高中数学压轴题试卷整合

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高中数学压轴题题型名校模考题汇总

专题10压轴题题型汇总

压轴题型一、保值函数型

“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。

1、现阶段主要是一元二次函数为主的。核心思路是转化为“根的分布”。

2、函数单调性是解决问题的入口之一。

3、方程和函数思想。特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。如第1题

1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.

（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；

（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使

得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（

）

A ．(1,0]-

B ．(1,)-+∞

C ．2,0]

D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x

-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；

（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

k
的最
小值为（）
A． 9
B． 8
C． 7
D． 6
25．若对任意
x
0
，均存在
a
R
，使得
m
ax
1 ea x
成立，则
实数 m 的取值范围是（）
A．
1 e
,
B．1,
C． 0,
D．
2 e
,
26．已知函数 f x 9ln x2 a 3 xln x 33 a x2 有三个不同的
零点
x1
，x2
大值是( )
A．3
B．2
C．4
D．5
15．若对任意
x
0
，恒有
a
eax
1
2
x
1 x
ln
x
，则实数
a
的最
小值为（）
A．
1 e2
B．
2 e2
C．
1 e
D．
2 e
16．若 1 (a 1)x2 1 ex x 对 x 0 恒成立，则实数 a 的取值范
2
围是( )
A． (, 2]
B． (,2)
C． (,1]
所以 x 3ln x 0一定有实数根.
所以 ex3lnx et t 1 x 3ln x 1当且仅当 t 0 ,
9

压轴题专题训练(共20题)

的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。
11．记函数， ,它们定义域的交集为 ,若对任意的
, ，则称是集合的元素．
（1）判断函数是否是的元素；
（2）设函数，求的反函数，并判断是否是的元素；
（3）若，写出的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数类型酌情给分）
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2 为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 ①…………8分
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）
则
代入①并整理得点N的轨迹方程为 ……1Байду номын сангаас分
（3）由
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程上有两个不等实根．
∴集合中的最大元素为
，最小元素为。………18分
7．（1）时，直线上有个点，
直线上有，直线上有，
直线上有
2分
2分
（2）时，时，
当时， 3分
2分
当时也满足，， 1分
（3），1分
；1分
2分
当时， 1分
当且时， 1分
8、（18分）（1）到定点的距离等于到定直线的距离
（1）求f(0)及，的值，并归纳出的表达式（不必证明）；

2021年高考数学压轴题100题精选含答案

A1F
: FA
1: 2 ，所以 B1M
3 2
A1B1
3
，
又 E 为棱 CC1 上的中点，所以 B1N 4 ,
VB1 BMN
所以
VN B1BM
1 3
1 2
2
3
4
4
，故正确；
对于 C.由题意及图形可判定直线 MN 与平面 A1B1BA 所成的角为 B1MN ，
tan B1MN
结合 B 选项可得
A(0, 0, 2), M ( 2 , 3 2 , 2),C(0, 2 2, 0)
构建如下空间直角坐标系，
22
，若 P(x, y,0) ，则
AM ( 2 , 3 2 , 0), AC (0, 2 2, 2), AP (x, y, 2)
22
，
cos MAC AM AC 6 15
∴
| AM || AC | 5 12 5 ，
【答案】ABD
【分析】
选项 A，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面 A1BD// 平面 B1D1C ，知满足 A1P// 平面 B1D1C
的点 P 在 BD 上， A1P 长的最大值为
2r A1P 2 ；结合以上条件点 P 与 B 或 D 重合，利用 sin 60 ，求
r 6 出 3 ，进而求出面积.
5．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 O 为 A1D1 的中点，若以 O 为球心， 6 为半径的

高考数学真题——函数压轴题(含答案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2018年数学全国1卷已知函数1

()ln f x x a x x

-+．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()

1212

2f x f x a x x -<--．

解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222

()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.

（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.

（ii ）若2a >，令()0f x '=

得，2a x -=

或2a x +=.

当2()a a x

+∈+∞

时，()0f x '<；当x

∈时，()0f

x '>.所以()f x 在

)

+∞单调递减，在单

调递增.

（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.

由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设

12x x <，则21x >.由于

121212212121212

()()ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于222

2ln 0x x x -+<.

