人教版九年级数学上册课件：22.2 二次函数与一元二次方程
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人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
人教版九年级数学：22.2 二次函数与一元二次方程 (共27张PPT)
∴y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2. y＝－2(x－2)2＋2－k，实际上是原抛物线下移 k 个单位，由题 中图形知，当 k＜2 时，抛物线与 x 轴有两个交点．所以 k＜2.
规律总结：二次函数与一元二次方程的关系 1．从“形”的方面看： 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标，即为一元二 次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解． 2．从“数”的方面看： 当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的函数值等于 0 时，相应的自变 量的值即为一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解．Fra bibliotek
题组A 二次函数与一元二次方程的关系 1．(2015·苏州)若二次函数y＝x2＋bx的图象的 对称轴是经过点 (2,0) 且平行于 y 轴的直线，则 2＋bx＝5的解为( 关于x 的方程 x ) D A．x1＝0，x2＝4 B.x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D.x1＝－1，x2＝5
(1)从函数与方程的关系的角度： 利用 b2－4ac 的符号可判断
抛物线与 x 轴交点个数； (2)从形的角度： 根据其开口方向和顶点 的位置可判断抛物线与 x 轴交点个数．
【猜一猜】 二次函次 y＝x2－2x＋1 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1,0) ．
【辨一辨】 1．若函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 则k的取值范围是k≤4且k≠3.( ) 2．抛物线y＝x2－4× x＋k与x轴的一个交点的坐标为 (－1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 (3,0)．( )
知识点 2 用函数图象求一元二次方程的根的近似值 【例 2】利用二次函数的图象求一元二次方程 x2－2x－1＝0 的近似解(精确到 0.1)．
《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1
有两个交点:
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
学习目标(1分钟)
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根.
2.能利用图象确定方程的根和不等式的解集。
还可以解一元二自次学方指导一(3分钟) 思程考求：近由似图值象如何估计一元二次方程x2 +2x-10=0的根？ 由图象知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2 和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.
(2)经过_1_0_s ，炮弹落在地上爆炸．
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c与直线__y_=_h___交点的__横__坐标.
变式：（2019春•天心区校级期中）函数y=ax²+bx+c 的图象 如图所示，那么关于一元二次方程ax²+bx+c-2=0的根的情况
对应值：
x
1
1.1 1.2 1.3 1.4
y
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( C )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)
与飞行时间x(s)的关系满足:y=-x2＋10x． (1)经过_5___s，炮弹达到最高点，最高点的高度是_2_5_m．
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此x=-4.3是方程的一用个图近象似法根求一元二次 (2)另一个根可以类似的方求程出的：近似根时，结 x 2.1 2.2 2.3 果只2.取4到十分位
人教版《二次函数与一元二次方程》教学课件PPT1
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
4
易错点：K-1≠0
课堂小结（2分钟）
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴(直线y=0)交点的坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数（判别式）
方程的根即交点横坐标
当堂训练（15分钟） 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为(_2_,_0_)_,_(_-.5,0) 2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_8___.
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
方法一：
解 :当 h 60时 ,得 5t2 40t 60
解 得 : t1 2 , t2 6
方法二：由图象可得 当 h 60时 ，
t1 2, t2 6
答：小球经过2s或6s时小球离地面的高度是60m.
自学指导二（4分钟）
1.每个图象与x轴有几个交点？怎么利用方程判断？
.
2已0知=2二0t次-5t函2,数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是____________.
反一过元来 二，次解方方程程axx22+－bx4+xc+=30=的0根又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
4
易错点：K-1≠0
课堂小结（2分钟）
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴(直线y=0)交点的坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数（判别式）
方程的根即交点横坐标
当堂训练（15分钟） 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为(_2_,_0_)_,_(_-.5,0) 2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_8___.
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
方法一：
解 :当 h 60时 ,得 5t2 40t 60
解 得 : t1 2 , t2 6
方法二：由图象可得 当 h 60时 ，
t1 2, t2 6
答：小球经过2s或6s时小球离地面的高度是60m.
自学指导二（4分钟）
1.每个图象与x轴有几个交点？怎么利用方程判断？
.
2已0知=2二0t次-5t函2,数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是____________.
反一过元来 二，次解方方程程axx22+－bx4+xc+=30=的0根又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
22.2二次函数与一元二次方程课件-2021--2022学年人教版九年级数学上册
9.(2021独家原创试题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图22-2-3所示,
根据图象解答下列问题:
(1)方程ax2+bx+c=0的根是
;
(2)当x
时,y随x的增大而减小;
(3)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是
.
