中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
《中国舰船研究》2018年度总目次
孙谦，刘文玺，周其斗，纪刚
90
基于统计能量法研究肋骨对双层圆柱壳声辐射特 性的影响
张恺，纪刚，周其斗，李宗威
91 阻尼材料粘贴面积灵敏度分析
徐建龙，彭利国，潘国雄，魏笔
13（5）：39-45 13（5）：46-52 13（5）：53-60
Βιβλιοθήκη Baidu
92 多点锚泊定位系统布锚夹角的影响及优化分析
韩森，贾宝柱，孙文正，顾一鸣
13 基于重叠网格方法的水轮机非定常水动力数值仿真 刘垚，蔡卫军，王明洲
14 舰船舱室挥发性有机化合物的释放速率研究
张锦岚，余涛，姜国宝，孙新福， 赵俊涛
15 柴燃联合动力装置非对称主机推进工作制的仿真研究 黄斌，吕帮俊，向前，彭利坤
13（1）：85-92 13（1）：93-98 13（1）：99-105
陈红超，宋靠华，包剑，罗雯军
27
舱内功能及人机工效导向的载人潜水器工作舱布局 设计方法
陈登凯，范昱，张帅，曲俊霖
28 潜艇破冰上浮近场动力学模型
叶礼裕，王超，郭春雨，常欣
29 基于空间谐波分析的典型加筋板结构声振特性
高双，朱翔，李天匀，和卫平， 魏建辉
13（2）：7-15 13（2）：16-26 13（2）：27-34 13（2）：35-40 13（2）：41-50 13（2）：51-59 13（2）：60-69
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板的自振频率是指薄板在四个边界被支承的情况下，
能够在固有模态下以多少频率振动。这在很多工程和物理问题中都非常重要，因为它涉及到材料和结构的固有特性。以下将详细介绍如何计算四边
支承矩形薄板的自振频率。
首先，我们需要了解薄板的振动方程。对于四边支承矩形薄板来说，
其振动方程为二维拉普拉斯方程：
∇^2u+k^2u=0
其中，u是振幅，∇^2是二维拉普拉斯算子，k是波数，k=2πf/c，
f为频率，c为波速。
接下来，我们需要根据边界条件来确定薄板的固有频率，边界条件一
般可以是位移边界条件、速度边界条件或应力边界条件。在四边支承的情
况下，我们常常使用位移边界条件。
对于四边支承的矩形薄板，位移边界条件可以表示为：
u(0,y)=u(a,y)=0
u(x,0)=u(x,b)=0
其中，(0,y)和(a,y)表示薄板的两个平行边界，(x,0)和(x,b)表示薄
板的两个垂直边界。这些边界条件表示，在边界上薄板的位移为零，即薄
板被四边支撑。这些边界条件可以用来解二维拉普拉斯方程。
接下来，在振动方程中代入位移边界条件，我们可以得到一个特征值
问题。通过求解特征值问题，我们可以得到薄板的固有频率和对应的振型。具体来说，我们需要通过使用分离变量法，将二维拉普拉斯方程转化为两
个一维波动方程。然后，我们可以根据一维波动方程的边值条件来解特征值问题。
解特征值问题的方法有很多种，常见的包括解析解法和数值解法。解析解法适用于一些简单的情况，如正方形或矩形薄板。对于复杂的几何形状或边界条件，数值解法（如有限元法或边界元法）可能更合适。
基于傅里叶级数法的开孔板振动固有特性分析
基于傅里叶级数法的开孔板振动固有特性分析
王旻昊;李凯;邱永康;李天匀;朱翔
【摘要】[目的]开口板结构普遍存在于各类工程结构中,对其振动特性的研究直接关系到整体结构的减振降噪和稳定性分析.为研究针对弹性薄板在任意位置开与板平行的矩形口的自由振动特性研究问题,[方法]通过改进傅里叶级数形式表示开口矩形板的位移容许函数,用区域划分思想将开口板沿开口延伸线划分为多个区域板,采用沿边界均匀分布的线性模拟弹簧模拟经典边界条件和区域板间连续边界条件,将边界表达为弹性势能的形式,从而将有约束问题转化为无约束问题,并结合位移连续条件和能量泛函变分方法,对未知傅里叶展开系数一次变分求极值以求解标准特征值方程.然后将得到的开口矩形板的固有频率值及其对应振型与有限元软件(ANASYS)计算结果进行对比,最后分析不同边界条件、开口尺寸和开口位置对开口板自振特性的影响.[结果]结果验证了方法的有效性和精确性,[结论]所得结果可为相关实际工程应用提供理论参考.%Plate structures with openings are common in many engineering structures. The study of the vibration characteristics of such structures is directly related to the vibration reduction, noise reduction and stability analysis of an overall structure. This paper conducts research into the free vibration characteristics of a thin elastic plate with a rectangular opening parallel to the plate in an arbitrary position. We use the improved Fourier series to represent the displacement tolerance function of the rectangular plate with an opening. We can divide the plate into an eight zone plate to simplify the calculation. We then use linear springs, which are uniformly distributed along the boundary, to simulate the classical boundary conditions and the boundary conditions of the
