高中数学 1.2.3 第1课时直线与平面垂直基础巩固试题

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2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2

第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体PAMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ．又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1．因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC ．又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ，所以ON ∥AM ．又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形．所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ．因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ，所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1．又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ，所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形，所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ，所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ．又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1．又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ，所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ．若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ，则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2．答案：29．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ，在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形．又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ．又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′，所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C MNB ＝V M BCN ，因为∠BAC ＝90°，所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2，因为M 为A ′B 的中点，所以M 到平面BCN 的距离为22，所以V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥PABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。

直线与平面的垂直练习题

直线与平面的垂直练习题1.在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。

证明：AP⊥BC。

证明：连接OP，由于PO⊥平面ABC，所以OP垂直于平面ABC，又因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，所以AP 垂直于平面ABC，即AP⊥BC。

2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点，D1是A1B1中点。

1）证明：AC1 //平面CDB1.连接AC1，BD1，C1D1，由于AC⊥BC，所以AC⊥平面ABC，又因为ABCD为平行四边形，所以AD=BC，所以AD1=BC1，所以D1为B1C1的中点，所以BD1=CD1，所以BD1C1为等腰三角形，所以∠C1BD1=∠BD1C1，又因为AC⊥平面ABC，所以AC1⊥平面ABC，所以AC1与BD1C1平行，所以AC1//平面CDB1.2）证明：面AC1D//面B1CD。

连接A1D，C1B1，由于D为AB的中点，所以AD=C1B1，又因为AC⊥BC，所以AC⊥平面ABC，所以AC1⊥平面ABC，所以AC1与C1B1平行，所以AC1C1B1为平行四边形，所以AC1=CB1，所以AC1B1C1为菱形，所以∠C1A1D=∠C1B1D，又因为AC1⊥平面ABC，所以∠B1CD=∠C1BD，所以∠C1A1D=∠B1CD，所以面AC1D//面B1CD。

3）证明：AC⊥BC1.连接AC1，BC，由于AC⊥BC，所以AC垂直于平面BC1C，又因为AC1 //平面CDB1，所以AC1垂直于平面BC1C，所以AC与AC1均垂直于平面BC1C，所以AC⊥平面BC1C，即AC⊥BC1.3.四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E 是SD的中点。

1）证明：XXX。

连接SE，AE，由于SD⊥平面ABCD，所以SD垂直于平面EAC，又因为E为SD的中点，所以SE垂直于平面EAC，所以SE与AE均垂直于平面EAC，所以SE//平面EAC，又因为SB与SE在平面EAC上，所以SB//平面EAC。

高中直线、平面垂直的判定与性质知识点+例题+练习

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

专题09 空间直线与平面的垂直问题-高中数学专项训练测试卷(解析版)

