中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
薄板结构的自由振动特性分析
薄板结构的自由振动特性分析薄板结构是指在某一方向上的尺寸远小于其余两个方向上的尺寸的结构形式。
由于其特殊的构造形式，薄板结构在振动特性方面具有一些独特的特点。
本文将分析薄板结构的自由振动特性，并探讨其对结构性能的影响。
一、薄板结构的基本特征薄板结构的基本特征包括平面配置、尺寸远小于波长以及弯曲和拉伸变形较大等。
薄板结构的平面配置可以是矩形、梯形、圆形或其他形状，其尺寸与波长之比小于1/10，即满足薄板假设。
由于其尺寸较小，薄板结构在受到外力激励时会发生弯曲和拉伸变形，而非刚性平面结构。
二、薄板结构的自由振动模态在没有外界激励作用下，薄板结构可以自由振动。
自由振动模态是指结构在不受约束情况下的振动形态，也是振动的固有形态。
薄板结构的自由振动模态是通过求解结构的固有值问题而得到的。
薄板结构的自由振动模态可以分为弯曲模态和拉伸模态。
弯曲模态是指结构在振动时呈现出的弯曲形态，而拉伸模态是指结构在振动时呈现出的拉伸形态。
通过求解偏微分方程和应用适当的边界条件，我们可以得到薄板结构的振动模态，进而得到结构的共振频率。
三、薄板结构的自由振动特性薄板结构的自由振动特性包括共振频率、振动模态和共振节点。
共振频率是指结构在自由振动时达到最大振幅的频率，是结构固有的特性。
振动模态描述了结构振动时的形态，可以通过模态形状和模态序号来表示。
共振节点是指结构在振动时处于最小振幅的位置，是结构中的固定点。
薄板结构的自由振动特性受到结构尺寸、材料性质和边界条件等因素的影响。
结构尺寸越小，振动频率越高；材料的刚度和密度越大，振动频率越高；边界条件的约束程度越大，振动频率越高。
因此，在设计薄板结构时需要充分考虑这些影响因素，以确保结构在正常工作条件下具有良好的振动特性。
四、薄板结构的应用领域薄板结构的振动特性分析在工程设计和科学研究中具有广泛的应用。
薄板结构的自由振动特性可以用于结构的设计优化和结构参数估计。
通过分析结构的振动模态和共振频率，可以确定结构的固有振动形态和工作频率范围，从而为结构的设计和使用提供依据。
各向异性矩形板自由振动的一般解析解法
各向异性矩形板自由振动的一般解析解法
各向异性矩形板自由振动是一种常见的力学问题，它涉及到矩形板的振动及其影响因素。
本文将介绍各向异性矩形板自由振动的一般解析解法。
首先，我们需要确定矩形板的几何参数，包括长度L、宽度W、厚度h以及材料参数，如
板的弹性模量E、泊松比μ等。
其次，我们需要确定矩形板的自由振动模态，即矩形板的振动形式。
一般来说，矩形板的
自由振动模态可以分为两类：一类是横向振动模态，即矩形板在横向方向上的振动；另一类是纵向振动模态，即矩形板在纵向方向上的振动。
最后，我们需要求解矩形板的自由振动方程，即求解矩形板的振动频率和振幅。
一般来说，矩形板的自由振动方程可以用拉普拉斯变换法求解，即将矩形板的自由振动方程转换为拉
普拉斯变换的形式，然后求解拉普拉斯变换的结果，从而得到矩形板的振动频率和振幅。
总之，各向异性矩形板自由振动的一般解析解法包括确定矩形板的几何参数和材料参数，确定矩形板的自由振动模态，以及求解矩形板的自由振动方程。
通过这种解析解法，我们
可以获得矩形板的振动频率和振幅，从而更好地了解矩形板的振动特性。
正交各向异性矩形板的自由振动特性分析
正交各向异性矩形板的自由振动特性分析曾军才;王久法;姚望;于涛【摘要】An improved Fourier series method was proposed to develop the transverse vibration model of orthotropic rectangular plates and derive the matrix equation which is equivalent to governing differential equations.An analytical solution for vibration of plates with general elastic boundary conditions was provided.The vibration displacement was solved as the linear combination of a double Fourier cosine series and an auxiliary series.The use of these supplementary series is to solve the discontinuity problem encountered in the partial differentials of displacement function along the edges. The vibration mode characteristics were obtained by solving the eigen values of the matrix.Several numerical examples were given and the comparison of the results with those of the available literature validates the convergence and correctness of the method.%采用改进 Fourier 级数方法，建立了正交各向异性矩形薄板的弯曲振动模型，推导出与振动控制方程等价的矩阵方程，得到控制方程在任意边界条件下的解析解。
板的振动
第一节 薄板的自由振动 第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动 第五节 用差分法求自然频率 第六节 用能量法求自然频率 第七节 薄板的受迫振动
第五章 薄板的振动问题 第一节 薄板的自由振动 关于薄板的振动问题,这里将只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动,因为这是工程 实际中的重要问题. 薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动,由 于它在工程实际中无关重要,而且在数学上也难 以处理,所以不加讨论.首先来讨论薄板的自由 振动.