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
动时 ｑ（ｘ，ｙ）为惯性载荷，且 ｑ（ｘ，ｙ）可以表示为
ｑ（ｘ，ｙ） ＝－ρｔ２２ｗｔ
（２）
通过分离变量法［１７］，可求得薄板的横向频域
自由振动方程为 ２２Ｗ －ωβ２２Ｗ ＝０
（３）
式中，Ｗ为薄板的模态振型向量，ω为对应的特
征频率，β＝槡Ｄ／ρｈ，２ 为微分算子，且 ２ ＝ （２２ｘ＋２２ｙ）．对 于 四 边 简 支 边 界 条 件，容 易 得 到
其模态振型向量和特征频率分别为
Ｗ ＝Ａｍｎｓｉｎ（ｍａπｘ）ｓｉｎ（ｎπｂｙ），
ｍ，ｎ＝１，２，３，…
（４）
槡 ( ) ωｍｎ ＝π２
Ｄ ρｈ
ｍ２ ａ２
＋ｎｂ２２
（５）
式（５）表 明，矩 形 简 支 振 动 薄 板 的 特 征 频 率 与 材
料参数、板厚度及矩形边长有关．
１．２ 矩形简支薄板模态频率灵敏度 将 ω ＝２πｆ及板的弯曲刚度 Ｄ ＝１２（１Ｅｈ－３μ２）
收稿日期：２０１７１１０２ 基金项目：牵引动力国家重点实验室开放课题资助项目（ＴＰＬ１４０２） 作者简介：王秀颖（１９９０－），女，硕士研究生； 张军（１９６４－），男，教授，博士，主要从事声学仿真、结构优化设计的研究 Ｅｍａｉｌ：ｚｈｊ＠ｄｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
２８
大连交通大学学报
第 ３９卷
２ 基于有限单元法模态及其灵敏度
矩形薄板的振动
整理后，可得
Qx Qy 2w P( x, t ) f (t ) h 2 x y t
4.91
M
x
0 M y
Qy 1 M y dx ( M y dx dydx) Qy dx dy (Qy dx dydx) y 2 y M xy M xy dy ( M xy dy dydx) 0 x
2 1m 2
的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程 式，从而求出固有频率。
2014年3月15日 《振动力学》
20
连续系统的振动
【例4.6】求解四边简支矩形薄板的自由振动 【解】本题边界条件为
Wx 0 Wx a Wy 0 Wy b
m 1 n 1
2W 2W 0, ( 2 ) x 0 ( 2 ) x a 0 x x 2W 2W 0, ( 2 ) y 0 ( 2 ) y b 0 x x
（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；
（3）自由面上的应力为零； （4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，
即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。 2014年3月15日
《振动力学》
3
连续系统的振动
4.3.1 矩形薄板的横向振动 1.振动微分方程 为了建立应力、应变和位移之间的关系，现取一空间直 角坐标系Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的
薄板低频区隔声性能与振动模态特性分析
薄板低频区隔声性能与振动模态特性分析
作者：帅仁忠赵艳菊林君山孙召进郭建强
来源：《硅谷》2012年第19期
摘要：重点研究矩形薄铝板在低频区振动模态下隔声性能与频率之间的关系，并揭示薄板在低频共振区隔声量下降的机理，分析指出声辐射效率对板隔声量的影响。采用仿真及实验的方法进行研究，并分析两者之间的差异，从而为薄板结构在工程中的低噪声设计提供参考。
关键词：隔声量；动模态；薄板；低频共振
不同频率下单层薄板的隔声量有差别，按照频率特性，隔声曲线分为三个区域：低频区、质量控制区和吻合效应区。低频区是由板的刚度控制区和一系列固有频率所引起的共振区组成，共振区的隔声量最低且起伏变化。共振频率由单层板材料、尺度和边界条件确定[1]。人们对隔声材料的质量定律及吻合效应比较熟悉，而对低频共振区的隔声性能尚缺乏较深入的研究。本文重点研究分析低频区振动模态下薄铝板隔声性能与频率的关系。
1 隔声量概述
隔声性能是指声波在传播通过不同介质过程中，形成的能量损失。损失的能量越多，就是说中间介质隔声性能越好。衡量一个结构或某种材料的隔声能力的一个常用量是传递损失TL，亦称为结构的隔声量，其定义为[2，3]：
TL=10lgWiWt=10lg1τ
式中：Wi为入射到待测试件上的声功率；
Wt为透过试件的透射声功率；
τ=WiWt为透射系数。
透射系数和隔声量是两个相反的概念，用隔声量来衡量构件的隔声性能比透射系数更直观、明确，便于隔声构件的比较。对于给定的固体构件，隔声量的大小与构件的结构、性质有关，也与声波的频率密切相关。同一隔声件对不同频率的声，隔声性能可能有很大的差异，固通常用1/3倍频程中心频率的隔声量来表示构件的隔声性能[4]。
