【解析】陕西省咸阳市旬邑中学、彬州市阳光中学、彬州中学2019-2020学年高二上学期期中考试质量检测数学

2019—2020学年度第一学期期中质量检测高二数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.请将答案填写在答题纸相对应的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（）. A. a b ab +< B. 2b a a b +> C. 2ab b < D.22a b >【答案】D【分析】先判断出0a b 、、的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.【详解】由110a b<<，得0b a <<，22a b ∴<，2ab b <，故D 不正确，C 正确；0a b <Q +，0ab >，a b ab ∴+<，故A 正确；0b a >Q ，0a b >，2b a a b ∴+>=，取等号时a b =，故B 正确，故选D . 【点睛】本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号条件一定要记得添加.2.设21a x x =--，1b x =-，则a 与b 的大小关系为（ ）A. a b >B. a b =C. a b <D. 与x 的取值有关【答案】D【分析】作差后与0比较。

【详解】由题意22(2)a b x x x x -=-=-，∴当0x =或2时，a b =，当02x <<时，a b <，当0x <或2x >时，a b >。

故选：D 。

【点睛】本题考查实数比较大小。

属于基础题。

基本方法是作差法。

3.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( ) A. 1{|3x x <-或1}2x > B. 11{|}32x x -<< C. {|32}x x -<<D. {|3x x <-或2}x >【答案】A【分析】由不等式250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<,可得250ax x b -+=的根为3,2-， ，由韦达定理可得,a b 的值，代入不等式250bx x a -+>解出其解集即可.【详解】250ax x b -+>Q 的解集为{}|32x x -<<, 250ax x b ∴-+=的根为3,2-， 即532a -+=，32b a-⨯=， 解得5,30a b =-=，则不等式250bx x a -+>可化为230550x x -->，即为2610x x -->，解得{1|3x x <-或12x ⎫>⎬⎭，故选A. 【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出,a b 的值，是解答本题的关键.4.在等比数列{}n a 中，4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a 等于（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 不能确定【答案】B【分析】由韦达定理得412a a ，再由等比数列性质可求得8a 。

【详解】∵4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，∴4123a a +=-，4121a a =，∴4120,0a a <<，又{}n a 是等比数列，∴284121a a a ==，而等比数列{}n a 中所有偶数项同号，∴81a =-。

故选：B 。

【点睛】本题考查等比数列的性质，考查韦达定理，掌握等比数列性质是解题基础。

5.在ABC ∆中，若222a c b ac +-=-，那么角B 等于（ ）A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【分析】由余弦定理先求得cos B ，再得B 。

【详解】ABC ∆中，由题意2221cos 22a cb B ac +-==-，∴120B =︒。

故选：C 。

【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理求角。

余弦定理公式较多，注意选用：如2222cos b a c ac B =+-，变形为222cos 2a c b B ac +-=。

6.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于（ ） A. 12π B. 6π C. 4π D. 3π 【答案】D试题分析：3 2sin32sin sin3sin sin3a Bb A B B A Aπ=∴=∴=∴=Q考点：正弦定理解三角形【此处有视频，请去附件查看】7.已知变量x、y满足20230x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 16B. 8C. 6D. 4【答案】D【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解。

【详解】作出可行域，如图OAB∆内部（含边界），作直线:20l x y+=，平移直线l，当l 过(1,2)A时2z x y=+取得最大值4。

故选：D。

【点睛】本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解。

8.已知0x>，0y>，821y x+=，则x y+的最小值为（）A 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C【分析】由82()() x y x yy x+=++展开后利用基本不等式求得最小值。

【详解】∵0x>，0y>，821y x+=，∴82()()x y x yy x+=++82821010218x y x yy x y x=++≥+⨯=，当且仅当82x yy x=，即6,12x y==时等号成立，∴x y+的最小值是18。

故选：C。

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“1”的代换，主要是配凑出基本不等式中的“定值”，注意要得到最值，还要满足“相等”的条件，否则等号取不到。