kπx nπy v 0 = ∑ ∑ D kn sin sin a b k = 1 n =1 4 a b kπx nπy w 0 sin sin d xd y C kn = ∫0 ∫0 ab a b 4 a b kπx nπy D kn = v 0 sin sin d xd y ∫0 ∫0 ab a b
现在来试求微分方程的如下形式的解答
w=
∑w
k =1
∞
k
= ∑ ( Ak cos ω k t + B k sin ω k t )W k ( x , y )
k =1
∞
在这里,薄板上每一点(x,y)的挠度,被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加,而每一个简谐 振动的频率是ωk ,另一方面,薄板在每一瞬时t的 挠度,则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加, 而每一种振形下的挠度是由振形函数Wk(x,y)表示 的.
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能 满足,也就是在x和y取任意值时都能满足,必须 有 2
k 2 n2 π 4 2 + 2 γ 4 = 0 a b k n γ =π 2 + 2 a b
2 2 4 4 2
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．１３２９１／ｊ．ｃｎｋｉ．ｄｊｄｘａｃ．２０１８．０４．００６
０ 引言
振动模态是结构的固有动力学性能，模态频 率及振动模式直接影响工程结构的动力学性能、 安全性及稳定性，尤其薄板结构的模态特性更直 接与振动强度、噪声及疲劳性能密切相关，薄板类 结构也是车辆、船舶等工程中广泛使用的基本结 构之一［１２］，对薄板类结构的研究主要是针对薄板 类结构的振动及噪声［３５］．为了减小振动，在工程 设计阶段一般会对结构进行修改，快速准确的修 改需要计算结构灵敏度［６８］，结构灵敏度是结构模 态、应力等响应随结构参数的变化率，即响应对结 构设计变量的导数．在有限单元法的基础上，灵敏 度计算方法有解析法［９１０］、半解析法［１１］、完 全 差 分法 ［１２］、伴 随 变 量 法 等 ［１３１４］．解 析 法 是 从 有 限 单 元方程出发，严格求响应对设计变量的导数，对不 同的单元类型及不同的结构参数，其理论是完全 不同的，如壳单元和梁单元中的质量矩阵和刚度 矩阵完全不同，其对结构参数的灵敏度也是完全 不同的．解析法发展最早，精度最高，但求解效率 低．半解析法是在有限单元法的基础上，总体上基
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
王秀颖，张军，兆文忠
（大连交通大学 交通工程学院，辽宁 大连 １１６０２８）
摘 要：基于矩形简支薄板模态频率的理论解，推导了模态频率对薄板厚度灵敏度理论解，通过实例计 算了矩形简支薄板前 １０阶模态频率及灵敏度，并计算分析了厚度增加单位值时模态频率灵敏度理论差 分解；建立了矩形薄板的有限单元模型，用有限单元法计算了矩形简支薄板的模态频率和振型，分析比 较了有限单元数量对模态计算精度的影响；基于有限单元法，用数值微分法计算了薄板模态频率对板厚 度的灵敏度，并计算分析了基于有限单元法的模态频率灵敏度差分解．理论推导和计算结果表明，简支 矩形薄板模态频率对板厚度灵敏度的理论解与厚度无关，数值微分模态频率灵敏度与理论解的误差最 小，其精度高于理论差分解和有限元差分解，证明了数值微分法模态频率灵敏度的准确性和有效性．
矩形薄板的振动
即有
2 4Y Y 2 4 4 2 ( k )Y 0 4 2 y x
4.106
于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为
sin x X ( x) cos x
2M y
4.94
因
2014年3月15日 《振动力学》
M x x zdz h M y 2h y zdz 2 h M xy M yx 2h xy zdz 2
h 2 h 2
4.95
11
连续系统的振动
X ( x) sin
m x ,0<x<a,m=1,2 a
4.109
2014年3月15日 《振动力学》
18
连续系统的振动
令
Wm ( x,y ) Ym (y)sin
m x a
代入式（4.100）有 m 4 m x m 2 m x ( ) sin Ym -2( ) sin Ym a a a a m x m x 4 -k sin + sin Ym Ym 0 a a 即为 m 2 4 m 2 Ym -2( ) Ym - k -( ) Ym 0 a a 上式的解为
连续系统的振动
多自由度系统的振动
教学内容
2014年3月15日 《振动力学》
2
连续系统的振动
4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一 种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板， 薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面， 且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成；
面内变刚度矩形薄板自由振动问题的辛弹性分析
构 分析 的伽 辽金 线法 ； Ｌ ｉ ｕ等Ｅ ］ 提 出了面 内变 刚度 矩
形 板 自由振 动 问题 的半 解 析法。 Ｂ ａ ｈ ａ ｒ 等＿ ８ ］ 通 过假 设
面 内变 刚 度 板 的位 移 函数 为 切 比雪夫 多 项 式 ， 利 用
里 兹法 研究 了变 刚度 板 自由振 动 问题 ． 于天崇等＿ ９ ］
ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ；ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
