空间图形的基本关系的认识

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4.1空间图形基本关系的认识

平面 “平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念. 桌面、窗玻璃面、墙面、平整的地面等等都给我们以平面的形象. 几何里的平面是无限延展的，我们见到的“平面”只是数学里所说平面的一部分，通常画平行四边形来表示平面所在的位置. 平面通常用一个希腊字母α 、β 、γ 等来表示，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示. 例：平面α 、β ，平面AC等.
E
β
F
练习
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？（2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系：（1）AB和CC1； D1 （2）A1 C和BD1 ； B1 A1 （3）A1 A和CB1；（4）AC和A1 C1；（5）BC与平面A1 C1；（6）B1 C与平面AC； D （7）AB与平面AC。 A B
c
b
B
记作： P
β
3. 空间两条直线的位置关系有三种：A
①平行直线—— 在同一个平面内，没有公共点的两条直线。 ②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
α α
a
c
b
B
b 记作：a//b

数学教案图形与空间关系的理解

数学教案图形与空间关系的理解数学教案：图形与空间关系的理解

（正文开始）

引言：

图形与空间关系是数学中的重要概念，它涉及到几何学和代数学的基础知识。通过理解和分析图形与空间之间的关系，学生可以培养几何思维能力，提高解决实际问题的能力。本教案将以理论与实践相结合的方式，帮助学生深入理解图形与空间关系的概念，并通过一系列的实例来巩固所学内容。

教学目标：

1. 了解图形与空间关系的基本概念；

2. 掌握常见图形与二维/三维空间的关系；

3. 能够运用所学概念分析和解决与图形与空间关系相关的问题。

教学内容：

一、图形与二维空间关系

1. 点、直线、线段的关系

- 点在直线上；

- 点在线段上；

- 直线上的两点确定一条线段。

2. 多边形与平面的关系

- 多边形位于平面上；

- 多边形的内部、外部与平面的关系。

3. 圆与平面的关系

- 圆在平面上；

- 圆的内部、外部与平面的关系。

二、图形与三维空间关系

1. 点、直线、线段的关系

- 点在直线上；

- 点在线段上；

- 直线上的两点确定一条线段。

2. 多面体与空间的关系

- 多面体位于空间中；

- 多面体的内部、外部与空间的关系。

3. 球体与空间的关系

- 球体在空间中；

- 球体的内部、外部与空间的关系。

教学过程：

一、图形与二维空间关系的理解

1. 引入概念：通过展示不同几何图形与二维平面的关系，引导学生思考图形在平面上的位置和相互关系；

2. 分组讨论：将学生分成小组，让他们互相交流，总结不同图形与平面的关系；

3. 实例练习：给出一系列例题，让学生运用所学概念分析和解决问题；

4. 小结与展示：学生汇报讨论结果，教师进行总结，并展示正确答案。

空间图形的基本关系及公理

2.公理三的作用是什么？
公理３如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条通过这个点的公共直线．
符号语言表示：
β
P且P a且Pa.
条件：两面共一点，结论：两面共一线．
a
α
P
作用（1）它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；
2.公理二的作用是什么？
问题我们知道，两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？
公理２：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（即可以确定一个平面）
图形语言表述:
B
A
α
Ｃ
符号语言表述：Ａ．Ｂ．Ｃ三点不共线有且只有一个平面α，使
Ａ∈α，Ｂ∈α，Ｃ∈α
认识:(1)经过一点，两点或在同一直线上的三点可有无数个平面． (2)“有且只有”指具有“存在性”和“唯一性：
A/
A
B/
O/
B
O
C
定理: 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补. 符号语言表示：若AO∥A/O/,BC∥B/O/,
A
C αO
B
则∠AOB=∠A/O/B/；或∠AOC+∠A/O/B/=180°。
A/
O/
B/
思考1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平

xsy1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)