9.已知x y，满足()22{21x yx yy a x-≥+≤≥-，且z x y=+能取到最小值，则实数a的取值范围是（）A. 1a<- B. 2a≥ C. 12a-≤< D. -1＜a ＜2【答案】C如图，只要直线y=a(x-1)能够与阴影部分区域构成三角形, 那么z=x+y就有最小值存在，就是直线y=-x+z与y轴交点的纵坐标的最小值，则直线y=a(x-1)的斜率a应该在g(x)和f(x)的斜率之间有-1＜a＜2.又当a=-1时，直线y=-x+z与y轴交点的纵坐标有最小值.又当a=2时，直线y=a(x-1)与直线f(x)重合，y=-x+z没有最小值.所以-1≤a＜2.10.原点和点()1,1在直线2x y a +=两侧，则a 的取值范围是（ ）A. 0a <或1a >B. 01a <<C. 0a =或1a =D. 01a ≤≤【答案】B【分析】把(0,0)和(1,1)代入2x y a +-，两者异号。

【详解】直线方程一般式20x y a +-=，而原点和点()1,1在直线2x y a +=两侧，则2(22)0a a --<，解得01a <<。

故选：B 。

【点睛】本题考查二元一次不等式表示的平面区域，在直线0ax by c ++=的同一侧的点的坐标代入(,)f x y ax by c =++所得值同号，即(,)0f x y >表示直线0ax by c ++=的一侧，(,)0f x y <表示直线0ax by c ++=的另一侧。

11.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A. 9B. 18C.D. 【答案】C【分析】由三角形内角和求出C ∠，由三角形的性质求出边BC ，根据面积公式求出三角形面积.【详解】由三角形内角和：30C ∠=o ，故三角形为等腰三角形，所以6AB BC ==，由三角形面积公式：166sin 2S B =⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.12.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ）A. 7B. 8C. 15D. 16 【答案】C试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．【此处有视频，请去附件查看】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.不等式12x x-≥的解集是______________ 【答案】[1,0)-【分析】移项通分，解分式不等式，注意分母不为0. 【详解】12x x-≥ 120x x--≥ 10x x+≤ 10x -≤<故解集为：[)1,0-【点睛】本题考查解分式不等式，属于简单题.14.若x y ≠，且x ，1a ，2a ，y 和x ，1b ，2b ，3b ，y 各自都成等差数列，则2121a ab b -=-______. 【答案】43【分析】根据等差数列的定义计算。

【详解】设数列x ，1a ，2a ，y 的公差为1d ，数列x ，1b ，2b ，3b ，y 的公差为2d ， 则13y x d -=，24y x d -=， ∴2112124334y xa a d y xb b d --===--。

