高中数学压轴题试卷整合

2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷

18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <．

（Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由；

（Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．

19.已知椭圆G ：2

212

x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．

（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；

（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

西城区高三统一测试

18．（本小题满分13分） 已知函数21()e 2

x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．

（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；

（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值．

19．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O

且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．

2017年南通市高考数学全真模拟试卷一

13.已知角,αβ满足tan 7tan 13

αβ=，若2sin()3αβ+=，则sin()αβ-的值为． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为．

18.已知椭圆:C 22

31mx my +=(0)m >

的长轴长为，O 为坐标原点.

（1）求椭圆C 的方程和离心率.

（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.

19.已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.

（1）设0c =.

①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；

②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值. （2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立. 13.1

5

-14.5 18.（1）由题意知椭圆:C 22

111

3x y m m

+=， 所以21a m =，213b m

=，

故2a ==， 解得16m =

， 所以椭圆C 的方程为22

162

x y +=.

因为2c ==，

所以离心率c e a =

=. （2）设线段AP 的中点为D .

因为BA BP =，所以BD AP ⊥.

由题意知直线BD 的斜率存在，

设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，

则点D 的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003

AP y k x =-， 所以直线BD 的斜率00

31BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22

y x x y x y -+-=-. 令0x =，得2200092x y y y +-=，故22000

9(0,)2x y B y +-. 由2200162

x y +=，得220063x y =-，化简得202023(0,)2y B y --.

因此，OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形

=． 当且仅当0032||2||y y =

时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB

面积的最小值为

19.解：（1）当0c =时，32

()f x ax bx b a =-+-. ①若a b =，则32

()f x ax ax =-， 从而2

'()32f x ax ax =-， 故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --.

将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x --，

解得00x =或01x =.

②若a b >，则令2'()320f x ax bx =-=，解得0x =或213b x a

=<. （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，

所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，

从而()f x 的最大值为(1)0f =.

（ii ）若0b >，列表：

所以()f x 的最大值为(1)0f =.

综上，()f x 的最大值为0.

（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.

不妨设12x x <，则12()()f x f x <.

因为1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，

所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.

因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，'()0f x ≤，

故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，

从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，故假设不成立.

既不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立.

深圳市2017年高三年级第二次调研考试

（12）设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x e λλ

-≥恒成立，则λ的最小值为() （A ）1e （B ）12e （C ）2e （D ）3

e （20）（本小题满分12分）

平面直角坐标系中，动圆C 与圆()22114x y -+=外切，且与直线12

x =-相切，记圆心C 的轨迹为曲线T .

（Ⅰ）求曲线T 的方程；

（Ⅱ）设过定点(),0Q m (m 为非零常数)的动直线l 与曲线T 交于A 、B 两点，问：在曲线T 上是否存在点P （与A 、B 两点相异），当直线P A 、PB 的斜率存在时，直线P A 、PB 的斜率之和为定值.

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

（21）（本小题满分12分）