非偶，故A 错误；对于B ：2log y x =为偶函数，故B 错误；对于C ：1y x x=+在（0,1）单减，在（1，+∞）单增，故C 错误；对于D ：5y x =既是奇函数也在()0,∞+上单调递增，符合题意. 故选：D 【点睛】四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.4．C解析：C 【分析】首先变形条件，得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增，利用二次函数的单调性，求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞，不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--，即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增，()22g x x ax a =++，函数的对称轴是4a x =-，则14a-≤，解得：4a ≥-.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-，从而通过构造函数，确定函数的单调性，转化为二次函数的单调性解决问题.5．A解析：A 【分析】采用赋值法，在11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦中，分别令1x =和1x a =+，联立两个式子，根据函数的单调性可解. 【详解】解：根据题意知，设(1)0f a =≠，令1x =，则[]1(1)(1)12f f f +=，则()112af a +=，()112f a a+=，令1x a =+，则11(1))21(1f a f f a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+，所以()11121f a f a a ⎛⎫+==⎪+⎝⎭，又因为函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，所以11121a a +=+，2210a a --=，所以1a =或12a =-（舍去），()11f =.故选：A. 【点睛】思路点睛：抽象函数求函数值问题一般是换元法或者赋值法，再结合函数的性质解方程即可.6．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-，函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项，故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7．A解析：A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----，知2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----，则()21x 323x t --=--.，即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大. 3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.8．C解析：C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥，3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >，所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<，所以23114x x ≤-+<，解得01x <<，故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.9．D解析：D 【分析】若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调，分0a =，0a <和0a >三种情况讨论求解. 【详解】若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调，当0a =时，2,1()1,1x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，图象如图，满足题意；当0a <时，函数2y x ax =-+的对称轴02ax =<，其图象如图，满足题意；当0a >时，函数2y x ax =-+的对称轴02ax =>，其图象如图，要使()f x 在R 上不单调，则只要满足12a<，解得2a <，即02a <<.综上，2a <. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出()f x 在R 上不单调是解题的关键.10．B解析：B 【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.11．D解析：D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e e xxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，所以()f x 是偶函数，所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12．C解析：C 【分析】根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断. 【详解】根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称， A ．2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++1242y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合； B ．()20,xy =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞，所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合；D ．()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合，故选：C. 【点睛】本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般.13．B解析：B 【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果【详解】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法14．D解析：D 【分析】当(1,1)x ∈-时，函数1()1xf x lgx-=+恒有意义，代入计算()()f x f x -+可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++，比照后可判断③．【详解】解：1()1xf x lgx-=+，当(1,1)x ∈-时， 1111()()()101111x x x xf x f x lg lg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+，故()()f x f x -=-，即①正确； 12()(1)11x f x lglg x x -==-++，由211y x=-+在(1,1)-上是减函数，故()f x 在(1,1)-上是减函数，即②正确； 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++； 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++，即③正确故三个结论中正确的命题有3个故选：D ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，属于中档题．15．B解析：B 【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意；对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R 所以即在R 上为奇函数根据奇函数的性质可得在y 轴两侧单调性解析：[]22-,【分析】根据()f x 的解析式，可得()f x 为奇函数，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质，可求得()g x 的单调减区间，可得()f x 的单调增区间，综合分析，即可得答案. 【详解】因为2()4xy f x x ==+，定义域为R ，所以22()()()44x xf x f x x x ---===--++，即()f x 在R 上为奇函数，根据奇函数的性质可得，()f x 在y 轴两侧单调性相同，当x =0时，()0y f x ==，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质可得，当02x <≤上单调递减，证明如下：在(0,2]上任取12,x x ，且12x x <，则12121212124444()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-=1212124()x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为1202x x <<≤，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>，所以121212124()()()0x x f x f x x x x x ⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即12()()f x f x >，所以4()g x x x=+在(0,2]上为减函数，所以21()44x f x x x x==++在(0,2]上为增函数，当0x +→时，()0f x →，0x -→，()0f x →，又(0)0f =，所以2()4xf x x =+在[0,2]为增函数根据奇函数的性质，可得21()44x f x x x x==++在[2,0)-也为增函数，所以()f x 在 []22-,上为严格增函数，故答案为：[]22-,【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.17．①②④【分析】根据函数递推关系计算判断①求出时函数的值域然后由递推关系确定函数在上的值域判断②④解方程判断③【详解】①由题意又∴依此类推可得是负整数时设∴时①正确；②又当时时∴时的值域是又时依此类推解析：①②④ 【分析】根据函数递推关系计算(2)mf ，判断①．求出(1,2]x ∈时，函数的值域，然后由递推关系确定函数在(0,)+∞上的值域，判断②④．解方程()219nf +=判断③．【详解】①由题意(2)220f =-=，又()()2 2 f x f x =，∴2(2)2(2)f f =，322(2)2(2)2(2)f f f ==，依此类推可得1(2)2(2)0m m f f -==，*m N ∈，1(1)(2)02f f ==，m 是负整数时，设,*m k k N =-∈，11111111(2)()()()(1)0222222k k k k kf f f f f ---======，∴m Z ∈时，(2)0m f =，①正确；②(1,2]x ∈，()2[0,1)f x x =-∈，又(2)2()f x f x =，当(2,4]x ∈时，()2()[0,2)2xf x f =∈，1(2,2]n n x +∈时，()2()[0,2)2n n n xf x f =∈，∴1x >时，()f x 的值域是[0,1)[0,2)[0,2)[0,)n =+∞，又1(,1]2x ∈时，11()(2)[0,)22f x f x =∈，依此类推01x <<时，都有()0f x ≥，综上()f x 在(0,)+∞上的值域是[0,)+∞．②正确；③当0n ≤且n Z ∈时，(21)2(21)121n n n f +=-+=-<，不可能等于9，当*n N ∈时，()11121212(1)221219222n n n n n n n n f f f ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+=+=⨯--=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，210n =，与n Z ∈矛盾．③错误；④根据函数上面的推导知()f x 在1(2,2]n n +上单调递减，1(2)0n f +=，n Z ∈，因此函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数的充要条件是存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆，④正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在1x >时，通过函数性质(2)2()f x f x =得出()f x 在1(2,2]n n +的值域是[0,2)n ，然后由这无数的集合求并集得出1x >时函数值的取值范围．18．【分析】将绝对值函数化为分段函数形式判断单调性【详解】由题意当时函数单调递减；当时函数在上单调递增在上单调递减；当时函数单调递增；综上所述函数的单调递减区间为故答案为：解析：()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，【分析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性. 【详解】由题意()151,02215151,222215,22x x x f x x x x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪⎪=+-=--+<≤⎨⎪⎪++≥⎪⎩，当102x <<时，函数15()2f x x x =+-单调递减；当122x ≤<时，函数15()2f x x x =--+，在1(,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减；当2x ≥时，函数15()2f x x x =+-单调递增；综上所述，函数()152f x x x =+-的单调递减区间为()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，. 19．【分析】根据不能是奇函数排除和再利用幂函数的性质排除2即可得出【详解】若且则幂函数的图象一定在的上方故不可能为奇函数即不能取和当取时是偶函数故只需满足即可此时即则即则可取故取值的集合是故答案为：【点解析：2{2 }3-，【分析】根据ky x =不能是奇函数排除1-和13，再利用幂函数的性质排除2即可得出. 【详解】若(10)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则幂函数ky x =的图象一定在y x =的上方，故k y x =不可能为奇函数，即k 不能取1-和13，当k 取22,,23-时，ky x =是偶函数，故只需满足(0 1)x ∈，即可，此时k x x >，即11k x ->，则10k -<，即1k <，则k 可取22,3-，故k 取值的集合是2{2 }3-，. 故答案为：2{2 }3-，. 【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点，以及不同幂函数的图象特点.20．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取解析：32-【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值．【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．当02a <<时，10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，10c --<，若1c c --≤-，即112c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222b ac a -=-->-=-，若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222b ac a -=+->--=-，若2a ≥时，若212c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--，222221(2)3333222a a ab a a ac a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号，若212c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b gc c ==--=+1c =+，222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号．综上所述，b a -的最小值是32-．故答案为：32-．【点睛】方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．21．【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是关于原点解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.22．【分析】根据已知构造新函数利用导数求得函数的单调性根据函数的单调性列出不等式即可求解【详解】因为函数是定义在上的可导函数且有即设函数则所以函数在上单调递增又因为即所以则即的即不等式的解集为故答案为：解析：(2020,2022]【分析】根据已知构造新函数，利用导数求得函数的单调性，根据函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】因为函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，且有()()2f x xf x x '+>，即()()222xf x x f x x '+>设函数()()2g x x f x =，则()()()220g x xf x x f x '=+>，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()()()220202020420x f x f ---≤，即()()()222020202022x f x f --≤，所以(2020)(2)g x g -≤，则2020020202x x ->⎧⎨-≤⎩ ，即的20202022x <≤，即不等式的解集为(2020,2022]. 故答案为：(2020,2022]. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数，结合题设条件求得新函数的单调性，结合新函数的性质求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.23．(－∞－2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa ＋1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞0上单调递减即在(－解析：(－∞，－2) 【分析】讨论分段函数()f x 各区间上单调递减，且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减，结合()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数2143y x x =-+的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上13y ≥同理，函数2223y x x =--+在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上23y <∴分段函数()f x 在3x =处连续，()f x 在R 上单调递减由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-，即2x < a 在[a ，a ＋1]上恒成立 ∴2(a ＋1) < a ，解得a <－2 ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2) 故答案为：(－∞，－2) 【点睛】本题考查了函数的单调性，确定分段函数在整个定义域内的单调性，再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围24．【分析】先由条件判断出在R 上是增函数所以需要满足和单调递增并且在处对应的值大于等于对应的值解出不等式组即可【详解】对任意都有>0所以在R 上是增函数所以解得故实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考解析：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由条件判断出()y f x =在R 上是增函数，所以需要满足(2)1y a x =-+和xy a = 单调递增，并且在1x =处xy a =对应的值大于等于(2)1y a x =-+对应的值，解出不等式组即可. 【详解】对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0，所以()y f x =在R 上是增函数，所以201(2)11a a a a->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<，故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.25．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）解析：②④ 【分析】根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择.【详解】当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y +=（y ≥0），当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y -=（y ＜0）. 作出函数f （x ）的图象如图：由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误；y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确；函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±，故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点，即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确.故答案为：②④.【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.26．【分析】求出函数的定义域并求出该函数的导数并在定义域内解不等式可得出函数的单调递增区间【详解】函数的定义域为且令得因此函数的单调递增区间为故答案为【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间在求出导数不解析：()2,e -+∞【分析】求出函数()y f x =的定义域，并求出该函数的导数，并在定义域内解不等式()0f x '>，可得出函数()y f x =的单调递增区间.【详解】函数()ln f x x x x =+的定义域为()0,∞+，且()ln 2f x x '=+，令()0f x '>，得2x e ->.因此，函数()ln f x x x x =+的单调递增区间为()2,e -+∞，故答案为()2,e -+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，在求出导数不等式后，得出的解集应与定义域取交集可得出函数相应的单调区间，考查计算能力，属于中等题.。

