三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质
一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质
二、正切函数的图象与性质
R R x ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝2k π－π
2
(k ∈Z )时，y min ＝－1
奇函数
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ωπ2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅；
(2)2T πω=称为周期；
(3)1f T
=称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相
(6)ω称为圆频率.。
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.“五点法”作图原理在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-.在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.2.3.)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质 （1）最小正周期：wT π2=. （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置.（5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少.例如，函数x y 2sin =的图像向右平移6π个单位，得到的图像表达式是)32sin()6(2sin ππ-=-=x x y ，而不是)62sin(π-=x y ；再如，将图像)6sin(π+=x y 上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是)621sin(x x y +=，而不是)6(21sin π+=x y .此点要引起同学们的的别注意.题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为)sin(ϕ+=wx A y 或)cos(ϕ+=wz A y ，0.0>>w A ，然后依据x y x y cos ,sin ==的性质整体求解.题型1 三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例4.16函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ） A .0 B .4π C .2πD .π 解析 因为函数)sin(ϕ+=x y 是R 上的偶函数，所以其图像关于y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当0=x 时，1sin ±=ϕ，又πϕ≤≤0，所以2πϕ=.故选C.评注 由x y sin =是奇函数和x y cos =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若)sin(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(Z k k ∈=πϕ； （2）若)sin(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ； （3）若)cos(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；（4）若)cos(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(Z k k ∈=πϕ； 若)tan(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈=πϕ，该函数不可能为偶函数. 变式1 已知R a ∈，函数)(sin )(R x a x x f ∈-=为奇函数，则a 等于（ ）. A .0 B .1 C .-1 D .1±变式2 设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 变式3设)sin()(ϕ+=wx x f ，其中0>w ，则)(x f 是偶函数的充要条件是（ ）.A .1)0(=fB . 0)0(=fC . 1)0(='fD . 0)0(='f 例4.17设函数))(22sin()(R x x x f ∈-=π，则)(x f 是（ ）.A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数解析 x x x f 2cos )22sin()(-=-=π，所以是最小正周期为x 的偶函数.故选B.变式1 若函数)(21sin )(2R x x x f ∈-=，则)(x f 是（ ）A. 偶函数且最小正周期为πB. 奇函数且最小正周期为πC. 偶函数且最小正周期为π2D. 奇函数且最小正周期为π2变式2 下列函数中，既是)2,0(π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A .x y 2cos =B .x y 2sin =C .x y cos =D .x y sin = 二、函数的周期性 例4.18函数)62cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期为（ ）A .2π B .4πC .π2D .π 解析 函数)34sin(21)62cos()62sin(πππ+=++=x x x y ，242ππ==T .故选A评注 关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数b wx A y b wx A y b wx A y ++=++=++=)tan(,)cos(,)sin(ϕϕϕ的周期分别为wT π2=，wT π=. （2）函数)cos(,)sin(ϕϕ+=+=wx A y wx A y ，)tan(ϕ+=wx A y 的周期均为wT π=（3）函数)0()cos(),0()sin(≠++=≠++=b b wx A y b b wx A y ϕϕ的周期均wT π2=.变式1 函数)32cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A .1,πB .2,πC .1,2πD .2,2π变式2 已知函数))(cos (sin sin )(R x x x x x f ∈-=，则)(x f 的最小正周期为_____. 变式3 设函数x x x f 3sin 3sin )(+=，则)(x f 为（ ）A. 周期函数，最小正周期为3πB. 周期函数，最小正周期为32πC. 周期函数，最小正周期为π2D. 非周期函数 二、函数的单调性 例4.19函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A .]3,0[πB .]127,12[ππC .]65,3[ππD .],65[ππ解析 因为)62sin(2)26sin(2ππ--=-=x x y ，所以)26sin(2x y -=π的递增区间实际上是 )62sin(2π-=x y 的递减区间.令)(2326222Z k kx x k ∈+≤-≤+ππππ， 解得)(653Z k k x k ∈+≤≤+ππππ. 令0=k ，得653ππ≤≤x ，又因为],0[π∈x ， 所以653ππ≤≤x .即函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 的增区间为]65,3[ππ.故选C评注 三角函数的单调性，需将函数)sin(ϕ+=wx A y 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.如函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的单调区间的确定基本思想是吧ϕ+wx 看做是一个整体，如由)(2222Z k kx wx k ∈+≤+≤-πϕππ解出x 的范围，所得区间即为增区间；由)(23222Z k kx wx k ∈+≤+≤+πϕππ解出x 的范围，所得区间即为减区间.若函数)sin(ϕ+=wx A y 中0,0>>w A ，可用诱导公式将函数变为)sin(ϕ---=wx A y ，则)sin(ϕ--=wx A y 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如)4sin()4sin(ππ--=-=x x y ，令22422πππππ+≤-≤-k x k ，即)(43242Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，可得)](432,42[Z k k k ∈+-ππππ为原函数的减区间.对于函数)tan(),cos(ϕϕ+=+=wx A y wx A y 的单调性的讨论与以上类似处理即可. 变式1 若函数)(sin x f x y +=在]43,4[ππ-内单调递增，则)(x f 可以是（ ）.A .1B .x cosC .x sinD .x cos -变式2 已知0>w ，函数)4sin()(π+=wx x f 在),2(ππ上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A .]45,21[ B .]43,21[ C .]21,0( D .]2,0( 变式3 已知函数)0(,),3cos()3cos(sin 3)(>∈-+++=w R x wx wx wx x f ππ.（1）求函数)(x f 的值域； （2）若)(x f 的最小正周期为]2,0[,2ππ∈x ，求)(x f 的单调递减区间. 四、函数的对称性（对称轴、对称中心） 例4.30函数)32sin(π+=x y 图像的对称轴方程可能是（ ）A .6π-=x B .12π-C .6π=x D .12π=x解析 解法一：已知x y sin =的对称轴方程是)(2Z k k x ∈+=ππ令)(232Z k k x ∈+=+πππ，得)(122Z k k x ∈+=ππ， 当0=k 时，12π=x ，故选D.解法二，当6π-=x 时，032=+πx .其正弦值为0；当12π-=x 时，632ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1当6π=x 时，3232ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1 当12π=x 时，232ππ=+x ，这时12sin=π.故选D评注 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数x y sin =的对称轴为)(2Z k k x ∈+=ππ，对称中心为))(0.(Z k k ∈π；（2）函数x y cos =的对称轴为)(Z k k x ∈=π，对称中心为))(0,2(Z k k ∈+ππ；（3）函数x y tan =函数无对称轴，对称中心为))(0,2(Z k k ∈π；（4）求函数)0()sin(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(2Z k k wx ∈+=+ππϕ，得)(2Z k w k x ∈-+=ϕππ；对称中心的求取方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ，得wk x ϕπ-=，即对称中心为)(b wk ，ϕπ-.（5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ变式1 已知函数)0)(3sin()(>+=w wx x f π的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）.A .关于点)0,3(π对称 B .关于直线4π=x 对称 C .关于点)0,4(π对称 D .关于直线3π=x 对称变式2 )4sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是（ ）A .)0,(π-B .)0,43(π-C . )0,43(πD .)0,2(π变式3 52sin52cos xx y +=的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是______. 变式4 将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ）.A .67πB .2πC .6πD .3π五、三角函数性质的综合 思路提示三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.因为对称性⇒奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数)(x f 为奇函数；若函数图像关于y 轴对称，则函数)(x f 为偶函数）；对称性⇒周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是2T ；相邻的对称中心之间的距离为2T；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4T）；对称性⇒单调性（在相邻的对称轴之间，函数)(x f 单调，特殊的，若0,0),sin()(>>=w A wx A x f ，函数)(x f 在],[21θθ上单调，且],[021θθ∈，设{}21,max θθθ=，则θ≥4T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）例4.21设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中,0,,≠∈ab R b a 若)6()(πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，则①;0)1211(=πf ②)5()107(ππf f <； ③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； ④)(x f 的单调递增区间是)](32,6[Z k k k ∈++ππππ； ⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像不相交. 以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）分析 函数)2sin()(22ϕ++=x b a x f ，a b =ϕtan ，其中一条对称轴为6π=x ，函数的最小正周期π=T ，通过对称轴⇒对称中心（对称轴与零点相距4T的奇数倍）通过对称轴⇒奇偶性（若函数)(x f 为奇函数，则6π等于4T 的奇数倍；若函数)(x f 为偶函数，则6π等于4T的偶数倍）；通过对称性⇒单调性（在相邻的两条对称轴之间，)(x f 单调递增或单调递减）.解析 )2sin()(22ϕ++=x b a x f ，其中a b =ϕtan ，))6((πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，知直线6π=x 是)(x f 的对称轴，又)(x f 的最小正周期为π. 对于①：)436()1211(πππ+=f f 可看做6π=x ，加了43个周期所对应的函数值，所以0)1211(=πf .