江苏省苏州市2021届上学期高三年级期中考试数学试卷
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7． 故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0， 当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0， 故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ， 令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ， 令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6， 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例， 当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24， 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π， 令f(x)=0，可得x =5π4，7π4， 又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1， 则y′|x=1=me +1=3，即me =2， 又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400． 故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)， 则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)， 所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2， 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0， 令g(x)=sinπx ， 则y =sinπx −πx ， 因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0， 即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ， 故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......， 所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)， 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)， 上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12， 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)， 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1， 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2， 所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。
2021-2022学年江苏省苏州市七年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州市七年级第一学期期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021B．2021C．D．﹣2．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，为贯彻落实“双减政策”，各地出台了相关措施，据基础教育“双减”工作监测平台数据显示，截至9月22日，全国有10.8万义务教育学校已填报课后服务信息，10.8万用科学记数法可表示为（）A．1.08×104B．1.08×105C．10.8×104D．10.8×1053．下列人或物中，质量最接近1吨的是（）A．1000枚1元硬币B．25名小学生C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车4．下列说法错误的是（）A．﹣的倒数是﹣3B．无限不循环小数叫做无理数C．a2+b2表示a、b两数和的平方D．πr2是2次单项式5．甲、乙、丙三人分一筐梨，准备按3：2：5或1：2：3分配，这两种分法中分得梨一样多的人是（）A．甲B．乙C．丙D．甲和丙6．下列问题情境，不能用加法算式﹣3+10表示的是（）A．数轴上表示﹣3与10的两个点之间的距离B．某日最低气温为﹣3℃，温差为10℃，该日最高气温C．用10元纸币购买3元文具后找回的零钱D．水位先下降3cm，再上升10cm后的水位变化情况7．如图，正方体的6个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得，与字母F相对的是（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母E8．下列图形中，三角形ABC和平行四边形ABDE面积相等的是（）A．②③B．③④C．②③④D．①②③④9．如果|a+3|+（b﹣2）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．﹣2021B．2021C．﹣1D．110．小赵是一位自行车运动爱好者，小赵在一次秋游时的路程与时间变化情况如图所示，从图中可以看出平均车速为每小时10千米的时段是（）A．前3小时B．第3至5小时C．最后1小时D．后3小时二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．2020年我国对“一带一路”沿线国家的直接投资额达八千一百零八亿二千万元，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是亿．12．比较大小（用“＞”“＝”“＜”连接）：﹣（﹣2）﹣|﹣3|．13．写出一个含字母x的代数式，使得当x＝4时，该代数式的值为﹣9，这个代数式可以是．（本题答案不唯一，填一个正确的即可）14．华为是中国大陆首个进入“最佳全球品牌”排行榜单的企业，拥有全球最领先的自动化生产线．如果该自动化生产线在手机电路板上插入1个某种零件的时间为0.01秒，那么1分钟可以插入该种零件个．15．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），则顶点D的位置用数对表示为．16．若m2+mn＝1，n2﹣2mn＝10，则代数式m2+5mn﹣2n2的值为．17．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将﹣2，﹣4，﹣6，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x+y的值为．18．学校举行“请党放心，强国有我”主题朗诵比赛．张老师准备为同学们购买某种奖品，她观察如下价格表后发现，购买奖品的份数越多，每份奖品的平均价格就越便宜．如果以这种方式购买8份奖品，那么总价是元．数量（份）12345总价（元）8.5016.5024.0031.0037.50三、解答题（本大题共10小题，共64分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：72×+72÷1.5．20．计算：23÷（﹣4）2×3.2﹣|1﹣|．21．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣2（﹣ab2+3a2b），其中a＝﹣2，b＝﹣3．22．为庆祝建党一百周年，电影公司举行“学党史，悟初心”有奖观影活动．公司拟从5种观影代金券中挑选3种作为奖品，奖品总价值不超过1000元．5种观影代金券分别是：A券499元/张，B券399元/张，C券299元/张，D券99元/张，E券19元/张．活动设一等奖1名，二等奖5名，三等奖10名．试确定三个等级奖品的名称，并简要说明理由．23．如图，正方形与等腰直角三角形的一边在同一条水平直线上，现保持三角形不动，正方形以2厘米/秒的速度向右匀速运动．（1）在图中画出第8秒时，正方形所在的位置；（2）计算第11秒时，正方形与等腰直角三角形重叠部分的面积．24．如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（1）比较大小：a b，b﹣1（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）化简：|﹣a|+|b﹣a|﹣|a+c|．25．用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串图形．（1）当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为；（2）设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y．①y与x的数量关系为y＝（用含x的代数式表示）；②若某个图形中长方形与三角形个数之和为28，求该图中长方形个数．26．如表是苏州市地铁收费标准：分段乘坐里程（公里）单程票票价10＜里程≤62元26＜里程≤113元311＜里程≤164元416＜里程≤235元523＜里程≤306元6里程20公里以上，每9公里分段加1元备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算．（1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；（2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由．27．规定一种“⊕”运算：a⊕b＝ab+a+b+1，如3⊕4＝3×4+3+4+1＝20．（1）①计算：（﹣5）⊕3＝，3⊕（﹣5）＝；②说明“⊕”运算具有交换律；（2）①计算：（﹣3）⊕（4⊕2）＝，[（﹣3）⊕4]⊕2＝；②由计算结果可得“⊕”运算结合律（填“具有”或“不具有”）．28．【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A 与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为．【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交点表示的数为（用含a，b的代数式表示）．【问题解决】（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为﹣4，点D表示的数为2，如果C，D，E三点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数．参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021B．2021C．D．﹣【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．解：﹣2021的绝对值为2021，故选：B．2．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，为贯彻落实“双减政策”，各地出台了相关措施，据基础教育“双减”工作监测平台数据显示，截至9月22日，全国有10.8万义务教育学校已填报课后服务信息，10.8万用科学记数法可表示为（）A．1.08×104B．1.08×105C．10.8×104D．10.8×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：10.8万＝108000＝1.08×105．故选：B．3．下列人或物中，质量最接近1吨的是（）A．1000枚1元硬币B．25名小学生C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车【分析】质量单位有：吨、千克、克，本题中结合实际情况选择合适的计量单位即可判断出答案．例如：1名六年级的学生大约重40kg，求出25名学生的重量；1个鸡蛋大约50g，求出5000个鸡蛋的重量等等．解：1吨＝1000千克，A、1元硬币1个大约6g，1000×6g＝6000g＝6kg，故此选项不符合题意；B、六年级的学生体重大约40kg，25×40kg＝1000kg，故此选项符合题意；C、1个鸡蛋大约50g，5000×50g＝250000g＝250kg，故此选项不符合题意；D、1辆家用轿车大约2000kg，10×2000kg＝20000kg，故此选项不符合题意．故选：B．4．下列说法错误的是（）A．﹣的倒数是﹣3B．无限不循环小数叫做无理数C．a2+b2表示a、b两数和的平方D．πr2是2次单项式【分析】根据倒数、无理数、代数式表示的意义与单项式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．解：A、﹣的倒数是﹣3，正确，不符合题意；B、无限不循环小数叫做无理数，正确，不符合题意；C、a2+b2表示a、b两数的平方和，故原说法错误，符合题意；D、πr2是2次单项式，正确，不符合题意；故选：C．5．甲、乙、丙三人分一筐梨，准备按3：2：5或1：2：3分配，这两种分法中分得梨一样多的人是（）A．甲B．乙C．丙D．甲和丙【分析】根据题意可知，这一筐梨为单位“1”不变，只是分的份数不同，因此求出每个人两次分得这筐梨的几分之几，分率一样的即可判断分得一样多．解：按3：2：5分配时，甲分得整筐梨的，乙分得整筐梨的，丙分得整筐梨的，按1：2：3分配时，甲分得整筐梨的，乙分得整筐梨的，丙分得整筐梨的，∴这两种分法中分得梨一样多的人是丙，故选：C．6．下列问题情境，不能用加法算式﹣3+10表示的是（）A．数轴上表示﹣3与10的两个点之间的距离B．某日最低气温为﹣3℃，温差为10℃，该日最高气温C．用10元纸币购买3元文具后找回的零钱D．水位先下降3cm，再上升10cm后的水位变化情况【分析】根据有理数的加减法的意义判断即可．解：A．数轴上﹣3与10的两个点之间的距离是10﹣（﹣3），故本选项符合题意；B．﹣3+10可以表示某日最低气温为﹣3℃，温差为10℃，该日最高气温，故本选项不合题意；C．﹣3+10可以表示用10元纸币购买3元文具后找回的零钱，故本选项不合题意；D．水位先下降3cm，再上升10cm后的水位变化情况，能用加法算式﹣3+10表示，故本选项不合题意．故选：A．7．如图，正方体的6个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得，与字母F相对的是（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母E【分析】由此正方体的不同放置可知：D与E相对，F相对的是C，由此得出答案．解：由此正方体的不同放置可知：与字母F相对的是字母C．故选：C．8．下列图形中，三角形ABC和平行四边形ABDE面积相等的是（）A．②③B．③④C．②③④D．①②③④【分析】根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答即可．解：①三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，不相等；②三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；③三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；④三角形ABC的面积＝，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；故选：C．9．如果|a+3|+（b﹣2）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．﹣2021B．2021C．﹣1D．1【分析】先求出a、b的值，再代入计算即可．解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣3，b＝2，∴（a+b）2021＝（﹣3+2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故选：C．10．小赵是一位自行车运动爱好者，小赵在一次秋游时的路程与时间变化情况如图所示，从图中可以看出平均车速为每小时10千米的时段是（）A．前3小时B．第3至5小时C．最后1小时D．后3小时【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用“速度＝路程÷时间”解答即可．