第五章电路的频域分析
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第五章 频域分析法
第五章 频域分析法时域分析法具有直观、准确的优点。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。
这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
第五章1-连续LTI系统频域分析
第5章 系统的频域分析
连续时间LTI系统的频域分析 离散时间LTI系统的频域分析 信号的幅度调制和解调
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，
任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而系统零 状态响应yzs(t) = x(t)*h(t)。 由单位冲激函数δ (t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
H ( j) F[h(t)] 1 1 j 1 j 2
1
( j)2 3( j) 2
只有当连续系统是稳定的LTI系统时，才存在H(j), 且可以由h(t)计算出H(j)。
电路系统的频率响应：
分析电路系统的频率响应，主要有两种方法。
H ( j) Yzs ( j)
( j) 3
X ( j) ( j)2 3( j) 2
在实际应用中， 只有当连续系统是稳定的LTI系统时，
才存在H(j),且频响函数才有意义。
例 已知某LTI系统的冲激响应为
h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。
vR (t) RiR (t)
VR ( jw) R IR ( jw)
ZR
VR ( IR(
jw) jw)
R
vL
(t)
L
diL (t) dt
VL ( jw) jwLIL ( jw)
ZL
VL ( jw) IL ( jw)
jwL
iC
(t)
C
d
vC (t) dt
IC ( jw) jwCVC ( jw)
例 已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，
连续时间LTI系统的频域分析 离散时间LTI系统的频域分析 信号的幅度调制和解调
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，
任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而系统零 状态响应yzs(t) = x(t)*h(t)。 由单位冲激函数δ (t)所引起的零状态响应称为单位 冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
H ( j) F[h(t)] 1 1 j 1 j 2
1
( j)2 3( j) 2
只有当连续系统是稳定的LTI系统时，才存在H(j), 且可以由h(t)计算出H(j)。
电路系统的频率响应：
分析电路系统的频率响应，主要有两种方法。
H ( j) Yzs ( j)
( j) 3
X ( j) ( j)2 3( j) 2
在实际应用中， 只有当连续系统是稳定的LTI系统时，
才存在H(j),且频响函数才有意义。
例 已知某LTI系统的冲激响应为
h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。
vR (t) RiR (t)
VR ( jw) R IR ( jw)
ZR
VR ( IR(
jw) jw)
R
vL
(t)
L
diL (t) dt
VL ( jw) jwLIL ( jw)
ZL
VL ( jw) IL ( jw)
jwL
iC
(t)
C
d
vC (t) dt
IC ( jw) jwCVC ( jw)
例 已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
电路的频域分析
U
I
I L
IC
U O
外加电流为恒定电流 时， （ I S ） 输出电压最大。
U U I Z O m ax S O
品质因素--Q :
Q为支路电流和总电流之比。
U IC 0CU XC
U RC I U Z0 L
I
U
I RL
IC
0L Q IC I R
当
若
0L R 则 IC I
1 Q 0 CR
0LR 时, I RL IC
并联支路中的电流可能比总电流大。
I
U
IC
IC
I RL
I U
支路电流可能 大于总电流
I RL
电流谐振
5.２ 非正弦电路的分析计算
一、非正弦周期函数的合成与分解 1、周期信号
n
bn
2T b t) sin n tdt n f( T0
直流电源 U
U 2
U 1
us 非正弦
N0
正弦 U i
N0
3、非正弦周期交流信号的分解与合成
f ( t ) A 0
直流分量
A sin( t f ) 1m 1
基波（和原 函数同频）
A sin( 2 t f ) 2m 2 …..
k 1
i ( t ) I I sin( k t ) 0 km k k
k 1
1 T P uidt T 0
利用三角函数的正交性，整理后得：
P U I U I ( ) 0 0 k kcos k k ku ki
k 1
第五章频域分析法
惯性环节的幅相特性曲线
j
M()
()
0 1 0
1
0 -90
O
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode) 对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数 幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ， 并按对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 记作dB。 对数幅频特性定义为 L( ) 20lg M ( )
G( j) A()e j ( )
幅频特性A( ) 系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减 （或放大）特性； 相频特性 ( ) 系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后 （或超前）特性。 理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系 统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在， 不稳定系统的频率特性观察不到。 频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法 从频率特性出发研究系统。
频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!