专题09空间直线与平面的垂直问题知识点1直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α3、图形语言：知识点2直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：a ⊥b ⊥a ∥b3、图形语言：4、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.知识点3平面与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直2、图形语言：3、符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥知识点4平面与平面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直2、图形语言：3、符号语言：l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭4、平面与平面垂直的其他性质（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即,,A A b b b αβαβα⊥∈∈⊥⇒⊂，（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即,αβγβγα⊥⇒⊥∥；（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即,b b b αββαα⊥⊥⇒⊂∥或；（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即,,l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥ ；（5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即,,,,,,,l m n l m m n l nαβαββγβγγαγα⊥=⊥=⊥=⇒⊥⊥⊥ 知识点5三种垂直关系的转化考点1垂直关系的判定【例1】（2022·高一单元测试）已知直线a 在平面β上，则“直线l a ⊥”是“直线l β⊥”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要【答案】B【解析】直线a 在平面β上，则“直线l a ⊥”成立时，“直线l β⊥”不一定成立；“直线l β⊥”⇒“直线l a ⊥”，∴直线a 在平面β上，则“直线l a ⊥”是“直线l β⊥”的必要非充分条件.故选：B .【变式1-1】（2022春·福建·高一福建省泉州第一中学校考期中）已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若a b ⊥r r ，b α⊥，则//a αB ．若//a α，//a β，且b αβ= ，则//a bC ．若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥r rD ．若αβ⊥，a α⊂，b β⊥，则//a b 或a ，b 异面【答案】B【解析】对于A ，当a α⊂时，由b α⊥，满足a b ⊥r r，即此时//a α不成立，A 错误；对于B ，因为b αβ= ，//a α，//a β，过直线a 作平面,l d γαγβ== ，如图，于是//a l ，//a d ，有//l d ，而,l d αα⊂⊄，则//αd ，又b αβ= 且d β⊂，因此//b d ，所以//a b ，B 正确；对于C ，αβ⊥，令m αβ= ，因为a α⊂，b β⊂，当//,//a m b m 时，//a b ，此时a b ⊥r r 不成立，C 错误；对于D ，因为αβ⊥，a α⊂，b β⊥，显然b 可以在α内，当b α⊂时，a 与b 可以相交，此时//a b 或a ，b 异面不成立，D 错误.故选：B【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对①，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故①正确；对②，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故②正确；对③，若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，如正方体中，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，AB⊂平面ABCD，AB⊥BC，但AB与平面A1BCD1不垂直，故③错误；对④，α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，如正方体中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，平面ADD1A1∩平面A1BCD1＝A1D1，但BC//A1D1，故④错误．所以正确的结论个数为2个．故选：C．【变式1-3】（2022春·高一课时练习）如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是（）A ．平行B ．不垂直C ．垂直D ．相交【答案】C 【解析】连接AC ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，BD ⊂面ABCD ，所以MC BD ⊥，又MC AC C ⋂=，,MC AC ⊂面MAC ，所以BD ⊥面MAC ，MA ⊂面MAC ，所以MA ⊥BD .故选：C【变式1-4】（2022春·高一课时练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA AB =，D 为PB 的中点，则下列结论正确的有（）①BC ⊥平面PAB ；②AD PC ⊥；③AD ⊥平面PBC ；④PB ⊥平面ADC .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解析】对于①，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，又∵AB ⊥BC ，PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，故①正确；对于②，③，由①，∵BC ⊥平面PAB ，AD ⊂平面PAB ，∴BC AD ⊥，又∵PA AB =，D 为PB 的中点，∴AD PB ⊥，又∵BC PB B = ，BC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴AD ⊥平面PBC ，又∵PC ⊂平面PBC ，∴AD PC ⊥，故②，③正确；对于④，假设PB ⊥平面ADC ，则∵CD ⊂平面ADC ，∴PB CD ⊥，又∵D 为PB 的中点，∴PC BC =，∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PA AC ⊥，∴Rt PAC △中，PC AC >，又∵AB ⊥BC ，∴Rt ABC △中，AC BC >，∴PC AC BC >>，PC BC ≠，∴假设不成立，故④错误.∴正确的有①②③，共3个.故选：D.考点2线面垂直的证明【例2】（2022春·高一课时练习）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，O 是底面ABCD 的中心，求证：EF ⊥平面BB 1O .【答案】证明见解析【解析】∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BO .又∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BB 1，又∵BO ∩BB 1＝B ，1,BO BB ⊂平面BB 1O ，∴AC ⊥平面BB 1O ，又EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BB 1O .【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，1MD NB ==.证明：DN ⊥平面ACM .【答案】证明见解析【解析】设AC BD O = ，连接MO ，设MO DN H = ，如图所示，因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD NB ∥.又1MD NB ==，所以四边形MNBD 为平行四边形.因为MD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MD BD ⊥，所以四边形MNBD 为矩形，且2MN BD =.由O 为BD 的中点，得22OD =，所以2MN DMDM OD =所以Rt Rt NMD MDO △∽△，从而DMH MNH ∠=∠，因为90DMH NMH ∠+∠=︒，所以90MNH NMH ∠+∠=︒，从而90MHN ∠=︒，即MO DN ⊥.因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又MD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以MD AC ⊥，又MD ，BD ⊂平面BDMN ，且BD MD D ⋂=，所以AC ⊥平面MNBD .又DN ⊂平面MNBD ，所以AC DN ⊥.又MO AC O ⋂=，MO ，AC ⊂平面ACM ，所以DN ⊥平面ACM .【变式2-2】（2022·高一课前预习）如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【答案】证明见解析【解析】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.【变式2-3】（2021·高一课时练习）如图，在四面体ABCD中，BD=，=====．求证：平面ABD⊥平面BCD．AB AD CB CD AC a【答案】证明见解析【解析】由题设知，ABD △与BCD △是全等的等腰三角形，取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥．在ABD △中，AB a =，1222BE BD a ==，所以2222AE AB BE a =-，同理22CE a =，在AEC △中，22AE CE a ==，AC a =．由于222AC AE CE =+，所以AE CE ⊥，又BD CE E ⋂=，AE ∴⊥平面BCD ．又AE ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，E 为PB 的中点．求证：平面AEC ⊥平面PBD ．【答案】证明见解析【解析】设AC BD O = ，连接EO PO ，，如图所示:由题意可得，PA PC O =，为AC 的中点，∴AC PO ⊥，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵PO ⊂平面PBD BD ⊂，平面PBD ，且PO BD O = ，∴AC ⊥平面PBD ，又∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PBD ．【变式2-5】（2023·高一课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，12AA（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1//OM B C ，又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1//B C 平面1A BM ．（2）∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥，又∵M 为棱AC 的中点，AB BC =，∴BM AC ⊥．∵1=AA AC A ⋂，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM ．又∵12AA ∴在1Rt ACC V 和1Rt A AM V 中，11tan tan 2AC C A MA ∠==∴11＝AC C A MA ∠∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥∵1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．考点3线线垂直的证明【例3】（2023春·全国·高一专题练习）已知空间几何体ABCDE 中，ACD 与ABC均为等边三角形，平面ACD ⊥平面,6,39,3,//ABC BC BE DE DE ===平面ABC ．求证：AC BD ⊥.【答案】证明见解析【解析】证明：取AC 的中点M ，连接,DM BM ，因为ACD 与ABC 均为等边三角形，所以,AC DM AC BM ⊥⊥，又DM BM M = ，所以AC ⊥平面BDM ，BD ⊂Q 平面BDM ，所以AC BD ⊥.【变式3-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，ABC 是边长为43角形，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，G 是ABC 的重心，将AEF △沿EF 折起，使得点A 到达点P 的位置，点P 在平面BEFC 的射影为点G ．证明：BE PC ⊥.【答案】证明见解析【解析】证明：连接CE ，因ABC 是等边三角形，E 是AB 的中点，G 是ABC 的重心，所以G 在CE 上，且BE CE ⊥，又点P 在平面BEFC 的射影为点G ，即PG ⊥平面BEFC ，因为BE ⊂平面BEFC ，所以PG BE ⊥，又PG CE G = ，PG 、CE ⊂平面PCE ，所以BE ⊥平面PCE ，又PC ⊂平面PCE ，所以BE PC ⊥．【变式3-2】（2022春·福建莆田·高一统考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AA AB AC =⊥，E 为AC 的中点，11A E AC N ⋂=，1M A B ∈，12BM MA =．（1）证明：1B C //平面1A BE ；（2）证明：1MN A B ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接1AB 交1A B 于点O ，连接OE ，因为四边形11ABB A 为矩形，所以O 为1AB 的中点在1AB C V 中，E 为AC 的中点，所以1//OE B C又因为1B C ⊄平面1A BE ，OE ⊂平面1A BE ，所以1B C //平面1A BE ，（2）解法一：因为1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AA AB A = ，所以AC ⊥平面11ABB A ．又因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1AC A B ⊥．因为1AB AA =，所以矩形11ABB A 为正方形，所以11AB A B ⊥．又因为AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，1AC AB A ⋂=．所以1A B ⊥平面1AB C ．又因为OE ⊂平面1AB C ，所以1A B OE ⊥．因为11//AC A C ，所以1112A N A C NE AE==．因为12BM MA =，O 为1A B 的中点，所以1112,A M A N A M MO NE MO ==．所以//MN OE 所以1MN A B ⊥．解法二：因为1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥．因为AB AC ⊥，1AB AA =，所以Rt BAE △≌1Rt A AE △，所以1A E BE=又因为O 为1A B 的中点，所以1A B OE⊥因为11//AC A C ，所以1112A N A C NE AE==因为12BM MA =，O 为1A B 的中点，所以1112,A M A N A M MO NE MO ==．所以//MN OE ．所以1MN A B⊥【变式3-3】（2022·高一课时练习）如图，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ，CD=a ，F 是BE 的中点，求证:（1）DF ∥平面ABC ;（2）AF ⊥BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，可得FG ∥AE ，FG=12AE.因为CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，所以CD ∥AE ，且CD=12AE ，所以FG ∥CD ，FG=CD ，FGCD 是平行四边形，所以DF ∥CG.又因为CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，所以DF ∥平面ABC.（2）在Rt △ABE 中，因为AE=AB ，F 为BE 的中点，所以AF ⊥BE.因为△ABC 是正三角形，所以CG ⊥AB ，所以DF ⊥AB.因为AE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，所以AE ⊥CG ，所以AE ⊥DF ，且AE ∩AB=A ，,AE AB ⊂平面ABE ，所以DF ⊥平面ABE ，因为AF ⊂平面ABE ，所以AF ⊥DF.因为BE ∩DF=F ，BE ⊂平面BDE ，DF ⊂平面BDE ，所以AF ⊥平面BDE ，所以AF ⊥BD.考点4面面垂直的证明【例4】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，π2BAD BCD ∠=∠=，1,2AB BC PA BD ====．过点C 作直线AB 的平行线交AD 于,F G 为线段PD 上一点．