解：前3小时的平均速度为：40÷3＝（千米/时）；第3至5小时的平均速度为：（50﹣40）÷2＝5（千米/时）；最后1小时的平均速度为：（70﹣50）÷1＝20（千米/时）；后3小时的平均速度为：（70﹣40）÷3＝10（千米/时）；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．2020年我国对“一带一路”沿线国家的直接投资额达八千一百零八亿二千万元，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是8108.2亿．【分析】改写成用“亿”作单位的数在亿位的右下角点上小数点，再写上亿即可求解．解：八千一百零八亿二千万元，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是8108.2亿．故答案为：8108.2．12．比较大小（用“＞”“＝”“＜”连接）：﹣（﹣2）＞﹣|﹣3|．【分析】先化简，再比较两个数的大小即可解：∵﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣3|＝﹣3，∴﹣（﹣2）＞﹣|﹣3|．故答案为：＞．13．写出一个含字母x的代数式，使得当x＝4时，该代数式的值为﹣9，这个代数式可以是x﹣13．（本题答案不唯一，填一个正确的即可）【分析】利用题意写出一个简单的代数式即可．解：∵4﹣13＝﹣9，∴这个代数式为：x﹣13．故答案为：x﹣13（答案不唯一）．14．华为是中国大陆首个进入“最佳全球品牌”排行榜单的企业，拥有全球最领先的自动化生产线．如果该自动化生产线在手机电路板上插入1个某种零件的时间为0.01秒，那么1分钟可以插入该种零件6000个．【分析】先把1分钟化成60秒，再根据插入1个某种零件的时间为0.01秒，即可得出1分钟可以插入该种零件的个数．解：1分钟＝60秒，60÷0.01＝6000（个），答：1分钟可以插入该种零件6000个．故答案为：6000．15．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），则顶点D的位置用数对表示为（8，6）．【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，解答即可．解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），∴点D坐标为（8，6）；故答案为：（8，6）．16．若m2+mn＝1，n2﹣2mn＝10，则代数式m2+5mn﹣2n2的值为﹣19．【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．解：∵m2+mn＝1，n2﹣2mn＝10，∴原式＝m2+mn+4mn﹣2n2＝（m2+mn）﹣2（n2﹣2mn）＝1﹣2×10＝1﹣20＝﹣19，故答案为：﹣19．17．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将﹣2，﹣4，﹣6，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x+y的值为﹣10或5．【分析】由于八个数的和是12，所以需满足两个圈的和是6，横、竖的和也是6．列等式可得结论．解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣2+（﹣4）+（﹣6）+0+3+5+7+9＝12，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是6，横、竖的和也是6，则0+c+5+3＝6，得c＝﹣2，﹣2+7+5+y＝6，得y＝﹣4，x+（﹣4）+7+d＝6，x+d＝3，∵当x＝﹣6时，d＝9，则x+y＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，当x＝9时，d＝﹣6，则x+y＝9+（﹣4）＝5．故答案为：﹣10或5．18．学校举行“请党放心，强国有我”主题朗诵比赛．张老师准备为同学们购买某种奖品，她观察如下价格表后发现，购买奖品的份数越多，每份奖品的平均价格就越便宜．如果以这种方式购买8份奖品，那么总价是54元．数量（份）12345总价（元）8.5016.5024.0031.0037.50【分析】根据表格中的数量与总价的关系确定出所求即可．解：根据题意得：37.5+6+5.5+5＝54（元），则以这种方式购买8份奖品，那么总价是54元．三、解答题（本大题共10小题，共64分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：72×+72÷1.5．【分析】原式变形后，逆用乘法分配律计算即可求出值．解：原式＝72×+72×＝72×（+）＝72×＝64．20．计算：23÷（﹣4）2×3.2﹣|1﹣|．【分析】原式先计算乘方及绝对值，再计算乘除，最后算加减即可求出值．解：原式＝8÷16×3.2﹣|﹣|＝×3.2﹣1.6＝1.6﹣1.6＝0．21．先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣2（﹣ab2+3a2b），其中a＝﹣2，b＝﹣3．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解：原式＝15a2b﹣5ab2+2ab2﹣6a2b＝9a2b﹣3ab2，当a＝﹣2，b＝﹣3时，原式＝9×（﹣2）2×（﹣3）﹣3×（﹣2）×（﹣3）2＝﹣108+54＝﹣54．22．为庆祝建党一百周年，电影公司举行“学党史，悟初心”有奖观影活动．公司拟从5种观影代金券中挑选3种作为奖品，奖品总价值不超过1000元．5种观影代金券分别是：A券499元/张，B券399元/张，C券299元/张，D券99元/张，E券19元/张．活动设一等奖1名，二等奖5名，三等奖10名．试确定三个等级奖品的名称，并简要说明理由．【分析】根据题意，可以先算出价值最低的情况，然后再观察奖券的价值，即可得到三个等级奖品的名称，并说明理由．解：一等奖为C券，二等奖为D券，三等奖为E券，理由：当一等奖为C券，二等奖为D券，三等奖为E券时，总的价值为：299×1+99×5+19×10＝984（元），∵984＜1000，∴当一等奖为C券，二等奖为D券，三等奖为E券时，符合题意；很显然，当其他情况时总价值都大于1000元，故一等奖为C券，二等奖为D券，三等奖为E券．23．如图，正方形与等腰直角三角形的一边在同一条水平直线上，现保持三角形不动，正方形以2厘米/秒的速度向右匀速运动．（1）在图中画出第8秒时，正方形所在的位置；（2）计算第11秒时，正方形与等腰直角三角形重叠部分的面积．【分析】（1）先计算8秒的运动距离，然后画出第8秒时正方形的位置；（2）先计算11秒的运动距离，画出第11秒时的位置，然后求得重叠部分的面积．解：（1）正方形运动8秒时，运动的距离为8×2＝16（cm），∴第8秒时正方形的位置如图1所示．（2）正方形运动11秒时，运动的距离为11×2＝22（cm），∴第11秒时正方形的位置如图2所示，记正方形ABCD与等腰直角三角形的交点分别为E、F，∴△EBF为等腰直角三角形，且EB＝22﹣16＝6（cm），∴BF＝6（cm），∴S△EBF＝＝×6×6＝18（cm2），∴重叠部分的面积为18cm2．24．如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（1）比较大小：a＜b，b＜﹣1（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）化简：|﹣a|+|b﹣a|﹣|a+c|．【分析】（1）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大判断即可；（2）根据题意判断出b﹣a和a+c的符号，再绝对值性质去绝对值符号化简可得．解：（1）由题意可知，a＜b，b＜﹣1；故答案为：＜；＜；（2）由题意可知a＜0，b﹣a＞0，a+c＜0，∴|﹣a|+|b﹣a|﹣|a+c|＝﹣a+b﹣a﹣（﹣a﹣c）＝﹣a+b﹣a+a+c＝﹣a+b+c．25．用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串图形．（1）当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为8；（2）设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y．①y与x的数量关系为y＝2（x﹣1）（用含x的代数式表示）；②若某个图形中长方形与三角形个数之和为28，求该图中长方形个数．【分析】（1）根据图形直接可得；（2）①由图可知每个图形中三角形的个数为长方形个数与1的差的2倍，据此可得；②根据①中所得结果，求出x的值即可．解：（1）∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2＝2×1＝2；长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4＝2×2＝4；长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6＝3×2＝6．∴当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为4×2＝8，故答案为：8；（2）①∵长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2＝2×1＝2；长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4＝2×2＝4；长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6＝3×2＝6．…∴长方形个数为x，三角形个数为y时，y与x的数量关系为y＝2（x﹣1）（用含x的代数式表示）；故答案为：2（x﹣1）；②当x+y＝28时，2（x﹣1）+x＝28，解得：x＝10，答：该图中长方形个数为10．26．如表是苏州市地铁收费标准：分段乘坐里程（公里）单程票票价10＜里程≤62元26＜里程≤113元311＜里程≤164元416＜里程≤235元523＜里程≤306元6里程20公里以上，每9公里分段加1元备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算．（1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；（2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；（2）根据题意，利用分类讨论的方法，分别求出购买各种月票的较低费用，然后比较大小即可．解：（1）由表格可知，小明的妈妈每次单程票票价为4元，故小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为：4×2×22×0.95＝167.2（元），即小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费是167.2元；（2）小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是130元，理由：∵小明妈妈一个月需要坐地铁22×2＝44（次），∴当选择A月票时较低的费用为：60×2+4×4×0.95＝135.2（元），当选择B月票时较低的费用为：85+（44﹣30）×4×0.95＝138.2（元），当选择C月票时的费用为130元；∵130＜135.2＜138.2，∴小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是130元．27．规定一种“⊕”运算：a⊕b＝ab+a+b+1，如3⊕4＝3×4+3+4+1＝20．（1）①计算：（﹣5）⊕3＝﹣16，3⊕（﹣5）＝﹣16；②说明“⊕”运算具有交换律；（2）①计算：（﹣3）⊕（4⊕2）＝﹣32，[（﹣3）⊕4]⊕2＝﹣27；②由计算结果可得“⊕”运算不具有结合律（填“具有”或“不具有”）．【分析】（1）①根据a⊕b＝ab+a+b+1，可以计算出所求式子的值；②根据a⊕b＝ab+a+b+1，可以写出b⊕a＝ab+a+b+1，然后即可说明；（2）①根据a⊕b＝ab+a+b+1，可以计算出所求式子的值；②根据①中的结果可以得到“⊕”运算是否具有结合律．解：（1）①∵a⊕b＝ab+a+b+1，∴（﹣5）⊕3＝（﹣5）×3+（﹣5）+3+1＝（﹣15）+（﹣5）+3+1＝﹣16；3⊕（﹣5）＝3×（﹣5）+3+（﹣5）+1＝﹣15+3+（﹣5）+1＝﹣16；故答案为：﹣16，﹣16；②∵a⊕b＝ab+a+b+1，b⊕a＝ab+a+b+1，∴a⊕b＝b⊕a，∴“⊕”运算具有交换律；（2）①（﹣3）⊕（4⊕2）＝（﹣3）⊕（4×2+4+2+1）＝（﹣3）⊕（8+4+2+1）＝（﹣3）⊕15＝（﹣3）×15+（﹣3）+15+1＝﹣45+（﹣3）+15+1＝﹣32；[（﹣3）⊕4]⊕2＝[（﹣3）×4+（﹣3）+4+1]⊕2＝[（﹣12）+（﹣3）+4+1]⊕2＝（﹣10）⊕2＝（﹣10）×2+（﹣10）+2+1＝﹣20+（﹣10）+2+1＝﹣27；故答案为：﹣32，﹣27；②由计算结果可得“⊕”运算不具有结合律，故答案为：不具有．28．【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A 与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为1．【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交点表示的数为（用含a，b的代数式表示）．【问题解决】（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为﹣4，点D表示的数为2，如果C，D，E三点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数．【分析】【操作感知】由已知得出A'、B'表示的数，再求出A'B'中点即可得答案；【建立模型】求出MN的中点表示的数即可得到答案；【问题解决】（1）分三种情况分别列出方程，即可得答案；（2）先求出PQ的长度，再根据每两条相邻折痕间的距离为，即可得最右端的折痕与数轴的交点表示的数．解：【操作感知】由已知得A'表示的数是4，B'表示的数是﹣2，∵折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，∴A′与点B′关于折痕对称，即A'B'中点为折痕与数轴的交点，而A'B'中点表示的数为＝1，故答案为：1；【建立模型】∵MN关于折痕对称，∴MN的中点即是折痕与数轴交点，而MN的中点表示的数是，∴折痕与数轴交点表示的数为，故答案为：；【问题解决】（1）设点E表示的数是x，当E到C、D距离相等，即E是CD中点时，x＝＝﹣1，当C到E、D距离相等，即C是ED中点时，﹣4＝，解得x＝﹣10，当D是C、E距离相等，即D是CE中点时，2＝，解得x＝8，综上所述，点E表示的数为﹣1或﹣10或8；（2）由已知得Q表示的数是2，P表示的是﹣1，∴PQ＝3，而对折n次后，每两条相邻折痕间的距离相等，这个距离是，∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为2﹣．。
2021-2022学年江苏省徐州市高三(上)期中数学试卷【含答案】
