数值分析-课件-第02章插值法
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数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
数值分析中的(插值法)
§4 均差与Newton插值公式 §9 评 述
§5 差分与等距节点插值公式
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
第一节 引 言
理学院
2.‹#›
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
理学院
Anhui University of Science and Technology
DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
Y
●
f (x)
● ●
p(x)
●
●
2.‹#›
y0
y1 y2
y n 1
yn
x0 x1 x2
·x
xn1 xn
已知 y=f(x) 在点xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一简
单函数P(x)，满足 P(xi)=yi (i=0,1, ..., n) ( 2.1－1 )
即简单函数P(x)的曲线要经过 y f (x) 上已知
的n+1个点 x0 , y0 , x1, y1 ,L , xn, yn ,
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
理学院
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第二节 拉格朗日插值
❖ 拉格朗日插值多项式 ❖ 截断误差 ❖ 数值实例 ❖ 拉格朗日插值多项式的优缺点
i0 i 1
数值分析ppt第2章_插值法
上页
下页Biblioteka 其中P 次插值多项式, 称为被插函 其中 n(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式 f(x) 称为被插函 次插值多项式 称为插值节点 数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点 (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为 称为插值节点, 插值点, 称为插值区间 插值区间, 称为插值条件 插值点 [a,b] 称为插值区间 式(5-1)称为插值条件。 称为插值条件。 从几何意义来看,上 从几何意义来看 上 述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使它 通过已知的n+1个点 通过已知的 个点 (xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 并用 Pn(x)近似表示 近似表示f(x). 近似表示
第2章 插 值 法 章
在工程技术与科学研究中， 在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达 式过于复杂而不便于计算， 式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处 的函数值；或已知由实验（测量） 的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间 在区间[a,b]中互异的 中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处 处 在区间 中互异的 个 的值y 需要构造一个简单易算的 的值 i=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要构造一个简单易算的 函数P(x)作为 作为y=f(x)的近似表达式 函数 作为 的近似表达式 y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 这类问题就称为插值问题， 称为插值函数 这类问题就称为插值问题， P(x)称为插值函数， 插值问题 称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。 一般取最简单又便于计算得函数。 一般取最简单又便于计算得函数
数值分析中的(插值法)
三、多项式插值问题中需要研究的问题
满足插值条件的多项式 Pn 是x否存在？唯一？
若满足条件的 Pn 存x在，又如何构造？ 用 Pn 近x似代替 f的 x误 差估计？
数值分析 第二章 插值法
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（4）若引入记号
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ) 则
n
1
(xk
)
(xk
x0 )
(xk
xk 1)(xk
xk 1)
(xk
xn )
于是
Ln(x)
n
yklk (x)
k 0
n
yk
k 0
(x
n1(x) xk )n1(xk )
Li(x)为插值基函数。
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
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2.‹#›
注：（1） 插值基函数l i(x) (i=0,1, …,n)仅由插值节点 xi (i=0,1, … ,n)确定,与被插函数 f(x)无关.
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) K ( x)n1( x) 可知：x0 , x1, , xn和x是 (t) 在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点
数值分析 第2章 插值PPT课件
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
数值分析 第2章 插值法
代入抛物插值公式得：
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
数值分析中的(插值法)
与其他方法的结合
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
THANKS
感谢观看
多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
THANKS
感谢观看
多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
第二章 插值法-数值分析
1 1
x0 x1
2 n x0 x0 2 n x1 x1
2 n 1 xn xn xn Nhomakorabea
0 i j n
( x j - xi ) 0
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 , , an .
