第六章弯曲应力
材料力学第6章-弯曲应力
中性轴与最大弯曲正应力
例题
单辉祖,材料力学教程
44
弯曲正应力分析
非对称弯曲
双对称截面梁 非对称弯曲
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非对称截面梁 非对称弯曲
45
弯曲正应力分析
利用叠加法分 析内力与应力
M yz Mz y Iy Iz
矢量沿坐标轴正 向的弯矩M为正
弯曲正应力沿横截面线性分布
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17
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18
例 2-2 已知：钢带厚 d = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 max 与 M
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19
§3 对称弯曲切应力
矩形截面梁的弯曲切应力
薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题
M max Fl 6Fl 2 2 Wz bh bh 6 3F 3 F max S 2 A 2 bh
max 6Fl 2bh l 2 4 max bh 3F h
当 l >> h 时，max >> max
单辉祖,材料力学教程 27
例 题
例 3-1 FS = 15 kN, Iz = 8.8410-6 m4, b = 120 mm, d 20 mm, yC = 45 mm。试求: max ；腹板与翼缘 交接处切应力 a
13 第六章 弯曲应力
20
第 章 弯曲应力
其它截面内不同方向的最大弯曲切应力之比
21
第 章 弯曲应力
课后思考问题
σc,max
o τ
σt,max
y
判断题 最大 应力位于中性轴处 核 or √
22
第 章 弯曲应力
§6-5 梁的合理强度设计
M My 依据 σ = , σ= W Iz
FS S z (ω ) τ= I zδ
基本相同的较高应力
A Wz
№12.6 满足强度要求 否则修改设计 什么可按弯曲强度 行初 设计
44
第 章 弯曲应力
作业： 作业：6-19, 6-29
45
第 章 弯曲应力
谢谢
46
总结 思考
材料力学中弯曲切应力的推导基于某 些假设基础之上 尽管该推导在严密 性方面有一定瑕疵 但对于细长的 高度大于宽度的大多数工程梁问题 材料力学解答具有较高的精度
16
第 章 弯曲应力
总结 思考
D.J Jourawski (1821 1891)是俄国桥梁与铁路工程 师 发展了现在 泛应用的梁的剪切近似理论 尽管 Saint Venant已经提出梁中剪应力的精确理论 但其 仅用于很少几种实际情况 因此看来 Todhunter与 Pearson在第642页中对Jourawski提出极其苛刻的评语 是不公平的 ————Timoshenko
第六章 弯曲应力(FS)
直
接代入公式 z
yt max
y
My Iz
求得相应的最大正应力
( Stresses in Beams)
最大拉应力
σ
t max
My I
σ c max
t max
Z
最大压应力
ycmax
M
z
σ
c max
My I
c max
yt max
y
Z
σ t max
( Stresses in Beams)
§6–3 横力弯曲时的正应力
§6–1 纯弯曲（pure bending)
A
简支梁 CD 段任一横截 面上，剪力等于零，而弯 矩为常量，
P
P
P B
C
a
D
a
若梁在某段内各横截面的
+
P P. a
弯矩为常量 ，剪力为零，
则该段梁的弯曲就称为
纯弯曲(pure bending)。
+ 图 5-1
( Stresses in Beams)
纯弯曲工程实例
Neutral axis
( neutral axis).
Neutral surface
Symmetrical axis of Cross Section
( Stresses in Beams)
第6章 弯曲应力
§6-3 弯曲切应力
M Fs σ τ
F
F
l a
a FS
M F
F
x
推导思路：近似方法
x
不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程
分离体的平衡 横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
一、矩形截面梁
F1
F2 m n
x m n dx
q(x) h
b z
m'
z
h
n'
m O n M(x)+d M(x) x FS(x) z
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
y
2、翼缘上的切应力 方向沿翼缘侧边，计算表明， 工字形截面梁的腹板承担的剪 力
d h
O
FS1 d A 0.9 FS
A1
y b
可见翼缘上的切应力很小，工程上一般不考虑。
y
四、弯曲正应力和弯曲切应力比较 b Fhh z l y
材料力学第6章 弯曲应力
z
y
σ dA
y
σ
y
施工工艺 美观等
材料力学
第6章 弯曲应力
4 4 一槽形截面铸铁外伸梁受荷如图所示，已知 b =2 m ， I 5493 10 mm z 例题2 [ t ] 30MPa， [ c ] 90MPa，试求[F ].