2021-2022学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|y=√x−1}，则A∪B＝（）A．R B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）2．复数z满足z1−z=2i，则z平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．若（x−ax）8的二项展开式中x6的系数是﹣16，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（60，102），若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）A．12B．23C．46D．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A （a ，b ），B （c ，d ），且sin θ+3cos θ＝0，若a +c ＝﹣1，则1b+4d 的最小值为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．48．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝（13）n +1﹣b ，数列{（ab ）n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ＜b ，则下列结论错误的是（ ） A ．1a＞1bB ．a 2＜b 2C ．（12）a ＞（12）bD ．ln （b ﹣a ）＞010．已知圆M ：x 2+y 2+4x ﹣1＝0，点P （a ，b ）是圆M 上的动点，则（ ） A ．圆M 关于直线x +3y +2＝0对称 B ．直线x +y ＝0与圆M 相交所得弦长为√3 C ．b a−3的最大值为12D ．a 2+b 2的最小值为√5−211．已知函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx （ω＞0）的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）（ ）A ．是偶函数B ．其图象关于直线x =π4对称 C ．在[π4，π2]上是减函数D ．在区间[π6，2π3]上的值域为[−√3，2]12．若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，且方程f [g （x ）]＝x 有实数解，则下列式子中可以为 g [f （x ）]的是（ ） A ．x 2+2x B ．x +1C ．e cos xD ．ln （|x |+1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=13AB →+23AD →，则CP →⋅DC →的值是 ．14．设f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1+x ）＝f （﹣x ）．若f （−13）＝3，则f （113）的值是 ．15．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，P 为C 上一点，若A （﹣2，0），则PA PF的最大值为 ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在棱D 1C 1上运动，点Q 在棱BC 上运动，且PQ 与BB 1所成的角为π4，若线段PQ 的中点为M ，则点M 的轨迹的长度是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
高2021届高2018级江苏省苏州市高三第一学期期中考试数学试题参考答案
高2021届高2018级高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC13. (－2,2)∪(2,＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 2 17. 解:(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2πω＝π,ω＝2,(1分) 此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3). 因为|φ|≤π2,所以φ－π3∈[－5π6,π6],所以－1≤sin(φ－π3)≤12,(3分) 所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12,1].(4分) (2) 因为φ＝π3,所以f(α)＝sin (2α－π3). 由sin α－2cos α＝0,得tan α＝2,(6分)f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分) ＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解:(1) 当a ＝3时,f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分) 因为f′(x)＜0,得x ＜1或x ＞2,(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞,1)和(2,＋∞).(4分)(2) 由f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分) 因为对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立,所以问题转化为:对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1).(6分)因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2,其图象开口向下,对称轴为x ＝a 2. ①当a 2＜1时,即a ＜2时,f ′(x)在[1,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1),得a ＞－1,此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1,即a ≥2时,f ′(x)在[1,a 2]上单调递增,在(a 2,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分) 由a 24－2＜2(a －1),得0＜a ＜8,此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②,可得实数a 的取值范围是(－1,8).(12分)19. 解:若选①.(1) 由题设条件及正弦定理,得sin Csin B ＋C 2＝sin Asin C.(1分)因为△ABC 中,sin C ≠0,所以sin B ＋C 2＝sin A.(2分) 由A ＋B ＋C ＝π,可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A 2,(3分) 所以cos A 2＝2sin A 2cos A 2.(4分) 因为△ABC 中,cos A 2≠0,所以sin A 2＝12. 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 因为c ＝(3－1)b,所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3,所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3),(6分) 所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3),整理得sin C ＝cos C.(7分) 因为△ABC 中,sin C ≠0,所以cos C ≠0,所以tan C ＝sin C cos C＝1. 因为0＜C ＜π,所以C ＝π4.(9分) (2) 因为△ABC 的面积为3－3,c ＝(3－1)b,A ＝π3, 所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3,(11分) 解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A,(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A.(2分)因为B ＋C ＝π－A,所以2cos Asin A ＝sin A.(3分)因为△ABC 中,sin A ≠0,所以cos A ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C,(1分)所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C.(2分)由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.20. 解:(1) 因为等差数列{a n }中,a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30,所以a 5＝10.设等差数列{a n }的公差是d,所以d ＝a 5－a 15－1＝2,(1分) 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q,因为b 2b 3＝a 16,所以b 21q 3＝4q 3＝32,所以q ＝2,所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k,使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立,则b k ＋1＝b k ＋32,(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32,即2k ＝32,解得k ＝5.(5分)存在正整数k ＝5满足条件.(6分)② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1), 所以n(n ＋1)≥2n ,即2n －n(n ＋1)≤0.(8分)令f(n)＝2n －n(n ＋1),因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)],所以当n ≥4时,{f(n)}单调递增.(9分)又f(2)－f(1)＜0,f(3)－f(2)＜0,f(4)－f(3)＜0,所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分)因为f(1)＝0,f(4)＝－4,f(5)＝2,所以n ＝1,2,3,4时,f(n)≤0,n ≥5时,f(n)＞0,(11分)所以不等式S n ≥b n 的解集为{1,2,3,4}.(12分)21. 解:(1) 因为g(x)为定义在[－4,4]上的奇函数,所以当x ∈[－4,0)时,g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x.因为g(－x)＝－g(x),所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x,(2分)所以g(x)＝x 2＋4x,所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分) (2) 因为g(x)在[2,4]内有“8倍倒域区间”,设2≤a ＜b ≤4,因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分) 解得a ＝2,b ＝1＋5,所以g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”为[2,1＋5].(6分)(3) 因为g(x)在x ∈[a,b]时,函数值的取值区间恰为[k b ,k a](k ≥8), 所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时,因为g(x)的最大值为4,所以k a≤4.(7分) 因为k ≥8,所以a ≥2.因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝k a，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分) 所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解.令h(x)＝x 3－4x 2＋k,x ∈[2,4],则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0,得x ＝0(舍去)或x ＝83, 当x ∈(2,83)时,h ′(x)＜0,所以h(x)在(2,83)上单调递减. 当x ∈(83,4)时,h ′(x)＞0,所以h(x)在(83,4)上单调递增.(10分) 因为h(2)＝k －8≥0,h(4)＝k ≥8,所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解,只需h(83)＜0, 解得k ＜25627,所以8≤k ＜25627.(11分) 同理可得:当－4≤a ＜b ＜0时,8≤k ＜25627. 综上所述,k 的取值范围是[8,25627).(12分) 22. (1) 解:因为f(x)＝e x ＋ax·sin x,所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x),(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1,所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x,即y ＝x ＋1.(3分)(2) 证明:当a ＝－2时,g(x)＝e x x－2sin x,其中x ∈(－π,0), 则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos x x 2.(4分) 令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x,x ∈(－π,0),则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x).当x ∈(－π,－π2)时,因为e x ＞0,2xsin x ＞0,cos x ＜0,所以h′(x)＜0, 所以h(x)在(－π,－π2)上单调递减.(5分) 因为h(－π)＝2π2－e －π(1＋π)＞0,h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0, 所以由零点存在性定理知,存在唯一的x 0∈(－π,－π2),使得h(x 0)＝0,(7分) 所以当x ∈(－π,x 0)时,h(x)＞0,即g′(x)＞0；当x ∈(x 0,－π2)时,h(x)＜0,即g ′(x)＜0. 当x ∈(－π2,0)时,g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0. 因为g′(x)在(－π,0)上连续,所以x ∈(x 0,0)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(－π,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,所以x 0是函数g(x)在(－π,0)上的唯一极大值点.(9分)因为g(x)在(x 0,－π2)上单调递减,所以g(x 0)＞g(－π2). 因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0,所以g(x 0)＞0.(10分)当x 0∈(－π,－π2)时,因为－1＜ex 0x 0＜0,0＜－2sin x 0＜2, 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2,(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。
江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题
启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数 学 试 卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝ ． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝ ．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为 ．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为 ；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点． 设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足 ．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
江苏省苏州市相城区2021届高三上学期阶段性诊断测试数学试卷 PDF版含答案
由于 0 a 1 ，所以 ln a 0 ,
………… 12 分 ………… 8 分 ………… 9 分
又 ax 0, (ax + 1)2 0 ，所以 f ' (x) 0 ,
………… 10 分
所以，当 0 a 1 时，函数 f (x) 为 R 上的减函数.
………… 12 分
如填的②，即 a 1时，函数 f (x) 为 R 上的增函数.
解：(1)函数 f (x) 为奇函数，
………… 1 分
证明如下：
函数 f (x) 的定义域为 R，
对任意 x R ，有
f (−x) =
a−x a−x
− +
1 1
=
1 1
− +
a a
x x
= − f (x) ，
即函数 f (x) 为奇函数.