人教A版高中数学必修第一册《第三章函数的概念与性质》复习参考题及答案

人教A版高中数学必修第一册《第三章函数的概念与性质》复习参考题及答案复习巩固1. 求下列函数的定义域:(1) y=√x−2√x+5; (2) y=√x−4|x|−5.2. 已知函数f(x)=1−x1+x,求:(1) f(a)+1(a≠−1)1(2) f(a+1)(a≠−2),3. 设f(x)=1+x21−x2,求证:(1) f(−x)=f(x); (2) f(1x)=−f(x)(x≠0).4. 已知函数f(x)=4x2−kx−8在[5,20]上具有单调性. 求实数k的取值范围.5. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22),试求出此函数的解析式,并画出图象,判断奇偶性、单调性.6. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000 元, 每生产一台仪器需增加投入100 元, 已知总收入R(单位: 元) 关于月产量x(单位: 台) 满足函数:R={400x−12x2,0≤x≤400,80000,x>400.(1) 将利润P(单位: 元) 表示为月产量x的函数;(2) 当月产量为何值时, 公司所获利润最大? 最大利润为多少元? (总收入=总成本+利润)1综合运用7. 已知函数f(x)={x(x+4),x≥0,x(x−4),x<0,求f(1),f(−3),f(a+1)的值.8. 证明:(1) 若f(x)=ax+b,则f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2;(2) 若g(x)=x2+ax+b,则g(x1+x22)≤g(x1)+g(x2)2.9. (1) 已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递减,那么它在[−b,−a]上单调递增还是单调逆减?(2) 已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递减,那么它在[−b,−a]上单调递增还是单调递减?10. 某地区上年度电价为0.8元/(kW⋅h),年用电量为a kW⋅h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW⋅h)至0.75元/(kW⋅h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW⋅h). 经测算,下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k). 该地区的电力成本价为0.3 元/ (kW ⋅h).(1) 写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位: 元) 关于实际电价x(单位: 元/(kW·h)) 的函数解析式; (收益=实际电量×(实际电价一成本价))(2) 设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?拓广探索11. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示产品价格(自变量), 而用横轴来表示产品数量(因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条表示客户希望的需求曲线? 为什么?23(第 11 题)12. 试讨论函数 y =x −1x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、奇偶性,并画出函数图象.13. 如图, △OAB 是边长为 2 的正三角形,记 △OAB 位于直线 x =t (t >0) 左侧的图形的面积为 f (t ) . 试求函数 y =f (t ) 的解析式,并画出函数 y =f (t ) 的图象.(第 13 题)14. 某商场经营一批进价为 30 元/件的商品, 在市场试销中发现, 此商品的销售单价 x (单位: 元)与日销售量 y (单位: 件)之间有如下表所示的关系.(1) 根据表中提供的数据描出实数对(x, y)的对应点,根据画出的点猜想 y 与 x 之间的函数关系,并写出一个函数解析式;4(2) 设经营此商品的日销售利润为 P (单位: 元),根据上述关系,写出 P 关于 x 的函数解析式, 并求销售单价为多少元时, 才能获得最大日销售利润?答案：1. (1) [2,+∞) . (2) [4,5)∪(5,+∞) .2. (1) 21+a . (2) aa+2 . 3. (1) f (−x )=1+(−x )21−(−x )2=1+x 21−x 2=f (x ) ,即 f (−x )=f (x ) .(2) f (1x )=1+(1x )21−(1x)2=1+x 2x 2−1=−f (x ) ,即 f (1x )=−f (x ) ,4. 这个二次函数的对称轴为 x =k8 ,函数 f (x )=4x 2−kx −8 在 [5,20] 上具有单调性,则 k8≥20 ,或 k8≤5 ,解得 k ≥160 ,或 k ≤40 。

新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质同步练习(解析版)

第三章函数的概念与性质总分：120分时间：120分钟一、单选题（总分48分，每题4分)1．若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过( )A．(1，6) B．(–1，6)C．(2，–3) D．(3，–2)【答案】A【解析】将代入函数解析式得，故，也即，经验证知A选项正确，故选A.2．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（）个A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】第一个图形中，有剩余元素，所以不能构成从到的函数第二个图形中，存在对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第三个图形中，在时，对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第四个图形中，每个都有唯一确定的与之对应，所以可以构成从到的函数综上所述，共有个图形不能构成从到的函数本题正确选项：3．设函数若，则实数（）A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2【答案】A【解析】分类讨论：当时，有；当时，有或(舍去)；综上可得，实数-4或2 .本题选择A选项.4．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的定义域为，即，，所以，函数的定义域为，故选：C.5．函数的值域为A．B．RC．D．【答案】B【解析】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于( )A．11 B．2 C．5 D．－1【答案】B【解析】令2x＋1=1，解得：x=0∴f(1)=3×0+2=2故选：B7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>1【答案】C【解析】由幂函数的图象特征知α<1.9．下列函数中，在区间上是增函数且是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；故选A.10．下列哪一组函数相等（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：与定义域均为，且两函数相等本题正确选项：11．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<1【答案】A【解析】解：因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图像与x轴没有交点，，当时，函数与x轴有交点，故不成立；，当时，要使函数的图像与x轴没有交点，则，解得，故本题选A。