点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：a∥b；
II 如①图中直线b和c只有一个公共点B，这样的两
条直线叫作相交直线，记作：b∩c=B；
III
如①图中直线a和b不同在任何一个平面内，这样的两
条直线叫作异面直线，为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图. b

a
b a
D
A
C
B
围成．
有些面是平行的，有些面是相交的；
有些棱所在直线与面平行，有些棱所在
D
直线与面相交，每条棱所在的直线都可
C
以看成是某个平面内的直线，等等．
A
B
课堂探究1
空间图形基本关系的认识
1 .观察上述长方体，并填空 . ① 长方形共有 8 个顶点,有 12 条棱，有 6 个面； ②观察多面体,归纳一下，空间图形通常由点、线、面组成
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置

空间图形基本关系

c e
d
B A
a
b
6、空间中两个平面间有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？
Βιβλιοθήκη Baidu
1、如何表示空间中的点、直线、平面?
A A B
用大写字母表示记作点A、点B等
a
b
用小写字母或者用直线上的不同两点字母表示，记作直线a、直线b或直线AB等
A
B C α
用拉丁字母α、β或者用平面上不在同一条直线上的三点字母等表示，记作平面α、
β例如平面ABC等
4、空间两直线有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？
空间图形基本关系的认识
P22-23完成下列问题：
1、如何表示空间中的点、直线、平面? 2、空间中点和直线有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？
3、空间中一个点和一个平面有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？ 4、空间中两条直线有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？ 5、空间中一条直线与一个平面有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？ 6、空间中两个平面间有几种位置关系？如何用图像表示？又如何用数学语言表示？

1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)

[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
[正解]
A，B，C，D，E五点不一定共面．
(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α ，由题设知A∈α ，E∈α ，故A，B，C，
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
1．三点确定一个平面吗？
提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面． 2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．
3．没有公共点的两条直线是异面直线吗？分别在两个平面内的直线呢？提示：没有公共点的两条直线不一定是异面直线，也可
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．

高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识课件(38张)

题型二
共面问题
【例 2】已知直线 a∥b，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过 a， b，l 有且只有一个平面． [思路探索] 法一
法二
证明法一如图所示，由已知 a∥b，所以过 a，b 有且只有一个平面 α.设 a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且 A∈l，B ∈l.∴l α.即过 a，b，l 有且只有一个平面．法二由已知可设 l∩a＝A，l∩b＝B. ∵l∩a＝A，∴过 l 与 a 有且只有一个平面 β. ∵a∥b，∴过 a，b 有且只有一个平面 α. ∴B∈α，B∈β，a α，a β. 又 B∉a，∴平面 α 与 β 重合．即 a∥b，a∩l＝A，b∩l＝B⇒过 a，b，l 有且只有一个平面．
解文字语言叙述为：点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，直线 AB、AC 分别在平面 α、β 内．用图形语言表述如图．
规律方法
数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工
具，同学们必须认真学好三种数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)，并能熟练地将三种语言互相转化，这对学好本章内容是十分重要的．
2．注意事项 (1)应用公理 2 时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的． (2)在立体几何中，符号“∈”与“ ”的用法与读法不要混淆． (3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化．

空间图形的基本关系与公理

知识探究: 公理定理的简单应用
平行公理的应用例 4 如图所示，E、F 分别是长方体 ABCD—A1B1C1D1
的棱 A1A、C1C 的中点．
求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
证明设 Q 是 DD1 的中点，连接 EQ，QC1， ∵E 是 AA1 的中点，∴EQ 綊 A1D1，又在矩形 A1B1C1D1 中，A1D1 綊 B1C1， ∴EQ 綊 B1C1，
的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DF∶FC ＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF、GH、BD 交于一点．证明 ∵E，G 分别为 BC，AB 的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，从而 FH∥GE.故 E，F，H，G 四点共面．
又∵GE≠FH 且 GH∥FH. ∴四边形 EFHG 是一个梯形，则 GH 和 EF 延长后交于一点设为 O.
课堂小结
4．平行公理表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节．
5．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件．要注意，等角定理的逆命题不成立．
6．平面几何中的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用，不能盲目应用.
点评证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面，再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．