频率特性的定义: 稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 三种数学模型的关系如图 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性 A( )； 相位与输入信号相位差为相频特性 ( ) 。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
0
-78.7 -90
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅频和相频特性曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 1 2T 2 1
自动控制原理第五章频域分析法
一 由传递函数求系统的频率响应
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
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频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
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每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
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5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
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5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
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5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
《电路的频域分析》课件
频率和周期的关系
频率是指在单位时间内信号或波动的重复次数。周期是波形在一个完整周期 内重复的时间或空间周期。频率和周期是频域分析中重要的概念，它们之间 有着密切的关系。
频域分析的方法
在频域分析中，我们使用不同的数学方法和工具来研究电路的频域特性。常 用的方法包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等，每种方法都有其适 用的场景和特点。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。通过进行傅里叶变换，我们可以将信号的频谱特征 可视化，并对信号的频率成分进行分析和理解。
频域图像的解读
频域图像是频域分析的结果之一，它表示了电路在不同频率下的能量分布和频率响应特性。通过对频域图像的 解读，我们可以获取电路的频率特征信息，进一步分析电路的性能和稳定性。
频域分析的应用
频域分析广泛应用于电路设计、信号处理、通信系统和音频处理等领域。通过频域分析，我们可以优化电路性 能、检测和解决故障、改进信号质量等，为各种应用提供有力的支持。
总结和展望
在本节课中，我们了解了频域分析的概述、频率和周期的关系、频域分析的 方法、傅里叶变换、频域图像的解读、频域分析的应用。通过学习这些内容， 我们可以更好地理解电路在频域中的行为，为电路设计和故障诊断提供更准 确的分析和解决方案。
《电路的频域分析》PPT课件
欢迎来到本节课的PPT课件《电路的频域分析》。在本课中，我们将介绍频域 分析的概述、频率和周期的关系、频域分析的方法、傅里叶变换、频域图像 的解读、频域分析的应用，并对整个内容进行总结和展望。
频域分析概述
分析电路的频域特性有助于我们理解其在不同频率下的征，从而为电路设计和故障诊断提供基础。
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
第五章 频域分析方法
( )
1
10
40 60 80
L(dB) 20lg G( j) 。
对数相频特性曲线的纵 坐标也是均匀分度， 单位 是度（ ） 。
0.1
1
10
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s ) k ， G ( j ) k ， A( ) k ， ( ) 0 。幅频特性曲 线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图） 、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）左、 （d）右所示。
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的， 只是幅值和相位与输入不同。
ur A sin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
U c ( s ) G ( s )U r ( s )
拉氏反变换得到
1 1 A U r ( s) 2 RCs 1 Ts 1 s 2
d ( s j )G ( s ) d ( s j )G ( s )
故
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
css (t Leabharlann umG ( j ) jt umG ( j ) jt e e 2j 2j e
处。对数相频特性曲线
L( ) 20lg A( ) 20lg
1
() tg 1T
如下图中（d）下所示，对数相频特性曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB ，如（e）给出的误差曲线所示， （f）是一阶惯性环节的极点矢量 图。
1
10
40 60 80
L(dB) 20lg G( j) 。
对数相频特性曲线的纵 坐标也是均匀分度， 单位 是度（ ） 。
0.1
1
10
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s ) k ， G ( j ) k ， A( ) k ， ( ) 0 。幅频特性曲 线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图） 、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）左、 （d）右所示。
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的， 只是幅值和相位与输入不同。
ur A sin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
U c ( s ) G ( s )U r ( s )
拉氏反变换得到
1 1 A U r ( s) 2 RCs 1 Ts 1 s 2
d ( s j )G ( s ) d ( s j )G ( s )
故
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
css (t Leabharlann umG ( j ) jt umG ( j ) jt e e 2j 2j e
处。对数相频特性曲线
L( ) 20lg A( ) 20lg
1
() tg 1T
如下图中（d）下所示，对数相频特性曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB ，如（e）给出的误差曲线所示， （f）是一阶惯性环节的极点矢量 图。
第5章 电路的频域分析
1 设： 0 ω RC 1
电工技术
相频特性：
ω ω0 ω0 ω ω arctan 3
ω ω 3 ω ω
2 0 0
2
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电工技术
(3) 频率特性曲线
T jω
T jω
0
0
1/3
0
1
90
0
- 90
+
1 3 0.707 3
0
U 1jω
–
R C + R C
U 2 jω
90
1 0 2
0
- 90
–
0
RC串并联电路具有带通滤波特性
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电工技术
由频率特性可知 在 =0 频率附近, |T(j )| 变化不大接近等 于1/3;当偏离0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较 大。 通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处， (|T(j )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率 之差即：
2
1
ω0 1 ω
2
ω0 1 arctan 相频特性： ω arctan ωRC ω
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(3) 频率特性曲线
T j
电工技术
T jω
0 1
90
0
0.707
45
0
0
1 0.707 0
90 45
T jω ω
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(2) 传递函数（转移函数） 电路输出电压与输入 电压的比值。
电路的频域分析
U R
、
XL
XC
UL
I0 X L
U R
XL
XL R
U
UC
I0 X C
U R
XC
XC R
U
当 X L R 、XC R 时，
UL UC U
注：串联谐振也被称为电压谐振
U L
UR U I
U C
引入定义：品质因素 —— Q 值
定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的
当 0L R 时, I RL IC
Q 1
0CR
并联支路中的电流可能比总电流大。
I
U
IRL
IC
IC
I U
支路电流可能 大于总电流
IRL
电流谐振
5.２ 非正弦电路的分析计算
一、非正弦周期函数的合成与分解 1、周期信号
f (t) f (t nT ) n 0,1,2......