人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N yy f x x M ==∈∣，则使得MN 的实数对(),a b 有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知函数()x xf x e e -=-，则不等式()()2210f x f x +--<成立的一个充分不必要条件为（） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭3．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞4．函数y x=的值域是（） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞5．已知函数(1)f x +为偶函数，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是（）A ．31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知“函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”，现有函数：①1224x y x -=-；②1(2)|2|2y x x x =--+；③()321y x x =+--；④2332x x y x -+=-，则其中有相同对称中心的一组是（）A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④7．函数()ln x xxf x e e-=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．8．函数()21x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（） A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b -<-，则不等式()202f x x -<-的解集是（）A ．()()1,12,-+∞B ．()(),13,-∞-+∞C ．()(),13,-∞+∞ D ．()(),12,-∞-+∞11．函数()22368f x x x x =--+-( )A ．35,5⎡⎤-⎣⎦B ．[]1,5C ．2,35⎡⎤+⎣⎦D ．35,35⎡⎤-+⎣⎦12．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．已知()2()ln ,(,)f x x ax b x a b R =++⋅∈，当0x >时()0f x ≥，则实数a 的取值范围为（） A ．20a -≤<B ．1a ≥-C ．10a -<≤D ．01a <≤14．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．15．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+D ．22y x x =-二、填空题16．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.17．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.18．已知函数()242f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a的取值范围是______． 19．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f（x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________．20．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________.21．设函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦）的值域依次是1232019,,,,A A A A ，则1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂=__________.22．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________. 23．已知函数2421()349x x f x +-=-+，则(21)(2)8f x f x -++>的解集为__．24．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.25．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______． 26．已知函数1()22x x f x =-，则满足()()2560f x x f -+>的实数x 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称，又()()22x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 是奇函数，当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2xf x x =-+也单调递增；又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数；因此()2xf x x =+在R上单调递增；当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣，所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或2a b =⎧⎨=⎩，即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对.故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.2．B解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f xf x +--<化为()()()2211f x f x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<，则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集，只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.3．C解析：C 【分析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数()(1)nf x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.4．C解析：C 【分析】令t =，转化为21ty t =+，0t ≥，根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥，当0t =时，0y =，当0t ≠时，2110112t y t t t <==≤=++，当且仅当1t =时，即2x =时等号成立，综上102y ≤≤，故选：C 【点睛】关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据题意，分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称，结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方解得x 的取值范围，即可得答案．【详解】因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称，因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象，则()y f x =的图象关于直线1x =对称，又因为()f x 在区间[1，)+∞上单调递增，所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减，所以()f x 的函数值越大，自变量与1的距离越大， ()f x 的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<，解得315x -<<，即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．6．D解析：D 【分析】根据定义依次判断即可求出. 【详解】对于①，()12312422x y x x -==----，则()()3212y f x x=+--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称；对于②，()1212y f x x x x =+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称；对于③，()321y f x x x =--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称；对于④，22334421121222x x x x x y x x x x -+-++-+===-++---，则()121y f x x x=+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称. 故有相同对称中心的一组是②和④. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的判断，解题的关键是能根据解析式化简整理，正确利用对称的定义进行判断，能根据解析式整理出奇函数特征.7．C解析：C 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---，所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-，函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项，故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．D解析：D 【分析】由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则有()f x 在[4,)+∞上单调递增，且有(6)(2)3f f ==，再利用单调性解不等式即可得结果.【详解】因为(4)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则(6)(2)3f f ==. 因为()f x 在(,4]-∞上单调递减，所以()f x 在[4,)+∞上单调递增，故(24)3f x -<等价于224x <-6<，解得35x <<. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称，进而判断出函数的单调性来，要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.10．C解析：C 【分析】易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，令2t x =-，将不等式()0f t t<等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()0t f t <⎧⎨>⎩，进一步求出答案. 【详解】∵对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b-<-，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =，∴()()110f f -=-=令2t x =-所以不等式()0f t t <等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩∴1t >或1t <-， ∴21x ->或21x -<-， ∴3x >或1x <，即不等式的解集为()(),13,-∞⋃+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点，考查逻辑思维能力，属于基础题.11．A解析：A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----，知2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----，则()21x 323x t --=--.，即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大. 3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.12．D解析：D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解.【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=；（2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-；减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-；（3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.13．B解析：B【分析】讨论01x <<、1x =、1x >确定2()g x x ax b =++的函数值符号，根据二次函数的性质求a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，()()2ln 0x a x x f b x ++⋅=≥， ∵01x <<时，ln 0x <，即需20x ax b ++≤成立；1x =时，ln 0x =，()0f x ≥恒成立；1x >时，ln 0x >，即需20x ax b ++≥成立；∴对于函数2()g x x ax b =++，在(0,1)上()0g x ≤，在(1,)+∞上()0g x ≥，∴2(1)1040(0)0g a b a b g b =++=⎧⎪∆=->⎨⎪=≤⎩解得1a ≥-，故选：B【点睛】思路点睛：令2()g x x ax b =++，即()()ln f x g x x =⋅.(0,)+∞上讨论x ：由()0f x ≥，根据ln x 符号确定()g x 函数值的符号.由()g x 对应区间的函数值符号，结合二次函数性质求参数范围.14．B解析：B【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.15．C解析：C【分析】根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断.【详解】根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称，A ．2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++111sin 224222y x π⎡-⎛⎫=++∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合； B ．()20,x y =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞，所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合； D ．()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合，故选：C.【点睛】本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般. 二、填空题16．【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为：【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种：①不分离参数直接解析：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立，列不等式解得a 的范围.【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式. 17．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-，当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=；当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=；当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=；当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=；又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4.故答案为：{}0,1,3,4【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解. 18．【分析】等价于再画出函数的图象求出函数的最小值即得解【详解】∵的最大值是0∴函数∴当时恒成立当时∴∴设其函数图象如图：由图象可知当时∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到解析：6a ≤-【分析】等价于2a x ≤--，再画出函数2y x =--，[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解.【详解】∵()f x 的最大值是0，∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤， ∴当2x =-时，0f x恒成立，当2x ≠-时，∴20x a -+≤， ∴2a x ≤--，设2y x =--，[]4,4x ∈-，其函数图象如图：由图象可知，当4x =-时，min 426y =---=-，∴实数a 的取值范围为6a ≤-．故答案为：6a ≤-．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到原命题的等价命题，由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了. 19．01【分析】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）等价于解不等式即可得解【详解】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）则可得：解得故答案为：【点睛】本题考查了求函数值域考查了恒成立和存在性问题以及转化思解析：[0，1]【分析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解.【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123a a -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故答案为：01a ≤≤.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.20．【分析】根据题意分析函数的单调性结合函数的最小值为可得出关于实数的不等式组由此可求得实数的取值范围【详解】由于函数的值域为则函数在区间上单调递减或为常值函数函数在区间上单调递增或为常值函数①若函数在解析：[)1,0-【分析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数，函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-，且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数，则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦，即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-，当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=，即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．【分析】求出二次函数的对称轴判断函数的最小值与最大值然后求解值域的交集即可【详解】函数的对称轴为开口向上所以函数的最小值为函数（）的值域依次是它们的最小值都是函数值域中的最大值为：当即时此时所以值域解析：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可.【详解】函数()221k f x x x =-+的对称轴为1x =，开口向上，所以函数的最小值为()10f =，函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦）的值域依次是 1232019,,,,A A A A ，它们的最小值都是0，函数值域中的最大值为：当12019111k k k +⎛⎫--=-⎪⎝⎭，即1010k =时，此时111010x =-，所以，值域中的最大值中的最小值为22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，212320************,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题．22．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值.【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+.故答案为：8【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题. 23．【分析】根据题意设则原不等式变形为分析函数的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于解可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意函数设则变形可得即；对于其定义域为则有即函数为奇函数；函数在上为增函数在上为减解析：1(,)3-+∞ 【分析】根据题意，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则原不等式变形为(21)(2)0g x g x -++>，分析函数()g x 的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于212x x ->--，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数 24244221()343349x x x x f x ++--=-+=-+，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则(21)(2)8f x f x -++>，变形可得(21)4(2)40f x f x --++->，即(21)(2)0g x g x -++>；对于2442()()433x x g x f x +-=-=-，其定义域为R ，则有24422442()33(33)()x x x x g x g x -+++--=-=--=-，即函数()g x 为奇函数；函数243x y +=在R 上为增函数，423x y -=在R 上为减函数，故函数2442()33x x g x +-=-在R 上为增函数，故(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212g x g x g x g x g x g x x x -++>⇒->-+⇒->--⇒->--，解可得13x >-，即不等式的解集为1(3-，)+∞. 故答案为：1(3-，)+∞．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．24．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点解析：1【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．25．8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查解析：8【分析】利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值【详解】令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，所以()()max max 1f x g t a =++，()()min min 1f x g t a =++，所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++．因为g t 为奇函数，所以()()max min 0g t g t +=，所以()()max min 2218g t g t a +=+=，所以8a =．故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题26．【分析】根据题意由奇函数的定义可得函数为奇函数由函数单调性的性质可得函数在上为减函数；据此可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意函数即函数为奇函数又由在上为减函数在上增函数与则函数在上为解析：(2,3)【分析】根据题意，由奇函数的定义可得函数()f x 为奇函数，由函数单调性的性质可得函数()f x 在R 上为减函数；据此可得()()()22560(5)6f x x f f x x f -+>⇒->-22(5)(6)56f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数1()22x x f x =-，11()2(2)()22x x x x f x f x ---=-=--=-，即函数()f x 为奇函数，又由12x y =在R 上为减函数，2x y =-在R 上增函数与，则函数()f x 在R 上为减函数，则()()2560f x x f -+> ()2(5)6f x x f ∴->-2(5)(6)f x x f ∴->-256x x ∴-<-，解可得：23x <<，即x 的取值范围为(2,3)；故答案为：(2,3)【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题．。