故①正确对于②：函数)(x f y =周期2π=T ，因为25107πππ=-，所以)5()107(ππf f =，因此)5()107(ππf f <错误，故②不正确. 对于③：因为6π既不是4T 的奇倍数，也不是4T的偶倍数，所以函数)(x f 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以函数)(x f 既不是奇函数也不是偶函数，故③正确 对于④：依题意，函数)(x f 相邻两条对称轴32,621ππ==x x ，在区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ上函数)(x f 单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确.对于⑤：因为x b x a x f 2cos 2sin )(+=)2sin(22ϕ++=x b a （其中ab =ϕtan ），所以22)(b a x f +≤，又0≠ab ，所以22b a b +≤，因此经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像相交，⑤不正确，应填①③. 例4.22设)2cos(sin )6cos(4)(ππ+--=wx wx wx x f ，其中0>w（1）求)(x f 的值域； （2）若)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，求w 的最大值. 解析12sin 32cos 2cos 12sin 32cos sin 2cos sin 322cos sin )6sin sin 6cos(cos 42cos sin )6cos(4)(12+=+-+=++=++=+-=wx wx wx wx wxwx wx wx wxwx wx wx wxwx wx x f πππ）（因为]1,1[2sin -∈wx 所以函数)(x f 的值域为]31,31[+-. （2）解法一：12sin 3)(+=wx x f ，由)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，的)0](2,2[],3[>-⊆-w w w ππππ 故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-223ππwx wx ，得610≤<w ，则w 的最大值为61. 解法二：由12sin 3)(+=wx x f )0(>w 在区间]2,23[ππ-上为增函数，含原点的增区间的对称型可知函数)(x f 在]23,23[ππ-上也为增函数，故π32≥T ，即π6≥T ，得ππ622≥w ，故610≤<w ，则w 的最大值为61评注 一般的，若))((R x x f ∈为奇函数，在],[21θθ上为增函数，其中210θθ<<，若令},max{21θθθ=，则4T≤θ，即可求出w 的范围. 变式1 已知函数)sin(2)(wx x f =，其中常数0>w ，若)(x f y =在]32,4[ππ-上单调递增，求w 的取值范围.变式2 已知函数)0)(sin(2)(>=w wx x f ，)3()6(ππf f =在]4,3[ππ-上的虽小值为-2，则w 的最小值为_____.例4.23若)0)(3sin()(>+=w wx x f π，)3()6(ππf f =且在)3,6(ππ上有最小值无最大值，则______. 解析 依题意，如图4-24所示，在4236πππ=+=x 处)(x f 取得最小值，故Zk k w ∈+=+,2323ππππ得3148+=k w.取0=k ，得314=w .评注 本题融汇了三角函数)sin()(ϕ+=wx x f 的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化 题型2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 思路提示已知函数图像求函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定w ，由适合解析式点的坐标确定ϕ，但有图像求得的)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式一般不唯一，只有限定ϕ的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数ϕ,,w A ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与x 轴的交点）为0=+ϕwx ；“第二点”（即图像曲线的最高点）为2πϕ=+wx ；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为πϕ=+wx ；“第四点”（及图像曲线的最低点）为23πϕ=+wx ；“第五点”（及图像上升时与x 轴的交点）为πϕ2=+wx .例4.24函数),)(2(sin )(R A x A x f ∈+=ϕϕ的部分图像如图4-25所示，那么)0(f =（ A .21-B .-1C .23-D .3-分析 对于)sin(ϕ+=wx A y 的解析式的确定，通过最值确定A ，周期T 确定w ，特征点（尤其是极值点）来确定ϕ；对于零点要分析向上零点还是向下零点. 解析 解法一：依题意Z k k A ∈+=+=,2232,2ππϕπ得Z k k ∈-=,62ππϕ， 所以1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B解法二：由函数)2(sin )(ϕ+=x A x f ，得π=T ，则相邻的零点与对称轴之间的距离为44π=T ，因此图中向上的零点是120π=x ，则满足0)122sin()12(=+⨯=ϕππA f 所以.,62Z k k ∈-=ππϕ故1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B评注 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1）周期（可推出w 的值域范围） （2）振幅（可推出A （A >0））（3）特征点（可形成三角方程，以求ϕ的值）对于本题代入零点)0,(0x ，（0x 为上零点），则满足0)sin(0=+ϕwx A ，所以)sin()sin(sin )0(,,2000wx A wx A A f Z k wx k -=-==∈-=ϕπϕ1)122sin(2-=⨯-=π，对于正弦型函数),0)(sin()(R w wx A x f ∈>+=ϕϕ，若已知上零点0x ，则)sin()0(0wx A f -=.同理，若已知下零点0x '，则)sin()0(0x w A f '=. 变式一 函数0,0,,,)(sin()(>>+=w A w A wx A x f是常数ϕϕ所示，则=)0(f _______.变式二 已知函数)cos()(ϕ+=wx A x f 的图像如图4-27所示，32)(-=πf ，则=)0(f （ ） A .32- B .32C .21- D .21例4.25已知函数),0,0)(sin(πϕϕ<>>+=w A wx A y 的部分图像如图4-28所示，求函数)(x f 的解析式.分析 有最小值为-2确定A ，由周期确定w ，但本题的周期不易求解，我们可抓住,2127T >π，且12743π>T ，建立周期 T 的不等关系，从而得到w 的取值范围，在建立w 的等量关 系（根据零点），最终建立求得w ，而ϕ的确定可通过特征点（0,1）得到.解析 有图知2=A ，将点（0,1），代入)sin(ϕ+=wx A y 中，得ϕsin 21=，即21sin =ϕ，又πϕπ<<-，且（0,1）点在函数的单调增区间上，故6πϕ=，又431272T T <<π，得6797π<<T T ，又因为wT π2=，得67297ππ<<w T ，故718712<<w ，又点)0,127(π-在函数图像上，且127π-为函数)(x f 的下零点，所以Z k k ∈+=+-,26127ππππ，解得Z k k w ∈--=,710724，因此7187********<--<k ，得121167-<<-k ，又Z k ∈，因此1-=k ，此时2=w . 所以).62sin(2)(π+=x x f变式一 已知),)((cos )(2为常数ϕϕw wx x f +=，如果存在正整数w 常数ϕ使得函数)(x f 的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求w 的值.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值） 求解函数解析式（即ϕ,,w A 的值的确定）例4.26已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为)0,43π是一个对称中心，且在区间]2,0[π上为单调函数，求函数)(x f 的解析式.分析 本题的目标是求φ,w 因为)sin(ϕ+=wx y 为偶函数，则必关于y 轴对称，因此化为wx y cos =的形式，由函数在]2,0[π上单调，则]2,0[π最多只会是半个周期，即22π≥T ，从而得wT π2=得w 的范围，再代入对称中心求解.解析 由函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为R 上的偶函数，则2πϕ=，得wx x f cos )(=，且在区间]2,0[π上为单调函数，得22π≥T ，即π≥T ，故ππ≥w 2，又0>w 得20≤<w .，同时点)0,43(π为函数)(x f 的一个对称中心，的Z k k w ∈+=,243πππ，则Z k k w ∈+=,324，因此23240≤+<k ，得Z k k ∈≤<-,121所以0=k 或1得32=w 或2，所以函数)(x f 的解析式为x y 32cos =或x y 2cos =.评注 根据函数必关于y 轴对称，在三角函数中联想到wx y cos =的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.变式一：已知函数),20,0)(sin(4)(R x w wx x f ∈<<>+=πϕϕ图像的两条相邻对称轴的距离为3π，且经过点（0,2）.（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的解析式.题型3 函数的值域（最值） 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1）b x a y +=sin ，设x t sin =，化为一次函数b at y +=在]1,1[-上的最值求解. （2）c x b x a y ++=cos sin ，引入辅助角)(tan ab=ϕϕ，化为c x b a y +++=)sin(22ϕ，求解方法同类型（1）（3）c x b x a y ++=sin sin 2，设x t sin =，化为二次函数c bt at y ++=2在闭区间]1,1[-∈t 上的最值求解，也可以是c x b x a y ++=sin cos 2或c x b x a y ++=sin 2cos 型.（4）c x x b x x a y +±+=)cos (sin cos sin ，设x x t cos sin ±=，则x x t cos sin 212±=，故21cos sin 2-±=t x x ，故原函数化为二次函数c bt t a y ++-±⋅=)21(2在闭区间]2,2[-上的最值求解.（5）d x c b x a y ++=sin sin 与dx c bx a y ++=cos sin ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于x sin 或x cos 的函数求解释务必注意x sin 或x cos 的范围.例4.27函数x x x f cos sin )(=的最小值是（ ）A .-1B .21-C .21D .1分析 将函数)(x f 转化为)sin(ϕ+=wx A y 的形式求最值 解析 函数).(2sin 21cos sin )(R x x x x x f ∈==最小值为21-，故选B. 评注 若本题改为“]4,0[,cos sin )(π∈=x x x x f ”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定.变式1 函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（ ）.A .[-2,2]B .]3,3[-C .[-1,1]D .]23,23[-变式2 函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间]2,4[ππ-上的最大值是（ ）. A .1 B .231+ C .23D .31+ 例4.28函数)6sin(3)3sin(4x x y -++=ππ的最大值为（ ）A .7B .2332+ C .5 D .4 分析 由263πππ=-++x x ，利用诱导公式把)6(x -π转化为)3(π+x ，化不同角为相同角，将函数化为)sin()(ϕ+=wx A x f 的形式.解析 )]6(2cos[3)3sin(4x x y --++=πππ)3cos(3)3sin(4x x +++=ππ )43tan )(3sin(5=++=ϕϕπ其中x ，所以5=wax y .故选C.变式1 求函数)(2cos 2)32cos()(2R x x x f ∈++=ππ的值域 变式2 求函数])2,12[)(4sin()4sin(2)32cos()(πππππ-∈+-+-=x x x x x f 的值域.例4.29求函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=的最大值和最小值.分析 通过二倍角公式和同角公式将函数)(x f 的公式化简为)(cos cos 2R x c x b x a y ∈++=的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值.解析 ,1cos 4cos 3cos 4)cos 1()1cos 2(2)(222--=--+-=x x x x x x f 令]1,1[cos -∈=x t ，则])1,1[(37)32(3143)(22-∈--=--=t t t t t g ，因为]1,1[-∈t ，所以当1-=t 时，)(t f 取最大值6，即)(x f 的最大值为6；当32=t 时，)(t g 取最小值37-，即)(x f 的最小值为37-.变式1 已知4π≤x ，求函数x x y sin cos 2+=的最小值.变式2 求函数)20(2385cos sin 2π≤≤-+=x a xa x y 的最大值. 变式3 若0cos sin 2=++a x x 有实数解，试确定实数a 的取值范围. 变式4 若关于x 的方程0sin cos 2≥+-a x x 在]2,0(π上恒成立，求实数a 的取值范围.例4.30对于函数)0(sin 1sin )(π<<+=x xx x f ，下列结论中正确的是（ ）.A .有最大值无最小值B .有最小值无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值分析 形如dx c bx a y ++=sin sin 的函数的最值，可考虑用函数的有界性求解.解析 解法一：x x f sin 11)(+=，令]1,0(sin ∈=x t ，则ty 11+=在区间]1,0(上单调递减，即)(x f 只有最小值无最大值.