《计算机图形学教学资料》5.ppt

3.3椭圆的扫描转换 Scan converting ellipses
Characteristics of ellipses(1)
❖ Equation of standard ellipses
x2 y2 a2 b2 1
(-x,y)
y
(x,y) b
a
x
(-x,-y)
(x,-y)
对称性(symmetry)
xi xi+1 xi+2
b2(xi 2 )2 a2(yi 0.5 )2 a2b2
b2(xi 1)2 a2(yi 0.5 )2 a2b2 b2( 2xi 3 )
d1 b2( 2xi 3 )
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In region 1
yi
P
• 若d1>0，当前取点 (xi+1, yi －1)， yi-1
Gradient vector
Region 2
B
gradF(x, y) F / x i F / y j 2b2x i 2a2 y j
❖ Find the point whose gradient j
Gradient vector
vector has a slope of 1
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Characteristics of ellipses(2)
❖空间的正负划分性
引入函数： f (x, y) (bx)2 (ay)2 (ab)2 则：f (x, y) 0时，点在椭圆外 f (x, y) 0时，点在椭圆上 f (x, y) 0时，点在椭圆内
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Pl(xi,yi-1)
Pr(xi+1,yi-1)
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In region 2
设当前已选点是（xi，yi），判别式
d2 F ( xi 0.5, yi 1) b2 ( xi 0.5)2 a2 ( yi 1)2 a2<0，取Pr(xi+1, yi-1)
xi xi+1 xi+2
b2(xi 0.5)2 a2( yi 1)2 a2b2 b2(2xi 2) a2(2yi 3)
d2 b2(2xi 2) a2(2yi 3)
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In region 2
❖ 初值d2
若在region 1中所选择的最后一个象素是 (xi, yi)， 则下半部分的中点判别式初值d2在(xi+0.5 , yi－1)
i 5
Midpoint ellipse algorithm
If
at
the
next
midpoint,
b2 (xp
1)
a2(yp
1) 2
,
we
switch
from region 1 to region 2.
E
SE Region 1
Tangent slope= -1
Gradient vector
Region 2 S
b2(xi 0.5 )2 a2(yi 1)2 a2b2 a2( 2 yi 3 )
d2 a2( 2 yi 3 )
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In region 2
d2<0,当前取Pr(xi+1, yi-1)， 下一步的中点取(xi +1.5, yi-2)
P
yi
yi-1
yi-2
d'2 F(xi 1.5, yi 2) b2 (xi 1.5)2 a2( yi 2)2 a2b2
处计算。
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第一象限椭圆弧扫描转换中点算法(1)
the tangent slope（切线斜率）
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Dividing the quadrant into two regions
❖ 以弧上切线斜率为 A -1的点C 为分界点
❖ Gradient vector(法向量） defined as
Tangent slope= -1
Region 1 C
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In region 2
判别式的递推：
P
yi
d20，当前取Pl(xi, yi-1)，则
yi-1
下一步的中点是(xi+0.5, yi-2)
yi-2
d '2 F(xi 0.5,yi 2 ) b2(xi 0.5 )2 a2(yi 2 )2 a2b2
xi
xi+1 xi+2
下一中点是(xi+2, yi－1.5)
yi-2
d'1 F(xi 2, yi 1.5)
xi xi+1 xi+2
b2 (xi 2)2 a2 ( yi 1.5)2 a2b2
b2(xi 1)2 a2( yi 0.5)2 a2b2 b2(2xi 3) a2(2yi 2)
d1 b2(2xi 3) a2(2yi 2)
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In region 1
上段弧起点为（0，b），因此第一个中 点是（1，b－0.5)
初值：
d0 F (1,b 0.5) b2 a2 (b 0.5)2 a2b2 b2 a2 (b 0.25)
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In region 2
P(xi,yi)
M(xi+0.5,yi-1)
SE
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In region 1
yi
P
设当前已选点是（xi，yi），此
yi-1
时 的 候 选 象 素 是 （ xi，yi）
的右方点和右下方点
yi-2
则判别式d1 ：
d1 F(xi 1, yi 0.5)
xi xi+1 xi+2
b2 (xi 1)2 a2 ( yi 0.5)2 a2b2
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Scan converting ellipses
problem：drawing the arc in first quadrant （象限） solvent: midpoint scan converting algorithm
the principle is similar with circle’s Notice: the arc should be divided by
• 若d1<0，当前选右方点E(xi+1, yi) • 若d1>0，当前选右下方点 (xi+1, yi －1)，
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In region 1
yi
P
• 若d1<0，当前取点E(xi+1, yi)，yi-1
下一中点是(xi+2, yi－0.5)
yi-2
d '1 F(xi 2,yi 0.5 )