高三数学高考考前复习指数与指数函数教案
高中数学教材：指数函数教案
高中数学教材：指数函数教案1. 教学目标1.1 知识与技能1. 理解指数函数的定义和性质；2. 能够熟练运用指数函数模型解决实际问题；3. 掌握指数函数的图像和特征。
1.2 过程与方法1. 通过探究活动，培养学生的观察、分析和解决问题的能力；2. 利用信息技术，提高学生对指数函数图像的理解和应用能力。
1.3 情感态度与价值观1. 培养学生的团队合作精神，激发学生对数学的兴趣；2. 引导学生认识数学在实际生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
2. 教学内容2.1 指数函数的定义与性质2.1.1 定义指数函数是一种形式的函数，可以表示为 `f(x) = a^x`，其中`a` 是一个正实数，`x` 是自变量。
2.1.2 性质1. 当 `a > 1` 时，函数随着 `x` 的增加而增加；2. 当 `0 < a < 1` 时，函数随着 `x` 的增加而减少；3. 当 `x` 趋向于负无穷时，函数趋向于 `0`；4. 当 `x` 趋向于正无穷时，函数趋向于`+∞`；5. 指数函数的图像是一条经过原点的曲线，且在 `x` 轴的正半轴和负半轴上分别单调递增和递减。
2.2 指数函数的应用1. 模型构建：利用指数函数模型解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等；2. 函数图像：通过绘制指数函数的图像，分析函数的性质和特点；3. 实际应用：指数函数在金融、物理、生物学等领域的应用。
3. 教学过程3.1 导入通过一个实际问题引入指数函数的概念，如“某城市的人口每年以 5% 的增长率增长，问 10 年后该城市的人口数量”。
3.2 探究活动1. 分组讨论：让学生分组探讨指数函数的性质，如单调性、极限等；2. 成果展示：每组汇报探究成果，其他组进行评价和补充；3. 总结：教师引导学生总结指数函数的性质。
3.3 应用实践1. 案例分析：分析实际问题，构建指数函数模型；2. 图像绘制：利用信息技术，绘制指数函数的图像；3. 问题解决：让学生尝试解决实际问题，如“投资理财、放射性物质衰变等”。
高中数学必备：指数函数的教案分享
高中数学必备：指数函数的教案分享一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解指数函数的定义和性质；（2）掌握指数函数的图像和应用；（3）能够解决与指数函数相关的基本问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，引导学生发现指数函数的规律；（2）利用信息技术工具，绘制指数函数的图像，观察其特点；（3）运用指数函数模型解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学内容1. 指数函数的定义与性质（1）引入指数函数的概念；（2）讲解指数函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
2. 指数函数的图像（1）利用信息技术工具，绘制指数函数的图像；3. 指数函数的应用（1）解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等；（2）运用指数函数模型，求解最大值、最小值等问题。
三、教学过程1. 导入新课（1）复习指数的基本概念；（2）引入指数函数的定义。
2. 知识讲解（1）讲解指数函数的性质；（2）利用信息技术工具，展示指数函数的图像；3. 实践与应用（1）解决实际问题，如人口增长模型；（2）运用指数函数模型，求解最大值、最小值等问题。
四、课堂小结本节课我们学习了指数函数的定义、性质和应用，重点掌握了指数函数的单调性和图像特点。
通过解决实际问题，我们体会到了数学在生活中的重要性。
五、课后作业1. 复习指数函数的定义和性质；2. 绘制指数函数的图像，观察其特点；3. 运用指数函数模型解决实际问题。
六、教学策略与手段2. 利用信息技术工具，如函数图像绘制软件，帮助学生直观理解指数函数的图像；3. 通过实际问题的解决，培养学生运用指数函数模型分析问题和解决问题的能力；4. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和想法，培养学生的合作交流能力。
七、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的参与度和理解程度，观察学生在讨论中的表现；2. 课后作业：检查学生对指数函数定义、性质和应用的掌握情况；3. 实际问题解决：评估学生运用指数函数模型解决问题的能力，关注学生的创新思维和综合运用知识的能力。
高三 一轮复习 指数及指数函数 教案
指数与指数函数1．根式的性质(1)(n a )n ＝a .(2)当n 为奇数时n a n ＝a ；当n 为偶数时n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0). 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．3．指数函数的图像与性质y ＝a x a >1 0<a <1 图像定义域R 值域 (0，＋∞)性质 过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．[练一练]1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.考点一指数幂的化简与求值 求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5[类题通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图像及应用[典例] (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个[类题通法]指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．[针对训练]1．(2013·徐州摸底)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝2x 及g (x )＝3·2x 的图像分别相交于A ，B 两点，则A ，B 两点之间的距离为________．2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．考点三 指数函数的性质及应用[典例] 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.[类题通法]利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[针对训练]已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[课堂练通考点]1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________．2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域是________．3．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．4．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，则A 点的坐标为________．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2 的值域是________．3．(2014·南京二模)如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________．4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．。
指数函数教案：突破高考的秘密武器
指数函数教案：突破高考的秘密武器高考是每个学生所面临的最大考试，也是考生人生中一个举足轻重的关口。
指数函数是高中数学中一个非常重要和基础的内容，也是高考数学选择题中一个应该会做的难点。
本文将会探讨如何通过指数函数教案突破高考。
一、知识点梳理1.定义：指数函数是形如 y=a^x 的函数，其中 a>0，且a≠1，x 是实数。
2.特征（1）定义域：(-∞, +∞)（2）值域：(0, +∞)（3）单调性：当 a>1 时，y=a^x 单调递增；当 0<a<1 时，y=a^x 单调递减。
（4）y 轴截距：（0,1），即此函数必过 y 轴 (0,1)。
（5）与 x 轴交点：y=13.常见函数常见的指数函数有：（1）y=2^x（2）y=3^x（3）y=e^x（4）y=10^x4.基本性质（1）同底数幂相乘，底数相同，指数相加。
（2）同底数幂相除，底数相同，指数相减。
（3）不同底数幂无法直接相加或相减，但是可以用对数将不同底数幂转化为同底数的幂进行计算。
二、思维导图为了帮助学生更好地掌握指数函数的知识点，可以通过思维导图的形式进行知识点梳理。
下面是一张简单的思维导图：其中的实心箭头代表指数函数的基本性质，空心箭头代表了指数函数的常见函数。
三、解题方法指数函数是高中数学中一个难点，但是只要正确应用解题方法，就可以轻松解决指数函数题目。
1.求解函数值对于求指数函数的函数值，可以直接带入变量中进行计算。
如：求 y=2^x 在 x=3 时的函数值，直接带入得 y=2^3=8。
2.指数函数的性质当 a>1 时，y=a^x 单调递增；当 0<a<1 时，y=a^x 单调递减。
根据单调性，可以解决一些大小关系问题。
如：y=2^x 和 y=3^x 在 x>0 时，哪个更大？由于 y=2^x 单调递增，y=3^x 单调递增，所以当 x>0 时，y=3^x > y=2^x，即 y=3^x 更大。
高中数学指数函数教案
高中数学指数函数教案教学目标：1. 了解指数函数的定义及性质；2. 掌握指数函数的基本运算规则；3. 能够解决一些简单的指数函数相关问题。
教学重点：1. 指数函数的定义和性质；2. 指数函数的基本运算规则。
教学难点：1. 指数函数的应用问题解决。
教学准备：1. 黑板、彩色粉笔、擦拭布；2. 讲义、习题册。
教学过程：一、导入（5分钟）引导学生回顾乘方的概念，并提出乘方中底数为正数而指数为正整数时的运算规则。
