单位圆与诱导公式(二)

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单位圆与诱导公式

2.推导诱导公式（1）角与的正弦函数、余弦函数关系：
y P(u,v)
公式（2）
o

x P'(u,-v)
sin( ) sin cos( ) cos
例：（ 1） sin( ) sin 2 4 2 4

（2）cos（ -

6
） cos
任意负角的三角函数 0到2π的角的三角数
用公式一或二用公式
任意正角的三角函数
用公式一
三或四或五
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，化成锐角再查表
点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：
负化正，大化小，化成锐角再查表
注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的，如本例（1）完全可以这样来解：
（2）角与的正弦函数、余弦函数关系：公式（4）
sin －sin
cos －cos
回顾：
y

P(u,v) o
5 (3) cos( ) 4
2 cos( ) cos 4 4 2

x
P'(-u,-v)
角与

2
的正弦函数、余弦函数关系
4.3 单位圆与诱导公式
（第一课时）
即u cos，v sin
P(u,v) 1.在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作 v sin ；点P的横坐标u叫作角余弦函数，记作 u cos.

单位圆与诱导公式

常用诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的三角函数：sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos αtan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α公式二：设α为任意角，π+α与α的三角函数： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α公式三：任意角α与 -α的三角函数：sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α公式四：设α为任意角，π-α与α的三角函数：sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos αtan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α公式五：设α为任意角，2π-α与α的三角函数：sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α公式六： π/2±α与α的三角函数：sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin αtan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan αsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin αtan （π/2－α）＝cot α奇变偶不变，符号看象限！单位圆与诱导公式一、选择题1、sin 330°等于（ B ）A.2-B.12-C.12D.22、sin 210°=（ D ）B. C.12 D.12-3、sin (1-920)°等于（ D ）A.12B.12- D. 4、如果1sin()2A π+=-，那么sin(6)A π-为（ B ）A.12B.12-C.2-D.25、当n Z ∈在①s i n 3n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②s i n 23n ππ⎛⎫± ⎪⎝⎭；③s i n (1)3n n ππ⎡⎤+-⋅⎢⎥⎣⎦；④c o s 2(1)6n n ππ⎡⎤+-⋅⎢⎥⎣⎦中与sin 3π相等的是（ D ） A.①与② B.①与④ C.②与③ D.③与④6、已知()sin f x x =，下列式子成立的是（ C ）A.()sin f x x π+=B.(2)sin f x x π-=C.()cos 2f x x π-=- D.()()f x f x π-=- 7、设()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中、、、a b αβ为非零常数.若(2010)1f =-，则(2011)f =（ C ）A.-1B.0C.1D.2 8、已知sin (0),()(1)1(0),x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则111166f f ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ C ）A.-1B.2C.-2D.-39、sin 480°的值是（ D ）A.12-B.2-C.12D.210、已知3sin 25α=，4cos 25α=-，那么α的终边在（ D ） A.第一象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限11、已知sin110°a =，则有cos20°=（ A ）A.aB.a - D.12、已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ B ）A.13B.13-C.3D.3- 二、填空题1、如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭52、已知sin()cos()()sin cos k k y k Z παπααα++=+∈，则y 的值构成的集合是 {}2,2- . 3、若sin 6a πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= -a .4、若(cos )cos2f x x =，则(sin15)°f = 2-. 5、若(cos )cos3f x x =，则(sin30)°f = -1 .6、若α角的终边在直线3yx =-上，则310sin cos αα+= 0 . 三、解答题1、求值：sin1500cos °(1-860)°cos1+395sin(960)°°-.2、已知sin()1αβ+=，求证：sin(2)sin αββ+=. 提示：22k παβπ+=+3、已知(cos )cos17f x x =，证明：(sin )sin17f x x =.。

§4.3单位圆与诱导公式(二)

高一年级数学学科
编号：27 班级：学生姓名：设计人：史旭龙审核人：安仓娃
课题：§4.3单位圆与诱导公式（二）
【学习目标】理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简.
【学习重点】诱导公式的推导及应用；
【学习难点】相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
第一部分【自主学习】
1、如图：设锐角的终边与单位圆相交于点P （a ，b ），角2π
α
+的终边与单位圆交于点'p 则点'p 的坐标为，
观察点'p 的坐标，从中发现角α与
2πα+的三角函数值之间
的关系为：
公式六：。

2、公式七：sin()________,cos()__________22
ππαα-=-= 第二部分【合作探究】
1、求下列三角函数值：
（1）5cos()23ππ+ （2）15sin()2
π-
（3）5115sin
cos()sin cos 6464
ππππ-+
3、化简
第三部分【课堂练习】
1、完成下列公式公式六：sin()2πα-= ；cos()2
πα-= ；公式七：sin()2πα+= ；cos()2
πα+= . 2、已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： 2
cos 2sin A C B =+
第四部分【课后反思】
相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识；诱导公式的推导及应用 11sin(2)cos()cos()cos()229sin()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+。

