中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
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表1 Table 1 经典边界条件下的弹簧刚度系数 Values of spring stiffness of classical boundary conditions
转角约束弹簧刚度值 K（ / N ㊃ m ㊃ rad-1） 0 0 ɕ k（ / N ㊃ m-1） ɕ ɕ 0
等 在任意边界条件下中心开矩形口矩形板的自 由ห้องสมุดไป่ตู้动特性分析和基于傅立叶级数法的含开口板 的振动固有特性分析中， 对开矩形口的矩形板的 问题进行了系统分析， 讨论了开口位置、 开口大小 等对矩形板自由振动特性的影响。李凯等 在基 于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析中， 采用区域分解及能量泛函的方法计算了开口矩形 板的自由振动频率， 得出了振型。 件下典型形状开口矩形薄板进行分析。首先， 采 用改进的傅里叶级数法
根据以上弹簧模拟任意边界条件的方法， 可 得到开口矩形薄板的物理模型如图 2 所示。 由于本文的研究对象具有高度的对称性， 为
简化计算， 只研究 1/4 的结构， 通过对称性的正对 频率。本文研究对象的计算模型如图 3 所示。
称和反对称的性质来得出整体开口矩形板的固有
78
中
国
舰
船
研
究
第 13 卷
开口部分结构的弯曲应变能为：
摘
要： ［目的］工程中存在着大量的开口结构， 对开口板的振动特性进行研究具有重要意义。 ［方法］ 通过引
入改进的傅里叶级数模拟开口矩形板的位移容许函数， 并采用位移弹簧和转角弹簧模拟任意边界条件。在求 解整体能量泛函时， 将开口部分的动能与应变能减去， 基于 Rayleigh-Ritz 法构造结构的拉格朗日能量泛函， 并 对傅里叶级数中的未知系数进行变分求极值， 将原先的振动问题转化成求解特征值方程的问题。最后， 研究不 同开口形状及开口大小对矩形板自由振动的影响。 ［结果］经与有限元软件 ANSYS 的计算结果的对比， 表明采
Abstract： ［Objectives］ A large number of structures with openings are used in engineering projects, which is of great significance for studying the vibration characteristics of plates with openings.［Methods］ By introducing an improved Fourier series，the permissible displacement function of rectangular plates with openings is simulated. By using displacement springs and angle springs， arbitrary boundary conditions are simulated. While obtaining the overall energy functional，the kinetic energy and strain energy of the opening part are subtracted. Based on the Rayleigh-Ritz method， the Lagrange energy functional of the structure is constructed and the variational extremum of unknown coefficients in the Fourier series obtained， transforming the original vibration problem into a problem of eigenvalue equations. The paper studies the influence on the free vibration of rectangular plates with different shaped and sized openings.［Results］A comparison with the results of finite element software ANSYS shows that the current method is accurate and reliable， ［Conclusions］providing a reference for practical engineering. Key words： free vibration； arbitrary boundary conditions； improved Fourier series method； Rayleigh-Ritz method
第 13 卷 第 2 期 2018 年 4 月
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal Ship Research 中 国 舰 of 船 研 究
Vol.13 No.2 Apr. 2018 第 13 卷
引用格式： 张俊， 李天匀， 朱翔， 等. 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析 ［J］ . 中国舰船研究， 2018， 13 （2） ： 76-83. ZHANG J， LI T Y， ZHU X， et al. Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening ［J］ . Chinese Journal of Ship Research， 2018， 13 （2） ： 76-83.