设函数1

()2ln g x x x x

高中数学数列大题压轴题集锦难题培优带答案

高中数学数列练习题

一．解答题（共40小题）

1．若无穷数列{a n}满足：a1是正实数，当n≥2时，|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，则称{a n}是“Y﹣数列”．（Ⅰ）若{a n}是“Y﹣数列”且a1＝1，写出a4的所有可能值；

（Ⅱ）设{a n}是“Y﹣数列”，证明：{a n}是等差数列当且仅当{a n}单调递减；{a n}是等比数列当且仅当{a n}单调递增；

（Ⅲ）若{a n}是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有a T+n＝a n），求集合{1≤i ≤2018|a i＝a1}的元素个数的所有可能值的个数．

2．若无穷数列{a n}和无穷数列{b n}满足：存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A，则称数列{a n}与{b n}具有关系P（A）．

（1）设无穷数列{a n}和{b n}均是等差数列，且，问：数列{a n}与{b n}是否具有关系P（1）？

说明理由；

（2）设无穷数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，，证明：数列{a n}与{b n}具有关系P（A）；并求A的最小值；

（3）设无穷数列{a n}是首项为1，公差为d（d∈R）的等差数列，无穷数列{b n}是首项为2，公比为q（q∈N*）的等比数列，试求数列{a n}与{b n}具有关系P（A）的充要条件．

3．对于数列{x n}，若存在m∈N*，使得x2m﹣k＝x k对任意1≤k≤2m﹣1（k∈N*）都成立，则称数列{x n}为“m﹣折叠数列”．

压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题06解析几何压轴题

题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线

题型/考向二：圆锥曲线的性质综合

题型/考向三：圆锥曲线的综合应用

一、直线与圆、直线与圆锥曲线

热点一直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

判断方法：

(1)点线距离法(几何法).

(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，

＋By＋C＝0，

x－a）2＋（y－b）2＝r2，

消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

热点二中点弦问题

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.

(1)若椭圆E的方程为x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)，则k＝－

·x0

y0；

(2)若双曲线E的方程为x2

a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)，则k＝

·x0

y0；

(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝p

热点三弦长问题

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，

则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2

或|AB|＝1＋1

|y1－y2|＝1＋1

k2（y1

＋y2）2－4y1y2.

热点四圆锥曲线的切线问题

1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.

高三数学压轴题(全6套)

高考数学――压轴题跟踪演练系列一

主编：张杰（原考试院数学组成员）

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.

2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =

，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点

(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.

（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（Ⅱ）若()()()

n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k

值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n

，不等式

120111111n n n a b b b +-

≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

成立，求正数a 的取值范围.

3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 2

=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;

(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.

求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .

高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴）

一．选择题（共30小题）

1．（2013文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．考

点：

利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化．

专

题：

计算题；压轴题；数形结合．

分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论．

解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2

∵x1，x2是原函数的极值点

所以有x1+x2=，，

故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==．

故选D．

点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题．

2．（2013乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）

A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α

考

点：

导数的运算．

专

题：

压轴题；新定义．

分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．

解

答：

解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，

高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导填选压轴

一．选择题共30小题

1．2013文昌模拟如图是fx=x3+bx2+cx+d的图象,则x12+x22的值是

A．B．C．D．

考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化．

专题：计算题；压轴题；数形结合．

分析：先利用图象得：fx=xx+1x﹣2=x3﹣x2﹣2x,求出其导函数,利用x1,x2是原函数的极值点,求出x1+x2=,,即可求得结论．

解答：解：由图得：fx=xx+1x﹣2=x3﹣x2﹣2x,

∴f'x=3x2﹣2x﹣2

∵x1,x2是原函数的极值点

所以有x1+x2=,,

故x12+x22=x1+x22﹣2x1x2==．

故选D．

点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值,是对基础知识的考查,属于基础题．

2．2013乐山二模定义方程fx=f′x的实数根x0叫做函数fx的“新驻点”,若函数gx=x,hx=lnx+1,φx=x3﹣

1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为

A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α

考点：导数的运算．

专题：压轴题；新定义．

分析：

分别对gx,hx,φx求导,令g′x=gx,h′x=hx,φ′x=φx,则它们的根分别为α,β,γ,即α=1,lnβ+1=,γ3﹣1=3γ2,然后分别讨论β、γ的取值范围即可．

解答：

解：∵g′x=1,h′x=,φ′x=3x2,

由题意得：

α=1,lnβ+1=,γ3﹣1=3γ2,

①∵lnβ+1=,

∴β+1β+1=e,

当β≥1时,β+1≥2,

∴β+1≤＜2,

【压轴题】数学高考试题(附答案)

一、选择题

1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．

B ．

C ．

D ．

112

2．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π

C ．125π

D ．都不对

3．若复数2

z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i

B ．1−i

C ．−1+i

D ．−1−i

4．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与

c 所成的角的大小为（）

A ．120°

B ．90°

C ．60°

D ．30°

5．设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π

=，则（） A ．a b c << B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

6．若圆与圆22

2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（）

A ．21

B ．19

C ．9

D ．-11

7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成

绩依次记为1214,,

A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流

程图，那么算法流程图输出的结果是（）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A

高考数学历年压轴题集锦

高考数学压轴题集锦

1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F (c ,0)（c >0）的准线l 与x 轴相交于点A ，OF =2FA ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若OP ⋅OQ =0，求直线PQ 的方程；

（3）设AP =λAQ （λ>1），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证

明FM =-λFQ . (14分)