单位圆的对称性与诱导公式

出发，可以得到正（余）弦函数的那些性质？
轴对称点的坐标是什么?
点Px，y关于原点对称点 P1 x， y，关于
x 轴对称点 P2 x，-y ，关于 y 轴对称点P3 x，y
1.以旧引新，提出课题
终边相同的角的同名正(余)弦函数值相同；除此之外还有一些角，已知角正（余）弦函数值，那么，能否用它表示相关角（如，，）的正（余）弦函数值？
p与 P关于原点对称, Pu, v
③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即与
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
公式三
r 1
sin v cos u
P cos ,sin
Pcos ,sin
y
由P(u,v)与P‘(-u,-v)知
任意负角的正（余）弦函数
用公式一或二
任意正角的正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余）用公式
弦函数
三或四
0 ~ 2 正
（余）弦函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题（2）选做题
从单位圆关于直线 y x，y x对称性
sin( ) sin cos( ) cos
由此可知，正弦函数y sin x 是奇函数，余弦函数y cos x是偶函数。
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角的终边和角的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角的终边和单位圆的交点 P，那么，p 和P有什么关系？
3
求 sin 3 的值

1.4.3.2单位圆与诱导公式

单位圆与诱导公式使用说明：1.阅读探究课本2018-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】1.通过单位圆理解与的三角函数之间的关系.2.掌握诱导公式1.8～1.14,应用诱导公式进行求值,化简.3.通过诱导公式的推导,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神。

【重点难点】重点：诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值,化简和证明等. 难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.一、知识链接1.角α与-α的正弦函数,余弦函数的关系式是2.角α与απ±的正弦函数,余弦函数的关系式是3.角α与πα-的正弦函数,余弦函数的关系式是二.教材助读角α与2πα+的正弦函数,余弦函数的关系:设锐角α的终边与单位圆交于点p (a,b)，则角2πα+的终边与单位圆交于点1p ，由平面几何知识可知，点1p 的坐标为（,b a -）. 所以,点p 的横坐标cos α与1p 的纵坐标sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭相等。

即______________________________________________. 点p 的纵坐标sin α与点1p 的横坐标co s 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绝对值相等且符号相反，即______________________________________________三、预习自测1．补全下列正弦函数，余弦函数的诱导公式，并熟记。

()sin 2k πα+=_______,()cos 2k πα+=_______(1.8)()sin α-=_______,()cos α-=________(1.9)()sin 2πα-=_______,()cos 2πα-=_____(1.10)()sin πα-=_______,()cos πα-=_______(1.11)()sin πα+=_______()cos πα+=_______(1.12)sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=______cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=_______(1.13) sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=________(1.14) 总结：任意负角的正余弦函数用公式1.8或1.9；任意正角的正余弦函数用公式1.8； 0～2π角的正余弦函数用公式1.10～1.14. 2．求下列函数值:(1) 5sin 24ππ⎛⎫+⎪⎝⎭: (2) 55sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭预习案(3) 5115sin cos sin cos 6464ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.化简: ()()()()()3sin 2cos 3cos 2sin sin 3cos ππαπααπαπααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---2在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是34(,)55p --,分别求角α，2πα+，2πα-的正弦函数值，余弦函数值。

第一章 1.2.4诱导公式(二)

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三诱导公式的理解、记忆与灵活应用
1.2.4（二）
公式一～三归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数
本课时栏目开关
值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． π 公式四～五归纳： ± α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦 2 (正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”． π 五组诱导公式可以统一概括为“k· ± α(k∈Z)”的诱导公式．当k 2 为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二诱导公式五
1.2.4（二）
本课时栏目开关
(1)公式内容： π π sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α， π π tan2－α＝cot α，cot2－α＝tan α. (2)公式推导：方法1：利用公式二和公式四可得： π π sin2＋－α ＝ cos(－α) ＝ cos α ， sin2－α＝ π π cos2＋－α －α＝＝－sin(－α) ＝ sin α ， cos 2
α； α；
α.
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题] 例1
本课时栏目开关
1.2.4（二）
π 3 π 2π 3π 已知cosα＋6＝， ≤α≤ ，求sinα＋ 3 的值． 2 5 2

诱导公式高一数学系列

题型一给角求值问题[经典例题]
例 1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是(
)
A.－34 3
3 B.4 3
C．－
3 4
3 D. 4
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
② 3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－－152＝－25 6，所以
f(α)＝－cos
α＝2
5
6 .
(3)α＝－331π 时，f(α)＝－cos α＝－cos－313π＝－cos－10π－π3 ＝－cos3π＝－12.
首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角
函数知识解题．
跟踪训练 6 已知角 α 的终边在第二象限，且与单位圆交于点 Pa，35，求sinπ2＋2cαos＋32π2－sinαπ2－α的值．
解析：设 β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么 β＋γ＝90°，从而 γ＝90°
－β.于是 sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以 143°<β<323°.
由 sin β＝15>0，得 143°<β<180°.
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－152＝－25 6，
公式一：将任意角转化成0~2π之间的角求值
公式二：将0~2π之间的角转化成0~π之间的角求值
公式三：将负角转化成正角求值
公式四：将
之间的角转化成
之间的角求值
公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化
六组诱导公式的横向对比

1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式

A

sin

A

sin

A

cos
A

则 2
.