空间几何：空间中的图形和关系

空间几何：空间中的图形和关系空间几何是数学中的一门分支，研究的是空间中的图形和它们之间

的关系。在空间几何中，我们关注的是三维空间中的点、线、面以及体，并研究它们之间的相关属性和几何关系。空间几何为我们揭示了

世界的立体之美，也为我们的生活和工作提供了重要的数学基础。在

本文中，我们将探讨一些常见的空间中的图形和它们之间的关系。

1. 点、线和面

在空间几何中，点、线和面是最基本的几何元素。点是空间中

的一个位置，没有体积和大小；线是由无穷多个点组成的直线路径，

可以看作是两个端点之间的连续集合；面则是由无穷多个点组成的平面，可以看作是无限延伸的二维图形。点、线和面之间的关系可以通

过垂直、平行等相对位置来描述。

2. 二维图形

在空间几何中，我们熟知的二维图形有矩形、正方形、三角形等，它们都是由线段和面积组成的。矩形是一个有四个直角的四边形，具有相等的对边和相等的内角；正方形是特殊的矩形，四个边长相等，对角线相互垂直；三角形是由三条线段组成的图形，可以根据边长和

角度的不同分类为不同类型。

3. 三维图形

除了二维图形之外，空间几何中还有许多有趣的三维图形，比

如球体、圆柱体、锥体等。球体是由一条弧线无限旋转形成的，表面

上的每一个点到球心的距离都相等；圆柱体是由两个平行的圆底和一

个连接两个圆底的侧面形成的；锥体则是由一个圆底和一个连接圆底

和一顶点的侧面组成的。这些图形不仅在几何学中有着重要的地位，

也广泛应用于物理学、工程学等领域。

4. 图形之间的关系

在空间几何中，图形之间存在着复杂的关系。例如，两个图形

可能相交、平行、垂直等。两个图形相交表示它们在空间中有交集；

高中数学北师大版2019必修第二册空间图形基本位置关系的认识

异面直线垂直的概念，能求出一 2．通过计算异面直线所成的角，
些较特殊的异面直线所成的培养学生数学运算素养.
角．(重点、难点)
自主预习探新知
1．基本事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间两条直线的位置关系 (1)异面直线的概念 ①定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线． ②异面直线的画法：为了表示异面直线 a，b 不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图所示．
空间两条直线位置关系的判定【例2】来自百度文库图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
直线 a，b 所成的角(或夹角)
范围记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ，则 0°<θ≤90°
特殊情况当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作： a⊥b
思考：1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定．可能相交、平行或异面．
2.如图，在长方体A1B1C1D1－ABCD中，BC1∥AD1，则“直线 BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

4.1空间图形的基本关系的认识

解如图所示：
9．如图所示，在长方体 ABCD— A1B1C1D1 中，面对角线 B1D1 与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解 ∴B1D1Βιβλιοθήκη Baidu平面 A1C1. ∵B1∈平面 A1C1，D1∈平面 A1C1，

∵B1∈平面 BC1，D1∉平面 BC1， ∴直线 B1D1∩平面 BC1＝B1. ∴直线 B1D1 与平面 BC1 相交．同理直线 B1D1 与平面 AB1、平面 AD1、平面 CD1 都相交．
变式训练2 把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来.
l

A
a

a A B l
理论迁移
知识点二直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系．
平行； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
相交直线 (3)A1G 与 C1F：_______________________ ；平行直线 (4)A1G 与 CE：_______________________.

1.4.1--空间图形基本关系的认识--1.4.2--空间图形的公理(公理1、2、3)

交流的能力、几何直观能力，通过典型例子的学习和自
主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的
数学思想方法.
新课导入
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面
C
B A
D
错误
B1
C1 D1 A1
②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O，O1 ，则平面
AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1 ；
C
D
O
B A
正确
C1 D1 O1 A1
B1
③由点A，O，C可以确定一个平面；
C
B
O
D
A
错误
C1 D1 A1
B1
④由 A,C1 ,B1 确定的平面是 ADC1B1 ；正确 ⑤由 A,C1 ,B1 确定的平面与由 A,C1 ,D 确定的平面是同一个平面．正确
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理（公理1、2、3）
学习目标
1. 通过长方形这一常见的空间图形，了解空间图形的基
本构成----点、线、面的基本位置关系； 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理；

空间图形基本位置关系的认识

— 16 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．
b∩l＝∅
— 返回 —
— 6—
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
3.空间中直线与平面的位置关系位置关系图形语言直线在平面内
符号语言 a⊂α
直线与平面相交
a∩α＝A
直线与平面平行
a∥α ⇔ a∩α＝∅
— 返回 —
公共点有无数个公共点有一个公共点没有公共点
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高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
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高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
[巩固训练] 1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点 P 与直线 AB； (2)点 C 与直线 AB； (3)点 M 与平面 AC； (4)点 A1 与平面 AC； (5)直线 AB 与直线 BC； (6)直线 AB 与平面 AC； (7)平面 A1B 与平面 AC.