A B C
b）圆形 Wz 2 2.336 105 mm3 2max 128.42MPa 3m 3m c）工字形 Wz3 20.80 105 mm3 3max 14.42MPa M 优越性：工字形＞矩形＞圆形 （kN.m） 应力分布规律角度 30 相同的微面积dA离中性轴远， 大； 讨论： 何者更安全？ 微内力 dA离中性轴远，力臂y大. Wz1＞Wz 2＞Wz 3 解释太简单！ 矩形立＞矩形扁 σ z 工立＞工扁
由变形的连续性可知， 变形现象 在梁的中间，必有一层纤 （1）平面假设： 横截面在变形后仍 维既不伸长，也不缩短。 为平面，且仍与弯曲后的轴线正交； 该层称为中性层。上部为 （2）单向受力假设：假设梁由纵向 压缩区，下部为拉伸区. 线段组成，各纵向纤维之间互不挤压， 中性层与横截面的交线 即每根纤维受单向拉伸或单向压缩。 称为中性轴. 两点假设
另外三个方程
（1） Fx 0
dA
A
wenku.baidu.com
A
弯曲应力
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：
1 M ( x) ( x) EI
正应力计算公式为
M ( x) ( x) y I
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
弯曲正应力强度条件：
M max max [ ] Wz
可解决三方面问题：
Tension
:中性层的 曲率半径，
曲率中心
d
M
C’ A’ D’ y B’
M
y:任意纵向纤 维至中性层的 距离
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 纵向纤维CD: 变形前 变形后
CD AB dx d C D ( y)d
所以纵向纤维CD的应变为:
y CD ( y )d d yd dx d CD
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h b
y z
h y b h2 h * * 2 ] ( y2 ) Sz A yc b( y ) [ y 2 2 2 4
材料力学
弯曲应力/弯曲时的剪应力 而
1 3 I z bh 12
6 FQ h 2 ( y2 ) bh3 4
）。
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又
理论力学 第六章 弯曲应力
左上右下为正
弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面形心的力矩代数和
左顺右逆为正
•掌握这个规律后，可以根据截面左侧（或右侧） •梁上外力，来直接求出指定截面上的剪力与弯矩。
如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
解：1.求支座反力
0, FA FB F 0 l M A ( F ) 0, FB l F 3 0 2 1 得 FA F , FB F 3 3
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪
力值是没有意义的。
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx qlx qx 2 M x 2 2
FS,max
ql 2
M max
M
l/2
ql 8
2
由剪力图与弯矩图可知，在靠近、支座的横截面上剪力的绝对值最大， 在梁的中央截面上，剪力为0，弯矩最大
ql2 8
例6.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
材料力学第六章弯曲应力
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数
(1) 矩形截面
Iz
y2 d A
A
h 2 by2 d y bh3
h 2
12
Wz
Iz h
bh2 6
2
I y
z2 d A
A
b 2 hz2 d z b3h
n
Ix
I
，
xi
i 1
d2
n
I y
I
，
yi
i 1
n
I xy I xyi i 1
y2
h
y1
d1
x Ox
y b
例题6-2 试求图a所示截面 对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴的 惯性矩Iy ，以及对于x，y轴的惯 性积Ixy 。
(a)
解：将截面看作由一个矩形和两个半圆 形组成，半圆形的形心位置如图b所示。
d1
y b
1. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I xC yC ，现需导出该截面对于 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。 截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为 x b和y a。
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
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例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
材料力学
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第6章 弯曲应力
第6章弯曲应力