功 能梯度 材料 是指 材料 的组分 沿 某一 方 向连 续
变化， 从 而 导致 材 料 的宏 观 性质 随空 间位 置 梯 度 变
化． 功 能梯度 材料 结构 的力 学研究 越来 越受 关 注．
文章编 号 ： ０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — １ ３ １ ０ — ０ ８
Ｄ Ｏ Ｉ ： ｉ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ ｘ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ０ ６
面 内变 刚 度矩 形 薄 板 自由振 动 问题 的辛 弹 性 分 析
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｓ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
第４ １ 卷第 ９期 ２ ０ １ ３年 ９月
同 济 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ｏ Ｆ ｍＮ Ｇ Ｊ Ｉ Ｕ Ｎ Ｉ ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ Ａ Ⅱ Ａ Ｉ ， Ｓ ｃ Ｉ Ｅ Ｎ ｃ Ｅ ）
任意四边形板的振动问题
任意四边形板的振动问题任意四边形板的振动问题引言：振动是物体在作用力的作用下，围绕平衡位置来回运动的现象。
振动问题是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到各种不同形状和材质的物体。
本文将讨论任意四边形板的振动问题，探讨其振动模式和频率。
一、四边形板的基本特性四边形板是指具有四个不同长度的边和四个不同角度的角的平面形状。
它可以是矩形、平行四边形、梯形等等。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
二、矩形板的振动问题矩形板是最简单的四边形板，它具有两个相等的对边和四个直角。
矩形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个对边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个直角边同时向内或向外运动。
对于矩形板的振动问题，我们可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
三、平行四边形板的振动问题平行四边形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与矩形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
平行四边形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于平行四边形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
四、梯形板的振动问题梯形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与平行四边形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
梯形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于梯形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
结论：任意四边形板的振动问题是一个复杂而有趣的研究领域。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
矩形板、平行四边形板和梯形板是最常见的四边形板，它们的振动模式和频率可以通过求解波动方程和边界条件来得到。
第二章 薄板振动分析
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
弹性薄板的自由振动分析
弹性薄板的自由振动分析弹性薄板是一种常见的结构，广泛应用于建筑、航空航天等领域。
在设计和使用过程中，了解弹性薄板的自由振动特性对于保证结构的稳定性和可靠性至关重要。
本文将对弹性薄板的自由振动进行分析。
首先，我们需要了解什么是自由振动。
自由振动是指在没有外界干扰的情况下，结构在初始位移和初始速度的作用下，按照固有频率和模态形态进行振动。
对于弹性薄板而言，其自由振动可以通过求解其振动方程来得到。
弹性薄板的振动方程可以由拉普拉斯方程和边界条件推导得到。
拉普拉斯方程描述了薄板的平衡状态，边界条件则决定了薄板的振动模态。
通过将拉普拉斯方程和边界条件代入，可以得到薄板的振动方程。
对于简支边界条件的薄板，其振动方程可以写作：∇^4w + k^4w = 0其中，∇^4表示拉普拉斯算子的四次方，w表示薄板的位移函数，k表示振动频率的参数。
通过求解这个振动方程，可以得到薄板的振动模态和频率。
在实际求解过程中，可以采用分离变量法来解决这个振动方程。
通过假设位移函数可以表示为各个坐标的乘积形式，将其代入振动方程，再对各个坐标进行分离变量，可以得到一系列的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，可以得到薄板的振动模态和频率。
薄板的振动模态是指薄板在不同频率下的振动形态。
每个振动模态对应着一个特定的频率和振动形态。
通常情况下，薄板的振动模态是以正交的方式存在的，即不同振动模态之间没有相互干扰。
这意味着，薄板的振动可以看作是各个振动模态的叠加。
薄板的振动频率与其几何形状和边界条件密切相关。
