初一下数学讲义 -平方根(提高)知识讲解

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北师版七年级数学下同步经典讲义(最新版;可直接打印)

第1讲幂的运算

知识点1 同底数幂的乘法

1．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

（m ，n 是正整数）

（2）推广：（m ，n ，p 都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

【典例】

1.如果a 2n﹣1•a n+2=a 7，则n 的值是____

【方法总结】

本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m 的值．

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同底数幂的乘法

幂的乘方幂的运算积的乘方

同底数幂的除法

m n m n a a a +⋅=m n p m n p a a a a ++⋅⋅=3252()322a b ()422a b ()2x y -()3x y -a

【随堂练习】

1.若（a﹣b）•（a﹣b）3•（a﹣b）m=（a﹣b）11，则m的值为____

【典例】

1.已知a m=3，a n=6，a k=4，求a m+n+k的值．

【方法总结】

本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将a m+n+k变形为a m•a n•a k，然后将a m=3，a n=6，a k=4，代入a m•a n•a k，求解即可．

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳(新)上课讲义

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳

(新)

第一章：整式的运算单项式

整式

多项式

同底数幂的乘法

幂的乘方

积的乘方

幂运算同底数幂的除法

零指数幂

负指数幂

整式的加减

单项式与单项式相乘

单项式与多项式相乘

整式的乘法多项式与多项式相乘

整式运算平方差公式

完全平方公式

单项式除以单项式

整式的除法

多项式除以单项式

一、单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

七年级(下)数学同步讲义实数的概念及数的开方 (解析版)

知识点1：实数的概念

1、无限不循环的小数叫做无理数．

注意：

1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．

如2、π、0.101001000100001

等这样的数叫做正无理数；

2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；

只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．

实数、数的开方

知识结构

模块一实数的概念和分类

知识精讲

3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类

⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭

⎪

→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数

实数分数无理数无限不循环小数

（2）按性质符号分类

0⎧⎧⎪⎨

⎩⎪

⎪⎨⎪

⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数

【例1】写出下列各数中的无理数：

3.1415926，2

π，16，.0.5，0，2

3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），

0.2121121112．

【答案】2π

、0.1313313331…．

【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．

【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．

（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．

（）（3）带根号的数都是无理数．

（）（4）不带根号的数一定不是无理数．

（

）

【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．

【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．

人教版初中数学讲义

初中数学定理、公式

一、数与代数

1．数与式

（1）实数

实数的性质：

①实数a 的相反数是—a ，实数a 的倒数是

1（a ≠0）； ②实数a 的绝对值： ⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a

③正数大于0，负数小于0，两个负实数，绝对值大的反而小。

二次根式：

①积与商的方根的运算性质：

b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）；

b a b a =（a ≥0，b ＞0）；

②二次根式的性质：

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2

a a a a a a （2）整式与分式

①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a

a a +=⋅（m 、n 为正整数）；

②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a

a a -=÷（a ≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；

③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）； ④零指数：10=a （a ≠0）； ⑤负整数指数：n

n a a 1=-（a ≠0，n 为正整数）； ⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即22))((b a b a b a -=-+；

⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±；

分式

①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即m b m a b a ⨯⨯=；m

初中七年级下册数学讲义第2讲-实数的表示与开方(上体馆)

1对3辅导讲义

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期

时间

主题

第2讲-实数的表示与开方

学习目标

1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；

4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。

教学内容

1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 3

2. 若，则___________. 1±

3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±

4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。 0、1、-1

知识点一、立方根与开立方

问题：什么是立方根？什么是开立方运算？

x 2

1=x 3

回顾：立方根和开立方的性质有哪些？

1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；

2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根；可以用具体的例子引导学生总结

3. ()

3a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）

3a a -=-.

例1. 下面说法正确的是（）

A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数

B ．负数没有立方根

C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根

D ．一个数的立方根与被开方数同号例2.

(2)-的值是 .

例3. 立方根等于本身的数是，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1；试一试：

1.64的平方根是，64的立方根是 .