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6.1纯弯曲与横力弯曲 前一章的研究表明，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。弯矩M 是垂直于横截面的内力系的合力偶矩，剪力Q是切于横截面的内力系的合力 。也就是说，横截面上只有与正应力有关的法向内力元素dFN=σ dA才能合成 为弯矩，而与剪应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成为剪力。所以，在 梁的横截面上，一般是既有正应力又有剪应力。弯矩只与横截面上的正应力 有关，剪力只与剪应力有关。
第六章_弯曲应力
= y sinθ + z cosθ
y1 H B
y A C D G
θ
z1
O
θ
F
E
z
z1 = GD+ z cosθ = FE + z cosθ
[思考 能否用复数推导? 思考] 能否用复数推导? 思考 C1,C 为复数(Complex number), 为虚单位 为复数( ),i为虚单位 ),
16
纯弯中,纵向线应变为: 纯弯中,纵向线应变为: ε 线应变为
=
y
ρ
1/ ρ 为曲率
在纯弯中, 在纯弯中,纵向线应变沿截面高度线性正负分布
17
物理关系的运用
为了从这个梁横截面应变分布得到正应力分布规 为了从这个梁横截面应变分布得到正应力分布规 梁横截面应变分布得到正应力分布 律,根据胡克定律
σ = Eε =
35
创造的机遇——提出问题:因为角度对应坐标系, 提出问题:因为角度对应坐标系 角度对应坐标系, 创造的机遇 提出问题 在哪个坐标系中,惯性矩为极大( 或极小)? 在哪个坐标系中,惯性矩为极大( 或极小)? 意义——对于给定的截面,选择坐标系使惯性矩 对于给定的截面,选择坐标系使惯性矩 意义 对于给定的截面 最大(抵抗弯曲的能力最强),避免惯性矩最小 最大(抵抗弯曲的能力最强),避免惯性矩最小 ),避免
材料力学-弯曲应力
材 料 力 学
Mechanics of Materials
变形几何关系
材 料 力 学
Mechanics of Materials
横截面上的正应力
变形几何关系 纯弯曲试验及变形观察(表 纯弯曲试验及变形观察 表)
纵向线aa， 纵向线 ，oo ，bb变为弧线 变为弧线 a´ a´ ， o´ o´ ， b´ b´ – a´a´ < aa ， oo = o´o´， bb<b´b´ – 横向线 横向线mm, nn 仍然为直线，并 仍然为直线， 且垂直于a 且垂直于 ´a´ ， o´o´，b´b´ – 矩形截面上部变宽，下部变窄 矩形截面上部变宽，
惯性矩、 惯性矩、惯性半径
y
z
iy =
dA
y
Iy A
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 y 轴的惯性半径 z
O
iz =
Iz A
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 z 轴的惯性半径
材 料 力 学
Mechanics of Materials
已知：圆截面直径 已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
dx
材 料 力 学
Mechanics of Materials
到 中 性 层 的 距 离 成 正 比 它 与 变 应 线 的 维 纤 向 纵
即
b b − bb ( ρ + y)dθ − dx ( ρ + y)dθ − ρdθ y ε= = = = dx ρdθ ρ bb
第六章 弯曲应力
F+dF
A
e1
dy* 1'
t' t y
第六章
x dx
弯曲应力
2 FS+dFs
1
FS M m
M+dM
t' n F+dF
A
MS z ( ) M FN 1 s dA y dA I z Iz ( M dM ) S z ( ) FN 2 Iz
F
1
2
FN 2 FN 1 t dxb
第六章
弯曲应力
例6-3 梁截面如图6-19a所示,剪力FS=15kN,并位于梁的x-y 平面内。试计算该截面的最大弯曲切应力,以及腹板与翼缘 交接处的弯曲切应力。截面的惯性矩Iz=8.84x10-6m4。
解：1、最大弯曲切应力 中性轴一侧的部分截面对中性轴的静 矩为：
(0.020 0.120 0.045) 2 0.020 S Z ,max 2 9.03 10 5 m3
2
t max
3 Fs 1.5t 2 bh
t 方向：平行于横截面上剪力或截面侧边； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
在横截面上下边缘处切应力为0、在中性轴处剪应力 最大。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
第六章 弯曲应力 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同；剪应力的计算公式亦为：
第六章 - 弯曲应力
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
y z
o
dA
mn dx
Mzy Iz
max
Mz Wz
M
max
M x max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离 IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
2 梁的正应力强度条件
103 44MPa
如果T截面倒置会如何???