2

2

2

故选：A
）
1
7

cos
sin

6．已知 12 3 ，则 12 的值等于（
2 2

A．
3
1
B．
3
1
C．
3
）
2 2
D．
3
7

1
【详解】由诱导公式得 cos sin
去化简：“奇变偶不变，符号看象限”，
口诀中的“奇和偶”，指的是的奇偶，“变和不变”指的是变不变
三角函数名，

“符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看 + 所

在的象限.
(运用公式时，默认为锐角)

例如： + = ， + = −，
2
cos −

作 + ，其中n

=1，2 ， 3 ，4k(k∈Z).

只需注意，关于

− 和-

的诱导公式，在做了 +

和α-π的公式变化之后，还要借助于- a的诱导公式·
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1
或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦
函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是

三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式教学目标1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)2．诱导公式与同角三角函数根本关系式的综合运用．(重点)3．各种诱导公式的特征．(易混点)[根底·初探]教材整理1诱导公式二～公式四阅读教材P23～P24例1以上内容，完成以下问题．1．诱导公式二(1)对应角终边之间对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称．(2)诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan α．2．诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，－α的终边与角α的终边关于x轴对称．(2)诱导公式三sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α；tan(－α)＝－tan α．3．诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于y轴对称．(2)诱导公式四公式四：sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α； tan(π－α)＝－tan α． (3)公式一～四可以概括为：α＋k·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( )(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．( ) (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( ) (4)在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ．( ) 解：(1)由公式三可知该结论成立．(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角． (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (4)因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 诱导公式五、六阅读教材P 26第七行以下至“例3〞以上内容，完成以下问题．1．公式五：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α．2．公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α． 3．公式五和公式六可以概括为：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式一～六都叫做诱导公式．假设cos(π＋α)＝13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝13， ∴cos α＝－13，sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝cos α＝－13. 【答案】－13[小组合作型]给角求值问题(1)求以下各三角函数值．①sin ⎝⎛⎭⎪⎫－10π3；②cos 296π；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．点评：(1)先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．(2)分n 为奇数、偶数两种情况讨论．解：(1)①sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－10π3 ＝－sin 10π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π＋4π3＝－sin 4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝sin π3＝32.②cos 296π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝sin π3·cosπ3＝32×12＝34；②当n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.1．角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值．2．凡涉及参数n 的三角函数求值问题．由于n 为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n 进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．[再练一题]1．求以下各三角函数值． (1)tan(－855°)；(2)sin 176π；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋23π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．解：(1)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (2)sin 176π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝sin 56π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12.(3)①当n 为奇数时，原式＝cos 2π3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－sin 4π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－cos π3·sin π3＝－12×32＝－34.②当n 为偶数时，原式＝cos 2π3·sin 4π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝⎛⎭⎪⎫－32＝34.给值(式)求值问题cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．由求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①假设α为第一象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32. ②假设α为第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 1．一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，假设给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等． [再练一题]2．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( ) A ．a B ．－a C ．±aD ．不确定(2)假设cos 165°＝a ，那么tan 195°＝( ) A ．1－a 2 B ．－1－a 2a C ．1－a 2aD ．1＋a 2a解：(1)因为56π－α＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π，所以α＋76π＝2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝⎛⎭⎪⎫56π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫56π－α＝－a .(2)cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝a ，故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°) ＝tan 15°＝1－a 2－a .【答案】 (1)B (2)B 利用诱导公式证明三角恒等式求证：tan 〔2π－α〕sin 〔－2π－α〕cos 〔6π－α〕cos 〔α－π〕sin 〔5π－α〕＝－tan α.观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边．解：原式左边＝ sin 〔2π－α〕cos 〔2π－α〕·sin 〔－α〕·cos 〔－α〕cos 〔π－α〕sin 〔π－α〕＝－sin α·〔－sin α〕·cos αcos α·〔－cos α〕·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边．原式得证．关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异．[再练一题]3．tan(7π＋α)＝2，求证2cos 〔π－α〕－3sin 〔3π＋α〕4cos 〔－α〕＋sin 〔2π－α〕＝2.【证明】 ∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴2cos 〔π－α〕－3sin 〔3π＋α〕4cos 〔－α〕＋sin 〔2π－α〕＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2.[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(k π＋α)的值？【提示】不能．因为k 是奇数还是偶数不确定．当k 是奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；当k 是偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin α.探究2 如何化简tan ⎝⎛⎭⎪⎫k 2π＋α呢？【提示】当k 为奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝cos α－sin α＝1－tan α；当k 为偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋α＝tan α. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋α＝⎩⎪⎨⎪⎧1－tan α，k 为奇数，tan α，k 为偶数.设k 为整数，化简： sin 〔k π－α〕cos[〔k －1〕π－α]sin[〔k ＋1〕π＋α]cos 〔k π＋α〕.此题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式．常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k 分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，可使用配角法．解：法一：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，那么原式＝sin 〔2m π－α〕cos[〔2m －1〕π－α]sin[〔2m ＋1〕π＋α]cos 〔2m π＋α〕＝sin 〔－α〕cos 〔π＋α〕sin 〔π＋α〕cos α＝〔－sin α〕〔－cos α〕－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，同理可得原式＝－1. 法二：由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2kπ，故cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)，sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin 〔k π＋α〕[－cos 〔k π＋α〕]－sin 〔k π＋α〕cos 〔k π＋α〕＝－1.由于k ∈Z 的任意性，对于不同的k 值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析．[再练一题]4．化简sin 〔n π＋α〕cos 〔n π－α〕cos[〔n ＋1〕π－α](n ∈Z )的结果为________．解：(1)当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin 〔2k π＋α〕cos 〔2k π－α〕cos[〔2k ＋1〕π－α]＝sin αcos α－cos α＝－sin α.(2)当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝sin[〔2k ＋1〕π＋α]cos[〔2k ＋1〕π－α]cos[〔2k ＋2〕π－α]＝－sin α〔－cos α〕cos α＝sin α.所以化简所得的结果为(－1)n ＋1·sin α. 【答案】 (－1)n ＋1sin α[构建·体系]1．以下各式不正确的选项是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误．【答案】 B2．(2021·梅州抽检)sin 600°的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解：sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.应选D ．【答案】 D3．cos 1 030°＝( ) A ．cos 50° B ．－cos 50° C ．sin 50°D ．－sin 50°解：cos 1 030°＝cos(3×360°－50°) ＝cos(－50°)＝cos 50°. 【答案】 A4．假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，那么θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角D ．第四象限角解：由于sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0， cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，应选B ．【答案】 B5．sin φ＝611，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)的值. 解：∵sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6π－π2＋φ ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－φ＝sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ) ＝611＋sin φ＝1211.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设sin 160°＝a ，那么cos 340°的值是( ) A ．1－a 2 B ．1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2解：因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2.【答案】 B2．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α＝－34，那么sin(α＋π)＝( )A ．35 B ．－35 C ．45D ．－45解：因为sin(α＋π)＝－sin α，且tan α＝－34，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin α＝35，那么sin(α＋π)＝－35.【答案】 B3．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－13 B ．13 C ．223D ．－223解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－13.应选A ．【答案】 A4．设tan(5π＋α)＝m ，那么sin 〔α－3π〕＋cos 〔π－α〕sin 〔－α〕－cos 〔π＋α〕的值为( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解：由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，所以sin 〔α－3π〕＋cos 〔π－α〕sin 〔－α〕－cos 〔π＋α〕＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 【答案】 A5．假设f (cos x )＝cos 2x ，那么f (sin 15°)的值为( ) A ．－32 B ．32 C ．－12D ．12解：因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32. 【答案】 A 二、填空题6．假设a ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，那么a ，b 的大小关系是________.解：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－134π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2， ∴tan π4<tan π3， ∴a >b . 【答案】 a >b 7．tan(3π＋α)＝2，那么sin 〔α－3π〕＋cos 〔π－α〕＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin 〔－α〕＋cos 〔π＋α〕＝______.解：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，那么原式＝sin 〔α－π〕－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.【答案】 2 三、解答题8．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．解：原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 9．f (α)＝tan 〔π－α〕·cos 〔2π－α〕·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos 〔－α－π〕.(1)化简f (α)；(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.解：(1)f (α)＝tan 〔π－α〕·cos 〔2π－α〕·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αcos 〔－α－π〕＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，那么tan α＝sin αcos α＝－43.[能力提升]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45解：原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 【答案】 C2．sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)求tan (π－θ)－1tan θ的值．解：由原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，那么a ≥4或a ≤0.又⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．那么sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＝sin θ＋cos θ＝1－ 2. (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫tan θ＋1tan θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。

