第八章扭转作用
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第八章 扭转问题
l , m 0, n 0
0 0 0 0
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y 0
0 0 0
l xz s m yz s n z s Z
dy l cos( N , x) cos ds dx m cos( N , y) sin ds
其中： i内 , Ai内 —— 分别为第i个内边界上φ的值和第i 个内边界所围的面积。 结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：—— 应力函数法
i 1
n
泛定方程：
定解条件：
2 C
s 0
2 dxdy M
zx xz , y zy yz x
zx xz , y zy yz x
（x，y）——扭转应力函数
—— (Prandtl)应力函数
3. 扭转问题杆件位移与变形
u Kyz v Kzx
w 1 Ky, x G y w 1 Kx, y G x
—— 扭转杆件的位移
C K 2G
D M K
2 或：K 2G
应力分量：
2. 扭转的位移与变形
由物理方程，得：
x 0, y 0, z 0, xy 0,
yz 1 yz , G zx 1 zx , G
工程力学第八章圆轴的扭转详解
Grd
dx
整理课件
GG
11
O
g
圆轴扭转时 无正应力
16
讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布
tmax
tr
T
r
rr
A
gr
o
tr
C
df
C
O
B gr
DTD
最大切应力在圆轴 表面处。dx
tr
Ggr
Grd
dx
--(3)
圆轴几何及T 给定，d/dx为
常数；G是材料常数。
截面上任一点的切应力与该点
到轴心的距离r成正比；
D
整理课件
MA 5.46kN m MB MC 1.64kN m MD 2.18kN m
求各截面内力：
BC段 T1-1.64kNm
CA段 T2-3.28kNm
AD段 T32.18kNm
最大扭矩在AB段，且
T 3280Nm
10
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
简捷画法：
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN·m
此解拉得：应力s45控=-制t；的t4。5=0。还有：s-45=t； t-45=0
整理课件
26
8.3.4 圆轴的扭转变形 单位扭转角为：
d/dxT/GIP
第08章剪切和扭转
= 200mm，厚度t =8mm。设接头拉力F = 200kN，铆钉直
径20mm，许用切应力[τ]=160MPa，钢板许用拉应力
[σ]=170MPa，挤压许用应力 [σbs]=340MPa。试校核此
接头的强度。
F
F
（a）
解： 为保证接头强度，需作 F
出三方面的校核。
b
(1) 铆钉的剪切强度校核
M n,max M n2 5KN.m
（-）
因此
max
M x,max WP
3KN.m
5 103
25.5MPa d3
M1
A
B
l
M2
d
C l
（2）扭转角
截面B：
B
AB
M x2lAB GI p
5 103 82109
0.5 (0.1)4
32
0.00311rad 0.178
以只校核下侧钢板与每个铆钉之间的挤压强
度，根据挤压强度条件得
F
bs
Fbs A bs
4 dt
200 103 20103 8103 4
312.5MPa< bs
(3) 钢板的抗拉强度校核
由于上、下侧钢板厚度相同，故验算下侧钢块即
高层建筑结构-第八章扭转
框架、剪力墙及框架—剪力墙结构的扭转近似计算 一、问题的提出
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
扭转计算方法
（1）将整个结构作为一个空间结构，用矩阵位 移法来分析内力和位移（考虑扭转的影响）
（2）简化计算，考虑扭转因素后修正剪力的近 似计算
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心距
1、扭转偏心距 水平荷载合力作用线与刚度中心的垂直距离称之为 扭转偏心距。
风荷载合力作用线——按照各个受风面的风荷载合 力确定
地震作用合力作用线——质量中心（应考虑偶然偏 心距5%L）
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心距
2、质量中心 等效地震荷载的作用点即惯性力的合力作用点，与质量分布有关， 称为质心。
可将建筑面积分为若干个单元，认为在每个单元中质量是均匀分布 的，如图所示。在参考坐标系XOY中确定质心坐标Xm，Ym，计 算时可用重量代替质量
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据 框架结构
x0 Dyi xi / Dyi
y0 Dxk yik / Dxk
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据 剪力墙结构
x0 Jeqyixi / Jeqyi
y0 Jeqxixi / Jeqxi
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
框－剪结构
x0