Hale Waihona Puke Baidu
例题
A
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁
的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力 和压缩许用应力分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核
梁的强度是否安全。
y
F
B
C
150
50
2F
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
第六章弯曲应力
yC
Ai y i
A 12 12
AI y AII y I II AI AII 3cm
12 5 12 1
即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
（2）求各组合部分对中性 轴z的惯性矩
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的 距离分别为： a CC 2cm , a CC 2cm I I II II
h 2 h 2
3
bh
3
12
Iz
bh 3 12
WZ
IZ y max
bh 6
2
圆形与圆环截面
Ip
2 dA
A
D 4
32
I P dA
2 A
( y z )dA
2 2 A
空心圆
y dA z dA I z I y
2 2 A A
Iz Iy
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm 4
例 图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15 kN作用，试计 算截面B—B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
解:1.确定截面形心位置 选参考坐标系Oyz’如图所示，并将截面B分解为矩形1 和2两部分，则截面形心C的纵坐标为
理论力学 第六章 弯曲应力
受Байду номын сангаас构件的简化 梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
吊车大梁简化实例
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
非均匀分布载荷
梁支座类型与支座反力
a)滑(活)动铰支座 b)固定铰支座
c)固定端
MR
FRx
FRx
FRy
FR
FRy
二、载荷的简化
(a)集中荷载
q
M
RA
NB
弯曲实例 起重机大梁
1
镗刀杆
车削工件
火车轮轴
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内 ，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向 对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠 曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯 曲。
左上右下为正
弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面形心的力矩代数和
左顺右逆为正
•掌握这个规律后，可以根据截面左侧（或右侧） •梁上外力，来直接求出指定截面上的剪力与弯矩。
如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
解：1.求支座反力
材料力学-弯曲应力
80 20 422
201203 20120 282 12
7.64106 m4
y
27
6-2 正应力公式的推广 强度条件
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
t,max
4103 52103 7.64106
27.2106 Pa 27.2MPa t
解： 1确定梁的危险截面
FAy M(kN.m)
o
q 2
4
x 4
2
2
（+）
4 x2 4
（-） q x2 2
设BC 段为x，由∑MB=0 有
2FAy
1 2
qx2
2q
得
FAy
q 4
4 x2
x 设A点向右为x1,则
M x1
q 4
4 x2
x1
q 2
IZ y max
空心矩形截面
圆截面 空心圆截面
矩形截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3
32
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
bh3 IZ 12
WZ
bh2 6
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第六章 弯曲应力
1 基本概念及知识要点
1.1 基本概念
纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。
1.2 平面弯曲
工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。
外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。
1.3 弯曲正应力
梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式
z
I My
=
σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。
1.4 弯曲切应力
弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式
*
z
z
F S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的
宽度；*
z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。
1.5 弯曲强度条件
1 正应力强度条件
弯曲正应力是影响梁强度的主要因素，对梁（等截面梁）的强度计算主要是满足正应力强度条件
][max
max σσ≤=
z
W M 式中max
y I W z
z =
称为横截面的抗弯截面系数。 对于塑性材料，其抗拉和抗压能力相等，通常将梁设计为与中性轴对称的形状，强度条件为
][max
max σσ≤=
z
W M 对于脆性材料，其抗压能力远超过抗拉能力。通常将梁设计为与中性轴不对称的形状，使中性轴偏向受拉一侧（请读者思考为什么？）。强度条件为
max 1
max []z M y I σσ=≤t t max 2
max []z
M y I σσ=
≤c c 2 切应力强度条件
对薄壁截面（例如工字型、槽型等）梁，有时需要校核弯曲切应力强度条件
*
max max ()[]z z
F S bI ττ=≤s
max τ一般发生在中性轴处，因此max *
)(z S 为中性轴以下（或以上）面积对中性轴的静矩。
1.6 弯曲中心的概念
当横向力作用平面平行于开口薄壁杆件的形心主惯性平面且通过某一特定点时，杆件只发生弯曲变形而不发生扭转变形，这一点称为开口薄壁杆件的弯曲中心。弯曲中心只与截面的几何形状及尺寸有关，具有对称轴的截面的弯曲中心必然在对称轴上。
2 重点与难点及解析方法
2.1 弯曲正应力的计算
平面弯曲时，既不伸长也不缩短的轴叫中性轴，中性轴通过截面的形心。横截面上的弯曲正应力呈线性分布，最大弯曲正应力发生在距离中性轴最远的点上。
解析方法：中性轴通过截面的形心的结论，是在轴力为零及材料拉压弹性模量相
等的情况下得出的，否则中性轴将偏移，此时应由轴向力平衡方程求中性轴的位置。
2.2 梁的弯曲强度计算
梁的弯曲强度计算是材料力学的重要问题，应通过大量不同类型的弯曲强度计算熟练掌握。
解析方法：1.根据梁所受载荷及约束力，正确画出梁的剪力图和弯矩图，确定s max F 和
max
M
作用面，即危险截面。
2. 根据截面上的应力分布，判断危险截面上的危险点，即max σ和max τ作用点（注意二者不一定在同一截面，更不在同一点），并计算max σ和max τ数值。 3． 对max σ和max τ作用点分别采用不同的强度条件进行强度计算。
对于细长梁，正应力与切应力相比，正应力对强度的影响是主要的。因此一般只需按正应力进行强度计算。只有当某些受力情形下，个别截面上的剪力较大时，才考虑切应力的强度。
在应用强度条件进行梁的截面设计时，一般先按正应力强度条件选择截面，然后再进行切应力强度校核。
2.3 提高梁弯曲强度的途径
弯曲正应力公式可变形为][][max M W M z =≤σ，式左侧为由载荷引起的最大弯矩；式
右侧为构件的许用弯矩，它与两个因素y W 和][σ有关。所以提高构件的弯曲强度有两种：减小max M ；提高y W 和][σ。
3 典型问题解析
例题6.1：
一铸铁梁的受力如图6－1（a
大弯曲正应力。
解：
1 求约束反力并作内力图
由平衡方程求得 3.5k N A F =R 13.5k N
B F =R 图6－1
作梁的弯矩图如图6－1（c ）所示。
max 5kN m M =⋅，发生在B 截面处。
2 计算截面的几何性质量
（b ）图中y 轴为对称轴。选择截面上边缘为参考坐标轴1z ，确定形心C 的位置。
8020102012080
52mm 802020120
C y ⨯⨯+⨯⨯=
=⨯+⨯
通过形心C 的y 、z 轴为形心主轴，z 为中性轴。求形心主惯性矩z I 。
323264
1
(8020802042)
12
1
(201202012028)7.6410mm 12
z I =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯
3 求梁内的最大正应力
本例由于梁的截面上、下不对称，所以最大正弯矩的作用截面C 和最大负弯矩的作用截面B 均可能是危险截面。最大拉应力发生在C 截面下边缘的各点处，其值为
632max
6
3.510881040.3MPa 7.6410
C z M y I σ--⨯⨯⨯===⨯t 最大压应力发生在B 截面下边缘的各点处，其值为
632max
6
510881057.6MPa 7.6410
B z M y I σ--⨯⨯⨯===⨯c 解题指导：
解此类题的关键是确定危险截面及组合截面的惯性矩。由弯曲内力图确定危险截面，特别注意对于由脆性材料制成的不对称截面梁，最大拉应力与最大压应力的点可能不在同一截面上，应仔细验算弯矩最大截面及弯矩较大截面上的弯曲正应力。
例题6.2：
外伸梁的截面尺寸及受力如图6－2（a ）所示，求梁内最大弯曲正应力。 解：
1．作弯矩图确定危险截面
剪力图、弯矩图分别如图6－2（b ）、（c ）所示，从图6－2（c ）中可得
max 20kN m M =⋅