故选B 解法二：1sin sin sin 1sin =-⇒+=x x y xx y ，得111sin 0≤-=<y x ，解得2≥y ，所以)(x f 只有最小值无最大值.故选B 变式1 求函数xxy sin 2cos 3+=的值域.变式2 若24ππ<<x ，则函数x x y 2tan 2tan =的最大值为_______.题型4 三角函数图像变换 思路提示由函数x y sin =的图像变换为函数)0,()sin(>++=w A b wx A y ϕ的图像.方法一：)(ϕϕ+→+→wx x x 先相位变换，后周期变换，再振幅变换.x y sin =的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00)sin(ϕ+=x y 的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00ϖϖ)sin(ϕ+=wx y 的图像→横坐标不变倍来的所有点的纵坐标变为原A)sin(ϕ+=wx A y 的图像→<>）个单位（向下平移）个单位（向上平移00b b b b b wx A y ++=)sin(ϕ 例4.31把函数12cos +=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1分析 利用三角函数的图像与变换求解解析 12cos +=x y →纵坐标不变倍横坐标伸长2−−−−−−→−+=个单位长度向左平移11cos x y −−−−−−→−++=个单位长度向下平移11)1cos(x y ).1cos(+=x y结合选项可知，函数图像过)0,12(-π.故选A变式1 为得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）.A .向左平移125π个单位 B . 向右平移125π个单位 C .向左平移65π个单位 D . 向右平移65π个单位变式2 已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图像（ ）.A .与)(x g 图像相同B .与)(x g 图像关于y 轴对称C .是由)(x g 的图像向左平移2π个单位得到D .是由)(x g 的图像向右平移2π个单位得到 变式3 已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，为了得到)cos()(wx x g =的图像，只要将)(x f y =的图像（ ）C DA .向左平移8π个单位长度 B .向右平移8π个单位长度 C .向左平移4π个单位长度 D .向右平移4π个单位长度例4.32已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图像过点)21,6(π.（1）求ϕ的值（2）将)(x f 图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值解析 由题意把点)21,6(π代入函数的解析式得21cos 21cos 43sin 3sin 21=-+ϕϕϕπ 1)6sin(cos 21sin 23=+=+⇒πϕϕϕ （1）1)6sin(=+πϕ，.3,26),67,6(6),,0(πϕππϕπππϕπϕ==+∈+∈ （2）41cos 21232sin 21)(2-+⋅=x x x f )62sin(2141)2cos 1(412sin 43π+=-++=x x x ， 依题意)64sin(21)622sin(21)(ππ+=+⋅=x x x g ， 当6764ππ=+x ，即4π=x 时，)(x g 取最小值41-；当264ππ=+x ，即12π=x 时，)(x g 取最大值21.变式1已知向量)0)(2cos 2,cos 3(),1,(sin >==A x Ax A n x m ，函数n m x f ⋅=)(的最大值为6.（1）求A（2）求将函数)(x f y =的图像向左平移12π个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的21倍，，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求)(x g 在]245,0[π上的值域最有效训练题1.已知函数)02,0)(sin()(<<->+=ϕπϕA wx A x f ，在65π=x 时取得最大值，则)(x f 在]0,[π-上的单调增区间是（ ）.A .]65,[ππ-- B .]6,65[ππ-- C .]0,3[π- D .]0,6[π- 2.若直线t x =与函数)42sin(π+=x y 和)42cos(π+=x y 的图像分别交于P ,Q的最大值为（ ）A .2B .1C .3D .2 3.已知函数x x x f sin cos )(2+=，那么下列命题中假命题是（ ）A .)(x f 既不是奇函数也不是偶函数B .)(x f 在]0,[π-上恰有一个零点C .)(x f 是周期函数D .)(x f 在)65,2(ππ上是增函数4,.已知函数)46sin()(π+=x x f 的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数一个对称中心是（ ）.A .)0,16(π B .)0,9(π C .)0,4(π D .)0,2(π5.如图4-30所示，点P 是函数0,)(sin(2>∈+=w R x wx y ϕx 轴的交点，若0=⋅PN PM ,则w 的值为（ ）A .8π B .4πC .4D .8 6.已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3sin(2π，（ ）..[2]A 2]B 2]C 2)D7.已知函数22()2sin cos f x x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的最小正周期为π，则()f x 的单调递增区间为 . 8.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->的图象和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象对称轴完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围为 .9.定义一种运算12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-，将函数()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左移(0)n n >个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 .10.某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上为单调递增，在[0,]π上单调递减；②存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；③点(,0)2π是函数()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =的图象关于直线x π=对称.其中正确的是 .（把所有正确的命题的序号都填上）. 11.已知函数22()cos(2)sin cos .3f x x x x π=-+-(1)求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域.12.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中 (,0,0,)22x R A ππωϕ∈>>-<<的部分图 像如图4－31所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知函数()f x 图像上三点Ｍ，Ｎ，Ｐ的横坐标分别为－1，1，5，求sin MNP ∠ 的值.。
《三角函数的图像及性质》知识点总结及典型例题
三角函数的图像与性质模块一、三角函数的图像和性质要点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosxx ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 要点二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=-时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k k πππ-上是增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数． 对称性对称中心(),0k π对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函 数性质模块二、函数sin()y A x ωϕ=+（A≠0，ω≠0）的图像与性质要点三、几个物理量：A 为振幅；2πωT =为周期；1f T=为频率（周期的倒数）；x ωϕ+为相位；ϕ为初相（x=0时的相位）；要点四、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
三角函数的图像与性质-知识点与题型归纳
●高考明方向1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55二、例题分析：（一）三角函数的定义域和值域例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____________解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z. ∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一：利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．（I ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++………2分)24x =++ …………3分……4分即()f x的值域为2]+. …………………6分注意：《名师一号》P56 高频考点例1 规律方法2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求sin()=++y A x bωϕ的值域如：①sin cosy a x b x=+sin()y A xϕ=+②22sin sin cos cosy a x b x x c x=++sin2cos2y d x e x f=++sin(2)y A x bϕ=++注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58 特色专题典例1若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a，b的值是()降幂合一变换合一变换A ．a ＝－1，b ＝ 3B ．a ＝1，b ＝－ 3C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 则⎩⎨⎧ －a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值 是________，最大值是________．解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: (补充)（1）求函数22tan 1()tan 1x f x x -=+的值域【答案】[)1,1-（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域【答案】)+∞2222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 32tan x x x f x x x xx x x x x x f x x x π++==+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭≥=注意：求三角函数的值域的常用方法之三： 求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！例2．（4）(补充)求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域【答案】12⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之四： 《名师一号》P56 问题探究 问题3如何求三角函数的值域或最值？③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)．利用22sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题变式:求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域7．数形结合法： 例7(2)《名师一号》P14 问题探究 问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数4sin 12cos 4+=-x y x 的值域解:()114sin sin 4422cos 2cos 2⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段斜率的2倍,设过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 的点的直线方程为 ()12+=-y k x 即1204---=kx y k 1=解得34=-k 或512=k 答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数[]cos 10,sin 2-=∈-x y x x π的值域答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式：求函数cos 1,sin 222-⎡⎤=∈-⎢⎥-⎣⎦x y x x ππ的值域 答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦拓展:8月月考第16题函数22)24()2cos x x x f x x xπ+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x x x x x x x x f x x x x x x xπ+++++++===++++，记2sin ()2cos x x g x x x+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1如何求三角函数的周期？(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习:《加加练》P3 第11题例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数， 则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数， ∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解：(3)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值，若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．