DSP课件例题(不全)

1、能量信号的总能量为有限值而平均功率为零；功率信号的平均功率为有限值而总能量为无限大。

2、如果两个序列的长度分别为N和M，那么卷积结果的长度为N+M-1。

1、采样定理：设xa(t)是连续带限信号，其最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T，截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以不失真地恢复出原连续信号xa(t)。

若Ωs<2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，则不能无失真地恢复原连续信号。

一般把临界采样频率Ωsmin = 2Ωc称为奈奎斯特采样频率，采样定理也叫做奈奎斯特。

2、常用基本序列：
前向差分后向差分
所以
Z变换的基本性质：
线性
性序列的移位：若则
乘以指数：若则
序列的反折：若则
初值定理
证明：
因为
所以
终值定理：若x(n)是因果序列，而且X(z)除在z=1处可以有一阶极点外，其他极点都在单位
圆内，则
证明：利用序列的移位性质得：
因为x(n)是因果序列，即x(n)=0，n<0，则
由于X(z)在单位圆上只可能有一阶极点(z-1)X(z)中因子(z-1)将抵消z=1处可能的极点，因此，(z-1)X(z) 的收敛域将包括单位圆，即在上都收敛。

因而允许对上式两端取z →1的极限，即
循环卷积定理：
FFT 的基本思想：
时间抽选基-2FFT 算法简称为时间抽选FFT 算法（DIT ），其序列长度N 满足N=2M ，M 为
任意正整数。

该算法的基本思想是：利用 的对称性和周期性，将一个大的DFT 分解
成一些逐次变小的DFT 来计算。

分解过程遵循两条规则：对时间进行偶奇分；对频率进行前后分。

周期性： 对称性： FFT 运算：
下面以一个点N=23=8的DFT 来举例说明时间抽选基-2FFT 算法。

设长为N=8点的离散时间信号x(n)为： 第一步，按规则1，先将序列x(n)在时域上进行偶奇分，分成的两个短序列x1(m)和x2(m)为:
kn N W m N k N k N w w +=k N
N k N w w -=+2)}7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(),0({)(x x x x x x x x n x =12,,1,0)},6(),4(),2(),0({)2()(1-===N m x x x x m x m x L 12,,1,0)},7(),5(),3(),1({)12()(2-==+=N m x x x x m x m x L
根据DFT 的定义，并结合 可得：
后面一组的N/2个X(k)按照式（1），并利用了式（2）和式（3）及 可表示成：
因此，X(k)分成两组后，前后两组的N/2个X(k)可分别表示成：
按上式可以画出信号流图如下：
第二步，我们可以进一步按照第一次分解的步骤再将N/2点的DFT 分解成N/4点的DFT 。

按规则1，将时间偶奇分可得到
按规则2，将X1(k)前后分成两组之后，前、后N/4个X1(k)可分别表示为：
m N m N W W 2/2=∑-==10)(N n kn N W n x ∑∑-=+-=++=120
)12(1202)12()2(N m m k N N m km N W m x W m x ∑
∑-=-=+=120
2/21202/1)()(N m km N k N N m km N W m x W W m x 1,,2,1,0),()(21-=+=N k k X W k X k N L k N N k N W W -=+212,,2,1,0),()()2()2()2(21221-=-=+++=++N k k X W k X N k X W N k X N k X k N N k N L )()()2()()()(2121k X W k X N k X k X W k X k X k N k N
-=++=
{ ∑
∑∑-=+-=-=++==140
)12(2/114022/12/120
11)12()2()()(N l l k N N l kl N k N N m W l x W l x W m x k X 12,,2,1,0),()(12211-=+=N k k X W k X k N L 14,,2,1,0,)()()4()()()(122111122111-=-=++=N k k X W k X N k X k X W k X k X k N k N )(k X
同理可得到,将X2(k)前后分成两组之后，前、后N/4个X2(k) 的表达式为：
第三步,当N=8时，N/4点的DFT 就是2点的DFT 。

而2点序列的DFT 可直接按DFT 的定义式写出，为：
第四步：运算流图：
14,,2,1,0,)()()4()
()()(222212222212-=-=++=N k k X W k X N k X k X W k X k X k N k N )1()0()1()1()0()0(x x X x x X -=+=
{。