空间向量与平行关系

《空间向量与平行关系》

教学目标：

知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法.

过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握.

情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律，

学会总结，慢慢理解加深对数学的认识.

教育目标：数学课到底教什么？

一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和

为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）.

二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识

这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。

三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题.

教学难点：线，面平行传统方法的回顾

处理办法：在学案进行复习巩固

教学重点：用向量解决线，面平行问题

处理办法：通过例题循序渐进

教学设计

一.（复习回顾）

2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线 的一个方向向量.

法向量：垂直于平面的向量（非零向量）

向量垂直：0=⋅⇔⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？

二.新知引入：向量法

1. 设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则：

R b a b a m l ∈=⇔⇔→→→→λλ,∥∥

0=⋅⇔⊥⇔→→→→u a u a l α∥

R v u v u ∈=⇔⇔→→→→λλβα,∥∥

1.线线平行

①

设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： ()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ， ()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→

b ，

②已知→1e ，→

2

e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系：

→→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b

2.线面平行

①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=⋅→→u a ，则(

) A ．l α∥ B ．l ⊂α

C ．l ⊥α

D ．l ⊂α或l α∥

②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=⋅→→u a ，则( )

A ．l α∥

B ．l ⊂α

C ．l ⊥α

D ．l ⊂α或l α∥

③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内.

根据下列条件判断直线

m 与平面σ的位置关系：

()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→

，u

3.面面平行

①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线β

α，的位置关系

()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v

②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝(

) A ．2 B ．－4

C ．4

D ．－2

在处理空间立体几何类题目的时候，可以考虑用这3种方法⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧）坐标（空间直角坐标系基底向量法传统方法.2.1

下面就从这个题目简单的体会一下三种方法处理问题的过程吧.

例.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2，F E ,分别是1BB 和1DD 的中点：

求证：（1）AE FC ∥1（尝试上面总结的3种方法）

（2）∥1FC 平面ADE

（3）平面ADE ∥平面F B C 11

方法一：（传统方法）

证明：

（1） 过E 点作1CC 的垂线，与1CC 交于点O ，连接DO

1111D C B A ABCD -是正方体

则有=∥EO BC =

∥AD ,即四边形AEOD 为平行四边形. ∴DO AE ∥

E 分别是1BB 的中点，即O 为中点1CC

又因为F 为1DD 的中点，即FD =

∥1OC ，即四边形1FDOC 为为平行四边形. ∴DO FC ∥1，即AE FC ∥1

（2） 由（1）可知，AE FC ∥1

则⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ADE FC ADE AE AE

FC 平面平面∥11∥1FC 平面ADE

（3） AD C B AD BC BC C B ∥∥∥1111⇒⎭⎬⎫， AED C B AED C B AED AD AD

C B 平面∥平面平面∥111111⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 由（2）可知∥1FC 平面ADE ，则 AE

D B FC AED C F AED C B C C B FC B FC C B B FC FC 平面∥平面平面∥平面∥平面平面1111111111111111⇒⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫

=⊂⊂