面内变刚度矩形薄板自由振动问题的辛弹性分析
ｐ ｌ ａ ｎ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｄ ． Ｎｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｌ １ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓ ｏ ｆ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｔ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ 。ｔ ｈ ｅ
ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ；ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
功 能梯度 材料 是指 材料 的组分 沿 某一 方 向连 续
变化， 从 而 导致 材 料 的宏 观 性质 随空 间位 置 梯 度 变
化． 功 能梯度 材料 结构 的力 学研究 越来 越受 关 注．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｓ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
度 面 内变化 的研 究 则 很 少． 尚新 春 Ｌ ５ ３ 研 究 了 两 对 边 简 支两 对边 任意 支撑 的双 向线 性 变 刚度 矩形 板 弯 曲
问题 的解析 解 ； 杨杰ｌ ＿ ６ ］ 提 出 了 单 向 变 刚 度 矩 形 板 结
第二章 薄板振动分析
例 1 四边简支矩形板固有频率
取振形函数为
W Cmn sinmx asinny b m1 n1
可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得
U
W
2
1 2
m
W
2
dxdy
4abD
8
m1
n1
Cm2 n
m2 a2
n2 b2
2
2mab
8
m1
Cm2 n
n1
于是由瑞次方程，得
4abD 8
2Cmn
m1 n1
asinny
b
解得
Amn Cmn
Bmn
Dmn
mn
其中
Cmn
4 ab
a 0
b 0
wt0
sin
mx
a
sin
ny
b
dxdy
Dmn
4 ab
a 0
b w
sin mx sin ny dxdy
0 t t0
a
b
挠度表达式
w
m1
n1
4 ab ab 0 0
4
abmn
• 若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，，则可以得 到近似的最低固有频率。
例 2 四边夹支矩形板
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
双向变厚度矩形薄板的自由振动分析
弹性薄板的自由振动分析
弹性薄板的自由振动分析
弹性薄板是一种常见的结构，广泛应用于建筑、航空航天等领域。在设计和使
用过程中，了解弹性薄板的自由振动特性对于保证结构的稳定性和可靠性至关重要。本文将对弹性薄板的自由振动进行分析。
首先，我们需要了解什么是自由振动。自由振动是指在没有外界干扰的情况下，结构在初始位移和初始速度的作用下，按照固有频率和模态形态进行振动。对于弹性薄板而言，其自由振动可以通过求解其振动方程来得到。
弹性薄板的振动方程可以由拉普拉斯方程和边界条件推导得到。拉普拉斯方程
描述了薄板的平衡状态，边界条件则决定了薄板的振动模态。通过将拉普拉斯方程和边界条件代入，可以得到薄板的振动方程。
对于简支边界条件的薄板，其振动方程可以写作：
∇^4w + k^4w = 0
其中，∇^4表示拉普拉斯算子的四次方，w表示薄板的位移函数，k表示振动
频率的参数。通过求解这个振动方程，可以得到薄板的振动模态和频率。
在实际求解过程中，可以采用分离变量法来解决这个振动方程。通过假设位移
函数可以表示为各个坐标的乘积形式，将其代入振动方程，再对各个坐标进行分离变量，可以得到一系列的常微分方程。通过求解这些常微分方程，可以得到薄板的振动模态和频率。
薄板的振动模态是指薄板在不同频率下的振动形态。每个振动模态对应着一个
特定的频率和振动形态。通常情况下，薄板的振动模态是以正交的方式存在的，即不同振动模态之间没有相互干扰。这意味着，薄板的振动可以看作是各个振动模态的叠加。
薄板的振动频率与其几何形状和边界条件密切相关。不同的几何形状和边界条
件会导致不同的振动频率。对于给定的薄板，可以通过求解振动方程得到其特征值，即振动频率的平方。通过对这些特征值进行排序，可以得到薄板的振动频率。
薄板的振动
2 f ( x, y , t ) 2 f ( x, y , t ) M y ( x, y , t ) D 2 y x 2
2 f ( x, y , t ) M xy ( x, y, t ) D(1 ) xy
2009-2 山东理工大学 交通与车辆工程学院 4
b a b 2n m Kn (m) 1 a
2009-2
1n m Kn (m) 1
山东理工大学 交通与车辆工程学院
( y 0)
f (r , , t )
f (r, , t ) 0 r