新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质学案(知识点考点汇总及配套练习题)

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -3.1.2函数的表示法(1) ....................................................................................... - 10 -3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 19 -3.2函数的基本性质................................................................................................... - 26 -3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 26 -3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 32 -3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 42 -3.3幂函数 .................................................................................................................. - 51 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 60 - 3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念内容标准学科素养1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型．数学抽象数学建模数学推理2.学习用集合对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．3.了解构成函数的要素，会求函数的定义域.授课提示：对应学生用书第30页[教材提炼]知识点一函数的概念预习教材，思考问题y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2x中x与y的对应关系相同吗？知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点二区间的概念知识梳理(1)一般区间的表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)[自主检测]1．下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是()答案：D2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝() A．－1B．0 C．1 D．2 答案：C3．函数f(x)＝14－x的定义域是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)答案：A4．已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，则∁U A用区间表示为________．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)授课提示：对应学生用书第31页探究一函数关系的判断[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．[答案] D1．判断一个对应是否是函数的方法2．根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：对选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意，故选C. 答案：C探究二求函数的定义域 [例2] (1)函数y ＝21－1－x的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1](3)函数y ＝(x ＋1)0|x |－x 的定义域是( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜0，且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1}(4)已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为________．[解析] (1)由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得⎩⎨⎧x ≤1，x ≠0.故选B.(2)由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.(3)∵⎩⎨⎧ x ＋1≠0，|x |－x ＞0，∴⎩⎨⎧ x ≠－1，|x |＞x ，∴⎩⎨⎧x ≠－1，x ＜0.故选C.(4)由题意知0＜y ＜10，即0＜10－2x ＜10，解得0＜x ＜5.又底边长y 与腰长x 应满足2x ＞y ，即4x ＞10，x ＞52.综上，52＜x ＜5.[答案] (1)B (2)A (3)C (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． (3)一般地，形如y ＝f (x )，则f (x )≥0，形如y ＝1f (x )，则f (x )≠0，形如y ＝(f (x ))0，则f (x )≠0.1．下列函数中，与函数y ＝13x 3有相同定义域的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝3x 3解析：函数y ＝13x 3＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，与选项B 中的函数是相等函数，其定义域相同．答案：B2．y ＝x －1·1－x 的定义域为________．解析：⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，所以函数的定义域为{1}．答案：{1}探究三求函数值问题[例3] [教材P 65例2拓展探究] (1)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (f (－3))的值． [解析] ∵f (－3)＝－1. ∴f (f (－3))＝f (－1)＝－1＋3＋1－1＋2＝2＋1. (2)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (x －1)的定义域． [解析] 法一：f (x －1)＝x －1＋3＋1x －1＋2＝x ＋2＋1x ＋1∴⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x ＋1≠0， ∴⎩⎨⎧x ≥－2，x ≠－1. 定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．法二：∵f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}， ∴f (x －1)的定义域为x －1≥－3且x －1≠－2. 即{x |x ≥－2且x ≠－1}．(3)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，设g (x )＝x 2－3，求f [g (x )]．[解析] 首先g (x )≥－3，且g (x )≠－2，即x 2－3≥－3且x 2－3≠－2， ∴x ≠±1.∴f [g (x )]＝g (x )＋3＋1g (x )＋2＝x 2＋1x 2－1＝|x |＋1x 2－1.∴f [g (x )]＝|x |＋1x 2－1(x ≠±1)．函数求值的方法及关注点(1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．授课提示：对应学生用书第32页一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题►数学抽象、逻辑推理所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．1．定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．[典例](1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解析](1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x －1＜1.故f (x )的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x ＜1. 解得0＜x ≤23，所以f (1－3x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.2．求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．[典例] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] f (1)＝f (1＋0)＝f (1)＋f (0)＋2×1×0＝f (1)＋f (0)，得f (0)＝0；又f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋2－2＝f (－1)，得f (－1)＝0；f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；f (－3)＝f (－2－1)＝f (－2)＋f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6. [答案] C点评求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式．二、求定义域时盲目化简[典例] 求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．[解析] 要使函数有意义，须⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，得x ≤1且x ≠－1定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．纠错心得从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y ＝x ＋1－1－x ，求定义域更简单.1－x ≥0得x ≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．3.1.2函数的表示法(1)内容标准学科素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．直观想象、逻辑推理数学抽象2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.授课提示：对应学生用书第33页[教材提炼]知识点函数的三种表示方法预习教材，思考问题比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？知识梳理解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系．这三种方法是常用的函数表示法．[自主检测]1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C2．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝1x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x2答案：C3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案：1授课提示：对应学生用书第33页探究一列表法表示函数[例1](1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价(元)0.50.50.5111 1.5 1.5 1.5(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.x 0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜20y＝f(x)46810(3)如表：x 12 3f(x)231x 12 3g(x)32 1则方程g(f(x))＝x[解析](1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅.当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅.综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．1．在本例(3)条件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．解析：f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如表所示：x 12 3f(g(x))13 2g(f(x))21 3不等式f(g(x))＞g(f(x))2．若例题(3)改为：表格所表示的y是x的函数.x 123 4y 432 1定义域为________答案：{1,2,3,4}{4,3,2,1}探究二函数的图象及应用[例2](1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．[答案] A(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x ＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，画出此函数的图象，如图所示：②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．作函数图象的基本步骤利用图象认识函数左右看范围→函数的定义域上下看范围→函数的值域左右看变化→函数值随x的变化情况1.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃.令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是()解析：依题设当t ＝12时，C (t )＝10，排除D ；由年平均气温为10 ℃知C (t )不会都在10 ℃以下，排除B ；依题图知在t ∈[0,6]内，Q (t )的图象关于(3,0)中心对称，因此C (6)＝0，排除C ，故选A.答案：A2．已知函数为y ＝x 2－2x ，x ∈[－1,2)，试画出此函数的图象．解析：y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1. 当x ＝－1时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝－1；当x ＝2时，y ＝0.如图开口向上的部分抛物线段．探究三求函数解析式[例3] (1)(待定系数法)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，求f (x )． [解析] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， ∴k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25. ∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253.∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.(2)换元法(或配凑法)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[解析] 法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)(方程组法)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． [解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ∴由①②得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .求函数解析式的方法提醒：换元法要注意新元“t ”的取值范围，否则易弄错函数定义域.1．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x B.1＋xx －1C.1－x1＋xD.2x x ＋1解析：令t ＝1－x 1＋x ，解得x ＝1－t1＋t，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，可得f (t )＝1－t 1＋t ，∴f (x )＝1－x1＋x. 答案：C2．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ， ①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ， ②∴①×2－②得 3f (x )＝6x －3x ， ∴f (x )＝2x －1x . 答案：2x －1x授课提示：对应学生用书第35页一、一“图”胜万言——函数图象的应用►直观想象[典例] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 法一：由f (x )的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得⎩⎨⎧d ＝0，a ＋b ＋c ＝0，8a ＋4b ＋2c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0.∴f (x )＝ax 3－3ax 2＋2ax . 又由图象知f (－1)＜0，∴－a －3a －2a ＜0⇒a ＞0，则b ＝－3a ＜0. 故选A.法二：由三次函数f (x )的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .又∵f (3)＞0，得6a ＞0⇒a ＞0， ∴b ＝－3a ＜0.故选A. [答案] A二、忽视新元的范围 [典例] 已知f (x 2＋1)＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式． [解析] 设t ＝x 2＋1， ∴t ≥1， ∴x 2＝t －1，∴f (t )＝t －1＋1t ， ∴f (x )＝x ＋1x －1(x ≥1)．纠错心得此题用换元法或配凑法求出f (x )后，易丢定义域的证明(x ≥1)．3.1.2 函数的表示法(2)内容标准学科素养 1.通过具体实例，了解分段函数的概念．数学抽象 2.能画出简单分段函数的图象.直观想象授课提示：对应学生用书第35页[教材提炼]知识点分段函数预习教材，思考问题函数y ＝|x |在x ≥0与x ＜0时的解析式相同吗？知识梳理如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[自主检测]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x ＜－1，x －1，x ＞1，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2答案：C2．若f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0且f (x )＝1，则x ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C3．函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数，则其定义域为________，值域为________．答案：R {0,1}4．函数y ＝|x －1|的图象关于直线________对称．答案：x ＝1授课提示：对应学生用书第35页探究一分段函数的定义域、值域及求值问题[例1] [教材P 68例6拓展探究](1)若已知函数M (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1＜x ≤0，(x ＋1)2，x ＞0.求①M (－3)，②M (2)，③M [M (0)]，④f [M (－3)]，⑤F [M (a )]． [解析] ①当x ＝－3时，M (－3)＝(－3＋1)2＝4. ②当x ＝2时，M (2)＝(2＋1)2＝9. ③∵M (0)＝1，∴M [M (0)]＝M (1)＝(1＋1)2＝4. ④∵f (x )＝x ＋1，∴f [M (－3)]＝f (4)＝4＋1＝5. ⑤当a ≤－1时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.当－1＜a ≤0时，M (a )＝a ＋1，∴f [M (a )]＝(a ＋1)＋1＝a ＋2. 当a ＞0时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.综上，f [M (a )]＝⎩⎨⎧(a ＋1)2＋1， a ≤－1，a ＋2，－1＜a ≤0，(a ＋1)2＋1， a ＞0.(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )、g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f (x )，g (x ).求m (x )的解析式，并求m (x )的值域．[解析] 由(x ＋1)2＝x ＋1得x ＝－1或x ＝0，即函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象相交于两点(－1,0)和(0,1)．结合f (x )与g (x )的图象得出 m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1，(x ＋1)2，－1＜x ≤0，x ＋1， x ＞0，如图，值域为R .1．分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 3．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．探究二求分段函数解析式[例2] 如图①，在边长为6的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图象．[解析] (1)按照题意，根据x 的变化，写出分段函数的解析式．当点P 在线段BC 上移动时，即0＜x ≤6，BP ＝x ，于是S △APB ＝12AB ·BP ＝12×6×x ＝3x ；当点P 在线段CD 上移动时，即6＜x ≤12，S △APB ＝12AB ·BC ＝12×6×6＝18；当点P 在线段DA 上移动时，即12＜x ＜18，S △APB ＝12AB ·P A ＝12×6×(18－x )＝54－3x .于是y ＝⎩⎨⎧3x ，0＜x ≤6，18，6＜x ≤12，54－3x ，12＜x ＜18.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图②所示．求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x 的分段区间及分段点．(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别写出其在各区间内的函数表达式．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋3， x ∈[－2，0)，－12x ＋3， x ∈[0，2)，2， x ∈[2，4).探究三分段函数与方程、不等式[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[解析] 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)．当x 0＞2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. [答案] －6或4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜43x ，x ≥4，，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解；当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解．所以a 的取值范围是(－∞，－3)． [答案] (－∞，－3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．将本例(1)改为：若f (x )＞8，求x 的范围．解析：当⎩⎨⎧ x ≤2，x 2＋2＞8得⎩⎨⎧x ≤2，x 2＞6，∴x ＜－ 6. 当⎩⎨⎧x ＞2，2x ＞8， ∴x ＞4.∴x 的范围为(－∞，－6)∪(4，＋∞).授课提示：对应学生用书第36页一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法►直观想象、逻辑推理分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．[典例] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ＞1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－a －1， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2，所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1 所以a ＝－32(舍去)．