………… 2 分 ………… 4 分
(2)如填的①，即 0 a 1 时，函数 f (x) 为 R 上的减函数.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．ABC 10．BD 11．ABD 12．ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 0 m 2 14． 8 15． 2 16． (−, 2)
Ta
(单位：℃)表示环境温度，h(单
位：min)称为半衰期．现有一份 88℃的热饮，放在 24℃的房间中，如果热饮降温到 40℃需要
20min，那么降温到 32℃时，需要的时间为( )min．
A．24
B．25
C．30
江苏省苏州市2021届高三第一学期开学调研数学试卷
江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．421(2)x x-的展开式中x 的系数为 A ．﹣32B ．32C ．﹣8D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.65．在△ABC 中，AB+AC=2AD ，AE+2DE=0，若EB=XAB+YAC ，则 A ．y ＝2x B ．y ＝﹣2x C ．x ＝2y D ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Qlog 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为 A ．1800 B ．2700 C ．7290 D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1 C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 1外接球半径为3 8．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b++ A ．有最小值为4B ．有最小值为221+ C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()Ry f t ==sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．()y f x =的图象不经过第三象限 B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点 12．数列{}n a 为等比数列 A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝． 16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2＝3S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC 中，a ＝()3f π，且，求2b ＋c 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前 3项．（1）求{}n a ，{}n b ； （2）设1(1)n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求二面角D —EF —S 的正弦值．20．（本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(μ，2σ)，令Y μησ-=，则η~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k )取得最大值时k 的值．附：若η~N(0，1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85． 21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴两个端点分别为A ，B ，P(0x ，0y )(0y ＞0)是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使AD ＝kb (k ＞0)，PD 交AB 于 E ，PC 交AB 于F ．（1）若k ＝1，△PCD 的最大面积为12，离心率为3，求椭圆方程； （2）若AE ，EF ，FB 成等比数列，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln sin 1f x x x x =-++．（1）求证：()f x 的导函数()f x '在(0，π)上存在一零点； （2）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点．。
【期中卷】人教版2021-2022学年九年级数学上学期期中测试卷(三)含答案与解析
人教版2021–2022学年上学期期中测试卷（三）九年级数学（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上册第二十一章～第二十四章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是（）A．OP＞5 B．OP=5 C．0＜OP＜5 D．0≤OP＜53．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．04．如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m等于（）A．±2 B．± C．± D．±5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（）A．30° B．60°C．90° D．120°6．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥17．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A ．12B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A 、B 两点，若AB=3，则点M 到直线l 的距离为（ ）A ．B ．C ．2D ．9．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根D. 无法确定10．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为．12．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则ab＝．13．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O 的半径是．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）3x2+6x﹣5＝0（2）x2+2x﹣24＝017．（9分）如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣4），并写出C点坐标；（2）在图中作出△ABC绕坐标原点旋转180°后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：（3）在图中作出△ABC绕坐标原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．18．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+3x﹣（1）用配方法求出函数图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象，直接写出y的值小于0时，x的取值范围．19．（9分）如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB＝12，BE＝5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF 重合．（1）旋转中心是，旋转角为度；（2）△AEF是三角形；（3）求EF的长．20.（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．21．（10分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间（天）x销量（斤）120﹣x储藏和损耗费用（元）3x2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF ∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．23．（11分）如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．九年级数学·全解全析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A DBCD B C B A C1．【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选A．2．【解析】根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：由⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，得0≤OP＜5，故选：D．3．【解析】根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：由y=（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，得|m|=2且m+2≠0．解得m=2．故选：B．4．【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，其中两根的和可以用m表示，而（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=1，代入即可得到关于m的方程，进而求解．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣m，x1•x2=1，又知x1﹣x2=1，则（x1﹣x2）2=1，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=1，则（﹣m）2﹣4=1，解得：m=±．故本题选C．5．【解析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．【解答】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．6．【解析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．7．【解析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．【解答】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∠AOB=90°，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选C．8．【解析】设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，又x2+bx+c=0时，△=0，列式求解即可．【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2﹣4c=0，设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）=9，解得：m=．故答案选B．9.【解析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解.=+的图象不经过第二象限，【详解】解：一次函数y kx bk∴>，0b≤，240∴∆=->，k b∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.10．【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
专题06 立体几何——江苏省2022届高三上学期期中数学试题分类汇编
江苏省2022届高三数学上学期期中分类汇编专题06 立体几何一、单选题1．（2021·江苏南通·高三期中）已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且6SA SB SC ===，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．182πB ．2πC ．3πD ．3π2．（2021·江苏南通·高三期中）在正方体111-ABCD A B CD 中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，111,B B C D 的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形3．（2021·江苏南通·高三期中）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．（2021·江苏·金陵中学高三期中）在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==2BC =，点G 为三角形ABC 的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ） A ．12B ．2C 22D 2二、多选题5．（2021·江苏连云港·高三期中）在棱长均为2的四棱锥P -ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，E ，F 分别为侧棱P A ，PB 的中点，则（ ） A ．OF //APB ．平面OEF //平面PDCC ．点E 到平面PBCD ．点A 到平面PDC 6．（2021·江苏南通·高三期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1AD 上，点N 在线段BD 上，则（ ）A ．当M 为1AD 的中点时，1AC MN ⊥B ．当MN ∥平面11CCD D 时，AM BN =C ．当N 为BD 的中点时，三棱锥1C BMN -的体积为16D ．当M 为1AD 的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面11BB D D 截得的圆的面积的最小值为4π 7．（2021·江苏南通·高三期中）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BA 1的中点，下列判断正确的是（ ） A ．AB //平面A 1CDB ．直线EC 1与直线AD 是异面直线C ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CD D ．直线BA 1与平面A 1CD 所成角是6π8．（2021·江苏扬州·高三期中）已知α､β表示不同的平面，m ､n 表示不同的直线，则下列命题中正确的有（ ） A ．若m //n ，n ⊂α，则m //α B ．若m //α，m ⊂β，α∩β=n ，则m //n C ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //n9．（2021·江苏苏州·高三期中）如图，正方形ABCD 与正方形DEFC 边长均为1，平面ABCD 与平面DEFC 互相垂直，P 是AE 上的一个动点，则（ ）A ．CPB ．当P 在直线AE 上运动时，三棱锥D BPF -的体积不变C ．PD PF +D ．三棱锥A DCE -的外接球表面积为3π10．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱11,AA CC 的中点，过点E ，F 的平面分别与棱11,BB DD 交于点G ，H ，以下四个结论正确的是（ ）A ．正方体外接球的表面积为3πB ．平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为4π C ．四棱锥1C EGFH -的体积为定值 D ．点1B 到平面EGFH 6三、填空题11．（2021·江苏连云港·高三期中）现有四个半径都为2的小球，若把这四个小球完全装入一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为___________.12．（2021·江苏南通·高三期中）2021年9月，我国三星堆遗址出土国宝级文物“神树纹玉琮”，如图所示，该玉琮由整块灰白色玉料加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称．为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据．已知玉琮内壁空心圆柱的高为h ，且其底面直径为d ，正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为a ，且d ＜a ＜h ，则玉琮的体积为______．(忽略表面磨损等)13．（2021·江苏南通·高三期中）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是________.14．（2021·江苏扬州·高三期中）在三棱锥O -ABC 中，AB =2，AC =BC =4，且侧棱长均为___________.15．（2021·江苏·金陵中学高三期中）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为___________.（精确到0. 01cm ）.16．（2021·江苏常州·高三期中）正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，点O 为线段1A C 的中点，三棱锥O ABC -的体积为___________，过点O 且垂直于1A C 的平面与底面ABCD 的交线长为___________.四、解答题17．（2021·江苏连云港·高三期中）如图，在三棱柱111ABC A B C ，2BA BC ==，120ABC ∠=，114AA AC ==，160A AB ∠=.(1)证明：1A B ⊥平面ABC ；(2)若123BP BB =，求二面角1P A C A --的正弦值.18．（2021·江苏南通·高三期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，PA CD ⊥，1AB BC PA PC ====，2AD =.(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若1AC =，求二面角A PD C --的正弦值.19．（2021·江苏南通·高三期中）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知AB //CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，DC ＝DP ＝2，PD ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)设M ，N 分别为棱P A ，PC 的中点，点T 满足3=DT TP ，求证：B ，N ，T ，M 四点共面．20．（2021·江苏常州·高三期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是矩形，11222AB BC A B ===，平面11A D DA ⊥平面ABCD ，平面11A B BA ⊥平面ABCD .(1)求证：1AA ⊥平面ABCD ；(2)若二面角1A BB D --的大小为π6，求四棱台1111ABCD A B C D -的高.21．（2021·江苏南通·高三期中）如图所示，矩形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面垂直，点G 是边AB 上一点，AB =AF =4，AD =2，AG =BE =1，AF ⊥AB ，BE ⊥AB .(1)求证：平面DFG ⊥平面ACF ；(2)求平面DFG 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.22．（2021·江苏徐州·高三期中）如图①，在梯形ABCD 中，//,4AD BC AD =，3BC =，点F 是边AD 的中点，点E 在边BC 上，且四边形CEFD 为正方形．将梯形ABEF 沿EF 折起，使得AC DE ⊥，得到如图②所示的几何体．(1)证明：平面ABEF ⊥平面CEFD ； (2)求二面角B AC D --的大小．