(r a)
2
山东理工大学 交通与车辆工程学院
（3）自由边
矩形薄板
2 f ( x, y , t ) 2 f ( x, y , t ) 0 2 2 y x
3 f ( x, y , t ) 3 f ( x, y , t ) (2 ) 0 3 2 y x y
1 M r Vr Qr r 2 1 1 2 f (r , , t ) 1 f (r , , t ) D f (r , , t ) 2 r r r r
V 式中， y 和
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qx ( x, y, t ) D x x 2 y 2
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算
在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：
f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，
其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析
在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。有限元分析的主要步骤包括：
1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支
撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定
支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解
振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分
析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
小案例：矩形薄板的模态分析
小案例：矩形薄板的模态分析
1.解决的问题
1.1问题阐述
运用ANSYS有限元分析软件，一个均质矩形薄板状结构，基本要求如下：
①分析薄板的前6阶固有频率和振型图；
②假定薄板上存在一个椭圆形缺陷，请再重新分析薄板的前6阶固有频率和振
型图；
③对比带有缺陷和不带缺陷板的固有频率和振型图，并指明它们的差别。
1.2材料参数
表2-1 材料参数
弹性模量/(N/mm2)泊松比密度/(kg/mm3)
2.1×1050.3 8×10−6
1.3问题设计
1.3.1完好的矩形板
其尺寸（单位：mm）如图2-1所示：
图2-1 完好薄板尺寸
1.3.2有缺陷的矩形板
有缺陷薄板厚度为1mm，其尺寸（单位：mm）如图2-2所示：
图2-2 有缺陷薄板尺寸
缺陷构造的过程：通过在原来完好的板上，在中心挖去一个椭圆域，而得到这块有缺陷的薄板。
2.操作步骤
FINISH
/CLEAR,START
/prep7 !进入前处理器
ET,1,plane42!定义单元1
GUI: 如图2-1所示，plane 42单元在ansys14.0中没有，但是老单元在14.0中也是可以直接输入“42”然后点击“OK”就能添加plane42单元。
图2-1 定义单元
MP,EX,1,2.1e5!定义材料1的弹性模量
MP,PRXY,1,0.3!定义材料1的泊松比
MP,DENS,1,8e-6!定义材料1的密度
这里要注意的是单位的统一，ansys没有统一的单位制，所以按表2-1进行计算数据的单位对应。
表2-1 单位制示例
GUI: 定义材料属性，如图2-2所示；
图2-2 定义材料属性
第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能 满足，也就是在x和y取任意值时都能满足，必须 有 2
2 2 k n 4 4 0 a 2 b2
得到
k n a 2 b2
4 4 2 2 2
得出求自然频率的公式
D n D 4 k 2 2 m m a b
2 D4 ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠 度不从平面位置起，而从平衡位置量起。于是薄板 在任一瞬时的挠度为w＝wt－we，而上式成为
2 w D4 w m t 2
这就是薄板自由振动的微分方程。
现在来试求微分方程的如下形式的解答
第十五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动 第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动
第五节 用差分法求自然频率
第六节 用能量法求自然频率
第七节 薄板的受迫振动
第五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动
关于薄板的振动问题，这里将只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程 实际中的重要问题。
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
板的振动
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
1 r
dF dr
n2 r2
F
0