综上所述，a ＝－34. [答案] －34 二、不分类讨论致错[典例] 若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，－1≤x ≤2，x －3，2＜x ≤5，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4[解析] 当－1≤x ≤2时，由f (x )＝1得， 3－x 2＝1，所以x ＝2或x ＝－2(舍去)．当2＜x ≤5时，由f (x )＝1得，x －3＝1，所以x ＝4. 综上，f (x )＝1的解是x ＝2或x ＝4. [答案] C纠错心得解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x 范围的并集，求值时要重视x 的取值范围．如本例当－1≤x ≤2时，求出x ＝2或x ＝－2，通过检验应舍去x ＝－ 2.3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值(1)内容标准学科素养 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性．直观想象数学抽象逻辑推理2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义．3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.授课提示：对应学生用书第37页[教材提炼]知识点函数的单调递增、单调递减预习教材，思考问题对于函数f (x )＝x 2，如何用符号语言描述？知识梳理 (1)定义域为I 的函数f (x )的增减性(2)①特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．②特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．③如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[自主检测]1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是()A．0B．1C．2 D．4解析：只有①是增函数．答案：B2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)()A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定解析：根据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定．答案：D3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |答案：B4．函数y ＝|x －1|的增区间为________．答案：[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第37页探究一由函数图象求函数的单调区间[例1] 作出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x 2＋2|x |＋3 ＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4，x ≥0－(x ＋1)2＋4，x <0. 作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．将本例函数改为f (x )＝|x 2＋2x －3|，求f (x )的单调区间．解析：令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．探究二函数单调性的证明或判断[例2] [教材P 79例3拓展探究]根据定义证明y ＝x ＋1x 在(0,1)上是单调递减． [证明] ∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，有 y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．由于0＜x 1＜1,0＜x 2＜1. ∴0＜x 1x 2＜1. ∴x 1x 2－1＜0. 又由x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0， ∴x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)＞0，∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三利用单调性求参数[例3] 已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意；当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－－12a ≥2，解得0＜a ≤14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 1)－f (x 2)＜0(或f (x 1)－f (x 2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需注意：若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．若函数f (x )＝⎩⎨⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是________．解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0]上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b2×(－1)≥0，0≤b －1，∴1≤b ≤2，即实数b 的取值范围是[1,2]．授课提示：对应学生用书第38页一、单调性定义的拓展及规律 1.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )是增函数．2.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )是减函数．3．f (x )在区间A 上是单调函数，则k ＞0时，kf (x )的单调性不变；k ＜0时，则相反．4．f (x )，g (x )在区间A 上同单调，则f (x )＋g (x )的单调性不变．5．若f (x )在区间A 上是单调函数，则1f (x )的单调性相反，2nf (x )(f (x )＞0)、2n －1f (x )(n ∈N *)的单调性相同．6．图象关于轴(与x 轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．[典例] 1.判定函数y ＝x 2－2x ＋x －1的单调性，并求单调区间．[解析] 定义域为x ≥1，函数y 1＝x 2－2x ，y 2＝x －1均为增函数，则y ＝x 2－2x＋x－1也为增函数，则y＝x2－2x＋x－1的增区间为[1，＋∞)．2．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由题意知，f(x)在R上为减函数．由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.[答案] D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误[典例]若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a 的取值范围．[解析]函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3.故实数a的取值范围是{－3}．纠错心得单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．3.2.1单调性与最大(小)值(2)义．逻辑推理、数学运算2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第39页[教材提炼]知识点函数的最值预习教材，思考问题(1)函数f(x)＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数f(x)＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标[自主检测]1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3、5B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3、0B ．3、1C ．3、无最小值D ．3、－2答案：C3．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．答案：4授课提示：对应学生用书第40页探究一利用图象法求函数的最值 [例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (0≤x ≤2)，2x －1(x ＞2)，求函数f (x )的最大值、最小值．[解析] 作出f (x )的图象如图：由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14. 所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.用图象法求最值的三个步骤已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．解析：由函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])的图象(如图所示)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．y max＝f(2)＝2，y min＝f(6)＝2 5.探究二利用单调性求最值[例2]求函数f(x)＝x2＋9－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．[解析]设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋9－x1－x22＋9＋x2＝(x1－x2)(x1＋x2)x21＋9＋x22＋9＋x2－x1.∵－4≤x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－4,0]上是减函数．∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．已知函数f(x)＝2xx＋1，x∈[－3，－2]，求f(x)的最大值和最小值．[解析]法一：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1x1＋1－2x2x2＋1＝2x1(x2＋1)－2x2(x1＋1) (x1＋1)(x2＋1)＝2(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1).由于－3≤x1＜x2≤－2，则x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．所以函数y＝2xx＋1，x∈[－3，－2]是增函数．又因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3.法二：f(x)＝2xx＋1＝2(x＋1)－2x＋1＝2＋－2x＋1，所以f(x)图象的对称中心是(－1,2)，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)是增函数，图象如图：由图象可知f (x )在[－3，－2]的值域为[3,4]，最小值为f (－3)＝3，最大值为f (－2)＝4.探究三二次函数的最值问题[例3] [教材P 80例4拓展探究] (1)已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3. ①当x ∈[－2,0]时，求f (x )的最值； ②当x ∈[－2,3]时，求f (x )的最值； ③当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．[解析] f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，开口向上． ①当x ∈[－2,0]时，f (x )在[－2,0]上是单调递减的，故当x ＝－2时，f (x )有最大值f (－2)＝11；当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝3.②当x ∈[－2,3]时，f (x )在[－2,3]上先递减后递增，故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝2. 又|－2－1|＞|3－1|，所以f (x )的最大值为f (－2)＝11.③a.当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以当x ＝t 时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋3.b ．当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时， f (x )在区间[t ，t ＋1]上先递减后递增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (1)＝2. c ．当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减，所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，综上得，g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t ＋3，t ＞1，2，0≤t ≤1，t 2＋2，t ＜0.(2)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .①当a<0时，由图可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当1≤a≤2时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a>2时，由图可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.探究四利用单调性比较大小、解不等式[例4] (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )．试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．[解析] 由题意知，f (x )的对称轴为x ＝2，故f (1)＝f (3)． ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数． ∴f (2)＜f (3)＜f (4)，即f (2)＜f (1)＜f (4)．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，解得0＜a ＜1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)， ∴1－a ＞2a －1，即a ＜23.② 由①②可知，0＜a ＜23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.1．利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1＜x 2⇔f (x 1)＜f (x 2)．(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．2．利用函数单调性解不等式与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)；当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；(2)逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．已知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解析：∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，∴⎩⎨⎧x >0，2x －3>0，x >2x －3，解得32<x <3.授课提示：对应学生用书第41页一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x 1，x 2(x 1＜x 2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．注意：若给出的是和型[f (x ＋y )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f [(x 1－x 2)＋x 2]；若给出的是积型[f (xy )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)．[典例] 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (2)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (2)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.设函数f(x)=x+ax(x≠0.且x，a∈R)．(1)判断f(x)的奇偶性，并用定义证明；(2)若不等式f(2x)<−2x+12x+6在[0,2]上恒成立，试求实数a的取值范围；(3)g(x)=1−x1+x ,x∈[0,12]的值域为A.函数f(x)在x∈A上的最大值为M，最小值为m，若2m>M成立，求正数a的取值范围．(说明：如果要用到函数的单调性，可直接交代单调性，不必证明．)2.已知函数f(x)=|3x+a|+x，x∈[1,2]，g(x)=4x+a·2x+1+1，x∈[1,2]．(1)若a≥−3，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为10，求a的值；(2)若对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，能使f(x1)+g(x2)≥0，求实数a的取值范围．3.已知函数y=f(x)，若在定义域内存在x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点．(1)若a∈R，a≠0，证明：函数f(x)=ax2+x−a必有局部对称点；(2)若函数f(x)=2x+b在区间[−1,1]内有局部对称点，求实数b的取值范围；(3)若函数f(x)=4x−m·2x+1+m2−3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．4.已知函数f(x)=2x+a．(1)当a=4，b=−2时，求满足f(x)=2x的x的值；2x+b(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数．①存在t∈[−1,1]，使得不等式f(t2−t)<f(2t2−k)有解，求实数k的取值范围；②若函数g(x)满足f(x)⋅[g(x)+2]=2x−2−x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g(2x)≥m⋅g(x)−10恒成立，求实数m的最大值．5.设函数f(x)=a2x−(t−1)(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．a x(1)求t的值；(2)若f(1)>0，求使不等式f(kx−x2)+f(x−1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；(3)若函数f(x)的图象过点(1,3)，是否存在正数m，(m≠1)使函数g(x)=m[a2x+a−2x−mf(x)]在2[1,log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x−log2(2−x+1)．(1)求f(x)的解析式；(2)设x∈[1,2]时，函数g(x)=2f(x)+m⋅2x−2m，是否存在实数m使得g(x)的最小值为5，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．7.在函数定义域内，若存在区间，使得函数值域为[m+k,n+k]，则称此函数为“k档类正方形函数”，已知函数．(1)当k=0时，求函数y=f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的最大值是1，求实数k的值;(3)当x>0时，是否存在k∈(0,1)，使得函数f(x)为“1档类正方形函数”⋅若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．8.已知函数f(x)=x−4x,x∈[1,2]．(1)判断函数y=f(x)的单调性，并求函数y=f(x)的值域;(2)设F(x)=x2+16x2−2a(x−4x),x∈[1,2]，a∈R求函数y=F(x)的最小值g(a)．(3)对(2)中的g(a)，若不等式g(a)>−2a2+at+4对于任意的a∈(−3,0)时恒成立，求实数t的取值范围．9.已知函数：f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a)．(1)证明：f(x)+2+f(2a−x)=0对定义域内的所有x都成立；(2)当f(x)的定义域为[a +12,a +1]时，求证：f(x)的值域为[−3,−2]； (3)设函数g(x)=x 2+|(x −a)f(x)|，求g(x)的最小值．10. 已知函数f (x )={ x −12,x ∈[−2,−1)−32,x ∈[−1,12)x −1x ,x ∈[12,2] ． (1)求f (x )的值域；(2)设函数g(x)=ax −2，x ∈[−2,2]，对于任意x 1∈[−2,2]，总存在x 0∈[−2,2]，使得g (x 0)=f (x 1)成立，求实数a 的取值范围．11. 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/每小时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ={175(x 2−130x +4900),x ∈[50,80)12−x 60,x ∈[80,120](1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x−x2．(1)求当x<0时，f(x)的解析式．(2)是否存在正数a，b，使得当x∈[a,b]时，g(x)=f(x)，且g(x)的值域为[1b ,1a]？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．13.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数ℎ(x)=f(x)+x．①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围．14.已知f(x)=log a1−x1+x(a>0,且a≠1)(1)求f(12010)+f(−12010)的值；(2)当x∈(−t,t](其中t∈(0,1)，且t为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)当a>1时，求满足不等式f(x−2)+f(4−3x)≥0的x的范围．15.已知，命题p：，命题q：．(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围．(2)若命题q为真命题，求实数a的取值范围．。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (12)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (12)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知函数f(x)=x2−2ax+3(a∈R).(Ⅰ)若函数f(x)在(−∞,2]上是减函数，求a的取值范围；(Ⅱ)当x∈[−1,1]时，设函数f(x)的最小值为g(a)．(i)求函数g(a)的表达式；(ii)是否存在实数m>n>0，使得函数y=g(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m2]？若存在，求出m,n的值；若不存在，请说明理由．2.已知函数f(x)=x2+(x−1)|x−a|(1)若a=−1，解方程f(x)=1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a<1且不等式f(x)≥2x−3对一切实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围3.对于定义域为D的函数f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内有单调性；②存在区间[a,b]⊆D，使f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b]，则称f(x)为D上的精彩函数，[a,b]为函数f(x)的精彩区间．(1)求精彩区间y=x3符合条件的精彩区间；(x>0)是否为精彩函数？并说明理由．(2)判断函数f(x)=x+4x(3)若函数g(x)=√x+4+m是精彩函数，求实数m的取值范围．4.已知函数y=f(x)在R上是偶函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x−3(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数y=f(x)在R上的图像，并求f(x)单调增区间和单调减区间；(3)求f(x)在[−4,4]的值域．5.已知函数f(x)=log2(2x+1)+ax(a>0)。