不同的几何形状和边界条件会导致不同的振动频率。
对于给定的薄板，可以通过求解振动方程得到其特征值，即振动频率的平方。
通过对这些特征值进行排序，可以得到薄板的振动频率。
薄板的自由振动分析对于结构的设计和使用具有重要意义。
首先，通过了解薄板的自由振动特性，可以避免共振现象的发生。
共振是指外界激励频率与结构的固有频率相匹配，导致结构振幅急剧增大的现象。
双向变厚度矩形薄板的自由振动分析
双 向变厚 度 矩 形 薄板 的 自由振 动分 析
薛开 ， 王久 法， 李秋红 ， 王威远 ， 王平
（ 哈 尔滨工程大学 机电工程学院 ， 黑龙江 哈 尔滨 １ ５ ０ ０ ０ １ ） 摘 要： 针对传统级数法 只能求解特定边界条件下矩形板 的振动 问题 ， 通过采用 改进 Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ 级数 的方法 ， 将双 向变厚度
关键 词 ： 变厚度 板 ； 改进的 Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ 级数 ； Ｒ ａ ｙ ｌ ｅ ｉ ｇ ｈ — Ｒ ｉ ｔ ｚ 法； 自由振动
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ — ７ ０ ４ ３ ． ２ ０ １ ２ １ ０ ０ ３ ３
网络 出版 地 址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ２ ３ ． １ ３ ９ ０ ． Ｕ ． ２ ０ １ ３ １ １ １ ２ ． ０ ８ ３ ３ ． ０ ０ ５ ． ｈ ｔ ｍ ｌ 中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ５ ３ ３ 文 献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ７ ４３ ０ （ ２ ０ １ ３ ） １ １ － １ ４ ５ ６ － ４ ０
第 ３ ４卷第 １ １期 ２ ０ １ ３年 １ １ 月
哈
尔
滨
工
程
大
学
学Leabharlann 报 Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎ ｏ． １ １
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ １ ｏ ｆ Ｈａ ｒ ｂ ｉ ｎ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ３
Ｆｒ ｅ ｅ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｖ ａ ｒ ｙ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｉ ｃ ｋ ｎ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｔ ｗｏ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
具有中间支承的矩形板自由振动分析
２ 当口 Ｙ ） ＞ 时应有 ｒ 口 和± ３口 ＝、 Ｙ ， ＝± １ 口； ３ ／ 一 故有 ／ 口
Ｙ：Ｄｌ ｎ ａ Ｙ＋ ２ｏｈ／ ｈ ｌ Ｄ ｃ ｓｏ Ｙ＋Ｄ ｓ ｈ ３ Ｄ ｃｓｏ Ｙ（ ） ｓ ｉ １ ３ｉ ａＹ＋ ４ｏｈ／ ７ ｎ ３
同样 ， 在上式 中如将 Ｘ， ， ，， ， ， 分别 改 为 ｌ ， ＹＹ ， ， ，
进行 了计算 。
关键词 ：矩形板 ， 混合边界 ， 解析解法 ， 固有频率 ， 型 振
中图分类号 ：０ ２ ３６ 文献标识码 ：Ａ
矩形板 广 泛 应用 于土 木 、 械 等工 程 中。 为 了 防 机 止共振 ， 通常 采用 中间支 座来 提 高结 构 的刚 度 ， 固有 使
刚度．采 用分离 变量 法 ， 令
情形 ：） 口 Ｙ时应有 ｒ 口 和 ±ａ ；ｌ ／ Ｙ １当 ＜ ＝± １ ｉ 口 ＝￣ ＋ ２ 口
和口 ＝￣ 口， ／ 一 相应地有 ｙ
Ｙ：Ｄ ｎ ａＹ＋ ２ｏｈ １ ｌｉｈ ｌ Ｄ ｃｓａ Ｙ＋Ｄ ｓ ｃＹ＋ ４ＯＯ Ｙ （ ） ｓ ３ｉ ￣ Ｄ ＣＳ／ ６ ｎ２ ２
可得 Ｙ＝Ｃ ｎ ｙ＋Ｃ ｅ ｓｙ ｌ ｙ ｓ ｉ ２ｏｈ ｙ＋Ｃ ｓ ｙ ３ｉ ｙ＋Ｃ ｃｓｙ ｎ ４ｏｙ
式中 ｉ 一 。将指数函数表成双曲函数和三角函数 ＝ １
１ 一块板 的一般解的建立
矩 形薄板 （ １ 横 图 ） 向 自 由 振 动 的 微 分 方
程为
（） ５
同 由 样， 第二式可得 ｒ ＝±、 Ｙ。此时可分为二种 ／ ± ／ 口
辔＋磐 ＸＹ ｌ ２ 罂＋￣ ， ： ４ ０
∞ ∞ ０ ７ ０ ７
将 上 式除 以 Ｘ ， Ｙ 然后对 Ｙ微分 二次 可得
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
不同位置四点支承矩形薄板的自由振动特性
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５１７０９１９４)．
† 通信作者 EＧma
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yuan＠１２６．
第 １１ 期
李军委等:不同位置四点支承矩形薄板的自由振动特性
６３
理的变 分 方 程,并 用 广 义 伽 辽 金 法 求 解,
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所应用二维改进傅里叶 级 数 法
中,位移函数基于改进傅里叶级数展开时的附加项能够提高结果的精度和收敛速度 ．
一般边界条件下矩形薄板振动声辐射特性分析