求证：平面PAD ⊥平面CFG ；【答案】证明见解析【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，因为π2BAD ∠=，所以AB AD ⊥，因为PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为//CF AB ，所以CF ⊥平面PAD ，因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG ⊥平面PAD ；【变式4-1】（2022·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD//QA ，12QA AB PD ==．证明：平面PQC ⊥平面DCQ ．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CD 、AD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，PD AD ⊥，又CD AD ⊥，AD PD D = ，AD 、PD ⊂平面AQPD ，所以CD ⊥平面AQPD ，又PQ ⊂平面AQPD ，所以CD PQ ⊥，在梯形ADPQ 中，PD AD ⊥，所以梯形ADPQ 为直角梯形，又AD AQ =，所以AQD 为等腰直角三角形，则2DQ AQ =，45PDQ DQA ∠=∠=︒，因为2PD AQ =，取DP 的中点E ，连接QE ，则四边形AQED 为正方形，所以EQ EP =，则45EPQ ∠=︒，所以DQP △为等腰直角三角形，则PQ DQ ⊥，由DQ CD D = ，DQ 、CD ⊂平面DCQ ，所以PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ．【变式4-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，且E ，M 分别为BC ，PD 的中点，点F 为棱PC 上一动点，证明：平面AEF ⊥平面PAD【答案】证明见解析【解析】连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，所以三角形ABC 为等边三角形，因为E 为BC 的中点，所以AE BC⊥又AD BC ∥，所以AE AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE⊥因为AD AP A = ，所以⊥AE 平面ADP .又AE ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面PAD【变式4-3】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，2AD CD ==，4AB =．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面ACF ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：因为四边形ABEF 为矩形，所以AF BE ∥，又BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE ．（2）过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，则四边形ADCM 为矩形．因为2AD CD ==，4AB =，所以2AM MB ==，2AC =2CM =，22BC =所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，AF BE ∥，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥．又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE BC B = ，所以AC ⊥平面BCE ，又AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BCE ．考点5垂直关系的探索性问题【例5】（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）若图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC CC ⊥，11BC A C ^，且E 、F 分别是BC 、11A B 的中点.（1）求证：//EF 平面11A C CA ；（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出AP AB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，12AP AB =【解析】（1）证明：取11A C 中点G ，连接FG 、CG .因为F 、G 分别是11A B 、11A C 的中点，所以11//FG B C 且1112FG B C =.在平行四边形11BCC B 中，11//B C BC 且11B C BC =，因为E 是BC 的中点，所以11//EC B C 且1112EC B C =.所以//EC FG 且EC FG =，所以四边形FECG 是平行四边形，所以//FE GC ，又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA .（2）当点P 为线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP ，理由如下：取AB 的中点P ，连接PE 、PF .因为11BC CC ⊥，11BC A C ^，11A C CC C ⋂=，所以，1BC ⊥平面11ACC A ，因为P 、E 分别为AB 、BC 的中点，则//PE AC ，PE ⊄ 平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，则//PE 平面11ACC A ，又因为//EF 平面11ACC A ，EF PE E ⋂=，所以，平面EFP //平面11ACC A ，所以，1BC ⊥平面EFP .故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP ，此时，12AP AB =.【变式5-1】（2022·高一单元测试）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）在线段CD 上是否存在一点G ，使得平面EFG ⊥平面PCD ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为CD 的中点，证明见解析【解析】（1）证明：如图所示，连接AC ，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且点F 为对角线BD 的中点，∴对角线AC 经过点F ，在PAC △中，点E 为PC 的中点，∴EF 为PAC △的中位线，∴//EF PA ，又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ；（2）存在满足要求的点G ，证明如下：在线段CD 上存在一点G 为CD 的中点，使得平面EFG ⊥平面PCD ，∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，侧面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴CD ⊥平面PAD ，又//EF 平面PAD ，∴CD EF ⊥，取CD 中点G ，连接FG 、EG ，∵F 为BD 中点，∴//FG AD ，又CD AD ⊥，∴FG CD ⊥，又FG EF F = ，∴CD ⊥平面EFG ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面EFG ⊥平面PCD .【变式5-2】（2021春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A QA B 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，12．【解析】（1）证明：由已知得AC BC ⊥且//,DE BC DE AC ∴⊥，1DE A D ∴⊥，又1,DE CD A D CD D ⊥⋂=，DE ∴⊥平面1A DC ，面1A F ⊂平面1A DC ，1DE A F ∴⊥，又11,A F CD DE CD D A F ⊥⋂=∴⊥，平面BCDE ，1A F BE ∴⊥.（2）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取11,A C A B 的中点,P Q ，则//PQ BC .//,//.DE BC DE PQ ∴∴ 平面DEQ 即为平面DEP .由（1）知DE ⊥平面11,A DC DE A C ∴⊥，又P 是等腰三角形1DA C 底边1A C 的中点1A C DP ∴⊥，1DE DP D A C ⋂=∴⊥ ，平面DEP ，从而1A C ⊥平面DEQ ，故线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ，其中1112A Q AB =.【变式5-3】（2021春·安徽阜阳·高一安徽省太和中学校考阶段练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，E 是1CC 的中点，1O 是111A B C △的中心．（1）若17O E =1AB AA =，求正三棱柱111ABC A B C -的侧面积；（2）设2BC =，14CC =，若点P 在线段11B C 上，且111PC B C λ=，是否存在λ使得AE PC ⊥如果存在，求λ的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）36；（2）不存在；答案见解析．【解析】（1）设1AB AA x ==，则等边三角形中，1133O C ，12x EC =．正三棱柱中，1C E ⊥底面，11O C ⊂底面，所以111C E O C ⊥所以，11Rt O C E 中，2221111O E O C EC =+，所以22734x x +=．解得23x =23x =-．故正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为332336⨯=．（2）假设存在λ使得AE PC ⊥．设PC DE F = ．正三棱柱中，1CC ⊥底面，AD ⊂底面，所以1AD CC ⊥由题意，可得AD BC⊥因为1BC CC C ⋂=，且BC ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ．因为PC ⊂平面11BCC B ，所以PC AD ⊥．因为PC AE ⊥，AE AD A ⋂=，且AE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以PC ⊥平面ADE ，因为DE ⊂平面ADE ，所以PC DE ⊥．因为2BC =，14CC =，所以1DC =，2CE =，则cos 2EF DEC ∠==，即EF =由题意可得1ECF PCC △∽△，则1EC EF PC PC =．因为12PC λ=，PC ==整理得216λ=，4λ=（0λ ）．因为点P 在线段11B C 上，所以01λ，因为[]40,1∉，所以不存在这样的λ，使得AE PC ⊥．【变式5-4】（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）如图1，直角梯形ABCD 中，AD CD ⊥，//AD BC ，5AD =，8BC =，4CD =，边BC 上一点E满足35BE EC = ．现在沿着AE 将ABE 折起到1AB E △位置，得到如图2所示的四棱锥1B AECD -．（1）证明：1AE B D ⊥．（2）若M 为棱1B E 的中点，试问线段CD 上是否存在点N ，使得MN AE ⊥？若存在，求出此时DN 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且54DN =【解析】（1）证明：在梯形ABCD 中，连接DE ，如下图所示：因为AD CD ⊥，//AD BC ，则CD BC ⊥，因为5AD =，8BC =，4CD =，边BC 上一点E 满足35BE EC =，则3CE =，5BE =，所以，5DE =，因为//AD BE 且5AD BE ==，所以四边形ABED 为菱形，在四棱锥1B ADCE -中，取AE 的中点F ，连接DE 、DF 、1B F ，因为AD DE =，F 为AE 的中点，所以，AE DF ⊥，同理可证1AE B F ⊥，1B F DF F = ，所以，⊥AE 平面1B DF ，1B D ⊂ 平面1B DF ，1B D AE ∴⊥.（2）取线段EF 的中点G ，连接MG ，过点G 在平面ADCE 内作//GN DF 交CD 于点N ，连接MN ，下面证明出MN AE ⊥，因为M 、G 分别为1B E 、EF 的中点，则1//MG B F ，MG ⊄ 平面1B DF ，1B F ⊂平面1B DF ，//MG ∴平面1B DF ，因为//GN DF ，GN Ë平面1B DF ，DF ⊂平面1B DF ，//GN ∴平面1B DF ，MG GN G ⋂= ，所以，平面//MNG 平面1B DF ，所以，⊥AE 平面MNG ，MN ⊂ 平面MNG ，MN AE ∴⊥，过点E 在平面ADCE 内作//EQ DF 交CD 于点Q ，因为3sin 5CE CDE DE ∠==，3cos cos sin 25ADE CDE CDE π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，由余弦定理可得2222cos 20AE AD DE AD DE ADE =+-⋅∠=，则5AE =所以，2225cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅，则225sin 1cos 5DAE DAE ∠-∠=，//CE AD ，则AEC DAE π∠+∠=，//EQ DF ，DF AE ⊥，则EQ AE ⊥，25cos cos cos sin 225CEQ AEC DAE DAE πππ⎛⎫⎛⎫∴∠=∠-=-∠-=∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，25sin 1cos 5CEQ CEQ ∠-∠所以，sin 1tan cos 2CEQ CEQ CEQ ∠∠==∠，3tan 2CQ CE CEQ ∴=∠=，52DQ CD CQ ∴=-=，因为//EQ DF 且直线AE 、CD 相交，所以，四边形DFEQ 为梯形，因为G 为EF 的中点，//GN DF ，则N 为DQ 的中点，故1524DN DQ ==.因此，在线段CD 上存在点N ，使得MN AE ⊥，且54DN =.1．（2023春·浙江台州·高一台州一中校考期中）已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A ．若l α∥，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l m ⊥，则//m αC ．若l α⊥，l β⊥，则//αβD ．若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【答案】C【解析】对于A：若//lα，//lβ，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A错误；对于B：若lα⊥，l mmα或mα⊂，故B⊥，则,mα的位置关系有：//错误；对于C：若lα⊥，lβ⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C正确；对于D：根据面面平行的判定定理可得：若,l m相交，则//αβ，否则不成立，故D错误.故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）若平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则（）A．l//βB．lβ⊥C．l⊂βD．l//β或l⊂β【答案】D【解析】平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，直线l可以是平面β内与两平面交线垂直的直线，即lβ⊂，若l不在平面β内，l//β，故选：D．3．（2021春·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β【答案】C【解析】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确;一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.故选：C. 4．（2021春·高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△P AC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．∴△ABC为直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，P A⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，,PA AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面P AC．∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．故选：D. 5．（2022·高一课时练习）如图四面体P-ABC，PA＝2，2==PA⊥平面AB ACABC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E，则（）A．PB可能与DE垂直，△ADE的面积有最大值B．PB可能与DE垂直，△ADE的面积没有最大值C．PB不可能与DE垂直，△ADE的面积有最大值D．