《名师一号》P56 问题探究 问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x . (补充)结果写成直线方程！如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，可求其对称轴与对称中心， 对于y ＝A tan(ωx ＋φ)可求出对称中心．练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 即φ＝π6＋k π(k ∈Z)． 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.练习2：《计时双基练》P247 第3题（四）三角函数的单调性例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.又函数在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.练习1：《计时双基练》P247 第7题 函数y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭24的单调递减区间为练习2:《加加练》P1 第11题（2）《名师一号》P57 高频考点 例2已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【规范解答】 先化简，再用换元法求解．f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，由题意知－a 2×(－2)≤12，∴a ≤2. ∴a 的取值范围为(－∞，2]．课后作业一、计时双基练P247 基础1-11、课本P56变式思考1二、计时双基练P247培优1-4课本P56变式思考2、3预习 第五节练习：1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.12 分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.取到最值时x ＝2π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期． 解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝2T ＝2. 故选B.2、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。
三角函数的图像与性质知识点及习题
三角函数的图象与性质基础梳理 1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__ x ＝k π＋π2(k ∈Z )__ _； 对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _对称轴：x ＝k π(k ∈Z )___； 对称中心：_(k π＋π2，0) (k ∈Z )__对称中心：_⎝⎛⎭⎫k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z ) __单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____； 单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )______单调增区间_(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )___奇偶性 奇函数偶函数奇函数3.有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 热身练习:1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π124．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0)B .⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是( )A.(0，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，2π D .⎝⎛⎭⎫－π，－π2 6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对任意x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )7.函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4x ∈R 的最小正周期为____． 8..y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为_____，此时x ＝_________. 9．函数y ＝(sin x －a )2＋1，当sin x ＝1时，y 取最大值；当sin x ＝a 时，y 取最小值，则实数10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是 .题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x . 变式训练1 (1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x x π-+--=+(2)求函数y 122log tan x x =+.题型二、三角函数的五点法作图及图象变换例2已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)用五点法作出f (x )在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？题型三 三角函数图象与解析式的相互转化例3函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．例4若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，求a 的取值范围，并求此时x 1＋x 2的值．例4已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的解析式，并求满足g (x )≥2且x ∈[0，π]的实数x 的取值范围．题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.变式训练2 (1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值； (2)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值.题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量m ＝(3sin2x －1，cos x )， n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m n ⋅，x ∈R. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间．题型七 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π6B.π4C.π3D.π2变式训练3 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sinx ＋cos x 的最大值是 ( )A.223B.233C.43D.263(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)求函数y ＝2sin x cos 2x1＋sin x的值域；(2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值；(3)若函数f (x )＝1cos 24sin()2x x π++－a sin x 2·cos(π－x2)的最大值为2，试确定常数a 的值．【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C . (3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d )型，可用分离常数法或由|sin x |≤1(或|cos x |≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决． 例4已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的一个零点．(1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：已知函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a 和b 的值.(2)若 a ＞0，设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项正确的是( )A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为22．若α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点(π12，0)对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(5π12，0)对称D ．关于直线x ＝π12对称4．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点(π4，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A ．[π4，3π4]B ．[3π4，7π4]C ．[π2，3π2]D ．[3π4，3π2]5．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，g (x )＝3cos(ωx ＋φ)，若对任意x ∈R ，都有f (π3＋x )＝f (π3－x )，则g (π3)＝____. 6．设函数f (x )＝2sin(πx 2＋π5)，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．8．设函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1，将函数f (x )的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若0＜α＜π2，且g (x )是偶函数，求α的值．三角函数的图象与性质练习二1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( )A.x ＝5π12B.x ＝π3C.x ＝π6D .x ＝π122.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π，0)B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，03.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4B.－3π4C.π4D.π2二、填空题 4.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为___________.5.已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是______________. 4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．6.关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称.其中正确命题的序号是_________ 三、解答题7.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间.8.(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域.三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )＝sin x ，则 f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为 ( ) A.－12B.12C.－32D.322.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B .32C.2D.3 3.函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题4.设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________. 5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝___________. 6.给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形. 其中正确的序号为___________. 三、解答题7.若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax ·cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列. (1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，543．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )． A.23 B.32C ．2D ．3 4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )．A ．2π B.3π2 C ．π D.π25．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数二、 填空题7.y =－|sin （x +4π）|的单调增区间为_______. 8.要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移___单位. 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为_______.10函数f(x)02x π≤≤) 的值域是______ __. 11.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________12、给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．13．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．14．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______． 15．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________． 三、解答题16．已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x . (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．17．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18、设函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期． （2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．。