或引用无因次的变量x＝γr 而得
x2
d2 F d x2
x dF dx
x2
n2
F
0
这一微分方程的解答是
F C1Jn ( x) C2Nn ( x) C3In ( x) C4Kn ( x)
k 2 2
a2
2
k 2
a2
2
m D
k 2 2
a2
上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 shy C3 cos y C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W
(C1 chy
C2
shy
C3
cosy
C4
sin
y) sin
kx
a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示
D4 w
m
2w t 2
这就是薄板自由振动的微分方程。
现在来试求微分方程的如下形式的解答
w wk ( Ak coskt Bk sinkt)Wk ( x, y)
k 1
k 1
在这里，薄板上每一点(x，y)的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐 振动的频率是ωk ，另一方面，薄板在每一瞬时t的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加， 而每一种振形下的挠度是由振形函数Wk(x，y)表示 的。
基于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析
基于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析
李凯;何书韬;吴国民;毛艺达;李天匀
【摘要】This article based on the energy functional method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of rectangular plate with an opening.When considering the openin g,only a quarter of the plate is available by using symmetry and antisymmetry conditions,which is divided into three regions.Then find connections between regions through continuity conditions of
displacement.Displacement field is simulated by beam functions and get the overall energy function.After that,natural frequencies are obtained by solving dispersion characteristic equations yielding by variational method.The results show that the accuracy of the method by comparison.The method provides theoretical foundation on the issue of vibration of rectangular plate with opening and problem related.%基于能量泛函方法,建立了开口矩形板自由振动分析模型.计算了开口矩形板的固有频率和振型函数.在处理开口问题时,利用对称性和反对称性只研究四分之一块板,并将其分割成三个区域,通过位移连续条件建立区域之间的联系,并用梁函数模拟位移场,最终得到整体能量泛函.对其变分后得到广义特征值矩阵方程,求解方程可以求出各阶固有频率.结果对比表明本文方法的准确性,为在方案设计阶段快速分析开口矩形板振动及其相关问题提供了理论基础.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
转角约束弹簧刚度值 K（ / N ㊃ m ㊃ rad-1） 0 0 ɕ k（ / N ㊃ m-1） ɕ ɕ 0
等 在任意边界条件下中心开矩形口矩形板的自 由ห้องสมุดไป่ตู้动特性分析和基于傅立叶级数法的含开口板 的振动固有特性分析中， 对开矩形口的矩形板的 问题进行了系统分析， 讨论了开口位置、 开口大小 等对矩形板自由振动特性的影响。李凯等 在基 于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析中， 采用区域分解及能量泛函的方法计算了开口矩形 板的自由振动频率， 得出了振型。 件下典型形状开口矩形薄板进行分析。首先， 采 用改进的傅里叶级数法
根据以上弹簧模拟任意边界条件的方法， 可 得到开口矩形薄板的物理模型如图 2 所示。 由于本文的研究对象具有高度的对称性， 为
简化计算， 只研究 1/4 的结构， 通过对称性的正对 频率。本文研究对象的计算模型如图 3 所示。
称和反对称的性质来得出整体开口矩形板的固有
78
中
国
舰
船
研
究
第 13 卷
开口部分结构的弯曲应变能为：
摘
要： ［目的］工程中存在着大量的开口结构， 对开口板的振动特性进行研究具有重要意义。 ［方法］ 通过引