图22-2-3
解析 (1)x1=1,x2=-3. (2)<-1. (3)-3<x<1.
A.①②
B.①③
图22-2-8 C.②③
D.①②③
答案 A 由题意知x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标,∵抛物线的对称
轴为直线x=-1,x2<x1,0<x1<1,∴-3<x2<-2,故①正确;∵抛物线的对称轴为直
线x=-1,即-
b 2a
=-1,∴x1+x2=-
b a
=-2,故②正确;∵图象与y轴的交点坐标为
13.(2021湖北襄阳宜城期中,5,★☆☆)抛物线y=3x2-2x+1与坐标轴的交点 个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 B ∵Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0,∴抛物线与x轴没有交点,而抛物线y=3x2-
2x+1与y轴的交点为(0,1),∴抛物线y=3x2-2x+1与坐标轴的交点个数为1. 故选B.
15.(2020湖北荆门中考,10,★★☆)若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象 限中的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( ) A.有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根 C.有一个大于1另一个小于1的实数根 D.没有实数根
新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》(第2课时)课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
九年级上册数学教学课件22.2二次函数与一元二次方程
-3
-4
-5
课程讲授
2 利用二次函数求一元二次方程根的近似值
利用二次函数求一元二次方程根的近似值： 画出对应的二次函数图象，根据图象估计出一个根，再根 据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到 计算的准确性，故估计尽量要准确．
课程讲授
2 利用二次函数求一元二次方程根的近似值
练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函 数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)
随堂练习
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解 答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围; (3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的 实数根，求k的取值范围.
解 (1)由图象可知x1=1,x2=3. (2)由图象可知x>2. (3)由图象可知k<2
4
x+1=0__无__解____
3
2
抛物线y = x2－6x＋9与x轴公
1
共点个数为__1__,方程 x2－
6x＋9=0_有__两__个__相__等__的__实__数__解
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1
y=x2+x-2
-2
-3
-4
2 34 5
y=x2-6x+9
x 抛物线y = x2＋x－2与x轴公共
随堂练习
6.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共 点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数 根.”请根据你对这句话的理解，解决下列问题：若m， n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且a<b，则
人教版初中数学《二次函数与一元二次方程》_PPT课件
2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，
对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( ) A A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3
D．x＝－2
3．二次函数y＝x2－2x－3与x轴的两个交点之间的距离为__4__．
4．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程ax2＋bx＋c＝k＝1，x2＝3 (2)1<x<3 (3)x>2 (4)k<2
【获奖课件ppt】人教版初中数学《二 次函数 与一元 二次方 程》_p pt课件 1-课件 分析下 载
7．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c
为常数)一个解的范围是( C )
A.3<x<3.23
B．3.23<x<3.24
x
3.23 3.24 3.25 3.26
C．3.24<x<3.25 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
D．3.25<x<3.26
【获奖课件ppt】人教版初中数学《二 次函数 与一元 二次方 程》_p pt课件 1-课件 分析下 载
10．已知抛物线 y＝x2－2x＋1 与 x 轴的一个交点为(m，0)，则代数 式 m2－2m＋2017 的值为( B )
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
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交点C的坐标为(0,2), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= 12×1×2+ 12×2×2=3.
利用函数图象求不等式的解集
考查角度1 利用图象求自变量的取值范围
例4 阅读材料,解答问题：利用图象法解一元二次不等式x2+2x-3<0.
解:设y=x2+2x-3,则y是x的二次函数.∵a=1>0, ∴抛物线开口向上.当y=0时,x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3. ∴二次函数y=x2+2x-3的大致图象如图22 - 45所示. 观察函数图象可知当-3<x<1时,y<0. ∴x2+2x-3<0的解集是-3<x<1. (1)观察图象,直接写出一元二次不等式x2+2x-3>0的解集; (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式-2x2-4x+6>0.
考查角度2 利用图象的平移或对称求方程的解
例2 若二次函数y=m(x+h)2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的
图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+
k=0的两根为( B )
A.x1=-5,x2=0
B.x1=-1,x2=4
C.x1=-2,x2=4
D.x1=-5,x2=1
ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19.
【解题归纳】根据函数y=ax2+bx+c图象上的点的坐标确定方程 ax2+bx+c=0的根的范围，就是求出函数值为0时对应的x的取值范 围.