23．（2021·江苏扬州·高三期中）在①(2)cos cos b c A a C -=，②(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=-，③tan tan tan 3tan A B C B C ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若___________. (1)求A ；(2)若点M 在线段AC 上，∠ABM =∠CBM ，573BM 1cos 7B =，求c . 24．（2021·江苏苏州·高三期中）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AC =，1BC CD ==，30CAD ∠=︒，60ACB ∠=︒，M 是PB 上一点，且3PB MB =，N 是PC 中点.(1)求证：PC BD ⊥；(2)若二面角P BC A --大小为45︒，求棱锥C AMN -的体积.25．（2021·江苏·金陵中学高三期中）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠ABC＝90°，P A ＝2，AC ＝(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为45°，过点A 作AN ⊥PC 于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．26．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ACC A 是正方形，1112,====AA AB B C AB BC ，AB ⊥BC ．(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABC ；(2)线段1B C 上是否存在点E ，使得直线1A E 与平面1AB C 所成角为6π？参考答案：1．C【解析】根据题意，因为SA ，SB ，SC 两两垂直，且6SA SB SB ===， 所以62AB AC BC ===设圆锥底面半径为r ，结合正弦定理，知6223r 26r = 因此()2262623SO =-=124231633V ππ=⨯⨯=.故选：C. 2．D【解析】如图所示：,,E F H 分别为111,,AD DD B C 中点，M ，N ，Q 确定平面α， NH MQ ∥且N α∈，故NH α⊂，,Q H αα∈∈，故QH α⊂，同理可得FQ α⊂，EF α⊂，EM α⊂，故截面为六边形. 故选：D.3．C【解析】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D()1,1,0AB =-，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ所以1cos 22AB CD AB CDθ⋅===⋅，故60θ= 故选：C 4．B【解析】设BC 的中点为E ，因为点G 是ABC 的重心，所以22233AG AE ===， 设ABC 的外心为O ，由题意可得点O 在AE 上，令OA r =，则有222OE EC OC +=，即()2231r r -+=，解得：53r =，又AD ⊥平面ABC ，所以四面体ABCD 的外接球的半径222225294AD ADR r ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 由题意得222524444949AD R πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：4=AD ， 所以4tan 22AD AGD AG ∠===.故选：B 5．BC【解析】因O 为正方形ABCD 的中心，则O 为线段BD 与AC 中点，如图，F 为PB 中点，因此，OF //PD ，而P A 与PD 相交，即OF 与P A 不平行，A 不正确；OF //PD ，OF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，则有OF //平面PCD ，又E 为P A 中点，同理//OE 平面PCD ，OE OF O ⋂=，,OE OF ⊂平面OEF ，于是得平面OEF //平面PCD ，B 正确； 令A h 为点A 到平面PBC 的距离，E h 为点E 到平面PBC 的距离，显然2,3PBCPO S =，2ABC S =△，由A PBC P ABC V V --=得：1133A PBCABCh SS PO ⋅=⋅322A h =26A h =，因E 为P A 中点，则6E h =C 正确； 令A h '为点A 到平面PCD 距离，由A PCD P ACD V V --=，同上可得266A h '=≠D 不正确. 故选：BC 6．ABD【解析】对于A ，当M 为1AD 的中点时，由正方体的性质可知11C D ⊥平面11AA D D ，DM ⊥1AD ， ∴11C D ⊥DM ，又11C D 11AD D ⋂=， ∴DM ⊥平面11ABC D ，∵2AM =1AB =，12BC ∴12AM AB AB BC ==∴1ABM BC A ∽， ∴1AC BM ⊥，又由DM ⊥平面11ABC D 得1AC DM ⊥，BM DM M ⋂=， ∴1AC ⊥平面DBM ，MN ⊂平面DBM ，1AC MN ⊥，A 正确； 对于B ，分别过M ，N 作1ME DD ⊥，NF CD ⊥，则111111//,//,////ME A B NE BC A B BC B C ，∴ME NF ∥，由MN ∥平面11CC D D ，MN ⊂平面MNFE ，平面11CC D D 平面MNFE EF =，∴MN EF ∥，∴四边形MNFE 为平行四边形，∴ME NF =， ∴1D M DN =，又1D A DB =，∴AM BN =，B 正确；对于C ，1111111111112222312C BMN M BC N M BCD A BC D C ABD ABD V V V V V S -----=====⨯⋅=△，C 错；对于D ，球心M 到平面11BB D D 的距离d =，设DN x =，x ⎡∈⎣，取AD 的中点G ，连接MG ，GN ，则12MG DG ==，∴MN ==∴截面圆半径12r =，当x = ∴截得圆面积最小值为4π，D 正确. 故选：ABD. 7．ACD【解析】对于选项A ，结合正方体的性质，可知//AB CD ，故易得AB //平面A 1CD ，故A 正确；对于选项B ， 结合正方体的性质，易知直线1EC 与直线AD 都在平面11B ADC 中，故B 错误； 对于选项C ，取11A C 的中点O ，连接OE 、11A C 、1BC 、1A B ，易知1//EO BC ， 结合正方体的性质，易知1BC ⊥平面1A CD ，故EO ⊥平面1A CD ，即F 在O 点处时，EF ⊥平面1A CD ，故C 正确；对于选项D ，取1B C 的中点M ，结合正方体的性质，易知BM ⊥平面1A CD ， 因此1BA M ∠即为直线1BA 与平面1A CD 所成角， 因为112BM BA =，190BMA ∠=，所以130BA M ∠=，故D 正确.故选：ACD. 8．BCD【解析】对于A ，满足m //n ，n ⊂α，也可能m α⊂内，故错误； 对于B ，由线面平行的性质定理知，正确； 对于C, 由面面垂直的判定定理知，正确； 对于D, 根据线面垂直的性质定理知，正确. 故选：BCD 9．BD【解析】对于A ，连接,DP CP ，易得22216112CP DP CD DP =+=++=A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D BPF -的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD PF +取C 错误；对于D3π，故D 正确. 故选：BD. 10．ACD【解析】对于A：24π3πR S R ==，正确； 对于B ：成最大角时为平面1EBFD 或平面1EB FD 所成角1π4D BD ∠<，错误； 对于C ：11111111122213226C EGFH C EHF C EGF C EGF E C GF V V V V V -----=+===⨯⨯⨯⨯=，正确；对于D ：如图所示建立空间直角坐标系，设H (0，0，m )，设平面EGFH 的法向量为(),,n x y z =，则0102n EF x y n EH x m z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎛⎫⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 取1z =得到11(,,1)22=--n m m ，1||2EB nd n m ⋅===≤=1m =时等号成立，正确.故选：ACD.11．26【解析】当4个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径最小， 四个小球，三个在下一个在上，四个球心连成正四面体.设正四面体ABCD 的边长为2r ，BCD △的外接圆的圆心为1O ，正四面体ABCD 的外接球的球心为O ,则2AB AC AD BC BD CD r ======,1322323BO r == 正四面体的高2212326(2)3AO r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭设正四面体的外接球半径为R ,则222211()()OB R AO R BO ==-+,∴ 222226129r R R ⎡⎤⎫⎢⎥=-+⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦正四面体的外接球半径6R =， ∴大球半径最小为61r ⎛⎝⎭，又2r =.∴6611226r ⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭26 故答案为：2612．()22344a h a d h a π-π+-。
【最新】江苏省高三数学一轮典型专题训练：《导数及其应用》(含解析)
江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练专题一、导数及其应用一、填空题1、（盐城上期中）若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2、（南京市高三学情调研）若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值， 且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是＿＿＿3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率的最小值是 ▲ ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）函数在点A （2，1）处切线的斜率为 ▲ ．5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三月考）若函数f(x)=kx-cosx 在区间()单调递增，则 k 的取值范围是 ▲ .6、（南师附中高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为 ．7、（徐州市高三上期中考试）已知函数32()2f x x x a =--，若存在(]0,x a ∈-∞，使0()0f x ，则实数a 的取值范围为 ▲8、（常州上期末）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．9、（盐城市高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．10、（苏州市高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．11、（盐城市高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是 ．12、（盐城市高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．13、（南京市、镇江市高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．15、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题1、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ． （1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2、（南京市高三9月学情调研） 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值． 3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）已知函数，a ∈R.⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a 的值； ⑵讨论函数f(x)的单调性； ⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n ，n ∈N*,n ≥2）5、（南京市高三12月联合调研）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x 处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间； （2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 6、（南京市、盐城市高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )． （1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．7、（如皋市高三上学期期末）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值； （II ）设函数()()22g x f x ax a =++． (1).求函数()g x 的单调区间；(2)若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围． 8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数()()ln f x x a x =-()a ∈R ． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．9、（苏州市高三上学期期中）设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数． （1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．10、（南京市高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第一次模拟（2月）） 已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1ln ax f x x =+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈． （1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值； （2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．15、（盐城市2019届高三第三次模拟） 设函数x ae x x f -=)(（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）若函数)(x f 在区间(0,1)上具有单调性，求a 的取值范围；（3）若函数)()()(x f e e x g x -=有且仅有3个不同的零点321,,x x x ，且321x x x <<，113≤-x x ,求证: 1131-+≤+e e x x16、（南师附中高三年级5月模拟）设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+(x ＞0，x ∈R)有两个相异的零点，求a 的取值范围．参考答案一、填空题 1、 15(,6)2-- 2、[ 2ln2，＋∞） 3、44、122㏑ 5、［－12∞，＋） 6、－13 7、[1,0][2,)-+∞ 8、1e 9、12e-10、2311、32y x =+ 12、{}1- 13、e14、1 15、二、解答题1、解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分2、解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分 （2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)． 因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增， 所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0， 又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0， 所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． …………………… 16分3、（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a+=-，则2ln ()(0)a n a a a '=>，令()0n a '=，得1a =当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k=符合题意．……………………………16分4、5、解：(1)因为1()f x axx'=+，所以(1)1f a'=+,由(1)(1)2f g'=--可得a=b-3.又因为()f x在2x=处取得极值，所以22(20f'=，所以a= -2,b=1 . …………………………………2分所以2()lnh x x x x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………4分 （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。
江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试 数学试题 Word版含答案