(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性并证明；(Ⅱ)若关于x的方程f(f(x)−a(1+x)−log4(2x−1))=1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x−2)+f(−x)=0．(1)证明：函数f(x)是周期函数．(2)当x∈[0,2]时，f(x)=1−x.若g(x)=f(x)−a|x|恰有14个零点，求实数a的取值范围．7. 已知函数y =f (x )的定义域为(0,+∞)，且满足f (xy )=f (x )+f (y )，当x ∈(1,+∞)时，有f (x )>0，且f (2)=1．(1)求不等式f (4t )−f (1−t )<2的解集；(2)对任意x ∈[0,π2]，f [2sin 2(x +π4)−2√2cos (x −π4)−5a +2]≥f (6−2a )恒成立，求实数a 的取值范围．8. 已知函数f(x)=4+m(13)x +(19)x ．(1)当m =−2,x ∈(−∞,0)时，求函数f(x)的取值范围；(2)若对任意x ∈[0,+∞),总有f(x)≤6成立，求实数m 的取值范围．9.已知函数f(x)=log121−axx−1的图象关于原点对称，其中a为常数．(1)求a的值；(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=log12(x+k)在[2,3]上有解，求k的取值范围．10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x−2)+f(−x)=0．(1)证明：函数f(x)是周期函数．(2)当x∈[0,2]时，f(x)=1−x.若g(x)=f(x)−a|x|恰有14个零点，求实数a的取值范围．11.已知函数f(x)=9x−2a⋅3x+3．(1)若a=1，x∈[0,1]时，求f(x)的值域；(2)当x∈[−1,1]时，求f(x)的最小值ℎ(a)；(3)是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当ℎ(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m2,n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．12.已知f(x)是二次函数，其图像开口向上且过点(0,0)和(5,0)，又f(x)在区间[−1,4]上的最大值是12．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式；(3)若关于t的方程g(|t|)=k至少有4个根，求实数k的取值范围．13.已知函数f(x)=2x，x∈R．(1)若函数f(x)在区间[a,2a]上的最大值和最小值之和为6，求实数a的值；(2)设函数g(x)=f(x)−λf(a)−(1−λ)f(b)，若函数g(x)在区间(a,b)上恒有零点，求实数λ的取值范围；(3)在问题(2)中，令λ=12，比较g (a+b 2)与0的大小关系，并说明理由．14. 已知函数f(x)=2x 2+ax −1,g(log 2x)=x 2−x2a−2(1)求函数g(x)的解析式(2)当a =1时，求不等式g(x)<8的解集(3)若f(x),g(x)同时满足下列两个条件：①关于t 的方程f(−t 2−3)=f(4t)在区间[1,4]上有解②对任意的x ∈(−∞,a]，不等式g(x)<8恒成立，求实数a 的取值范围15. 定义域为R 的函数f(x)满足：对任意的m,n ∈R 有f(m +n)=f(m)⋅f(n)，且当x >0时，有0<f(x)<1，f(4)=116．(Ⅰ)证明：f(x)>0在R 上恒成立；(Ⅱ)证明：f(x)在R 上是减函数；。