1.(2015·沙县校级质检)已知二次函数y=x2+2x-k,小聪 利用计算器列出了下表:
x
观察图象可知它们的交点坐标是(-3,12),(1,0)，
∴方程组的解为:
x1 y1
3， 12，
x2 y2
4， 0.
3.如图所示,抛物线y=x2与直线y=x+2交于A,B两点,求 △AOB的面积.
y x2,
解:由题意,得
y
x
2，解得
x1 2, x1 1,
y1
4， y2
1,
∴A,B两点的坐标分别为(-1,1),(2,4)
4.(2015·洛阳校级月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答 下列问题.(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3) 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
的取值范围是( C )
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y
-0.03 -0.01 0.02 0.06
A.6＜x＜6.17
B.6.17＜x＜6.18
C.6.18＜x＜6.19
D.6.19＜x＜6.20
〔解析〕由表格中的数据，得在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增
大而增大，当x=6.18时，y=-0.01，当x=6.19时，y=0.02，故方程
∵a=-2<0,∴抛物线开口向下, 又∵当y=0时,-2x2-4x+6=0,解得x1=1,x2=-3. ∴二次函数y=-2x2-4x+6的大致图象如图所示, 观察函数图象可知当-3<x<1时,y>0. ∴-2x2-4x+6>0的解集是-3<x<1. 【解题归纳】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分对应的x的取值 范围就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;在x轴下方的部分对应 的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
〔解析〕二次函数y=m(x+h-2)2+k的图象可以看成是二次函数 y=m(x+h)2+k的图象向右平移2个单位得到的,则其与x轴的交点为 (-1,0),(4,0).方程m(x+h-2)2+k=0的两根可以看成是函数y=m(x+h2)2+k的图象与x轴的两个交点的横坐标,即为x1=-1,x2=4.
【解题归纳】二次函数y=m(x+h-2)2+k与y=m(x+h)2+k的图象 形状相同,位置不同,可以通过平移互相得到.
2.(2015·广州模拟)小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的 根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方 程的另一个近似根(精确到0.1)为 ( D )
A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
[提示:由题意知抛物线与x轴的一个交点为(-3.4,0),又抛 物线的对称轴为直线x=-1,∴另一个交点坐标为(1.4,0), 则方程的另一个近似根为1.4.]
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y=x2+2x-k -1.39
-0.76
-0.11
0.56
那么方程x2+2x-k=0的一个近似根是( C )
A.-4.1
B.-4.2 C.-4.3
D.-4.4
[提示:由y=x2+2x-k的图象及性质,得x<-1时,y随x的增 大而减小.当x=-4.4时,y=0.56,当x=-4.3时,y=-0.11, ∴x2+2x-k=0的一个近似根满足-4.4<x<-4.3, ∵|-0.11|=0.11<|0.56|=0.56,∴x2+2x-k=0的一个近似根 是x≈-4.3.]
考查角度3 函数图象的交点与方程组的解
例3
利用函数图象求方程组
y y
3x x2 x
3，的解.
〔解析〕将y=-3x+3与y=x2-x看成两个函数的解析式,在直角坐标系
中画出这两个函数的图象,则它们交点的坐标就是该方程组的解.
解:如图所示,在同一直角坐标系中画出函数y=-3x+3与y=x2-x的图象，
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
利用函数图象求方程或方程组的解
考查角度1 利用图象上的点求方程的解的范围
例1 (2015·乐平一模)下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a，b，c是 常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x
〔解析〕(1)根据函数图象,写出抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围即 可;(2)先判断出抛物线开口向下,再令y=0求出抛物线与x轴的交点的横坐标,画出 函数的图象,然后写出抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围即可.
解:(1)x2+2x-3>0的解集是x>1或x<-3. (2)设y=-2x2-4x+6,则y是x的二次函数,
利用函数图象求不等式的解集
考查角度1 利用图象求自变量的取值范围
例4 阅读材料,解答问题：利用图象法解一元二次不等式x2+2x-3<0.
解:设y=x2+2x-3,则y是x的二次函数.∵a=1>0, ∴抛物线开口向上.当y=0时,x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3. ∴二次函数y=x2+2x-3的大致图象如图22 - 45所示. 观察函数图象可知当-3<x<1时,y<0. ∴x2+2x-3<0的解集是-3<x<1. (1)观察图象,直接写出一元二次不等式x2+2x-3>0的解集; (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式-2x2-4x+6>0.
