函数定义域几种类型及其求法

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8种求定义域的方法

方法一：直接根据函数的定义进行求解。

这是最基本的一种方法，即根据函数的定义来求解定义域。例如，对于一个多项式函数f(x)，定义为f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以直接根据定义域的限制条件来求解。由于多项式函数的定义域是全体实数，因此该函数的定义域为(-\infty, +\infty)。

方法二：挑选一些特殊的数进行验证。

这是一种常用的方法，即通过挑选一些特殊的数进行验证，看它们是否在函数的定义域内。例如，对于一个有理函数g(x)，定义为g(x) = \frac{1}{x}，我们可以挑选x的一些特殊值进行验证。首先，x不能为0，否则分母为零，函数无定义。另外，由于有理函数对应的分母不能为零，因此定义域为(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)。

方法三：求解不等式得到定义域的范围。

对于一些复杂的函数，可以通过求解不等式来得到定义域的范围。例如，对于一个开方函数h(x)，定义为h(x) = \sqrt{x^2 - 4x}，我们可以通过求解不等式x^2 - 4x \geq 0来确定定义域的范围。首先，将不等式化简为(x-2)(x-2) \geq 0，得到x \leq 2或x \geq 2，因此定义域为(-\infty, 2] \cup [2, +\infty)。

方法四：分段定义域的求解。

对于一些函数是在不同区间有不同定义域的情况，可以采用分段定义域的求解方法。例如，对于一个分段函数j(x)，定义为

j(x) = \begin{cases}

2, & \text{if } x\leq 0\\

函数定义域的几种求法

函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。

求函数定义域的几种方法有：

1、根据函数的表达式或方程求解法

这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，

从而求出函数定义域。

例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；

由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。

2、根据函数的几何图形特征求解法

这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。

例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y

的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这

个函数的定义域为 x>0。

3、根据定义求解法

例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。

4、根据解析学原理求解法

对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但

可以非常准确的求解函数定义域的方法。

例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，

并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。根据等式 y - 1 =

0 我们可以得到

|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。

求函数定义域的几种类型

求函数定义域的几种类型函数的定义域是函数自变量的取值范围，是函数研究的基础。在求解函数定义域时，需要根据函数的特性，确定自变量的取值范围。本文将从以下几个方面探讨函数定义域的几种类型。

一、与分式有关的函数定义域

分式函数的定义域是分母不等于0的实数的集合。因此，在求解分式函数的定义域时，需要找出分母等于0的实数，并将其排除在外。例如，函数f(x) =

1/(x-2)的定义域为{x|x≠2}。

二、与根式有关的函数定义域

根式函数的定义域是被开方数大于等于0的实数的集合。因此，在求解根式函数的定义域时，需要找出被开方数小于0的实数，并将其排除在外。例如，函数

f(x) = √(x-1)的定义域为{x|x≥1}。

三、与对数有关的函数定义域

对数函数的定义域是真数大于0的实数的集合。因此，在求解对数函数的定义域时，需要找出真数小于或等于0的实数，并将其排除在外。例如，函数f(x) = log2(x-1)的定义域为{x|x>1}。

四、与三角函数有关的函数定义域

三角函数的定义域是全体实数，但在实际问题中，需要对自变量的取值范围进行限制。例如，正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，但在实际问题中，通常将自变量的取值范围限制在一个周期内。正切函数的定义域为

{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，需要对自变量的取值范围进行限制，排除使正切函数无意义的点。

五、与实际问题有关的函数定义域

在实际问题中，自变量的取值范围常常受到实际问题的限制。例如，在研究物体运动时，自变量的取值范围应该是使得物体存在的时间和位置都有意义的实数集

函数的定义域常见的三种类型

ywq334452010级分类：理工学科被浏览105次2013.06.28

jmmn9938668

采纳率：59% 10级 2013.06.29

函数定义域的三类求法一、给出函数解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。二. 给出函数的定义域，求函数的定义域，其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。三. 给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f〔g（x）〕的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

求定义域的规则及类型的演讲稿

leya027 10级分类：其他被浏览63次 2014.01.20

8种求定义域的方法

在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。下面将介绍其中的

八种方法。

方法一：根据函数公式求取定义域。

对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。例如对

于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。

方法二：分析函数的基本性质。

有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。例

如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此

定义域为实数集。

方法三：考虑函数中的根。

对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的

情况。例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所

以定义域为{x，x≥3}。

方法四：考虑函数的分段定义。

对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。例如对于函

数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实

数集。

方法五：考虑函数的限制条件。

有时函数在定义域上有一些限制条件。例如对于对数函数f(x) =

ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。

方法六：考虑函数的参数限制。

对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。例如对于双曲正弦

函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定

义域为实数集。

方法七：考虑函数的复合性质。

对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的

求定义域的方法总结

8种求定义域的方法

可根据不同函数的八种类型，分为以下八种方法来求函数的定义域:

①整式的定义域为R。整式可以分为单项式还有多项式，单项式比如y＝4x，多项式比如y＝4x+1。这时候无论是单项式还是多项式，定义域均为｛x｜x∈R｝，就是x可以等于所有实数。

