(精选3份合集)2020届内蒙古赤峰二中、呼市二中高考数学模拟试卷
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞17．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．898．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm310．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．412．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项之和为S n，且满足S n=1﹣a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接由全集U，集合M求出∁U M，则N∩（∁U M）的答案可求．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴∁U M={﹣2，2}．则N∩（∁U M）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．故选：A．2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．【解答】解：∵z===﹣﹣i，故|z|=，故选：C．3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线【考点】曲线与方程．【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．故选：B．4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．【解答】解：=（1，2），=（﹣2，4），可得•=﹣2+8=6，||==2，由k+与垂直，可得（k+）•=0，k•+2=0，即有6k+20=0，解得k=﹣．故选B．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．【解答】解：=，=．∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．当x=5时，=﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．故选C．6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，△=4﹣4m＜0，解得m＞1；所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；m＞2是不等式成立的充分不必要条件；0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；m＞0是不等式成立的必要不充分条件．故选：C．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B8．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，∴a n=﹣+1﹣n=﹣n，故选：B．9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100cm3．故选：A．10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，即f（x）=cos（x+φ），①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，y=g（x）的周期为2π，故D错误，②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，∵|φ|＜，∴此时φ不存在．综上故选：B．11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．4【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4．故选：D12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，由PF1⊥PF2，∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（y﹣a）2+y2﹣c2，令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2==（）2，可得e=，故选：D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由，可得：＜π，=﹣．利用cosα=，展开即可得出．【解答】解：∵，∴＜π，∴=﹣=﹣．∴cosα==+=+=．故答案为：﹣．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：18015．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，∴球的半径为=，∴球心到截面的距离为=，故答案为：．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为（1，2+）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f （x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，f′（x）=，∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，当＜x＜1，f′（x）＞0；当1＜x＜e，f′（x）＜0，故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，f（）=a﹣2﹣，f（e）=a+2﹣e2，则f（e）＜f（），f（x）在[，e]上有两个零点的条件，，解得1＜a＜2+，故实数a 的取值范围（1，2+]．故答案为：（1，2+]．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项之和为S n ，且满足S n =1﹣a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过S n =1﹣a n 与S n ﹣1=1﹣a n ﹣1作差可知a n =a n ﹣1，进而计算可得结论； （2）通过（1）可知b n =（n +1），进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵S n =1﹣a n ，S n ﹣1=1﹣a n ﹣1，∴a n =a n ﹣1﹣a n ，即a n =a n ﹣1，又∵S 1=1﹣a 1，即a 1=，∴数列{a n }是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n =；（2）由（1）可知b n =（n +1）a n =（n +1）， ∴T n =2•+3•+4•+…+（n +1）， T n =2•+3•+…+n •+（n +1）， 两式相减得： T n =2•+++…+﹣（n +1） =+﹣（n +1）=﹣， ∴T n =3﹣．18．如图，在多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC=AB=1，△A 1BC 是 正三角形，B 1C 1∥BC ，B 1C 1=BC ．（Ⅰ）求证：面A 1AC ⊥面ABC ；（Ⅱ）求该几何体的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC ⊥面ABC．（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，∴，∴，∴A1A⊥AC，又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，∴面A1AC⊥面ABC．（Ⅱ）解：依题意得：而，，故：．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，即有=2，又a2﹣b2=16，解得a=4，b=4，则椭圆方程为+=1；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===，S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•=16•≤16•=8，当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数为f′（x）=1﹣2x﹣e x，可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，f（x）=xlna﹣x2﹣a x的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣a x lna，又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增函数极大值减函数所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna的导数为y′=﹣=，可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD 内接于⊙O，能求出∠D．（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=112°．（2）证明：∵∠DAE=35°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△ABP，∴=，∠DBA=∠BDA，∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，∴=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程：x+y﹣4=0．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．∴cos==，∵，∴∠AOB=，可得∠AOB=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．【考点】基本不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，故a+b+c=1；（2）3（a2+b2+c2）﹣12=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，∴a2+b2+c2．2020年8月27日。
内蒙古呼和浩特市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
内蒙古呼和浩特市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题不等式的解集为（）A．B．C．D．第(2)题已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(3)题已知，则（）A．B．C．D．2第(4)题设集合，，则（）A．B．或C．D．第(5)题若复数为实数，则实数等于（）A．B．C．D．2第(6)题在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（）A．1B．2C．4D．2或4第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题设集合，，则集合中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为正方形，.点分别为的中点.则在原四棱锥中，下列结论正确的是（）A．平面平面B．平面C．平面D．平面平面第(2)题如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（）A．B．C．D．第(3)题已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（）A．的最大值为B．若点，则的最小值为5C．无论过点的直线在什么位置，总有D．若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量（3，4），则与反向的单位向量为_____第(2)题直线l的方程为，则直线l的一个法向量为 __．第(3)题第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若在其定义域上单调递增，求k的取值范围．第(2)题如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）(2)求证;山高第(3)题2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施.为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3：2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85.（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度满意不满意合计性别男生女生10合计100附：随机变量.0.250.150.100.050.0251.3232.072 2.7063.841 5.024第(4)题在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点A在直线l上，点B在曲线C上，求的最小值.第(5)题如图，在三棱柱中，底面三角形是边长为4的正三角形，侧面是菱形，且平面平面分别是棱的中点，.(1)证明：平面；(2)若①三棱锥的体积为8；②与底面所成角为；③异面直线与所成的角的大小为.请选择一个条件求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.。
2020年内蒙古自治区赤峰市内蒙古市第二中学高一数学理模拟试卷含解析
2020年内蒙古自治区赤峰市内蒙古市第二中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，与函数相同的函数是 ()A. B. C. D.参考答案：C2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若则参考答案：A3. ﹣=（）A．2lg5 B．0 C．﹣1 D．﹣2lg5参考答案：B【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数性质、运算法则求解．【解答】解：﹣=lg50﹣1﹣（1﹣lg2）=lg5﹣1+lg2=0．故选：B．4. 已知，则（）A. B. 2 C. D. -2参考答案：B由题，两边平方得，两边同时除以并化简得，解得故本题正确答案为5. 方程的实数根有( )个．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C6. 直线与圆的位置关系为（）A．与相交 B．与相切 C．与相离 D．以上三个选项都有可能参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．【方法点睛】直线与圆的位置关系考虑三法：（1）确定直线所过的定点，判断定点在圆内；（2）通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系而实现；（3）通过将直线方程与圆方程联立消元后，利用判别式判断，此法是判断直线与圆锥曲线位置关系的通法．7. 若为任一非零向量，为长度为1的向量，下列各式正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 设函数，则函数的递减区间是()A． B． C． D．参考答案：C9. 已知函数f（x）=，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，[﹣3?5]=﹣4，[1?2]=1，设n∈N*，定义函数f n（x）为：f1（x）=f（x），且f n （x）=f[f n﹣1（x）]（n≥2），有以下说法：①函数y=的定义域为{x|≤x≤2}；②设集合A={0，1，2}，B={x|f3（x）=x，x∈A}，则A=B；③f2015（）+f2016（）=；④若集合M={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，则M中至少包含有8个元素．其中说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】新定义；数形结合；分析法；函数的性质及应用；集合．【分析】对于①，先根据定义域选择解析式来构造不等式，当0≤x≤1时，由2（1﹣x）≤x求解；当1＜x≤2时，由x﹣1≤x求解，取后两个结果取并集；对于②，先求得f（0），f（1），f（2），再分别求得f（f（0）），f（f（f （0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再观察与自变量是否相等即可；对于③，看问题有2015，2016求值，一定用到周期性，所以先求出几个，观察是以4为周期，求解即可；对于④，结合①②③可得、0、1、2、、、、∈M，进而可得结论．【解答】解：当0≤x＜1时，f（x）=2（1﹣x）；当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1．即有f（x）=，画出y=f（x）在[0，2]的图象．对于①，可得f（x）≤x，当1≤x≤2时，x﹣1≤x成立；当0≤x＜1时，2（1﹣x）≤x，解得≤x＜1，即有定义域为{x|≤x≤2}，故①正确；对于②，当x=0时，f3（0）=f[f2（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；当x=1时，f3（1）=f[f2（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；当x=2时，f3（2）=f[f2（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；即有A=B，故②正确；对于③，f1（）=2（1﹣）=，f2（）=f（f（））=f（）=2（1﹣）=，f3（）=f（f2（））=f（）=﹣1=，f4（）=f（f3（））=f（）=2（1﹣）=，一般地，f4k+r（）=f r（）（k，r∈N）．即有f2015（）+f2016（）=f3（）+f4（）=+=，故③正确；对于④，由（1）知，f（）=，∴f n（）=，则f12（）=，∴∈M．由（2）知，对x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈M．由（3）知，对x=、、、，恒有f12（x）=x，∴、、、∈M．综上所述、0、1、2、、、、∈M．∴M中至少含有8个元素．故④正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数及分段不等式的解法，元素与集合关系的判定，函数的周期性，函数恒成立问题，分段函数问题要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式．10. 若，则的值为 ()A.3B. 6C. 2D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为．参考答案：略12. 函数在内有一个零点，则实数的取值范围是___________.参考答案：（1）当，即，对称轴成立.但时，不满足，舍去.（2）当，要满足题意，即，即.综上：.13. （5分）已知函数f（x）=，其中表示不超过x的最大整数（如=﹣2，=3，…）．则函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点个数是．参考答案：4考点：对数函数的图像与性质；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意作出函数f（x）和y=log3|x|的图象，数形结合可得．解答：由题意作出函数f（x）和y=log3|x|的图象，数形结合可得图象的交点个数为4个，故答案为：4点评：本题考查函数图象的交点，数形结合是解决问题的关键，属中档题．14. 下列几个命题：①直线与函数的图象有3个不同的交点；②函数在定义域内是单调递增函数；③函数与的图象关于轴对称；④若函数的值域为，则实数的取值范围为；⑤若定义在上的奇函数对任意都有，则函数为周期函数．其中正确的命题为（请将你认为正确的所有命题的序号都填上）．参考答案：15. 已知角的顶点为坐标原点始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角终边上的一点，且。
2020届内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)(有答案)
内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．96．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．187．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．29．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．211．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有种．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得z﹣i=zi，即（1﹣i）z=i，∴．∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=2x+1＞1，得到A={y|y＞1}，由B中不等式变形得：x（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞0，即B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B={x|x＞1}，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（e﹣1，2），故选C．4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？【考点】程序框图．【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解答】解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2+a3=6a1，∴，化为q2+q﹣6=0，解得q=2．则===9．故选：D．6．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．18【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令x=0，1，2，3，4解不等式组即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；当x=0时，不等式组等价为，即0≤y≤6，此时y=0，1，2，3，4，5，6，有7个整点，当x=1时，不等式组等价为，即1≤y≤，此时y=1，2，3，4，5，有5个整点，当x=2时，不等式组等价为，即2≤y≤5，此时y=2，3，4，5，有4个整点，当x=3时，不等式组等价为，即3≤y≤，此时y=3，4，有2个整点，当x=4时，不等式组等价，即y=4，此时y有1个整点，当x≥5时，不等式组无解，综上共有7+5+4+2+1=19个，故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】•=0，∴，⊥，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D 点坐标为（y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：由•=0，∴，⊥，以A为原点，以所在的直线为x轴正半轴，以所在的直线为y轴的正半轴，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=30°设D点坐标为（y，y），=λ+μ（λ，μ∈R），即（y，y）=（λ，2μ），，，=2．故选：D．9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，可得==﹣，∴ω=3，∵f（）=Acos（3•+φ）=Asinφ=﹣，∴f（）=Acos（+φ）=﹣Asinφ=，故选：C．