二、学习指数函数（25分钟）1. 提出指数函数的定义，并解释指数函数的性质。
2. 讲解指数函数的图像、定义域和值域。
3. 引导学生观察指数函数的性质，讨论指数函数的增减性和奇偶性。
三、探索指数函数的基本运算规则（20分钟）1. 讲解指数幂的乘法和除法规则。
2. 给学生一些练习题，让他们熟练掌握指数函数的基本运算规则。
四、应用（15分钟）1. 联系实际问题，让学生解决一些与指数函数相关的应用问题。
2. 带领学生一起讨论解题思路和方法。
五、总结（5分钟）1. 总结本节课学习的内容：指数函数的基本性质和运算规则。
2. 帮助学生巩固所学，并提出下节课的预习内容。
教学延伸：1. 引导学生自主探索更复杂的指数函数问题，并尝试解决。
2. 鼓励学生进行更多的练习，加深对指数函数的理解和掌握。
教学反思：1. 对课堂教学过程中学生的学习情况和思维习惯进行及时的观察和分析，及时调整教学方法和策略。
2. 鼓励学生发表自己的观点，促进课堂气氛的活跃和互动。
(完整word版)高三数学一轮复习指数与指数函数教案
浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：指数与指数函数教材分析：本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 学情分析：学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。
关键是对知识理解的不够透彻。
只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。
教学目的：1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化. 教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程： 一、知识梳理：1．根式的定义2．根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n=a.②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0） 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 3．引例：当a ＞0时 ①5102552510)(a a a a===②3124334312)(a a a a === ③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==上述推导过程主要利用了根式的运算性质，整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.4.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 规定：(1)nm nm aa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.5.有理指数幂的运算性质: a r ·a s ＝a r ＋s （a r ）s ＝a rs（a ＞0，r ，s ∈Q ）（a ·b ）r ＝a r ·b r（a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）二、讲解例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8---. 解：422)2(8232332332====⨯827)32()32()8116(6422)2()41(1011010)10(1003)43(4436)3()2(3231)21(221221===========--⨯--⨯------⨯--课内练习求下列各式的值： (1)2523（2）2732（3）（4936）23（4）（425）23-（5）432981⨯（6）23×35.1×612解：(1)23223)5(25=＝53＝125 (2)233323323)3(27⨯==＝32＝9(3)34321676)76()76(])76[()4936(33323223223=====⨯(4)125852)52()25()25(])25[()425(333323223223======-⨯--(5)41324432442123244213224432)33(3333])3[(3981⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯=66141324143333)3()3(=⨯=⨯(6)23×35.1×612＝2×321×（23）31×（3×22）61＝2×321×331×231×361×231＝（2×231-×231）×（321×331×361）＝231311+-×3613121++＝2×3＝6要求：学生板演练习，做完后老师讲评.例2计算下列各式：433225)12525)(2();0()1(÷->a aa a分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算 解：课内练习：用分数指数幂表示下列各式：65653221223212322)1(a a a a a a a a a ===•=•--.555555555555)55(5)12525)(2(412545125412341324123413241233243-=-=-=÷-÷=÷-=÷---(1)32x （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） （３）32)(n m - （４）4)(n m -（ｍ＞ｎ） (5)56q p ⋅（ｐ＞０） (6)mm 3解：(1) 3232x x = (2) 4343)()(b a b a +=+ (3) 3232)()(n m n m -=-(4) 244)()(n m n m -=-＝（ｍ－ｎ）２ (5) 2532526215656)()0(q p q p q p p q p ⋅==⋅=⋅φ (6)252133m mm m m =⋅=-要求：学生板演练习，做完后老师讲评.三、小结本节课要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质. 四、课后作业：1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(C)（1）43a a ⋅（2）a a a （3）322b a ab +（4）4233)(b a +解：（1）43a a ⋅＝12741314131a aa a ==⋅+（2） a a a ＝[a ·（a ·a 21）21]21＝a 21·a 41·a 81＝a 87814121a =++（3）322b a ab +＝（ab 2＋a 2b ）31（4）4233)(b a +＝（a 3＋b 3）42＝（a 3＋b 3）212.求下列各式的值：(C) (1)｜2｜21（2）（4964）21-（3）1000043-（4）（27125）32-解：（1）12121＝（112）21＝11212⨯＝11（2）（4964）21-＝（2278）21-＝（78）)21(2-⨯·（78）－1＝87(3)1000043-＝（104）43-＝10)43(4-⨯＝10－3＝0.001(4) （27125）32-＝（3335）32-＝[（35）3] 32-＝（35）)32(3-⨯＝（35）－2＝259._______5则.25,45已知).2(;)12(3256)71(027.0.）1（计算：(B).320143231===-+-+----y x y x4.化简: (A) (1)3327-a a÷31638a a -÷313--a a ;(2).11111333233++-++----a a a a a a a a 解:(1)原式=312327)(-•aa ÷2131638)(a a•-÷323432312)(--÷÷=aa a a =1.(2)原式=)1()1()1(11)(1)(1)31(1)1(313231313131331312313313231+----+=++-++----a a a a a a a a a a a a a 31a ==3a.板书设计指数幂的概念与性质1.正分数指数幂意义 例题一： 例题二：a nm ＝n ma （a ＞0，m ，n ∈N*，n ＞1）2.规定 (1)anm -＝nm a1（a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1），。
【高三】2021届高考数学知识归纳复习指数与指数函数教案
【高三】2021届高考数学知识归纳复习指数与指数函数教案第1讲指数与指数函数一、知识归纳1、整数指数幂的运算性质：(1)(2)根式：（3）分数指数幂；分数指数幂的运算性质：2.指数函数y=ax的图像和性质指数函数一般形式y=ax（a>0和a≠ 1)定义域(-∞,+∞)值范围（0，+∞)过定点（０，1）形象单调性a>1,在(-∞,+∞)上为增函数0<a<1，这是（-上的减法函数∞, + ∞)值分布y>1?y<1?二、问题类型的解释题型一．指数式的运算例1（1）简化（2）若，求的值；解决方案：（1）原始公式=；（2）原始公式=；题型二．指数函数的图像及性质的应用例2（2022年北京理论）如果函数为，则不等式的解集为______【答案】【分析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解，属于基础知识和基本运算的考查（1）由.（2）由∴不等式的解集为，∴应填.练习1（2022年北京文本）如果已知函数，则【答案】【分析】本题主要考查分段函数和简单已知函数的值，属于基础知识和基本运算的考查由，无解，故应填.练习2（江苏2022卷）已知，如果满足实数和，则和的大小关系为【解析】考查指数函数的单调性。
，函数在R上递减。
原因：M例3.(2021年广东卷文)函数的单调递增区间是a、 b.（0,3）c.（1,4）d。
【答案】d[分析]排序，求解，所以选择D例4、若直线y=2a与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是；解决方案：题型3．利用图象比较值的大小例6比较题型三、指数函数的综合问题例7（08-20）如果，，是常数，并且求对所有实数成立的充要条件（用表示）【分析】：本课题研究了指数函数、绝对值函数和不等式的充要条件、综合应用。