则有效值:
U 1 2 u2 td(t)
2 0
1
2
2
0
U 0
k 1
U km
sin
kt
k
2
d
(t)
U
U
2 0
k 1
U
2 km
2
U
2 0
U12
U
2 2
结论：周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。
当
C R2 0 时 L
0
1 LC
或
1
f0 2 LC
并联谐振电路总阻抗的大小 （见教材P115）
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第五章 电路的频域分析
第一节 RC电路的频域分析 第二节 谐振电路
33 MHz
概述
在交流电路中，除电阻外，感抗和容抗都与频率有关
容抗、感抗、复阻抗与频率ω的关系
容抗 （X 1 ） C C
感抗（XL =ωL ）
复阻抗
Z R ( jX L jXC )
当电路参数不变、激励信号的幅值也不变时，响应量随激 励信号频率的变化情况，就是频率响应或称频率特性。
所以称为低通滤波器
该网络的低通特性也可以通 过XC 和R的特性
Ui
定性分析
R
C
UO
33 MHz
2.高通滤波器 滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
Ui
C
R
UO
H
j
Uo Ui
R
R
1
jCR 1 jCR
j C
33 MHz
H
j
U&o U&i
R
R
1
jCR CR tg1 1
1 jCR 1 (CR)2
33 MHz
1.串联谐振
串联谐振电路
I
串联谐振的条件
R UR
Z R jXL XC
U
L UL
C
UC
UL
当： X L X C 即复阻抗虚部为0
则： 0 U、I 同相
谐振
UR U I
UC
33 MHz
串联谐振的条件是： X L X C
X L L 2fL
XL XC
0
1 LC
谐振角频率
A
0
0：截止角频率 ~ 0 ：通频带
1 RC2
1
1 2
当
0
1 RC
时
Uo Ui
1 2
0 0
相频特性
（） tg 1 RC
0
当
0
1 RC
时
45
45
90
33 MHz
0
1 RC
1
相应地， f0 2 RC ：截止频率
当 0 f f0 时，信号通过网络传递到输出端
当
f f0
时，信号不能通过网络，衰减很多
U
I0
I
R 1 Q2 ( 0 )2 0
1 Q2 ( 0 )2 0
I0
I0
U R
谐振电流
2
f0 : 谐振频率
fL
下限截止频率
fH
上限截止频率
f fH fL 通频带
33 MHz
fL f0 fH
I0
f
串联谐振的应用举例
收音机接收电路
L1
C
L2 L3
33 MHz
L1 : 接收天线
L2 与 C ：组成谐振电路
(R
R jX c
jX c
)
R( R
jX c ) jX c
1
3 j(RC
1
)
RC
33 MHz
H ( jW )
1
Aω
3 j(RC 1 ) 1
RC 3
设：ω 0
1 RC
0.707 3
幅频特性
A()
1
32 ( o )2 o
0
1 0 2
90
ω
ω 0
0
ω
arctan
ω 0
ω
0
3
- 90
CR
j C
A
幅频特性
1
A（）
CR 0.707
1 RC2 0
0
相频特性
90
（） 90 tg1 RC 45 0
33 MHz
0
0
1 RC
相应地，
f0
1
2 RC
：截止频率
当 0 f f0 时，信号不能通过网络，衰减很多
f f 当
0
时，信号能通过网络传递到输出端
所以称为高通滤波器
该网络的高通特性也可以通 过XC 和R的特性
XC
1
C
1
2fC
0L
1
0C
f0
2
1 LC
谐振频率
f0 ,于固0 由有电频路率参时数，决电定路，发称生为谐固振有频率，当外加电源频率等
33 MHz
串联谐振时的阻抗特性
Z R j( XL XC) R2 X L X C 2
Z
容性
0
L
感性
0 R
1
C
33 MHz
0
串联谐振的特点
a. 纯阻性，阻抗最小
L : 将选择的信号送
3
接收电路
RL2
L1
L2
e1
C
C
e2
L2 L3
e3
e 、e 、e 为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信 123
号；
L2 - 组C成谐振电路 ，选出所需的电台。
33 MHz
33 MHz
正弦传递函数H（j):
无源双口 网络
Ui
H ( j)
Uo
•
H(
j)
响应相量 激励相量
＝ R( E(
j) j)
Uo
•
Ui
33 MHz
5.1 RC电路的频域分析
1.低通滤波器
滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。
Ui
R
C
UO
双口网络的传递函数：
33 MHz
H
j
Uo Ui
1
H
j
Uo Ui
所以电力系统应避免发生串联谐振。
d. 功率