②分式的定义域是分母不等于0。例如y＝1/（x-1），这时候的定义域只需要求让分母不等于即可，即x-1≠0，定义域为｛x｜x≠1｝。

③偶数次方根定义域是被开方数≥0。例如根号下x-3，这时候定义域就是让x-3≥0，求出来定义域为｛x｜x≥3｝。

④奇数次方根定义域是R。例如三次根号下x-3，定义域就是｛x｜x∈R｝。

⑤指数函数定义域为R。比如y＝3^x，定义域为｛x｜x∈R｝。

⑥对数函数定义域为真数＞0。比如log以3为底（x-1）的对数，让x-1＞0，即定义域为｛x｜x＞1｝。

⑦幂函数定义域是底数≠0。比如y＝（x-1）^2，让x-1≠0，即定义域为｛x｜x≠1｝。

⑧三角函数中正弦余弦定义域为R，正切函数定义域为x≠π/2+kπ。这时候求定义域画个图就可以看出来了，只要记住三角函数图像，即可求出定义域。

这八种类型是常见函数类型，求定义域时首先要分辨清楚它们属于哪个类型的函数，然后根据基本的定义域来求复杂函数定义域。

求定义域的五种方法

1.根号下要求非负数,即大于等于0.如√(x-1) ,则x-1≥0

2.分母不能为0,如1/x,x≠0

3.对数函数中真数要大于0,如lgx,x>0函数的定义域

4.根式(开偶次方)被开方式≥0

5.真数大于零底数大于零且不等于1

组合函数:由若干个基本函数通过四则运算形成的函数，其定义域为使得每一部分都有意义的公共部分。

原则：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次方根的内部必须非负即大于等于零；（3）对数的真数为正，对数的底数大于零且不等于1；（4）x0中，x≠0。

复合函数:若y=发（u），u=g（x），则y=f[g(x)]就叫做f和g的复合函数。其中y=f(U)叫做外函数，u=g（x）叫做内函数。

求函数定义域一般原则

①如果为整式，其定义域为实数集；

①如果为分时，其定义域是是分母不为0的实数集合；

①如果是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

①如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各个式子都有意义的实数集合。

函数定义域值域求法全十一种

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式或组即得原函数的定义域;

例1 求函数8

|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域; 解：要使函数有意义,则必须满足

由①解得 3x -≤或5x ≥; ③

由②解得 5x ≠或11x -≠ ④

③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5;

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且;

例2 求函数2x 161

x sin y -+=的定义域;

解：要使函数有意义,则必须满足

由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③

由②解得4x 4<<- ④

由③和④求公共部分,得

故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，

评注：③和④怎样求公共部分你会吗

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况;

（1）已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域;

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是a,b 求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域;

例3 已知)x (f 的定义域为－2,2,求)1x (f 2-的定义域;

解：令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-;

2已知)]x (g [f 的定义域,求fx 的定义域;

函数定义域几种类型及其求法

函数的定义域是指函数的自变量取值范围，也就是使函数有意义的输入值的集合。在数学中，函数的定义域可以分为几种常见的类型，如下所述。

1.实数定义域（R）：函数的定义域是实数集合R。这意味着函数可以接受任何实数作为输入。例如，常见的函数如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都具有实数定义域。在这种情况下，不需要做额外的计算来确定函数的定义域，因为它已经明确了。

2.有理数定义域（Q）：函数的定义域是有理数集合Q。有理数是可以表示为两个整数的比值的数。例如，分式函数如有理函数、整式函数等可以具有有理数定义域。在这种情况下，我们需要找到函数中的分母，并解方程找到满足分母不为零的有理数值。

3.整数定义域（Z）：函数的定义域是整数集合Z。这意味着函数只能接受整数作为输入。例如，阶跃函数、周期函数、模函数等可以具有整数定义域。在这种情况下，函数的定义域可以通过阅读函数定义或观察函数图形来确定。

4.正数定义域（P）：函数的定义域是正数集合P。这意味着函数只能接受正实数作为输入。例如，根式函数如平方根、立方根等可以具有正数定义域。在这种情况下，我们需要找到函数中的根号，并解方程找到满足根号内值大于等于零的正数值。

5.范围限定定义域：有时函数的定义域可能会根据问题的特定要求而受到限制。例如，函数表示一个物理过程，其定义域可以是非负实数集合[0,∞)，因为负时间或未来时间不具有实际意义。

确定函数的定义域的方法可以通过以下几种方式：

1.查看函数的公式或定义：有时，函数的定义域可以通过检查函数的

函数定义域的类型

例8、将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
求下列函数的定义域（ 1 ）f ( x ) 3x 2 x2 4 ( x 1) 0 x x
2
2 (2) f ( x ) x 3 (3) f ( x )
3
9 x2
由x2项的系数是m，所以应分m 0或m 0进行讨论
解：当m 0时，函数的定义域为R；当m 0时，mx 2 6mx m 8 0是二次不等式， m 0 其对一切实数x都成立的充要条件是 2 (6m) 4m(m 8) 0 0 m 1 综上可知0 m 1 。
练习:已知函数f ( x)= kx 7 的定义域为R, 求实数k的取值范围. 2 kx 4kx 3
3 [0, ) 4
4、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对参数分类讨论。
例6：若函数y f ( x)的定义域为[0,1], 则g ( x) f ( x a) f ( x a)(其中a 0)的定义域为 _________
2、抽象函数类型：抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解。一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个函数的定义域。一般有四种情况
（1）已知f(x)定义域，求f[g(x)]的定义域其解法是：已知f(x)定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解 a ≤g(x) ≤b,即为所求的定义域。

函数的定义域常见求法

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根

(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.