三角函数的图象与性质知识点汇总
三角函数的图象与性质一、知识网络三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx.（2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 .（ⅱ）为偶函数；为奇函数.3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 .（ⅱ）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 .（ⅱ）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.（二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（1）基本三角函数图象的对称性（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为；正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0） .（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为；余弦曲线y＝cosx的对称中心（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；正切曲线y＝tanx无对称轴.认知：①两弦函数的共性：x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.②正切函数的个性：（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.2、基本变换（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移3、y＝的图象（1）五点作图法（2）对于A，T，，的认知与寻求：①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.：由T＝得出. ③：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题例1、求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：（1）∵∴，即所求函数的值域为 .（2）由∴∴注意到这里x∈R，，∴∴所求函数的值域为[－1，1].（3）这里令sinx＋cosx＝t则有且由于是有∵∴因此，所求函数的值域为 .（4）注意到这里y>0，且∵∴即所求函数的值域为 .（5）注意到所给函数为偶函数，又当∴此时同理，当亦有 . ∴所求函数的值域为 .（6）令则易见f（x）为偶函数，且∴是f（x）的一个正周期. ①只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x∈[0， ]时，又注意到，∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.而在[0， ]上，递增. ③亦递增④∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.∴即⑤于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx 与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）＝＝∴所求最小正周期 .（2）＝＝＝∴所求周期 .（3）＝＝＝ .注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为 .（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 . ∴所求函数的周期为2 .（5）注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 .点评：对于（5），令则由知，是f（x）的一个正周期.①又∴不是f（x）的最小正周期. ②于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.例3、已知函数的部分图象，（1）求的值；（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.解：（1）令，则由题意得f（0）＝1∵∴注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法”得：由此解得∴所求， .（2）由（1）得令，解得，∴函数f（x）图象的对称轴方程为；令解得，∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：例4、（1）函数的单调递增区间为。
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.五点法”作图原理在确定正弦函数y Sinx(x [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,0),( ,1),( ,0),( , 1),(2 ,0).2 2在确定余弦函数y COSX(X [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,1),^-,0),( , 1),( ,0),(2 ,1).2 22•三角函数的图像与性质ASin(wx )与y ACoS(WX )(A 0, W 0)的图像与性质3. y(1)最小正周期：T .W(2)定义域与值域：y ASin(wx ) , y ACOS(WX )的定义域为R 值域为[-A,A].(3)最值假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当WX — 2k (k Z)时，函数取得最大值A当WX — 2k (k Z)时，函数取得最小值A;②对于y ACOS(WX )，当WX 2k (k Z)时，函数取得最大值A;当WX 2k (k Z)时，函数取得最小值A;(4)对称轴与对称中心假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当 WX O k — (k Z),即卩 Sin(wx 0 )1时，y Sin(wx )的对称轴为X X 0当WX ok (k Z)，即Sin(WX o ) 0 时，y Sin(WX )的对称中心为(X 0,0).②对于yACOS(WX )，当WX 0k (k Z)，即卩 CQS(WX O ) 1时，y CQS(WX )的对称轴为X X 0 当WX ok (k Z)，即卩 CQS(WX O)时，y CQS(WX)的对称中心为(X 0,0).正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置 •正、余弦的对称中心是相应函数与 X 轴交点的位置. (5)单调性. 假设A 0, W 0.①对于yASi n(wx)WX[二 2k,2 2k ](k Z) 增区间;2WX[ 2k 2 3,22k ](k Z) 减区间. ②对于yACQS(WX )WX [ 2k ,2k ](k Z)增区间；WX[2k ,2k](k Z)减区间.(6)平移与伸缩由函数y Sinx 的图像变换为函数 y 2sin(2x—) 3的图像的步骤; 3方法(XX -2x -)23'先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们 想欺负 ”(相一期一幅) 三角函数图像，使之变形y Sin X 的图像向左平移一个单位3y Sin (X护图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y Sin(2X捫图像所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变y 2Sin(2X3)的图像方法二：(XXΞ 2xT ).先周期变换，后相位变换，再振幅变换向上平移3个单位y 2 Si n(2x —) 3y Si nx 的图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y sin 2x 的图像向左平移—个单位6y Si n2(x) Sin (2x )的图像6 2向上平移3各单位y 2 Si n(2x )的图像y 2 Si n(2x ) 33 3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即想欺负”，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 X 而言的,即图像变换要看 变量X ”发生多大变化，而不是 角WX移一个单位，得到的图像表达式是 y Sin 2(x) Sin(2x ),而不是y Sin(2x )；再如，将 66 3 6图像y Sin(X -)上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是61X 1 y Sin(—X),而不是y Sin (X )•此点要引起同学们的的别注意 •26 26题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为 y ASin(WX)或y ACOS(WZ )， A 0.w O ，然后依据y Sin X, y CoSX 的性质整体求解•题型1 三角函数性质的应用 一、函数的奇偶性 例4.16函数y Sin(X )(0)是R 上的偶函数，贝U 等于( )A. 0 B . — C. — D.4 2解析 因为函数y Sin(X )是R 上的偶函数，所以其图像关于 y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当X 0时，Sin 1 ,又0 ,所以 -.故选C.2评注 由y Sinx 是奇函数和y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若 y ASi n(x )为奇函数， 则k (k Z)；(2) 若 y ASi n(x )为偶函数，则 k(k 2Z)； (3) 若 y ACOS(X )为奇函数, 则 k(k2Z)；(4) 若 y ACOS(X)为偶函数, 则k (k Z)；k若y Atan(x )为奇函数，则 (k Z),该函数不可能为偶函数.所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变”变化多少•例如，函数y Sin2x 的图像向右平2变式1已知a R,函数f (X) Sinx a(x R)为奇函数，则a等于( )A.0B.1 C.-1D. 1变式2 设 R ,则“O ”是“f(x) CoS(X )(x R)为偶函数”的( )),其中W 0 ,则f (x)是偶函数的充要条件是(A. f (0) 1B. f(0)0 C. f (0)1 D. f (0)例 4.17 设函数 f(χ) Sin(2x -)(x R),则 f(x)是()2A. 最小正周期为 的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为一的奇函数2 D. 最小正周期为一的偶函数2解析 f(x) sin(2x -) cos2x ,所以是最小正周期为 X 的偶函数•故选B.2 2 1变式1 若函数f(χ) Sin X -(X R),则f(x)是()2 A. 偶函数且最小正周期为 B. 奇函数且最小正周期为 C. 偶函数且最小正周期为 2 D. 奇函数且最小正周期为 2二、函数的周期性Tw.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 (2)函数 ASi n(wx ),y ACOS(WX )， y Ata n(wx )的周期均为T(3)函数ASi n(wx )b(b 0),y2ACOS(WX ) b(b 0)的周期均 T -变式 3 设 f (x) Sin(WX 变式2F 列函数中，既是(0,—)上的增函数，又是以2为周期的偶函数的是(A. y cos 2xB. y sin 2xc ∙y COSXD.ySin X例4.18函数ySin (2x )COS (2X 6S)的最小正周期为( A.—2B.—4C. 2D.解析 函数ySin (2x 评注 —)Cos(2x 关于三角函数周期的几个重要结论:1) sin(4x 62•故选A(1) 函数ASin (WX )b, y A COS(WX ) b, y A tan(wx2)b 的周期分别为TI Wl变式1函数y Sin(2x —) cos(2x —)的最小正周期和最大值分别为( )A. ,1 B ∙ ,、2 C. 2 ,1 D.2 ,,2 变式2 已知函数f(x) Sin X(Sinx COSX)(X R),贝U f(x)的最小正周期为 变式3 设函数 f(x) sin3x Sin3x ,贝U f (x)为( ) A. 周期函数，最小正周期为 B . 周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为 非周期函数 一、函数的单调性C. D. 3 2 3 2 例4.19函数y 2si n( 2x)( x 6 7 B ∙[,]12 12 [0,])为增函数的区间是( )解析因为y 2si n( — 2x) 6 2sin(2x 6)， 所以y 2sin(6 2X)的递增区间实际上是 y 2 si n(2x 2 6 2解得 k X k (k Z). 3 5 X 6 令k 0 ,得 —— ,又因为X [0,]， 3 6所以 X 5 .即函数 y 2sin(- 2x)(x [0, 5 ])的增区间为[,].故选C 3 66 3 6 评注 三角函数的单调性， 需将函数y ASi n(wx )看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数,复合函数单调区间的单调方法转化为解一兀- 次不等式 令2k Z), 2x 如函数y ASi n( wx -)的递减区间. 2kx —(k )(A 0,w 0)的单调区间的确定基本思想是吧 WX 看做是一个整体，如由 利用 2k2 WX2k 2WX2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为增区间；由2 3 2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为减区间 若函数y ASin(wx )中2A 0, w 0 ,可用诱导公式将函数变为 y ASin( WX ),则y ASin( WX )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如y sin( x) Sin(X ),令44232kX 2k ,即 2k X 2k(k Z),可得［2k,2k 2 4244 4为原函数的减区间•对于函数y ACoS(WX ),y Atan(wx)的单调性的讨论与以上类似处理即可3 变式1若函数y Sinx f (x)在［,］内单调递增，则f (x)可以是( )4 4A.1B.cosxC.sinXD. cosx变式2 已知W 0 ,函数f(χ) Sin(WX 1 5 1 3 1A ∙［亍匚］B ∙［;,;］ C.