PB不可能与DE垂直，△ADE的面积没有最大值【答案】C【解析】在ABC中，因为2==∠ACB为锐角，AB AC假设PB⊥DE，因为AD⊥PB，AD DE D⋂=，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，所以PB ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以PB ⊥AE ，又AE ⊥PC ，PB PC P ⋂=，PB ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又PA AE A = ，PA ⊂平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AC ，与∠ACB 为锐角矛盾，即假设不成立，故选项A 和B 错误，因为AB ＝AC ，所以此模型可看成PAC △绕PA 旋转得到PAB ，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AB ，又PA ＝2，AB =，所以PB ==，因为∠APB=∠DPA ，∠PAB=∠PDA π2=，所以PAB ∽PDA ，所以AD PA PDAB PB PA ==2PD =，所以AD PD =同理可得,33AE PE ==，因为PD PE PB PC =，∠DPE=∠BPC ，所以PDE △∽PBC ，所以23DE PD BC PB ==，在旋转过程中，()0,πBAC ∠∈，则(0,BC ∈，故DE ∈，在等腰三角形ADE 中，1sin 2ADE S AD AE DAE =⋅⋅∠ ，所以当π2DAE ∠=时，ADE S 取最大值1223=，此时(0,33DE =∈，符合题意，即ADE V 的面积有最大值，故C 正确，D 错误.故选：C.6．（2023春·浙江·高一期中）已知长方体1111ABCD A B C D -的棱4AB =，3BC =，15AA =，点P ，Q 分别是线段1BB ，1AC 上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A ．对于任意一点Q ，直线1D Q 与直线1BB 是异面直线B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得1CP DQ ⊥C ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得1CP DQ ⊥D ．以上说法都不正确【答案】B【解析】对于A ，当点Q 为1AC 中点时，直线1D Q 即直线1D B ，与1BB 共面，A 错误；对于B ，当95BP =时，CBP 与1C CB △相似，1CP BC ⊥，所以1CP AD ⊥，因为CP ⊂平面11BCC B ，11C D ⊥平面11BCC B ，所以11CP C D ⊥，因为1111C D AD D ⋂=，11C D ⊂平面11AC D ，1AD ⊂平面11AC D ，所以⊥CP 平面11AC D ，1D Q ⊂平面11AC D ，所以1CP DQ ⊥，B 正确；对于C ，长方体中，11C D ⊥平面11BCC B ，CP ⊂平面11BCC B ，所以对任意点P 11CP C D ⊥，而1D Q 与11C D 不平行，所以不存在Q ，使得对任意点P ，1CP DQ ⊥，C 错误；对于D ，B 选项正确，所以D 错误.故选：B.7．（2023·高一单元测试）（多选）设m ，n 是两条不同的直线，α是平面，m ，n 不在α内，下列结论中正确的是（）．A ．若m α⊥，//n α，则m n⊥B ．若m α⊥，n α⊥，则//m n C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥【答案】ABC【解析】A 选项，由于//n α，所以存在直线l ⊂α且//n l ，由于,m l αα⊥⊂，所以m l ⊥，所以m n ⊥，所以A 选项正确.B 选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B 选项正确.C 选项，若m α⊥，m n ⊥，则存在l ⊂α，//l n ，由于n α⊄，所以//n α，所以C 选正确.D 选项，若m n ⊥，//n α，则m 可能与α平行，D 选项错误.故选：ABC 8．（2023春·全国·高一专题练习）（多选）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AC AA ===，若1BD A C ⊥，则D 可能为（）A ．1A C 的中点B ．AC 的中点C ．1CC 的中点D ．ABC的重心【答案】BCD 【解析】设E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以1A A BE ⊥，又因为AB BC =，E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，因为1A A AC A =I ，1,AA AC ⊂平面11A ACC ，所以BE ⊥平面11A ACC ，而1A C ⊂平面11A ACC ，则1BE A C ⊥，又因为11AC AA CC ==，11ACC A 是正方形，EF 与正方形11ACC A 的对角线1AC 平行，所以1EF A C ⊥，又EF BE E = ，,EF BE ⊂平面BEF ，所以1A C ⊥平面BEF ，因为1BD A C ⊥，所以点D 在平面BEF 内．故选：BCD.9．（2021春·高一课时练习）(多选)如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，90°ABC ∠=，::2:3:4=AD BC AB ,,E F 分别是,AB CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF BC ⊥；②BD FC ⊥；③平面BDF ⊥平面BCF ,；④平面DCF ⊥平面BCF ．在翻折的过程中，可能成立的结论是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】BC【解析】对于①：因为//BC AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直,则①错误；对于②：设点D 在平面BCF 上的射影为点P ,当⊥BP CF 时就有BD FC ⊥,而::2:3:4=AD BC AB ,BCF ∠为锐角，所以可作出⊥BP CF ，从而满足条件,所以②正确；对于③：当点P 落在BF 上时,DP ⊂平面BDF ,从而平面BDF ⊥平面BCF ,所以③正确；对于④：因为:2:3,:4:5AD BC AD EF ==,所以点D 的投影不可能在CF 上，所以平面DCF ⊥平面BCF 不成立，即④错误．故选:BC.10．（2022·高一课时练习）（多选）如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于A ，B 点），直线P A 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，则以下四个命题正确的是（）A．PB⊥AC B．OC⊥平面PABC．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC【答案】CD【解答】解：对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥P A，又PA∩PB＝P，,PA PB⊂平面PAB，∴AC⊥平面P AB，而AB⊂平面PAB，则AC⊥AB，与∠CAB是锐角矛盾，故A错误；对于B，∵点C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直，若OC⊥平面P AB，则OC一定与AB垂直，故B错误；对于C，∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴OM∥P A，而OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面P AC，故C正确；对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC，且PA∩AC＝A，,PA AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，则平面PAC⊥平面PBC，故D正确．故选：CD．11．（2022·高一课时练习）在三棱锥P﹣ABC中，能证明AP⊥BC的条件是______．①AP⊥PB，AP⊥PC；②AP⊥PB，BC⊥PB；③平面BCP⊥平面P AC，BC⊥PC；④PB＝PC，AB＝AC．【答案】①③④PB PC⊂平面PBC，【解答】对于①，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，,所以AP⊥平面PBC，因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，①满足条件；对于②，AP⊥PB，BC⊥PB，无法证明AP⊥BC，②不满足条件；对于③，因为平面BCP⊥平面PAC，平面BCP∩平面PAC＝PC，BC⊥PC，BC ⊂平面BCP ，所以BC ⊥平面P AC ，又AP ⊂平面P AC ，故AP ⊥BC ，③满足条件；对于④，取BC 的中点D ，连接AD 、PD ，因为PB ＝PC ，D 为BC 的中点，故BC ⊥PD ，同理可得BC ⊥AD ，因为AD ∩PD ＝D ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以BC ⊥平面PAD ，因为AP ⊂平面P AD ，AP ⊥BC ，④满足条件．故答案为：①③④．12．（2023春·全国·高一专题练习）如图，对于直四棱柱1111ABCD A B C D -，要使111A C B D ⊥，则在四边形ABCD 中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）【答案】1111AC B D ⊥（只要使得1111AC B D ⊥即可）.【解析】连接11A C ，如下图所示：因为1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111B D CC ⊥，若1111AC B D ⊥，1111AC CC C = ，1CC 、11A C ⊂平面11A CC 11B D ∴⊥平面11A CC ，1A C ⊂ 平面11A CC ，111A C B D ∴⊥.故答案为：1111AC B D ⊥（只要使得1111A C B D ⊥即可）.13．（2021春·高一单元测试）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠= ，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点，且1BC CA AA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）求证：11BC AB ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：设BC 的中点为M ，因为点1B 在底面ABC 上的射影恰好时点M ，所以1B M ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以1B M AC ⊥，又由1,BC AC B M BC M ⊥= 且1,B M BC ⊂平面11B C CB ，所以AC ⊥平面11B C CB ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（2）证明：连接1B C ，因为AC ⊥平面11B C CB ，且1BC ⊂平面11B C CB ，所以1AC BC ⊥，在斜三棱柱111ABC A B C -中，因为1BC CC =，所以四边形11B C CB 为菱形，所以11B C BC ⊥，又因为1B C AC C ⋂=，且1,B C AC ⊂平面1ACB ，所以1BC ⊥平面1ACB ，因为1AB ⊂平面1ACB ，所以11BC AB ⊥.14．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是侧面11AA B B 对角线的交点，F 是侧面11AA C C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面AEF ⊥平面1A AD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接1A B 和1A C ，因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 对角线的交点，所以E F 、分别是1A B 和1A C 的中点．所以EF BC ∥,又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，故EF ∥平面ABC ﹔（2）∵三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱,∴1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥，又EF BC ∥，∴1AA EF ⊥,又D 是棱BC 的中点，且ABC 为正三角形，所以BC AD ⊥．由EF BC ∥得EF AD ⊥,而11,,AA AD A AA AD =⊂ 平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ，又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD .15．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点E 是PB 的中点.求证：（1）BC ⊥平面PAB ；（2）平面AEC ⊥平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）∵底面ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥.∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ∴PA BC ⊥.又∵AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .（2）∵AE ⊂平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，∴BC AE ⊥.∵PA AB =，E 是PB 的中点，∴AE PB ⊥.又∵PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，∴⊥AE 平面PBC .又∵AE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PBC .16．（2023·高一课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ，1BC ，1DC 分别为三条面对角线，1A C 为一条体对角线.求证：（1）1A C BD ⊥；（2）1A C ⊥平面1D B C .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，∵BD Ü平面ABCD ，∴1A A BD ⊥，又四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，又1A A AC A =I ，1,A A AC Ü平面1A AC ，∴BD ⊥平面1A AC ，又1A C Ü平面1A AC ，∴1A C BD ⊥.（2）与（1）中证明1A C BD ⊥同理可证11A C DC ⊥，又1BD DC D ⋂=，1,BD DC Ü平面1D B C ∴1A C ⊥平面1D B C ．17．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，在1AA 上是否存在一点G ，使得1C G ⊥平面1A EF ，若存在求出AG 的长；若不存在说明理由．【答案】存在，12AG =【解析】取1AA 的中点G ，取1CC 的中点M ，连接GM ，则GM //AC ，连接AC 交EF 于点H ，连接BD ，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，所以//EF BD ，因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥AC ，因为1AA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥EF ，因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，所以EF ⊥平面11ACC A ，因为1A H ⊂平面11ACC A ，所以EF ⊥1A H ，因为144AH AC ==，112C M =，GM =11AA =，故14122AH C M ==，12AA GM ==，故11AA AH C M GM =，又1190A AH GMC ∠=∠=︒，所以1A AH ∽1GMC ，故11C GM HA A ∠=∠，故11111190HA A A GC C GM A GC ∠+∠=∠+∠=︒，所以11A H C G ⊥，因为1EF A H H = ，1,EF A H ⊂平面1A EF ，所以1C G ⊥平面1A EF.故存在点G ，使得1C G ⊥平面1A EF ，此时12AG =.18．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形且π3ABC ∠=，4PB PA ==，PC =（1）求PD 的值；（2）若BH BP λ=，是否存在λ，使得平面CDH ⊥平面PAB ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1；（2）存在，2=5λ.【解析】（1）取线段AB 的中点E ，连接CE 、PE ，因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，则2BC =，1BE =，。