3、指数函数x

y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.

4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.

5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.

6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2

x x k k z π

π≠+∈.

7、复合函数的定义域的求法

（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.

（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <

()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.

8、求函数()()y f x g x =+的定义域

一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的

定义域.

9、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示

函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.

函数的定义域及求法讲解

函数定义域的求法

作者：刘铁峰 (高中数学赤峰数学一班) 评论数/浏览数： 1 / 37 发表日期： 2011-07-08

16:32:19

性质及其应用

函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点．熟练掌握函数的性质，能灵活运用函数的性质解决有关问题，是高考数学获胜的一个重要方面．因此，临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的．

一、函数的定义域及求法

1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；

2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；

3、正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；

4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；

5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；

6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．

[例题]：

1、求下列函数的定义域

3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]

当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；

当m≠0时，则 mx2-4mx+m+3＞0，

①m＜0时，显然原函数定义域不为R；

②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，

原函数定义域为R，

所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．

x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．

4、求函数y=log

[解析]：［求原函数的值域］

由题意可知，即求原函数的值域，

x≥2∴y≥3

∵x≥4,∴log

x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．所以函数y=log

函数的定义域及常见求解方法

CQ=2BP，AR=3BP，
1.若BP= x ,三角形PQR的面积为 y ，求 y
与 x 的关系，并注明 x 的取值范围。２．当 x 为何值时，三角形PQR的面积最小？
分析：
A
R
B
P
Q C
第一讲---函数及其定义域
一、函数的概念：
1、函数的定义：（见课本） 2、函数的对应类型：一对一、多对一 3、函数的三要素：定义域、值域及对应法则
4、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 5、函数的运算：合成即四则运算与复合运算 6、函数的相等与不等
二、函数的定义域及常见求解方法
（一）、函数的定义域：
，求 y f x 的定义域。
练习：
⑴已知 y f x 的定义域为 1, 2
，求 f x2 2 的定义域；
⑵已知 y f x 的定义域为 ,0
，求
f
log
2
x2
2
的定义域；
⑶已知 y f x2 2x 3 的定义域为
1,3 ，求 f x 的定义域；
⑷已知 y f 2x 的定义域为 1,1 ，
3、复合函数的定义域
（1）复合函数____ 若 y f u,u g x则y f g x
就叫做 f 和g 的复合函数。其中 y f u
叫外函数， u g x 叫内函数。
(2)复合函数定义域的求解类型及对应方法

函数定义域值域求法全十一种

。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
。
故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以，所以，
故所求函数的定义域为。
例2求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
由①解得 ③
由②解得 ④
由③和④求公共部分，得
故函数的定义域为
评注：③和④怎样求公共部分你会吗
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
例4已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。
即函数f(x)的定义域是。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：

求函数定义域的几种类型

函数定义域指函数在自变量上的取值范围。根据函数定义的不同，可

以分为以下几种类型的函数定义域。

1. 实数域：实数域是最常见的函数定义域类型，对于绝大多数函数，其定义域都是实数集（R）。实数集包括所有的有理数和无理数。例如，

在函数y = sin(x)中，定义域是实数集。

2.闭区间：闭区间定义域是指定义域包含端点的区间，用[a,b]表示。闭区间的端点可以是实数或无穷大。例如，在函数y=1/x中，定义域可以

是区间[-∞,0)∪(0,+∞]。

3.开区间：开区间定义域是指定义域不包含端点的区间，用(a,b)表示。例如，在函数y=√x中，定义域可以是区间(0,+∞)。

4.半开半闭区间：半开半闭区间定义域是指定义域只包含一个端点的

区间。例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间(-∞,0]∪(0,+∞)。

5.单个点：有些函数的定义域只包含一个点，用{x}表示。例如，在

函数y=1/x中，定义域可以是{x，x=1}。

6.开放区域：开放区域定义域是指定义域是一个开放集。开放集是指

不包含边界的区域。例如，在函数y=e^x中，定义域是开放区域R。

7.中心对称区域：中心对称区域定义域是指定义域关于其中一点对称。例如，在函数y=√(x^2-1)中，定义域可以是(-∞,-1]∪[1,+∞)；定义

域关于x=0对称。

8. 关于x轴对称区域：关于x轴对称区域定义域是指定义域关于x 轴对称。例如，在函数y = sin(x)中，定义域是全体实数，关于x轴对称。

9.关于y轴对称区域：关于y轴对称区域定义域是指定义域关于y轴对称。例如，在函数y=x^2中，定义域是全体实数，关于y轴对称。