开口结构具有很多优势， 其可以在保证一定 强度的前提下减轻结构重量， 还可以用于各种特 殊的用途， 使用范围非常广泛， 尤其在船舶领域， 如集装箱船的大开口结构、 散货船的货仓开口、 船 体主体部分的人孔、 排水孔以及上层建筑的结构 开口等。但同时开口也会影响结构的强度、 稳定 性以及振动特性等性能， 因此对开口结构进行研 究具有重要意义。 近百年来， 国内外的专家学者们对开口结构 进行了大量研究， 各种成果层出不穷。 Cho 等［1］应 用假定振型法， 通过运动的拉格朗日方程导出自 然频率， 对任意边界条件下开口板的自由振动特 性进行研究， 分析了开口大小对板结构动力响应 的影响。 Lu 等［2］在带有 2 个孔的平板的应力解析 解中对带有 1 个椭圆孔和 1 个圆孔的平板提出了
1
1.1
理论分析
开口矩形板的物理模型
本文研究的物理模型为中心开圆形、 椭圆形
开口的矩形薄板， 如图 1 所示。 开口矩形板的长为 a， 宽 为 b， 板 厚 为 h， 圆 形、 椭圆形 （其 长 轴 与 短 轴 和 矩形边界平行） 开口的中心与矩形板中心重合。
解析解， 并采用复变函数的方法将求解区域映射 成了一个圆环， 原区域求解的应力分布是这个圆 环的特殊条件。同时， 还具体介绍了映射函数、 应 力边界条件的复数表示法等。 Kumari 等［3］ 同样应 用复变函数的方法， 通过算例分析了带有不同大 小 孔 的 平 板 的 应 力 分 布 。 Jafari 等［4］针 对 不 同 形 状、 不同大小开口矩形板的应力问题进行了求解， 并针对不同形状、 不同大小开口矩形板的应力分 布给出了关系图像， 其采用的也是复变函数解析 方法。除此之外， Rayleigh-Ritz 法 也 被 用 于 求 解 带开口和裂纹的结构问题。邱永康等［5］和王旻昊
中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 张俊 1， ， 李天匀 1， ， 朱翔 1， ， 郭文杰 1， ， 陈繁 1，
2 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室， 湖北 武汉 430074 3 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240
1 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 湖北 武汉 430074
Fig.2
图 2 开口矩形板物理模型 Physical model of rectangular plate with opening
［6］
（a）圆形开口
Fig.1
图 1 开口矩形薄板示意图 Rectangular plate with different shaped opening
（b）椭圆形开口
为了方便计算任意边界条件下开口矩形板的 自由振动固有频率， 本文采用沿边界均匀分布的 位移约束弹簧 k 和转角约束弹簧 K ， 通过改变两类 弹簧的刚度系数来简便、 快捷地模拟各种任意边 界条件。各种经典的边界条件及对应的弹簧刚度 系数如表 1 所示。
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 ZHANG Jun1， ， LI Tianyun1， ， ZHU Xiang1， ， GUO Wenjie1， ， CHEN Fan1， 1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China 2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics， Wuhan 430074， China 3 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration， Shanghai 200240， China
用的方法准确可靠， ［结论］所做研究可为实际工程提供参考。 中图分类号 ： U661.44； TB532
文献标志码： A
关键词 ： 自由振动； 任意边界条件； 改进傅立叶级数； Rayleigh-Ritz 法
DOI： 10.3969/j.issn.1673-3185.2018.02.010
Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening
é 2 2 æ 2 ö2 ¶ wö ¶ w + D V pr = s êæ ÷ +ç 2 2 ÷ êç 2 è ¶x ø è ¶y ø ë
o
2 æ ¶2 w ö ù æ 2 öæ ¶2 w ö 2μ ç ¶ w + 2 1 μ ( ) ç ÷ú 2 ÷ç 2 ÷ ú dxdy （5） è ¶x ø è ¶y ø è ¶x¶y ø û
收稿日期： 2017 - 05 - 17 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （51579109， 51379083） 网络出版时间： 2018-4-11 8:45
作者简介 ： 张俊， 女， 1994 年生， 硕士生。研究方向： 结构减振降噪。
李天匀 （通信作者） ， 男， 1969 年生， 博士， 教授， 博士生导师。研究方向： 船舶结构减振降噪。
［8-11］ ［7］
本 文 将 基 于 Rayleigh-Ritz 法 ， 对任意边界条 模拟求解域的位移容
边界 条件 自由 简支 固支
位移约束弹簧刚度值
许函数， 解决以往函数边界不连续的问题； 为求解 复杂边界条件下的结构自由振动， 采用线性分布 的位移约束弹簧和转角约束弹簧， 通过改变弹簧 的刚度系数模拟各种经典边界条件。然后， 通过 算例说明方法良好的收敛性和精确性。最后， 对 比文献 ［5-7］ 中对矩形板开矩形口的区域划分方 法， 本文将采取不将整块板划分为若干个小矩形
朱翔， 男， 1980 年生， 博士， 副教授。研究方向： 船舶与海洋工程结构力学， 振动与噪声控制。
第2期