高考数学直线和平面垂直练习题及答案.doc

第四节直线和平面垂直一、填空题1. 直线与平面α内无数条直线垂直是“直线与平面α垂直”的 ________条件．2. 如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是________．3.有以下四个命题：①在空间中，垂直于平行四边形对边的直线，必垂直于另两边；②在空间中，垂直于三角形两边的直线必垂直另外一边；③在空间中，垂直于梯形两底的直线必垂直于两腰；④如果直线 a 垂直于平面α内无数条直线，那么 a⊥ α. 上述命题中，错误的个数为 ________．4. (2010 浙·江 ) 设 l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的有________．①若 l⊥ m， m? α，则 l⊥ α；②若 l ⊥ α， l∥ m，则 m⊥ α；③若 l∥ α， m? α，则 l∥ m；④若 l ∥ α，m∥ α，则 l ∥m.5.如图所示， PA⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形，那么以 P、A、 B、C、D 五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．6.已知直线 a，b 和平面α，β，且 a⊥α， b⊥ β，那么α⊥β是 a⊥b 的 ________条件．7.如图所示，矩形 ABCD 中， AB＝ 1， BC＝ 2， PA⊥平面 ABCD ，且 PA＝1，则在 BC上存在 ________个点使 PQ⊥ QD.8.(2011 南·师大附中期中考试 )称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC 中，∠ SAB＝∠ SAC＝∠ SBC＝ 90°，则第四个面中的直角为________．9. 在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，点 P 在侧面 BB1C1C 上运动，并且保持AP⊥ BD1，则动点 P 的轨迹是 ________．二、解答题10. 如图，在四棱锥P-ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，∠ BCD ＝ 90°.求证： PC⊥ BC.11.如图，在四面体 A-BOC 中， OC⊥ OA, ∠ AOB＝ 120 °，且 OA＝ OB＝ 1， P 为 AC 的中点， Q 在 AB 上且 AB＝ 3AQ，证明： PQ⊥ OA.12.(2010 ·安徽 )如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， AB ＝2EF ＝ 2，EF ∥ AB， EF ⊥ FB，∠ BFC ＝ 90°， BF＝ FC ， H 为 BC 的中点．(1)求证： FH ∥平面 EDB ；(2)求证： AC⊥平面 EDB;(3)求四面体B-CEF 的体积．参考答案1.必要不充分解析：由直线与平面垂直的定义知为必要不充分条件．2.l∥或 l?3.34. ②解析：根据线面垂直的判定定理知①错；根据线面垂直的性质知②正确；③中 l 可能与 m 异面；④中 l 可能与 m 异面，也可能相交．5.9解析：分三类：(1)在底面 ABCD 中，共有 4 个直角，因而有 4 个直角三角形； (2)四个侧面都是直角三角形； (3)过两条侧棱的截面中，△ PAC 为直角三角形．故共有 9 个直角三角形 .6. 充要解析：若⊥，则由 a⊥推出 a? 或 a∥，而 b⊥，于是 a⊥ b；若 a⊥ b，则容易推出⊥，故⊥是 a⊥ b 的充要条件．7. 1 解析：因为PA⊥平面ABCD ，又QD ? 平面ABCD ，则PA⊥QD，又PQ⊥QD ，PA∩ PQ=P，则 QD ⊥平面 PAQ，又 AQ? 平面 PAQ ，则 QD ⊥AQ，取 AD 中点 O，则 Q 应1在以 O 为圆心，以在 BC 上，则 Q 是圆 O 与 BC 的交2AD 为半径的圆周上，又根据题意Q点，因为圆心 O 到直线 BC 的距离为1，圆 O 的半径也是1，所以圆 O 与 BC 相切，所以满足题意的 Q 点有且仅有一个．8. ∠ABC 解析：如图，由∠ SAB=∠ SAC=90 得 SA⊥底面 ABC ，故 SA⊥ BC，又由∠SBC=90 ，即 SB⊥ BC，又 SA∩SB=S，所以 BC⊥平面 SAB，故 BC⊥ AB，即∠ ABC 为直角．9.线段 B1C 解析：连结 AB1，B1C，AC，则 BD 1⊥平面 B1AC，当 P 在 B1C 上运动时，AP⊥ BD1恒成立，故轨迹为线段 B1C.10.因为 PD ⊥平面 ABCD ， BC? 平面 ABCD ，所以 PD⊥ BC.由∠ BCD=90 ，得 CD ⊥ BC，又PD ∩ DC=D ， PD、 DC? 平面 PCD ，所以 BC ⊥平面 PCD .因为 PC ? 平面 PCD ，故 PC⊥ BC.11.如图，取 OA 的中点 M，连结 PM， MQ ，因为 P 为 AC 中点， M 为 OA 中点，所以 PM ∥ OC.又 OC ⊥OA ，则 PM ⊥OA.在△ OAB 中， OA=OB=1，∠ AOB=120 ，则 AB 2=OA 2+OB 2-2OA OB cos ∠ AOB =3，则 AB= 3，又 AB=3 AQ ，则 AQ=33.在△ OAB 中，ABOB ，则sin ∠ AOB =sin ∠ OABsin ∠ OAB=1，则∠ OAB=30 .21又 M 是 OA 中点，故AM = .22 221 1 则在△ MAQ 中， MQ =MA +AQ-2MA AQcos ∠ OAB= + -24 3222则在△ MAQ 中， MA +MQ =AQ ，又 PM ∩MQ =M ， PM ， MQ? 平面 PMQ ，所以 OA ⊥平面 PMQ ，又 PQ? 平面 PMQ ，则OA ⊥ PQ.131 ，2 3 cos 30 =12。

空间直线、平面的垂直巩固练习(含解析)

空间直线、平面的垂直巩固练习1．已知两个平面相互垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0解析：构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直，故②正确；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D 与平面ABCD不垂直，故③错；④在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD ＝AD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD 不垂直，故④错．答案：C2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P-ABC中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，所以BC⊥P A，因为BC⊥AB，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.所以四面体P-ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC.故选A.答案：A3．如图所示，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，P A垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是()A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面P AC解析：因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，又AN⊂平面ABP，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，BC∩PB＝B，所以AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以AN⊥PC，又因为PC⊥AS，AS∩AN＝A，所以PC ⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，所以平面ANS⊥平面PBC，所以A正确，C，D显然正确.答案：B4．如图所示，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()A B C D解析：如图所示，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.答案：D5．如图所示，四棱锥P-AB-CD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC ⊥BD，则下列结论不成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：在选项A中，取PB的中点O，连接AO，CO，因为四棱锥P-ABCD中，△P AB 与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.因为AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC.因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故A成立．在选项B中，点D位置不确定，故B不一定成立．在选项C中，因为PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，所以AC⊥PB.因为AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，故C成立．在选项D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．答案：B6．如图所示，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线解析：连接BD ，CM ，BE .因为点N 是正方形ABCD 的中心，所以点N 在BD 上，且BN ＝DN ，所以BM ，EN 是△DBE 的中线，所以BM ，EN 必相交．设DE ＝a ，则EC ＝DC ＝a ，MC ＝32a . 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ，所以BC ⊥平面DCE . 则BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋a 2＝7a 2. 又EN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，故BM ≠EN . 答案：B7、在长为2、宽为3、高为2的长方体中，存在一条直线与各个面的夹角都相等，若将这个角记为θ，则sin θ的值为( )A.32B.63C.233D.33解析：如图，从长方体中截取一个棱长为2的正方体，则图中的AF 与长方体的各个面的夹角都相等，则sin θ＝223＝33.答案：D8、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面P AD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面P AD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：过点M 作MN ⊥AB ，交AB 于点N ，则MN ⊥平面ABCD ，过点N 作NQ ∥AD ，交CD 于点Q ，过点Q 作QH ∥PD ，交PC 于点H ，连接MH ，则平面MNQH 是所作的平面α，由题意得2－x 2＝MN 4，解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QHPD . 即2－x 2＝QH 25，解得QH ＝5(2－x )，过点H 作HE ⊥NQ ，在Rt △HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ，所以NE ＝2－(2－x )＝x ，所以MH ＝x . 所以y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）2＝－x 2＋4(0<x <2)．所以函数y＝f(x)的图象如图所示．答案：C9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析：由定理可知，BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)10．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC的射影H必在直线________上．解析：因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．答案：AB11．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，或l与α相交不垂直．由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故②③⇒①或①③⇒②.答案：若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)12.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD＝BD＝2，∠BAC ＝30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是________(填序号)．①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为2；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D-ABC体积的最大值为3 6.解析：如图所示，①中，取AB的中点O，连接DO，CO，因为AD＝BD＝2，所以DO ＝1，AB＝2，OC＝1.因为平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，所以DO⊥平面ABC，DO⊥OC，所以DC＝2，故①正确．②中，若AB⊥CD，则AB⊥平面CDO，AB⊥OC，因为O为中点，所以AC＝BC，∠BAC ＝45°与∠BAC＝30°矛盾，故②错误．③中，当DO⊥平面ABC时，棱锥的高最大，此时V棱锥＝13×12×AC×BC×DO＝16×3×1×1＝36，故③正确．答案：①③13.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ；(2)求M 到平面A 1B 1C 的距离． (1)证明：如图所示，连接CM .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM. 因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)解：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N . 所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1NA 1B 1.因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x2. 所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7. 设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M-A 1B 1C ＝V 三棱锥C-A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CMS △A 1B 1C＝2217.即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.14．如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 的位置(如图2所示)，连接AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ； (2)求点A 到平面PBE 的距离． (1)证明：在题图2中，连接EF ，由题意可知，PB ＝BC ＝AD ＝6，PE ＝CE ＝CD －DE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF .在题图1中，连接EF ，作EH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理，得EF ＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2，所以PF ⊥EF ，又因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)解：如图所示，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF为三棱锥P-ABE的高．设点A到平面PBE的距离为h，因为V A-PBE＝V P-ABE，即13×12×6×9×h＝13×12×12×6×25，所以h＝85 3，即点A到平面PBE的距离为85 3.15.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥EBB1C1C的体积．(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°.- 1 -由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°，故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6. 如图所示，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3.所以四棱锥E-BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18.。