一般边界条件下矩形薄板振动声辐射特性分析朱理;范鑫;庞福振;缪旭弘【摘要】Based on the theory of plates, a new method called Improved Fourier Series Method (IFSM) is presented to study the vibration and acoustic characteristics of rectangular plates with arbitrary boundary conditions. The plate admissible functions is presented, which is invariantly sought as an improved Fourier cosine series, and a sine series is introduced to overcome the discontinuities of the structure. And then the Lagrange equation is established according to the principle of the minimum potential energy. Finally, by us-ing the Rayleigh-Ritz technique the vibration characteristics can be easily acquired. Under these circum-stances, with the help of Rayleigh integral formula, the expressions of sound pressure and acoustic power are derived. The effects of structural parameters and boundary conditions that have great impact on the acous-tic radiation are also studied. The comparisons among numerical simulation results, which obtained with FEM and reposed in literatures, validate the correctness of the method.%基于改进傅立叶级数方法，将矩形板振型函数表示为包含正弦三角级数的改进傅立叶级数，从而有效地克服结构在边界处存在的不连续性，建立了一般边界条件下矩形薄板结构振动声辐射的分析方法，并对薄板结构的振动声辐射特性进行了研究。
任意边界条件下矩形板薄板自由振动特性分析
Abstract: A method based on improved FouPer sePes method ( INSM) was proposed to solve free vibration characteestics of rectangular thin plates under arbitraa boundaa conditions. The plate vibration displacement function
条件;大量计算表明，固支边界条件与弹性边界条件组合中，随着固支边条界范围增大，矩形薄板无量纲频率参数呈增大
趋势;简支及自由边界条件与弹性边界条件组合中，随着弹性边条界的增多，矩形薄板无量纲频率参数呈增大趋势。
关键词：矩形薄板;振动特性;改进傅里叶级数;弹性边界条件
中图分类号：U661.4 文献标志码：A
Key wois: rectangular thin plates; vibration chaeacieeosiocs; ompeoved Foueoee seeoes meihod; eaasioc boundaycondoioon
矩形板结构在船舶、海洋平台、潜艇及波浪能电站 等结构中有着大量的应用，因而设计者需对其振动特
： D0I 10. 13465/j. ski. jvs. 2019. 19.012
Free vibration characteristics of rectangular thin plates under ariitrary boundary conditions Q2 Y&-)1 , Haichao1,Fuzhen1 , MIAO X&ioMg1，2
基于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析
基于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析李凯;何书韬;吴国民;毛艺达;李天匀【摘要】This article based on the energy functional method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of rectangular plate with an opening.When considering the openin g,only a quarter of the plate is available by using symmetry and antisymmetry conditions,which is divided into three regions.Then find connections between regions through continuity conditions ofdisplacement.Displacement field is simulated by beam functions and get the overall energy function.After that,natural frequencies are obtained by solving dispersion characteristic equations yielding by variational method.The results show that the accuracy of the method by comparison.The method provides theoretical foundation on the issue of vibration of rectangular plate with opening and problem related.