张俊等： 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
77
0
引
言
板块的方法， 而是直接对整个求解域进行求解， 以 较准确地计算诸如圆形开口、 椭圆形开口这种带 有曲边的开口形状， 大大减少计算量， 从而为之后 计算任意形状开口问题提供可能。
转角约束弹簧刚度值 K（ / N ㊃ m ㊃ rad-1） 0 0 ɕ k（ / N ㊃ m-1） ɕ ɕ 0
等 在任意边界条件下中心开矩形口矩形板的自 由ห้องสมุดไป่ตู้动特性分析和基于傅立叶级数法的含开口板 的振动固有特性分析中， 对开矩形口的矩形板的 问题进行了系统分析， 讨论了开口位置、 开口大小 等对矩形板自由振动特性的影响。李凯等 在基 于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析中， 采用区域分解及能量泛函的方法计算了开口矩形 板的自由振动频率， 得出了振型。 件下典型形状开口矩形薄板进行分析。首先， 采 用改进的傅里叶级数法
根据以上弹簧模拟任意边界条件的方法， 可 得到开口矩形薄板的物理模型如图 2 所示。 由于本文的研究对象具有高度的对称性， 为
简化计算， 只研究 1/4 的结构， 通过对称性的正对 频率。本文研究对象的计算模型如图 3 所示。
称和反对称的性质来得出整体开口矩形板的固有
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中
国
舰
船
研
究
第 13 卷
开口部分结构的弯曲应变能为：
摘
要： ［目的］工程中存在着大量的开口结构， 对开口板的振动特性进行研究具有重要意义。 ［方法］ 通过引
入改进的傅里叶级数模拟开口矩形板的位移容许函数， 并采用位移弹簧和转角弹簧模拟任意边界条件。在求 解整体能量泛函时， 将开口部分的动能与应变能减去， 基于 Rayleigh-Ritz 法构造结构的拉格朗日能量泛函， 并 对傅里叶级数中的未知系数进行变分求极值， 将原先的振动问题转化成求解特征值方程的问题。最后， 研究不 同开口形状及开口大小对矩形板自由振动的影响。 ［结果］经与有限元软件 ANSYS 的计算结果的对比， 表明采
Abstract： ［Objectives］ A large number of structures with openings are used in engineering projects, which is of great significance for studying the vibration characteristics of plates with openings.［Methods］ By introducing an improved Fourier series，the permissible displacement function of rectangular plates with openings is simulated. By using displacement springs and angle springs， arbitrary boundary conditions are simulated. While obtaining the overall energy functional，the kinetic energy and strain energy of the opening part are subtracted. Based on the Rayleigh-Ritz method， the Lagrange energy functional of the structure is constructed and the variational extremum of unknown coefficients in the Fourier series obtained， transforming the original vibration problem into a problem of eigenvalue equations. The paper studies the influence on the free vibration of rectangular plates with different shaped and sized openings.［Results］A comparison with the results of finite element software ANSYS shows that the current method is accurate and reliable， ［Conclusions］providing a reference for practical engineering. Key words： free vibration； arbitrary boundary conditions； improved Fourier series method； Rayleigh-Ritz method
第 13 卷 第 2 期 2018 年 4 月
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal Ship Research 中 国 舰 of 船 研 究
Vol.13 No.2 Apr. 2018 第 13 卷
引用格式： 张俊， 李天匀， 朱翔， 等. 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析 ［J］ . 中国舰船研究， 2018， 13 （2） ： 76-83. ZHANG J， LI T Y， ZHU X， et al. Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening ［J］ . Chinese Journal of Ship Research， 2018， 13 （2） ： 76-83.