诱导公式2教学设计

编写时间：2020年4 月 17日第二学期总第课时编写人：马安山课题诱导公式（二）授课班级高一( 17) 授课时间 2020年月日学习目标 1.借助单位圆的对称关系推导诱导公式 2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值及三角函数式的化简和证明教学重点发现并证明诱导公式并运用．教学难点诱导公式的发现．课型新课主要教学方法思考、交流、讨论和概括．教学模式合作探究，归纳总结教学手段与教具智慧黑板．教学过程设计各环节教学反思一、问题探究并应用问题一：如何把任一角的三角函数的求值问题转化为0º—360º间三角函数的求值问题？（师生活动：学生完成，教师补充）1.已知任意角α的终边与单位圆相交于P （x ，y ），求P 关于x 轴，y 轴，原点对称的三个点的坐标.2.如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？3.如果角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？4.如果角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？XXK]问题二：你能利用上述诱导公式求下列函数的值吗？(师生活动：学生完成，教师讲解）例题1：利用公式求下列三角函数值()0225cos 1 ()311sin 2π()⎪⎭⎫ ⎝⎛-316sin 3π ()()02040cos 4- 例题2：化简：()()()()αααα--•--+•+0000180cos 180sin 360sin 180cos变式训练：已知cos(6π+α)=33,求cos(65π-α)的值问题三：对角απαπ±±2,23的三角函数的研究，你能得出什么结论？若角α的终边与角β的终边关于直线y=x 对称则角α的正弦与角β的余弦函数值之间有何关系？角απ-2的终边与角α的终边是否关于直线y=x 对称？（让学生在做题的过程中总结规律）1.利用已推导出的公式，推导 )2tan(),2cos(),2sin(απαπαπ+++ 2.利用前面学过的公式，推导 )23tan(),23cos(),23sin(απαπαπ+++ 问题四：你能概括上述诱导公式五、六吗？能否根据公式化简三角函数值？例题3：证明：()ααπcos 23sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()ααπsin 23cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 例题4、化简()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-απαπαπαπαπαπαπαπ29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin 二、变式训练：1.化简（1）()()()00180sin cos 180sin ---+ααα ;（2）()()()πααπα--+-tan 2cos sin 3; （3）()()αππααππα-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos 2sin 25sin 2cos ; （4）()()()ααα-+--sin 360tan cos 02 ; 2.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角3.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-4.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，求αtan 。