恒成立（*）若，则（*），显然成立；若，记当时,，所以，故只需。
当时,，所以，故只需。
综上所述，所有实数的充要条件是课后作业：《走向高考》工作：1.化简（1）答复:（2）答案：452.已知要求3.若关于x的方程有实数根，求m的取值范围待机：已知函数的域是区间[-1,1](1)求g(x)的解析式；（2）判断G（x）的单调性；(3)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围.解决方案：（1），(2).当令.二次函数的单调性是一个减法函数∴函数g(x)在[-1,1]上是减函数.（3）从（2）中，方程g（x）=m有一个解，[-1,1]中有一个解；。
高中数学复习教案：指数与指数函数
第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ,那么x 叫作a 的n 次方根,其中n ＞1,n ∈N *表示 当n 是奇数时,a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时,正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0,记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式,其中n 叫作根指数,a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时,na n ＝a当n 为偶数时,na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜02.(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0,r ,s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0,r ,s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0,＋∞) 性质(0,1) 过定点当x ＞0时,y ＞1； x ＜0时,0＜y ＜1当x ＞0时,0＜y ＜1； x ＜0时,y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x ,(2)y ＝b x ,(3)y ＝c x ,(4)y ＝d x 的图象,底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y ＝a x (a ＞0,且a ≠1)的图象越高,底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( ) (2)(－1) 24＝(－1) 12＝－1. ( ) (3)函数y ＝2x－1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1),则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12,则f (－1)等于( )A.22 B. 2 C.14D ．4B [由题意知12＝a 2,所以a ＝22,所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x,所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0,且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0,得x ＝1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项C.] 5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数,则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1, 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33,故选D.]2．若a ＞0,b ＞0,则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3,则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号；底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解题. 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A．a＞1,b＜0B．a＞1,b＞0C．0＜a＜1,b＞0D．0＜a＜1,b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P,则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点,则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1,＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减,所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的,所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2,且f(2)＝4,则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时,直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象是()A B C D(3)已知a ＞0,且a ≠1,若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点,则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎨⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1,故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到,故选B. (3)①当0＜a ＜1时,如图①,所以0＜3a ＜2,即0＜a ＜23； ②当a ＞1时,如图②,而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343,b ＝925,c ＝12113,则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ,c ＝12113＝1123＞923＝a ,所以c ＞a ＞b .故选A.] ►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)(2)已知实数a ≠1,函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1),则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时,不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0＜12＜1,所以a ＞－3,此时－3＜a ＜0；当a ≥0时,不等式f (a )＜1可化为a ＜1,所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时,41－a ＝21,解得a ＝12；当a ＞1时,代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2,则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时,函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时,函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ,由0≤x ≤2得1≤t ≤4,又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12, ∴当t ＝1时,y 有最大值,最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________,值域是________．(－∞,1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1,则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数,则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞,1]．因为u ≤2,则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14,即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.] [规律方法]应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略常考题型 求解策略比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34,则a ,b ,c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0,＋∞) B ．(1,＋∞) C ．[1,＋∞) D ．(－∞,＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞,3)上单调递增,则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6,＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14,则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14,即a ＞b ＞c ,故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1, 令t ＝2x ,则t ＞0,∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1,故选B.(3)由题意知,函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞,3)上单调递增,则a2≥3,即a≥6.(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1,则0＜y≤2.即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]。