(0j2 4 2 4 2 -)在(一，)上单调递减，则 W 的取值范围是(4 2D.(0,2] 变式 3 已知函数 f (x) . 3Sin wx COS(WX ) COS(WX ), X R, (W 0).3 3(1)求函数f (x)的值域； (2)若f (X)的最小正周期为，χ [0,—],求f (x)的单调递减区间2 2四、函数的对称性(对称轴、对称中心) 例4.30函数y Sin(2x-)图像的对称轴方程可能是(A. XB.C. XD.X6 12 6 12解析解法一：已知y Si nx 的对称轴方程是X k -(k Z)2 k令 2x 3 k (k Z),得 X(k Z)，2 2 12当k 0时，X ，故选D.12解法当 X时， 2x0.其正弦值为 0；63当X 时，2x123 6 ,其正弦值不等于1或-1当X时，2x -2 其正弦值不等于 1 或-1633当X时，2x—， 这时Sin 1.12 322(1)函数y Sin X 的对称轴为X k(k 2Z),对称中心为(k .0)(k Z)；(2)函数y cosx 的对称轴为X k (k Z) ,对称中心为(k ,0)(k Z )； (3)函数yta nx 函数无对称轴，对称中心为k(―,0)(k Z)；故选D评注 关于三角函数对称的几个重要结论;24A.关于点(一,0)对称3 B.关于直线X—对称4C.关于点(一,0)对称D .关于直线X -对称43变式2 y Sin(X)的图像的一个对称中心是( )43 A.( ,0)B.(4,O)3C. (4 ,O)D⑺2x 2x变式3 yCOST SinT 的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4 将函数y Sinx3CoSX 的图像沿X 轴向右平移a 个单位(a 0)，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ).A. 7B. C. D.—62 6 3五、三角函数性质的综合思路提示三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性 因为对称性奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f (X)为奇函数；若函数图像关于 y 轴对称,则函数f(x)为偶函数)；对称性 周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是T;相邻的对称中心之间的距离为 T;相邻的对称轴2 2与对称中心之间的距离为 T)；对称性 单调性(在相邻的对称轴之间，函数 f(x)单调，特殊的，若4(4)求函数y ASin(WX) b(w 0)的对称轴的方法；令 WXk (k Z),得k X 2 ---------- (k Z);对称中心的求取方法；令 WXW为( ------ ,b).Wk (k Z),得 X,即对称中心k (5)求函数y ACOS(WX ) b(W 0)的对称轴的方法； 令WX k (k Z)得X Z --------------------------W k即对称中心为( ----------- ,b)(k Z)W变式1已知函数f (X) Sin(WX )(W 30)的最小正周期为,则该函数的图像(24f (x) ASin(wx), A 0, w 0 ,函数 f (x)在[I , ?]上单调，且 0 [1,2],设 max 1,2,则T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)6 3 6 3例 4.21 设 f(x) asin 2x bcos2x ,其中 a, b R,ab 0,若 f (X )11 ① f (IT ) 0；③f (X)既不是奇函数也不是偶函数;④ f (X)的单调递增区间是[k - k —](k Z)；6,3⑤ 存在经过点(a,b)的直线与函数f (x)的图像不相交. 以上结论正确的是 ________ (写出所有正确命题的序号)分析 函数f(χ) ,a 2b 2sin(2χ )，tan -,其中一条对称轴为 X ―,函数的最小正周期 a 6T ,通过对称轴 对称中心(对称轴与零点相距 T 的奇数倍)通过对称轴奇偶性(若函数f(x)为4奇函数，则一等于T的奇数倍；若函数f (X)为偶函数，则一等于T的偶数倍)；通过对称性单调性(在6 46 4相邻的两条对称轴之间，f(x)单调递增或单调递减).是f (X)的对称轴，又f (X)的最小正周期为关于y 轴对称，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确2 2对于④：依题意，函数 f(x)相邻两条对称轴x 1 -,x 2,在区间[k -,k](k Z)上函数f (X)单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确f (―)对一切X R 恒成立，则 6② f(7F )解析 f (x) a 2b 2Sin(2x),其中 tanb，f(xaf (O ))对一切 XR 恒成立，知直线X -11对于①：f(—)123)可看做X3,加了 -个周期所对应的函数值，所以 6 4 11 f(IT) 0.故①正对于②：函数y f (X)周期T77—，因为 ——一一，所以f ()f(—)2 10 5 2105对于③：因为一既不是T的奇倍数，也不是 64 T的偶倍数，所以函数4f(x)的图像既不关于原点对称，也不因此咱错误，故②不正确K(其中tan —)，所以af (x) a 2 b 2 ,又 ab⑤不正确，应填①③.(1)求f (X)的值域;3⑵若y f (X)在区间［亍R 上为增函数，求W的最大值.解析(1)f (x) 4 COS(WX —)sin wx cos2wx4(CoSWXCos & Sinwxsinfsin wx cos2wx 2 -. 3 Sin WXCOSWX 2sin 2WX cos2wx .3sin 2wx 1 cos2wx cos2wx .3sin2wx 1[1,1]所以函数f (X)的值域为[1 .. 3,1 ... 3].f(X) 3sin2wx 1,由y f(X)在区间［3T2］上为增函数，的例 4.22 设 f (χ) 4COS(WX )Sin WX 6 cos(2wx ),其中 W评注一般的，若f (x)(x R)为奇函数，在【1,2】上为增函数，其中2 ,若令max{ 1, 2},则T,即可求出W 的范围. 4变式1已知函数f (x)2sin(wx),其中常数 W 0,若y f(x)在[2］上单调递增，求W 的取 3变式2 已知函数f (x) 2sin(wx)(w 0)，f (―) f (—)在［—,—］上的虽小值为-2 ,则W 的最小值对于⑤：因为 f(x) a sin 2x b cos2 X.a 2 b 2Sin(2x) ,a 2 b 2 ,因此经过点(a,b)的直线与函数f (X)的图像相交,因为Sin 2wx (2)解法一: [3w ,w[2，-](W0)3wx故WX2，得 0 W1 1 ,则W 的最大值为一. 6解法二：由 f(x),3sin 2wx 1 (W3O)在区间［32,2］上为增函数,含原点的增区间的对称型可知3 函数f (x)在[— 2 牛］上也为增函数, T 2故一3 ,即T 6 ,得—2 2w1,故0 W 6 ,则W的最44例4.23若f (X) Sin(WX-)(W O)，f （—）且在（ -- ）上有最小值无最大值，则 3 6'3题型2根据条件确定解析式方向一： 知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式 思路提示干个点代入函数式，可以求得相关特定系数 A,w,,这里需要注意的是，要认清选择的点属于五点”中的 哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是:点）来确定 ；对于零点要分析向上零点还是向下零点 解析 解法一：依题意 A 2,232k-,k Z 得 2k-,k Z ， 26所以 f (0) 2sin 2si n(2k-)6 1, 故选 B解法二 二：由函数f （x ） A(Sin 2x ）， 得T,则相邻的零点与对称轴之间的距离为T-,因此图中向上的零点是 X 0,则满足f( ) ASin(2 ) 0所以 2k ,k Z.故12 12 12 6解析 依题意，如图4-24所示，在X8k 14.取 k 0,得 W314 32k3—,k Z 2评注 本题融汇了三角函数 f （x ） Sin （WX ）的最值（对称轴）、 周期性、单调性之间的相互关系与转化f(O )已知函数图像求函数 y ASin(wx )(A 0, w 0)的解析式时,常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A ，由周期确定 W ,由适合解析式点的坐标确定 ，但有图像求得的y ASi n(wx)(A0,w0）的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若第一点”（及图像 上升时与X 轴的交点）为WX 第二点”（即图像曲线的最高点）为 WX ；第三点”（及图像下降时与轴的交点），为WX ；第四点”（及图像曲线的最低点）为WX —；第五点”2（及图像上升时与 X 轴的交点） 为 WX 例 4.24 函数 f(x) A(Sin2x)(代1 A. 2B.-1C. 分析 对于y ASin （wx ）的解析式的确定，通过最值确定R ）的部分图像如图D.9 W127f （0） 2sin 2sin （2k） 1 ,故选 B6评注 对于三角函数问题中的 知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1） 周期（可推出 W 的值域范围） （2） 振幅（可推出 A （ A>0）） （3） 特征点（可形成三角方程，以求 的值） 对于本题代入零点（X o ,o ），（ X o 为上零点），则满足AS in （WX o ） 0,所以 2k wx 0, k Z, f (0) ASin Asin( wx 0) ASi n(wx 0) 2Sin(2 石) 1，对于正弦型函数f （X ） ASin(wx )(w 0, R),若已知上零点 X 0 ,则 f(0)ASin （WX 0） •同理，若已知下零 点x °，则 f (0) ASin(WX 0). 变式一 函数 f(x) ASin(wx )(A,w,是常数,A f(0) 0,w变式二 已知函数f(x) ACOS(WXA. C. 2 3 12 2B.-3 1 D.—2）的部分图像如图 ()例4.25已知函数 y ASi n(wx )(A 0,w 0, 式. 分析有最小值为-2确定A ， 不易求解，我们可抓住 — 12 由周期确定W ,但本题的周期 T 3T 7 T ,，且3T —,建立周期2 4 12 T 的不等关系, 系（根据零点） （0,1）得到. 从而得到 W 的取值范围，在建立 W 的等量关 ,最终建立求得 W ,而 的确定可通过特征点4-28所示，求函数f （x ）的解析 解析有图知 A 2 ,将点（0,1）,代入y ASin (WX ）中，得12sin ,即 Sin 1 ,又22 ,又因为T—， 6WT_，又—6 2712 18 7,故 W ,又点( ，0)在函数图像上，且 6 7 712 2410 12 2k ,k Z ,解得 W 24k 10,k Z ,因此777（0,1）点在函数的单调增区间上，故7T 为函数f （X ）的下零点，所 12迢k W 里，得7 7 75 sin (X3-k 11 ,又k Z ,因此k 1,此时W 2.6 12所以 f(x) 2sin(2x)• 6变式一已知f(x) cos 2(wx )(w,为常数)， 点(1,0)如图4-29所示，求W 的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值) 求解函数解析式(即 A,w,的值的确定)例 4.26 已知函数 f(x) Sin(wx)(w 0,0心，且在区间［0,—］上为单调函数，求函数 f(x)的解析式.2评注 根据函数必关于 y 轴对称，在三角函数中联想到 y coswx 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解(2)求函数f (x)的解析式. 题型3函数的值域(最值) 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理 .(1) y a sin X b ,设t Sinx ,化为一次函数 y at b 在［1,1］上的最值求解.b J —2 - 2(2)y a si nx bcosx c ,弓 I 入辅助角 (tan ),化为 y a bSin(X ) C ,求解方法a分析本题的目标是求w,因为y Sin(WX )为偶函数，则必关于 y 轴对称，因此化为 y coswx 的 形式，由函数在［0 -］上单调，则［0 -］最多只会是半个周期，即 T—,从而得T '2 ,2 2 2 再代入对称中心求解. 得W 的范围, 解析由函数 f (x) Sin(WX )(w 0,0 在区间［0 —］上为单调函数，得 T—,即T '2 2 2 )为R 上的偶函数，贝U —，得f(χ) coswx ，且 2 2 3 ,故— ,又W 0得0 W 2.,同时点(二,0) W 4 3 为函数f (x)的一个对称中心，的W k4,k Z ,则 w 4k 2,k Z ,因此 0 4k 2 2 , 2 33k 1,k Z 所以k 0或1得W-或2,所以函数f(x)的解析式为y CoSZX 或y33cos 2x.,0)是一个对称中变式一：已知函数 f (x) 4sin(wx )(w 0,0经过点(0,2).(1) 求 f (x)的最小正周期；,X R)图像的两条相邻对称轴的距离为 ，且23如果存在正整数 W 常数 使得函数f(x)的图像经过4同类型(1) 33y a si n2x bsinx c,设t Si nx ,化为二次函数y at2 bt C在闭区间t [ 1,1]上的最值5 sin (X3求解，也可以是 y acoWx bsinx C 或 y acoS2x bsinx C 型.(4) y a si n x cosx b(si nx cosx) C ,设 t Si nx cosx ,贝U t 21 2si n xcosx ,故t 21t 21Sin xcosx,故原函数化为二次函数 y a () bt C 在闭区间［∙λ2,ι2］上的最值求2 2(5) yasinx b与yasinx b,根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式CSi nx d ccosx d法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于 Si nx 或cosx 的函数求解释务必注意SinX 或cosx 的范围.例4.27函数f (χ) Sin xcosx 的最小值是(，利用诱导公式把( x)转化为(X)，化不同角为相同角， 将函数化为 263)3cos[ ( x)] 4 si n(x ) 3cos( x) 32 63 3 3)(其中tan —)，所以y wax 5.故选C.分析 解析 1A.-1B. 2 1C.—2D.1将函数f (x)转化为y ASin(wx)的形式求最值、， 1 .函数 f (x) Sin xcosx Sin2χ(χ 2R)-最小值为1,故选B. 2评注 若本题改为"f(x) Sin Xcosx,X ［0,］ ”则最小值为 40，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定 变式1函数f(x)Sin X cos(x )的值域为(6A.