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
利用 x1 , x2
4
3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
§1 Lagrange Polynomial
i 0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
Interpolation polynomial
2-2 线性插值与抛物插值 1. 线性插值
f (x)
(x0 ,y0) (x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
y1 - y 0 ( x - x0 ) 直线方程为: y - y 0 x1 - x0 x - x0 x - x1 等价变形为: y x - x y 0 x - x y1 0 1 1 0
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
记为: L1 ( x)
引入记号:
x - x1 l 0 ( x) , l1 ( x) x - x0 x0 - x1 x1 - x0
数值分析第二章 插值法
i =0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
推论
§1 Lagrange Polynomial
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b f ( n) ( x)在[a, b]上连续 f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) = f ( x) - L ( x) n n
li ( xi ) = 1
Ci =
1 j i ( xi - x j )
与 节点 有关，而与 f 无关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lagrange Polynomial
(x - xj ) li ( x ) = ( xi - x j ) ji
n j =0
Ln ( x ) = l i ( x ) yi
i =0
n
§1 Lagrange Polynomial
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
课堂作业
1. 当x = 1,-1,2时, f ( x) = 0,-3,4, 求f ( x)的二次插值多项式 2.
已知由数据 (0,0), (0.5, y), (1,3)和(2,2)构造出的 3 三次插值多项式 P ( x ) 的 x 的系数是 6,试确定数据 y 3
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 拉格朗日多项式
例1
/* Lagrange Polynomial */
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
推论
§1 Lagrange Polynomial
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b f ( n) ( x)在[a, b]上连续 f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) = f ( x) - L ( x) n n
li ( xi ) = 1
Ci =
1 j i ( xi - x j )
与 节点 有关，而与 f 无关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lagrange Polynomial
(x - xj ) li ( x ) = ( xi - x j ) ji
n j =0
Ln ( x ) = l i ( x ) yi
i =0
n
§1 Lagrange Polynomial
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
课堂作业
1. 当x = 1,-1,2时, f ( x) = 0,-3,4, 求f ( x)的二次插值多项式 2.
已知由数据 (0,0), (0.5, y), (1,3)和(2,2)构造出的 3 三次插值多项式 P ( x ) 的 x 的系数是 6,试确定数据 y 3
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 拉格朗日多项式
例1
/* Lagrange Polynomial */
第2章 插值法(1)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 数 值 分 析 》
(2―6) (2―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(2―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
(2―5)
第2章 插值法
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点
《 数 值 分 析 》
x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
第2章 插值法
(2―15)
第2章 插值法
显然
0, j i li ( x j ) , i, j 0,1,2, 1, j i
,n
《 数 值 分 析 》
(2―14)式的Pn(x)是n+1个n次多项式li(x)(i=0,1,2,…,n)的 线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式 (2―14)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下 列较简单的形式:
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章 插值法
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
《 数 值 分 析 》
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
插值法与数值微分课件
高斯积分的误差
由于高斯积分是一种近似 计算方法，因此存在误差， 但可以通过选取适当的节 点来减小误差。
数值微分的应用
数值微分在优化问题中的应用
数值微分可以用来求解最优化问题中的目标函数的最小值点，例如牛顿法、梯度下降法等 算法中都使用了数值微分。
数值微分在金融中的应用
数值微分可以用来计算金融衍生品的价格，例如期权、期货等，也可以用来进行风险管理、 资产配置等方面的分析。
样条插值的公式
$f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x x_0)^n$
样条插值的适用范围
适用于数据点变化较大、分布不均匀的情况，且具有更好的局部 拟合性质。
02
数值微分
数值微分的基本概念
数值微分的定义
数值微分是一种近似计算函数导 数的方法，它通过在函数定义域 内选取若干点，利用这些点的函
方向导数的定义 方向导数是函数在某点沿某一方向的变化率。
梯度与方向导数的关系 梯度是方向导数最大值的方向，因此梯度可以用 来判断函数在某点的最优方向。
高斯积分
高斯积分的定义
高斯积分是一种数值积分 方法，它利用高斯函数的 性质来计算函数的积分。
高斯积分的优点
高斯积分可以快速、准确 地计算函数的积分，适用 于解决实际问题中无法得 到解析解的问题。
数值来近似计算函数的导数。
数值微分的优点
数值微分可以快速、准确地计算 函数的导数，适用于解决实际问
题中无法得到解析解的问题。
数值微分的误差
由于数值微分是一种近似计算方 法，因此存在误差，但可以通过
选取适当的节点来减小误差。
数值分析--清华李庆杨五版第二章_插值法
xi
(i=0,1,…,n )
处与 f ( xi ) 相等,在其它点x就用 (x) 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换 句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用 (x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希
望 (x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由
l0 ( x) c( x x1 )( x x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1 ( x1 ) 1, l1 ( x0 ) 0 , l1 ( x2 ) 0 的插值多项式
( x x0 )( x x 2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )( x1 x 2 )
a n x0 n a n 1 x 0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
j 0 j k n
于是
Ak
1
(x
j 0 j k
n
k
xj)
代入上式,得
(x x
l k ( x)
j 0 jk n
n
j
)
j 0 jk n
x xj xk x j
(x
j 0 jk
k
xj)
称
l k (x) 为关于基点
x i 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
l k ( xi ) ki
1 0
(i k ) (i k )
l 0 ( x) 与 l1 ( x) 称为线性插值基函数。且有
数值分析第二章PPT
提示已知道
§4 差分与等距节点插值
上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距 节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分． 一、差分及其性质
差分的基本性质:
差分表:
k fk ∆
∆2
0 f0
∆f0
1 f1
∆2f0
∆f1
2 f2
∆2f1
∆f2
3 f3
∆2f2
∆f3
┆
4 f4 ┆
┆┆
• 解 x0 = − 1, x1 = 1,
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例2 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f '(0) = 2, 构造二次插值函数。
• 解 公式法
•
设 f '(1) = m1，有三次Hermite插值公式得，
令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 H2(x) = −x2 + 2x + 1.
利用
sin 50内0 插L1(通51p8常) 优0于.77外614推。这选里择
而 要计算的 x 所在的区间的
端点，插值效果较好。
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
sin 50 0.76008,
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
二、拉格朗日插值多项式
需要指出…
练习 给定数据表
xi
ห้องสมุดไป่ตู้
01 2
3
yi
0 1 5 14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
三、插值余项与误差估计
§4 差分与等距节点插值
上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距 节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分． 一、差分及其性质
差分的基本性质:
差分表:
k fk ∆
∆2
0 f0
∆f0
1 f1
∆2f0
∆f1
2 f2
∆2f1
∆f2
3 f3
∆2f2
∆f3
┆
4 f4 ┆
┆┆
• 解 x0 = − 1, x1 = 1,
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例2 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f '(0) = 2, 构造二次插值函数。
• 解 公式法
•
设 f '(1) = m1，有三次Hermite插值公式得，
令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 H2(x) = −x2 + 2x + 1.
利用
sin 50内0 插L1(通51p8常) 优0于.77外614推。这选里择
而 要计算的 x 所在的区间的
端点，插值效果较好。
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
sin 50 0.76008,
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
二、拉格朗日插值多项式
需要指出…
练习 给定数据表
xi
ห้องสมุดไป่ตู้
01 2
3
yi
0 1 5 14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
三、插值余项与误差估计
数值分析-课件-第02章插值法1概论
解
制差商表
xi 4.0002 4.0104 4.0233 4.0294
lg xi 0.6020817 0.6031877 0.6045824 0.6052404
一阶差商
二阶差商
0.108431 0.108116 0.107869
-0.0136 -0.0130
根据问题知插值点x=4.01在 x0 与 x1 之间，故可用前三点 x0 , x1, x2 的二次插值多项式计算，即用
4
1, 2
sin3
3 2
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50， 并
估计误差。
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
x0 6 , x1 4
L1
(
x)
x /
/ 6
4 /4
1 2
x /
/ 4
6 /6
sin 500
L1
(
5
18
P1 x
y0
y1 x1
y0 x0
x
x0
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
1 i0
li
xyi
l0(x)
l1(x)
2020/11/17
2.6
Numerical Analysis
构造基函数
l
j
(x)
(x x0 )(x (x j x0 )(x j
x1 ) x1 )
一般地，xi 点的 n 阶向前差分
是 yi , yi1,
n yi n1 yi1 n1 yi
, yin 的线性组合。
向后差分
n yi n1 yi n1 yi1
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
数值分析 第 版 插值法
其中K(x)是待定函数。
对于任意固定的x[a,b], xxk ,构造自变量t 的辅助
函数
( t ) f ( t ) L n ( t ) K ( x ) n 1 ( t )
19
( t ) f ( t ) L n ( t ) K ( x ) n 1 ( t )
由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
称为f (x)在x0 , x1 , …, xn点的 n 阶差商。 差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下
26
xk 函数值
x0 f (x0)
x1 f (x1)
x2 f (x2)
x3 ...
f (x3) ...
一阶差商
表5-1
二阶差商
f [ x0 , x1] f [ x1 , x2] f [ x2 , x3]
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式
是范德蒙行列式，即：
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi )
ji
1 xn xn2 xnn
4
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi )
ji 1 xn xn2 xnn
由于插值节点 xi 互不相同, 所有因子 xj-xi 0, 所以上 述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组 (2-3) 的 解存在唯一. 即满足条件式 (2-1)的次数不超过n的多项 式(2-2) 存在且唯一。证毕。
定理1 设f (x)在区间[a ,b]上存在n+1 阶导数,
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f (2) ( x ) 1 3 R1 ( x) ( x )( x ), sin x 2! 6 4 2 2
5 0.01319 R1 ( ) 0.00762 18
2.9
数值分析
Numerical Analysis
利用
x1 , x2 4 3
注：取七位有效数字的真值
lg 4.01 0.6031444
数值分析
2.17
Numerical Analysis
2.4 等距节点插值
差分的定义
设函数 y f x 在等距节点 xi x0 ih, i 0, 1, 2, 上的函数值 yi f xi 为已知，常数 h 叫做步长，则
l0(x)
数值分析
l1(x)
2.6
Numerical Analysis
构造基函数
l j ( x)
n
( x x0 )( x x1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 )( x j x1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) (x j xn ) x xi
yi yi 1 yi
yi yi yi 1
分别称为函数 f x 在点 xi 的一阶向前差分，一阶向后差分。 利用一阶差分，可以定义高阶差分。例如：
二阶向前差分
2 yi yi 1 yi y i 2 2 yi 1 yi 2 yi yi yi 1 yi 2 yi 1 yi 2
f x0 , x1 , x2
f x0 , x1 f x 1 , x2 x0 x2
称为点 x0 , x1 , x2 上的二阶差商。
数值分析
2.13
Numerical Analysis
一般地，由m-1阶差商 f x0 , x1 , x2 , , xm 1 及 f x1 , x2 ,, xm ，再作 两点 x0 , xm 上的一阶差商，便得到 x0 , x1 , x2 ,, xm 点上的m阶差 商
的二次插值多项式计算，即用
数值分析
2.16
Numerical Analysis
P2 ( x) f ( x0 ) f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1
计算，代入数据，得
lg 4.01 P2 (4.01) 0.6020817 0.108431 0.0098
2次插值的实际误差 0.00061
数值分析
2.11
Numerical Analysis
2.3 Newton插值多项式
拉格朗日插值多项式构造简单，形式对称，计算方便，理论分析中 有重要的应用价值。但要想在计算中进一步提高精度，增加节点，
则要重新构造基函数，原来的计算要作废，这对实际计算很不利。
为了克服这个缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P x y0 1
y1 y0 x x0 x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li x yi i 0 x0 x1 x1 x0
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50， 并 估计误差。
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
6 4 5 sin 500 L1 ( ) 0.77614 18 x0
, x1
L1 ( x ) x / 4 1 x / 6 1 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2
数值分析
2.2
Numerical Analysis
2.1 插值法的概念
举例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M）
466
741
950
1422
1634
水温（oC）
7.04
4.28
3.40
2.54
2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000 米„）处的水温。
2.18
二阶向后差分
数值分析
Numerical Analysis
一般地，xi 点的 n 阶向前差分
yi
n
n 1
yi 1
n 1
yi
是
yi , yi 1 ,, yi n 的线性组合。
向后差分
yi
n
n 1
yi
n 1
yi 1
是
yi n ,, yi 1 , yi
f x0 , x1 , x 2 , , xm f x0 , x1 , x 2 , , xm 1 f x1 , x 2 , , xm x0 xm
数值分析
2.14
Numerical Analysis
均差计算表
xi x0 x1 x2 x3 x4 x5
...