高中数学第一章立体几何初步1.2.3.1直线与平面垂直练习(含解析)新人教B版必修2

第1课时直线与平面垂直线面垂直的概念(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．( )(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．( )(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．( )(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．( )(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．( )答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√解析(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系有两种：①平行，②异面，∴该命题应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条线的位置关系，∴该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”．2．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )A ．不存在与l 垂直的直线B ．只存在一条与l 垂直的直线C ．存在无数条直线与l 垂直D ．以上都不对答案 C解析直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线，不过它们都是平行直线，不能是相交直线．线面垂直的判定3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O为底面ABCD 的中心，求证：B 1O⊥平面PAC ．证明如图所示，连接AB 1，CB 1，B 1D 1，PB 1，PO ．设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ，在正方形中，AC⊥平面DBB 1D 1，B 1O ⊂平面DBB 1D 1，所以B 1O⊥AC．因为B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a)2＝94a 2． OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，所以B 1O 2＋OP 2＝PB 21，所以B 1O⊥OP．又PO∩AC＝O ，所以B 1O⊥平面PAC ．线面垂直的性质m的位置关系是( )A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直答案 A解析因为直线l垂直于△ABC的边AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理可证，m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m．5．已知点P是△ABC所在平面外一点，点P与AB，AC，BC的距离相等，且点P在△ABC 上的正投影O在△ABC内，则点O一定是△ABC的( )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心答案 A解析如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB，AC，BC于点D，E，F．点O 是点P在平面ABC内的正投影，连接OD，OE，OF．因为点P到AB，AC，BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以△POD≌△POE≌△POF，所以OD＝OE＝OF．因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可得OF⊥BC，OE⊥AC．又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为三角形ABC的内心．一、选择题1．三条直线两两垂直，下列四个命题：①这三条直线必共点；②其中必有两条直线不同在任一平面内；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析三条直线两两垂直的情况共有三种：(1)三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内；(2)三条直线中只有两条相交，此时这两条在同一平面内；(3)三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直线不在同一平面内．只有命题③是真命题．故正确答案是B．2．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折起，使点G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是( )A．SD⊥平面EFG B．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案 B解析折起后，SG⊥GE，SG⊥GF，而GF∩GE＝G，∴SG⊥平面EFG．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是( )A．①② B．②③ C．①④ D．③④答案 C解析由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连线的线段D．BC中点与B1C1中点连线的线段答案 A解析由BD 1⊥AC，BD 1⊥AB 1，得BD 1⊥平面AB 1C ，又AP⊥BD 1，得P∈面AB 1C∩面BB 1C 1C ＝B 1C ．5．P 为△ABC 所在平面外的一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题，其中正确的个数是( )①PA⊥BC；②AB⊥BC；③P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的垂心；④P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的内心．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 PA⊥PB，PA⊥PC ⇒PA⊥平面PBC ，∴PA⊥BC，即①为真；同理PC⊥AB，若AB⊥BC，则AB⊥平面PBC ，PA∥AB，矛盾，即②为假命题；设P 在平面ABC 上的射影为H ，易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，即③为真，④为假．二、填空题6．如图，PC⊥平面ABC ，PC ＝12，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则P 到直线AB 的距离是________．答案 12295解析过C 作CD⊥AB 于D ，连接PD ．∵PC⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC⊥AB，又PC∩CD ＝C ，∴AB⊥平面PCD ，∵PD ⊂平面PCD ，∴PD⊥AB．∴PD 的长即为P 到直线AB 的距离．在Rt△PCD 中，CD ＝6×862＋82＝245， ∴PD＝PC 2＋CD 2＝ 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝12295． 7．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，PA⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ⊥QD，则a 的值等于________．答案 2解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ．∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．8．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，则△PAB，△PAC，△PBC，△ABC中，直角三角形的个数是________．答案 4解析∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴△P AB，△PAC为直角三角形．又AB为圆的直径，C在圆周上，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．∵PA⊥BC，AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．证明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a．(1)求证：A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．解(1)证明：∵点D是正三角形ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC．又∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC．于是BC⊥平面A1AD，从而A1D⊥BC．由BC∥B1C1，得A1D⊥B1C1．(2)直线A1B∥平面ADC1．证明如下：如图，设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点．连接DF．∵D是BC的中点，∴DF∥A1B．又∵DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．。

高中数学第一章直线、平面平行与垂直基础巩固练习

直线、平面平行与垂直（文科A 卷）一、选择题1．不同直线m 、n 和不同平面α、β．给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β．其中假命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )A ．4个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( ) ①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．04．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段6．已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，点P 在平面ABC 外，PH ⊥面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心二、填空题7．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．8．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________． 9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是______．(填序号)三、解答题10．如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA ．11．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B ．(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1DDC 1的值．能力提升12．四棱锥P —ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：(1)根据图中的信息，在四棱锥P —ABCD 的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：①一对互相垂直的异面直线________； ②一对互相垂直的平面________；③一对互相垂直的直线和平面________； (2)四棱锥P —ABCD 的表面积为________．13．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．平面与平面垂直的判定及性质一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β 2．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 3．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在 4．平面α∩平面β＝l ，平面γ⊥α，γ⊥β，则( ) A ．l ∥γ B ．l ⊂γ C ．l 与γ斜交 D ．l ⊥γ5．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，P l ，则下列命题中正确的为________． ①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 到O 的距离为________．9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的射影H 必在________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC．能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．32．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是()A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，H是EF的中点．现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是________．(填序号)①AG⊥平面EFG;②AH⊥平面EFG；③GF⊥平面AEF;④GH⊥平面AEF．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．平面与平面平行的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在惟一一条与a 平行的直线3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α． A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系． 8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．直线、平面平行与垂直答案1．C 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．5 8．①③④⇒②(或②③④⇒①)9．①④10．证明 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连接DF ，∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，又由已知得DF ∥BC ，∴DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故ED ＝DA ．(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊12EC ，∴MN ∥BD ，∴N 在平面BDM 内，∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA ，又BN ⊂平面MNBD ， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ．即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)∵BD 綊12EC ，MN 綊12EC ，∴BD 綊MN ，∴MNBD 为平行四边形，∴DM ∥BN ，∵BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA ．11．(1)证明因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1．(2)解设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE ．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1DDC 1＝1．12．(1)①PA ⊥BC(或PA ⊥CD 或AB ⊥PD) ②平面PAB ⊥平面ABCD(或平面PAD ⊥平面ABCD 或平面PAB ⊥平面PAD 或平面PCD ⊥平面PAD 或平面PBC ⊥平面PAB) ③PA ⊥平面ABCD(或AB ⊥平面PAD 或CD ⊥平面PAD 或AD ⊥平面PAB 或BC ⊥平面PAB)(2)依题意：正方形的面积是a 2，S △PAB ＝S △PAD ＝12a 2．又PB ＝PD ＝2a ，∴S △PBC ＝S △PCD ＝22a 2．所以四棱锥P —ABCD 的表面积是S ＝2a 2＋2a 2．13．(1)证明如图，设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连接EG ，GH ，由于H为BC 的中点，故GH 綊12AB ．又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ．∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH ．而EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EDB ． (2)证明由四边形ABCD 为正方形，得AB ⊥BC ．又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ．而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ．∴EF ⊥FH ．∴AB ⊥FH ．又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ．∴FH ⊥平面ABCD ．∴FH ⊥AC ．又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB ．(3)解 ∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°∴BF ⊥平面CDEF ．∴BF 为四面体B －DEF 的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝2．V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13．平面与平面垂直的判定及性质答案1．C2．B3．C4．D 5．A6．A 7．①②③④8．7 cm9．直线AB上10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．解假设能够找到符合题意的点E．如图所示，作EM⊥A1C于点M．因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，所以EM⊥侧面AA1C1C．取AC的中点N，连接MN，BN，因为AB＝BC，所以BN⊥AC．又因为AA1⊥BN，所以BN⊥侧面AA1C1C，所以BN∥EM．因为平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，BE∥平面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A．因为AN＝NC，所以A1M＝MC．因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝12A1A．所以当E为BB1的中点时，平面A1EC⊥侧面AA1C1C．直线与平面垂直的判定答案1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．① 8．∠A 1C 1B 1＝90° 9．90°10．证明在平面B 1BCC 1中，∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点，∴△BB 1E ≌△CBF ，∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1，∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ．11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点，∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ．∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1．∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ．连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21．∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ，∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ，∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．平面与平面平行的性质答案 1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．(1)相似 (2)全等 8．平行 9．1510．证明法一过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ． ∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1，∴EM ∥FN ， ∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM ＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN ．又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ．法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B， ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ．又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点．12．解当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ，②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．13．解能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形．连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ，∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴A 1H ＝3．∴S △A 1MN ＝12×22×3＝6．故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝26．。