7.2.4诱导公式(第2课时)教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版(2019)必修三

7.2.4诱导公式第二课时教案1、学生能根据前面学习的前四组诱导公式，并利用三角函数线的对称性推导的诱导公式⑤；2、学生能利用已掌握的诱导公式①~⑤，自选方法推导的诱导公式⑥；3、学生能利用已掌握的诱导公式①~⑥，自主推导的诱导公式⑦⑧；在初中，我们已经知道两个锐角之和为时正弦和余弦之间的关系．例如，那这一关系式对任意角是否也成立呢？本节课我们一起来探究这个问题．问题1、对于任意一个角来说，与的终边有什么关系，你能得出它们的正弦、余弦之间的关系吗？如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角的终边关于角的终边所在的直线（即y=x）对称，因此得到诱导公式⑤．这一结论也可以从和的三角函数线之间的关系得出以下三角函数间的关系式．点评学生的最终结论，与学生一起分析诱导公式⑤．利用GGB软件动态展示诱导公式结论依据，通过GGB动态展示提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式，从而解决情境中的疑问．问题2、你能利用前面研究的诱导公式结果得到角和角的正弦、余弦之间的关系吗？由诱导公式②⑤可得，从而得到诱导公式⑥．实物投影展示学生的推导过程，并与学生一起分析诱导公式③结论依据，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．（1）解（1）（2）（3）．问题3、你能利用前面研究的诱导公式结果得到角和角的正弦、余弦之间的关系吗？由诱导公式④⑥可得，从而得到诱导公式⑦．法一：由诱导公式②⑦可得，从而得到诱导公式⑧法二：如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角的终边关于对称，因此与学生一起分析诱导公式⑦⑧结论依据，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．联系：若将角看作是锐角，同样分别代表第一、二、三、四象限的角，符合口诀“符号看象限”．例如：．本环节是想留有时间让学生思考、讨论、归纳，引导学生建立各组公式与相应图形的联系，并对各个公式的异同进行比较，以此加深理解公式．前面学生在推导诱导公式时已对诱导公式有了基本的理解，那在理解的基础上再加强记忆．事实上，所有的诱导公式可概括为“的各三角函数值”．当k 为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可编成一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．计算的值．化简．解：原式=1化简．。

高中数学 5-3 诱导公式第2课时诱导公式(二)课件新人教A版必修第一册

提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称． (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
练一练：已知 cosπ2－α＝12，则 sin(π＋α)＝_－__12___．
[解析] cosπ2－α＝sin α＝12， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－12.
题型二
三角恒等式的证明
典例2 求证：
2sin1－θ－2s32iπn2c（osπθ＋＋θπ2）－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
[分析]
[证明] 左边＝
－2sin32π－θ·（－sin 1－2sin2θ
θ）－1＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin
θ－1
＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
D．－ 1－a2
[解析] sin 25°＝sin（90°－65°）＝cos 65°＝a.
(B )
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是
第五章三角函数
5.3 诱导公式
第2课时诱导公式(二)
必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 诱导公式五
sinπ2－α＝cos α， cosπ2－α＝sin α 想一想：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？

诱导公式2

2、如果α,β满足α+β=π，那么下列式子中正确的个如果α,β满足α+β=π， α,β满足α+β=π sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③ 数是 ①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=cosβ; cosα=④cosα=-cosβ B A、 1 B、 B、 2 C、 C、 3 D、 D、 4
sin 解： ( 3π-α ) = 2 sin ( 2π+β ) ⇒ sin α= 2 sin β 3 cos ( - α ) =- 2 cos ( π+β ) ⇒ 3 cos α= 2 cos β
利用本公式和公式 ( −α )、公式 (180 o + α )还可以推导下列公式 : sin( 90 o + α ) = cos α 诱导公式七: 诱导公式七: cos( 90 o + α ) = − sin α
sin( 270 o − α ) = − cos α 诱导公式八: 诱导公式八: cos(270 o − α ) = − sin α sin( 270 o + α ) = − cos α 诱导公式九: 诱导公式九: cos(270 o + α ) = sin α
例4:化简化简
π 11π sin ( 2π − α ) cos (π + α ) cos + α cos −α 2 2 . 9π cos (π − α ) sin ( 3π − α ) sin ( −π − α ) sin +α 2
sin ( π -α ) = sin π + ( -α ) =- sin ( -α ) = sin α
诱导公式四
cos ( π -α ) =- cos α tan ( π -α ) = tan α