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：，可得|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，又k FN=﹣=﹣2即有=2，求得m=4，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×4×1=2．故选：A．11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故选：D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方=﹣．利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．=﹣．∵a＜0，∴当x=时，有最大值，∴≤﹣bx0．∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是≤﹣bx0．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b．【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则b2=，则b=，即虚轴长2b=2×=，故答案为：，14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种．【考点】计数原理的应用．【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4•C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故答案为：70．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=31．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数列，故a65=a3+ =a5=31．（6×10+2）【解答】解：由a n+1=，且a1=11，得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴数列{a n}从第三项开始是周期为6的周期数列．=a5=31．则a65=a3+（6×10+2）答案为：31．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+）+，由f（a）=，解得：sin（+）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+）的值．（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得解a2+b2+c2=ab+bc+ca．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sin+cos+=sin（+）+，∴f（a）==sin（+）+，解得：sin（+）=1，∴+=2kπ+，k∈Z，解得：α=4kπ+，k∈Z，∴tanα=tan（4kπ+）=tan=﹣，∴tan（a+）==0．（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=，∵f（A）==sin（+）+，解得：sin（+）=，∵0＜A＜π，＜+＜，∴+=，解得：A=，C=π﹣A﹣B=，∴a=b=c，∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的意义；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．【解答】解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.25×（1﹣0.18）+（1﹣0.25）×0.18=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，都不发生洪水的概率为P（）=（1﹣0.25）（1﹣0.18）=0.615，设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000P 0.34 0.045 0.615E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，比较知方案1最好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），利用直线l1与圆C相切的充要条件可得：+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，因此k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．可得k1k2==，又+=1．联立解出即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆E的方程为+=1．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），由直线l1与圆C相切时，=，∴+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，∴k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．∴，且k1k2==，∵+=1．∴﹣8x0﹣36=0，解得x0=﹣2或．由x0=﹣2，解得y0=±3；由x0=，解得y0=，满足条件．∴点P的坐标分别为：（﹣2，±3），．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数f′（x），再分类讨论，当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）由已知条件不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增，由g（x）求导得，则在x∈（1，∞）恒成立，即在x∈（1，∞）恒成立，令，由x∈（1，∞），则（0，1）得到h（x）max=﹣4，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，∴当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）∵＞﹣1对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2恒成立，不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增．∵，则在x∈（1，∞）恒成立，∴在x∈（1，∞）恒成立，令，∵x∈（1，∞），∴（0，1）．∴h（x）max=﹣4．∴a＞﹣4．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM 与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．【解答】解：（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，可得：射线OM的极坐标方程为：．（II）设P（ρ1，θ1），由，解得．设Q（ρ2，θ2），由，解得．∴θ1=θ2，|PQ|=ρ2﹣ρ1=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．。
【附20套高考模拟试题】2020届内蒙古赤峰二中高考数学模拟试卷含答案
2020届内蒙古赤峰二中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．函数()g x 为偶函数D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈2．设x ，y 满足约束条件1010210x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z y x =-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 4．关于曲线C ：222214x y a a +=-性质的叙述，正确的是（ ）A ．一定是椭圆B ．可能为抛物线C ．离心率为定值D ．焦点为定点5．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．1126．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．3i -C ．3iD ．3-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，BC=1，点P 在侧面A 1ABB 1上．满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）A ．不存在B ．恰有1个C ．恰有2个D ．有无数个 9．已知是定义在上的奇函数，且；当时，，则（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①()()mf xmf x =，0x >，m ∈R ；②存在实数1a >，使得()1f a =．则下列选项正确的是（ ）A ．()()3322f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭B ．()()3232f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭C ．()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭11．下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形ABCD 、半径为r 的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与AD 的中点N 重合，斜边在直线BC 上.已知S 为BC 的中点，现将该图形绕直线NS 旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（ ）A．3 23rπB．3rπC．32rπD．3103rπ12．已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A．16 B．163C．83D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(理科) (含解析)
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)z=|√3+i|，i为虚数单位，则z等于()A. 1−iB. 1+iC. 12−12i D. 12+12i2.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,5}，则C U A=()A. {1,5}B. {3,4}C. {3,5}D. {1,2,3,4,5}3.已知sin(α+π4)=√23，则sinα⋅cosα=()A. −518B. 518C. 59D. −594.在△ABC中，BN=14BC，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14a⃗−34b⃗ B. 34a⃗−14b⃗ C. 14a⃗+34b⃗ D. 34a⃗+14b⃗5.某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动．为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下：你最喜欢的社团类型是什么?——您选哪一项(单选)A体育类，如：羽毛球、足球、毽球等B科学类，如：数学建模、环境与发展、电脑等C艺术类，如：绘画、舞蹈、乐器等D文化类，如：公关演讲、书法、文学社等E其他由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为()A. 500，28.8°B. 250，28.6°C. 500，28.6°D. 250，28.8°6.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A. 5315B. 154C. 6815D. 2327.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=tan(x+π6)的图象的一个对称中心是()A. (π3,0) B. (π4,0) C. (π2,0) D. (π6,0)9.已知函数f(x)=a⋅2x−1与函数g(x)=x3+ax2+1(a∈R)，下列选项中不．可．能．是函数f(x)与g(x)图象的是()A. B. C. D.10. 点P(1,0.7)与椭圆x 22+y 2=1的位置关系为( )A. 在椭圆内B. 在椭圆上C. 在椭圆外D. 不能确定 11. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥2,log 2(4−x),x <2,若函数y =f(x)−k 有两个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,1)C. (2,+∞)D. (1,+∞) 12. 已知点A ，F ，P 分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若∠PFA =2∠PAF 恒成立，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 1+√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ∫(103x 2−12)dx 的值是______ ．14. 将A ，B ，C 三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A ，B 放入同一个盒子中的概率为________．15. 如图，在△ABC 中，AC =15，M 在边AB 上，且CM =3√13，cos∠ACM =3√1313，sin α=2√55(α为锐角)，则△ABC 的面积为____.16. 已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1，平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，AA 1=AB =2，∠A 1AB =60°，AC =BC =√2，O ，E 分别是AB ，CC 1中点．(Ⅰ)求证：OE//平面A1C1B；(Ⅱ)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的大小．18.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1−a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log2a n，求数列{1b n b n+119.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1．(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，｜AB｜=8，求直线l的方程．20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩x−(同一组中数据用该组区间中点作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x−和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)附：①s2=204.75，√204.75=14.31；②z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<z<μ+2σ)=0.9544；③0.84134=0.501．21.已知函数f(x)=(x−m)lnx(m≤0)．(1)若函数f(x)存在极小值点，求m的取值范围；(2)证明：f(x+m)<e x+cosx−1．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾8-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．解：(1+i)z=|√3+i|=√3+1=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，故选：A．2.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．根据补集定义求出A的补集即可．解：因为U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2，5}，∴∁U A={3,4}，故选B．3.答案：A解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．展开两角和的正弦，可得cosα+sinα=23，两边平方后得答案．解：由，得√22(cosα+sinα)=√23，即cosα+sinα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，∴sinαcosα=−518．故选A ．4.答案：D解析：本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，属于基础题．由向量的三角形法则以及数乘运算，向量的减法得出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ 故选D ．5.答案：A解析：本题考查频率和扇形统计图中圆心角的度数的求法，考查条形统计图、扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．根据调查结果条形图中选择A 的人数，结合调查结果的扇形统计图中选择A 的人数比例，求出接受调查学生的总人数，从而能求出选择D 的人数，再根据调查结果扇形统计图求出E 的圆心角度数． 解：设接受调查的学生的总人数为x ，由调查结果条形图可知：选择A 的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%，所以15%=300x ，解得x =2000，所以选择D 的人数为：2000×25%=500，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(1−15%−12%−40%−25%)×360∘=28.8°．故选A ．6.答案：C解析：。
2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学(理)试题word版含答案
2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，集合，则 A ． B ． C ． D ． 2.已知复数在复平面上对应的点为，则 A. B. C. D.是纯虚数3．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是A ．24B ．8C ．D ．4.设的三个内角所对的边分别为，如果 ，且外接圆的半径为A ． 1 B．4 5.展开式中项的系数为 A ．30 B ．40 C. 60 D ．1206.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是A ．B ． C. D ．7．已知向量的取值范围是{}6,5,4,3,2,1=U {}3,5,1=A {}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|()U C A B =U {}1,6{}6{}63，{}1,3z (21)Z -，12=-+z i ||5=z z 2i =--2-z (3,2)a =-r )1,(-=y x a r b r ,x y yx23+3835ABC ∆AB C 、、a b c 、、()()3a b c b c a bc +++-=a =ABC ∆5(2)x y z ++22x y z [1,25]a a --()f x [0,25]a -()f x 2()f x x a =+||()x f x a =-()af x x =()log (||2)a f x x =+,5==+A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆的左右焦点分别为，以O 为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为 A ． B ． C ． D ． 9已知，，则的值为 A ． B ． C ． D ． 10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是 一个等边三角形，则这个几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．11.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A ．3B ．C ．D ．112.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数 A.有极小值，没有极大值 B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足不等式组,则的最小值是 ．14．甲、乙、丙三个同学在看三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是.比赛结果表明，他们的话有]5,0[]25,5[]7,25[]10,5[22221(0)x y a b a b+=>>12F F 、12F F P OP 313-213-222325tan 1tan =+αα)2,4(ππα∈)42sin(πα-1027-102102-1027()1100F -，()2100F ，M 120MF MF =⋅u u u u r u u u u r122MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 1312y kx =()y f x =()g x kx m =+()F x =()g x ()f x -,x y 2211≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x x y 4z y x =-c b a ,,.b c b a c b一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 . 15．已知三棱锥的外接球的球心为，平面 ，则球心到平面的距离为 .16如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成 的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列中，，其前n 项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当时，.18（本小题满分12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.重庆2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表:（Ⅰ）现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计ABC P -O ⊥PA ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，1PA =O PBC 31)(,b a b a >=a b{}n a 11a =n S 2221n n n S a S =-2()n ≥1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n ≥1231113 (232)n S S S S n ++++<X ),(2σμN 每分钟 跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,+) 得分 17181920∞总体的期望和方差,已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型:（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果 四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：若随机变量服从正态分布，则，19．（本小题满分12分）如图，已知与分别是边长为1与 2的正三角形，，四边形为直角梯 形，且，，点为的 重心，为中点，平面，为 线段上靠近点的三等分点． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，是圆：内一个定点， 是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点．（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．1692≈S 2000182ξξX ),(2σμN 6826.0)(=+<<-σμσμX P )22(σμσμ+<<-X P .9974.0)33(9544.0=+<<-=σμσμX P ，DEF △ABC △AC DF ∥BCDE DE BC ∥BC CD ⊥G ABC △N AB AG ⊥BCDE M AF F GM ∥DFN M BC D --47MN CD ()10N ,M ()22116x y ++=P NP MP Q P Q E ()01G ,l E A B A O D ABD △S21．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值. （Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且 .（为自然对数的底数）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆和圆的极坐标方程；（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集 （Ⅱ）若证明()ln ().au x x a R x=-∈)(x u 0=y a ,21e a e <<+,ln |)(|)(xxx u x f -=()f x 12,x x 21x x e -<e xOy 1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 2C 1C O 12||3C C =x 1C 2C O 1l 2l 2C O A D 1C O C B 12l l ⊥ABCD )()(R x x x f ∈=4)1()1(≤++-x f x f ;M ,,M b a ∈.4)()(2:+≤+ab f b a f2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题参考答案一、选择题：13．-5 14．C 15. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，， 当时，从而.18．（12分）解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，……………… 3分 （Ⅱ）（个）………… 5分 又所以正式测试时， （ⅰ）（人） ……………… 7分 （ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即662n ≥21221nn n n S S S S --=-112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111(1)221n n n S S =+-⨯=-121n S n ∴=-∴2n ≥11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----123111*********...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L ;16502921001121626=+=C C C C P 18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X ,13,1692≈≈s S 182,13,195=-∴==σμσμ,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ的分布列为…12分19.（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心所以，且为中点，又， 所以，所以；··········2分 又为中点，所以，又， 所以，所以，，，四点共面，··········4分 又平面，平面， 所以平面．··········5分（2）由题意，平面，所以，平面平面，且交线为， 因为，所以平面，又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面 因为，，所以平面平面， 又与分别是边长为1与2的正三角形，故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，··········7分 因为，所以，，， 设平面的法向量，则，取，··········8分平面的法向量，··········9分;125.05.0)3(,375.0)5.01(5.0)2(,375.0)5.01(5.0)1(333223213=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅==C P C P C P ξξξ∴ξ.5.15.03)(=⨯=X E ABC △AG BC O G ABC △23AG AO =O BC 23AM AF =u u u u r u u u r 23AG AM AO AF ==GM OF ∥N AB NO AC ∥AC DF ∥NO DF ∥O D F N OF ⊂DFN GM ⊄DFN GM ∥DFN AG ⊥BCDE AO BC ⊥ABC ⊥BCDE BC BC CD ⊥CD ⊥ABC BCDE 2BC =1DE =OE CD ∥OE ⊥ABC AC DF ∥DE BC ∥//ABC DEF DEF △ABC △O OC x OE y OA z CD m =()1,0,0C ()1,,0Dm (A 1,,22F m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0B-1,0,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭23AM AF =u u u u r u u ur 12,33m M ⎛ ⎝⎭()2,0,0BC =u u ur 42,33m BM ⎛= ⎝⎭u u u u r MBC (),,a b c =n 0BC BM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u u r nn ()m =-n BCD ()0,0,1=υ所以二面角的余弦值， ，··········10分 又， ；直线与．··········12分 20.解（1）由题意得， 根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分，，，轨迹方程为．·········4分 （2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得， 消去得，设，，则，，·········6分 则，·········8分 又·········9分，·········10分 ，由，得，，，易证在递增，， M BC D --cos θ⋅⋅==n n υυ273m =+21m =523,,63m MN ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ()0,,0CD m =u u u r cos ,MN CD <>=u u u u r u u u rNM CD NM CD⋅=⋅u u u u r u u u ru u u ur u u u r 227774m =+MN CD 2742QM QN QM QP MP MN +=+==>=Q E M N 2a ∴=3c =1b ∴=∴22143x y +=1222ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△d O l l 1y kx =+221 143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2234880kxkx ++-=()11A x y ,()22B x y ,122834k x x k -+=+122834x x k -=+()22221212261211434k k AB k x x x x k++=++-=+21d k=+22461234ABDk S d AB k+∴==+△212k t +=20k ≥1t ≥246461212ABD t S t t t∴==++△1t ≥12y t t =+()1+∞,123t t∴+≥，面积的最大值．·········12分 21（12分）解：（Ⅰ）设切点 又切点在函数上，即……………… 4分（Ⅱ）证明:不妨设，，所以在上单调递减，又， 所以必存在，使得，即. ……………… 6分 ①当时， 所以在区间上单调递减， 注意到， 所以函数在区间上存在零点，且. ……………… 9分 ②当时, 所以在区间上单调递增， 又， 且， 所以在区间上必存在零点，且. 综上，有两个不同的零点、，且.22．解：（Ⅰ）由圆的参数方程（为参数），得，-----------1分 所以，ABD S ≤△ABD ∴△S 3)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=Θ.,00200x a x x a k -=∴=-+=∴)(x u ,0)(0=∴x u ,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴12x x <Θ21()0a u x x x'=--<()u x (0,)+∞()10,(2)ln 202a au e u e e e e=->=-<0(,2)x e e ∈0()0u x =,ln 00x x a=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x xx a x x x x x x x ax f 00x x <≤222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x ---+---+'=---=≤<()f x 0(0,]x 1()10a f e e e =-->0000000ln ln ()ln 0x x af x x x x x =--=-<()f x 0(0,]x 1x 10e x x <<0x x >22211ln ln (1)()0a x x x a f x x x x x-++-'=+-=>()f x 0(,)x +∞0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->g ()f x 0(,2)x e 2x 022x x e <<()f x 1x 2x 21212x x x x e e e -=-<-=1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 22(1)1x y ++=1(1,0)C -11r =又因为圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离， 可得，，则圆的方程为---------3分所以由得圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为--------------5分（Ⅱ）由已知设，则由 可得，， 由（Ⅰ）得， 所以------8分 所以当时，即时，有最大值9-----------------10分23.（10分） 解：（Ⅰ） 由 ……………… 5分（Ⅱ）法一：要证，只需证，即证， 只需证，即证 由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. 法二：，要证只需证，即证由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. ……………… 10分2C 1C O 12||3C C =1(2,0)C 22r =2C 22(2)4x y -+=cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩1C 2cos ρθ=-2C 4cos ρθ=1A(,)ρθ12l l ⊥2B(,)2πρθ+3C(,)ρθπ+43D(,)2ρθπ+12344cos 2cos()2sin 22cos()2cos 34cos()4sin 2ρθπρθθρθπθρθπθ=⎧⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+=⎪⎩132411()()18sin cos 9sin 222ABCD S AC BD ρρρρθθθ=⋅=++==四边形sin 21θ=4πθ=ABCD S 四边形⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=++-1,211,21,211x x x x x x x ];2,2[411-=⇒≤++-M x x 42+≤+ab b a ()()2244+≤+ab b a ()168484222++≤++ab ab b ab a ab ab 88≤Θ()1644222+≤+ab b a ()()04422≥--b a ,2,2≤≤b a ：b a b a +≥+Θ∴42+≤+ab b a 422+≤+ab b a ()()022≥--b a ,2,2≤≤b a ：。
内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试题 Word版含解析
赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（理科）数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,3aA =，{,}B a b =，若13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则22a b -=（ ）A. 0B.43C.89D.【答案】C 【解析】 【分析】由13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,可解得,a b ,代入即可求得结果.【详解】13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,331=a ∴,解得:1a =-, 13b =,22181-=99a b -∴=.故选:C.【点睛】本题考查已知交集求解参数,难度容易.2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发xi 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，6i e π表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由cos sin ixe x i x =+可知当6x π=时,6=cossin66ii e πππ+,化简即可求得结果.【详解】cos sin ix e x i x =+,∴ 当6x π=时,61=cossin662ie i i πππ+,∴6ieπ表示的复数对应的点为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在第一象限. 故选:A.【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系,难度容易. 3. 已知角α的终边经过点(-4,-3)，则cos(2)2πα+=（ ）A. 2425-B. 1225-C.1225D.2425【答案】A 【解析】 【分析】根据角α的终边经过点(-4,-3)，利用三角函数的定义得到3tan 4α=，再利用诱导公式及二倍角公式，商数关系，转化为cos(2)2πα+222sin cos tan 22sin cos tan 1αααααα=-=-++求解.【详解】因为角α的终边经过点(-4,-3)， 所以3tan 4α= 所以cos(2)sin 22sin cos 2παααα+=-=-，222sin cos tan 2422sin cos tan 125αααααα=-=-=-++，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及诱导公式，二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）A. 43+B. 843+C. 883+D. 8163+【答案】D 【解析】 【分析】根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.【详解】设半径为r ,圆心到弦的距离为d ,则121cos 232d r r π⎛⎫=⋅⨯=⎪⎝⎭, 11422r d r r r -=-==8,4r d ∴==∴ 所以弦长为2222641683r d -=-=, ∴弧田面积为()21834481632⨯+=+故选:D.【点睛】本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易. 5. 我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.督导一年后.分别随机抽查了高中（用A 表示）与初中（用B 表示）各10所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（ ） ①高中得分与初中得分的优秀率相同 ②高中得分与初中得分的中位数相同 ③高中得分的方差比初中得分的方差大 ④高中得分与初中得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图可计算优秀率、中位数、平均数;根据得分的分散程度可判断方差大小关系,从而可得各个选项的正误.【详解】从茎叶图可知抽查的初中得分优秀率为:3100%30%10⨯= ；高中得分的优秀率为:3100%30%10⨯=可知①正确;高中的中位数为75.5,初中的中位数为72.5,可知②错误；初中得分比较分散，所以初中的方差大，可知③正确;高中的平均分为75.7,初中的平均分为75,可知④错误. 故选:B.【点睛】本题考查利用茎叶图求解频率、中位数、平均数、方差的问题,难度较易.6. 已知抛物线22y px =的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为E ，若60,EPF PEF ∠=∆的面积为3p =（） A. 2 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p 即可．【详解】抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，过P 作抛物线的准线的垂线，垂足是E ，若∠EPF ＝60°，△由抛物线的定义可得：|PF |＝|PE|，△PEF 是正三角形，所以|PE|=2p ，△PEF 的面积为163， ∴122602p p sin ⨯⨯⨯︒=163得p ＝4， 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 7. 如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 63C. 642+D. 322+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+． ∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)()()2111f =-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8. 袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计事件A 发生的概率为（ ） A.29B.518C.13D.718【答案】C 【解析】【分析】18组随机数中，利用列举法求出事件A发生的随机数有共6个，由此能估计事件A发生的概率．【详解】解：18组随机数中，事件A发生的随机数有：210，021，001，130，031，103，共6个，∴估计事件A发生的概率为61183p==．故选：C．【点睛】本题考题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9. 已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a//b，则α//γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a// α，a// β，b//α，b//β，则α//β；③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①②③④【答案】C【解析】【分析】①通过实际模型判断；②由面面平行的判定定理判断；③由面面垂直的性质定理判断；④由线面垂直的判定定理判断.【详解】①若α∩β=a，β∩γ=b，且a//b，则α//γ或αγ⋂，故错误；②若a，b相交，且都在α，β外，a// α，a// β，b//α，b//β，则α//β；由面面平行判定定理知正确；③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α，由面面垂直的性质定理知正确；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，由线面垂直的判定定理知，当a与b⊂相交时，l⊥a则故错误；故选：C【点睛】本题主要考查直线，平面间的位置关系以及面面垂直的判定定理，性质定理，线面垂直的判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10. 设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右两焦点分别为12,F F，P是双曲线右支上一点，且三角形2OPF 为正三角形(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率是（ ） A.31+ B.31+C.6 D.10 【答案】B 【解析】 【分析】依题意画出草图，根据双曲线的定义计算可得；【详解】解：依题意，三角形2OPF 为正三角形，则22OP OF PF c ===，连接1PF 可得13=PF c ，又122PF PF a -=，即32c c a -=，所以3131c e a ===+- 故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.11. 已知()'f x 是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有()(23)()xf x e x f x '=++(e 是自然对数的底数)，f (0)=3，若方程f (x )=m 恰有三个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 21[0,)e B. 21(0,)e C. 2313[,]e e D. 2313(,)e e 【答案】D 【解析】 【分析】根据()(23)()xf x e x f x '=++，构造函数()()xf xg x e=，由()()()23x f x f x g x x e '-'==+，设()2+3g x x x c =+，g 0)=f (0)=3,得到()()2+33xf x x x e =+，再利用导数研究其单调性，极值，最值，画出图象求解即可.【详解】因为()(23)()xf x e x f x '=++， 所以()()23xf x f x x e '-=+，令()()xf xg x e =， 所以()()()23xf x f xg x x e'-'==+， 所以()2+3g x x x c =+，()()2+3xf x x x c e =+，又f (0)=3，解得3c =， 所以()()2+33xf x x x e =+，所以()()()+32xf x ex x '=+，当()0f x '>时，3x <-或2x >-，当()0f x '<时，32x -<<-， 所以()f x 在(),3-∞-和()2,-+∞上递增，在()3,2--上递减， 所以()f x 的极大值是()333f e -=，极小值是()212f e-=， 因为方程f (x )=m 恰有三个实数根，如图所示：所以2313m e e <<，所以则实数m 的取值范围是2313(,)e e 故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数利用导数研究函数的单调性，极值，最值方程的根，还考查了转化化归思想，数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题.12. 有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料111,ABC A B C -其各棱长都为2,已知点1O ，O 分别为上，下底面的中心，M 为1OO 的中点，过A ， B ，M 三点的截面把该木料截成两部分，则此截面面积为（ ） A.7B.319C.163D. 2【答案】C 【解析】 【分析】 取11A B 的中点D ，AB 的中点N ，连接NM 并延长交1DC 与G ，过G 作11//EF A B ，则梯形ABFE 即为所求的截面，然后根据M 为中点，1O 为中心，得到1113C G CD =， 进而求得EF 和梯形的高即可. 【详解】如图所示：取11A B 的中点D ，AB 的中点N ，连接NM 并延长交1DC 与G ，过G 作11//EF A B ，因为11//AB A B ，所以//EF AB ， 则梯形ABFE 即为所求的截面， 则11DO O G =，因为M 为中点，1O 为中心，1O 为中心， 所以1113C G CD =，因为12233EF =⨯=，3AE BF ===，=，故S 梯形ABFE =12223⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体的截面问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=2____．（用数字作答） 【答案】12- 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进行化简，求得结果.【详解】根据题中的条件可得：222cos542sin182cos18844sin 18-=⋅-=sin 3612sin 362-==-，故答案是：12-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式子进行正确的变形是解题的关键.14. 在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =且224bc b c +=+，则角A =___.【答案】3π 【解析】 【分析】根据已知条件,反凑余弦定理,即可求得角A. 【详解】2a =,2224bc a bc b c +=+=+∴,222b c a bc ∴+-=由余弦定理得: 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又03A A ππ<<∴=，. 故答案为:3π. 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.15. 直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】 (1). 2 (2). 1 【解析】 【分析】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果.【详解】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程24y x =．当直线AB 斜率不存在时：1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=．当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理，得 ()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++． （方法二）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.16. 已知函数f (x )的定义域为(0,+∞)，若()f x y x=在(0,+∞)上为增函数，则称f (x )为“一阶比增函数"；若2()=f x y x 在(0,+∞)上为增函数，则称f (x )为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B .若函数32()2,f x x mx mx =--且f (x )∈A ，f (x )∉B ，则在区间(-3, 3)内满足上述条件的所有整数m 为___ 【答案】2,1-- 【解析】 【分析】 由()f x A ∈且()f x B ∉知2()()2f x g x x mx m x==--在(0,)+∞是增函数而2()()2f x mh x x m x x==--在(0,)+∞不是增函数，分别求出m 的取值范围求交集，再根据m ∈ (-3, 3)即可求解． 【详解】()A f x ∈且()f x B ∉，即2()()2f x g x x mx m x==--在(0,)+∞是增函数， 0m ∴．而2()()2f x mh x x m x x ==--在(0,)+∞不是增函数， 而2()1mh x x '=+， ∴当()h x 是增函数时，有0m ，∴当()h x 不是增函数时，有0m <．∴ 在(-3, 3)内满足上述条件的所有整数m 为-2，-1故答案为：2,1--【点睛】本题主要考查了函数的单调性，导数在研究函数单调性上的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤，第17一21 题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，22BC =，45ABC ∠=︒，点E 是CD 边的中点，将DAE △沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且26PB =.（1）求证；平面PAE ⊥平面ABCE ； （2）求点E 到平面P AB 的距离. 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】（1）推导出AE AB ⊥，AB PA ⊥，从而AB ⊥平面P AE ，由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE. （2）推导出AE PE ⊥，CE ⊥平面P AE ，以E 为原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E 到平面P AB 的距离.【详解】（1）∵在平行四边形ABCD 中，4AB =，22BC =45ABC ∠=︒， 点E 是CD 边的中点，将DAE △沿AE 折起， 使点D 到达点P 的位置，且6PB =∴22(22)22222cos452AE =+-⨯⨯⨯︒=，∴AE AB ⊥，∵222AB PA PB +=，∴AB PA ⊥， ∵AE PA A =，∴AB ⊥平面P AE ，∵AB平面ABCE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE.解：（2）∵2AE =，2DE =，22PA = ∴222PA AE PE =+，∴AE PE ⊥. ∵AB ⊥平面P AE ，//AB CE ， ∴CE ⊥平面P AE ， ∴EA ，EC ，EP 两两垂直，以E 为原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), (0,0,2)E A B P ，(0,0,2)PE =-，(2,0,2)PA =-，(2,4,2)PB =-设平面P AB 的法向量(,,)n x y z =，则2202420n PA x z n PB x y z ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩，取1x =，得(1,0,1)n =，∴点E 到平面P AB 的距离||2||2PE n d n ⋅===【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1111,2,3426,n n n a b a a b +===++13426n n n b b a +=+-.（1）证明：{}n n a b +是等比数列；（2）求数列{(21)()n n n a b ++}的前n 项和.n S 【答案】（1）证明见解析（2）33(21)2nn +-⋅ 【解析】 【分析】（1）根据递推数列及等比数列的定义即可证明； （2）根据错位相减法求数列的和求解. 【详解】（1）由1111,2,3426,n n n a b a a b +===++13426n n n b b a +=+-，可得()()1136n n n n a b a b +++=+， 即()112n n n n a b a b +++=+，则{}n n a b +是首项为3，公比为2的等比数列（2）由（1）知132n n n a b -+=⨯，1(21)()3(21)2n n n n a b n -∴++=+⋅，()23133527292(21)2n n S n -=+⨯+⨯+⨯++⋅∴+()2341332527292(21)2(21)22n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅∴，两式相减得()2341332222222222(21)2n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+-+⋅42233(21)212n n n ⎛⎫-⨯=+-+⋅ ⎪-⎝⎭3(12)23n n =-⋅- 33(21)2n n S n ∴=+-⋅【点睛】本题主要考查了递推关系，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.19. 以“立德树人”为目标的课程改革正在积极有序推进，普通高中招生对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.2020年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校为了掌握初三年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下面频率分布直方图，且规定计分规则如下表：（1）请估计学生的跳绳个数的众数、中位数和平均数(保留整数)；（2）若从跳绳个数在[155,165)、[165, 175)两组中按分层抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人,求两人得分之和不大于34分的概率.【答案】（1）180，184，185；（2）1 12.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可得众数，由中位数和平均数公式可得中位数和平均数；（2）由表格可求得跳绳个数在[155,165)、[165, 175)两组中的人数分别为6和12，根据分层抽样可得在[155,165)中抽3人，在[165, 175)中抽6人，然后由古典概型的概率求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知：众数为1751851802+=，中位数为：0.50.060.120.321751751840.0340.034m--=+=+≈，平均数1600.061700.121800.341900.302000.12100.08185X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）跳绳个数在[155,165)有1000.066⨯=人，在[165, 175) 1000.1212⨯=人， 因为一共抽取9人，所以在[155,165)中抽3人，在 [165, 175)中抽6人，基本事件的总数为2936C =种，若两人得分之和不大于34分，则两人都从[155,165)中选，基本事件共有233C =种，所以两人得分之和不大于34分的概率313612p ==. 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求众数，中位数，平均数和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20. 已知函数()()1(0)f x xln x a a =++<.（1）若函数()f x 在定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）证明:()sin xf x e x <+.【答案】（1）(2,a e -⎤∈-∞-⎦；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先判断出函数的定义域，进而通过求导，求导函数的导数并求其最小值解答问题． （2）转化的思想，要证明()sin xf x e x <+，只需证明sin 1x xlnx e x <+-，进而利用分类讨论的思想解答问题．【详解】解：（1）()f x 的定义域为(,)a -+∞，且()()xf x ln x a x a'=+++， 设()()()x m x f x ln x a x a '==+++，则2212()()()a x a m x x a x a x a +'=+=+++，0a <．2a a ∴->-，令()02m x x a '=⇒=-，则当(,2)x a a ∈--时()0m x '<；当(2,)x a ∈-+∞时，()0m x '>． ()m x 在(,2)a a --上单调递减，在(2,)a -+∞上单调递增，由已知函数()f x 在定义域上增函数，得()(2)()20min m x m a ln a =-=-+解得2a e --， a ∴的取值范围是(2,a e -⎤∈-∞-⎦，（2）：0a <，x a >-．0x ∴>，()()11f x xln x a xlnx =++<+，要证明()sin xf x e x <+， 只需证明sin 1x xlnx e x <+-，()i 当01x <时，sin 10x e x +->，0xlnx ．所以sin 1x xlnx e x <+-成立，()ii 当1x >时，设()sin 1x g x e x xlnx =+--，则()cos 1x g x e lnx x '=-+-，设()()h x g x ='，则1()e sin xh x x x'=--， 1x >，()110h x e ∴'>-->，即()h x 在(1,)+∞上单调递增，()()1cos110h x h e ∴>=+->，即()0g x '>，()g x ∴在(1,)+∞上单调递增，()()1sin110g x g e >=+->即sin 1x xlnx e x <+-， 综上可知，0a <时，()sin xf x e x <+．【点睛】（1）主要考察函数的定义域，导函数，利用导函数判断元函数的单调性． （2）考察转化的思想，分类讨论的思想，以及导函数的应用，属于中档题．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点且椭圆的短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于,M N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得，13516QM QN ⋅=-恒成立？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）存在，11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）由椭圆性质可知2b =点代入即可求得结果.（Ⅱ）假设存在定点(,0)Q m 符合题意，①当直线l 的斜率不存在时，由13516QM QN ⋅=-解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时,解得114m =-或114m =.由①②可得114m =,然后证明当114m =时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示13516QM QN ⋅=-即可证得结论.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=.又椭圆的短轴长为2b =212b =， 解得216a =.所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-， ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3),(2,3)QM m QN m =-=--，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0),(4,0)M N -，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-， 由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =. 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222234161630k x k x k +-+-=， 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点， 且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++， 所以11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222221631116121135124434431616k k k k k k k -⎛⎫=+-+++=- ⎪++⎝⎭. 综上所述，在x 轴上存在定点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-恒成立.. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆位置关系中定点定值问题,难度较难. (二)选考题:共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线(0)3πθρ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当||||AB OP =时，求a 的值.【答案】（Ⅰ）:0l y a +-=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ）0或【解析】【分析】（Ⅰ）将l 参数方程消去t 即可得到普通方程；由24cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得C 的直角坐标方程；（Ⅱ）联立C 和射线的极坐标方程可得P 点极坐标，从而得到OP ；将l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用t 的几何意义，结合韦达定理构造关于a 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）将直线l 的参数方程消去t0y a +-=由4cos ρθ=得：24cos ρρθ= 224x y x ∴+=整理可得曲线C 的直角坐标方程为：()2224x y -+= （2）由()4cos 03ρθπθρ=⎧⎪⎨=≥⎪⎩得：2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2OP ∴= 将直线l 的参数方程代入C得：()2220t t a ++=由()22240a ∆=->得：44a -<<设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则：122AB t t =-=== 解得：0a=或a =∴所求a 的值为0或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型.23. 已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a ∈R ）．（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()5|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|04}x x x ≤≥或（2）4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当4a =-时不等式()6f x ≥化为2226x x -+-≥，即22x -≥，即可求得不等式的解集；（2）不等式化为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即2|2||42|5x a x a ++-≥，利用绝对值不等式化为245a a +≥，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥，所以|2|2x -≥，即22x -≤-或22x -≥，原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或．（2）不等式2()5|2|f x a x ≥--即为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即关于x 的不等式2|2||42|5x a x a ++-≥恒成立．而|2||42||4|x a x a ++-≥+，所以2|4|5a a +≥，解得245a a +≥或245a a +≤-，解得415a -≤≤或a φ∈． 所以a 的取值范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题．。
内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试题(wd无答案)
内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，若，则（）A．0B．C．D．(★) 2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 3. 已知角α的终边经过点(-4,-3)，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（）A．B．C．D．(★★) 5. 我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.督导一年后.分别随机抽查了高中（用表示）与初中（用表示）各10所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（）①高中得分与初中得分的优秀率相同②高中得分与初中得分的中位数相同③高中得分的方差比初中得分的方差大④高中得分与初中得分的平均分相同A．①②B．①③C．②④D．③④(★★★) 6. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若的面积为，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★)8. 袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事件 A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321210023123021132220001 231130133231031320122103233由此可以估计事件A发生的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知 a， b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩ β= a，β∩ γ= b，且 a// b，则α// γ；②若 a， b相交，且都在α，β外，a// α，a// β，b// α，b// β，则α// β；③若α⊥ β，α∩ β= a， b⊂ β，a⊥ b，则b⊥ α；④若 a⊂ α， b⊂ α，l⊥ a，l⊥ b，则l⊥ α.其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①③C．②③D．①②③④(★★)10. 设双曲线的左、右两焦点分别为，P是双曲线右支上一点，且三角形为正三角形( O为坐标原点)，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 已知是函数 f( x)的导函数，且对任意的实数 x都有( e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f( x)= m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料其各棱长都为2,已知点，分别为上，下底面的中心， M为的中点，过 A， B， M三点的截面把该木料截成两部分，则此截面面积为（）A．B．C．D．2二、填空题(★★★) 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则＝____．（用数字作答）(★★) 14. 在锐角中，角的对边分别为，且，则角___.(★★★) 15. 已知函数 f( x)的定义域为(0,+∞)，若在(0,+∞)上为增函数，则称 f( x)为“一阶比增函数"；若在(0,+∞)上为增函数，则称 f( x)为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 A，所有“二阶比增函数”组成的集合记为 B.若函数且f( x)∈ A， f( x)∉ B，则在区间(-3, 3)内满足上述条件的所有整数 m为___三、双空题(★★★) 16. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则______，______．四、解答题(★★★) 17. 如图所示，在平行四边形 ABCD中，，，，点 E是CD边的中点，将沿 AE折起，使点 D到达点 P的位置，且.（1）求证；平面平面 ABCE；（2）求点 E到平面 PAB的距离.(★★★) 18. 已知数列和满足. （1）证明：是等比数列；（2）求数列{ }的前 n项和(★★★) 19. 以“立德树人”为目标的课程改革正在积极有序推进，普通高中招生对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.2020年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校为了掌握初三年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下面频率分布直方图，且规定计分规则如下表：（1）请估计学生的跳绳个数的众数、中位数和平均数(保留整数)；（2）若从跳绳个数在[155,165)、 [165, 175)两组中按分层抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人,求两人得分之和不大于34分的概率.(★★★) 20. 已知函数.（1）若函数在定义域上为增函数，求 a的取值范围；（2）证明: .(★★★★) 21. 已知椭圆过点且椭圆的短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于两点.试问轴上是否存在定点，使得，恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由.(★★★) 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于两点，直线与曲线相交于两点.（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（Ⅱ）当时，求的值.(★★★) 23. 已知函数（其中）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于 x的不等式恒成立，求 a的取值范围．。
【附20套高考模拟试题】2020届内蒙古赤峰市赤峰二中高考数学模拟试卷含答案
2020届内蒙古赤峰市赤峰二中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在102()x x -的二项展开式中，6x 的系数等于（ ） A ．-180 B ．53-C ．53 D ．180 2．已知01a <<，则22,2,log a a a 的大小关系为（ ）A ．222log a a a >>B ．22log 2a a a >>C ．222log a a a >>D ．222log a a a >>3．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ） A ．3 B ．34C ．5D ．545．已知2παπ<<，且1sin cos 5αα+=，则tan2α的值为（ ） A ．247- B ．247 C ．724- D ．7246．若点P 是函数y=2sinx sinx cosx +图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 斜率的范围是（ ） A ．(),1∞- B ．[]0,1 C ．[)1,∞+ D ．(]0,17．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π 8．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．9．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.910．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，若在椭圆上存在一点P ，使得12PF F ∆的内心I 与重心G 满足12//IG F F ，则椭圆的离心率为（ ）A 2B ．23C ．13D ．1211．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-⋃C ．(2,3)D ．(,3)(2,3)-∞-⋃ 12．已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则AB =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1C ．[]1,2D ．()3,2-【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C【解析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-，32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知115232,5,log 2a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由11522,511a b =>=>，而3log 21c =<，即可得到,a c b c >>.在比较10a 和10b ，即可,a b 大小关系，进而求得a bc ，，的大小关系. 【详解】11522,511a b =>=>，3log 21c =< ∴,a c b c >>又1052=32a =，1025,=25b =∴1010a b >，即a b >综上所述，c b a << 故选：B. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 所以当0x ≥时，()f x ≤由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤， 所以()f x，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A． B ．1CD ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以20,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈.故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．1310【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞.故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()b a a -⊥，则a 与b 的夹角为____________. 【答案】3π（或写成60︒） 【解析】设a 与b 的夹角为θ，通过()b a a -⊥，可得()=0b a a -⋅，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ()b a a -⊥可得()=0b a a -⋅，∴()2=0a b a⋅-故2cos =0a b a θ⋅⋅-，将2b a =代入可得 得到1cos 2θ=， 于是a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.【答案】5639【解析】先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365=⨯+⨯=.由正弦定理得56sin 56653sin sin sin 395a b b A a A B B ⋅=⇒===.故答案为：5639【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】536【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22426C C ⨯=种.当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有225310330C C ⨯=⨯=种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有226415690C C ⨯=⨯=种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.所以该验证码的中间数字是7的概率为210210563090210420756151236==+++++. 故答案为：536【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.三、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O （A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】3 π【解析】判断出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值. 【详解】根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为22BD ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1). 3 (2). π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且32CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（24183【解析】（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PEEC E =，∴BC ⊥平面PCEBC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D ，(0,0,3)P ，由已知35CF CD =，得23,,055F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23(1,1,3),,,355PB PF ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭设平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，则30233055n PB x y z n PF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令3z =，则249,55x y ==， ∴249,,355n ⎛⎫= ⎪⎝⎭由（1）知平面PAD 的法向量可取为()1,0,0m =∴2222441835|cos ,|249(3)55m n <>==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴平面PAD 与平面PBF 4183. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥.（1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）112231n n S +=-+ 【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到113n nn n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-11*,2,3n nn n a b n N n a b ---∈≥=-所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，()()1111113,22nn n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()Eξ附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，17 6【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.且2,3,4ξ=1211222132431(2)(1,1)3C C C C P P m n C C ξ======； 21111222221222323243431(3)(2,1)(1,2)2C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为则11117()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）24x y =（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程. （2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】（1）依题意d =1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，即214y x =，得12y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+- ∵21114y x =，∴112xy x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，1112x t y -=-①，同理，2212xt y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12xt y -=-.即直线:12tAB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t=-，得PF AB ⊥于是1||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()22210y t y -++=21224AB y y t=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+当0t =时，PABS 最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.21．已知函数()ln f x x =.（1）设2()()f x g x x =，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1ae -+上不单调，证明：111a a a +>+.【答案】（1）(x ∈为增区间；)x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()1,1ae -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111a a a +>+成立. 【详解】（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0xg x x-'=>，解得(x ∈为增区间；由312ln ()0xg x x -'=<解得)x ∈+∞为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111x xa x e ah x e x x x --'=-=>--当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，则()0xm x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()1,1ae -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，且()()11010a ee am e ee a e a m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=-> ∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10xe x x >+>①在①中令x a =，∴111111aaa e a e e a a ->+⇒<⇒<++ 令1ln x a=∴1ln1ln 1ae a >+，即111ln 11ln a a a a>+⇒>-即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111a a a +>+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 的最大值为，求a 的值.【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a =或1a =-【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C 上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】 （1）22123sin ρθ=+，∴2223sin 12ρρθ+=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得223412x y +=，曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=由22220143x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 故C上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为d ==则||sin 45d PA ︒===当0a ≥时，||PA1a =；当0a <时，||PA=1a =-.综上所述，1a =或1a =- 【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）(],1-∞；（2）证明见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为(],1-∞.（2）由（1）知max ()3f x s ==，于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号）上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)含答案解析
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．96．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．187．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．29．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．211．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有种．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得z﹣i=zi，即（1﹣i）z=i，∴．∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=2x+1＞1，得到A={y|y＞1}，由B中不等式变形得：x（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞0，即B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B={x|x＞1}，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（e﹣1，2），故选C．4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？【考点】程序框图．【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解答】解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2+a3=6a1，∴，化为q2+q﹣6=0，解得q=2．则===9．故选：D．6．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．18【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令x=0，1，2，3，4解不等式组即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；当x=0时，不等式组等价为，即0≤y≤6，此时y=0，1，2，3，4，5，6，有7个整点，当x=1时，不等式组等价为，即1≤y≤，此时y=1，2，3，4，5，有5个整点，当x=2时，不等式组等价为，即2≤y≤5，此时y=2，3，4，5，有4个整点，当x=3时，不等式组等价为，即3≤y≤，此时y=3，4，有2个整点，当x=4时，不等式组等价，即y=4，此时y有1个整点，当x≥5时，不等式组无解，综上共有7+5+4+2+1=19个，故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】•=0，∴，⊥，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D点坐标为（y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：由•=0，∴，⊥，以A为原点，以所在的直线为x轴正半轴，以所在的直线为y轴的正半轴，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=30°设D点坐标为（y，y），=λ+μ（λ，μ∈R），即（y，y）=（λ，2μ），，，=2．故选：D．9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，可得==﹣，∴ω=3，∵f（）=Acos（3•+φ）=Asinφ=﹣，∴f（）=Acos（+φ）=﹣Asinφ=，故选：C．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：，可得|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，又k FN=﹣=﹣2即有=2，求得m=4，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×4×1=2．故选：A．11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故选：D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方=﹣．利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．=﹣．∵a＜0，∴当x=时，有最大值，∴≤﹣bx0．∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是≤﹣bx0．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b．【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则b2=，则b=，即虚轴长2b=2×=，故答案为：，14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种．【考点】计数原理的应用．【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4•C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故答案为：70．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=31．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数=a5=31．列，故a65=a3+（6×10+2）【解答】解：由a n+1=，且a1=11，得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴数列{a n}从第三项开始是周期为6的周期数列．=a5=31．则a65=a3+（6×10+2）答案为：31．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+）+，由f（a）=，解得：sin（+）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+）的值．（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得解a2+b2+c2=ab+bc+ca．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sin+cos+=sin（+）+，∴f（a）==sin（+）+，解得：sin（+）=1，∴+=2kπ+，k∈Z，解得：α=4kπ+，k∈Z，∴tanα=tan（4kπ+）=tan=﹣，∴tan（a+）==0．（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=，∵f（A）==sin（+）+，解得：sin（+）=，∵0＜A＜π，＜+＜，∴+=，解得：A=，C=π﹣A﹣B=，∴a=b=c，∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的意义；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．【解答】解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.25×（1﹣0.18）+（1﹣0.25）×0.18=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，都不发生洪水的概率为P（）=（1﹣0.25）（1﹣0.18）=0.615，设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000P 0.34 0.045 0.615E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，比较知方案1最好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），利用直线l1与圆C相切的充要条件可得：+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，因此k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．可得k1k2==，又+=1．联立解出即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆E的方程为+=1．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），由直线l1与圆C相切时，=，∴+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，∴k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．∴，且k1k2==，∵+=1．∴﹣8x0﹣36=0，解得x0=﹣2或．由x0=﹣2，解得y0=±3；由x0=，解得y0=，满足条件．∴点P的坐标分别为：（﹣2，±3），．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数f′（x），再分类讨论，当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）由已知条件不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增，由g（x）求导得，则在x∈（1，∞）恒成立，即在x∈（1，∞）恒成立，令，由x∈（1，∞），则（0，1）得到h（x）max=﹣4，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，∴当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）∵＞﹣1对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2恒成立，不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增．∵，则在x∈（1，∞）恒成立，∴在x∈（1，∞）恒成立，令，∵x∈（1，∞），∴（0，1）．∴h（x）max=﹣4．∴a＞﹣4．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．【解答】解：（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，可得：射线OM的极坐标方程为：．（II）设P（ρ1，θ1），由，解得．设Q（ρ2，θ2），由，解得．∴θ1=θ2，|PQ|=ρ2﹣ρ1=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．2020年7月22日第21页（共21页）。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷1 (含答案解析)
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 欧拉公式e ix =cos x +isin x(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie − π 6i =( )A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i 3. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =( )A. 4B. 1C. −1D. −44. 已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则sin2α=A. 35 B. 45 C. √1010D. 3√10105. 已知函数f (x )满足f (2x +1)=x 2−3，则f (0)的值为( )A. −3B. 3C. −114D. −726. 已知双曲线C:y 2a 2−x 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±√5xD. y =±23x7. 从装有大小相同的3个白球和2个红球(所有的球除颜色不同外，其余均相同)的不透明袋中，随机抽取2个球，则抽出2个球的颜色相同的概率为( )A. 35B. 25C. 720D. 3108. 已知f(x)={x −5,(x ≥6)f(x +1),(x <6)，则f(5)为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 执行如图所示程序框图，若输出的S 值为−20，在条件框内应填写( )A. i >3?B. i <4?C. i >4?D. i <5?10. 从半径为6cm 的圆形纸片上剪下一个圆心角为120°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A. 2√2cmB. 3√5cmC. 2√5cmD. 4√2cm11. 设函数f(x)=sinx ，x ∈R ，将f(x)的函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移π2个单位得到g(x)的函数图象，则g(x)是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为4π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为4π的偶函数12. 过点P(1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2C. 32D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ax 3−3x +2016的图象在(1,f(1))处的切线平行于x 轴，则a = ______ ． 14. 已知x ，y 满足不等式组{x ≤2x −y +1≥03x +2y −6≥0，则z =3x +y 的最大值为_____________． 15. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，AB =1，PD =，若点E 为PB 的中点，则四面体EPCD 外接球的体积是________．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA =23，sinB =√5cosC ，并且a =√2，则△ABC 的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 已知在等差数列{a n }中，a 3=5，a 17=3a 6．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1n (an +3)，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是边长为2的正方形，且平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1=π3，BC =1，D 为CC 1的中点(1)证明：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ；(2)求点A1到平面AB1D的距离．19.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生抽样调查了100人，统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人．(Ⅰ)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的饮食习惯方面有差异”？20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12且经过点P(1,32)．(1)求椭圆C的方程；(2)过定点Q(−2,−3)的直线与椭圆C交于两点M、N，直线PM、PN的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值．21. 设函数f(x)=(x −1)e x − k2x 2．(Ⅰ)当k =e 时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当k >0时，讨论函数f(x)的零点个数．22. 以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,π2)，m 是曲线C ：ρ2cos2θ+1=0上任意一点，点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点P 的轨迹为曲线Q (1)求曲线Q 的直角坐标方程；(2)若直线l ：{x =−2−ty =2−√3t(t 为参数)与曲线Q 的交点为A 、B ，求|AB|的长．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|x +1|−2．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥a2−a−2在R上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x≤4}；∴A∩B={0,1，2，3}．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．【解答】解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．【解答】解：因为向量a⃗=(1,2),b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，所以1×2+2m=0，即m=−1．故选C．4.答案：A解析：【分析】根据直线方程可知直线斜率，即k =tanα=3，根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式求解即可． 【详解】由直线方程可知k =tanα=3， 所以sinα=3√1010,cosα=√1010， sin2α=2sinαcosα=35， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角，同角三角函数的基本关系，二倍角，属于中档题．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数的解析式的求法，属于基础题．利用换元法，设t =2x +1，得到f(t)=(t−12)2−3，代入t =0即可．【解答】解：∵f (2x +1)=x 2−3， 设t =2x +1，即x =t−12，∴f(t)=(t−12)2−3，即f(0)=(0−12)2−3=−114，故选C ．6.答案：B解析： 【分析】此题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.由题意得ca =√5，可得b 2a 2=4，由此可得答案；解：由双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，可得ca =√5， 即a 2+b 2a 2=5，可得b 2a 2=4，则该双曲线的渐近线方程为：y =±ab x =±12x ． 故选B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查概率的求法，古典概型等基础知识，属于基础题．基本事件总数n =C 52=10，抽出两个球的颜色相同包含的基本事件个数m =C 32+C 22=4，由此能求出抽出两个球的颜色相同的概率． 【解答】解：记“从装有大小相同的3个白球和2个红球(所有的球除颜色不同外，其余均相同)的不透明袋中，随机抽取2个球，抽出2个球的颜色相同”为事件A ，则基本事件总数n =C 52=10，抽出2个球的颜色相同包含的基本事件个数m =C 32+C 22=4，∴抽出2个球的颜色相同的概率为P(A)=m n=410=25．故选：B ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 推导出f(5)=f(6)，由此能求出结果． 【解答】解：∵f(x)={x −5,(x ≥6)f(x +1),(x <6){x −5,(x ≥6)f(x +1)(x <6), ∴f(5)=f(6)=6−5=1． 故选：A ．9.答案：D【分析】本题考查程序框图及循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．【解答】解：由程序框图可得，第一次循环，S=10−2=8，i=2；第二次循环，S=8−4=4，i=3；第三次循环，S=4−8=−4，i=4；第四次循环，S=−4−16=−20，i=5，结束循环，故条件框内应填写“i<5？”．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出底面圆半径r，再利用勾股定理求圆锥的高．【解答】解：设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l=6cm，如图所示；由120°=2π，3×6=2πr，解得r=2(cm)；所以扇形的弧长为2π3所以圆锥的高为ℎ=√62−22=4√2(cm)．故选：D．11.答案：A解析：解：函数f(x)=sinx，x∈R，将f(x)的函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，可得y=sin2x的图象；个单位得到g(x)=sin(2x−π)=−sin2x的函数图象，再向右平移π2=π的奇函数，则g(x)是周期为2π2故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象的周期性和奇偶性，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的周期性和奇偶性，属于基础题．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．根据直线与圆相切的性质可求出切线长PA =PB ，及∠APB ，然后代入向量数量积的定义可求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：连接OA ，OB ，PO则OA =OB =1，PO =2，OA ⊥PA ，OB ⊥PB ， Rt △PAO 中，OA =1，PO =2，PA =√3． ∴∠OPA =30°，∠BPA =2∠OPA =60°，．故选C ．13.答案：1解析： 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a =1．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：函数f(x)=ax 3−3x +2016的导数为f′(x)=3ax 2−3，由图象在(1,f(1))处的切线平行于x 轴，可得f′(1)=3a −3=0，解得a =1．故答案为1．14.答案：9解析：【分析】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，解题的关键是画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可【解答】解：作出约束条件的可行域，如下图，因为z =3x +y ，所以y =−3x +z ，所以z 为斜率为−3的直线在y 轴上的截距，平移直线y =−3x ，由图知，当直线过A 时直线在y 轴上的截距最大，由{x =2x −y +1=0，解得A(2,3)时， 所以z 取得最大值9．故答案为9．15.答案：4π3解析：【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，证明BC ⊥平面PDC ，确定四面体EPCD 外接球的球心位置，求出外接球半径，则答案可求．【解答】解：连结BD ，∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BD ，PD ⊥BC ，又ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥BC ，∴△PBD 与△PBC 都是直角三角形，又E 是PB 的中点，∴ED =PE =EB =EC ，又AB =1，PD =√2， 易以求得ED =PE =EB =EC =1，取PC 的中点F ，则EF//BC ，EF ⊥平面PCD ，球心在EF 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，可求得PC =√3，PF =√32，EF =12， PO 2=PF 2+OF 2，即R 2=(√32)2+(R −12)2，解得R =1， ∴四面体E −PCD 的外接球的体积为．故答案为4π3．16.答案：√52解析：解：∵cosA =23，A 为三角形的内角，∴sinA =√1−cos 2A =√1−49=√53， ∵sinB =√5cosC ，且sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ，∴sinAcosC +cosAsinC =√5cosC ，则√53cosC +23sinC =√5cosC ，即23sinC −2√53cosC =0， 由{sinC −√5cosC =0sin 2C +cos 2C =1得，sinC =√56，cosC =√16， ∴sinB =√5cosC =√56，又a =√2，由正弦定理得a sinA =c sinC ，则c =a⋅sinCsinA =√2×√56√53=√3，∴△ABC 的面积S =12acsinB =12×√2×√3×√56=√52， 故答案为：√52． 由cos A 的值和平方关系求出sin A ，利用诱导公式、内角和定理得到sinB =sin(A +C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简：sinB =√5cosC ，利用同角三角函数间的基本关系列出方程组，求出sin C 与cos C 的值，由正弦定理求出c 的值，代入三角形的面积公式求出△ABC 的面积．本题考查正弦定理、余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：(1)等差数列{a n }中，a 3=5，a 17=3a 6，则{a 1+2d =5a 1+16d =3(a 1+5d ), 解得{a 1=1d =2, ∴a n =1+(n −1)×2=2n −1；(2)b n =1n (an +3)=12n (n+1)=12(1n −1n+1)， 所以S n =12(1−12+12−13+⋯…+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n 2(n+1)．解析：本题考查等差数列的通项，考查“裂项法”求数列的前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题．(1)利用等差数列的通项公式得出关系式求出首项及公差得出通项；(2)由(1)得出b n ，利用裂项相消法求出前n 项和．18.答案：(1)证明：∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∠BCD =60°，D 是CC 1的中点，∴CD =CC 1=1，∠DC 1B 1=120°，又BC =B 1C 1=1，∴BD =1，B 1D =√12+12−2×1×1×cos120°=√3，∴BD 2+B 1D 2=BB 12，∴B 1D ⊥BD ，∵四边形ABB1A1是正方形，∴AB⊥BB1，又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴AB⊥平面BCC1B1，又DB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，又AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，∴B1D⊥平面ABD.又B1D⊂平面A1B1D，∴平面A1B1D⊥平面ABD．(2)解：由(1)知AB⊥平面BCC1B1，故AB⊥BD，∴AD=√AB2+BD2=√5，由(1)知B1D⊥平面ABD，故B 1D⊥AD，∴S△AB1D =12⋅AD⋅B1D=12×√5×√3=√152．设A1到平面AB1D的距离为h，则V A1−AB1D =13×√152×ℎ=√15ℎ6．过D作DE⊥BB1，交BB1于E，∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴DE⊥平面ABB1A1，且DE=BCsin∠BCD=√32，∴V D−AA1B1=13S△AA1B1⋅DE=13×12×2×2×√32=√33．∴√15ℎ6=√33，解得ℎ=2√55．∴点A1到平面AB1D的距离为2√55．解析：(1)利用勾股定理证明B1D⊥BD，根据面面垂直和线面垂直的性质得出AB⊥B1D，故而B1D⊥平面ABD，于是平面A1B1D⊥平面ABD；(2)根据V A1−AB1D =V D−AA1B1列方程求出点A1到平面AB1D的距离．本题考查了面面垂直的判定，考查棱锥的体积计算与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20=10021≈4.762．由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．解析：(Ⅰ)根据统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人，由此可得列联表；(Ⅱ)计算出K 2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：(1)由已知可得{c a=121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；证明：(2)由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y +3=k(x +2)，即y =kx +2k −3．联立{y =kx +2k −33x 2+4y 2−12=0， 消去y 并化简得：(3+4k 2)x 2+8k(2k −3)x +4(2k −3)2−12=0．由△=64k 2(2k −3)2−4(3+4k 2)[4(2k −3)2−12]>0，解得k >12．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−16k 2−24k3+4k 2，x 1x 2=16k 2−48k+243+4k 2．∴k 1+k 2=y 1−32x 1−1+y 2−32x 2−1=2kx 1x 2+(k −92)(x 1+x 2)−(4k −9)x 1x 2−(x 1+x 2)+1 =2k⋅16k 2−48k+243+4k 2+(k−92)⋅(−16k 2−24k 3+4k 2)−(4k−9)16k 2−48k+243+4k 2−(−16k 2−24k 3+4k 2)+1=36k 2−72k+2736k 2−72k+27=1．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y +3=k(x +2)，与椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率公式即可证明k 1+k 2为定值．21.答案：解：(Ⅰ)当k =e 时，f(x)=(x −1)e x −12kx 2，f′(x)=xe x −ex =x(e x −e)， 当x <0或x >1时，f′(x)>0；当0<x <1时，f′(x)<0．所以，函数f(x)的极大值为f(0)=−1，极小值为f(1)=−e 2；(Ⅱ)①当0<k <1时，令f′(x)>0，解得x <lnk 或x >0，f(x)在(−∞,lnk)和(0,+∞)上单调递增，在(lnk,0)上单调递减，当k =1时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增．所以，当0<k ≤1时，当x <0时，=−k 2[(1nk −1)2+1]<0， 此时，函数f(x)无零点；当x ≥0时，f(0)=−1<0，f(2)=e 2−2k ≥e 2−2>0，又f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以，f(x)在[0,+∞)上有唯一的零点，故函数f(x)在定义域R 上有唯一的零点；②当k >1时，令f′(x)>0，解得x <0或x >lnk ，f(x)在(−∞,0)和(lnk,+∞)上单调递增，在(0,lnk)上单调递减，当x <lnk 时，f(x)≤f(x)max =f(0)=−1，此时，f(x)无零点；当x ≥lnk 时，f(lnk)<f(0)=−1<0，f(k +1)=ke k+1k(k+1)22=k[e k+1−(k+1)22]，令g(t)=e t −12t 2，t =k +1>2， 则g′(t)=e t −t ，令ℎ(t)=g′(t)=e t −t ，所以，ℎ′(t)=e t −1，∵t >2，ℎ′(t)>0，g′(t)在(2,+∞)上单调递增，得g′(t)>g′(2)=e 2−2>0，则g(t)在(2,+∞)上单调递增，所以，g(t)>g(2)=e 2−2>0，即f(k +1)>0，所以，f(x)在[lnk,+∞)上有唯一的零点，故函数f(x)在定义域R 上有唯一的零点．综合①②知，当k >0时，函数f(x)在定义域上有且只有一个零点．解析：本题考查了利用导数研究函数肚饿极值以及导数中的零点问题，属于难题．(Ⅰ)代入k =e 求导讨论即可得到其极值；(Ⅱ)分0<k <1和k >1两种情况讨论即可，注意求导讨论函数单调性．22.答案：解：(1)由已知曲线C ：ρ2cos2θ+1=0得ρ2(cos 2θ−sin 2θ)+1=0所以直角坐标方程为x 2−y 2+1=0，又点N 的直角坐标为(0,2)，设P(x,y)，M(x 1,y 1)，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得(x,y)=(x 1,y 1)+(0,2) 所以{x 1=x y 1=y −2代入x 12−y 12+1=0得x 2−(y −2)2+1=0 所以曲线Q 的直角坐标方程为x 2−(y −2)2+1=0(2)把直线l ：{x =−2−t y =2−√3t(t 为参数)和曲线x 2−(y −2)2+1=0联立得2t 2−4t −5=0， ∴|AB|=2|t 1−t 2|=2√14．解析：(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ，即可得出C 的直角坐标方程；利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定坐标之间的关系，即可求曲线Q 的直角坐标方程；(2))把直线l ：{x =−2−t y =2−√3t(t 为参数)和曲线x 2−(y −2)2+1=0联立，利用参数的几何意义，即可求|AB|的长．本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，属于中档题．23.答案：解：(1)原不等式等价于{x ≤−1−2x ≥3或{−1<x ≤12≥3或{x >12x ≥3解得：x ≤−32或x ≥32，∴不等式的解集为{x|x ≤−32或x ≥32}． (2)∵f(x)=|x −1|+|x +1|−2≥|(x −1)−(x +1)|−2=0，且f(x)≥a 2−a −2在R 上恒成立，∴a 2−a −2≤0，解得−1≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是−1≤a ≤2．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f(x)≥3的解集；(2)f(x)=|x −1|+|x +1|−2≥|(x −1)−(x +1)|−2=0，利用关于x 的不等式f(x)≥a 2−a −2在R 上恒成立，即可求实数a 的取值范围．。
2020届 内蒙古赤峰二中高三第三次统一模拟考试 数学(文)试题(解析版)
2020届内蒙古赤峰二中高三第三次统一模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,3aA =，{,}B a b =，若13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则22a b -=（ ）A ．0B ．43C ．89D ．3【答案】C【解析】由13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,可解得,a b ,代入即可求得结果. 【详解】Q 13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,331=a ∴,解得:1a =-, 13b =,22181-=99a b -∴=.故选:C. 【点睛】本题考查已知交集求解参数,难度容易.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发xi 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，6i e π表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】由cos sin ixe x i x =+可知当6x π=时,6=cossin66ii e πππ+,化简即可求得结果. 【详解】Q cos sin ix e x i x =+,∴ 当6x π=时,61=cossin=+6622ie i i πππ+,∴6i e π表示的复数对应的点为12⎫⎪⎪⎝⎭在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系,难度容易. 3．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】先用诱导公式化简,再借助三角函数的定义即可解得. 【详解】因为角α的终边经过点(4,3)-,则有3sin =5a , 所以3cos sin 25-=-παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选:B. 【点睛】本题考查诱导公式, 考查三角函数的定义求函数值,难度容易.4．已知(2,0)是双曲线221yx k-=的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y x =±C ．y =D ．y =【答案】D【解析】利用已知条件列出关系式，求解k ，然后得到双曲线的渐近线方程． 【详解】解：由已知(2,0)为双曲线的一个焦点可得，14k +=，即3k =，2213yx ∴-=所以渐近线方程为：y =． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）A ．43+B ．843+C ．883+D ．8163+【答案】D【解析】根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可. 【详解】设半径为r ,圆心到弦的距离为d ,则121cos 232d r r π⎛⎫=⋅⨯=⎪⎝⎭, 11422r d r r r -=-==Q8,4r d ∴==∴ 所以弦长为2222641683r d -=-=∴弧田面积为()21834481632⨯+=+故选:D. 【点睛】本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易.6．我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.督导一年后.分别随机抽查了高中（用A 表示）与初中（用B 表示）各10所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（ ）①高中得分与初中得分的优秀率相同 ②高中得分与初中得分的中位数相同③高中得分的方差比初中得分的方差大 ④高中得分与初中得分的平均分相同A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】根据茎叶图可计算优秀率、中位数、平均数;根据得分的分散程度可判断方差大小关系,从而可得各个选项的正误. 【详解】从茎叶图可知抽查的初中得分优秀率为:3100%30%10⨯= ；高中得分的优秀率为:3100%30%10⨯=可知①正确;高中的中位数为75.5,初中的中位数为72.5,可知②错误；初中得分比较分散，所以初中的方差大，可知③正确;高中的平均分为75.7,初中的平均分为75,可知④错误. 故选:B. 【点睛】本题考查利用茎叶图求解频率、中位数、平均数、方差的问题,难度较易.7．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，点,E F 分别为对角线BD 上两个三等分点，则AE CF ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．43-B ．43C ．283-D ．283【答案】A【解析】在菱形ABCD 中，求得2AB AD ⋅=-u u u r u u u r，再根据向量的线性运算，得到1(2)3AE AD AB =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，因为2AB AD ==，120BAD ︒∠=，所以2AB AD ⋅=-u u u r u u u r，所以13AE AB BE AB BD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11()(2)33AB AD AB AD AB =+-=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又AE CF =-u u u r u u u r，所以21(2)9AE CF AB AD ⋅=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r ()22144493AB AB AD AD -+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选A.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的三角形法则，以及准确利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计事件A 发生的概率为（ ） A ．29B ．518C ．13D ．718【答案】C【解析】18组随机数中,利用列举法求出事件A 发生的随机数有共6个,由此能估计事件A 发生的概率. 【详解】18组随机数中,利用列举法求出事件A 发生的随机数有210，021，001，130，031，103，共6个,估计事件A 发生的概率为61183p ==. 故选:C. 【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,难度较易.9．已知(4)(2)f x f x -=+，()f x 在(,3]-∞上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ） A ．2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．42,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由(4)(2)f x f x -=+可知()f x 的图象关于直线3x =对称, 由(0)0f =可知(6)0f =,则(23)0f x ->可转化为230x -<或236x ->,即可求得结果. 【详解】Q (4)(2)f x f x -=+,∴ ()f x 的图象关于直线3x =对称, Q (0)0f =,∴(6)0f =,Q ()f x 在(,3]-∞上单调递减,∴()f x 在[)3,+∞上单调递增,∴(23)0f x ->,可得230x -<或236x ->,解得:23x >或43x <-.故选:D. 【点睛】本题主要考查函数图象及性质,考查数形结合思想、化归与转化思想的应用,难度一般. 10．已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中： ①若,a b αββγ⋂=⋂=，且a ∥b ，则α∥γ；②若,a b 相交，且都在,αβ外，//a α，a ∥β，//b α，b ∥β，则α∥β； ③若αβ⊥，a αβ⋂=，b β⊂，a b ⊥r r，则b α⊥；④若a α⊂，b α⊂，l a ⊥，l b ⊥，则l α⊥.其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①③C ．②③D ．①②③④【答案】C【解析】由线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理对命题依次判断即可得出结论.【详解】①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行;④错误,a b 、相交时结论才成立.通过排除可知②③正确. 故选:C. 【点睛】本题考查线面的位置关系,考查学生空间想象能力和对判定定理和性质定理的认知能力,难度一般.11．已知函数()2()2xf x x m e =+有最小值，则函数2()24g x x x r =++的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于m 的值【答案】C【解析】求导化简可得()2()e24e ()xx f x xx m g x '=++=⋅,由函数()f x 有最小值可知,()=0f x '应有两解,即224=0x x m ++由两解,即可得到()g x 的零点个数. 【详解】()()22()4e 2e e 24e ()x x x x f x x x m x x m g x '=⋅++⋅=++=⋅,函数()f x 的最小值即其极小值，即()=0f x '解.当()=0f x '有一解0x 时,在0x 两侧()>0f x '都成立,此时()f x 是单调递增的,没有极值,不符合题意应舍去,因此()=0f x '有两解，即224=0x x m ++有两解，故()g x 有两个零点. 故选:C. 【点睛】本题考查导数在求函数最值中的应用,考查函数的零点问题,难度较难.12．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料111ABC A B C -，其各棱长都为2.已知1Q ，2Q 分别为上，下底面的中心，M 为12Q Q 的中点，过A ，B ，M 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（ ）A B ．9C ．4D ．2【答案】B 【解析】如图:连NO 延长交1DC 于M,易证11DO O M =,因为1O 为中心，所以1113C M CD = ，过M 做EF ||AB ,则梯形ABFE 即为所求截面，12233EF =⨯=,224132()33AE BF ==+=5243993-=，故梯形面积为123163+2=2339⨯⨯（），故选B.二、填空题13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=，2m n____．（用数字作答）【答案】12-【解析】首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进行化简，求得结果. 【详解】根据题中的条件可得：222cos542sin182cos182sin1844sin 18m n -=⋅-=o oo o o o sin 3612sin 362-==-o o， 故答案是：12-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式子进行正确的变形是解题的关键.14．在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =且224bc b c +=+，则角A =___. 【答案】3π 【解析】根据已知条件,反凑余弦定理,即可求得角A. 【详解】Q 2a =,2224bc a bc b c +=+=+∴,222b c a bc ∴+-=由余弦定理得: 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又03A A ππ<<∴=，.故答案为: 3π. 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.15．直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】2 1 【解析】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =． 当直线AB 斜率不存在时：1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理，得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++．（方法二）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.16．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3412a ba b +--的最小值为____.【答案】7+【解析】通过求导数,根据导数符号可判断出()f x 是R 上的增函数,且()f x 是奇函数,从而根据1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出121f f a b ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出21a b a =-，所以34374(1)121a b a a b a +=++----且,a b 都为正数,从而根据基本不等式即可求出最小值. 【详解】()sin f x x x =+Q ,()1cos 0,()sin()()f x x f x x x f x '∴=+≥-=-+-=-()f x ∴是增函数,且()f x 是奇函数,由1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得121f f a b ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 121a b ∴=-,即21ab a =-. ,a b Q 都为正数,1a ∴>. 343(1)34(2)83838772121212121a b a b a a b a b a b a a -+-+∴+=+=++=++---------374(1)771a a =++-≥+=+-当且仅当34(1)1a a =--时取等号. 故答案为:7+【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等式求最值的方法,考查了计算和推理能力,难度一般.三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,0n S An Bn C A =++≠.（Ⅰ）当2A =、0C =，且210a =-时，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的各项均为负实数，当1336,9a a =-=-时，求实数A 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）*418,n a n n N =-∈（Ⅱ）902A -<< 【解析】(Ⅰ) 2n ≥时,1112n n n S n a S n S -=⎧=⎨-≥⎩，，化简可得4(2)n n a B =+-,=2n 代入可解得16B =-,1n =代入验证即可求得通项公式.(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知2n ≥时,12()n n n a S S An B A -=-=+-, 39a =-,可得59B A =--则269n a An A =--,由136a =-及各项均为负实数,可知需满足0A <,20a <即可. 【详解】解：（Ⅰ）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S An Bn C =++，若2A =、0C =，2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)(1)An Bn C A n B n C =++-----2()An B A =+-4(2)n B =+-可得28(2)10a B =+-=- ∴16B =-，则418n a n =-， 当1n =时，可得1114a S ==-； 则*418,n a n n N =-∈.（Ⅱ）设{}n a 的各项均为负实数， 由（Ⅰ）知，当2n ≥时，12()n n n a S S An B A -=-=+-∴36()59a A B A A B =+-=+=-∴59B A =--∴12()n n n a S S An B A -=-=+- ∴269n a An A =--若{}n a 的各项均为负实数，则0A <，且269n a An A =--在2n ≥递减，只须20a <即可， ∴92A >-故实数A 的取值范围为902A -<<. 【点睛】本题考查1112n nn S n a S n S -=⎧=⎨-≥⎩，，,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易.18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）设2AB =，若AEF V 的面积为394求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）4【解析】(Ⅰ) 因为四边形ABCD 是菱形,则有AC BD ⊥,由PA ⊥平面ABCD ,则PA BD ⊥,即可证得BD ⊥平面PAC ,进而证得结论.(Ⅱ)由PA ⊥平面ABCD ,由AB AC =则PB PC =,E 、F 分别是BC 、PC 的中点,则有12EF PB =，12AF PC =设AF EF a ==,2139sin 2AEF S a AFE =⋅∠=△2232cos a a a a AFE =+-⋅⋅∠,即可求得a ,在Rt PAC ∆中,即可求出PA ,进而求得体积.【详解】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC BD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴PA BD ⊥ 又∵PA AC A =I ∴BD ⊥平面PAC 又∵BD ⊂平面PBD ∴平面PBD ⊥平面PAC（Ⅱ）∵四边形ABCD 是菱形，2AB =，60ABC ∠=︒， ∴ABC V 为等边三角形. ∵E 是BC 的中点,∴AE =又∵PA ⊥平面ABCD ，2AB AC == ∴PB PC =又∵E 、F 分别是BC 、PC 的中点， ∴12EF PB =，12AF PC =在AEF V 中，AE =AF EF a ==，1sin 2AEF S EF AF AFE =⋅⋅∠=△ 且2232cos a a a a AFE =+-⋅⋅∠ ∴2AF EF a === ∴PA =所以123P ABCD V -=⨯. 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理,考查求解几何体的体积问题,难度一般.19．