高三数学直线与平面垂直复习题

直线与平面垂直选题：侯祥平班级姓名学号1．四边形ABCD的四条边都相等,它们的对角线AC与BD必定_______,但不一定______.2．菱形ABCD在平面α内,αPC,则PA与BD所成的角是_________.⊥3．点P不在三角形ABC所在的平面内,过P作平面α,使三角形ABC 的三个顶点到α的距离相等.这样的平面α共有_______个.4．如果一直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个”正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的”正交线面对”的个数是__________.5. 下列命题中错误的有________A.若一直线垂直于一个平面,则这条直线必垂直于这个平面上所有的直线B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直C.若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则这条直线平行于于这个平面D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直6．三棱锥四个面中,直角三角形最多有_________.7. 直角三角形ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC组成的图形只能是____________.A.一条线段B.一个锐角三角形C. 一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形8. .a,b是异面直线,下列结论:(1)过任一点有且只有一条直线与a,b都垂直;②过a有且只有一平面与b垂直; ③过a与b垂直的平面一定不存在,其中正确的结论是__________.(填序号)9. 已知α∩β＝Ｌ，ＰＡ⊥平面α，ＰＢ⊥平面β，垂足分别为Ａ、Ｂ，又ＡＱ，垂足为Ｑ，连ＢＱ，求证：ＢＱ⊥Ｌ.10. 已知斜三棱锥ABC—A1B1C1的底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,侧棱与底面所成角为60°,点B1在底面上的射影D恰好为BC 的中点:N M P D CB A 求证:AB 1⊥BC 111. 底面是等腰三角形的直棱柱ABC-A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥C 1A 。

数学必修Ⅱ人教新课标B版1-2-3-1直线与平面垂直同步练习

∴cos∠DD1O＝＝＝ .
∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为 .
【答案】D
5．(2016·成都高二检测)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()
A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1
【解析】正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；
图1 2 48
【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.
【答案】CD⊥AB
7．如图1 2 49所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
图1 2 52
【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，
连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝ a，CD＝SD＝ a.
在Rt△ADC中，AD＝＝ a.
则AD2＋SD2＝SA2，
图1 2 47
A．∠BPAB．∠PBA
C．∠PBCD．以上都不对
【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
得PA⊥平面ABC，
所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【答案】B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()
A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在பைடு நூலகம்
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；

高中数学同步练习空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系

第二章 2.1 2.1.3 2.1.4A级基础巩固一、选择题1．正方体的六个面中相互平行的平面有( B )A．2对B．3对C．4对D．5对[解析] 正方体的六个面中有3对相互平行的平面．2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( A )A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内[解析] 由棱台的定义知,棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点,而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定,故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．3．若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是( D )A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能[解析] 如图所示,长方体ABCD－A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M、N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,有A1B1与MN异面,故选D.4．如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( D )A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅与一组平行直线不相交D．任意一条直线都不相交[解析] 根据直线和平面平行定义,易知排除A、B.对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a与平面α平行,∴D正确．5．平面α∥平面β,直线a∥α,则( D )A．a∥βB．a在面β上C．a与β相交D．a∥β或a⊂β[解析] 如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β；如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β,故选D.6．设P是异面直线a,b外一点,则过P与a,b都平行的直线有________条( C )A．1 B．2C．0 D．0或1[解析] 反证法．若存在直线c∥a,且c∥b,则a∥b与a,b异面矛盾．故选C.二、填空题7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是_平行_；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_相交_.8．两个不重合的平面可以把空间分成_三或四_部分．[解析] 两平面平行时,把空间分成三部分．两平面相交时,把空间分成四部分．三、解答题9．如图所示,直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′ABB′与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？[解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点,∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD,平面BCC′B′都有且只有一个公共点B,∴直线A′B与平面ABCD,平面BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′,平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,∴直线A′B与平面ADD′A′,平面A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,∴直线A′B与平面DCC′D′平行．平面A′B∥平面CD′,平面A′ABB′与平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交．10．如图所示,已知平面α∩β＝l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P,则P∈AB,P∈l.又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,∴P∈平面ABC,P∈β.∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点,而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点,且P,C是不同的两点,∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．即平面ABC∩平面β＝PC,而PC∩l＝P,∴平面ABC与平面β的交线与l相交．B级素养提升一、选择题1．直线a在平面γ外,则( D )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝A D．a与γ至多有一个公共点[解析] 直线α在平面γ外,包括两种情况,一种是平行,另一种相交,故选D.2．若平面α∥平面β,则( A )A．平面α内任一条直线与平面β平行B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C．平面α内存在一条直线与平面β不平行D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交3．若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分[解析] 垂直于交线的截面如图,把空间分成7部分,故选C.4．已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β＝c,那么直线c一定( C )A．与a,b都相交B．只能与a,b中的一条相交C．至少与a,b中的一条相交D．与a,b都平行[解析] 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,从而a∥b,与a,b异面矛盾,故c至少与a,b中的一条相交．二、填空题5．下列结论正确的有_①⑤__.①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α；③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.[解析] ①显然是正确的；②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的；③中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的；④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的；⑤中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的；⑥中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑥是错误的．6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后,可将空间分成_27_部分．7．已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内．则下列说法正确的是_①__(填序号)．①若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交；②若平面α和平面β相交,则直线a和直线b相交．[解析] 若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交．反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行．三、解答题8．已知三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．[解析] (1)c∥α,因为α∥β,所以α与β没有公共点．又c⊂β,所以c与α无公共点,所以c ∥α.(2)c∥a,因为α∥β,所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a,γ∩β＝b,则a⊂α,b⊂β,且a、b ⊂γ,所以a、b没有公共点．由于a,b都在平面γ内,因此a∥b.又c∥b,所以c∥a.9．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由．[解析] 如图,取AB的中点F,连接EF、A1B、CF.∵E是AA1的中点,∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1＝BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.∴E、F、C、D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.。

【教材衔接】巩固练09 空间直线、平面的垂直-2020年新高二数学(2019人教版)(解析版)

巩固练09 空间直线、平面的垂直一.选择题1．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD ，BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是A ．AC BD '⊥B ．90BAC ∠'=︒C ．CA '与平面A BD '所成的角为30︒ D ．四面体A BCD '-的体积为13【答案】B【解析】若A 成立可得BD A D '⊥，产生矛盾，故A 不正确；由题设知：△BA D '为等腰Rt △，CD ⊥平面A BD '，得BA '⊥平面A CD '，于是B 正确；由CA '与平面A BD '所成的角为45CA D '∠=︒知C 不正确；16A C A BD V BCD V '-'-==，D 不正确．故选B ．2．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有 A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACD C ．平面ABD ⊥平面ACD D ．平面BCD ⊥平面ABD【答案】B【解析】因为AB 是圆柱上底面的一条直径，所以AC BC ⊥，又AD 垂直圆柱的底面，所以AD BC ⊥，因为ACAD A =，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．3．如图1，已知PABC是直角梯形，//⊥，D在线段PC上，AD PC⊥．将PADAB PC，AB BC∆沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD AC=PB AN⊥D．2【答案】A【解析】如图，图1中AD PC⊥，则图2中PD AD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD=，⊥，故选项C正确；PD∴⊥平面ABCD，则PD AC由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC⋂平面ABCD CD⊥，=，BC⊂平面ABCD，BC CDBC ∴⊥平面BDC ，故选项B 正确；AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， AB ∴⊥平面PAD ，则AB PA ⊥，即PAB ∆是以PB 为斜边的直角三角形，而N 为PB 的中点，则2PB AN =，故选项D 正确．因此错误的只能是A ．故选A ．4．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体A BCD -，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC【答案】D【解析】在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒BD CD ∴⊥又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ．故选D ．5．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是A ．AC SB ⊥B ．AD SC ⊥ C ．平面SAC ⊥平面SBD D ．BD SA ⊥【答案】D【解析】在A 中，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，BC AC ∴⊥， PA BC ⊥，PAAC A =，BC ∴⊥平面PAC ，故A 正确；在B 中，BC ⊥平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，BC AE ∴⊥， AE PC ⊥，PCBC C =，AE ∴⊥平面PBC ， EF ⊂平面PBC ， AE EF ∴⊥，故B 正确；6．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，E 为棱CD 的中点，则 A ．11A E DD ⊥ B ．1A E DB ⊥ C ．111A E D C ⊥ D ．11A E DB ⊥【答案】B【解析】连结AE ，BD ，因为AB =，所以AB ADAD DE=，所以ABD DAE ∆∆∽，所以DAE ABD ∠=∠，所以90EAB ABD ∠+∠=︒，即AE BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AE ，所以1A E DB ⊥．故选B ．二．填空题7．如图，已知平行四边形ABCD 中，||4AD =，||3CD =，060D ∠=，PA ⊥平面ABCD ，且||6PA =，则||PC = ．【答案】7【解析】由余弦定理有，22212cos 169243132AC AD CD AD CD D =+-=+-⨯⨯⨯=，∴AC =PA ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内， PA AC ∴⊥，∴7PC ．故答案为：7．8．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，过E ，F ，H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为．【答案】【解析】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，过E ，F ，H 的平面交棱CD 于点G ，得四边形EFGH 为矩形，如图：而1122EF PC FG BD ====从而EFGH S =故答案为：9．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA a =，PB PD =，则它的5个面中，互相垂直的面有对．【答案】5【解析】底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA a =，PB PD ==，可得PA ⊥底面ABCD PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAD ，可得：面PAB ⊥面ABCD ，面PAD ⊥面ABCD ，AB ⊥面PAD ，可得：面PAB ⊥面PAD ，BC ⊥面PAB ，可得：面PAB ⊥面PBC ， CD ⊥面PAD ，可得：面PAD ⊥面PCD ；故答案为：510．正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 上的点，若1B MN ∠是直角，则1C MN ∠= ．【答案】90︒【解析】因为正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 上的点，若1B MN ∠是直角，所以1MN MB ⊥，因为11B C 是棱，所以11MN B C ⊥，所以MN ⊥平面11MB C ，所以190C MN ∠=︒ 故答案为：90︒三．解答题11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，（1）求证：1AC DB ⊥；（2）求证：1DB ⊥平面1ACD ．【答案】详见解析【解析】证明：（1）连结BD 、11B D ，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1DD AC ∴⊥，又AC BD ⊥，1BDDD D =，BD 、1DD ⊂平面11DBB D ，AC ∴⊥平面11DBB D ，又1DB ⊂平面11DBB D ，1AC DB ∴⊥．（2）由1AC DB ⊥，即1DB AC ⊥，同理可得11DB AD ⊥，又1AD AC A =，1AD ，AC ⊂平面1ACD ，1DB ∴⊥平面1ACD ．。