故答案为：43。

【点睛】本题考查等差数列的定义，属于基础题。

题中只要用首末两项表示出各自的公差即可计算。

15.在ABC V 中，若()22214ABC S a b c =+-V ,那么角C=______. 【答案】4π【分析】利用三角形面积公式整理，即可得到sin cos C C =，问题得解．【详解】因为()22214ABC S a b c =+-V ， 所以()22211sin 24ab C a b c =+-，即：()222sin cos 2a b c C C ab +-== 所以sin tan 1cos C C C ==，又()0,C π∈， 所以4C π=【点睛】本题主要考查了余弦定理及计算能力，属于基础题16.三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”.乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”.丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ． 【答案】利用丙的方法，将字母a 分离出来，然后将y x 看成整体，转化成关于y x 的二次函数，求出y x 的范围，只需研究二次函数在闭区间上的最大值即可．故答案为a 1≥-,故填写a 1≥-．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.关于x 的不等式260x mx ++>（m 为常数）.（1）如果5m =，求不等式的解集；（2）如果不等式的解集为{}|16x x x <>或，求实数m 的值.【答案】（1）{}|32x x x <->-或（2）7m =-【分析】（1）由因式分解得出二次方程的根，直接写出不等式的解集．（2）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求解．【详解】（1）由5m =，得2560x x ++>，即()()230x x ++>.解得3x <-或2x >-．所以原不等式的解集为{}|32x x x <->-或． （2）根据题意，得16036660m m ++=⎧⎨++=⎩. 解得7m =-． 【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系是解题基础．18.已知函数1m y x x =+-（m 为正数）. （1）若2m =，求当1x >时函数的最小值；（2）当1x <时，函数有最大值-3，求实数m 的值.【答案】（1）221（2）4m =【分析】（1）函数式为221111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式可得最小值； （2）函数式变形为111111m m y x x x x ⎛⎫=-++=--++ ⎪--⎝⎭，这样括号内式子可以用基本不等式求得最小值，也是y 求得最大值，由最大值-3可求得m ．【详解】解：（1）2m =时，221111y x x x x =+=-++--．因为1x >，所以10x ->．所以211111y x x =-++≥=-.当且仅当211x x -=-，即1x =时取等号．所以当1x >时函数的最小值为1+．（2）因为1x <，所以10x -<．所以111111m m y x x x x ⎛⎫=-++=--++ ⎪--⎝⎭11≤-=-.当且仅当11m x x-=-，即1x =即函数的最大值为1-．所以13-=-．解得4m =．【点睛】本题考查用基本不等式求函数的最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，没有定值时可以凑配出定值，不是正数时，请利用相反数变为正数，特别要注意只有能“相等”才能是最值．19.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．【答案】(1) 2n n a =.(2) 2622n S n n =-.试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列{}n b 的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前n 项和．试题详细分析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =设{}n b 的公差为d ，则有1128{432b d b d +=+=解得116{12b d =-= 从而1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==- 考点：等差、等比数列的性质【此处有视频，请去附件查看】20.在ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =2AC =，求ABC ∆的面积. 【答案】33分析】用正弦定理求出C ∠，然后得出A ∠，最后由面积公式得三角形面积，注意有两解． 【详解】解：由正弦定理，得sin 3sin AB B C AC ⋅==. ∵sin AB B AC AB ⋅<<，故该三角形有两种：60C ∠=°或120C ∠=︒.当60C ∠=°时，90A ∠=︒，1sin 232ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=当120C ∠=︒时，30A ∠=︒，1sin 32ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=， ∴ABC ∆的面积为23或3. 【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式．在用正弦定理解三角形时要注意可能有两解，需要分类讨论．21.设0,0,2a b a b >>+=且. （1）求⋅a b 的最大值；（2）求28a b+的最小值. 【答案】（1）1；（2）9【详解】试题分析：（1）由均值不等式易得⋅a b 的最大值为1．（2）利用将所求化为 再运用均值不等式求最值．试题详细分析：（1）21a b ab ab +≥≤Qmax 1()1a b ab ==∴=当且仅当时取min 28144(2)()()5()9424{,33228()9b a a b a b a b a bb a a b bc a b a b a b+=++=++≥===+=∴+=当且仅当即时时取 考点：均值不等式求最值．22.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10亿元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？【答案】投资人用4亿元投资甲项目，6亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8亿元的前提下，使可能的盈利最大.【分析】设投资人分别用x 亿元、y 亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量x 、y 所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.【详解】设投资人分别用x 亿元、y 亿元投资甲、乙两个项目，由题意知100.30.1 1.800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，即1031800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数为0.5z x y =+. 上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.由图可知，当直线0.5z x y =+经过点M 时，该直线在x 轴上截距最大，此时z 取得最大值，解方程组10318x y x y +=⎧⎨+=⎩，得46x y =⎧⎨=⎩，所以，点M 的坐标为()4,6. ∴当4x =，6y =时，z 取得最大值，此时，max 140.567z =⨯+⨯=（亿元）.答：投资人用4亿元投资甲项目，6亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8亿元的前提下，使可能的盈利最大.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。