（2）在扭转作用下，各片抗侧力结构的层间变形及侧移也不相同，距 刚心较远的结构边缘抗侧力单元的侧移及层间变形最大。在结构设 计时应注意扭转引起的附加变形不应太大。
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
扭转计算方法
（1）将整个结构作为一个空间结构，用矩阵位 移法来分析内力和位移（考虑扭转的影响）
（2）简化计算，考虑扭转因素后修正剪力的近 似计算
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心距
1、扭转偏心距 水平荷载合力作用线与刚度中心的垂直距离称之为 扭转偏心距。
风荷载合力作用线——按照各个受风面的风荷载合 力确定
地震作用合力作用线——质量中心（应考虑偶然偏 心距5%L）
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心距
2、质量中心 等效地震荷载的作用点即惯性力的合力作用点，与质量分布有关， 称为质心。
可将建筑面积分为若干个单元，认为在每个单元中质量是均匀分布 的，如图所示。在参考坐标系XOY中确定质心坐标Xm，Ym，计 算时可用重量代替质量
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据 框架结构
x0 Dyi xi / Dyi
y0 Dxk yik / Dxk
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据 剪力墙结构
x0 Jeqyixi / Jeqyi
y0 Jeqxixi / Jeqxi
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
框－剪结构
x0
（2）在扭转作用下，各片抗侧力结构的层间变形及侧移也不相同，距 刚心较远的结构边缘抗侧力单元的侧移及层间变形最大。在结构设 计时应注意扭转引起的附加变形不应太大。
第八章工程力学之扭转全解
解： （1） 外力偶矩的计算作用在A、B、C、D轮上的外力 偶矩分别为 NA 10 m A 9549 9549 318 .3N m n 300 N 4.5 m B 9549 B 9549 143 .2 N m n 300 N 3.5 mc 9549 C 9549 111 .4 N m n 300 ND 2.0 mD 9549 9549 63.7 N m n 300 （2） 扭矩计算 将轴分为等扭矩的BA、AC、CD三段，用截面法求出每一 段上的扭矩。
2、薄壁圆筒包含轴线的纵向截面上没有正应力。 如果包含轴线的纵向截面上有正应力，圆周线的周长将发 生变化。 由于筒壁很薄，可设剪应力沿壁厚方向均匀分布。且各点 剪应力对截面形心的矩合成为截面的扭矩。
二、剪应力互等定理 以如图8-11所示的单元体为研究对象，设单元体的边长分 别为 dx、dy和 t ，在单元体的左、右两个侧面上，分别作用 着剪力 tdy ，这对大小相等、方向相反的剪力构成一力偶， 力偶矩为 tdxdy，由于单元体处于平衡，所以在单元体的顶面 和底面上，一定存在着剪应力 ' ，构成矩为 ' tdxdy 的反向力 偶，且存在关系式 ' tdxdy tdxdy 所以有
1. 几何方面
如图8-12所示，取一左端固定的等截面圆轴，在圆轴表面 上作两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线，在轴的右端施 加一个力偶m，可以观察到与薄壁圆筒受扭时相似的现象， 即： 圆周线的大小、形状不变，间距不变，只是各圆周线绕 着轴线相对转过了一个角度； 两条纵向线倾斜了同一个角度， 矩形ABCD变成了平行四边形。
工程力学第八章
传动轴上主、 传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同， 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。 不同。
A
318N.m 795N.m 1432N.m
§8.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§8.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平 行线和圆周线划分； 行线和圆周线划分；两端施以 大小相等方向相反一对力偶矩。 大小相等方向相反一对力偶矩。
Me
p q
Me
x
p q
Me
p q
Me
ϕ
p q
x
圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 圆轴扭转变形前原为平面的横截面， 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。 且相邻两截面间的距离不变。
(
)
确定实心轴与空心轴的重量之比 实心轴 空心轴
d1=45 mm
2
D2＝46 mm
−3 2
d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比： 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A d1 1 45×10 1 = 2 = ＝ .28 1 × 2 −3 2 A2 D2 (1−α ) 46×10 1− 0.5
A
318N.m 795N.m 1432N.m
§8.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§8.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平 行线和圆周线划分； 行线和圆周线划分；两端施以 大小相等方向相反一对力偶矩。 大小相等方向相反一对力偶矩。
Me
p q
Me
x
p q
Me
p q
Me
ϕ
p q
x
圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 圆轴扭转变形前原为平面的横截面， 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。 且相邻两截面间的距离不变。
(
)
确定实心轴与空心轴的重量之比 实心轴 空心轴
d1=45 mm
2
D2＝46 mm
−3 2
d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比： 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A d1 1 45×10 1 = 2 = ＝ .28 1 × 2 −3 2 A2 D2 (1−α ) 46×10 1− 0.5
《工程力学》第八章 扭转
• 1.塑性材料如低碳钢在受扭过程中先是屈 服,如继续增大载荷,试件将沿横截面破坏。
• 2.铸铁试件在受扭过程中,变形始终很小, 试件沿与轴线成45°的螺旋面破坏。
• 图8-18 • 可见,对于受扭圆截面来说,破坏的标志仍
为屈服或断裂。试件扭转屈服时横截面的 最大剪应力称为扭转屈服应力,用τs表示； 试件扭断时横截面的最大剪应力称为
• 式中θmax和[θ]的单位为度/米(°/m)。
图8-21 *§8-6 圆轴扭转时的变形能
• 当轴扭转时,轴内将积蓄变形能。扭转实 验表明,在弹性范围内受扭圆轴端面的扭 转角φ与外力偶矩m成正比。如图8-22所 示,当等截面圆轴承受的外力偶矩从零逐 渐增到m时,其扭转角也从零增加到φ。
• 所以,外力偶矩所做的功 • 将 代入上式 • 于是得到扭转时的变形能为
• *§8-8 矩形截面杆扭转的概念
• 图8-24 • (1)横截面的剪应力和周边相切
•
图8-25
图8-26
• (2)在4个棱角上的剪应力为零,同理可证 τB1=τB2 =0。
• (3)最大剪应力τmax发生在长边的中点A 处,而在短边中点B处τ1也有相当大的数值
• 式中α,γ是与 有关的系数,h和b分别代表 矩形长边和短边的长度。
• 规定为负。因此,同一截面左右两侧的扭 矩,不但数值相等,而且符号相同。
第八章扭转作用1
8.3.1开裂扭矩的计算
一、矩形截面
开裂扭矩等于构件即将开裂时截面单位面积上的内力对中心 的力矩和，因此，开裂扭矩与开裂时截面上的应力有关，混凝 土既不是弹性的，也不是完全塑性的，按弹性理论分析和塑性 理论分析都不合适，《规范》给出的开裂扭矩计算公式，是近 似采用塑性材料的应力分布计算，但要乘以降低系数。
位形成裂缝，拉力卸给钢筋。随荷载增加，裂缝沿主拉应力迹
线迅速延伸，并且形成许多新的裂缝，构件表面形成连续的螺
旋状裂缝。当接近极限扭矩时，在构件长边上有一条裂缝发展
成为临界裂缝，并向短边延伸，与这条空间裂缝相交的箍筋和
纵筋达到屈服，最后在另一个长边上的混凝土受压破坏，达到
极限扭矩。
裂缝 箍筋
T T
纵筋
对于平衡扭转，受扭构件必须提供足够的抗扭承载力，否 则不能与作用扭矩相平衡而引起破坏。
第八章 受扭构件
边梁抗扭刚度大
约束扭转
边梁抗扭刚度小
在超静定结构，若扭矩是由相邻构件的变形受到约束而产生 的，扭矩大小与受扭构件的抗扭刚度有关，称为约束扭转 Compatibility Torsion。
对于约束扭转，由于受扭构件在受力过程中的非线性性质， 扭矩大小与构件受力阶段的刚度比有关，不是定值，需要考虑 内力重分布进行扭矩计算。
第八章 受扭构件的截面承载力计算
本章重点
了解受扭构件的分类和受扭构件开裂， 破坏机理；
一、矩形截面
开裂扭矩等于构件即将开裂时截面单位面积上的内力对中心 的力矩和，因此，开裂扭矩与开裂时截面上的应力有关，混凝 土既不是弹性的，也不是完全塑性的，按弹性理论分析和塑性 理论分析都不合适，《规范》给出的开裂扭矩计算公式，是近 似采用塑性材料的应力分布计算，但要乘以降低系数。
位形成裂缝，拉力卸给钢筋。随荷载增加，裂缝沿主拉应力迹
线迅速延伸，并且形成许多新的裂缝，构件表面形成连续的螺
旋状裂缝。当接近极限扭矩时，在构件长边上有一条裂缝发展
成为临界裂缝，并向短边延伸，与这条空间裂缝相交的箍筋和
纵筋达到屈服，最后在另一个长边上的混凝土受压破坏，达到
极限扭矩。
裂缝 箍筋
T T
纵筋
对于平衡扭转，受扭构件必须提供足够的抗扭承载力，否 则不能与作用扭矩相平衡而引起破坏。
第八章 受扭构件
边梁抗扭刚度大
约束扭转
边梁抗扭刚度小
在超静定结构，若扭矩是由相邻构件的变形受到约束而产生 的，扭矩大小与受扭构件的抗扭刚度有关，称为约束扭转 Compatibility Torsion。
对于约束扭转，由于受扭构件在受力过程中的非线性性质， 扭矩大小与构件受力阶段的刚度比有关，不是定值，需要考虑 内力重分布进行扭矩计算。
第八章 受扭构件的截面承载力计算
本章重点
了解受扭构件的分类和受扭构件开裂， 破坏机理；
第八章_柱体的扭转
∇ 2τ zx = 0 ⎫ ⎪ ⎬ 2 ∇ τ zy = 0 ⎪ ⎭
将（8.5）式代入（b）式，得到：
（b）
∂ ⎫ (∇ 2ϕ ) = 0 ⎪ ∂x ⎪ ⎬ ∂ 2 (∇ ϕ ) = 0 ⎪ ∂y ⎪ ⎭
由此得到：
(c)
∇ 2ϕ = C
上式中：C 为常数，为确定常数 C，可联立（8.4） 、(8.5)二式，有：
τ zx =
∂ϕ ⎫ ∂y ⎪ ⎪ ⎬ ∂ϕ ⎪ τ zy = − ∂x ⎪ ⎭
（8.5）
函数 ϕ ( x, y ) 称之为扭转应力函数，式（8.5）将两个未知剪应力分量与一个未知函数 ϕ ( x, y ) 联系在一 起，下面寻求 ϕ ( x, y ) 所满足的方程，将各应力分量代入应力协调方程（2.23）式，得：
S
故取负号） ，将（8.5）式代入(a)式得：
(
将上式沿边界 S 积分得：
(b )
ϕ S =C
( c)
式中 C 为常数，即扭转应力函数在侧表面上的函数值为常数，从（8.5）式可以看出，常数 C 的大小与 剪应力 τ zx ， τ zy 无关，C 可以任意选择，对于单连通截面（实心柱体） ，可以简单地取 C=0，于是(c) 式变为：
ϕS =0
一个边界上取为零，其它边界上为待定常数。 （2）端表面边界条件
（8.7）
对于多连通截面（空心柱体） ，虽然 ϕ 在每一个边界上都是常数，但各个常数并不相同，只能在其中
工程力学第八章：扭转
圆周线之间的距离不变。 ※在小变形的情况下，各纵源自文库线仍可近似看成是一条直线，只是 倾斜了一个微小的角度。 ※变形以前圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。
可推知：
横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面 上有剪应力存在。 各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面半径垂直。
二、扭矩与扭矩图
1. 外力偶矩的计算
输入功率kW
Me
转速n（r/min）
按输入功率和转速计算:
直接计算: 已知轴转速为n，输入功率为P 。求输
M e Fd
入力偶矩Me。
P M e 9549 （N.m） n
2. 扭矩及扭矩图
Me
Me
扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”
Me
Me
5. 确定最大切应力
T 由 Ip
max
D , max 知：当 R 2
D T T T D 2 (令Wp I p / ） D Wp Ip 2 Ip / 2
max
T Wp
Wp ----抗扭截面系数，单位为mm3或m3。
问题引入：在工程实际中，尤其是在机械中的许多构件，其
主要变形是扭转。如攻丝时，施加在手柄两端的一对力等值反 向，构成一对力偶，使丝锥转动，下面丝扣的阻力是一个转向 相反的约束力偶，阻碍丝锥的转动，在这样一对力偶的作用下 丝锥产生扭转变形。这些构件（一般称为圆轴）扭转变形后的 强度问题和刚度问题必须考虑。
可推知：
横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面 上有剪应力存在。 各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面半径垂直。
二、扭矩与扭矩图
1. 外力偶矩的计算
输入功率kW
Me
转速n（r/min）
按输入功率和转速计算:
直接计算: 已知轴转速为n，输入功率为P 。求输
M e Fd
入力偶矩Me。
P M e 9549 （N.m） n
2. 扭矩及扭矩图
Me
Me
扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”
Me
Me
5. 确定最大切应力
T 由 Ip
max
D , max 知：当 R 2
D T T T D 2 (令Wp I p / ） D Wp Ip 2 Ip / 2
max
T Wp
Wp ----抗扭截面系数，单位为mm3或m3。
问题引入：在工程实际中，尤其是在机械中的许多构件，其
主要变形是扭转。如攻丝时，施加在手柄两端的一对力等值反 向，构成一对力偶，使丝锥转动，下面丝扣的阻力是一个转向 相反的约束力偶，阻碍丝锥的转动，在这样一对力偶的作用下 丝锥产生扭转变形。这些构件（一般称为圆轴）扭转变形后的 强度问题和刚度问题必须考虑。
《土木工程-力学》第八章 扭转
kN
m
M2
M3
(9.55 150) 300
kN m
4.78
kN m
M4
(9.55
200)k 300
Nm
6.37
kN m
11
2. 计算各段的扭矩 BC段内：T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
CA段内： T2 M2 M3 9.56 kN m (负) AD段内： T3 M 4 6.37 kN m
24
§8-5 圆截面杆扭转时横截面上的应力
横截面上的应力公式推导：
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(问题的物理方面)
25
1、几何方面
（1）表面变形情况： (a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形
37
低碳钢扭转破坏断口
38
铸铁扭转破坏断口
39
思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口 分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
40
§8-7圆轴扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) j 来度量。
第八章 轴的扭转
第八章 轴的扭转
判断题：
1. 传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。(错)
2. 扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。(对)
3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。(错)
4. 一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。(对)
5. 铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。(错)
6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。(错)
7. 受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。(错)
习题八
1．直径D =50mm 的圆轴，受到扭矩T =2.15kN.m 的作用。试求在距离轴心10mm 处的剪应解：P T I ρ432T D ρπ= 2.15=截面上的最大剪应力为：max W τ=4．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n =1.67r/s ，传递功率N =7.4kW ，材料的[]40t =MPa ，试选择实心轴的直径1d 和内外径比值为1/2的空心轴的外径2D 。
N.m
31d π≤
5．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5 kW,转速n=200r/min ，材料为45钢，[]40
t =MPa ，试按强度条件设计轴的直径。
316T d π≤
6. 某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T =5.4N.m ，若材料的许用剪应力[]30t =MPa ，G =80GN/2
第八章园轴的扭转_工程力学
第八章 圆轴的扭转
工程构件一般可分为三类。第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。若构件在x 、y 、z 三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。 如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。 前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。
§8.1
扭转的概念和实例
工程中承受扭转的构件是很常见的。如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB 的上端，转向轴的下端B 则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB 发生扭转。又如图8.2中的传动轴，轮C 上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D 输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD 也将发生扭转。
以上二例都是承受扭转的构件实例。由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。
图8.2 传动轴
图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。
扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。如在图8.3中，圆轴AB 段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M 0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。图8.3中，φAB 表示截面B 相对于截面A 的扭转角。必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，
第八章 工程力学之扭转
由此，可以判断1-1截面上的扭矩为正。
本题中，如取右半部分为研究对象，受力如图8-5所示，设
扭矩T1为正，根据 m 0
得：
T1 2m m 0
所以：
T1 m
由此可见，不管取哪一部分作为研究对象，最后的计算结果 是完全相同的。
例8-2 求图8-4（a）中2-2截面上的扭矩。
解： 用一个通过2-2截面的平面假想地将轴切开，一分为二，
根据静力平衡条件： mi 0
得
T1 m
扭矩：作用面在横截面内的力偶，用T 表示。
结论：
•圆轴扭转时，横截面上的内力是一个作用面在横截面内的 力偶，即扭矩。
•扭矩为代数量，正、负号的规定按右手螺旋法则： 右手的 四指沿着扭矩的旋转方向，如果拇指的指向与该扭矩所作用 横截面的外法线方向一致，则扭矩为正，反之为负。
第八章 工程力学之扭 转
§8–1 扭转的概念和实例 §8–2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图 §8–3 剪应力互等定理、剪切虎克定律 §8–4 圆轴扭转时的应力和强度条件 §8–5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
§8-1 扭转的概念和实例 首先以图8-1(a)所示汽车转向轴为例，来说明扭转变形的 概念。
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为m，轴的
转速为n转/分钟（r/min），则轴每秒钟转过的角度为2n / 60 力偶矩m每秒钟所作的功为 m2 n / 60，也就是电动机通过皮
第8章扭转资料
混凝土房屋结构--结构扭转
在工程中，扭转问题要着重从设计方案、抗 侧力结构布置或配筋构造、连接构造上妥善设计。 一方面尽可能减少扭转，另一方面尽可能加强结 构的抗扭能力，计算仅作为一种设计补充手段。
扭转近似计算假定： 在平面结构及楼板自身平面内无限刚性
混凝土房屋结构--结构扭转
§2 质量中心、刚度中心及扭转偏心距
o
' xi
xi
x
xc
xc Dyi xi / Dyi
（假设各层墙体尺寸不变） yc Dxj yj / Dxj
材料力学概念
混凝土房屋结构--结构扭转
扭转变形是用两个横截面绕轴线的 相对扭转角来表示的
混凝土房屋结构--结构扭转
相距dx的两横截面间扭转角：dφ T
混凝土房屋结构--结构扭转
有剪力和扭矩共同作用下 各榀剪力墙剪力
扭矩将引起抗侧力结构承担的剪力的增大
Vyi
V y
i1
V y
i2
Vxj Vx j1 Vxj2
Vxj1 (EI yj / EI yj )Vx
Vxj2 m
EI yj yj
n
MT
EI xi
2 xi
各榀剪力墙扭转角和位移的关系
y
xi
MT
yj
x
扭转
A
l1
B
l2
已知:MA=900N· m，MB=1700N· m，MC=800N· m，l1=400mm， l2=600mm，d1=80mm，d2=60mm，G=80GPa。求:φ AC。
AB
M x1 l1 900 103 400 1.12 103 rad G I P1 80 103 π (80)4 32
I p r dA
2 A
r 2 2r dr
0
d 2
2 r dr
3 0
d 2
Wp
d4
32
Ip
rmax
d4 3 d 32 d 16 2
b.空心轴
dA 2r dr
I p r dA
2 A
d r 2 2r dr
2
D 2
2 d r 3dr
③绘制扭矩图
Mx
m2 m3 m1 n A
BC段为
m4
max
9.56 kN m
B C Mx
D
6.37 kN m
危险截面。
– 4.78 kN m – 9.56 kN m
x
§8-3 薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 一、实验： 扭转实验前 ①绘纵向线，圆周线；
1 r （r0：为平均半径） 10 0
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扭纵筋应沿构件截面的周边均匀布置。
T(T)
钢筋混凝土纯扭构件
开裂前钢筋中的应力很小
T(T)
开裂后不立即破坏，裂缝可 以不断增加，随着钢筋用量 的不同，有不同的破坏形态
第八章 受扭构件
二、钢筋混凝土纯扭构件
抗扭钢筋有两种：抗扭纵筋和抗扭箍筋，两者不可缺一，抗 扭纵筋应沿构件截面的周边均匀布置。
当主拉应力达到混凝土的抗拉强度时，在构件中某个薄弱部
8.3.1开裂扭矩的计算
一、矩形截面
开裂扭矩等于构件即将开裂时截面单位面积上的内力对中心 的力矩和，因此，开裂扭矩与开裂时截面上的应力有关，混凝 土既不是弹性的，也不是完全塑性的，按弹性理论分析和塑性 理论分析都不合适，《规范》给出的开裂扭矩计算公式，是近 似采用塑性材料的应力分布计算，但要乘以降低系数。
Hale Waihona Puke Baidu
F4+F4=Ast4st
F1+F1=Ast1st
s F3+F3=Ast3st
第八章 受扭构件
构件的抗扭承载力与抗扭钢筋的用量有关，抗 扭钢筋有抗扭箍筋和抗扭纵筋两部分组成，这两 种钢筋的数量即强度相对大小对构件的承载力有 一定影响，试验表明：当抗扭箍筋相对较少时， 抗扭强度由抗扭箍筋控制，即多配的纵筋起不到 提高抗扭强度的作用，当纵筋配置较少时，抗扭 强度由抗扭纵筋控制。
对于平衡扭转，受扭构件必须提供足够的抗扭承载力，否 则不能与作用扭矩相平衡而引起破坏。
第八章 受扭构件
边梁抗扭刚度大
约束扭转
边梁抗扭刚度小
在超静定结构，若扭矩是由相邻构件的变形受到约束而产生 的，扭矩大小与受扭构件的抗扭刚度有关，称为约束扭转 Compatibility Torsion。
对于约束扭转，由于受扭构件在受力过程中的非线性性质， 扭矩大小与构件受力阶段的刚度比有关，不是定值，需要考虑 内力重分布进行扭矩计算。
bh
Wt
bh2 6
(3h bh )
bw2 6
(3hw
bw )
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
三、带翼缘截面
45° ft
Tcr 0.7 ftWt
Wt
b2 6
(3h
b)
截面受扭塑性抵抗矩
ft ft
第八章 受扭构件
按塑性理论
45° ft ft
此时截面上的剪应力分
布如图所示分为四个区， 取极限剪应力为ft，分别 计算各区合力及其对截 ft 面形心的力偶之和，可 求得塑性总极限扭矩为，
T
ft
(h
b)
b 2
b 4
位形成裂缝，拉力卸给钢筋。随荷载增加，裂缝沿主拉应力迹
线迅速延伸，并且形成许多新的裂缝，构件表面形成连续的螺
旋状裂缝。当接近极限扭矩时，在构件长边上有一条裂缝发展
成为临界裂缝，并向短边延伸，与这条空间裂缝相交的箍筋和
纵筋达到屈服，最后在另一个长边上的混凝土受压破坏，达到
极限扭矩。
裂缝 箍筋
T T
纵筋
本章重点
了解受扭构件的分类和受扭构件开裂， 破坏机理；
掌握受扭构件的设计计算方法； 熟悉公路桥涵工程与建筑工程关于受扭
结构构件计算的相同与不同之处； 熟悉钢筋混凝土受扭构件的构造要求。
第八章 受扭构件
8.1 概 述 两类受扭构件：平衡扭转和约束扭转
构件中的扭矩可以直接由荷载静力平衡求出，与构件刚度 无关，如图所示支承悬臂板的梁、偏心荷载作用下的梁（箱 形梁、吊车梁），称为平衡扭转 Equilibrium Torsion。
◆超筋破坏：当箍筋和纵筋配置都过大时，则会在钢筋屈服前 混凝土就压坏，为受压脆性破坏。受扭构件的这种超筋破坏称 为完全超筋，受扭承载力取决于混凝土的抗压强度。
◆部分超筋破坏：当箍筋和纵筋配筋量相差过大时，会出现一 个未达到屈服、另一个达到屈服的部分超筋破坏情况。
破坏形态
少筋破坏：
裂后钢筋应力 激增，构件破 坏
第八章 受扭构件
配筋强度比z
z Astl s f y
Ast1 ucor f yv
试验表明，当0.5≤z ≤2.0范围时，受扭破坏时纵筋和箍筋基本
上都能达到屈服强度。但由于配筋量的差别，屈服的次序是有 先后的。
《规范》建议取0.6≤z ≤1.7，设计中通常取z =1.0~1.3。
第八章 受扭构件
与纵轴成45。和135。，其大小就等于剪应力，当主拉应力达到混凝土的抗 拉强度时，在构件中某个薄弱部位形成裂缝，裂缝沿主压应力迹线迅速延 伸。对于素混凝土构件，开裂会迅速导致构件破坏，破坏面呈一空间扭曲 曲面。
T
t max
T
b2h
T Wte
第八章 受扭构件
二、钢筋混凝土纯扭构件 抗扭钢筋有两种：抗扭纵筋和抗扭箍筋，两者不可缺一，抗
适筋破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，钢筋屈服， 混凝土压碎， 构件破坏
超筋破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，混凝土压 碎，构件破坏， 钢筋未屈服
设计时应避免出现
部分超筋
破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，混凝土压 碎，构件破坏， 纵筋或箍筋未 屈服
第八章 受扭构件
8.3 纯扭构件的承载力计算
总结
平衡扭转----静定问题
约束扭转----超静定问题
受扭构件中通常也配置纵筋和箍筋以抵御扭矩
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
8.2 纯扭构件的试验研究
一、素混凝土的纯扭构件
在扭矩作用下，截面上任何一点只有剪应力，矩形截面受扭构件最大剪
应力tmax发生在截面长边中点，由于剪应力产生的主拉应力和主压应力分别
三、破坏形式
按照配筋率的不同，受扭构件的破坏形态也可分为适筋破坏、 少筋破坏、部分超筋破坏和超筋破坏。
◆适筋破坏:箍筋和纵筋配置都适当，与临界（斜）裂缝相交的 钢筋都能先达到屈服，然后混凝土压坏，具有一定的延性。破 坏时的极限扭矩与配筋量有关。
◆少筋破坏：当箍筋和纵筋配筋数量过少时，配筋不足以承担 混凝土开裂后释放的拉应力，一旦开裂，将导致扭转角迅速增 大，构件呈明显的脆性破坏特征，受扭承载力取决于混凝土的 抗拉强度。
2
1bb 2b4bb1(h
22232
2 22
b) 6
2
b2
ft
6
(3h b)
截面受扭塑性抵抗矩
Wt
b2 6
(3h b)
第八章 受扭构件
二、箱形截面
bw
hw
tw
封闭的箱形截面，其抵抗扭矩的作用 与同样尺寸的实心截面基本相同。实 际工程中，当截面尺寸较大时，往往 采用箱形截面，以减轻结构自重，如 桥梁中常采用的箱形截面梁。为避免 箱形截面的壁厚过薄对受力产生不利 h 影响，规定壁厚tw≥bh/7，且hw/tw≤6。
T(T)
钢筋混凝土纯扭构件
开裂前钢筋中的应力很小
T(T)
开裂后不立即破坏，裂缝可 以不断增加，随着钢筋用量 的不同，有不同的破坏形态
第八章 受扭构件
二、钢筋混凝土纯扭构件
抗扭钢筋有两种：抗扭纵筋和抗扭箍筋，两者不可缺一，抗 扭纵筋应沿构件截面的周边均匀布置。
当主拉应力达到混凝土的抗拉强度时，在构件中某个薄弱部
8.3.1开裂扭矩的计算
一、矩形截面
开裂扭矩等于构件即将开裂时截面单位面积上的内力对中心 的力矩和，因此，开裂扭矩与开裂时截面上的应力有关，混凝 土既不是弹性的，也不是完全塑性的，按弹性理论分析和塑性 理论分析都不合适，《规范》给出的开裂扭矩计算公式，是近 似采用塑性材料的应力分布计算，但要乘以降低系数。
Hale Waihona Puke Baidu
F4+F4=Ast4st
F1+F1=Ast1st
s F3+F3=Ast3st
第八章 受扭构件
构件的抗扭承载力与抗扭钢筋的用量有关，抗 扭钢筋有抗扭箍筋和抗扭纵筋两部分组成，这两 种钢筋的数量即强度相对大小对构件的承载力有 一定影响，试验表明：当抗扭箍筋相对较少时， 抗扭强度由抗扭箍筋控制，即多配的纵筋起不到 提高抗扭强度的作用，当纵筋配置较少时，抗扭 强度由抗扭纵筋控制。
对于平衡扭转，受扭构件必须提供足够的抗扭承载力，否 则不能与作用扭矩相平衡而引起破坏。
第八章 受扭构件
边梁抗扭刚度大
约束扭转
边梁抗扭刚度小
在超静定结构，若扭矩是由相邻构件的变形受到约束而产生 的，扭矩大小与受扭构件的抗扭刚度有关，称为约束扭转 Compatibility Torsion。
对于约束扭转，由于受扭构件在受力过程中的非线性性质， 扭矩大小与构件受力阶段的刚度比有关，不是定值，需要考虑 内力重分布进行扭矩计算。
bh
Wt
bh2 6
(3h bh )
bw2 6
(3hw
bw )
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
三、带翼缘截面
45° ft
Tcr 0.7 ftWt
Wt
b2 6
(3h
b)
截面受扭塑性抵抗矩
ft ft
第八章 受扭构件
按塑性理论
45° ft ft
此时截面上的剪应力分
布如图所示分为四个区， 取极限剪应力为ft，分别 计算各区合力及其对截 ft 面形心的力偶之和，可 求得塑性总极限扭矩为，
T
ft
(h
b)
b 2
b 4
位形成裂缝，拉力卸给钢筋。随荷载增加，裂缝沿主拉应力迹
线迅速延伸，并且形成许多新的裂缝，构件表面形成连续的螺
旋状裂缝。当接近极限扭矩时，在构件长边上有一条裂缝发展
成为临界裂缝，并向短边延伸，与这条空间裂缝相交的箍筋和
纵筋达到屈服，最后在另一个长边上的混凝土受压破坏，达到
极限扭矩。
裂缝 箍筋
T T
纵筋
本章重点
了解受扭构件的分类和受扭构件开裂， 破坏机理；
掌握受扭构件的设计计算方法； 熟悉公路桥涵工程与建筑工程关于受扭
结构构件计算的相同与不同之处； 熟悉钢筋混凝土受扭构件的构造要求。
第八章 受扭构件
8.1 概 述 两类受扭构件：平衡扭转和约束扭转
构件中的扭矩可以直接由荷载静力平衡求出，与构件刚度 无关，如图所示支承悬臂板的梁、偏心荷载作用下的梁（箱 形梁、吊车梁），称为平衡扭转 Equilibrium Torsion。
◆超筋破坏：当箍筋和纵筋配置都过大时，则会在钢筋屈服前 混凝土就压坏，为受压脆性破坏。受扭构件的这种超筋破坏称 为完全超筋，受扭承载力取决于混凝土的抗压强度。
◆部分超筋破坏：当箍筋和纵筋配筋量相差过大时，会出现一 个未达到屈服、另一个达到屈服的部分超筋破坏情况。
破坏形态
少筋破坏：
裂后钢筋应力 激增，构件破 坏
第八章 受扭构件
配筋强度比z
z Astl s f y
Ast1 ucor f yv
试验表明，当0.5≤z ≤2.0范围时，受扭破坏时纵筋和箍筋基本
上都能达到屈服强度。但由于配筋量的差别，屈服的次序是有 先后的。
《规范》建议取0.6≤z ≤1.7，设计中通常取z =1.0~1.3。
第八章 受扭构件
与纵轴成45。和135。，其大小就等于剪应力，当主拉应力达到混凝土的抗 拉强度时，在构件中某个薄弱部位形成裂缝，裂缝沿主压应力迹线迅速延 伸。对于素混凝土构件，开裂会迅速导致构件破坏，破坏面呈一空间扭曲 曲面。
T
t max
T
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T Wte
第八章 受扭构件
二、钢筋混凝土纯扭构件 抗扭钢筋有两种：抗扭纵筋和抗扭箍筋，两者不可缺一，抗
适筋破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，钢筋屈服， 混凝土压碎， 构件破坏
超筋破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，混凝土压 碎，构件破坏， 钢筋未屈服
设计时应避免出现
部分超筋
破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，混凝土压 碎，构件破坏， 纵筋或箍筋未 屈服
第八章 受扭构件
8.3 纯扭构件的承载力计算
总结
平衡扭转----静定问题
约束扭转----超静定问题
受扭构件中通常也配置纵筋和箍筋以抵御扭矩
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
8.2 纯扭构件的试验研究
一、素混凝土的纯扭构件
在扭矩作用下，截面上任何一点只有剪应力，矩形截面受扭构件最大剪
应力tmax发生在截面长边中点，由于剪应力产生的主拉应力和主压应力分别
三、破坏形式
按照配筋率的不同，受扭构件的破坏形态也可分为适筋破坏、 少筋破坏、部分超筋破坏和超筋破坏。
◆适筋破坏:箍筋和纵筋配置都适当，与临界（斜）裂缝相交的 钢筋都能先达到屈服，然后混凝土压坏，具有一定的延性。破 坏时的极限扭矩与配筋量有关。
◆少筋破坏：当箍筋和纵筋配筋数量过少时，配筋不足以承担 混凝土开裂后释放的拉应力，一旦开裂，将导致扭转角迅速增 大，构件呈明显的脆性破坏特征，受扭承载力取决于混凝土的 抗拉强度。
2
1bb 2b4bb1(h
22232
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b) 6
2
b2
ft
6
(3h b)
截面受扭塑性抵抗矩
Wt
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(3h b)
第八章 受扭构件
二、箱形截面
bw
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封闭的箱形截面，其抵抗扭矩的作用 与同样尺寸的实心截面基本相同。实 际工程中，当截面尺寸较大时，往往 采用箱形截面，以减轻结构自重，如 桥梁中常采用的箱形截面梁。为避免 箱形截面的壁厚过薄对受力产生不利 h 影响，规定壁厚tw≥bh/7，且hw/tw≤6。