[-2,2]B.[ ,3, 3]C ∙[-1,1]D.[∙∙ 3 .. 31变式2 函数f(x) sin 2X .3Sin xcosx 在区间[ ：,?］上的最大值是().1 JlA.1B.——2C .32D.1 -.3例4.28函数 y 4sin(x3sin(6 X)的最大值为()A.7B.2 3C.5D.4分析 f(x) ASin (WX)的形式.y 4sin(x解析45 sin (X 3、 2 2变式1求函数f(χ) cos(x )2 cos (X R)的值域32变式2求函数 f (x) cos(2x ) 2sin(x)sin(x )(x [ ,])的值域. 344 12 2__ 2例4.29求函数f(x) 2cos2x Sin X 4cosx 的最大值和最小值. 2a cos X bcosχ C(X R)的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值思路提示 分析 通过二倍角公式和同角公式将函数 f(x)的公式化简为y 解析 f (x)2(2 cos 2X 1)(1 cos 2x)4cos x23 cos X 4cos x 1,令 t cos X [ 1,1],则 g(t) 3t 24t 1f (t)取最大值6, 即f (x)的最大值为6;当3(tI )t -时,37(t [1,1]),因为t [ 1,1],所以当tg(t)取最小值7,即f (x)的最小值为变式1已知,求函数y cos 2X Sin X 的最小值.4变式2 求函数y sin 2x a COSX- a — (0 X —)的最大值.8 2 2 变式32右 Sin Xcos X a 0有实数解,试确定实数 a 的取值范围.变式4 若关于X 的方程cos 2x Sinx a 0在(0,§］上恒成立，求实数 a 的取值范围. 1时,例 4.30 对于函数 f(χ)Sin X 1(0 X Sin XA.有最大值无最小值C.有最大值且有最小值分析 形如yasinx b的函数的最值,CSi nx d丄，令tSin X解析解法一 ：f (X) 1有最小值无最大值.故选B sin X 1ySi n x SinXSin X解法二：y得 0 Sin X 变式1 求函数y变式2题型4 ),下列结论中正确的是(B.有最小值无最大值 D .既无最大值又无最小可考虑用函数的有界性求解SinX (0,1］,贝U y 1 f 在区间(0,1］上单调递减，即f(x)只1,1 ,解得y2 ,所以f (X)只有最小值无最大值.故选B■- 3 cos X的值域.2 Sin XΞ½若—X4 三角函数图像变换2,则函数y tan2xtan X 的最大值为 2由函数y Si nx的图像变换为函数y ASi n(wx ) b(代W 0)的图像.方法一：(X XWX)先相位变换，后周期变换，再振幅变换向左平移_个单位( 0))的图像向左平移个单位(0分析 利用三角函数的图像与变换求解结合选项可知，函数图像过(1,0).故选A25B.向右平移—个单位125D.向右平移—个单位6-)，g(x) COS (X —),则 f(x)的图像().—)(x R, W 0)的最小正周期为 ，为了得到g (X) COS(WX)的图 4像，只要将y f (x)的图像(SinX 的图像向左平移个单位(O )个单位(0) y S 6i n (XSin(WX )的图像 所有点的纵坐标变为原 来的A 倍丿的图像 横坐标不变 ----------ASi n(wx)的图像向上平J:个单位；：0)yASin (WX ) b例4.31把函数 y COS 2X 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，在向下移 1个单位长度,得到的图像时().1Iy1、I 2/、O 1-1 22解析y cos2χ1横纵标不变2倍yCoSX 1 向左平移1个单位长度y cos(x 1)1向下平移1个单位长度y cos(x 1).变式2 已知f (χ) Sin(xA.与g(x)图像相同B.与g(x)图像关于y 轴对称C.是由g(x)的图像向左平移—个单位得到2D.是由g(x)的图像向右平移 一个单位得到2变式3已知函数f(χ) Sin(WX XA.向左平移 一个单位长度8B ∙向右平移一个单位长度81 1依题意 g (x) Sin(2 2x )Sin(4x )，2 6 2 65纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图像，求g(x)在［0——］上的值域 ，24最有效训练题C.向左平移—个单位长度 D •向右平移—个单位长度 4 4 1 2 1例 4.32 已知函数 f(x) Sin 2xsin cos 2xcos Sin( )(0 2 2 2 (1) 求的值 1 (2)将f(x)图像上各点的横坐标缩短为原来的 -,纵坐标不变，得到函数y 2 1)，其图像过点(一，).6 2g(x)的图像，求函数g(x)在［°,—］上的最大值和最小值 4 解析 由题意把点(一，1)代入函数的解析式得 6 21 . Sin- Sin2 33 1 1cos cos —4 2 2 Sin 1 COS2 sin (F ) 1(I) Sin( 6) 1， (0,), 6 -sin2x 41 . C 3 12 1 sin 2x cos X2 2 2 4 6 2 (2) f (x) -(1 COS 2X ) 41 Sin (2x 2?)，当4x67,即X 时，1g (x)取最小值 一；6 44 当4x 6 ， 即X时， 1 g(x)取最大值一.212 2 变式1 已知向量 m (Sin x,1), n— A (∖3Acosx, cos2x)( A2 的最大值为 6.(1)求 A 0),函数 f(x)(2)求将函数yf (x)的图像向左平移个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的12i 倍，1.已知函数f(x) ASi n(wx )(A 0, —0),在X —时取得最大值，则f(x)在［,0］上的2 6单调增区间是(f (x) cos 2x Sinx ,那么下列命题中假命题是(4,.已知函数f(x) Sin(6x -)的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移§个单位,).则f (x)的单调递增区间为8. 已知函数f(x) 3sin( X )(0)的图象和g(x) 2cos(2 X ) 1的图象对称轴完全相同，若6X ［0,亍］,贝U f(x)的取值范围为9. 定义一种运算(a 1,a 2) (a 3,a 4) a 1a 4 a 2a 3，将函数f (x) (∙∙.3,2si n x) (cosx,cos 2x)的图象向左移 n(n 0)个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为10. 某学生对函数f (x) 2xcosx 进行研究后，得出如下四个结论： ①函数f (x)在［,0］上为单调递增，在［0,］上单调递减；②存在常数M 0,使f (x) M X 对一切实数X 均成立；③点(一，0)是函数2A ∙[B ∙[56C ∙[护2.若直线t 与函数 y Sin (2x-)和y cos(2x -)的图像分别交于 PQ 两点，则IPQ 的最大值为A.2B.1 D. 23•已知函数 A. f (x)既不是奇函数也不是偶函数 B. f(x)在［,0］上恰有一个零点 C. f (x)是周期函数D. f(x)在(一，丄)上是增函数2 6得到的A.(荷O)B.(9,O)c.q ,°)D.(畀)5.如图4-30所示，点 X 轴的A.—8y PPM PN0,则W 的值为()∖NM O/ XB.-C.4D.8∖46.已知A.[ 3,2]B.[ .3,2] C"3,2]D ∙C ∙ 3, 2) 7.已知函数 f(x) 3sin 2χ 2sin xcosX X 3 cos 2X ,其中0,且f (x)的最小正周期为，函数一个对称中心是(P 是函数y 2 sin(wx交点，若 则实数a 的取值范围为a ，有两个不同的实数解,)(x R,w 0)的图像的最高点，M,N 是该图像与(0,］，关于X 的方程2sin(x -) 3y f(x)图像的一个对称中心；④函数y f(x)的图象关于直线X 对称•其中正确的.(把所有正确的命题的序号都填上)f (x) cos(2X —) sin 2x cos 2x. 所示.(1)求函数f (X)的解析式;∣S4-315A.向左平移个单位125C.向左平移个单位611.已知函数 (1)求函数 f (X)的最小正周期及图像的对称轴方程; (2)设函数 g(x) [f(x)]2f (X),求g(x)的值域. 12.已知函数 f (x) ASin( X),其中(X R, A 0,I )的部分图像如图4—31⑵已知函数f(x)图像上三点 M,N,P 的横坐标分别为一1, 1, 5,求 Sin MNP 的值.。
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x(|t|≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x . 6、y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ. 二、三角函数的伸缩变化先平移后伸缩s i n y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。
三角函数的图像与性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质题型归纳总结The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin ()x ϕ+（0≤ϕ<π）是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ） A.0 B ．4π C ．2πD ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则sin()+();2y A x k k Z πϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()();2y A x k k Z πϕϕπ=+=+∈(3)若是奇函数，则cos()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则tan()().2k y A x k Z πϕϕ=+=∈(5)若是奇函数，则.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）A.0 B ．1 C ．1- D ．1±2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．无关条件3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0f =2.()sin(2)()()2f x x x R f x π=-∈例设，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数C ．2π最小正周期为的奇函数D ．2π最小正周期为的偶函数2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数2.(0,)2ππ变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |y x =二、函数的周期性3.sin(2)cos(2)66y x x ππ=++例函数的最小正周期为( )A.2π B ．4πC ．2πD ．π【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：sin()b,cos()b,tan()b22,,.||||||y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x πωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为1.sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )A.,1π B．π．2,1π D．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )A.3π最小正周期为的周期函数 B ．23π最小正周期为的周期函数C ．π最小正周期为2的周期函数D ．非周期函数三、函数的单调性.sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈例4函数的递增区间是( )A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ【评注】求三角函数的单调区间：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则22()22322()22(3)sin()0,0sin()sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x πππωϕππππωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-≤+≤+∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；(2)函数的递减区间由决定；若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；对于函数和单调性的讨论同上。
三角函数的基本性质与像知识点总结
三角函数的基本性质与像知识点总结三角函数是数学中的重要概念，在几何图形、物理问题等领域都有广泛应用。
本文将对三角函数的基本性质和像知识点进行总结和归纳。
一、正弦函数与余弦函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。
即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
3. 定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
函数图像在y轴上下波动，最大值为1，最小值为-1。
4. 单调性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。
在0到2π（或0°到360°）的区间内，正弦函数在0到π（或0°到180°）单调递增，余弦函数在0到π/2（或0°到90°）单调递减。
二、正切函数与余切函数的基本性质1. 周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π（或180°）。
即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
这意味着函数图像关于原点对称。
3. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为实数集，但由于存在奇点，即函数在某些角度上无定义，因此需注意避开这些奇点。
值域为全体实数。
4. 单调性：正切函数和余切函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。
在0到π/2（或0°到90°）的区间内，正切函数和余切函数均单调递增。
三、三角函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式：sin(x+π)=-sin(x)，sin(x+2π) = sin(x)。