《诱导公式》第2课时参考教案

《诱导公式》第二课时诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭角的三角函数值问题．诱导公式中的公式五的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，而公式六的推导过程，使学生能用已有公式二至五，运用角的变换进行演绎推演，使培养学生逻辑推理、数学运算核心素养落到实处．1．在诱导公式二至四推导方法的基础上，启发学生探索发现诱导公式五并能借助公式推演得到公式六；2．借助单位圆中的对称关系及三角函数定义的应用，培养学生形数结合，归纳转化的思想方法；同时借助公式的结构特点培养学生从未知到已知、复杂到简单的化归思想；3．通过对公式的推导过程，以及通过理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题，培养学生逻辑推理、数学运算素养．教学重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用；教学难点：发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系．1．教学问题：（1）如何把角α终边关于直线y x =对称的角的终边几何对称关系与角的数量关系对应起来是一个教学问题，处理这个问题主要利用信息技术，引导学生归纳不同象限角的情况，再以第一象限角为例发现角的关系，此过程强调归纳转化思想和逻辑推理素养；（2）应用诱导公式解决相关三角函数值的求解、化简、证明等是一个教学问题，处理这个问题主要是引导学生在理解公式的基础上适量典型例题的推演．◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆ ◆课前准备◆2．教学支持条件（1）诱导公式一至四推导方法和公式本身是本节诱导公式的重要基础和铺垫．（2）充分利用“智慧课堂”教学系统，及时了解学生思维信息，根据学生的思维状态生成教学过程，充分利用智慧课堂的作业平台，及时反馈检测信息．【问题1】上节课学习了三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得是哪几个公式吗？【设计意图】复习回顾三角函数的诱导公式二到公式四，让学生进一步体会这几个公式分别体现了πα+，α-，πα-与角α之间的关系：【预设师生活动】（1）引导学生回想公式记忆规律，同时上传公式二至四；（2）引导学生回想公式推导方法，同时上传单位圆几何图示（两个角的终边特殊的对称关系：1）终边关于原点对称；2）终边关于x 轴对称；3）终边关于y 轴对称）【问题2】能画出角α关于直线y x =对称的角的终边吗？与角α关于直线y x =对称的角怎样表示？这两个角的终边上点12P ,P 的坐标具有什么关系？【设计意图】在问题1的基础上，提出问题，调动学生探索问题的积极性．让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系．【预设师生活动】（1）引导学生探究：角α在不同象限关于直线y x =对称的角的终边情况；归纳讨论出角α关于直线y x =对称的角的终边是2πα-；要求学生作图上传展示角α在第一象限的情况，并共同得出点12P ,P 的坐标的关系．（2）引导学生思考：角α关于直线y x =对称的角的终边是2πα-上点P,P '的坐标关系已知，角α与2πα-的三角函数值有什么关系？学生拍照上传解答过程与结论．◆教学过程设1(,)P x y ，则2(,)Py x ，有三角函数的定义得：得诱导公式五：【问题3】能否用已有公式得出2πα+的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？能否用公式五的方法推导出以上关系式？【设计意图】引导学生从公式的适用条件（任意角）出发，根据角的结构特点，构造特殊性解决问题，体会演绎推理的过程，培养了逻辑推理素养；另外两个角的终边看成两次对称，再利用点的坐标关系得出三角函数值的关系，进一步体会形数结合思想．【预设师生活动】（1）学生讨论并将推演结果上传（可能不同作法）：（公式六）2）引导学生尝试把角2πα+与角α终边看成两次对称，研究点的坐标关系推导出公式六，学生上传推导过程和方法．角α终边与单位圆交点(,)P x y ，则2πα-终边与单位圆交点1(,)P y x ，又2πα+的终边与2πα-的终边关于y 轴对称，故2πα+终边与单位圆交点2(,)P y x -，于是sin()2cos()2tan()2x y x y παπαπα-=-=-=sin()sin[()]sin()cos 222cos()cos[()]sin()cos 222πππαπαααπππαπααα+=--=-=+=--=--=-sin cos tan yxy x ααα===sin()cos ;2cos()sin ;2tan()cot 2πααπααπαα-=-=-=（公式六）【问题4】你能总结公式五与六的记忆规律吗？你能概况公式五与六的研究思路吗？【设计意图】引导学生学习概括，逐步养成自我总结规律，反思数学思想方法的习惯．【预设师生活动】学生讨论概括，教师再总结：上面的公式五与六也称为三角函数的诱导公式；记忆规律： 2πα±的三角函数值，等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括：函数名变余，符号看象限．【问题5】诱导公式的应用研究例1（1）求证：33sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=--=- （2）化简：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+ 【设计意图】这是三角函数值的证明与化简，需要综合运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到准确、熟练、灵活应用．【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳应用诱导公式的注意事项．例2 已知f （α）＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）．（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f （α）的值．【设计意图】这是综合运用诱导公式和同角公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳方法：sin()cos 2cos()sin 2x y πααπαα+==+=-=-[解] （1）f （α）＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α．（2）因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15，又α是第三象限角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256．所以f （α）＝256．【问题6】课堂小结，提高认识【设计意图】引导学生对本课内容进行归纳小结，同时对六个诱导公式进一步概括．【预设师生活动】引导学生从知识方法、思维思想进行总结，学生讨论，共同归纳：（1）诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．（2）这六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α（k ∈Z ）”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的互余三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．（3）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．习题检测【检测1】课本对应习题．【检测2】请完成本节对应的同步练习．。