江苏省苏州市2021届高三年级第一学期期中考试数 学(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2－x －6≤0}，B ＝{x|x 2>4}，则A ∩B ＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( )A. 15B. 14C. 13D. 343. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2204. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝（e x －e －x ）cos xx 2的部分图象大致是( )6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. －2B. 2C. －eD. e 7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A. 125B. 100C. 75D. 508. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝12，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，23]C. (0，34)D. (0，23)二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π6C. g(x)在(－5π6，π6)上递减D. g(x)在(－π3，π3)内的值域为(0，1)10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，则( )A. 若S 5>S 9，则S 15>0B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8D. 若S 6>S 7，则S 5>S 611. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝ab C. ab 的最小值为1＋ 2 D. 1a －1＋1b －1>2 12. 若函数f(x)＝e x －ln x ＋kx－1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( ) A. x 0ex 0＝1 B. 12<x 0<1C. k ＝1D. k>1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为________________________________________________________________________．14. 若对任意正数x ，满足xy ＋yx ＝2－4y 2，则正实数y 的最大值为________．15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x ≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x ∈R ，不等式e x f(e x )－e x ＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin (ωx －φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的最小正周期为π. (1) 求ω的值及g(φ)＝f(π6)的值域；(2) 若φ＝π3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x(a ∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围．在① csin B ＋C2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2A －sinBsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式：S n ≥b n .若函数f(x)在x ∈[a ，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，ka ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x ∈[0，4]时，g(x)＝－x 2＋4x.(1) 求g(x)的解析式；(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．已知函数f(x)＝e x＋ax·sin x.(1) 求曲线C：y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2) 当a＝－2时，设函数g(x)＝f（x）x，若x0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：x0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x0)＜2.2021届高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 217. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，(1分)此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3)．因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤12，(3分)所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12，1]．(4分)(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π3)．由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分)＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分)因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分)因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，所以问题转化为：对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1，即a ≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分)由a 24－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分) 19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin CsinB ＋C2＝sin Asin C ．(1分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sinB ＋C2＝sin A ．(2分) 由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A2，(3分)所以cos A 2＝2sin A 2cos A2.(4分)因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3)，(6分)所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3)，整理得sin C ＝cos C ．(7分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin Ccos C ＝1.因为0＜C ＜π，所以C ＝π4.(9分)(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π3，所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3，(11分)解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分) 因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 15－1＝2，(1分)所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16，所以b 21q 3＝4q 3＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32，即2k ＝32，解得k ＝5.(5分) 存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1)， 所以n(n ＋1)≥2n ，即2n －n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n －n(n ＋1)，因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)]， 所以当n ≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，所以n ＝1，2，3，4时，f(n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数，所以当x ∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x ，(2分) 所以g(x)＝x 2＋4x ，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”，设2≤a ＜b ≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分)解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x ∈[a ，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，ka ](k ≥8)，所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以ka ≤4.(7分)因为k ≥8，所以a ≥2.因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝ka，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分)所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解． 令h(x)＝x 3－4x 2＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83，当x ∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，83)上单调递减．当x ∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(83，4)上单调递增．(10分)因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k ≥8，所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，解得k ＜25627，所以8≤k ＜25627.(11分)同理可得：当－4≤a ＜b ＜0时，8≤k ＜25627.综上所述，k 的取值范围是[8，25627)．(12分)22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝e xx －2sin x ，其中x ∈(－π，0)，则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos xx 2.(4分)令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x)． 当x ∈(－π，－π2)时，因为e x ＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(－π，－π2)上单调递减．(5分)因为h(－π)＝2π2－e－π(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0，所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π2)，使得h(x 0)＝0，(7分)所以当x ∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x ∈(x 0，－π2)时，h(x)＜0，即g ′(x)＜0.当x ∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0.因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x ∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π2)．因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)11 当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2， 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2，(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。
2021-2022学年江苏省苏州市昆山市九年级上学期数学期中试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12021-2022学年江苏省苏州市昆山市九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卷相应的位置上．1. 一组数据：1，3，3，4，5，它们的极差是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】【分析】根据极差的定义，即一组数据中最大数与最小数之差计算即可；【详解】极差是；514-=故选C ．【点睛】本题主要考查了极差的计算，准确计算是解题的关键．2. 一元二次方程（x ＋2）（x﹣3）＝0的根是（ ）A. x 1＝2，x 2＝3B. x 1＝﹣2，x 2＝3C. x 1＝﹣2，x 2＝﹣3D. x 1＝2，x 2＝﹣3【答案】B【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】（x ＋2）（x﹣3）＝0，或， 20x +=30x -=∴，；12x =-23x =故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．3. 在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）A. 7小时B. 7.5小时C. 8小时D. 9小时 【答案】C【解析】【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．【详解】解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7=8（小时）．故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．故选：C ．【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．4. 用配方法解一元二次方程x 2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（ ）A. （x ＋2）2＝2B. （x﹣2）2＝2C. （x ＋2）2＝10D. （x﹣2）2＝10【答案】D【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．【详解】，2460x x --=移项，得，246x x -=配方，得，2224262x x -+=+即,()2210x -=故选：.D 【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数．5. 2020年6月1日《苏州市生活垃圾分类管理条例》正式实施．为了配合实施垃圾分类，让同学们了解垃圾分类的相关知识．八年级某班甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了年级“垃圾分类知识”预赛，四个小组的平均分相同，下面表格为四个小组的方差．若要从中选出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁方差 3.6 3.5 43.2A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组【答案】D【解析】 【分析】在平均分数相同的情况下，方差越小，波动越小，成绩越稳定，即可得出选项．【详解】解：由图标可得：，2222S S S S <<<丁乙甲丙∵四个小组的平均分相同，∴若要从中选出一个实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，应选择丁组，故选：D ．【点睛】题目主要考查了方差，理解方差反映数据的波动程度，当平均数相同时，方差越大，波动性越大是解题关键．6. 为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x 元，则所列方程为（ ）A. （x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000B. （x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000C. （x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000D. （x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000【答案】C【解析】【分析】根据每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，先分别求出每个电子产品的利润为（x-100）元，根据每降2元多售4件，就是每降1元多售两件求出降价的钱数（200-x ）可求增加的数量为2（200-x ）,可得每天销售的件数，根据()3002200x +-⎡⎤⎣⎦公式列出方程即可．【详解】解：设这种电子产品降价后的销售单价为x 元，每个电子产品的固定成本为100元，每个电子产品获利为（x-100）元，每个电子产品降价为(200-x)元，增加件数为， ()()1200422002x x -⨯=-每天可售出这种电子产品的件数为，()3002200x +-⎡⎤⎣⎦根据题意得．()()100300220030000x x -+-=⎡⎤⎣⎦故答案为：C ．【点睛】本题考查销售利润的应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤，解题关键是每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，每个电子产品的利润=售价-固定成本，每天销售的件数=原来每天销售件数+增加销售部分．7. 关于x 的一元二次方程x 2﹣2x＋2＝3k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）A. k ＞B. k ＞1C. k ＜1D. k ＞ 1323【答案】A【解析】【分析】利用判别式的意义得到Δ=b 2-4ac=4-4（2-3k ）＞0，然后解不等式即可．【详解】解：方程整理得：x 2﹣2x＋2-3k=0，根据题意，得Δ=b 2-4ac=4-4（2-3k ）＞0，解得k ＞． 13故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8. 已知二次函数y ＝﹣x 2＋6x﹣5，当1＜x ＜4时，则函数值y 的取值范围是（ ）A. 0＜y ＜3B. 0＜y≤4C. 3＜y≤4D. ﹣5≤y≤4【答案】B【解析】【分析】先分析函数的基本性质：开口方向向下，有最大值，求出对称轴为，此时3x =取得最大值，根据x 的取值范围，可得时，距离对称轴较远，取得最小值，即可得出1x =函数值的取值范围，得出选项．【详解】解：，开口方向向下，有最大值，265y x x =-+-对称轴为， ()6321x =-=⨯-当时，；3x =4y =在范围内，在时，函数值最小，14x <<1x =∴当时，；1x =0y =∴函数值的取值范围为：，04y <≤故选：B ．【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及在特定范围内函数值的范围，理解题意，抓住对称轴处的特殊性是解题关键．9. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为（ ）A . 40米 B. 30米 C. 25米 D. 20米【答案】A【解析】 【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面CD 直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可C D 得的长．CD 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立CD 平面直角坐标系：，，(40,0)A ∴-(40,0)B ()0,200E 设抛物线的解析式为，将代入，得：(40)(40)y a x x =+-()0,200E ，200(040)(040)a =+-解得：， 18a =-抛物线的解析式为， 220018y x =-+将代入得：， 150y =220015018x -+=解得：，20x =±，，(20,150)C ∴-(20,150)D ，40CD m ∴=故选：A 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．10. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 在AB 边上由点A 向点B 运动（不与点A ，点B 重合），过点E 作EF 垂直AB 交直角边于F ．