人教版七年级下册数学总复习讲义

第五章相交线与平行线

1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。

2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截：

同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）

内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）

同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）

4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足

6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7、垂线段最短。

8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c

10、平行线的判定：

①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。

11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

12、平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________

14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。

初一人教版必备数学精讲讲义

一、整数与分数

1. 整数的概念及表示

整数是由自然数、零和负数组成的数集，表示为Z。

2. 整数的运算

2.1 加法

整数加法的运算规则：同号相加，异号相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。

2.2 减法

整数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

2.3 乘法

整数乘法的运算规则：同号相乘得正，异号相乘得负。

2.4 除法

整数除法的运算规则：同号相除得正，异号相除得负。

3. 分数的概念及表示

分数是表示整体中的一部分的数，由分子和分母组成，表示为a/b （b≠0）。

4. 分数的运算

4.1 加法和减法

分数的加法和减法运算规则：将分数转化为相同分母后，对分子进行加或减。

4.2 乘法

分数的乘法运算规则：将两个分数的分子和分母分别相乘。

4.3 除法

分数的除法运算规则：将除法转化为乘法，将除数的倒数作为乘法的因数。

二、代数式与方程

1. 代数式的概念及表示

代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，可以表示数或量。

2. 代数式的运算

2.1 合并同类项

合并同类项是将具有相同字母变量的项进行加减运算。

2.2 提取公因式

提取公因式是将代数式中的公共因子提取出来。

2.3 展开式和因式

展开式是将乘积式或幂式展开为加减式；因式是将加减式写成

乘积式或幂式的形式。

3. 方程的概念及解法

方程是含有未知数的等式，通过求解未知数的值来满足等式成立。

4. 一元一次方程

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x

为未知数。

5. 一元一次方程的解法

5.1 用逆运算法解方程

根据一元一次方程的定义，通过逆运算法求解方程。

初一数学讲义

一、前言

数学是一门重要的学科，在初中阶段，学习数学对学生的综合素质提高非常有帮助。

本讲义旨在介绍初一数学的主要知识点和解题方法，希望能够帮助大家更好地掌握数学知识。

二、数学基础

1.数的概念：数是人们用来表示数量的概念，包括自然数、整数、有理数、无理数和

复数等。

2.数的运算：数的加、减、乘、除四种基本运算，可以通过运算法则来简化运算过程。在初中阶段，还会学习指数、根号等运算。

3.数形结合：数学知识和几何图形的结合，如图形的面积、体积等的计算。可以通过

具体的图形进行实际计算。

三、初一数学知识点

1.代数基础

代数学是数学领域内的一个关键分支，它使用字母和符号来表示数字和算式，以便更

方便地表示问题和计算。在初一阶段，代数基础包括如下内容：

1）字母代数和变量

代数中使用字母代表某些数量，这些数量可以是实数、复数、向量等等，被称为字母

代数。而字母代数用来代表未知数就是变量。

2）算式

代数中的算式是指由数字、字母、常数和运算符号构成的表达式，如3x+5是一个算式，其中3、5、x均为常数或变量。

3）方程

方程是代数中经典的内容，它是指由一个或多个未知数和等号构成的关系式，如

x+y=3是一个方程。求解方程能够得到未知数的具体取值。

2.分数

分数是初中数学中重要的一个知识点，它是用分数线将一个整体分成若干个部分，取

其中的若干部分，表示为a/b的形式。其中，a被称为分子，b被称为分母。

3.比例

比例是初中数学中重要的一个知识点，它是指两个量的相对关系，如a:b=c:d。在比

例中，a被称为第一个比例项，b被称为第二个比例项，c被称为第三个比例项，d被称为

七年级下数学讲义-全下册100页

③同垂直于一条直线的两直线平行；④同旁内角相等，两直线平行.
其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列图形中，由，能得到的是（）
3.如图，AB//CD//EF,∠ABE=38°，∠BCD=100°,则∠BEC=（）
A.42°B.32°C.62°D.38°
4.如图，直线EF分别与直线AB．CD相交于点G．H，已知∠1=∠2=90°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3=（）
又∵∠1＝∠2，()
∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，
即∠MEP＝∠______( )
∴EP∥_____．（）
13.如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
14.如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF平分∠EOD，试说明AB∥CD．
15.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
16.如图，有一条河流，两岸是平行的，当小船行驶到E点时与两岸码头B、D成75°角，当小船行驶到点F时，看FB、FD时，恰有∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么此时点F与码头B、D所成的角∠BFD是多少度？
讲义02平行线的证明
A.24=180B.38=180C.56=180D.78=180
4.如图，如果AC BC,CD AB,∠1=∠2，那么：①∠1=∠B;②∠A=∠B;③AC//DE;④∠2与∠A互余；⑤∠2=∠A;⑥A,C两点的距离是线段AC的长。这六个结论中，正确的个数是（）