高三数学第一轮复习 指数与指数函数教案 文
指数与指数函数一、知识梳理：1、分数指数幂与无理指数幂（1）、如果，那么x就叫做a的n次方根，其中n>1,且；当n是正奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个是互为相反数，负数没有偶次方程，0的任何次方根都是0(2)、叫根式，n叫根指数，a叫被方数。
在有意义的前提下，=，当n为奇数时，=a ；当n是偶数时，=| a |（3）、规定正数的正分数指数幂的意义是= （a>0,m,n1），正数的负分数指数幂的意义为= （a>0,m,n1），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
（4）、一般地，无理数指数幂（a>0,k是无理数），是一个确定的实数。
2、指数幂的运算性质= （a>0，r，s）==3、指数数函数及性质（1）指数函数的定义：（2）、指数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。
指数函数不具有奇偶性与周期性，从而，指数函数最为重要的性质是单调性，对单调性的考查，一方面是利用自变量的大小比较函数值的大小，反映在题目上就上比较大小，另一方面是利用函数值的大小比较自变量的大小，反映在题目上就是解不等式。
二、题型探究[探究一]、根式、指数幂的运算例1:计算：(1).40.062 5＋254－(π)0－3278；(2).a1.5·a－1.5·(a－5)0.5·(a0.5)3(a＞0)．解析：(1)原式＝0.5＋52－1－32＝12.(2)原式＝a1.5－1.5－2.5＋1.5＝a－1＝1 a .[探究二]、利用指数函数的单调性比较大小 例2：已知,试用“<”或“>”填入下列空格： ; ( ; ( ; ; ( ([探究三]、利用指数函数的单调性解方程不等式问题 例3：解关于x 的不等式[探究四]、考察指数函数的图象的变换例4：已知函数 存在实数a, b(a<b) ,满足, 的取值范围。
高三数学高考考前复习指数与指数函数教案
第二章 指数函数与对数函数及函数的应用一、知识网络二、课标要求和最新考纲要求1、指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。
4、函数与方程（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
（2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.5、函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
（3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
三、命题走向函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。
《指数函数》复习课教案
《指数函数》复习课教案指数函数复课教案一、教学目标1. 了解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像特点和变化规律。
3. 学会求解指数函数的基本问题，如解方程、求导等。
二、教学内容1. 指数函数的定义和性质介绍。
2. 指数函数的图像绘制和分析。
3. 指数函数的基本问题解决方法。
4. 指数函数与其他函数的关系。
三、教学过程1. 指数函数的定义和性质介绍- 介绍指数函数的定义和表示方法。
- 讲解指数函数的增长与衰减性质。
- 引导学生理解指数函数的图像特点。
2. 指数函数的图像绘制和分析- 指导学生通过给定函数表达式，绘制指数函数的图像。
- 分析指数函数图像的特点，如增长趋势、渐近线等。
- 提醒学生观察指数函数图像的反比关系。
3. 指数函数的基本问题解决方法- 解释如何求解指数方程。
- 带领学生通过例题练，掌握求解指数方程的步骤和技巧。
- 讲解指数函数求导的基本方法。
4. 指数函数与其他函数的关系- 比较指数函数与线性函数、二次函数等其他函数的特点和差异。
- 引导学生分析指数函数与其他函数之间的关系。
- 鼓励学生探索指数函数在实际问题中的应用。
四、教学资源1. PowerPoint幻灯片：包含指数函数的定义、性质介绍、图像绘制和分析的内容。
2. 白板、彩色笔：用于举例和讲解。
3. 课堂练题：用于学生的课堂练和讨论。
五、教学评估1. 课堂练：通过课堂练检验学生对指数函数的理解和应用能力。
2. 课堂讨论：鼓励学生提问、交流，并评估他们的思维能力和分析能力。
3. 作业评估：布置作业并对学生的作业进行批改和评分。
六、教学延伸1. 鼓励学生进一步研究和探索指数函数的应用领域。
2. 推荐相关的参考书和互联网资源，供学生深入研究和拓展知识。
七、教学反思- 教师反思教学过程中的不足和可以改进的地方。
- 学生反馈和评价收集，以便优化教学方案。
以上为《指数函数》复习课教案，希望能够帮助学生更好地理解和掌握指数函数的相关知识和应用能力。
高三数学高考考前复习指数函数热点解析教案
第二节 指数与指数函数——热点考点题型探析一、复习目标:1、理解和掌握有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质；2、综合运用指数函数的图像与性质解决问题。
二、重难点：重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质。
难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程 （一）、热点考点题型探析 考点1 指数幂的运算[例1]、（1）计算：100.256371.5()86-⨯-+[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。
[解析]原式1111113633344222()1(2)2(2)()242711033=⨯+⨯+⨯-=+⨯=（2）复资P17【例1】中（2）[反思归纳]根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比如与二项展开式结合就比较常见。
考点2 指数函数的图象及性质的应用题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 [例2] 、下图是指数函数（1）y=xa，（2）y=xb，（3）y=xc，（4）y=xd的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<<1;B ．b a d c <<<<1；C ．a b c d <<<<1；D ．b a c d <<<<1[解题思路] 显然,作为直线x=1即可发现a 、b 、c 、d 与1的大小关系[解析] B;令x=1，由图知11111b a d c <<<<,即b a d c <<<<1[反思归纳] 由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析。
题型2：指数函数的性质及其应用 [例3]、 已知函数1()2y =（1）求函数的定义域、值域；(2)求函数的单调区间。
[解题思路]求函数的值域应利用考虑其单调性，注意复合函数研究单调性的方法运用。
高考数学科学复习创新方案：指数与指数函数
指数与指数函数[课程标准]1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1，m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1，x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根—n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个02正数，负数的n 次方根是一个03负数na零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有04两个，它们互为05相反数±na (a ＞0)负数没有偶次方根2.分数指数幂(1)a mn＝06na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(2)a －mn ＝071a m n＝081na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝09a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝10a rs (a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝11a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．4．指数函数的概念函数12y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．5．指数函数的图象和性质底数a >10<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为13(0，＋∞)函数图象过定点14(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1;当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >115增函数16减函数1．(n a )n＝a (n ∈N *且n >1)．2.na n ，n 为奇数且n >1，|，a ≥0，a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x与函数y的图象关于y轴对称．1．(人教A必修第一册习题4.1T1改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案D解析因为x<0，y<0，所以416x8y4＝424·（x2）4y4＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一册习题4.1T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则53m-2n2＝()A．210B．310 C．20D．510答案D解析53m-2n2＝53m52n ＝（5m）3（5n）2＝10322＝52×10＝510.3．函数f(x)＝a x－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)．4．(人教A必修第一册习题4.2T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________．答案b<a<c解析因为函数y ＝0.99x 在R 上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a >b ，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a <c .综上可知，b <a <c .5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．答案12或32解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12；当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.综上所述，a ＝12或32.例1求值与化简：(1)823×100－12×3－34；(2)(a 23b －1)－12a －12b 136ab5(a >0，b >0)；(3)3a 92a －3÷3a－73a 13(a >0)；(4)已知a >0，a 12＋a －12＝3，求a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值．解(1)原式＝(23)23×(102)-12×(2－2)－34-34＝22×10－1×263＝4325.(2)原式＝a －13b 12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝1a.(3)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(4)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．＝________．答案a 4解析原式＝[(a 96)13]4[(a 93)16]4＝a 2·a 2＝a 4.2．已知3a ＋2b ＝1，则9a ·3b3a＝________．答案3解析因为3a ＋2b ＝1，所以32a ＋b ＝12，所以原式＝（32）a ·3b （3a ）1232a ＋b －12a＝323a ＋b＝312＝3.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)．解原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1＝a b.4．计算：0.027－13－2(2－1)0.解原式＝(0.33)－13－721＝103－49＋53－1＝－45.例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式2023a ＝2024b ，则下列关系式有可能成立的是()A ．0<b <aB ．a <b <0C ．0<a <bD ．a ＝b答案ABD解析在同一坐标系下画出y ＝2023x 与y ＝2024x 的图象，结合图象可知A ，B ，D 可能成立．故选ABD.(2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案解析①当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1.因为y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，所以0<2a <1，所以0<a <12；②当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x －1|的图象有两个交点．综上，a 的取值范围是处理指数图象问题的策略(1)抓住特殊点指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．(2)巧用图象变换常见的变换有：①函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；②函数y＝a x＋b的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)x＋1|的图象大致为()答案B解析作出函数yx|，x≥0，x<0的图象，如图所示，将yx|的图象向左平移1个单位得到f(x)＝x＋1|的图象．故选B.2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为()A.12B．1C.32D．2答案B解析如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.多角度探究突破角度比较指数幂的大小例3(1)(2023·淮南一模)设abca，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函数y＝x4７是(0，＋∞)上的增函数，37<47，∴b<c.∵函数y是R上的减函数，37<47，∴a >c .综上，a >c >b .故选A.(2)(2023·沈阳模拟)若p ：0<a <b ；q ：4a －4b <5－a －5－b ，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析设f (x )＝4x －5－x ，则函数f (x )为增函数，则由4a －4b <5－a －5－b ，即4a－5－a <4b －5－b 可得a <b ，所以0<a <b 是4a －4b <5－a －5－b 的充分不必要条件．故选A.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．1.下列各式比较大小正确的是()A ．1.72.5>1.73－43C ．1.70.3<0.93.1答案D解析∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；∵2－43＝y2－43，故B 不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 不正确；∵y y ＝x 23在(0，＋∞)D正确．2．(2024·宿迁模拟)设12<<1，那么()A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a答案C解析∵12<<1且y在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a.故选C.角度解简单的指数方程或不等式例4(1)已知实数a≠1，函数f(x)x，x≥0，a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案12解析①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝12；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝12.(2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，≤1，令f(x)＋，因为y，y，y均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．1．解指数方程的依据a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．2．解指数不等式的思路方法对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．1.若x 满足不等式2x 2＋1－2，则函数y ＝2x 的值域是()A.18，B.18，2∞，18D ．[2，＋∞)答案B解析将2x 2＋1－2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3，1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是18，2.2．方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________．答案x ＝log 23解析当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0，∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，∴2x ＝3，即x ＝log 23；当x <0时，原方程化为4x －2x －10＝0，令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0<t <1)．由求根公式得t ＝1±412均不符合题意，故x <0时，方程无解．综上，原方程的解为x ＝log 23.角度指数函数性质的综合应用例5(1)(2023·大庆二模)已知函数f (x )＝4x2＋4x，则()A ．f (0.1)>f (0.2)B ．函数f (x )有一个零点C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )答案D解析函数f (x )＝4x 2＋4x 的定义域为R .对于A ，函数f (x )＝4x 2＋4x ＝1－22＋4x，函数y ＝4x 在R 上为增函数，易得f (x )在R 上为增函数，则有f (0.1)<f (0.2)，A 错误；对于B ，f (x )＝4x 2＋4x ，有4x>0，则有f (x )>0，所以f (x )没有零点，B 错误；对于C ，f (1)＝46＝23，f (－1)＝4－12＋4－1＝19，所以f (1)≠f (－1)，f (x )不是偶函数，C 错误；对于D ，因为f (x )＝4x 2＋4x ，所以f (1－x )＝41－x 2＋41－x ＝42·4x ＋4＝24x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1，所以函数f (x )D 正确．故选D.(2)已知函数f (x )2－4x ＋3(a ∈R )．若a ＝－1，则函数f (x )的单调递增区间为________；若f (x )的值域是(0，＋∞)，则a ＝________．答案[－2，＋∞)解析当a ＝－1时，f (x )x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )（x ），由指数函数的性质知，要使f (x )（x ）的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )，故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.指数函数综合问题的处理策略(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．1.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案B解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )x －4|，由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2023·银川校联考二模)已知函数f (x )＝4x －2x ＋2－1，x ∈[0，3]，则其值域为________．答案[－5，31]解析令t ＝2x ，∵x ∈[0，3]，∴1≤t ≤8，∴g (t )＝t 2－4t －1＝(t －2)2－5，t∈[1，8]，又y ＝g (t )的图象关于直线t ＝2对称，开口向上，∴g (t )在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t ＝2时，函数取得最小值，即g (t )min ＝－5，当t ＝8时，函数取得最大值，即g (t )max ＝31，∴f (x )的值域为[－5，31]．课时作业一、单项选择题1．化简2c 3a 481a 5b 216c 4(a >0，c <0)的结果为()A ．±4ab 2B ．－4ab 2C ．－ab 2D.ab 2答案B解析＝2c 3a ·3a （ab 2）14－2c＝－4ab 2.故选B.2．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为()A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案D解析∵a 2－a ＋2＋74>1，∴－x －1<2x ＋5，∴x >－2.故选D.3．(2024·滁州模拟)函数f (x )＝x a －2与g (x )x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是()A ．a ∈(0，2)B ．a ∈[0，1)C ．a ∈[1，2)D ．a ∈(1，2]答案C解析函数f (x )＝x a －2在(0，＋∞)上单调递减，可得a －2<0，即a <2；函数g (x )x在(0，＋∞)上单调递减，可得0<a4<1，解得0<a <4，若函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减，可得0<a <2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减的一个充分不必要条件是a ∈[1，2)．故选C.4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x (x ＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y (单位：元/千克)近似满足函数关系式y ＝e ax ＋b .若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：32≈1.26，34≈1.59)()A ．30.24元/千克B ．33.84元/千克C ．38.16元/千克D ．42.64元/千克答案C解析由题意可知e 4a ＋b e a ＋b＝e 3a＝2，e a＝32，由e a ＋b ＝24，则e 3a ＋b ＝e a ＋b ·e 2a＝24e 2a ＝24×34≈38.16.故选C.5．(2023·唐山模拟)≤x 的解集是()A.0，12B.12，＋C.0，22 D.22，＋答案B解析在同一坐标系中作出y ，y ＝x 的图象，＝x 得x ＝12，结合图象知，不等式≤x 的解集是12，＋6．(2024·盐城模拟)设函数f (x )＝3x ＋b ，函数f (x )的图象经过第一、三、四象限，则g (b )＝f (b )－f (b －1)的取值范围为()∞∞答案A解析由函数f (x )＝3x ＋b 的图象经过第一、三、四象限，可得b <－1，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)＝3b －3b －1＝3b ＝23·3b <23－1＝29，又因为23·3b >0，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)故选A.7．若关于x x |＋a －2＝0有解，则a 的取值范围是()A ．[0，1)B ．[1，2)C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析x |＋a －2＝0有解等价于2－a x |有解．因为函数y x |的值域为(0，1]，所以0<2－a ≤1，解得1≤a <2.8．(2023·全国甲卷)已知函数f (x )＝e －(x －1)2.记a ＝b ＝c ＝则()A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b答案A解析函数f (x )＝e －(x －1)2是由函数y ＝e u 和u ＝－(x －1)2复合而成的复合函数，y ＝e u 为R 上的增函数，u ＝－(x －1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以c ＝又22＜2－62＜32＜1，所以b ＞c ＞a .故选A.二、多项选择题9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x ＜y ＜0，则f (x )＜f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝0，故A正确；由f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则b ＝2，又a ＋b＝0，则a ＝－2，则f (x )＝－|＋2，其定义域为R ，∵f (－x )＝－|＋2＝f (x )，则f (x )是偶函数，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，x ＋y ＝0，故B 正确；∵f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴当x ＜y ＜0时，f (x )＞f (y )，故C 错误；∵|≤1，∴－2≤－|<0，∴0≤－|＋2＜2，∴f (x )的值域为[0，2)，故D 正确．故选ABD.10．(2023·淄博模拟)关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形答案ACD 解析函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x＋2在定义域内单调递减，所以函数f (x )的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )对称，所以D 正确．故选ACD.11．(2024·武汉质量评估)若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是()A．0<a<b<1B．b<a<0C．1<a<b D．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD.三、填空题12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________．答案0<x<14(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等价于x>2x2，解得0<x<12，使得“2x>4x2”成|0<x|0<x 13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案(－∞，－18]解析设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈1 9，9.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．四、解答题15．已知函数f(x)3(a>0，且a≠1)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(－x)－x)3(－x)3＝1－1a x－1＋－x)3＝3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，则3>0，即1 a x－1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x>1.又x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝3x＋b3x＋1是定义域为R的奇函数．(1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增；(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋32≥ax2－2恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)因为函数f (x )＝3x ＋b 3x＋1是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝1＋b 2＝0，解得b ＝－1，此时f (x )＝3x －13x ＋11－23x ＋1.对任意的x ∈R ，3x ＋1>0，即函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝3x （3－x －1）3x （3－x ＋1）＝1－3x1＋3x＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，符合题意．任取t 1，t 2∈R 且t 1<t 2，则0<3t 1<3t 2，所以f (t 1)－f (t 2)＝2（3t 1－3t 2）（3t 1＋1）（3t 2＋1）<0，则f (t 1)<f (t 2)，所以函数f (x )在R 上单调递增．(2)由(1)可知，函数f (x )在[1，3]上为增函数，对于任意的x 1，x 2∈[1，3]，都有f (x 1)＋32≥a x 2－2，则a x 2－2－32≤f (1)＝12，所以a x 2－2≤2，因为x 2∈[1，3]，所以x 2－2∈[－1，1]．当0<a <1时，则有a －1≤2，解得12≤a <1；当a >1时，则有a ≤2，此时1<a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是12，(1，2]．。
高三数学指数与指函数教案
3.．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：)(a n a a a a a n 个⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：nm a ＝n m a (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：nmnm nm a aa11==-(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质①n m n m a a a +=⋅ ②()n m nm a a ⋅= ()m m m b a ab ⋅= ④n m n m a a a -=÷例1．计算：2．化简(式中各字母均为正数)：二：指数函数的图象与性质 1.定义：函数)1,0(≠>=a a ay x叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域为R.例1：判断下列函数是否是指数函数（1）5x y = （2）x y )5(-= （3）xy 52⋅=（4） 25+=xy （5）25+=x y （6）x y 25=答案：只有（6）是点评：按定义检验，注意(1)自变量的位置(2) a 的范围例2：求下列函数的定义域： （1）442x y -= （2）||2()3x y =2.性质：y ＝a xa ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0,1)x ＜0时，0＜y ＜1x ＜0时，y ＞1.在(－∞，＋∞)上是增函数当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1； 在(－∞，＋∞)上是减函数例3：比较下列各题中两个值的大小：例4.（1）下图是指数函数①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =的图象，判断,,,a b c d1.33.09.07.13和）（35.27.17.11和）（2.01.08.08.02--和）（x y b =x y c =＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫⎝⎛-a 11，课堂双基自测1．(2011·山东)：若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )．A ．0 B.33 C ．1 D. 32．(2012·湖南) 函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值4．(2012·天津) 已知 32121=+-a a ，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________. 作业：一、选择题1．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝5x ＋1 ；B ．y ＝x 4C ．y ＝3－xD ．y ＝2·3x2．函数131-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的值域是( )A ．(－∞，0) ；B ．(0,1]；C ．[1，＋∞) ；D ．(－∞，1]3．已知a ＝30.2，b ＝53，c ＝3－0.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c ；B ．b >a >c ；C ．c >a >b ；D ．b >c >a。
高三数学一轮复习精品教案1：指数与指数函数教学设计
2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论． 『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』 『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』 『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)． 『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。
高考数学一轮复习 指数与指数函数教案
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习指数与指数函数教案负数没有偶次方根两个重要公式．有理数指数幂(1)幂的有关概念在x 轴 . 当x 逐渐增大时逐渐增大时，定义域2、化简)41()3)(2(324132213141-----÷-b a b a b a =24bnD (0a > ( B )6.若,221=+-x x 则=+-33xx 102 。
7. 知函数26112()x x y -+=考试题形式出现，也可能与方程、不等式等知识积结合出现在解答题中。
41(1)-2答案（1）④（2）0＜a＜1,b＜0 (3)1个()()2x上的单f(x)=2^x/(4^x+1)=1/(2^x+1/2^如下图中曲线分别、、比较下列各题中两个值的大小：B.的解析式；C.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
高考数学总复习 指数与指数函数知识梳理教案
指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个 (2)运算法则 ①nm nma a a +=⋅；②()mn nma a =；③()0≠>=-a n m a aa nm n m ，； ④()m m mb a ab =.指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与指数的概念考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为0=. (2)根式的意义与运算法则y y n n =)(⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=考点四、有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.考点五、指数函数 (1)定义：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质：【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值 例1.已知c ba==53，且211=+ba ，求c 的值。
高中指数函数教案模板范文
教学目标：1. 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的基本性质，能够运用指数函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学素养，提高学生的审美情趣。
教学重点：1. 指数函数的定义及性质。
2. 指数函数图像的绘制。
3. 指数函数的应用。
教学难点：1. 指数函数性质的证明。
2. 指数函数图像的绘制与识别。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入1. 复习幂函数的性质，引导学生思考幂函数与指数函数的关系。
2. 提出问题：什么是指数函数？指数函数有哪些性质？二、新课讲解1. 指数函数的定义：形如f(x) = a^x（a > 0，a ≠ 1）的函数叫做指数函数。
2. 指数函数的性质：（1）当a > 1时，函数f(x) = a^x在实数集R上单调递增；（2）当0 < a < 1时，函数f(x) = a^x在实数集R上单调递减；（3）当a = 1时，函数f(x) = a^x在实数集R上恒等于1；（4）当a ≠ 1时，函数f(x) = a^x在实数集R上不存在极值。
3. 指数函数图像的绘制：（1）确定函数的增减性；（2）求出函数的零点；（3）求出函数的拐点；（4）根据函数的增减性和拐点，绘制函数图像。
三、课堂练习1. 练习一：判断下列函数是否为指数函数。
2. 练习二：求下列函数的零点、极值和拐点。
3. 练习三：绘制下列函数的图像。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结指数函数的定义、性质和图像绘制方法。
2. 强调指数函数在实际生活中的应用。
五、布置作业1. 完成课后练习题。