%基于能量泛函方法,建立了开口矩形板自由振动分析模型.计算了开口矩形板的固有频率和振型函数.在处理开口问题时,利用对称性和反对称性只研究四分之一块板,并将其分割成三个区域,通过位移连续条件建立区域之间的联系,并用梁函数模拟位移场,最终得到整体能量泛函.对其变分后得到广义特征值矩阵方程,求解方程可以求出各阶固有频率.结果对比表明本文方法的准确性,为在方案设计阶段快速分析开口矩形板振动及其相关问题提供了理论基础.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2017(036)011【总页数】5页(P161-165)【关键词】开口矩形板;梁函数;能量变分;固有频率【作者】李凯;何书韬;吴国民;毛艺达;李天匀【作者单位】中国舰船研究设计中心,武汉430064;中国舰船研究设计中心,武汉430064;中国舰船研究设计中心,武汉430064;华中科技大学船舶与海洋工程学院,武汉430074;华中科技大学船舶与海洋工程学院,武汉430074【正文语种】中文【中图分类】U663.4含开口矩形板在工程领域中有广泛地应用，大量的被应用在航空、船舶、机械制造等领域。
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1
1.1
理论分析
开口矩形板的物理模型
本文研究的物理模型为中心开圆形、 椭圆形
开口的矩形薄板， 如图 1 所示。 开口矩形板的长为 a， 宽 为 b， 板 厚 为 h， 圆 形、 椭圆形 （其 长 轴 与 短 轴 和 矩形边界平行） 开口的中心与矩形板中心重合。
解析解， 并采用复变函数的方法将求解区域映射 成了一个圆环， 原区域求解的应力分布是这个圆 环的特殊条件。同时， 还具体介绍了映射函数、 应 力边界条件的复数表示法等。 Kumari 等［3］ 同样应 用复变函数的方法， 通过算例分析了带有不同大 小 孔 的 平 板 的 应 力 分 布 。 Jafari 等［4］针 对 不 同 形 状、 不同大小开口矩形板的应力问题进行了求解， 并针对不同形状、 不同大小开口矩形板的应力分 布给出了关系图像， 其采用的也是复变函数解析 方法。除此之外， Rayleigh-Ritz 法 也 被 用 于 求 解 带开口和裂纹的结构问题。邱永康等［5］和王旻昊
中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 张俊 1， ， 李天匀 1， ， 朱翔 1， ， 郭文杰 1， ， 陈繁 1，
2 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室， 湖北 武汉 430074 3 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240
1 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 湖北 武汉 430074
［8-11］ ［7］
本 文 将 基 于 Rayleigh-Ritz 法 ， 对任意边界条 模拟求解域的位移容
边界 条件 自由 简支 固支
位移约束弹簧刚度值
许函数， 解决以往函数边界不连续的问题； 为求解 复杂边界条件下的结构自由振动， 采用线性分布 的位移约束弹簧和转角约束弹簧， 通过改变弹簧 的刚度系数模拟各种经典边界条件。然后， 通过 算例说明方法良好的收敛性和精确性。最后， 对 比文献 ［5-7］ 中对矩形板开矩形口的区域划分方 法， 本文将采取不将整块板划分为若干个小矩形
根据以上弹簧模拟任意边界条件的方法， 可 得到开口矩形薄板的物理模型如图 2 所示。 由于本文的研究对象具有高度的对称性， 为
简化计算， 只研究 1/4 的结构， 通过对称性的正对 频率。本文研究对象的计算模型如图 3 所示。
称和反对称的性质来得出整体开口矩形板的固有
78
中
国
舰
船
研
究
第 13 卷
开口部分结构的弯曲应变能为：
［6］
（a）圆形开口
Fig.1
图 1 开口矩形薄板示意图 Rectangular plate with different shaped opening
（b）椭圆形开口
为了方便计算任意边界条件下开口矩形板的 自由振动固有频率， 本文采用沿边界均匀分布的 位移约束弹簧 k 和转角约束弹簧 K ， 通过改变两类 弹簧的刚度系数来简便、 快捷地模拟各种任意边 界条件。各种经典的边界条件及对应的弹簧刚度 系数如表 1 所示。
é 2 2 æ 2 ö2 ¶ wö ¶ w + D V pr = s êæ ÷ +ç 2 2 ÷ êç 2 è ¶x ø è ¶y ø ë
o
2 æ ¶2 w ö ù æ 2 öæ ¶2 w ö 2μ ç ¶ w + 2 1 μ ( ) ç ÷ú 2 ÷ç 2 ÷ ú dxdy （5） è ¶x ø è ¶y ø è ¶x¶y ø û
朱翔， 男， 1980 年生， 博士， 副教授。研究方向： 船舶与海洋工程结构力学， 振动与噪声控制。
第2期
张俊等： 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
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0Hale Waihona Puke 引言板块的方法， 而是直接对整个求解域进行求解， 以 较准确地计算诸如圆形开口、 椭圆形开口这种带 有曲边的开口形状， 大大减少计算量， 从而为之后 计算任意形状开口问题提供可能。