空间图形基本关系的认识

A
B

①点在平面内
记作：B
②点在平Βιβλιοθήκη Baidu外
记作： A
探究三空间中两条直线的位置关系 ①平行直线——在同一个平面内，没有公共点的两
条直线。

a
b
记作a // b
Oa
b 记作a b O
②相交直线——在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
探究三空间中两条直线的位置关系
2、想一想：正方体的12条棱以及 D' 标出的面对角线所在的直线那 A' 些与直线BD是异面直线？
D
A
C' B'
C B
探究四空间中直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点（2）直线与平面相交——直线与平面只有一个公共点（3）直线与平面平行——直线与平面没有公共点
探究五空间中平面与平面的位置关系
4、说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线段
所在的直线与平面的位置关系：D1
（1）AB和CC1；
异面
（2）A1C和BD1 ；相交 A1
C1 B1
（3）A1A和CB1；异面
（4）AC和A1C1；平行
（5）BC与平面A1C1；平行
D
C
（6）B1C与平面AC；相交 A
B

高中数学第一章立体几何初步 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2.1 空间图形基本关系的认识

4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)

[学习目标] 1.理解空间中点、线、面的位置关系． 2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念． 3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题． 4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.

【主干自填】

1．空间点与直线的位置关系

(1)如果点P在直线a□01上，记作P∈a.

(2)如果点P在直线a□02外，记作P∉a.

2．空间点与平面的位置关系

(1)如果点P在平面α□03内，记作P∈α.

(2)如果点P在平面α□04外，记作P∉α.

3．空间两条直线的位置关系

(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有□05公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.

(2)相交直线：如果直线a和b有且只有□06一个公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.

(3)异面直线：如果直线a和b不同在□07任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线．

4．空间直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有□08无数个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.

(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有□09一个公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.

(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有□10公共点，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.

5．空间平面与平面的位置关系

(1)平行平面：如果平面α与平面β没有□11公共点，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.

空间图形基本关系的认识教学设计及学情分析

《空间图形基本关系的认识》教学设计

沁阳一中吴娇

一、教材分析：

本节选自普通高中北师大版必修2第一章第四节第一课时，教材以长方体为载体，帮助学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，训练学生符号语言的运用，培养学生推理论证能力．空间图形基本关系的认识是学习平行关系与垂直关系的基础．

二、学情分析：

高一学生拥有一定的信息收集和筛选能力、观察能力、语言表达能力；具备一定

的平面几何知识和研究几何的方法，本节课的学习，学生具备一定知识基础。

三、学习目标：

1.了解点、线、面的位置关系，能用符号语言进行表述

2.正确理解异面直线的定义，能判断具体几何图形中点、线、面的位置关系

3.感受生活中空间图形的丰富多彩，体会图形语言的直观美和符号语言的简洁美.

四、教学重点、难点：

重点：点、线、面的位置关系的分类及有关概念

难点：异面直线的判定.

五、教学方法：启发、引导.

六、教具准备：多媒体辅助教学、长方体.

七、教学过程：

创设情境、引入课题

观察图片中富有特色的建筑物，感受生活中空间图形的丰富多彩，提出问题：构

成空间几何图形的基本图形是什么？

（设计说明：可以拉近与学生之间的距离同时又引导学生将建筑物与空间几何图形联

系起来，让学生观察构成空间几何体最基本的图形，激发学生的求知欲。使学生对点、面、线的关系有直观的的认识，然后分类对其讨论）

知识探究（一）：空间点与直线的位置关系

请同学们观察长方体模型，思考点与直线的位置关系

A α∉A α

∈1.点在直线上：如图： ·A 记作：A ∈a

2.点在直线外：如图： ·B 记作：B ∉ b