考查角度2 利用图象的平移或对称求方程的解
例2 若二次函数y=m(x+h)2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的
图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+
k=0的两根为( B )
A.x1=-5,x2=0
B.x1=-1,x2=4
C.x1=-2,x2=4
D.x1=-5,x2=1
ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19.
【解题归纳】根据函数y=ax2+bx+c图象上的点的坐标确定方程 ax2+bx+c=0的根的范围，就是求出函数值为0时对应的x的取值范 围.
1.(2015·沙县校级质检)已知二次函数y=x2+2x-k,小聪 利用计算器列出了下表:
x
观察图象可知它们的交点坐标是(-3,12),(1,0)，
∴方程组的解为:
x1 y1
3， 12，
x2 y2
4， 0.
3.如图所示,抛物线y=x2与直线y=x+2交于A,B两点,求 △AOB的面积.
y x2,
解:由题意,得
y
x
2，解得
x1 2, x1 1,
y1
4， y2
1,
∴A,B两点的坐标分别为(-1,1),(2,4)
4.(2015·洛阳校级月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答 下列问题.(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3) 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
的取值范围是( C )
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y
-0.03 -0.01 0.02 0.06
A.6＜x＜6.17
B.6.17＜x＜6.18
C.6.18＜x＜6.19
D.6.19＜x＜6.20
〔解析〕由表格中的数据，得在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增
大而增大，当x=6.18时，y=-0.01，当x=6.19时，y=0.02，故方程
∵a=-2<0,∴抛物线开口向下, 又∵当y=0时,-2x2-4x+6=0,解得x1=1,x2=-3. ∴二次函数y=-2x2-4x+6的大致图象如图所示, 观察函数图象可知当-3<x<1时,y>0. ∴-2x2-4x+6>0的解集是-3<x<1. 【解题归纳】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分对应的x的取值 范围就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;在x轴下方的部分对应 的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
〔解析〕二次函数y=m(x+h-2)2+k的图象可以看成是二次函数 y=m(x+h)2+k的图象向右平移2个单位得到的,则其与x轴的交点为 (-1,0),(4,0).方程m(x+h-2)2+k=0的两根可以看成是函数y=m(x+h2)2+k的图象与x轴的两个交点的横坐标,即为x1=-1,x2=4.
【解题归纳】二次函数y=m(x+h-2)2+k与y=m(x+h)2+k的图象 形状相同,位置不同,可以通过平移互相得到.
2.(2015·广州模拟)小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的 根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方 程的另一个近似根(精确到0.1)为 ( D )
A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
[提示:由题意知抛物线与x轴的一个交点为(-3.4,0),又抛 物线的对称轴为直线x=-1,∴另一个交点坐标为(1.4,0), 则方程的另一个近似根为1.4.]
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y=x2+2x-k -1.39
-0.76
-0.11
0.56
那么方程x2+2x-k=0的一个近似根是( C )
A.-4.1
B.-4.2 C.-4.3
D.-4.4
[提示:由y=x2+2x-k的图象及性质,得x<-1时,y随x的增 大而减小.当x=-4.4时,y=0.56,当x=-4.3时,y=-0.11, ∴x2+2x-k=0的一个近似根满足-4.4<x<-4.3, ∵|-0.11|=0.11<|0.56|=0.56,∴x2+2x-k=0的一个近似根 是x≈-4.3.]
考查角度3 函数图象的交点与方程组的解
例3
利用函数图象求方程组
y y
3x x2 x
3，的解.
〔解析〕将y=-3x+3与y=x2-x看成两个函数的解析式,在直角坐标系
中画出这两个函数的图象,则它们交点的坐标就是该方程组的解.
解:如图所示,在同一直角坐标系中画出函数y=-3x+3与y=x2-x的图象，
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
利用函数图象求方程或方程组的解
考查角度1 利用图象上的点求方程的解的范围
例1 (2015·乐平一模)下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a，b，c是 常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x
〔解析〕(1)根据函数图象,写出抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围即 可;(2)先判断出抛物线开口向下,再令y=0求出抛物线与x轴的交点的横坐标,画出 函数的图象,然后写出抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围即可.
解:(1)x2+2x-3>0的解集是x>1或x<-3. (2)设y=-2x2-4x+6,则y是x的二次函数,