诱导公式(二)

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的三角函数
用公式三或一
任意正角的三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式二或四
的三角函数
锐角三角函数
公式五
复习初中知识
cos60 sin45 cos45 sin 60 cos30
诱导公式三：
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
其他诱导公式 sin( ) sin , sin(2 ) sin , cos( ) cos , cos(2 ) cos , tan( ) tan . tan(2 ) tan .
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：k k Z）的三角函数值（
2 1 ）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
例题:化简
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
sin( 2k ) sin ( k Z ), cos( 2k ) cos ( k Z ), tan( 2k ) tan ( k Z ).
诱导公式一：
函数名不变，符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式二： sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan . 诱导公式四：
2
2

P2 P1 α

高数数学必修一《5.3.1诱导公式二、三、四》教学课件

个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4. (4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨
论，然后再运用诱导公式进行化简．
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)tcaons
α+π α+π
sin2 cos3
解析：(1)原式＝tan 60°cos 60°＝ 3 × 12＝ 23.
(2)cos
256π＋cos
253π＋tan
(－254π)＋sin
5π 6
＝cos
(4π＋π6)＋cos
(8π＋π3)＋tan
(－6π－π4)＋sin
(π－π6)＝cos
π6＋cos
π3＋tan
(－π4)＋sin
π6＝
3 2
+12－1＋12＝Fra bibliotekD．－ 3
2
3．cos 135°＝(
A．12
B．
2 2
)
C．－
2 2
D．－
3 2
答案：C 解析：cos 135°＝cos (180°－45°)＝－cos 45°＝－ 22.故选C.
微点拨❶
(1)公式二～四中的角α可以是任意角，如sin [π＋(2x－3)]＝－sin (2x
－3)． (2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正
()
A．－45
B．45
C．－35
D．35
答案：B
解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35.
又α是第四象限角，所以cos α＝
1−
−3
5
2＝45，所以cos (α－2π)＝cos α＝45.故选B.

苏教版三角函数的诱导公式(一～四)

1.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一～四)一、诱导公式(一)终边相同的角的诱导公式(公式一)：sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．思考1：终边相同角的三角函数值之间有什么关系？[提示]相等．二、诱导公式(二)终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？[提示] 关于x 轴对称．三、诱导公式(三)终边关于y 轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin(π－α)＝sin_α； cos(π－α)＝－cos_α； tan(π－α)＝－tan_α. 四、诱导公式(四)终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin(π＋α)＝－sin_α； cos(π＋α)＝－cos_α； tan(π＋α)＝tan_α.1．(1)sin 25π6＝________；(2)cos 9π4＝________； (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝________.(1)12 (2)22 (3)1 [(1)sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6 ＝sin π6＝12.(2)cos 9π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22.(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π4＝tan π4＝1.]2．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝________；(2)cos 330°＝________；(3)tan 690°＝________.(1)－32 (2)32 (3)－33 [(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝32. (3)tan 690°＝tan[2×360°＋(－30°)]＝tan(－30°) ＝－tan 30° ＝－33.]3．(1)sin 5π6＝________；(2)cos 34π＝________； (3)tan 1 560°＝________.(1)12 (2)－22 (3)－3 [(1)sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12. (2)cos 3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22.(3)tan 1560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°) ＝－tan 60°＝－3.]4．(1)sin 225°＝________；(2)cos 7π6＝________； (3)tan 10π3＝________. (1)－22 (2)－32(3)3 [(1)sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.(2)cos 7π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32.(3)tan 10π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝3.]给角求值【例1】求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)cos 27π4；(3)2cos 660°＋sin 630°； (4)tan 37π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－5π3. 思路点拨：利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值． [解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin 60°＝32.(2)因为27π4＝6π＋3π4，所以cos 27π4＝cos 3π4＝－22. (3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°) ＝2cos 60°－sin 90°＝2×12－1＝0. (4)tan 37π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π3＝tan π6·sin π3＝33×32＝12.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：1．求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)．[解] (1)sin 1 320°＝sin(4×360°－120°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 化简求值【例2】化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°).思路点拨：利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[解] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.2.sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )． [解] 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1. 给值求值问题[探究问题]1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？提示：由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)． 2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？提示：由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1. 【例3】求值．(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－12，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3的值；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α的值．思路点拨：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝2π；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π. [解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝2π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.教师独具1．明确各诱导公式的作用这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则角θ的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三角限D ．第四象限B [由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，由⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，可知θ是第二象限角．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[答案] D3．代数式sin 120°cos 210°的值为________．－34 [由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－32×32＝－34.]4．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值． [解] ∵sin(π＋α)＝35， ∴sin α＝－35，又α是第四象限角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， ∴cos(α－2π)＝cos α＝45.。

诱导公式2

cos2α
∵tanα＝－43，
∴cos2α－1 sin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1＝1－－43－2＋4312＝－275.
点评：①对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；②关于 sinα，cosα 的齐次式，注意化为关于 tanα 的式子．
B．－15
1 C.5
3 D.5
解析：∵sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝Hale Waihona Puke ×15－1 ＝－35.答案：A
4．已知 tanα＝12，且 α∈π，32π，则 sinα 的值是(
)
A．－
5 5
5 B. 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：∵α∈π，32π，∴sinα＜0，排除 B、C.
提供了一种重要的方法．
2．三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即
诱导公式的左边为2π·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同

第6课时诱导公式一、二、三、四

分析： (1)由于 105° ＋α＝180° ＋(α－75° )，故欲求 sin(105° ＋α)，需利用条件求出 sin(α－75° )．只需用平方关系即可求得． π 5π 5π (2)根据－α＋＋α＝π，利用诱导公式求 tan ＋α. 6 6 6 1 解析：(1)∵cos(α－75° )＝－＜0，且 α 为第四象限角， 3 ∴α－75° 是第三象限角． ∴sin(α－75° )＝－ 1－cos2α－75° 12 2 2 －＝－ 1－ 3 ＝－ 3 ∴sin(105° ＋α)＝sin[180° ＋(α－75° )] 2 2 ＝－sin(α－75° )＝ . 3 π 5 (2)tan6π＋α＝tanπ－6－α π 3 ＝－tan －α＝－ . 3 6
解析：(1)∵sin(π＋α)＝－sinα， 1 1 ∴－sinα＝－，即 sinα＝ . 3 3 当 α 是第一象限角时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α) 2 2 2 ＝－cosα＝－ 1－sin α＝－； 3 当 α 是第二象限角时， 2 2 cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosα＝ 1－sin α＝ . 3
2．如图所示，角 θ 的终边与单位圆交于点则 cos(π－θ)的值为( 2 5 5 A．－ B．－ 5 5 5 2 5 C. D. 5 5 )
P －
5 2 5 ，， 5 5
5 5 解析：因为 r＝1，所以 cosθ＝－，则 cos(π－θ)＝ . 5 5 答案：C
π 1 3． sin(π－α)＝log8 ，且 α∈ －2，0，则 tan(π＋α)的值为( 4 5 5 5 2 A．－ B. C．± D．－ 2 2 2 5
考点一给角求值例 1 求下列三角函数值： 22π 31π (1)sin － 3 ；(2)cos－ 6 ； (3)tan(－750° )．

第一章诱导公式二、三、四

人教A版必修四·新课标·数学
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温馨提示：sin(α＋β)＝1，sin(α＋β)＝0，cos(α＋β)＝1， cos(α＋β)＝0，这些都是非常特殊的式子，里面隐含着α＋β在 π π [0，2]范围内是0或2.
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规律归纳利用诱导公式证明恒等式的过程，实质上是等式左边或右边化简的过程，需根据待证式确定是否需要化到最简．
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利用诱导公式证明三角恒等式【例4】已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
思路分析：由sin(α＋β)＝1得到角α，β间的关系，用β表示α，代入需证等式左边，化简可得．
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证明：∵sin(α＋β)＝1， π ∴α＋β＝2kπ＋2，k∈Z， π ∴α＝2kπ＋2－β，k∈Z， ∴tan(2α＋β)＋tanβ π ＝tan[2(2kπ＋2－β)＋β]＋tanβ ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0.
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思悟升华
1．诱导公式(一)～(四)的作用 (1)公式(一)的作用在于把研究绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式(三)的作用在于把负角三角函数转化成正角三角函数． (3)公式(二)、公式(四)的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
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2．诱导公式：公式一：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα， tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z；公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π ＋α)＝tanα；公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα；公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α) ＝－tanα.

单位圆与诱导公式(二)

单位圆与诱导公式

单位圆与诱导公式

§4.3单位圆与诱导公式(二)

单位圆的对称性与诱导公式

1.4.3.2单位圆与诱导公式

第一章 1.2.4诱导公式(二)

诱导公式高一数学系列

1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式

三角函数的诱导公式

诱导公式2教学设计

7.2.4诱导公式(第2课时)教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版(2019)必修三

高中数学 5-3 诱导公式 第2课时 诱导公式(二)课件 新人教A版必修第一册

诱导公式2

《诱导公式》第2课时参考教案

诱导公式(二)

高数数学必修一《5.3.1诱导公式二、三、四》教学课件

苏教版三角函数的诱导公式(一～四)

诱导公式2

第6课时 诱导公式一、二、三、四

第一章 诱导公式二、三、四

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第6课时诱导公式一、二、三、四

第一章诱导公式二、三、四