某市据实际情况主要采取以下四种扶贫方式：第一，以工代赈方式，指政府投资建设基础设施工程，组织贫困地区群众参加工程建设并获得劳务报酬，第二，整村推进方式指以贫困村为具体帮扶对象，帮扶对口到村，资金安排到村，扶贫效益到户，第三，科技扶贫方式，指组织科技人员深入贫困乡村实地指导、技术培训等传授科技知识，第四，移民搬迁方式，指对目前极少数居住在生存条件恶劣、自然资源贫乏地区的特困人口，实行自愿移民，该市为了2020年更好的完成精准扶贫各项任务，2020年初在全市贫困户（分一般贫困户和“五特”户两类）中随机抽取了5000户就目前的主要四种扶贫方式行了问卷调查，支持每种扶贫方式的结果如表：已知在被调查的5000户中随机抽取一户支持整村推进的概率为0.36.（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的贫困户中抽取50户进行深入访谈，问应在支持科技扶贫户数中抽取多少户？（Ⅱ）虽然“五特”户在全市的贫困户所占比例不大，但本次调查要有意义，其中这次调查的“五特”户户数不能低于被调查总户数的9.2%，已知1530,58b c ≥≥，求本次调查有意义的概率是多少？ 【答案】（Ⅰ）16户（Ⅱ）1113【解析】（Ⅰ）5000户中随机抽取一户支持整村推进的概率为0.36.可求得支持整村推进的户数1800,可知200a =,进而求得b c +,由()505000b c ⨯+即可求得结果; （Ⅱ）因为1530b ≥，58c ≥，1600b c +=，列出所有符合的结果共13种,由于五特户户数不能低于被调查总户数的9.2%,即50009.2%460⨯=,即100+100400460a c c ++=+≥,即60c ≥有意义,找到符合题意的结果即可求出概率.【详解】解：（Ⅰ）∵支持整村推进户数为50000.361800⨯=户. ∴5000120010018003001600b c +=----=户. ∴应在支持科技扶贫户数中抽取的户数为：501600165000⨯=（户）. （Ⅱ）∵200a =五特户户数不能低于被调查总户数的9.2%∴即50009.2%460⨯=∴60c ≥有意义，又1530b ≥，58c ≥，1600b c +=，,b c 情况列举如下：(1530,70),(1531,69),(1532,68),(1533,67),(1534,66),(1535,65),(1536,64)，(1537,63),(1538,62),(1539,61),(1540,60),(1541,59),(1542,58)共13种情况.∴本次调查有意义的概率1113P =. 【点睛】本题考查分层抽样的应用及古典概型概率公式的应用,考查学生分析问题的能力,难度一般.20．()ln (,0)b f x a x a a R a =+∈≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2()y x b b R =+∈.（Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）若[1,)x ∀∈+∞，不等式11()22f x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2a =，2b =.（Ⅱ）12m ≥ 【解析】（Ⅰ）求导可得()a f x x '=，由(1)21a f '==,解得a ,由切点为()1,ba 在切线2y xb =+上，代入即可求得结果;（Ⅱ）由（Ⅰ）得()2ln 4f x x =+,[1,)x ∀∈+∞,11()22f x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭恒成立等价于 1ln x m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立,构造函数1()ln g x x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，只需符合[1,),()0x g x ∀∈+∞≤恒成立,由 (1)=0g 通过求导讨论()g x 的单调性及讨论函数值和(1)g 的关系,即可求出求实数m 的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）∵()ln (,0)b f x a x a a R a =+∈≠，0x >， ∴()a f x x'=，由题意得(1)21af '==， ∴2a =， 又切点为()1,ba在切线2y x b =+上，∴22b b += ∴2b = ∴2a =，2b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()2ln 4f x x =+， ∴[1,)x ∀∈+∞，11()22f x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， 即1ln x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭， 设1()ln g x x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即[1,),()0x g x ∀∈+∞≤，22211()1mx x m g x m x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， ①若0m ≤，()0g x '>，()g x 在[1,)+∞上为增函数，()(1)0g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾；②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m =-△，当0∆≤，即12m ≥时，()0g x '≤.∴()g x 在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0g x g ≤=，即不等式成立，当102m <<时，方程20mx x m -+-=，设两根为()1212,x x x x <，1(0,1)x =，2(1,)x =+∞，当()21,x x ∈，()0,()'>g x g x 单调递增，()(1)0g x g >=，与题设矛盾， 综上所述，12m ≥. 【点睛】本题考查导函数的几何意义,导数在恒成立问题求解参数中的应用,难度较难.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点且椭圆的短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于,M N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）存在，11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由椭圆性质可知2b =点代入即可求得结果. （Ⅱ）假设存在定点(,0)Q m 符合题意，①当直线l 的斜率不存在时，由13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时,解得114m =-或114m =.由①②可得114m =,然后证明当114m =时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 即可证得结论.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=.又椭圆的短轴长为2b =212b =， 解得216a =.所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r ，①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3),(2,3)QM m QN m =-=--u u u u r u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0),(4,0)M N -，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r， 由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭.下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222234161630k x k x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++，所以11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r()()22222221631116121135124434431616k k k k k k k -⎛⎫=+-+++=- ⎪++⎝⎭. 综上所述，在x 轴上存在定点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆位置关系中定点定值问题,难度较难.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线(0)3πθρ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当||||AB OP =时，求a 的值.【答案】（Ⅰ）0l y a +-=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ）0或【解析】（Ⅰ）将l 参数方程消去t 即可得到普通方程；由24cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得C 的直角坐标方程；（Ⅱ）联立C 和射线的极坐标方程可得P 点极坐标，从而得到OP ；将l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用t 的几何意义，结合韦达定理构造关于a 的方程，解方程求得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去t0y a +-= 由4cos ρθ=得：24cos ρρθ= 224x y x ∴+= 整理可得曲线C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=（2）由()4cos 03ρθπθρ=⎧⎪⎨=≥⎪⎩得：2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭ 2OP ∴= 将直线l 的参数方程代入C得：()2220t t a ++=由()22240a ∆=->得：44a <<设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则：122AB t t =-===解得：0a=或a=∴所求a的值为0或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型. 23．已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a ∈R ）． （1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()5|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|04}x x x ≤≥或（2）4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）当4a =-时不等式()6f x ≥化为2226x x -+-≥，即22x -≥，即可求得不等式的解集；（2）不等式化为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即2|2||42|5x a x a ++-≥，利用绝对值不等式化为245a a +≥，即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥， 所以|2|2x -≥，即22x -≤-或22x -≥， 原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或．（2）不等式2()5|2|f x a x ≥--即为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--， 即关于x 的不等式2|2||42|5x a x a ++-≥恒成立． 而|2||42||4|x a x a ++-≥+，所以2|4|5a a +≥， 解得245a a +≥或245a a +≤-，解得415a -≤≤或a φ∈． 所以a 的取值范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题．。
内蒙古赤峰市第二中学2020年学年高中高一数学下学期第二次月考试卷试题理
赤峰二中2020级高一放学期第二次月考理科数学试题一、单项选择题（每题5分，共60分）1.不等式的解集为（）A．B．C．D．2.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（）A．B．C．D．3.在中，已知，则此三角形的解的状况是（）A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的状况不确立4.若知足，则的最小值是（）A．B．C．D．5.已知x1，y1，且lgx，2，lgy成等差数列，则xy有（）A．最小值20B．最小值200C．最大值20D．最大值2006.已知的一个内角为，而且三边长组成公差为2的等差数列，则的周长为（）A．15B．18C．21D．247.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时结构了一此中间空心的几何体，经后继学者改良后这个中间空心的几何体其三视图如下图.现用一与下底面平行且与下底面距离为的平面去截该几何体，则截面面积是（）A．B．C．D．8.在R上定义运算:=ad-bc,若不等式≥1对随意实数x恒建立,则实数a的最大值为()A．-B．-C．D．9.数列知足，对随意的都有，则（）A．B．2C．D．10.中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）A．B．2C．D．11.已知三棱锥的所有极点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为()A．B．C．D．12.若正数知足，则的最小值为（）A．B．C．2D．二、填空题（每题5分，共20分）13.不等式的解集为或，则实数的取值范围．14.等差数列{a n}前n项和为S n，公差d<0，若S20>0,S21<0,，当S n获得最大值时，n的值为．设,,为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出以下四个命题：①若m,n,m// ,n//，则//；③若l//,，则l；④若l,m,n,l//,，则m//n.。
则上述命题中正确的选项是16.对于实数x，[x]表示不超出x的最大整数，已知正数数列{a}知足S=（an ），n∈N*，其n n中S n为数列{a n}的前n项的和，则[]=______．三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17.已知数列为等差数列，；数列是公比为的等比数列，，.（1）求数列（2）求数列，的通项公式；的前项和.18.如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点.（1）求证：（2）若，平面；，求三棱锥的体积.19.在中，内角，，C 所对的边分别为，，.已知.AB（1）求角B的大小；（2）设=2，=3，乞降的值.某工厂生产某种产品，每天的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)知足函数关系式C＝3＋x，每天的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝，已知每天的收益L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.求k的值；当天产量为多少吨时，每天的收益能够达到最大，并求出最大值．21.在如下图的几何体中，四边形是正方形，平面，分别为的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求证：；22.已知数列中,.(1)求证：是等比数列,并求数列的通项公式；(2) i)已知数列求数列,知足的前项和；.ii) 若不等式对全部恒建立,求的取值范围.1.A【分析】【剖析】依据分式不等式解法，化为一元二次不等式，从而经过穿根法获得不等式解集。
(精选3份合集)2020届内蒙古赤峰二中高考数学模拟试卷
2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某原子电子排布式为1s22s22p3，下列说法正确的是A．该元素位于第二周期IIIA族B．核外有3种能量不同的电子C．最外层电子占据3个轨道D．最外层上有3种运动状态不同的电子【答案】B【解析】【分析】由原子电子排布式为1s22s22p3，可知原子结构中有2个电子层，最外层电子数为5，共7个电子，有7个不同运动状态的电子，但同一能级上电子的能量相同，以此来解答。
【详解】A．有2个电子层，最外层电子数为5，则该元素位于第二周期VA族，故A错误；B．核外有3种能量不同的电子，分别为1s、2s、3p上电子，故B正确；C．最外层电子数为5，占据1个2s、3个2p轨道，共4个轨道，故C错误；D．最外层电子数为5，则最外层上有5种运动状态不同的电子，故D错误；故答案为B。
2．已知硫酸亚铁溶液中加入过氧化钠时发生反应：4Fe2＋＋4Na2O2＋6H2O=4Fe(OH)3↓＋O2↑＋8Na＋，则下列说法正确的是A．该反应中Fe2＋是还原剂，O2是还原产物B．4 mol Na2O2在反应中共得到8N A个电子C．每生成0.2 mol O2，则被Fe2＋还原的氧化剂为0.4 molD．反应过程中可以看到白色沉淀转化为灰绿色再转化为红褐色沉淀【答案】C【解析】【详解】A．该反应中Fe元素化合价由+2价变为+3价、O元素化合价由-1价变为0价和-2价，得电子化合价降低的反应物是氧化剂、失电子化合价升高的反应物是还原剂，氧化剂对应的产物是还原产物，所以Fe2+和1 4的过氧化钠作还原剂，Fe(OH)3和O2是氧化产物，故A错误；B．该反应中有4mol过氧化钠反应时有3mol过氧化钠得电子发生还原反应，有34的过氧化钠作氧化剂，因此4 mol Na2O2在反应中共得到6N A个电子，故B错误；C．根据方程式，生成0.2 mol O2，反应的Fe2+为0.8mol，被0.8mol Fe2+还原的氧化剂(Na2O2)的物质的量=0.8mol2=0.4mol，故C正确；D．该反应中有氧气生成，所以不能生成氢氧化亚铁沉淀，而是直接生成红褐色沉淀，故D错误；故选C。
2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A.36B.423C.433D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．化合物Z是合成平喘药沙丁胺醇的中间体，可通过下列路线制得：
下列说法正确的是
A．X的分子式为C7H6O2B．Y分子中的所有原子可能共平面
C．Z的一氯取代物有6种D．Z能与稀硫酸发生水解反应
答案选A。
4．2019年4月25日，习总书记宣布北京大兴国际机场正式投运！该机场在建设过程中使用了当今世界机场多项尖端科技，被英国《卫报》评为“新世界七大奇迹”之首。化工行业在这座宏伟的超级工程中发挥了巨大作用，下列有关说法错误的是
A．青铜剑科技制造的第三代半导体芯片，其主要成分是SiO2
B．支撑航站楼的C形柱柱顶的多面体玻璃，属于硅酸盐材料
①加入少量氯水 ②加入少量KI溶液 ③加入少量KSCN溶液
A．③①B．①③C．②③D．③②
【答案】A
【解析】
【分析】
三价铁离子遇到硫氰根离子显血红色；
二价铁离子遇到硫氰根离子不变色，二价铁离子具有还原性，能被氧化为三价铁离子；
碘离子和铁离子反应和亚铁离子不反应。
【详解】
先根据Fe3+的特征反应，加入硫氰酸钾溶液判断溶液不含Fe3+；然后加入氧化剂氯水，如果含有Fe2+，Fe2+被氧化剂氧化成Fe3+溶液变成红色，以此证明Fe2+的存在，加入少量KI溶液和铁离子反应，和亚铁离子不反应，不能证明含亚铁离子， 操作选择及排序为③①。
A+B C C溶液 A+B
①若C溶于水后得到强碱溶液，则A可能是Na
②若C溶液遇Na2CO3放出CO2气体，则A可能是H2
③若C溶液中滴加KSCN溶液显血红色，则B可能为Fe
④若C溶液中滴加NaOH溶液有蓝色沉淀生成，则B可能为Cu
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
从A+B C C溶液 A+B的转化关系可知，电解C溶液时，是电解电解质本身，因此C溶液中的溶质可以为不活泼金属的无氧酸盐或无氧酸；据此分析解答。
C．由图可知，pH=9.25时c(NH3•H2O)=c(NH4+)、c(OH-)=109.25-14mol/L=10-4.75mol/L，NH3•H2O的离常数Ka1= =10-4.75，而碳酸的Ka1=10-6.37，则NH3•H2O的电离能力比H2CO3强，HCO3-的水解程度比NH4+强，即NH4HCO3的水溶液显碱性，故C正确；
D.大兴国际机场是全国可再生能源使用比例最高的机场，耦合式地源热泵系统，可实现年节约1.81万吨标准煤，光伏发电系统每年可向电网提供600万千瓦时的绿色电力，相当于每年减排966吨CO2，并同步减少各类大气污染物排放，D项正确，不符合题意；
答案选A。
【点睛】
解答本题时需了解：第一代半导体材料主要是指硅（Si）、锗元素（Ge）半导体材料。第二代半导体材料主要是指化合物半导体材料，如砷化镓（GaAs）、锑化铟（InSb）；三元化合物半导体，如GaAsAl、GaAsP；还有一些固溶体半导体，如Ge-Si、GaAs-GaP；玻璃半导体（又称非晶态半导体），如非晶硅、玻璃态氧化物半导体；有机半导体，如酞菁、酞菁铜、聚丙烯腈等。第三代半导体材料主要以碳化硅（SiC）、氮化镓（GaN）、氧化锌（ZnO）、金刚石、氮化铝（AlN）为代表的宽禁带半导体材料。
【答案】B
【解析】
【详解】
A．由图可知，pH=6.37时c(H2CO3)=c(HCO3-)、c(H+)=10-6.37mol/L，碳酸的一级电离常数Ka1= =10-6.37，则碳酸的Ka1数量级约为10-7，故A正确；
B．向稀NH4HCO3溶液中加入过量NaOH溶液，发生的离子反应为HCO3-+NH4++2OH-═NH3•H2O+CO32-+H2O，说明NaOH与NH4+、HCO3－均反应，故B错误；
【详解】
①若A为钠，则B为氧气，则C为过氧化钠，C的水溶液为氢氧化钠，电解氢氧化钠得到氢气和氧气，不符合转化关系，故①错误；
②若C的溶液遇Na2CO3，放出CO2气体，则C可以为HCl、HBr、HI等，电解这些酸的水溶液实际上是电解溶质本身，在阴极得到氢气，故A可能是H2，B可能为卤素单质，故②符号上述转化关系，故②正确；
【答案】D
【解析】
【详解】
A．X( )的分子式为C8H8O2，故A错误；
B．Y( )分子中含有甲基(-CH3)，甲基为四面体结构，所有原子不可能共平面，故B错误；
C．Z( )分子中有7种环境的氢原子，一氯取代物有7种，故C错误；
D．Z( )中含有酯基，能与稀硫酸发生水解反应，故D正确；
故选D。
2．已知A、B为单质，C为化合物。能实现上述各微粒物质的量浓度随溶液pH的变化如图所示（忽略溶液体积变化），则下列说法错误的是（）
A．由图可知碳酸的Ka1数量级约为10-7
B．向NH4HCO3溶液中加入过量的NaOH溶液，主要与HCO3－反应
C．常温下将NH4HCO3固体溶于水，溶液显碱性
D．NH4HCO3作肥料时不能与草木灰混用
C．机场中的虚拟人像机器人“小兴”表面的塑料属于高分子聚合物
D．耦合式地源热泵系统，光伏发电系统及新能源汽车的使用，可以减轻温室效应及环境污染
【答案】A
【解析】
【详解】
A.第三代半导体芯片的主要成分不是SiO2，而是GaN，A项错误，符合题意；
B.普通玻璃属于硅酸盐材料，B项正确，不符合题意；
C.塑料属于高分子聚合物，C项正确，不符合题意；
D．草本灰的水溶液显碱性，与NH4HCO3混用会生成NH3，降低肥效，则NH4HCO3作肥料时不能与草木灰混用，故D正确；
故答案为B。
6．阿伏加德罗常数为NA。关于l00mLl mol/L的Fe2(SO4)3溶液，下列说法正确是
③若C的溶液中滴加KSCN溶液显红色，则C中含铁离子，电解铁盐不会得到铁单质，不符合转化关系，故③错误；
④由C的溶液中滴加NaOH溶液有蓝色沉淀生成，则C为铜盐，C可以为卤化铜，如氯化铜、溴化铜等，电解他们的水溶液都会得到铜和卤素单质，故B可以为铜，故④正确；
故选D。
3．要证明某溶液中不含Fe3+而含有Fe2+，以下操作选择及排序正确的是（ ）