七年级下册数学讲义

第一讲同底数幂的乘法 (1)

第二讲幂的乘方与积的乘方 (5)

第三讲同底数幂的除法 (9)

第四讲整式的乘法 (13)

第五讲平方差公式（1） (18)

第六讲平方差公式（2） (22)

第七讲完全平方式(1) (26)

第八讲完全平方式(2) (29)

第九讲整式的除法 (33)

第十讲单元测试 (37)

第十一讲两条直线的位置关系 (41)

第十二讲平行线的性质 (47)

第十三讲平行线的判定(1) (52)

第十四讲平行线的判定(2) (57)

第十五讲本章复习 (61)

第十六讲用表格表示的变量间关系 (66)

第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)

第一讲同底数幂的乘法

1. 同底数幂的乘法性质：a m ⋅ a n = a m +n (其中 m ,

n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，

指数相加.

⎛ 1 ⎫3 ⎛ 1 ⎫4

例 1. 计算：（1） - ⎪ ⎝ 2 ⎭ • - ⎪

⎝ 2 ⎭

（2） a 2 • a • a

（3） - a 2

• (- a )3

（4）

⨯ 27 ⨯ 81

2. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

例 2.

计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x )

(2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )3

3. 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m ⋅ a n ⋅ a p = a m +n + p

（ m , n , p 都是正整数）.

例 3.

计算：（1） (- 2)2

沪教版七年级数学下册同步精品讲义

实数的概念

课时目标

1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；

2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；

3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.

知识精要

1. 无理数的定义

无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类

⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪

⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数

负无理数

4. 平方根的定义

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即

2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.

5. 平方根的性质与表示

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.

（2）正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示的正平方根，叫做

a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a -a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.

7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.

8. 常见的无理数有三种类型：第一类：π型：如π，π+2，…；

；第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义

如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数；（2）负数的立方根是一个负数；（3）0的立方根是0．

人教版七年级下册数学讲义知识点归纳

第五章相交线与平行线

一、相交线两条直线相交，形成4个角。

1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠一、∠2。

2．对顶角：两个角有一个公共极点，而且一个角的两条

边，别离是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种

关系的两个角，互为对顶角。如：∠一、∠3。

3．对顶角相等。

二、垂线

1．垂直：若是两条直线相交成直角，那么这两条直线相互垂直。2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。

4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。

1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。

2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的双侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。

3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，

具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。

四、平行线

(一) 平行线

1.平行：两条直线不相交。相互平行的两条直线，互为平行线。a∥b （在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。）

2．平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线相互平行。

第4讲完全平方公式七年级数学下册同步精品讲义

第4讲完全平方公式

1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.

知识点

一、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2

2a ab b a b ++=+，()2

2a ab b a b -+=-.

形如222a ab b ++，22

2a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【知识拓展1】完全平方公式

1．（2021秋•白云区期末）计算：9992＝．

2、下列各式是完全平方式的是（

）．

知识精讲

目标导航

A ．4

12+

-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x

七年级下数学讲义-全下册100页

A.24=180B.38=180C.56=180D.78=180
4.如图，如果AC BC,CD AB,∠1=∠2，那么：①∠1=∠B;②∠A=∠B;③AC//DE;④∠2与∠A互余；⑤∠2=∠A;⑥A,C两点的距离是线段AC的长。这六个结论中，正确的个数是（）
A.3B.4 C.5 D.6
5.已知如图2，边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）．
18.已知：如图AC∥DE,CD∥EF,CD平分∠ACB.求证：（1）∠DCB=∠CDE.(2)EF平分∠DEB.
19.如图，已知AB∥CD,∠EAF= , ,求证： .
20.如图，∠B=∠C，AB∥EF证明：∠BGF=∠C
21.如图，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．
22.已知：如图,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.
①两个锐角之和一定是钝角;②直角小于夹角;③同位角相等，两直线平行;
④内错角互补，两直线平行;⑤如果a<b，b<c，那么a<c.
A．1个B．2个C．3个D．4个
7.下列命题：①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；
③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数.
其中假命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

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