设AE ＝x ，△AEF 面积为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】过点C 作CD⊥AB 于点D ，利用勾股定理以及面积法求得AB 、CD 、AD 、BD 的长，分0<x 1.8和1.8<x<5两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．≤【详解】解：过点C 作CD⊥AB 于点D ，∵AC=3，BC=4，， 5==∵AB CD=AC BC ， 12⨯12⨯∴CD==2.4， 1.8，BD=AB-AD=3.2， 125==当0<x 1.8，≤∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴△AEF △ADC，~∴，即， AE EF AD CD = 1.8 2.4x EF =∴EF=， 43x ∴y==(0<x 1.8)，开口向上的一段抛物线； 12AE EF ⨯223x ≤当1.8<x<5，同理可证△BEF △BDC，~∴，即， BE EF BD CD =53.2 2.4x EF -=∴EF=， 15344x -∴y==(1.8<x<5) ，开口向下的一段抛物线； 12AE EF ⨯215388x x -综上，符合题意的函数关系的图象是D ；故选：D ．【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应的位置上11. 二次函数y=+2的顶点坐标为_________．()21x -【答案】（1，2）.【解析】【详解】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）.故答案为（1，2）．考点：二次函数的性质．12. 已知关于x 的一元二次方程x 2-3x+k=0的一个根是﹣1，则k=____．【答案】-4【解析】【分析】把x=-1代入已知方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解方程求得k 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2-3x+k=0的一个根是-1，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13. 若方程（m ＋1）x |m|＋1﹣2x＝5是关于x 的一元二次方程，则m 的值为____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式． ()200++=≠ax bx c a 【详解】解：∵方程（m ＋1）x |m|＋1﹣2x＝5是关于x 的一元二次方程， ∴，解得：， 1012m m +≠⎧⎨+=⎩11m m ≠-⎧⎨=±⎩∴．1m =故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．()200++=≠ax bx c a 14. 如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在9×9个方格的正方形雷区中，随机埋了10颗地雷，每个方格内最多只能埋1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况我们把与标号3的方格相邻的方格记为A 区域（画线正方形内），A 区域外的部分记为B 区域．已知在A 区域有3颗地雷，则小王随机点击B 区域一个方格遇到地雷的概率是____．【答案】 772【解析】【分析】根据题意可得B 区域一共有72个方格，共有7颗地雷，然后根据概率计算公式即可求解．【详解】解：，993381972⨯-⨯=-=∴B 区域一共有72个方格，∵一共有10颗地雷，A 区域有3颗地雷，∴B 区域共有7颗地雷，∴随机点击B 区域一个方格遇到地雷的概率是． 772故答案为：． 772【点睛】此题考查了概率求解公式，解题的关键是根据题意得出B 区域的方格数量和地雷的数量．15. 小明同学在用描点法画二次函数y ＝a （x﹣h）2＋k （a≠0）图像时，列出了下面表格： x …… ﹣1 0 1 2 3 ……y …… m 3 2 3 6 ……则m 的值是____．【答案】6【解析】【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x 、y 的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．【详解】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），∴对称轴为x=1，∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，∵当x=3时，y=6，∴当x=-1时，m=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．16. 把二次函数y=x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），原抛物线相应的函数表达式是_____________．【答案】y=x2﹣6x+10．【解析】【分析】把点（-2，0）沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后，即可得原抛物线的顶点坐标为（3，1），再根据顶点式写出原抛物线解析式，化为一般式即可.【详解】把点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），即二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，1），所以原抛物线相应的函数表达式为y=（x﹣3）2+1，即y=x2﹣6x+10．故答案为：y=x2﹣6x+10．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17. 如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是____．【答案】 814【解析】【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x ，根据图形表示出矩形A 与矩形B 面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x ，根据图中各边关系可得：，()()2629354366A S x x x x =--=-+， ()2369399B S x x x x ⎡⎤=--=-⎣⎦∴， 223811545541524A B S S x x x ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭当时，，符合题意， 32x =814A B S S +=∴矩形A 与矩形B 面积和的最小值为：， 814故答案为：． 814【点睛】题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键．18. 如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b=0；③若方程a （x+2）（x-4）=2的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜-2＜4＜x 2．其中一定正确的是____．（填序号）【答案】②③##③②【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，-＞0， 2b a ∴b＜0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴-=1， 2b a∴b=-2a，∴2a+b=0，故②正确；③∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y=ax 2+bx+c=a （x+2）（x-4），若方程a （x+2）（4-x ）=-2，即方程a （x+2）（x-4）=2的两根为x 1，x 2，则x 1、x 2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，∵x 1＜x 2，∴x 1＜-2＜4＜x 2，故③正确；故答案为：②③．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．三、解答题：本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卷相应的位置上．19. 解下列方程：（1）x 2﹣4x＝1（2）x （2x﹣1）＝3（2x﹣1）【答案】（1），2），； 12x =+22x =112x =23x =【解析】【分析】（1）利用配方法计算即可；（2）利用提取公因式法计算即可；【详解】（1）， 241x x -=，24414x x -+=+，()225x -=，2x -=∴，12x =+22x =（2），()()21321x x x -=-，()()213210x x x ---=，()()2130x x --=∴或，210x -=30x -=∴，； 112x =23x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确利用配方法和因式分解法计算是解题的关键．20. 已知二次函数y ＝x 2＋6x ＋k﹣1（k 是常数）．（1）如果该二次函数的图像经过原点，求k 的值；（2）如果该二次函数的图像顶点在x 轴上，求k 的值．【答案】（1）；（2）1k =10k =【解析】【分析】（1）根据时，二次函数过原点，即可求解；0c =（2）将二次函数化为顶点式，当二次函数的图像顶点在x 轴上时，即可求解．0k =【详解】解：（1）∵该二次函数的图像经过原点∴10k -=∴1k =（2）∵该二次函数的图像顶点在x 轴上()2261310y x x k x k =++-=++-∴100k -=∴10k =【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是解答此题的关键．21. 已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣（a ＋1）x ＋a﹣1＝0（a 为常数）（1）当a ＝2时，求出该一元二次方程实数根；（2）若x 1，x 2是这个一元二次方程两根，且x 1，x 2边，求a 的值．【答案】（1），；（2）． 11x =12x =5a =【解析】【分析】（1）将a ＝2代入关于x 的一元二次方程2x 2﹣3x＋1＝0，利用公式法解一元二次方程，先求出＞0，然后代入公式计算即可；2Δ4=9-8=1b ac =-（2）利用因式分解法解一元二次方程2x 2﹣（a ＋1）x ＋a﹣1＝0，解得，121==12a x x -，根据x 1，x 2a ＞1，然后利用勾股定理列出方程，用直接开平方法求解即可． 22112a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解：（1）a ＝2时关于x 的一元二次方程2x 2﹣3x＋1＝0，＞0，2Δ4=9-8=1b ac =-∴， 314x ±=∴，； 11x =12x =（2）2x 2﹣（a ＋1）x ＋a﹣1＝0，因式分解得，()()2110x a x ---=⎡⎤⎣⎦化为，()21010x a x --=-=，解得， 121==12a x x -，x 1，x 2∴a＞1根据勾股定理， 22112a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得， 14a -=±∴（舍去）．53a a ==-，【点睛】本题考查一元二次方程的解法，公式法与因式分解法，勾股定理，直接开平方法，掌握一元二次方程的解法与步骤，勾股定理，注意字母的范围是解题关键．22. 一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字-1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 ；（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）【答案】（1）；（2）小强设计的游戏规则不公平．理由见解析 14【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再求出甲和乙获胜的概率，比较即可．【详解】解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为， 14故答案为：； 14（2）小强设计的游戏规则不公平，理由如下：画树状图如图：共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 82123=41123=∵＞， 2313∴小强设计的游戏规则不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23. 2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H×完成分p×3在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#3.5 打分 7.5 8.5 7.5 9.0 7.5 8.5 8.0（1）7名裁判打分的众数是 ；中位数是 ．（2）该运动员本次试跳的得分是多少？【答案】（1）7.5,8.0；（2）该运动员本次试跳得分为84分．【解析】【分析】（1）根据众数（一组数据中心出现次数最多的数据叫做众数）、中位数（一组数据按照从小到大的顺序排列，找出最中间的一个数或最中间两个数的平均数）的定义即可得；（2）根据运动员试跳得分公式列出算式计算即可．【详解】解：（1）7.5出现的次数最多，7名裁判打分的众数是7.5；将这组数据按照从小到大的顺序排列得：7.5、7.5、7.5、8.0、8.5、8.5、9.0，根据中位数的定义可得，中位数为8.0；故答案为：7.5,8.0；（2）根据试跳得分公式可得：（分）， ()13.57.58.08.53843⨯⨯++⨯=故该运动员本次试跳得分为84分． 【点睛】题目主要考查平均数、众数和中位数的定义，理解三个定义及题意中公式是解题关键．24. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．（2）第n 个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n 的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；（2）根据图形的变化规律总结出第n 个图形黑色三角的个数为，即可求解． 1+12n n （）【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，故答案是：15；（2）不能，理由如下：第n 个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=， 1+12n n （）根据题意，得， 1+1=502n n （）解得： n =所以第n 个图案中黑色三角形的个数不能是50个．【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n 个图形黑色三角的个数为是解题的关键． 1+12n n （）25. 如图，二次函数的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连213222y x x =-++接BC ．（1）点B 的坐标是 ，点C 的坐标是 ；（2）点P 是BC 上方抛物线上的一点，点P 的横坐标为2，求四边形OBPC 的面积．【答案】（1），；（2）四边形OBPC 的面积为．()4,0()0,28【解析】【分析】（1）分别将，代入二次函数解析式求解，然后根据点在坐标系中的位0y =0x =置即可确定点的坐标；（2）过点P 作PD⊥y 轴，将代入函数解析式确定点P 、点D 的坐标，然后根据图象2x =中用梯形的面积减去三角形的面积即可得．【详解】解：（1）将代入函数解析式中可得： 0y =213222y x x =-++， 2132022x x -++=解得：，，11x =-24x =∴，；()1,0A -()4,0B 当时，，0x =2y =∴点C 的坐标为；()0,2故答案为：，；()4,0()0,2（2）如图所示：过点P 作PD⊥y 轴，交y 轴于点D ，将代入函数解析式可得：2x =， 213222322y =-⨯+⨯+=点P 的坐标为，D 的坐标为，()2,3()0,3，PDC OBPC PDOB S S S ∆=-四边形梯形， ()1122PD OB OD DC PD =+⨯-⨯⨯， ()112431222=⨯+⨯-⨯⨯． 8=【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，理解题意，结合图形找准图形面积的求法是解题关键．26. 对于实数a ，b ，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，22()()ab b a b b b ab a b ⎧-≥=⎨-<⎩∴4※1＝4×1﹣12＝3（1）计算：2※（﹣1）＝ ；（﹣1）※2＝ ；（2）若x 1和x 2是方程x 2﹣5x﹣6＝0的两个根且x 1＜x 2，求x 1※x 2的值；（3）若x※2与3※x 的值相等，求x 的值．【答案】（1）-3，6；（2）；（3）x 的值为14． 1242x x =※【解析】【分析】（1）根据新定义运算方法进行计算即可；（2）先解一元二次方程，然后利用新定义进行计算即可；（3）对x 的范围进行讨论：当时，；当时，2x <22223x x x -=-23x ≤<；当时，，然后分别解方程求解即可．22223x x x -=-3x ≥22223x x x -=-【详解】解：（1）∵，21>-∴，()()()2212113-=⨯---=-※∵， 12-<，()()2122126-=--⨯=※故答案为：-3，6；（2），2560x x --=，()()610x x -+=∵，12x x <∴，，11x =-26x =∴， ()()2121661642x x =-=--⨯=※※∴；1242x x =※（3）当时，根据，2x <23x x =※※可得：，22223x x x -=-解得：，（舍去）；11x =24x =当时，根据，23x ≤<23x x =※※可得：，22223x x x -=-解得：（舍去）； 1x =2x =当时，根据，3x ≥23x x =※※可得：，22223x x x -=-解得：（舍去），；11x =24x =综上所述，x 的值为14． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的公式法、因式分解法，理解题意，掌握题目中新的运算法则是解题关键．27. 某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且棱PB 与PC 的和为6米，PB ＝2PA ．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．（1）设PA 的长为x 米，三个侧面的面积之和为y 平方米，试求y （平方米）关于x （米）的函数关系式；（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？【答案】（1）y 关于x 的函数关系式为y=-2x 2+9x ；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．【解析】【分析】（1）先根据PA 的长为x 米，PB=2PA ，PB+PC=6米，求出PB=2x 米，PC=（6-2x ）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．【详解】解：（1）∵PA=x 米，PB=2PA ，PB+PC=6米，∴PB=2x 米，PC=（6-2x ）米，由题意，得：y=PA•PB+PA•PC+PB•PC 121212=x•2x+x （6-2x ）+×2x （6-2x ） 121212=x 2+3x-x 2+6x-2x 2=-2x 2+9x ，∴y 关于x 的函数关系式为y=-2x 2+9x ；（2）由（1）知，y=-2x 2+9x=-2（x-）2+， 94818∵-2＜0，∴当x=时，y 有最大值，最大值， 94818当y 取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）=405（元）， 818∵405＜410，∴完成该模型的油漆工作不会超出预算．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．28. 如图，在平面直角坐标系内，抛物线y ＝ax 2＋bx﹣4（a≠0）与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，且OB ＝2OA ．过点A 的直线y ＝x ＋2与抛物线交于点E ．点P 为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PH⊥AE 于点H ．（1）抛物线的表达式中，a ＝ ，b ＝ ；（2）在点P 的运动过程中，若PH 取得最大值，求这个最大值和点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上求点Q ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABE 相似．【答案】（1），；（2）最大值为，；（3）或 121 (2,4)P 26(0)3Q 0(1)Q ，【解析】【分析】（1）根据直线方程求得点坐标，再根据求得点坐标，代入抛物线A 2OB OA =B 解析式，即可求解；（2）过点作并延长交于点，过点作，设交于点P PM AB ⊥AE N E EF AB ⊥PH AB ，可得，得到，利用二次函数的性质求得D PNH AEF △∽△AF PH PN AE ==的最大值，即可求解；PN （3）根据点坐标求得，分两种情况讨论求解即可．P EAB PAQ ∠=∠【详解】解：（1）由直线y ＝x ＋2可得，∴(2,0)A -2OA =∵，∴，即2OB OA =4OB =(4,0)B 将、代入抛物线解析式可得(2,0)A -(4,0)B ，解得 424016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故答案为：，121-（2）由（1）得抛物线解析式为 2142y x x =--过点作并延长交于点，过点作，设交于点，P PM AB ⊥AE N E EF AB ⊥PH ABD 如下图：则，90PMD AHD PHN EFA ∠=∠=∠=∠=︒又∵HDA PDM ∠=∠∴HAD HPN ∠=∠又∵PHN EFA ∠=∠∴PNH AEF △∽△∴，即 PN PH AE AF =AF PH PN AE=联立直线与抛物线可得，即 22142y x y x x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩24120x x --=解得，16x =22x =-，即，628y =+=(6,8)E (6,0)F ∴，8AF =AE ==∴，即的最大值，即是的最大值 PH =PH PN 设，则 21(,4)2P m m m --(,2)N m m + 2221112(4)26(2)8222PN m m m m m m =+---=-++=--+∵， 102-<∴时，最大，为2m=PN 8此时，(2,4)P 8PH ==故答案为：最大值为，(2,4)P （3）由（2）得，(2,4)P ， tan 1EF EAB AF∠==4tan 122PAB ∠==+。