开口结构具有很多优势， 其可以在保证一定 强度的前提下减轻结构重量， 还可以用于各种特 殊的用途， 使用范围非常广泛， 尤其在船舶领域， 如集装箱船的大开口结构、 散货船的货仓开口、 船 体主体部分的人孔、 排水孔以及上层建筑的结构 开口等。但同时开口也会影响结构的强度、 稳定 性以及振动特性等性能， 因此对开口结构进行研 究具有重要意义。 近百年来， 国内外的专家学者们对开口结构 进行了大量研究， 各种成果层出不穷。 Cho 等［1］应 用假定振型法， 通过运动的拉格朗日方程导出自 然频率， 对任意边界条件下开口板的自由振动特 性进行研究， 分析了开口大小对板结构动力响应 的影响。 Lu 等［2］在带有 2 个孔的平板的应力解析 解中对带有 1 个椭圆孔和 1 个圆孔的平板提出了
1
1.1
理论分析
开口矩形板的物理模型
本文研究的物理模型为中心开圆形、 椭圆形
开口的矩形薄板， 如图 1 所示。 开口矩形板的长为 a， 宽 为 b， 板 厚 为 h， 圆 形、 椭圆形 （其 长 轴 与 短 轴 和 矩形边界平行） 开口的中心与矩形板中心重合。
解析解， 并采用复变函数的方法将求解区域映射 成了一个圆环， 原区域求解的应力分布是这个圆 环的特殊条件。同时， 还具体介绍了映射函数、 应 力边界条件的复数表示法等。 Kumari 等［3］ 同样应 用复变函数的方法， 通过算例分析了带有不同大 小 孔 的 平 板 的 应 力 分 布 。 Jafari 等［4］针 对 不 同 形 状、 不同大小开口矩形板的应力问题进行了求解， 并针对不同形状、 不同大小开口矩形板的应力分 布给出了关系图像， 其采用的也是复变函数解析 方法。除此之外， Rayleigh-Ritz 法 也 被 用 于 求 解 带开口和裂纹的结构问题。邱永康等［5］和王旻昊
中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 张俊 1， ， 李天匀 1， ， 朱翔 1， ， 郭文杰 1， ， 陈繁 1，
2 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室， 湖北 武汉 430074 3 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240
1 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 湖北 武汉 430074
Fig.2
图 2 开口矩形板物理模型 Physical model of rectangular plate with opening
［6］
（a）圆形开口
Fig.1
图 1 开口矩形薄板示意图 Rectangular plate with different shaped opening
（b）椭圆形开口
为了方便计算任意边界条件下开口矩形板的 自由振动固有频率， 本文采用沿边界均匀分布的 位移约束弹簧 k 和转角约束弹簧 K ， 通过改变两类 弹簧的刚度系数来简便、 快捷地模拟各种任意边 界条件。各种经典的边界条件及对应的弹簧刚度 系数如表 1 所示。
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 ZHANG Jun1， ， LI Tianyun1， ， ZHU Xiang1， ， GUO Wenjie1， ， CHEN Fan1， 1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China 2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics， Wuhan 430074， China 3 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration， Shanghai 200240， China
用的方法准确可靠， ［结论］所做研究可为实际工程提供参考。 中图分类号 ： U661.44； TB532
文献标志码： A
关键词 ： 自由振动； 任意边界条件； 改进傅立叶级数； Rayleigh-Ritz 法
DOI： 10.3969/j.issn.1673-3185.2018.02.010
Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening
é 2 2 æ 2 ö2 ¶ wö ¶ w + D V pr = s êæ ÷ +ç 2 2 ÷ êç 2 è ¶x ø è ¶y ø ë
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2 æ ¶2 w ö ù æ 2 öæ ¶2 w ö 2μ ç ¶ w + 2 1 μ ( ) ç ÷ú 2 ÷ç 2 ÷ ú dxdy （5） è ¶x ø è ¶y ø è ¶x¶y ø û
收稿日期： 2017 - 05 - 17 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （51579109， 51379083） 网络出版时间： 2018-4-11 8:45
作者简介 ： 张俊， 女， 1994 年生， 硕士生。研究方向： 结构减振降噪。
李天匀 （通信作者） ， 男， 1969 年生， 博士， 教授， 博士生导师。研究方向： 船舶结构减振降噪。
［8-11］ ［7］
本 文 将 基 于 Rayleigh-Ritz 法 ， 对任意边界条 模拟求解域的位移容
边界 条件 自由 简支 固支
位移约束弹簧刚度值
许函数， 解决以往函数边界不连续的问题； 为求解 复杂边界条件下的结构自由振动， 采用线性分布 的位移约束弹簧和转角约束弹簧， 通过改变弹簧 的刚度系数模拟各种经典边界条件。然后， 通过 算例说明方法良好的收敛性和精确性。最后， 对 比文献 ［5-7］ 中对矩形板开矩形口的区域划分方 法， 本文将采取不将整块板划分为若干个小矩形
朱翔， 男， 1980 年生， 博士， 副教授。研究方向： 船舶与海洋工程结构力学， 振动与噪声控制。
第2期
张俊等： 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
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引
言
板块的方法， 而是直接对整个求解域进行求解， 以 较准确地计算诸如圆形开口、 椭圆形开口这种带 有曲边的开口形状， 大大减少计算量， 从而为之后 计算任意形状开口问题提供可能。