高中数学第三章函数的概念与性质检测试题(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试

第三章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(B)A．(－4,3) B．(－4,2]C．(－∞，2] D．(－∞，3)解析：∵集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|－4<x≤2}，用区间表示为(－4,2]，故选B.2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(B)解析：代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；又f(－1)＝2，∴排除D.3．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值X围是(D)A．a≤2 B．a≥－2C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2，或a≥2.4．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：令3x ＋2＝t ，则3x ＝t －2，故f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2. 5．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( A ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( D )A ．(－∞，3)B ．(3，＋∞)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.7．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( C )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.8．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( C )A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．9．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则a 的值为( C ) A ．0 B ．1或2 C ．1D ．2解析：二次函数y ＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象开口向上，且对称轴为x ＝a ，所以该函数在[0，a ]上为减函数，因此有a ＋2＝3且a 2－2a 2＋a ＋2＝2，得a ＝1.10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A. 11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，故④正确．12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值X 围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2)∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m ≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 1上为增函数．函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值X 围是(0,1]∪[3，＋∞)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≥2，2x ，x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝ 6.解析：∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6，当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6.14．若函数f (x )＝x(x ＋1)(2x －a )为奇函数，则a ＝2.解析：由题意知x ≠－1且x ≠a2.因为函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故x ≠1，即a2＝1，a ＝2.15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫1，32.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋a －1，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥(3－2a )×1－1，解得1≤a <32.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求f (－1)以及实数m 的值；(2)在给出的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象并写出f (x )的单调区间．解：(1)由已知得f (1)＝1，又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－1.又由函数表达式可知f (－1)＝1－m ，所以1－m ＝－1，所以m ＝2. (2)y ＝f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1]．y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 18．(12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，某某数a 的取值X 围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值X 围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.19．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求：(1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)，由2≤x 1<x 2≤6可得2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减．故当x ＝2时，f (x )取得最大值－43；当x ＝6时，f (x )取得最小值－127.20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|，a 为实数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,3]上的最小值和最大值；(2)若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，某某数a 的取值X 围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1或x >2，2x 2－x －2，－1≤x ≤2，结合图象可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14 ，3上单调递增， f (x )在[0,3]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫14＝－178， f (x )在[0,3]上的最大值为f (3)＝5. (2)令x 2－ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0，必有两根x 1＝a －a 2＋82，x 2＝a ＋a 2＋82， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 2＋82≥－1a 4≤2，即可，解得1≤a ≤8.21．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费时，超过部分每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：的值．解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m . ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②，得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a . ④ ③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13，这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1. (1)求m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)若f (x )≤a 3对x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13恒成立，求a 的取值X 围．解：(1)因为奇函数f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.故有f (0)＝0＋m 02＋n ×0＋1＝0，解得m ＝0.所以f (x )＝x x 2＋nx ＋1. 由f (－1)＝－f (1)．即－1(－1)2＋n ×(－1)＋1＝－112＋n ×1＋1，解得n ＝0.所以m ＝n ＝0.(2)证明：由(1)知f (x )＝x x 2＋1，任取－1<x 1<x 2<1. 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1 ＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 22－x 2x 21＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1，所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，13上为增函数，故最大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝310.由题意可得a 3≥310，解得a ≥910. 故a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫910，＋∞.。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (7)(含解析)

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (7)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知函数f(x)=|1x −1|+12(x>0)．(1)若m>n>0时，f(m)=f(n)，求1m +1n的值；(2)若m>n>0时，函数f(x)的定义域与值域均为[n,m]，求所有m，n值．2.已知函数f(x)=(t−1)13x+3x(x∈R)为偶函数.(1)求实数t的值；(2)求不等式f(2x)<103的解集；(3)若不等式f(x)+4<mf(x)有实数解，求实数m的取值范围.3.已知函数f(x)=x2−2|x−a|．(1)若函数y=f(x)为偶函数，求a的值；(2)若对任意的x∈[0,+∞)，不等式f(x)+2≥0恒成立，求实数a的取值范围．4.已知幂函数f(x)=(3m2−2m)x m−12在(0,+∞)上单调递增，g(x)=x2−4x+t．(1)求实数m的值；(2)当x∈[1,9]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围．5.设a,b∈R，若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a−x)=2b，则函数f(x)关于点(a,b)中心对称；反之，若函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称，则函数f(x)定义域内的任意x都满足，f(x)+f(2a−x)=2b.已知函数g(x)=5x+3x+1(1)证明g(x)的图象关于点(−1,5)中心对称；,1]使得ℎ(x1)=g(x2)成立，(2)已知函数ℎ(x)=x2−mx+m+1任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[−23求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)=ax2−2ax+b(a>0)在区间[−1,4]上有最大值10和最小值1，设g(x)=f(x)．x(1)求a、b的值；(2)证明：函数g(x)在[√b,+∞)上是增函数；(3)若不等式g(√x)−k⋅√x≥0在x∈[1,4]上有解，求实数k的取值范围．47.函数f(x)=ax2−|x|+2a−1(a为实常数)(1)若a=1,求f(x)的单调区间；(2)若a>0，设f(x)在区间[1,2]的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设ℎ(x)=f(x)，若函数ℎ(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．x8.某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单t+30，销售量Q(kg)与时间t(天)的函数关系价P(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为P=14式为Q=−2t+120．(1)该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？(2)为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1kg水果就捐赠n(n∈N)元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间t(t∈N)的增大而增大，求捐赠额n的值．9.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)．x(1)求a,b的值；(2)不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；−3)=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．(3)方程f(|2x−1|)+k(2|2x−1|a)，其中f(x)是偶函数．10.已知f(x)=log4(4x+1)+kx，与g(x)=log4(a⋅2x−43(1)求实数k的值；(2)求函数g(x)的定义域;(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的范围．11.已知函数f(x)=x2+2|x−a|−4，(其中a为常数)(1)若a=2，写出函数f(x)的单调递增区间(不需写过程)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；(3)若对任意实数x，不等式f(x)≥−1恒成立，求实数a的取值范围．12.一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”．(1)若[1,b]为f(x)=x2−2x+2的跟随区间，求出b的值．(2)若函数f(x)=m−√x+1存在跟随区间，求出m的取值范围．x2+x是否存在“3倍跟随区间”若存在求出“3倍跟随区间”，若不存(3)二次函数f(x)=−12在说明理由13.设a∈R，函数f(x)=|x2+ax|．(1)若f(x)[0,1]单调递增，求a的取值范围；(2)记M(a)为f(x)上[0,1]上的最大值，求M(a)的最小值．14.设函数f(x)=x ax−xlnx−1(x>0)，其中a为常数．(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若a>0，试讨论f(x)的零点个数．15.已知函数f(x)=2x(x∈R)．(1)解不等式；(2)若函数在[−1,1]上有零点，求m的取值范围；(3)若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，其中g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数，若不等式2ag(x)+ℎ(2x)⩾0对任意x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值范围．。

高一数学新教材人教版必修一第三章函数的概念与性质测试卷含答案

值;
（Ⅲ）若 f (x) 在区间[2, ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
19.（本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
ax x2
b 1
是定义在
(1,1)
上奇函数,
且 f (1) 3 .
3 10
（Ⅰ）判断函数 f (x) 在 (1,1) 上的单调性，并用
定义证明；
（Ⅱ）若实数 t 满足 f (2t 1) f (t 1) 0 ，求实
4
5.令 t 1 x 0, 则 y 2 2t2 t 2(t 1)2 17 17
4 88
6.
y
x(x 2),(x x(x 2),(
2) x 2)
，作出图象即可.
7.函数 f (x) ax 2a 1,(a 0) 在 (0, ) 上单 x
调递增,又 m2 1 0,m2 m 3 0
x3 数,则实数 a 的取值范围是
15.已知函数 f (x) x5 3x3 5x 3 ,若 f (a) f (a 2) 6 ，则实数 a 的取值范围是
16.已知 m R ,函数 f (x) x 3 m m 在[2, x 1
5] 上的最大值是 5 ,则 m 的取值范围是
三、解答题：（写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）设函数 f (x) ax2 (b 2)x 3 . （Ⅰ）若 f (1) 3 ，且 a 0,b 0 ,求 b 1 的最
9.已知奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 2 对称,
且 f (m) 3,且 f (m 4) 的值为（）
A. 3
B. 0
C. 3
D. 1
3
10.已知函数 f (x 1) 是偶函数,且 x 1 时, f (x) 单调递减,设 a f ( 1),b f (3),c f (0) ，则 a,