入改进的傅里叶级数模拟开口矩形板的位移容许函数， 并采用位移弹簧和转角弹簧模拟任意边界条件。在求 解整体能量泛函时， 将开口部分的动能与应变能减去， 基于 Rayleigh-Ritz 法构造结构的拉格朗日能量泛函， 并 对傅里叶级数中的未知系数进行变分求极值， 将原先的振动问题转化成求解特征值方程的问题。最后， 研究不 同开口形状及开口大小对矩形板自由振动的影响。 ［结果］经与有限元软件 ANSYS 的计算结果的对比， 表明采
Abstract： ［Objectives］ A large number of structures with openings are used in engineering projects, which is of great significance for studying the vibration characteristics of plates with openings.［Methods］ By introducing an improved Fourier series，the permissible displacement function of rectangular plates with openings is simulated. By using displacement springs and angle springs， arbitrary boundary conditions are simulated. While obtaining the overall energy functional，the kinetic energy and strain energy of the opening part are subtracted. Based on the Rayleigh-Ritz method， the Lagrange energy functional of the structure is constructed and the variational extremum of unknown coefficients in the Fourier series obtained， transforming the original vibration problem into a problem of eigenvalue equations. The paper studies the influence on the free vibration of rectangular plates with different shaped and sized openings.［Results］A comparison with the results of finite element software ANSYS shows that the current method is accurate and reliable， ［Conclusions］providing a reference for practical engineering. Key words： free vibration； arbitrary boundary conditions； improved Fourier series method； Rayleigh-Ritz method
第 13 卷 第 2 期 2018 年 4 月
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal Ship Research 中 国 舰 of 船 研 究
Vol.13 No.2 Apr. 2018 第 13 卷
引用格式： 张俊， 李天匀， 朱翔， 等. 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析 ［J］ . 中国舰船研究， 2018， 13 （2） ： 76-83. ZHANG J， LI T Y， ZHU X， et al. Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening ［J］ . Chinese Journal of Ship Research， 2018， 13 （2） ： 76-83.
开口结构具有很多优势， 其可以在保证一定 强度的前提下减轻结构重量， 还可以用于各种特 殊的用途， 使用范围非常广泛， 尤其在船舶领域， 如集装箱船的大开口结构、 散货船的货仓开口、 船 体主体部分的人孔、 排水孔以及上层建筑的结构 开口等。但同时开口也会影响结构的强度、 稳定 性以及振动特性等性能， 因此对开口结构进行研 究具有重要意义。 近百年来， 国内外的专家学者们对开口结构 进行了大量研究， 各种成果层出不穷。 Cho 等［1］应 用假定振型法， 通过运动的拉格朗日方程导出自 然频率， 对任意边界条件下开口板的自由振动特 性进行研究， 分析了开口大小对板结构动力响应 的影响。 Lu 等［2］在带有 2 个孔的平板的应力解析 解中对带有 1 个椭圆孔和 1 个圆孔的平板提出了
1
1.1
理论分析
开口矩形板的物理模型
本文研究的物理模型为中心开圆形、 椭圆形
开口的矩形薄板， 如图 1 所示。 开口矩形板的长为 a， 宽 为 b， 板 厚 为 h， 圆 形、 椭圆形 （其 长 轴 与 短 轴 和 矩形边界平行） 开口的中心与矩形板中心重合。