2023学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，则( )A. B. C. D.2.关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.3.设等差数列的前n项和为，公差，且，则( )A. 2B. 3C. 4D. 54.若不等式的解集为，则的值为( )A. B. 0 C. D. 15.已知等比数列中，，，则( )A. B. C. 2 D. 46.已知在数列中，，则的值为( )A. B. C. D.7.已知，，，则的最小值为( )A. B. C. D. 98.已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有( )A. “”是“”的充分不必要条件B. “”是“”的既不充分又不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充要条件10.已知等差数列的前n项和为，且，，则( )A. B.当且仅当时，取得最大值C. D.满足的n的最大值为1211.已知a，b均为正实数，且，则( )A. 的最小值为B. 的最小值为2C. 的最大值为D. 的最大值为412.对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )A. 若数列单调递增，则数列单调递增B. 存在数列是常数列，数列不是常数列，则数列不是周期数列C. 若，则数列没有最小值D. 若，则数列有最大值三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“，”的否定是______.14.在等比数列中，已知，则的值为______.15.已知，，，则的最小值为__________.16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为__________，此数列的通项公式__________四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年江苏省苏州市相城区九年级(上)学期期中考试数学试卷(含答案)
（3）如图②，在 中， ， ， ，点Q为EF上一点，点F关于直线DQ的对称点 恰好落在线段DE上，求线段DE的长．
28．如图，已知 ，OT是 的平分线，A是射线OM上一点， ，动点P从点A出发，以 的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为 ，其中 ．
【详解】
∵ ，
∴∠AHC=90°，
∵ ，即： ，
又∵∠A=∠A，
∴ ，
∴∠ACB=∠AHC=90°．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形”，是解题的关键．
21．
【分析】
由题意易得 ，则由圆内接四边形的性质可得 ，进而可得 ，然后可得 ，则 ，然后问题可求解．
∴PA=2t，PC= ，
∵ ，
∴2t= ，解得：t1=4- ，t2=4+ （舍去），
故答案是：4- ．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．
17．1.7
【分析】
由 ， ，得 ，进而即可求解．
【详解】
由题意得：OP=5.1，AB=2， ， ，
A． B．
C． D．
8．正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是（）
A． B． C． D．1
9．定义运算： ．若a，b是方程 的两根，则 的值是（）
A．0B． C．2D．2m
10．如图，⊙O的半径为3， 是⊙O的内接三角形，过点A作AD垂直BC于点D．若 ， ，则 长是（）
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江苏省苏州市2021届上学期高三年级期中考试数学试卷(满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2－x －6≤0}，B ＝{x|x 2>4}，则A∩B＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( ) A. 15 B. 14 C. 13 D. 343. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A. 160 B. 180 C. 200 D. 2204. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝（e x－e －x ）cos x x2的部分图象大致是( )6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. －2B. 2C. －eD. e7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A. 125B. 100C. 75D. 508. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝12，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，23]C. (0，34)D. (0，23)二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π6C. g(x)在(－5π6，π6)上递减D. g(x)在(－π3，π3)内的值域为(0，1)10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d≠0，则( ) A. 若S 5>S 9，则S 15>0 B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项 C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8 D. 若S 6>S 7，则S 5>S 611. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝abC. ab 的最小值为1＋ 2D. 1a －1＋1b －1>212. 若函数f(x)＝e x－ln x ＋k x －1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( )A. x 0ex 0＝1B. 12<x 0<1C. k ＝1D. k>1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为_____________________________．14. 若对任意正数x ，满足xy ＋y x＝2－4y 2，则正实数y 的最大值为________．15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x∈R ，不等式e xf(e x)－e x＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)＝sin (ωx－φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的最小正周期为π.(1) 求ω的值及g(φ)＝f(π6)的值域； (2) 若φ＝π3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x(a∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，求实数a 的取值范围． 19. (本小题满分12分)在① c sin B ＋C 2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2A －sinBsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式：S n ≥b n . 21. (本小题满分12分)若函数f(x)在x∈[a，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，ka ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x∈[0，4]时，g(x)＝－x 2＋4x.(1) 求g(x)的解析式；(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．已知函数f(x)＝e x＋ax·sin x.(1) 求曲线C ：y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程；(2) 当a ＝－2时，设函数g(x)＝f （x ）x ，若x 0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x 0)＜2.参考答案一、单选题1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A 二、多选题9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 三、填空题：13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 12 15. 40 000 16. 2四、解答题17. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，(1分) 此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3)．因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤12，(3分)所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12，1]．(4分)(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π3)．由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分)＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分)因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分)因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，所以问题转化为：对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1，即a≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a24－2.(10分)由a24－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分)19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin Csin B ＋C2＝sin Asin C ．(1分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sin B ＋C2＝sin A ．(2分)由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A2，(3分)所以cos A 2＝2sin A 2cos A2.(4分)因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3)，(6分)所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3)，整理得sin C ＝cos C ．(7分) 因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin Ccos C ＝1.因为0＜C ＜π，所以C ＝π4.(9分)(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π3，所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3，(11分)解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分)因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 15－1＝2，(1分)所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16， 所以b 21q 3＝4q 3＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1qn －1＝2n.(3分)(2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分) 所以2k ＋1＝2k ＋32，即2k＝32，解得k ＝5.(5分)存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1)，所以n(n ＋1)≥2n，即2n－n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n－n(n ＋1)， 因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)]，所以当n≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，所以n ＝1，2，3，4时，f (n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数， 所以当x∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x ，(2分)所以g(x)＝x 2＋4x ，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”， 设2≤a＜b≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分)解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x∈[a，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，ka ](k≥8)，所以0＜a ＜b≤4或－4≤a＜b ＜0.当0＜a ＜b≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以ka ≤4.(7分)因为k≥8，所以a≥2.因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＝ka ，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分)所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解． 令h(x)＝x 3－4x 2＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2－8x. 令h′(x)＝3x 2－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83，当x∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，83)上单调递减．当x∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(83，4)上单调递增．(10分)因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k≥8，所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，解得k ＜25627，所以8≤k＜25627.(11分)同理可得：当－4≤a＜b ＜0时，8≤k ＜25627.综上所述，k 的取值范围是[8，25627)．(12分)22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝exx －2sin x ，其中x∈(－π，0)，则g′(x)＝e x（x －1）x 2－2cos x ＝e x（x －1）－2x 2cos xx2.(4分) 令h(x)＝e x(x －1)－2x 2cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x＋2xsin x －4cos x)． 当x∈(－π，－π2)时，因为e x＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(－π，－π2)上单调递减．(5分)因为h(－π)＝2π2－e－π(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0，所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π2)，使得h(x 0)＝0，(7分)所以当x∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x∈(x 0，－π2)时，h(x)＜0，即g ′(x)＜0.当x∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x（x －1）x2－2cos x ＜0. 因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π2)．因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2，所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2，(11分)所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。