电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，Q和L QC
相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
有功功率P=U2/R, 无功功率Q=QL－QC=0 但QL＝QC＝QP
33 MHz
串联电路电流的频率特性曲线
I ()
U
U
R2 (L 1 )2 C
R2 R2 ( 0L 0 1 )2 0 R 0RC
Z R2 ( X L XC )2 R
b. 电流最大
U
当电源电压一定时：I I0 R
UL
c. 电压关系
电阻电压：UR = Io R = U
电容、电感电压：UL UC
大小相等、相位相差180
UL I0XL UC I0XC
UR U
UC
33 MHz
令：
Q
UL
UC
0L
1
U U R 0RC
Ui
C
R
UO
定性分析
33 MHz
3.带通滤波器
ui
C
R C
R uo
令：
Z1 (R串联C) R jXc
Z2
(R并联C)
R( R
jXc ) jX c
33 MHz
Ui jX C
R
jX C
R Uo
则：
Uo
Z2 Z1 Z2UiUO源自Z2 Z1 Z2Ui
R( jX c )
H(
jW )
U&O U&i
通频带： L ~ H
33 MHz
5.2 谐振电路
谐振的概念 含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，
使电路的功率因数等于1，即：u、 i 同相，电路呈纯电阻
性，便称此电路处于谐振状态。
谐振
串联谐振： 并联谐振：
研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振 的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应 用)。另一方面又要预防它所产生的危害。
有：UL UC QU
Q品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量。
谐振时: UL与 UC 相互抵消，但其本身不为零，
而是电源电压的Q倍。
UL
I0 XL
0L U
R
QU
1
UC
I0 XC
U
0CR
QU
所以串联谐振又称为电压谐振，此时可能UL>>U。
33 MHz
如Q=100,U=220V,则在谐振时
U L UC QU 22000V
R
j
C 1
1
1 j RC
j C
1
tg 1 R C
1 RC2
A
Ui
R
C
UO
33 MHz
H j
1
tg 1RC
1 RC2
A
其中：
A
--- 幅频特性：输出与输入的有效 值之比与频率的关系。
---相频特性：输出与输入相位差 与频率的关系。
33 MHz
幅频特性
A（）
1
第一节 RC电路的频域分析 第二节 谐振电路
33 MHz
概述
在交流电路中，除电阻外，感抗和容抗都与频率有关
容抗、感抗、复阻抗与频率ω的关系
容抗 （X 1 ） C C
感抗（XL =ωL ）
复阻抗
Z R ( jX L jXC )
当电路参数不变、激励信号的幅值也不变时，响应量随激 励信号频率的变化情况，就是频率响应或称频率特性。
所以称为低通滤波器
该网络的低通特性也可以通 过XC 和R的特性
Ui
定性分析
R
C
UO
33 MHz
2.高通滤波器 滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
Ui
C
R
UO
H
j
Uo Ui
R
R
1
jCR 1 jCR
j C
33 MHz
H
j
U&o U&i
R
R
1
jCR CR tg1 1
1 jCR 1 (CR)2
33 MHz
1.串联谐振
串联谐振电路
I
串联谐振的条件
R UR
Z R jXL XC
U
L UL
C
UC
UL
当： X L X C 即复阻抗虚部为0
则： 0 U、I 同相
谐振
UR U I
UC
33 MHz
串联谐振的条件是： X L X C
X L L 2fL
XL XC
0
1 LC
谐振角频率
A
0
0：截止角频率 ~ 0 ：通频带
1 RC2
1
1 2
当
0
1 RC
时
Uo Ui
1 2
0 0
相频特性
（） tg 1 RC
0
当
0
1 RC
时
45
45
90
33 MHz
0
1 RC
1
相应地， f0 2 RC ：截止频率
当 0 f f0 时，信号通过网络传递到输出端
当
f f0
时，信号不能通过网络，衰减很多
U
I0
I
R 1 Q2 ( 0 )2 0
1 Q2 ( 0 )2 0
I0
I0
U R
谐振电流
2
f0 : 谐振频率
fL
下限截止频率
fH
上限截止频率
f fH fL 通频带
33 MHz
fL f0 fH
I0
f
串联谐振的应用举例
收音机接收电路
L1
C
L2 L3
33 MHz
L1 : 接收天线
L2 与 C ：组成谐振电路
(R
R jX c
jX c