解析解， 并采用复变函数的方法将求解区域映射 成了一个圆环， 原区域求解的应力分布是这个圆 环的特殊条件。同时， 还具体介绍了映射函数、 应 力边界条件的复数表示法等。 Kumari 等［3］ 同样应 用复变函数的方法， 通过算例分析了带有不同大 小 孔 的 平 板 的 应 力 分 布 。 Jafari 等［4］针 对 不 同 形 状、 不同大小开口矩形板的应力问题进行了求解， 并针对不同形状、 不同大小开口矩形板的应力分 布给出了关系图像， 其采用的也是复变函数解析 方法。除此之外， Rayleigh-Ritz 法 也 被 用 于 求 解 带开口和裂纹的结构问题。邱永康等［5］和王旻昊
中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 张俊 1， ， 李天匀 1， ， 朱翔 1， ， 郭文杰 1， ， 陈繁 1，
2 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室， 湖北 武汉 430074 3 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240
1 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 湖北 武汉 430074
Fig.2
图 2 开口矩形板物理模型 Physical model of rectangular plate with opening
［6］
（a）圆形开口
Fig.1
图 1 开口矩形薄板示意图 Rectangular plate with different shaped opening
（b）椭圆形开口
为了方便计算任意边界条件下开口矩形板的 自由振动固有频率， 本文采用沿边界均匀分布的 位移约束弹簧 k 和转角约束弹簧 K ， 通过改变两类 弹簧的刚度系数来简便、 快捷地模拟各种任意边 界条件。各种经典的边界条件及对应的弹簧刚度 系数如表 1 所示。
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 ZHANG Jun1， ， LI Tianyun1， ， ZHU Xiang1， ， GUO Wenjie1， ， CHEN Fan1， 1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China 2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics， Wuhan 430074， China 3 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration， Shanghai 200240， China
用的方法准确可靠， ［结论］所做研究可为实际工程提供参考。 中图分类号 ： U661.44； TB532
文献标志码： A
关键词 ： 自由振动； 任意边界条件； 改进傅立叶级数； Rayleigh-Ritz 法
DOI： 10.3969/j.issn.1673-3185.2018.02.010
Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening
é 2 2 æ 2 ö2 ¶ wö ¶ w + D V pr = s êæ ÷ +ç 2 2 ÷ êç 2 è ¶x ø è ¶y ø ë
o
2 æ ¶2 w ö ù æ 2 öæ ¶2 w ö 2μ ç ¶ w + 2 1 μ ( ) ç ÷ú 2 ÷ç 2 ÷ ú dxdy （5） è ¶x ø è ¶y ø è ¶x¶y ø û
收稿日期： 2017 - 05 - 17 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （51579109， 51379083） 网络出版时间： 2018-4-11 8:45
作者简介 ： 张俊， 女， 1994 年生， 硕士生。研究方向： 结构减振降噪。
李天匀 （通信作者） ， 男， 1969 年生， 博士， 教授， 博士生导师。研究方向： 船舶结构减振降噪。
［8-11］ ［7］
本 文 将 基 于 Rayleigh-Ritz 法 ， 对任意边界条 模拟求解域的位移容
边界 条件 自由 简支 固支
位移约束弹簧刚度值
许函数， 解决以往函数边界不连续的问题； 为求解 复杂边界条件下的结构自由振动， 采用线性分布 的位移约束弹簧和转角约束弹簧， 通过改变弹簧 的刚度系数模拟各种经典边界条件。然后， 通过 算例说明方法良好的收敛性和精确性。最后， 对 比文献 ［5-7］ 中对矩形板开矩形口的区域划分方 法， 本文将采取不将整块板划分为若干个小矩形
朱翔， 男， 1980 年生， 博士， 副教授。研究方向： 船舶与海洋工程结构力学， 振动与噪声控制。
第2期
张俊等： 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
77
0
引
言
板块的方法， 而是直接对整个求解域进行求解， 以 较准确地计算诸如圆形开口、 椭圆形开口这种带 有曲边的开口形状， 大大减少计算量， 从而为之后 计算任意形状开口问题提供可能。