计算得：sin 50 0.76008,
5 0.00660 0.00538 R1 18
sin 50 = 0.7660444…
利用x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001
利用x1, x2作为插值节点的实际误差 0.00596
数值分析
2.10
2.12
确定
Numerical Analysis
数值分析
差商（也叫均差） 设 y f x 在 a, b 上定义，令互异的点 xi a, b , i 0,1, 2, , n ， 相应的函数 yi f xi , i 0,1, 2,, n 值，记两点上的一阶差商 为，即
lg xi
0.6020817
一阶差商
Байду номын сангаас
二阶差商
4.0104
4.0233 4.0294
0.6031877
0.6045824 0.6052404
0.108431
0.108116 0.107869 -0.0136 -0.0130
根据问题知插值点x=4.01在 x0 与 x1 之间，故可用前三点 x0 , x1 , x2
i 0 i j
x j xi
j=0,1,…，n
（1）
与 节点有关，而与f 无关
数值分析
2.7
Numerical Analysis
可以证明函数组l0(x)，l1(x)，…, ln(x) 在插值区间［a,b］上线性无关，所
以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数
插值多项式
Pn(x)=Ln(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x)
记为Pn(x)＝ f(xj)lj(x)=Ln(x)
数值分析
称Pn(x)为n次Lagrange插值多项式
2.8
Numerical Analysis
例：已知
sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 3 2 2
yi yi 1 f xi , xi 1 xi xi 1
由定义知： f x0 , x1 f x1 , x0 即差商具有对称性。 显然，一阶差商 f x, x1 是一元函数，再考虑它在点 x0 , x2 的一阶差 商，并记 f x 0 , x1 , x2 ，即
数 值 分 析
Numerical Analysis
机械与汽车工程学院
主讲人：孔胜利
kongsl@
2011-09-01
数值分析
2.1
Numerical Analysis
第2章 插值法
§ 插值法的概念 § 拉格朗日插值多项式 § Newton插值多项式 § 等距节点插值 § Hermite插值 § 分段插值和抛物线插值 § 样条插值
……
f xn 2 , xn 1 , xn
2.15
f x2 , x3
xn1 f xn 1 xn
f xn
f xn 2 , xn 1 f xn 3 , xn 2 , xn 1 f xn 1 , xn
……
f x0 , x1 , , xn
的线性组合。
数值分析
2.19
Numerical Analysis
0.0136 0.0098 0.0004 0.6031444
P ( x) f ( x0 ) f x0 , x1 x x0 1
也可以取 x0 , x1 作线性插值计算，即 代入数据，得
lg 4.01 P (4.01) 0.6020817 0.108431 0.0098 0.6031443 1
Pn ( x) a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x xn 1 其中，a0 , a1 , an为待定系数，可由插值条件 Pn x j f j
j 0,1, , n
18
sin 50 L2 (
R2 ( x )
) 0.76543
1 cos 3 x 2 2
cos x ( x )( x )( x ) ; 3! 6 4 3
5 0.00044 R2 0.00077 18
sin 50 = 0.7660444…
f xi f x0 f x1 f x2 f x3 f x4 f x5