选修1-1：抛物线(新人教A版)

2.3.1抛物线的定义和标准方程
教教学学目目标标：：
根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：
1、 知知识识目目标标：：理理解解抛物线的的定定义义；；明明确确焦焦点点、、准线的的概概念念；；了了解解用用抛物线的定定义
义推推导导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；
2、能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；
3情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

教学重点和难点：
重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准
方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。

关键：创设具体的抛抛物物线线的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。

教学方法
启发、探索
教学手段
运用多媒体和实物辅助教学
教教具具准准备备
三三角角板板
教学过程：
一、新课引入：
1、实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）卫星接收天线（观
察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其
轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）
2、复习引入：在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的
点的轨迹，
当0〈e < 1时是什么图形？（椭圆）
当e > 1时是什么图形？（双曲线）
当e = 1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）
教师指出：画出的曲线叫抛物线。

（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）
二、新课讲授：
（一）定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）
平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

概念理解：
平面内有—— (1) 一定点F——焦点
(2) 一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线
探究：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？
（是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）
(3) 动点到定点的距离 |MF|
(4) 动点到定直线的距离 d
(5) | MF| = d
满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线
（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：
１、要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。

首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，
应如何选择坐标系？
［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；
②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。

］
过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题：
（1）如何确定x轴（或y轴）？
（以对称轴为坐标轴）
由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴。

（2）如何确定坐标原点？
（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）
因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。

（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？
［教师引导］通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建
系。

让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生）
取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

２、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）
步骤:（投影展示）
过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与直线l 相交于点K ，
以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜= p （p>0）那么，焦点Ｆ的坐标为
（p / 2,0）,准线l 的方程为x = - p / 2.
设抛物线上的任一点 Ｍ（x,y ），点Ｍ到直线l 的距离为d 根据定
义，抛物线就是点的集合
P={M| |MF|=d} 因为22
2y p x MF +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，2p x d +=，所以 2222
p x y p x +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 将上式两边平方并化简，得
)0(22>=p px y （1）
方程（１）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式
的解。

还可以证明，以方程（１）的解为坐标的点都在此抛物线上。

我们把方程)0(22>=p px y 叫做抛物线的标准方程。

３、（引导分析）标准方程y 2 = 2px (p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）
p 的几何意义：焦点到准线的距离
焦 点：（p/2 ,0）在x 轴的正半轴上
准 线：x = - p/2
顶 点：坐标原点（０，０）
开口方向：向右
4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方
程
5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：
相同点：
１、原点在抛物线上；
２、对称轴为坐标轴；
３、p值的意义：（重点）
（１）表示焦点到准线的距离；
（２）p>0为常数;
（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；
４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.
不同点：
三、例题讲解：
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y 2 =6x,求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程
（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）
解：（1）p ＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是 x ＝－
3/2．
（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且4,22
=∴=p p ， 所以抛物线的标准方程是y x 82-=
例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F （－5，0）
（2）经过点A （2，－3）
解：（1）焦点在x 轴负半轴上， ＝5，所以所求抛物线
的标准议程是x y 202-=．
（2）经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
py x px y 2,222-==
点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝2
9
点A （2，－3）坐标代入x 2＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝
34 ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝
34x 或x 2＝－29y 。

四、课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）
（1）焦点是F （3，0）；
（2）准线方程 是x = 4
1 ； （3）焦点到准线的距离是2。

2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）
（1）y 2=20x (2)x 2=1/2y (3) 2y 2+5x=0 (4) x 2+8y=0
向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴
总结：要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p 值及抛物线开口方向；反之亦然。

五、课堂小结：（提学生归纳总结）
1．椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；
2．会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；
3．注重类比及数形结合的思想。

六、作业布置：
课本 P64 1、2
●●板板书书设设计计
●●教教学学后后记记
抛物线及其标准方程这一节的教学设计，引导学生从感性认识进一步上升到理性认识，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形焦点坐标，准线方程，引导学生运用类比和数形结合的思想解决数学问题，对学生进行辩证唯物主义教育和数学美育教育。