高考数学一轮复习第9章解析几何第7课时双曲线(一)练习理

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第7课时 双曲线（一）1．双曲线x 236－m 2－y2m 2＝1(0<m<3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653D ．－63答案 B解析 kx 2－ky28＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.3．已知双曲线x 2a 2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1答案 D解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.4．(2017·北京西城期末)mn<0是方程x 2m ＋y2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当mn<0时，分m<0，n>0和m>0，n<0两种情况．①当m<0，n>0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线；②当m>0，n<0时，方程x 2m ＋y2n ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．因此，当mn<0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1不一定表示实轴在x 轴上的双曲线．方程x 2m ＋y2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线时，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程x 2m ＋y2n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选B.5．(2017·河北邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0B ．y ±2x ＝0C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0答案 A解析 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x±2y＝0，选A.6．(2018·湖北孝感一中月考)设点P 是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF 1⊥PF 2，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的一条渐近线方程是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝2x D ．y ＝4x答案 C解析 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝2|PF 2|，得|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4c 2＝16a 2＋4a 2，即c 2＝5a 2，则b 2＝4a 2，即b ＝2a ，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x.故选C.7．(2018·安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y24＝1 B.x 24－y23＝1 C.x 23－y 24＝1或y 23－x24＝1 D.x 24－y 23＝1或y 24－x23＝1 答案 D解析 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋b2a2＝1＋b 2a2＝72， ∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x. 由题意，顶点到渐近线的距离为|32a|34＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为x 24－y23＝1.当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±a b x ＝±233x ，由题意可知：顶点到渐近线的距离为|a|43＋1＝2217，解得a ＝2，∴b ＝3，∴双曲线的方程为y 24－x23＝1.综上可知，双曲线的方程为x 24－y 23＝1或y 24－x23＝1.故选D.8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1，1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e<1＋2，故选D.9．已知双曲线mx 2－ny 2＝1(m>0，n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为( ) A.12 B.63 C.33D.233答案 B解析 由已知双曲线的离心率为2，得1m ＋1n1m＝2. 解得m ＝3n.又m>0，n>0，∴m>n ，即1n >1m .故由椭圆mx 2＋ny 2＝1，得y 21n ＋x21m＝1.∴所求椭圆的离心率为e ＝1n －1m1n＝1n －13n 1n＝63. 10．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) A.52B.32C.355D.23答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±y b ＝0，焦点A(c ，0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝53c ，则c2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B.11．(2018·成都市高三二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B.－3＋624 C. 3 D.3＋627答案 D解析 如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M(－c2，0)，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ||PF 1|＝|MF 2||F 1F 2|，即c 2|PF 1|＝3c 22c ，可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 29＋(2c 3＋2a)2＝4c 2，即7e 2－6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－627(舍去)．故选D.12．(2018·贵阳市高三检测)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，52) B ．(52，＋∞) C ．(1，54)D ．(54，＋∞)答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y<b a x ，y>－ba x所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋（b a ）2∈(52，＋∞)，选B.13．已知曲线方程x 2λ＋2－y2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.14．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________． 答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a ＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.15．(2015·课标全国Ⅱ，文)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 2＝1解析 方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（3）2b 2＝1，b a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.16．(2018·湖南长沙模拟)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值为________． 答案 22＋1解析 设右焦点为F 2，∵|PF 1|－|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝|PF 2|＋22，∴|PF 1|＋|PQ|＝|PF 2|＋22＋|PQ|.当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ|最小，且最小值为F 2到l 的距离． 由题意得l 的方程为y ＝±12x ，F 2(3，0)，F 2到l 的距离d ＝1，∴|PQ|＋|PF 1|的最小值为22＋1.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程． 答案 3x 22－y22＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S△PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y22＝1.18．(2018·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值． 答案 (1)x 2－y 22＝1 (2)29解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)， 因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 02b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的定义可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y22＝1.(2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 02－y 02＝2.所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 02－y 02|3·13＝29.1．(2015·广东，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y23＝1 B.x 29－y216＝1 C.x 216－y29＝1 D.x 23－y24＝1 答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5，0)，所以c ＝5. 因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1.2．若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 答案 B解析 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a.∴渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选B.3．(2015·天津，文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y213＝1 B.x 213－y29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y23＝1答案 D解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2＋b 2，c ＝2，2bb 2＋a 2＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， 从而双曲线的方程为x 2－y23＝1.4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3答案 B解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a.又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2.又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9ba －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 5．(2015·广东改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y25＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 22－y25＝1 D.x 22－y25＝1 答案 B解析 由曲线C 的右焦点为F(3，0)，知c ＝3. 由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2.故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5. 所以双曲线C 的方程为x 24－y25＝1.6．(2016·天津)已知双曲线x 24－y2b 2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y24＝1 B.x 24－4y23＝1 C.x 24－y24＝1 D.x 24－y212＝1 答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D. 7．(2017·邯郸调研)已知F 为双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，c 为双曲线的半焦距，定点G(0，c)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|＝|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．[3，＋∞) D ．(1，3)答案 A解析 若双曲线上存在点P 满足|PF|＝|PG|，则必须满足FG 的中垂线与双曲线有交点，则P 是线段FG 中垂线与双曲线的交点，因为直线FG 的方程为y ＝x ＋c ，所以线段FG 中垂线的方程为y ＝－x ，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则－b a <－1，即ba>1，所以e ＝1＋b2a2>2，所以双曲线的离心率的取值范围为(2，＋∞)． 8．(2018·辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M ：x 2m 2－y22m ＋6＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 C解析 c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5≥5，当且仅当m ＝－1时取等号，此时a 2＝m 2＝1，b 2＝2m ＋6＝4，所以b a ＝2，即双曲线的渐近线方程为y ＝±2x，故选C.9．(2018·辽宁师大附中期中)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点．若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为( ) A ．2＋ 2 B ．2＋ 6 C.2＋ 2 D.2＋ 6答案 C解析 将y ＝x 代入x 2a 2－y2b2＝1，可得x ＝±a 2b 2b 2－a2.由矩形的对角线长相等，得2·a 2b 2b 2－a2＝c ，∴2a 2b 2＝(b 2－a 2)c 2，∴2a 2(c 2－a 2)＝(c 2－2a 2)c 2，∴2(e 2－1)＝e 4－2e 2，∴e 4－4e 2＋2＝0，又∵e>1，∴e 2＝2＋2，e ＝2＋ 2.故选C.10．(2018·河南八市重点高中模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 24－y2b 2＝1(b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是( ) A ．±534B ．±354C ．±532D ．±352答案 D解析 不妨设P 点在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4m 2＋n 2＋mn ＝（2c ）2，n ＋2c ＝2m 所以c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2(舍去)，由b 2＝c 2－a 2得b ＝35，则双曲线的渐近线的斜率是±352，故选D.11．(2018·天津一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y25＝1 B.x 25－y220＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 答案 A解析 因为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，得⎩⎨⎧a ＝25，b ＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.12．(2018·兰州市高考诊断)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( ) A.103B.43C.53 D ．2答案 C解析 设直线PF 1与圆相切于点M ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴△PF 1F 2为等腰三角形，∴|F 1M|＝14|PF 1|，∵在Rt △F 1MO(O为坐标原点)中，|F 1M|2＝|F 1O|2－a 2＝c 2－a 2，∴|F 1M|＝b ＝14|PF 1|①，又|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2c ＋2a②，c 2＝a2＋b 2③，故由①②③得，e ＝c a ＝53.故选C.13．(2018·福建漳州一中期中)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．1<e<233B ．e>233C ．e> 3D ．1<e< 3答案 B解析 设点F 2(c ，0)，由于F 2关于直线PF 1的对称点M 恰在y 轴上，不妨设M 在y 轴正半轴上，由对称性可得，|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，则|MO|＝4c 2－c 2＝3c ，则∠MF 1F 2＝60°，∠PF 1F 2＝30°，设直线PF 1：y ＝33(x ＋c)，代入双曲线方程，可得(3b 2－a 2)x 2－2ca 2x －a 2c 2－3a 2b 2＝0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2－a 2>0，即有3b 2＝3c 2－3a 2>a 2，即c>233a ，则有e ＝c a >233.故选B. 14．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3) 答案 A解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n<3.15．(2017·济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( ) A.3＋1 B.3－1 C. 3D. 2 答案 A解析 令正六边形的边长为m ，则有|AD|＝2m ，|AB|＝m ，|BD|＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD|||AB|－|BD||＝2m 3m －m ＝3＋1.16．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x答案 C解析 ∵e＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54. ∴a 2＝4b 2，b a ＝12.∴渐近线方程为y ＝±12x. 17．(2018·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( )A.23B ．1C ．2D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO|＝12|MF 1|＝4. 18．(2018·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 C解析 由已知可得交点(3，4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝b ax 过点(3，4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3，故选C. 19．(2018·杭州学军中学模拟)过双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 作圆C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线C 1于点N.若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为( ) A. 5 B.52 C.5＋1 D.5＋12 答案 A解析 设双曲线C 1的右焦点为F 1.根据题意，得|FN|＝2b ，|F 1N|＝2a.根据双曲线的定义得|FN|－|F 1N|＝2a ⇒b ＝2a ，则e ＝ 5.20．(2018·辽宁五校协作体月考)已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，2]C ．(1，3]D ．(1，3]答案 D解析 设|PF 2|＝m(m≥c－a)，则根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋m.所以|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋m ）2m ＝4a 2m＋4a ＋m≥8a，当且仅当m ＝2a 时等号成立．所以c －a≤2a，解得e≤3，所以1<e≤3.故选D.21．(2018·湖南衡阳一模)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( )A ．4 3 B.1433C ．5 3 D.1633答案 D 解析 ∵⎩⎨⎧|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，∴|PF 1|＋|PF 2|＝833. ∴△PF 1Q 的周长为2(|PF 1|＋|PF 2|)＝1633，故选D. 22．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233 答案 A解析 直角三角形斜边为c ，斜边上的高为ab c ＝34c ，4ab ＝3c 2. 结合0<a<b 得a b ＝13.∴e ＝2. 23．(2018·河南郑州一中期中)已知直线x ＝a 2a 2＋b2被双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为________．答案 2解析 由已知可得2aba 2＋b 2＝bc a 2＋b 2，∴c ＝2a ，∴e ＝c a ＝2. 24．(2015·山东，文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案 2＋ 3解析 设直线方程为y ＝b a (x －c)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，y ＝b a （x －c ），得x ＝a 2＋c 22c ，由a 2＋c 22c ＝2a ，e ＝c a ，解得e ＝2＋3(e＝2－3舍去)．。