(新教材)人教A版-数学必修第一册第三章函数的概念与性质测试题含答案

绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第三章函数的概念与性质测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.设f(x)＝{x−2，x≥10，f(f(x+6))，x<10，则f(5)的值为()A． 10B． 11C． 12D． 132.已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )A．y＝f(|x|)B．y＝f(－|x|)C．y＝|f(x)|D．y＝－f(|x|)3.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如下图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为()A． 3B． 2C． 1D． 04.若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点()A． (－2,4)B． (1,1)C． (4,4)D． (1,7)5.奇函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，那么f(x)在区间[－7，－3]上() A．是增函数且最小值为5B．是增函数且最大值为5C．是减函数且最小值为5D．是减函数且最大值为56.一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数仅有一个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－77.函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则()A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝28.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调增区间为()A． (－∞，0]B． [0，＋∞)C． (－∞，＋∞)D． [1，＋∞)9.下列关于幂函数的命题中正确的是()A．不存在非奇非偶的幂函数B．如果一个幂函数是奇函数，则它的图象一定过原点C．如果幂函数的图象不过点(－1,1)，则它一定不是偶函数D．若两个幂函数的图象有三个不同的公共点，则这两个幂函数一定是相同的10.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,4)，则下列命题中不正确的是()A．函数图象过点(－1,1)B．当x∈[－1,2]时，函数f(x)取值范围是[0,4]C．f(x)＋f(－x)＝0D．函数f(x)单调减区间为(－∞，0)11.某商品1月份降价10%，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与1月份降价前相同，则连续上涨三次的价格平均回升率为()3－1A．√1093＋1B．√1092－1C．√109D．3√3312.建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，若池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米2，则总造价与一底边长x的函数关系式为()A．y＝320(x＋4)x)＋480B．y＝320(x＋4x)C．y＝160(x＋4x)＋240D．y＝160(x＋4x第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．14.若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．15.给出下列说法：①y＝x2－2|x|－3的递增区间为[1，＋∞)；②定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则f(x)在R上是增函数；③f(x)＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．正确的为________________．16.为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．三、解答题(共6小题, 共70分)17.已知f(x)＝{x2，−1≤x≤1，1，x>1或x<−1.(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．18.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足P＝{t+20,1≤t≤24，t∈N，−t+100,25≤t≤30，t∈N.商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Q＝－t＋40(1≤t≤30，t∈N)．求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．19.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．20.已知函数f(x)＝x＋4x，x∈[1,3]．(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．21.已知函数f(x)＝x－1x.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)用定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数；(3)若函数f(x)在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于11a−22a，求a的取值范围．22.已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案1.【答案】B【解析】f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.2.【答案】B【解析】由图知：当x<0时，图②中图象与图①中一致，即y＝f(x)；当x>0时，图②中图象是图①中y轴左侧图象关于y轴的对称图象，即y＝f(－x)．故选B.3.【答案】B【解析】由y＝g(x)的图象与y＝f(x)的对应关系表可知g(2)＝1，f(1)＝2，所以f[g(2)]＝f(1)＝2，故选B.4.【答案】C【解析】本题考查图象的左右平移，由于P(1,4)在y＝f(x＋3)的图象上，y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到的．因此P(1,4)也向右平移3个单位长度，变成(4,4)，故选C. 5.【答案】B【解析】函数y＝f(x)是奇函数，在[a，b]上是增函数，则在[－b，－a]上也是增函数；因为奇函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，即f(3)＝－5，所以函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上也是增函数，则x∈[－7，－3]时，f(x)≤f(－3)＝－f(3)＝5，即函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上的最大值是5.故选B.6.【答案】C【解析】结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有两个单调递增区间，两个单调递减区间，且定义域内有最大值7，有最小值－2.7.【答案】D【解析】设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.∵x2－x1>0，又当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1，∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，故选D.8.【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为(－∞，0]．9.【答案】C【解析】幂函数y ＝x －12既不是奇函数，也不是偶函数．幂函数y ＝x －1是奇函数，它的图象不过原点．幂函数y ＝x 2和幂函数y ＝x 4有三个公共点(1,1)，(0,0)，(－1,1)，它们是不同的幂函数，于是A ，B ，D 都不正确．若幂函数是偶函数，则f (－1)＝f (1)＝1，其图象一定过点(－1,1)，所以答案为C.10.【答案】C【解析】∵幂函数y ＝xα的图象经过点(2,4)，∴4＝2α，即22＝2α.解得α＝2.故函数的解析式为y ＝x 2，故函数图象经过点(－1,1)，A 正确；当x ∈[－1,2]时，函数f (x )的值域是[0,4]，B 正确；由于f (－x )＝(－x )2＝x 2，函数不满足f (x )＋f (－x )＝0，C 错；函数f (x )的单调减区间为(－∞，0]，D 正确．故选C.11.【答案】A【解析】(1－0.1)(1＋x )3＝1⇒x ＝√1093－1. 12.【答案】B【解析】因为建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，一底边长x ，所以另一底边长为4x ，y ＝120×x ·4x ＋2(2x ＋2×4x)×80＝320(x ＋4x )＋480 ，故选B. 13.【答案】{2}∪[－1,1]【解析】设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解；当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2，即－1≤x ≤1或x ＝2.14.【答案】(－∞，0]【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )，∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]．15.【答案】②【解析】①因为y ＝x 2－2|x |－3＝{x 2−2x −3，x ≥0x 2+2x −3，x <0，所以y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)和(－1,0)，不正确．②因为f (a )−f(b)a−b >0，所以a >b ，则f (a )>f (b )，或a <b ，则f (a )<f (b )，根据增函数的定义可知此命题正确．③函数f (x )＝1x 的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，但(－∞，0)∪(0，＋∞)不是其单调减区间．不正确．16.【答案】9【解析】由题目可知加密密钥y ＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝12，则y ＝x 12.由x 12＝3，得x ＝9.17.【答案】(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1]．18.【答案】设日销售金额为y 元，则y ＝P ·Q ，所以y ＝{−t 2+20t +800，1≤t ≤24，t ∈N ，t 2−140t +4000，25≤t ≤30，t ∈N ，即y ＝{−(t −10)2+900，1≤t ≤24，t ∈N ，(t −70)2−900，25≤t ≤30，t ∈N ，当1≤t ≤24，t ∈N 时，t ＝10，y max ＝900；当25≤t ≤30，t ∈N 时，t ＝25，y max ＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大．19.【答案】设f (x )在x ∈[－2,2]的最小值为f (x )min ，则只需f (x )min >0，又其图象的对称轴为直线x ＝－a 2，则(1)当－a 2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a >0，得a <73.又a >4，故此时a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝3－a －a 24>0，解得－6＜a ＜2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ＜2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝7＋a >0，得a >－7.又a <－4，故－7<a <－4.综上可得，a 的取值范围为－7<a <2.20.【答案】(1)设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4，∴4x1x 2>1. ∴1－4x 1x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在[1,2]上是减函数．当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9，∴0<4x 1x 2<1. ∴1－4x 1x 2>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[2,3]上是增函数．(2)由(1)知f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4. 又∵f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，∴f (x )的最大值为5.21.【答案】(1)函数f (x )＝x －1x 是奇函数，∵函数f (x )＝x －1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x 轴上关于原点对称，且f (－x )＝－x －1−x ＝－(x －1x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝x －1x 是奇函数．(2)证明设任意实数x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－1x 1)－(x 2－1x 2)＝(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2＋1>0，∴(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．(3)∵[2，a ]⊆[1，＋∞)，∴函数f (x )在区间[2，a ]上也为增函数．∴f (x )max ＝f (a )＝a －1a ，f (x )min ＝f (2)＝32，若函数f (x )在区间[2，a ]上的最大值与最小值之和不小于11a−22a ，则a －1a ＋32≥112－1a ，∴a ≥4，∴a 的取值范围是[4，＋∞)．22.【答案】(1)对于幂函数f (x )＝x (2－k )(1＋k )满足f (2)<f (3)，因此(2－k )(1＋k )>0，解得－1<k <2.因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1.当k ＝0时，f (x )＝x 2，当k ＝1时，f (x )＝x 2，综上所述，k 的值为0或1，f (x )＝x 2.(2)函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x＝－mx 2＋(2m －1)x ＋1，由于要求m >0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为 x ＝2m−12m ，当m >0时，2m−12m ＝1－12m <1，因为在区间[0,1]上的最大值为5，所以{1−12m >0，g (1−12m )=5或{1−12m ≤0，g (0)=5，解得m ＝52＋√6，满足题意．。