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 ZHANG Jun1， ， LI Tianyun1， ， ZHU Xiang1， ， GUO Wenjie1， ， CHEN Fan1， 1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China 2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics， Wuhan 430074， China 3 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration， Shanghai 200240， China
Fig.2
图 2 开口矩形板物理模型 Physical model of rectangular plate with opening
Abstract： ［Objectives］ A large number of structures with openings are used in engineering projects, which is of great significance for studying the vibration characteristics of plates with openings.［Methods］ By introducing an improved Fourier series，the permissible displacement function of rectangular plates with openings is simulated. By using displacement springs and angle springs， arbitrary boundary conditions are simulated. While obtaining the overall energy functional，the kinetic energy and strain energy of the opening part are subtracted. Based on the Rayleigh-Ritz method， the Lagrange energy functional of the structure is constructed and the variational extremum of unknown coefficients in the Fourier series obtained， transforming the original vibration problem into a problem of eigenvalue equations. The paper studies the influence on the free vibration of rectangular plates with different shaped and sized openings.［Results］A comparison with the results of finite element software ANSYS shows that the current method is accurate and reliable， ［Conclusions］providing a reference for practical engineering. Key words： free vibration； arbitrary boundary conditions； improved Fourier series method； Rayleigh-Ritz method
第 13 卷 第 2 期 2018 年 4 月
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal Ship Research 中 国 舰 of 船 研 究
Vol.13 No.2 Apr. 2018 第 13 卷
引用格式： 张俊， 李天匀， 朱翔， 等. 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析 ［J］ . 中国舰船研究， 2018， 13 （2） ： 76-83. ZHANG J， LI T Y， ZHU X， et al. Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening ［J］ . Chinese Journal of Ship Research， 2018， 13 （2） ： 76-83.
用的方法准确可靠， ［结论］所做研究可为实际工程提供参考。 中图分类号 ： U661.44； TB532
文献标志码： A
关键词 ： 自由振动； 任意边界条件； 改进傅立叶级数； Rayleigh-Ritz 法
DOI： 10.3969/j.issn.1673-3185.2018.02.010
Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening
收稿日期： 2017 - 05 - 17 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （51579109， 51379083） 网络出版时间： 2018-4-11 8:45
作者简介 ： 张俊， 女， 1994 年生， 硕士生。研究方向： 结构减振降噪。
李天匀 （通信作者） ， 男， 1969 年生， 博士， 教授， 博士生导师。研究方向： 船舶结构减振降噪。
摘
要： ［目的］工程中存在着大量的开口结构， 对开口板的振动特性进行研究具有重要意义。 ［方法］ 通过引