2．

已知函数f (x )对任意实数x 都有f (x +1)+f (x )=1，且当x ∈[0,2]时，

f (x )=|x -1|。

（1）

x ∈[2k ,2k +2](k ∈Z )时，求f (x )的表达式。

（2）证明f (x )是偶函数。

（3）试问方程f (x )+log 43．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x +(y -3)=1。（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；

（2）过点F 的直线g 交轨迹E 于G（x 1，y 1）、H（x 2，y 2）两点，求证：x 1x 2为定值；（3）过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A、B，要使四边形PACB 的面积S 最小，求

点P 的坐标及S 的最小值。

x -15

-10

-5

-2

-4

-6

=0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有x

实数根，请说明理由。

221015

x 2

24.以椭圆2

+y ＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试a 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

2024年高考数学压轴题专项训练：立体几何压轴题十大题型汇总(解析版)(共65页)(1)

立体几何压轴题十大题型汇总

命题预测

本专题考查类型主要涉及点立体几何的内容，主要涉及了立体几何中的动点问题，外接球

内切球问题，以及不规则图形的夹角问题，新定义问题等。

预计2024年后命题会继续在以上几个方面进行。高频考法

题型01几何图形内切球、外接球问题题型02立体几何中的计数原理排列组合问题

题型03立体几何动点最值问题题型04不规则图形中的面面夹角问题题型05不规则图形中的线面夹角问题

题型06几何中的旋转问题题型07立体几何中的折叠问题题型08不规则图形表面积、体积问题题型09立体几何新定义问题题型10立体几何新考点

题型01几何图形内切球、外接球问题

解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程

如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

1(多选)(23-24高三下·浙江·开学考试)如图，

八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A ,B ,C ,D 在同一个平面内，如果四边形ABCD 是边长为2的正方形，则()

A.异面直线AE 与DF 所成角大小为π

B.二面角A -EB -C 的平面角的余弦值为13

C.此八面体一定存在外接球

D.此八面体的内切球表面积为

8π3

高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)

（II）过点（2，0）作直线 l ，与曲线 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，设 OS OA OB, 是否存在这样的直线 l ，使四边形 OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线 l
的方程；若不存在，试说明理由.
21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为 A，B，C），B 在 A 的正东方向，相距 6km,C 在 B 的北偏东 300，相距 4km,P
13．（本小题满分 14 分）已知数列an 满足 a1 1, an1 2an 1 n N
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 bn 满足 4 4 b11 b2 4 1 b31 4bn 1 (an 1)bn ，证明： an 是等差数列；
（Ⅲ）证明： 1 1 1 2 n N
为航天员着陆点，某一时刻 A 接到 P 的求救信号，由于 B、C 两地比 A 距 P 远，因此 4s 后，B、C 两
个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为 1km/s.
（1）求 A、C 两个救援中心的距离；（2）求在 A 处发现 P 的方向角；
（3）若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出，则 A、B 收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的 C
都有 f (mn) [ f (m)]n ，且 f (2) 4 ，又当 x 0 时，其导函数 f '(x) 0 恒成立。

高考数学压轴题专练

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

题型突破练——压轴题专练

压轴题专练(一)

建议用时：40分钟

1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，

且经过点⎝

⎛⎭⎪⎫

1，22.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3P A →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．

解 (1)由题意知c ＝1,2a －2

2＝

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫222

，∴a ＝2，b ＝

a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x

22＋y 2＝1.

(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0，由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2

＝2

m 2＋2

.② 由PB →＝3P A →，得y 2＝3y 1.③ 由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2.

不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －23，

则所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－13，0.又B (0,1)，

∴圆的半径r ＝10

∴圆的方程为⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋132＋y 2＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.

(1)求实数a 的取值范围；

(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝ [ax 2＋(a －1)x －a ]e x .

压轴题11 导数的综合应用(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题11

导数的综合应用

题型/考向一：导数与不等式的证明题型/考向二：导数与函数的零点题型/考向三：不等式恒成立或有解问题

○

热

○点○题○型一导数与不等式的证明

导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.

利用导数证明不等式问题的方法

(1)直接构造函数法：证明不等式f (x )＞g (x )(或f (x )＜g (x ))转化为证明f (x )－g (x )＞0(或f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－

g (x ).

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.

1．已知函数2

3()ln a

f x x x x =+

-．(1)若0a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若12,x x （12x x <）是()f x 的两个极值点，证明：()()1212

4f x f x x x a

-<-．

2．设整数，*N n ∈，1x >-且0x ≠，函数11f x x px =+--．

(1)求证：()0f x >；

(2)求证：1111111113521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+++⋅⋅⋅+> ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3．已知函数()ln ()e x

f x k x k =+

∈R .(1)若函数()y f x =为增函数，求k 的取值范围；(2)已知120x x <<.