)
R( R
jX c ) jX c
1
3 j(RC
1
)
RC
33 MHz
H ( jW )
1
Aω
3 j(RC 1 ) 1
RC 3
设：ω 0
1 RC
0.707 3
幅频特性
A()
1
32 ( o )2 o
0
1 0 2
90
ω
ω 0
0
ω
arctan
ω 0
ω
0
3
- 90
CR
j C
A
幅频特性
1
A（）
CR 0.707
1 RC2 0
0
相频特性
90
（） 90 tg1 RC 45 0
33 MHz
0
0
1 RC
相应地，
f0
1
2 RC
：截止频率
当 0 f f0 时，信号不能通过网络，衰减很多
f f 当
0
时，信号能通过网络传递到输出端
所以称为高通滤波器
该网络的高通特性也可以通 过XC 和R的特性
XC
1
C
1
2fC
0L
1
0C
f0
2
1 LC
谐振频率
f0 ,于固0 由有电频路率参时数，决电定路，发称生为谐固振有频率，当外加电源频率等
33 MHz
串联谐振时的阻抗特性
Z R j( XL XC) R2 X L X C 2
Z
容性
0
L
感性
0 R
1
C
33 MHz
0
串联谐振的特点
a. 纯阻性，阻抗最小
L : 将选择的信号送
3
接收电路
RL2
L1
L2
e1
C
C
e2
L2 L3
e3
e 、e 、e 为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信 123
号；
L2 - 组C成谐振电路 ，选出所需的电台。
33 MHz
33 MHz
正弦传递函数H（j):
无源双口 网络
Ui
H ( j)
Uo
•
H(
j)
响应相量 激励相量
＝ R( E(
j) j)
Uo
•
Ui
33 MHz
5.1 RC电路的频域分析
1.低通滤波器
滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。
Ui
R
C
UO
双口网络的传递函数：
33 MHz
H
j
Uo Ui
1
H
j
Uo Ui
所以电力系统应避免发生串联谐振。
d. 功率
电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，Q和L QC
相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
有功功率P=U2/R, 无功功率Q=QL－QC=0 但QL＝QC＝QP
33 MHz
串联电路电流的频率特性曲线
I ()
U
U
R2 (L 1 )2 C
R2 R2 ( 0L 0 1 )2 0 R 0RC
Z R2 ( X L XC )2 R
b. 电流最大
U
当电源电压一定时：I I0 R
UL
c. 电压关系
电阻电压：UR = Io R = U
电容、电感电压：UL UC
大小相等、相位相差180
UL I0XL UC I0XC
UR U
UC
33 MHz
令：
Q
UL
UC
0L
1
U U R 0RC
Ui
C
R
UO
定性分析
33 MHz
3.带通滤波器
ui
C
R C
R uo
令：
Z1 (R串联C) R jXc
Z2
(R并联C)
R( R
jXc ) jX c
33 MHz
Ui jX C
R
jX C
R Uo
则：
Uo
Z2 Z1 Z2UiUO源自Z2 Z1 Z2Ui
R( jX c )
H(
jW )
U&O U&i
通频带： L ~ H
33 MHz
5.2 谐振电路
谐振的概念 含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，
使电路的功率因数等于1，即：u、 i 同相，电路呈纯电阻
性，便称此电路处于谐振状态。
谐振
串联谐振： 并联谐振：
研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振 的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应 用)。另一方面又要预防它所产生的危害。
有：UL UC QU
Q品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量。
谐振时: UL与 UC 相互抵消，但其本身不为零，
而是电源电压的Q倍。
UL
I0 XL
0L U
R
QU
1
UC
I0 XC
U
0CR
QU
所以串联谐振又称为电压谐振，此时可能UL>>U。
33 MHz
如Q=100,U=220V,则在谐振时
U L UC QU 22000V
R
j
C 1
1
1 j RC
j C
1
tg 1 R C
1 RC2
A
Ui
R
C
UO
33 MHz
H j
1
tg 1RC
1 RC2
A
其中：
A
--- 幅频特性：输出与输入的有效 值之比与频率的关系。
---相频特性：输出与输入相位差 与频率的关系。
33 MHz
幅频特性
A（）
1