直线与平面的位置关系(1)(1.2.3)

①一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行;
②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行;
③过平面外一点和这个平面平行的直线有且只有一条;
④平行于同一平面的两条直线互相平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
3. (知能点1、3)直线a⊥b,a∥平面α,则b与a的位置关系为……………………………………( )
已知:A∈α,A∈a,B α,B∈a,求证:直线a与平面α相交.
[自主迁移]:
2.如下图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,G分别是BC,C1D1的中点.求证:EG∥平面BB1D1D.
[自主迁移]:
3.如下图,过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证:BB1∥EE1.
BD上的点,且AP=DQ,如下图.求证:PQ∥平面CBE.
知能点3 直线与平面平行的应用
[典题研究]:
例3 (高考变式题)ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点.在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
综合1 线线平行与线面平行的综合应用
[典题研究]:
例4 (高考变式题)已知四面体ABCD中,M,N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心.
☆ 蔡老师高考与中考数学研究中心（21216123）△
第□讲
直线与平面的位置关系（1）
知能点1 直线与平面的位置关系
[典题研究]:
例1 (教材例题变式题)求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也与该平面相交.
知能点2 直线与平面平行的证明
[典题研究]:
例2已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内,P,Q分别是对角线AE,

2021学年新教材高中数学1.2.3直线与平面的夹角课时作业含解析人教B版必修一

课时作业(六) 直线与平面的夹角一、选择题1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )A．∠C1BB1 B．∠C1BDC．∠C1BD1 D．∠C1BO2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )A.33B.12C.66D.363．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 24．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )A.12B.2626C.63D.33二、填空题5．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．7．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．三、解答题8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．9.如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[尖子生题库]10.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：AC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．课时作业(六) 直线与平面的夹角1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.答案：D2．解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝66.答案：C3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B1(1,1,1)．A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A1F→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，A1B1→＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎨⎧n·A1E→＝0，n·A1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63，即A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正弦值为63. 答案：B 4．解析：如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ， ∵∠APB ＝∠APC .∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ，即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°，∴cos∠APO ＝33.答案：D5．解析：cos 〈a ，n 〉＝a ·n |a ||n |＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l 与平面α所成角的正弦值为216. 答案：2166．解析：连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a .易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°. 答案：30° 7．解析：以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°8．解析：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，则AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量．∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0.∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a 23a ·32a ＝－12.∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为12.9．解析：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得m＝122m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.10．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.。

高中数学第一章 1.2.3.1 直线与平面垂直练习新人教B版必修2

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题第一课时直线与平面垂直1若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直b∥α,则在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c⊂α,所以a ⊥c.因为b∥c,所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直,当b与a不相交时为异面垂直,故选C.2如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5PA⊥AC, PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个,故选A.3设α表示平面,a,b,l表示直线,给出下列四个命题:①⇒l⊥α;②⇒b⊥α;③⇒b⊥α;④⇒a⊥α.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.③④D.②中当a,b相交时才成立;③中由a∥α,a⊥b知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交;④中当a垂直于平面α内的两条相交直线时,有a⊥α,若a只垂直于平面α内的一条直线,则不能得出a⊥α,从而不正确.4已知直线a,b与平面α,给出下列四个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥α,b∥α,则a⊥b.其中正确命题的个数是 ()A.1B.2C.3D.45在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF和EF把这个正方形折起,使点G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则下列结论成立的是()A.SD⊥平面EFGB.SG⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEFSG⊥GE,SG⊥GF,又GF与GE相交于点G,所以SG⊥平面EFG.6如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误．．的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等7对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.其中真命题的序号是.①,取BC的中点E.连接AE,DE,则BC⊥AE,BC⊥DE,所以BC⊥AD.对于命题④,过A向平面BCD作垂线AO,如图,连接BO并延长与CD交于点G,则CD⊥BG,同理CH⊥BD.所以O为△BCD的垂心,连接DO,则BC⊥DO,BC⊥AO,所以BC⊥AD.8如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=2AB=2.9如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.又因为PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD,所以PC⊥BC.AC,设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.又PD=DC=1,所以PC=.由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,由V=S△PBC·h=·h=,得h=.因此,点A到平面PBC的距离为.★11如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.求证:(1)CN∥平面AMB1;(2)B1M⊥平面AMG.设AB1的中点为P,连接NP,MP.因为CM∥AA1,且CM=AA1,NP∥AA1,且NP=AA1,所以CM∥NP,且CM=NP.所以四边形CNPM是平行四边形.所以CN∥MP.因为CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,所以CN∥平面AMB1.(2)因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AG.由△ABC是正三角形得AG⊥BC,又因为BC∩CC1=C,所以AG⊥平面CC1B1B.所以B1M⊥AG.因为CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.设AC=2a,则CC1=2 a.在Rt△MCA中,AM= a.同理,B1M= a.因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC.所以BB1⊥AB.所以AB1==2 a.所以AM2+B1M2=A.所以B1M⊥AM.又因为AG∩AM=A,AG⊂平面AMG,AM⊂平面AMG,所以B1M⊥平面AMG.。

高中数学 1.2.3 第2课时平面与平面垂直基础巩固试题新人教B版必修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2.3 第2课时平面与平面垂直基础巩固试题新人教B 版必修2一、选择题1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③ [答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D.2．如图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案] D[解析] 由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD ＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案] D[解析] 如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.4．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[答案] C[解析] α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a ⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C.二、填空题5．Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P到平面α的距离等于__________．[答案] 12[解析] 作PO⊥平面α，作OE⊥AC，OF⊥AB，则AC⊥平面POE，AB⊥平面POF，∴PE＝PF＝610，从而OE＝OF，∴∠EAO＝∠FAO＝45°，在Rt△PAE中，PA＝24，PE＝610，∴AE2＝PA2－PE2＝216，又在Rt△OEA中，OE＝AE，∴在Rt△POE中，PO＝PE2－OE2＝PE2－AE2＝6102－216＝12.6．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．[答案] MN⊥AB[解析] 如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.三、解答题7．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A. [解析] 如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.一、选择题1．(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面( ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α[答案] C[解析] 该题考查立体几何中线线、线面、面面的平行与垂直，考查推理论证能力与空间想象能力．A选项可以m⊂α，B可以m⊂α或m∥α，C选项证明m⊥β，n⊥β，∴m∥n，又n⊥α，∴m⊥α，D可以m⊂α.举反例说明命题错误，正确的命题要有充分的说理根据(证明)．2．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB ⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] 如图，PH⊥平面ABC于H，PA⊥BC，PB⊥AC，AH⊥BC，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；对于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，同①，所以H是△ABC的垂心；对于③，∠ABC＝90°，H是AC的中点，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；对于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HC＝HB，即H是△ABC的外心．①②③④都正确，故选D.二、填空题3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[答案] BM⊥PC(其它合理即可)[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.∴面PCD⊥面BDM.4．(2014·河南南阳一中高一月考)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．[答案] ①④⑤[解析] ①④易判断，⑤中△PMN 是正三角形且AM ＝AP ＝AN ，因此，三棱锥A －PMN 是正三棱锥，所以图⑤中l ⊥平面MNP ，由此法还可否定③.∵AM ≠AP ≠AN ，也易否定②.三、解答题5.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； (3)求证：平面DEA ⊥平面ECA . [解析] (1)取EC 的中点F ，连接DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊CF .∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又∵DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.6．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC ＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.[解析] (1)解法一：取A1B1的中点F1，连接FF1、C1F1，∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，∴平面FCC1即为平面C1CFF1，连接A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1綊CD，∴四边形A1DCF1为平行四边形，∴A1D∥F1C.又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C，∵EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，∴EE1∥平面FCC1.解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.(2)证明：连接AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC；故平面D1AC⊥平面BB1C1C.7．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．[解析] (1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE. 又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.。