2. 预习下一节课内容。
教学反思：本节课通过引入幂函数，引导学生理解指数函数的概念，并通过观察、分析、归纳等方法，使学生掌握指数函数的基本性质。
在课堂练习环节，通过实际操作，使学生能够熟练地绘制指数函数图像。
指数函数复习课教案
指数函数复习课教案
教学目标
- 理解指数函数的概念和性质
- 学会利用对数将指数方程、指数不等式转换为对数方程、对数不等式，并解决相关问题
- 学会运用指数函数及其图像的相关知识对实际问题进行分析和解决
教学内容
1. 指数函数的概念及性质
2. 对数函数的概念及性质
3. 指数方程与对数方程的互相转化
4. 指数不等式与对数不等式的互相转化
5. 指数函数的图像及其变换
教学过程
1. 引入
通过一个生活实例（比如：化学反应速率和温度关系）引出指数函数。
2. 概念及性质
讲解指数函数的概念、幂次、指数律等知识点，并通过例题进行巩固。
3. 对数函数的概念及性质
引出对数概念，阐述其定义、性质及基本公式。
4. 指数、对数方程及不等式的互相转化
区分指数方程和指数不等式的概念，详细讲解其解题方法，然后引入对数方程及对数不等式的概念及解题方法。
5. 指数函数的图像及其变换
通过绘制指数函数图像和对数函数图像，引导学生研究图像的基本性质及变换。
6. 练
通过一些例题进行巩固，然后引导学生自主练，及时互相讨论和总结。
教学评估方式
通过课堂练和测试考察学生是否掌握了指数函数的相关知识点，并评估学生的思维能力和综合素质。
教学反思
教学中，应重视在引入实例和概念时切实增强学生的兴趣和吸
引力，同时让学生灵活运用知识点解决实际问题，并在练习和测试
中及时总结和反馈，以提高教学效果。
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第二章 指数函数与对数函数及函数的应用一、知识网络二、课标要求和最新考纲要求1、指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。
4、函数与方程（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
（2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.5、函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
（3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
三、命题走向函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。
从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。
为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
预测20XX年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。
同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。
第一节 指数与指数函数一、复习目标:1、理解和掌握有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质；2、综合运用指数函数的图像与性质解决问题。
二、重难点：重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质。
难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程 （一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。
学生阅读复资P17教师讲评，增强目标与参与意识。
（二）、知识梳理整合，方法定位。
（学生完成复资P17填空题，教师准对问题讲评）1、分数指数幂：（1）、根式：如果),1(*∈>=N n n a x n ，那么x 称为a 的n 次实数方根；式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
方根的性质：当n 为奇数时，n n a =a.当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a a a a（2）、分数指数幂：①分数指数幂的意义:a nm=nma ，anm -=nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）。
②有理数指数幂的性质：),,0,0()(;)(;Q s R r b a b a ab a a a a a rr r rs s r s r s r ∈∈>>===⋅+2、指数函数的图像及性质的应用 ①指数函数的定义：一般地，函数y=xa（a ＞0且a≠1）叫做指数函数.②指数函数的图像Oxa > ）1y(0a③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称.④指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1。
当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数。
画指数函数y=xa（a ＞0且a≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x轴是其渐近线。
⑤幂指值的大小比较的方法：3、重难点问题探析：（1）、指数型函数单调性的判断，方法主要有两种：①利用单调性的定义（可以作差，也可以作商）；②利用复合函数的单调性判断形如)(x f a y =的函数的单调性：若1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调增（减）区间；若10<<a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调减（增）区间；（2）、指数函数的图像与性质(Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对应关系为 （1）y=xa，（2）y=xb，（3）y=xc，（4）y=xd则b a dc <<<<<10。
在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(Ⅱ) 指数函数的图像x a y =与)1,0(≠>=-a a a y x的图象关于y 轴对称 （3）、指数型的方程和不等式的解法(Ⅰ)形如b a b a b a x f x f x f <>=)()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；(Ⅱ)形如02=++C Ba a xx 或)0(02≤≥++C Ba ax x的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。
（三）、基础巩固训练1、与函数()2xf x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为()g x ，则1()2g 的值为 （ ）。
A；B ．1；C ．12；D ．1-[解析] D ；依题意得x x g 2log )(=，所以12log )21(12-==-g 。
2、已知函数()21,x f x a b c=-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是（ ）。
A ．0,0,0a b c <<<；B ．0,0,0a b c <≥>；C ．22ac -<；D ．222a c +<。
[解析] D ；由函数12)(-=x x f 的图象及c b a <<和()()()f a f c f b >>知10,0<<<c a ，所以12<a ，12<c ，从而222a c +<3、 函数()10<<=a xxa y x[解析] D ；当0>x 时，xxa xxa y ==，又10<<a ，可排除A 、C ；当0<x 时，xx a xxa y -==，又10<<a ，可排除B4、不等式224122x x +-≤的解集为 。
[解析] 13≤≤-x ； 不等式224122xx +-≤即为142222--+≤x x ，由函数xy 2=的单调性得1422-≤-+x x ，解得13≤≤-x 。
5、函数()x bf x a-=的图象如右图，其中a,b 为常数，则下列结论正确的是（ ）。
6、若关于x 的方程()251x -+－4·（5－|x+1|）－m=0有实根，求m 的取值范围。
[解析]设y=5－|x+1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程2y－4y －m=0在（0，1］有实根.设f （y ）=2y－4y －m ，其对称轴y=2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0。
7、已知函数c bx x x f ++=2)(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，试比较)(x b f 与)(xc f 的大小。
xo[解析](1)(1)f x f x -+=--，∴()f x 关于1x =-对称，∴2b =，又 (0)3f c ==，∴当0x >时，1x x b c <<，∴)(x b f ＜)(x c f ； 当0x <时，01x x c b <<<，∴)(x b f ＞)(x c f 8、（08安徽卷11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有（ D ） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<(四)、小结：本课主要复习了有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质。
要求大家理解和掌握重点概念与方法，并能综合运用指数函数的图像与性质解决问题。
（五）、作业布置：课本P68A 组中4 B 组中5 课本P76A 组中3 、5 B 组中1、6课外练习：复资P17中1、2、3、4 随堂训练中2、3、4、6五、教学反思：。