2. 余弦函数的诱导公式：cos(x+π)=-cos(x)，cos(x+2π) = cos(x)。
三角函数的图像与性质--知识点与题型归纳解读
1●高考明方向1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.《名师一号》P55 二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____________解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z.∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解． 例2．（1）《名师一号》P56 对点自测42函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求； 例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．（I ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x=++=++ 2cos2sin 2x x=++)24x π++ …………3分即()f x 的值域为2]+. …………………6分注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求sin()=++y A x b ωϕ的值域 如：①sin cos y a x b x =+②22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin(2)y A x b ϕ=++ 注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1若函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π3处有最小值－2，则常数a ，b 的值是( )A ．a ＝－1，b ＝ 3B ．a ＝1，b ＝－ 3C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2.降幂 合一变换 合一变换3f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，则⎩⎨⎧－a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． 练习: (补充)（1）求函数22tan 1()tan 1x f x x -=+的值域 【答案】[)1,1-（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域 【答案】)+∞注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！ 例2．（4）(补充)求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域 【答案】12⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦4注意：求三角函数的值域的常用方法之四： 《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)．利用22sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题 变式:求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)《名师一号》P14 问题探究 问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等 求函数4sin 12cos 4+=-x y x 的值域解:()114sin sin 4422cos 2cos 2⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段斜率的2倍,设过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 的点的直线方程为()12+=-y k x 即1204---=kx y k1=解得34=-k 或512=k答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数[]cos 10,sin 2-=∈-x y x x π的值域答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式：求函数cos 1,sin 222-⎡⎤=∈-⎢⎥-⎣⎦x y x x ππ的值域 答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5拓展:8月月考第16题函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是. 22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x x x x x x x x f x x x x x x xπ+++++++===++++，记2sin ()2cos x x g x x x +=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+， 最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B 例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A. 注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________ 【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4. f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的6横坐标之差的绝对值是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等． 练习:《加加练》P3 第11题 例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1） (1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解：(3)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值，若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．《名师一号》P56 问题探究 问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数， 则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数， 则当x ＝0时，f (x )＝0.7如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x .(补充)结果写成直线方程！ 如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)即可． (补充)结果写点坐标！同理对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，可求其对称轴与对称中心， 对于y ＝A tan(ωx ＋φ)可求出对称中心．练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2为偶函数，则φ的值为________． 【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)．又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.练习2：《计时双基练》P247 第3题（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析 由函数的周期为π，可排除C ，D. 又函数在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.练习1：《计时双基练》P247 第7题函数y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭24的单调递减区间为练习2:《加加练》P1 第11题（2）《名师一号》P57 高频考点 例2已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2.8因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【规范解答】 先化简，再用换元法求解． f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，由题意知－a 2×(－2)≤12，∴a ≤2.∴a 的取值范围为(－∞，2]．课后作业一、计时双基练P247 基础1-11、 课本P56变式思考1二、计时双基练P247培优1-4课本P56变式思考2、3 预习 第五节 练习：1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )9A ．4B ．2C ．1 D. 12分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.取到最值时x ＝2π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期． 解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝2T＝2. 故选B.2、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。
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函数图像及性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是)(Z k ∈，3．对称轴及对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；tan y x =无对称轴，对称中心为k 2(,0)π； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。
4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是ϕω+x ，初 相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象及直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．6．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
7．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.8．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
9. 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，.(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1). 三角函数的图象及常用性质四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．（全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。
答案为D 。
题型2：三角函数图象的变换（四川）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）（B ）y = （C ）y =（D ）解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解 析式为y ＝sin (x －10π) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.题型3：三角函数图象的应用例1：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．求f (x )的解析式；解：由图可知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f (x )＝2sin(32x ＋π4)．例2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图可知，T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π.答案：910π例3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知T ＝2(2π3－π6)＝π.∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.例4．(辽宁卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT ＝3.又(712π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23..,0)(sin(.5求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例>>+=ωϕωA x A y解：由函数图象可知).32sin(2.32652065(22,)1265(34,2ππϕπϕππωπωππππ+=∴=∴=+⋅=∴==-==x y T A 所求函数的解析式为，即第五个点，）是“五点法”作图的，又，即 .)sin(6析式的图象的一段，求其解右图为例ϕω+=x A y ： 522-yo x 12π6π53y ox 3π6π3-NM解1：以点N 为第一个零点，则,3-=A)32sin(3.3026)0,6().2sin(3,2ππϕϕππϕω+-=∴=⇒=+⨯-∴-+-==∴x y N x y 所求解析式为点此时解析式为解2：以点为第一个零点，则解析式为),2sin(3ϕ+=x y 将点M 的坐标代入得,32032πϕϕπ-=⇒=+⨯).322sin(3π-=∴x y 所求解析式为 小结：的表达式：求函数)sin(ϕω+=x A y ;.1由图像中的振幅确定A;.2由图像的周期确定ω代点法平移法常用的两种方法：求)2( )1( .3ϕ题型4：三角函数的定义域、值域已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间上的最大值和最小值. 解：（1）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==∴函数()f x 的最小正周期为π.（2）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴，∴()f x 在区间上的最大值为1，最小值为2-. 题型5：三角函数的单调性 例．求下列函数的单调区间：y+1解：因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈。