上海市大同中学2018届高三三模考试数学试题Word版含解析

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2018-2019年上海市大同中学高三下三模教师版

大同中学高三三模数学试卷一.填空题1.若全集为实数集R ，13log 2M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则R C M =________1(,0](,)9-∞+∞U2.抛物线214y x =-的准线方程是________1y = 3.关于x 方程sin 1014cos x x=的解集为________{|12x x k ππ=+或5,}12x k k ππ=+∈Z 4.函数()2sin 1f x x =+，[,]2x ππ∈的反函数1()f x -=________1arcsin2x π--，[1,3]x ∈ 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]sin 0,1∈x ()[]1,3f x ∴∈ 令2sin 1y x =+，则1sin 2y x -= ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 1arcsin 2y x π-∴=- ()11arcsin2x f x π--∴=-，[]1,3x ∈ 5.函数()2sin()cos 4f x x x π=+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是________2π()22sin cos cos sin cos cos sin cos 44f x x x x x x xππ⎫=+=+⎪⎭1cos 2121sin 2222242x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∴两条相邻的对称轴之间的距离为2242T ππ== 6.若212lim(1)3n n a a a -→∞+++⋅⋅⋅+=，则二项式10(2)x a -展开式的系数和是________1024 ()2112lim 113n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+==-，解得：12a =-∴二项式()()101021x a x -=+，令1x =，则()102x a -展开式的系数和为1021024=7.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 .（结果用数值表示）14158.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是_____（单位：3cm ））12π+由三视图可得原图形如图：该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积2111(211)313222V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 9.设实数x 、y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则23a b +的值为________1由约束条件可得可行域如下图（阴影部分）所示：将z ax by =+化为a zy x b b=-+ 0,0a b >>Q 、 0ab∴-< 当z 取最大值时，a zy x b b =-+在y 轴截距最大由图象可知，当a zy x b b=-+过A 时，在y 轴截距最大由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：()4,6A max 462z a b ∴=+=，即231a b += 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是________167 由椭圆参数方程得椭圆C 的普通方程为：2214y x +=由直线参数方程得直线l 的普通方程为：33y x =-联立可得：()224314x x +-=，即27610x x --=，解得：11x =，217x =-116177AB ∴=+= 11.定义在R 上偶函数()f x 对于任意的x ∈R 有()()11f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()269f x x x =-+-，若函数()log a y f x x =-在()0,∞+上只有四个零点，则实数a =______14()()11f x f x +=-Q ()f x ∴关于直线1x =对称又()f x 为偶函数，即()f x 关于0x =对称 ()f x ∴为周期函数且2T =()log a y f x x =-Q 在()0,∞+有且仅有四个零点，即()f x 与log ay x =在()0,∞+上有且仅有四个交点当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，又1x =时，()log 110a f ==∴()f x 与log a y x =在()0,∞+不存在四个交点 01a ∴<<()f x ∴与log a y x =有且仅有四个交点，图象如下图所示：()4log 4a f ∴=，又()()421f f ==- log 41a ∴=-，解得：14a =12.已知向量,a b rr 满足1a =r ，2b =r ，则a b a b ++-r r r r 的取值范围是________()()22a b a b a b a b a ++-≥++-==r r r r r r r r rQ且()()24a b a b a b a b b ++-≥+--==r r r rr r r r r4a b a b ∴++-≥r r r r （当且仅当a b +r r 与a b -r r 反向时取等号）2a b a b++-≤==r r r r Qa b a b ∴++-≤r r r r a b a b +=-r r r r 时取等号，此时0a b ⋅=r r ）的综上所述：a b a b +=-r r r r的取值范围为4,⎡⎣ 二.选择题13.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ D ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14.在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ A ） A. 60B. 70C. 80D. 100当60为该班某学生的成绩时，则()26082484-=，则214849.6850s >⨯= 与方差为8.2矛盾 ∴60不可能是该班成绩15.已知双曲线C ：2214y x -=，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ D ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±①当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为：1x =，满足与曲线C 只有一个公共点 ②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()11y k x -=-，即：()11y k x =-+联立()221114y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，整理可得：()()()2222422250k x k k x k k -+---+=当240k -=，即2k =±时，此时方程有且仅有一个实数根∴直线():211l y x =±-+与曲线C 有且仅有一个公共点当240k -≠时，()()()22222244250k kk k k ∆=-+--+=，解得：52k =∴直线()5:112l y x =-+与曲线C 有且仅有一个公共点综上所述：满足条件的直线l 有4条16.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ A ）种 A. 48B. 72C. 78D. 84五个小球全排列共有：55120A =种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：22322324A A A =种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：22222324A A A =种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：22222324A A A =种排法∴颜色相同的小球不相邻的排法共有：12024242448---=种排法三.解答题17.如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解】）1）由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122AB A B ==）所以2221111A B AB AA +=.故111AB A B ⊥.由2BC =）112,1,BB CC == 11,BB BC CC BC ⊥⊥得115B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=︒得23AC =由1CC AC ⊥，得113AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥.因此1AB ⊥平面111A B C .）2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ）由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ）所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角. 由1111115,22,21BC A B AC === 1111116cos 77C A B C A B ∠=∠=）所以13C D ，故11139sin C D C AD AC ∠==因此，直线1AC 与平面1ABB 所成39. 方法二：）1）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ）OC 为x ）y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,3,0,1,0,0,0,3,4,1,0,2,3,1,A B A B C --因此()()()111113,2,3,2,0,23,3,AB A B AC ==-=-u u u v u u u u v u u u u v由1110AB A B ⋅=u u u v u u u u v得111AB A B ⊥. 由1110AB AC u u u v u u u u v⋅=得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .）2）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（））可知()()()110,23,1,3,0,0,0,2,AC AB BB ===u u u u v u u u v u u u v设平面1ABB 的法向量(),,n x y z =.由10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v 即30,20,x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可取()3,1,0n =-. 所以11139sin |cos ,|13AC n AC n AC nθ⋅===⋅u u u u v u u u u v u u u uv 的因此，直线1AC 与平面1ABB18.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量m u r =(cos(A —B)，sin(A —B)),向量n r=(cosB ，—sinB),且m n ⋅=u r r3.5- (1)求sinA 的值；(2)若5,a b ==求角B 的大小及向量BA u u u r 在BC uuu r方向上的投影.【解】（1）由3·5m n =-r r，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，得3cos 5A =-；又0A π<<，所以4sin 5A ==；（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin B =，得4B π=；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2223525()5c c =+-⨯⨯⨯-，解得1c =或7c =-（舍去）；BA u u u r 在BC uuur方向上的投影值为·cos 2BA BC c B BC ==u u u v u u u vu u u v ． 19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x *∈N ）名员工从事第三产业，调整后这x 名员工他们平均每人创造利润为310()500xa -万元，剩下员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设400x ≤，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a 的最大值. 【解】（1）剩余员工创造的年总利润为：()()10001010.2%x x -⨯⨯+()()10001010.2%100010x x ∴-⨯⨯+≥⨯，即25000x x -≤，解得：0500x ≤≤又*x ∈N 且[]1,1000x ∈ ∴最多调整500名员工从事第三产业（2）从事第三产业员工创造的年总利润为：310500x x a ⎛⎫⋅-⎪⎝⎭由（1）知剩余员工创造的年总利润为()()10001010.2%x x -⨯⨯+的()()31010001010.2%500x x a x x ⎛⎫∴⋅-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，整理可得：21000250x ax x ≤++ x N *∈Q 且400x ≤ 10001250x a x∴≤++ 1000250x x +Q在[]1,400上单调递减 min 10004125010x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 415111010a ∴≤+= 即a 的最大值为511020.如图，以椭圆2221x y a+=（1a >）的右焦点2F 为圆心，1c -为半径作圆2F （其中c 为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T . （1）若54a =，P 为椭圆的右顶点，求切线长||PT ；（2）设圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若3||)PT a c ≥-恒成立，且OA OB ⊥.求：（ⅰ）c 的取值范围；（ⅱ）直线l 被圆2F 所截得弦长的最大值. 【解】（1）由54a =得：2234c a b =-= ∴当P 为椭圆右顶点时，2531442PF a c =-=-= 又圆的半径为311144c -=-= ()2221131416PT PF c ∴=--=-=（2）（ⅰ）当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值2min PF a c =-Q ，则()())22min31PTa c c a c =---≥-，即()()22114a c c -≥- 又221a c =+，10c ->，解得：314c ≤< 即c 的取值范围为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭（ⅱ）由题意得：()1,0Q ，则直线():1l y k x =-联立()22211y k x x y a⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()22222222120a k x a k x a k a +-+-= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+()()()()2222121212122211111k a y y k x x k x x x x a k -∴=--=-++=⎡⎤⎣⎦+OA OB ⊥Q ()22222121222221011k a a k a x x y y a k a k --∴+=+=++，整理可得：22k a = 又0k > k a ∴= ∴直线():1l y a x =-，即0ax y a --=∴圆心()2,0F c 到直线l距离d =，又半径1r c =-∴直线l 被圆2F截得的弦长为21c -==令1c t -=，则10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()f t ===∴当14t=，即14t =时，2min 32141t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()max 1441f t f ⎛⎫∴===⎪⎝⎭即直线l 被圆2F 截得的弦长的最大值为4121.给定数列{}n a ，记该数列前i 项12,,,i a a a ⋅⋅⋅中的最大项为i A ，即12max{,,,}i i A a a a =⋅⋅⋅，该数列后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅中的最小项为i B ，记12min{,,,}i i i n B a a a ++=⋅⋅⋅，(1,2,3,,1)i i i d A B i n =-=⋅⋅⋅-；（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的1d ，2d ，3d ；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中λ为实数，0λ>且13λ≠，1λ≠.（ⅰ）设23(1)n n b a λ=+-，证明：数列{}n b 是等比数列；（ⅱ）若数列{}n a 对应的i d 满足1i i d d +>对任意的正整数1,2,3,,2i n =⋅⋅⋅-恒成立，求实数λ的取值范围. 【解】（1）由题意得：113A a ==，{}1234min ,,1B a a a == 1312d ∴=-={}212max ,4A a a ==，{}234min ,1B a a == 2413d ∴=-= {}3123max ,,7A a a a ==，341B a == 3716d ∴=-=（2）（ⅰ）当1n =时，()1111a a λλ-=-+ 11a ∴=()()()1122311313131b a λλλλ-∴=+=+=--- 13λ≠Q ，1λ≠ 10b ∴≠当2n ≥且*n N ∈时，()()11211133n n S a n λλ---=-+-+ ()()()112113n n n n n a S S a a λλλλ--∴-=--=-++ 123n n a a λ-∴=+()()()11122223133131n n n n n b a a a b λλλλλλ---⎡⎤∴=+=++=+=⎢⎥---⎣⎦∴数列{}n b 是以()3131λλ--为首项，λ为公比的等比数列（ⅱ）由（ⅰ）得：()13131n n b λλλ--=⋅- ()()13123131n n a λλλλ--∴=⋅---{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅， {}{}112122max ,,,,min ,,,i i i i i n d a a a a a a a ++++=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ {}{}1223min ,,,min ,,,i i n i i n a a a a a a ++++⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅Q 且1i i d d +> {}{}12112max ,,,,max ,,,i i i a a a a a a a +∴⋅⋅⋅>⋅⋅⋅{}1211max ,,,,i i i a a a a a ++∴⋅⋅⋅=对任意的1,2,3,,2i n =⋅⋅⋅-恒成立则1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=- 12120i i i i i d d a a a +++∴-=+-<即：()()()()2121313112103131i i λλλλλλλλλ----+-=-<--11 0λ>Q ()31031λλ-∴<-，解得：113λ<< λ∴的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭。

上海市大同中学2018届高三三模试题及答案解析

上海市大同中学2018届高三三模数学试题第Ⅰ卷一、填空题 1.复数12i2i-+的虚部为． 2.二项式4x ⎛⎝的展开式中常数项为． 3.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为．（用分数作答） 4.过点()6,3M-且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为．5.已知实数x 、y 满足1210x x y x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为．6.设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为． 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有()lim k n k n a S S →∞=-成立，则公比q = ． 8.三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为．9.将函数()sin2y x ϕ=+的图象向左平移π4个单位后得到得到函数图象关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为．10.已知不等式20ln 0m m n n ⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n 恒成立，则实数m 取值范围是．11.若[]0,πα∈，ππ,44β⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，λ∈R，满足：3πcos 202ααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．12.如图直角梯形ABCD 中，2ABBC ==，1CD =，//AB CD ，AD AB ⊥.点P 是直角梯形区域内任意一点，0PA PB ≤.点P 所在区域的面积是．二、选择题13.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（） A ．1ab >- B ．1a b >+ C. a b > D ．22a b >14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足190S >，200S <，则11S a 、22S a 、33S a 、…、1919S a 中最大项为（） A ．88S a B ．99S a C. 1010S a D ．1111Sa15.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的摄影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合；④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（） A ．1 B ．2 C. 3 D ．4 16.如图，正ABC 的中心位于点()0,1G，()0,2A ，动点P 从A 点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度()02AGP x x π∠=≤≤，向量OP 在()1,0a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（）三、解答题 17. 如图，四棱锥SABCD -的底面是边长为1的菱形，60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，SB =（1）求四棱锥SABCD -的体积；（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小.18. 函数2x y=和3y x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <.（1）设曲线1C ，2C 分别对应函数()y f x =和()y g x =，请指出图中曲线1C ，2C 对应的函数解析式，若不等式()()0kf g x g x ⎡⎤-<⎣⎦对任意()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围；（2）若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a 、b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈，求a 、b 的值.19.已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2221x y m+=，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F ∆、12BF F ∆的重心分别为G 、H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆上，求实数m 的值.20.如图一块长方形区域ABCD ，2AD =，1AB =，在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯，其照射角EOF ∠始终为4π，设AOE α∠=，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .（1）当π02α≤≤时，求S 关于α的函数关系式；（2）当π04α≤≤时，求S 的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且π6∠=AOG ，求点G 在“一个来回”中被照到的时间. 21.设函数()()23232k k f x x k x k =-++⋅，∈x R .（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a的前2n 项和2n S ；（3）对于（2）中的数列{}n a ，设()2121nn n nb a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.【参考答案】一、填空题1. 1-2. 4-3. 1118 4.221189x y -=5.2m > 6.π37. 12 8.9.π6 10. []4,5 11. 2 12. π34+ 二、选择题13. A 14. C 15. D 16. C 三、解答题17.（1）证明：连结BD ，SD⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ABCD 为边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，∴ 1BD AB ==，SB =∴ SD =，AC =∴12ABCD S BD AC =⨯⨯=，∴ 13S ABCD V -==（2）解法一：取AB 中点E ，连结ME 、DE ，∴//ME SB 且122ME SB ==， ∴ EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，又∵ 在Rt SDA 中，SA =，∴ 122DM SA ==，同时，2DE =， ∴ DME ∆为等边三角形，∴ 3DME π∠=，即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π.解法二：如图以D 为原点，建立空间直角坐标系，其中DxDC ⊥，设Dx 与AB 交于点E，则2DE =， ∴1,,022A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(S ，∴1,,442M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1,42DM =-⎝⎭ ，∵1,02B ⎫⎪⎝⎭，∴1,2SB =⎝ ， ∴ cos ,DM SB DM SB DM SB=⋅1112-⨯==-，即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π.18. 解：（1）1C 对应的函数为()3f x x =，2C 对应的函数为()2x g x =，()()3022x xkf g x g x k ⎡⎤-<⇔⋅<⎣⎦，则4x k -<对任意()0,1x ∈恒成立，14,14x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以14k ≤；（2）令()()()32x x g x f x x ϕ=-=-，则1x ，2x 为函数()x ϕ的零点，由于()110ϕ=>，()240ϕ=-<，()939290ϕ=-<，()103102100ϕ=->，则方程()()()x f x g x ϕ=-的两个零点()11,2x ∈，()29,10x ∈，因此整数1a=，9b =.19. 解：（1）因为l ：202m x my --=经过)2F22m =，得22m=，又因为1m >，所以m =故直线l的方程为10x -=；（2）设()11,Ax y ，()22,B x y ，由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得222104m y my ++-=，则由22281804m m m ⎛⎫∆=--=-+> ⎪⎝⎭，知28m <，且有122my y +=-，212182m y y ⋅=-，由于()1,0F c -，()2,0F c ，可知11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知0OG OH =，12120x x y y +=，而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221182m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，所以21082m -=，24m =，满足0∆>，又因为1m >，所以2m =. 20. 解：（1）当π04α≤≤时，E 在AB 上，F 在BC 上11π1tan tan 224αα⎛⎫=--- ⎪⎝⎭S ，当π04α<<时，E 、F 都在AB 上，1113π2tan tan 4αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S ；（2）当π04α≤≤时，1121tan 2tan S αα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由于[]tan 0,1α∈，所以当tan 1α=时，max 2S =（3）在“一个来回”中，OE 共转动了3π3π242⨯=，其中点G 被照到时，OE 共转动了ππ263⨯=，点G 被照到的时间为π3π9232⎛⎫=⨯÷= ⎪⎝⎭t 分钟.21. 解：（1）∵ ()10f ≤即()132320k k k k -++⋅<，∴()()13120k k --≤即()()31210k k --≤，310210k k -≤⎧⇒⎨-≥⎩或310210k k -≥⎧⎨-≤⎩∴ 103k ≤≤；（2）由()0f x ≤即()()320k x k x --≤的解集为[]212,k k a a -，∴ 2122123232kk k kk k a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴ 1k =时，1123125a a +=⋅+=，2k =时，23432210a a +=⋅+=，∴123451015a a a a +++=+=，212342n n S a a a a a =+++++ ()()()1234212n n a a a a a a -=++++++ ()()()1231232232n n =⋅++⋅+++⋅+ ()()12312222n n =++++++ ()()2121213332221222nn n n nn +-+=⋅+=+-+-；（3）12nn T b b b =+++ ，2n ≥时，()11132nn n n nT T b n --==-⋅， n 为奇数时，10n n T T --<，即32T T <，54T T <，76T T <，…，1n n T T -<，…， n 为偶数时，10n n T T -->，即21T T >，43T T >，65T T >，…，1n n T T ->…，∴n T 的最大值必为{}n T 的偶数项，故当n 为偶数时（4n ≥）时，21n n n n T T b b ---=+()11131232n n n n -=-+-⨯⨯()10312nn n n +=-<-⨯，∴ n 为偶数时，{}n T 为递减数列，∴ ()22max 111323228n T T ==-+=-⋅⋅⋅.。

大同市第三中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

大同市第三中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80 D ．S 21＝842．已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（）A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i3．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 4．如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A ．30B ．50C ．75D ．1505．已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++=6．函数y=的定义域是（）A ．[﹣，﹣1）∪（1，]B ．（﹣，﹣1）∪（1，） C ．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）7．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b << 8．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（）A ．13 B ．23C ．1D ．2 9．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ，则正方体棱长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 11．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．12．已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（） A ．（￢p ）∨qB ．p ∨qC ．p ∧qD ．（￢p ）∧（￢q ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2，则b= ．14．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________．【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．15．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ． 16．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、，则222sinsin sin αβγ++= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市黄浦区大同中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题(详解版)

11.某中学的汪老师遇见一道解三角形的问题时，因纸张破损缺少一个条件，具体如下：“ 中，已知，___________，求角A的大小.”经同办公室彭老师推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试帮助汪老师将所缺的条件补充完整.
【答案】
【解析】
【分析】
＞，因此用正弦定理求解会出现两解的情形，因此考虑用余弦定理，这样应该已知，这样在已知的情况下去求得即可．
三、解答题
17.如图，在四棱锥的底面梯形中，，，又已知平面 .
（1）异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）四棱锥的体积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）作出异面直线所成的角，然后计算；
（2）由棱锥的体积公式计算．
【详解】（1）过作交于，如图，则（或补角）是异面直线和所成的角，
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)存在 ,使得以为直径的圆恒过直线 , 的交点.
【解析】
试题分析：（I）由于四边形为正方形，所以，由此求得椭圆方程为 .（II）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出点坐标，代入可求得值为 .（III）设出点的坐标，利用圆的直径所对圆周角为直角的几何性质得到，结合（II）将的坐标代入上式，可求得 .
【详解】，解得或，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴数列是递增数列，则从开始必有，
∴ ，解得或．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的单调性，本来只要对任意，成立，数列就是递增数列，但本题中由递推式得出的是或，因此为了使这个不等式始终成立，还必须有，这样才能得出正确的结论．注意通项公式与递推公式的区别．
2018学年大同中学高三年级12月份月考卷

上海市大同中学20182019学年高三下学期月考数学试题.docx

2018学年大同中学高三年级三月份月考卷一、填空题1.己知集合U R =，集合{}|2,x M y y x R ==∈，集合{|lg(3)}N x y x ==-，则()U C M N =I ______.2.已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为______.3.直线1()12x t t R y t=+⎧∈⎨=-⎩的倾斜角是______.（用反三角表示）4.三阶行列式42354112k ---第2行第1列的代数余子式为10-，则k =______.5.等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为______.6.若x ，y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为______.7.已知无穷数列{}n a 的前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为______. 8.正数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为______.9.某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题，他预测同学第一题正确的概率为0.8，两题全对的概率为0.6，则汪老师预测第二题正确的概率为______.10.设抛物线2y x =的焦点为F ，点M 在抛物线是，线段MF 的延长线与直线14x =-交于点N ，则11||||MF NF +的值为______. 11.函数()2sin 2(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图像上有两点(,),(2,)(22)A s t B s t t π+-<<，若对任意s R ∈，线段AB 与函数图像有五个不同的交点，若()f x 在[]12,x x 和[]34,x x 上单调递增，在[]23,x x 上单调递减，且()43213223x x x x x x -=-=-，则1x 的所有可能值是______. 12.在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集{|(,),,}D a a x y x R y R ==∈∈r r 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”.定义如下：对于任意两个向量()111,a x y =u r ，()222,a x y =u u r ，12a a >u r u u r 当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y >”按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题：①若12(1,0),(0,1),0(0,0)e e ===u r u u r r ，则120e e >>u r u u r r ；②若1223,a a a a >>u r u u r u u r u u r ，则13a a >u r u u r ；（3）若12a a >u r u u r ，则对于向量12,a D a a a a ∈+>+u r u u r r r r ；④对于任意向量0,0(0,0)a >=r r r ，若12a a >u r u u r ，则12a a a a ⋅>⋅u r u u r r r .其中真命题的序号为______.二、选择题13.已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也不必要条件14.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与()sin cos f x x x =+构成“互为生成”函数的为（）A.1()sin f x x =B.2()sin f x x =C.3()cos )f x x x =+D.4()sin cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭15.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是（）A. B.C ．D. 16.已知满足条件222x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域的面积为2S ，其中[]x ，[]y 分别表示不大于x ，y 的最大整数，例如[0.4]0,[1.6]1==，则，1S 与2S 的关系是（）A.12S S <B.12S S =C.12S S >D.123S S π+=+三、解答题17.如右图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，O '、O 分别为上、下底面的圆心，E 为上底面圆周上一点，已知60DO E '∠=︒，圆柱侧面积等于64π.（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线BE 与DO 所成角θ的大小.18.已知向量(sin ,cos ),(6sin cos ,7sin 2cos )a x x b x x x x ==+-r r ，设函数()f x a b =⋅r r . （1）求函数()f x 在[0,2]x π∈的单调递增区间；（2）在A ∠为锐角的ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()6f A =，且ABC ∆的面积为3，2b c +=+a 的值.19.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB 5=千米，AC 3=千米，BC 4=千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由。

大同区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

大同区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1．有下列四个命题：①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④2．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣或﹣3．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（）A ．7B ．15C ．31D ．634．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 5．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（） A ．48B ．±48C ．96D ．±966．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A． B． C． D ．67．如图，该程序运行后输出的结果为（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．7 B．15 C．31 D．638．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁U A）=（）A．{5} B．{1，2，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅9．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（）A．0＜B．0 C．0D．010．在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也非必要条件11．已知数列{a n}是等比数列前n项和是S n，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（）A．8 B．﹣8 C．11 D．﹣1112．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．64 B．32 C．643D．323二、填空题13．（文科）与直线10x +-=垂直的直线的倾斜角为___________．14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．15．已知函数()ln a f x x x =+，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒成立，则实数的取值范围是．16．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有个．17．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是．18．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是．三、解答题19．设函数f （x ）=x 2e x ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若当x ∈[﹣2，2]时，不等式f （x ）＞m 恒成立，求实数m 的取值范围．20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．21．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．23．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．24．已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，且2a 1，a 1+a 2+2a 3，a 1+2a 2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）若数列{b n }满足a n+1=（），T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ．25．.已知定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断f （x ）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；（3）若对于任意t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．26．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r =（],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t aaì=+ïí=+ïî（t 为参数）．（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C 的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．大同区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．2．【答案】B【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；故选：B3．【答案】D【解析】解：模拟执行算法框图，可得A=1，B=1满足条件A≤5，B=3，A=2满足条件A≤5，B=7，A=3满足条件A≤5，B=15，A=4满足条件A≤5，B=31，A=5满足条件A≤5，B=63，A=6不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．4．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 5．【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=3，公比q=2， ∴a 2=3×2=6，=384，∴a2和a 8的等比中项为=±48．故选：B ．6．【答案】B【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a ，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7．【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（） D【解析】解：因为A=1，s=1判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2；判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3；判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4；判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5；判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m 值应是5．故答案为5．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．8．【答案】B【解析】解：∵C U A={1，5}∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．9．【答案】D【解析】解：∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0＜θ≤．故选：D．10．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A11．【答案】D【解析】解：设{a n}是等比数列的公比为q，因为a2=2，a3=﹣4，所以q===﹣2，所以a 1=﹣1，根据S 5==﹣11．故选：D ．【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．12．【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:1444322⨯⨯⨯=，故选B. 考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.二、填空题13．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．14．【答案】．【解析】解：S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ，∴S n+1﹣S n =S n+1S n ，∴=﹣1，=﹣1，∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，∴=﹣1+（n ﹣1）×（﹣1）=﹣n ．∴S n =﹣，n=1时，a 1=S 1=﹣1，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=．∴a n =．故答案为：．15．【答案】21≥a 【解析】试题分析：'21()a f x x x =-，因为(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒成立，2112a x x ∴-≤，(0,3]x ∈，x x a +-≥∴221，(0,3]x ∈恒成立，由2111,222x x a -+≤∴≥．1考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．16．【答案】 6【解析】解：集合A 为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．故答案为：6【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．17．【答案】（﹣1，1] ．【解析】解：在同一坐标系中画出函数f （x ）和函数y=log 2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．故答案为：（﹣1，1]18．【答案】{a|或}．【解析】解：∵二次函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为x=a﹣，f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或a≤，故答案为：{a|a≥，或a≤}．【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）…令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（2）令∴x=0和x=﹣2，…∴∴f（x）∈[0，2e2]…∴m＜0…20．【答案】【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，整理得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为，代入圆C的方程中，得．设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得＞0，t1t2=1＞0，于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=，即|MA|+|MB|=．【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，故曲线C1与C2是相交于两个点．解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．22．【答案】【解析】解：（1）∵S n=a n﹣，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，即a n=3a n﹣1，．∵a1=S1=﹣，∴a1=3．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n．∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n+1﹣b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1．（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n，∵T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，∴3T n=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，两式相减得：﹣2T n=3+2×（32+33+34+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1，=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1，∴T n=3+（n﹣1）3n+1．23．【答案】①②③【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．故答案为：①②③．【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（I）∵2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列．∴2（a1+a2+2a3）=2a1+a1+2a2．∴2（1+q+2q2）=3+2q，化为4q2=1，公比q＞0，解得q=．∴a n=．（II）∵数列{b n}满足a n+1=（），∴=，∴b n=n，∴b n=n•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1．2T n=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，∴T n=（n﹣1）•2n+1．25．【答案】【解析】解：（1）因为f （x ）为R 上的奇函数所以f （0）=0即=0，∴a=1 …（2）f （x ）==﹣1+，在（﹣∞，+∞）上单调递减…（3）f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0⇔f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）=f （﹣2t 2+k ），又f （x ）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴t 2﹣2t ＞﹣2t 2+k ，即3t 2﹣2t ﹣k ＞0恒成立，∴△=4+12k ＜0，∴k ＜﹣．…（利用分离参数也可）．26．【答案】【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）设点)0,2(-B ，2ABk ==-，故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--.。

上海市大同中学2018-2019学年高三下数学周练习试题(一)(简答)

2018学年大同中学高三年级周练卷（一） 2019.3一、填空题1. 函数()()22log 10y x x =+<的反函数是____________2. 已知实数a 满足3a i +≥，则212lim 2n nnn n a a +-→∞+=+____________ 3. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为____________ 4. 关于x 的方程sin 1014cos x x=的解为____________5. 已知54262513x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，则目标函数2010z x y =+的最大值为____________6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1114,32n n a S S +==+，则数列{}n a 的各项和为____________7. 有5只苹果，它们的质量分别为125,,121,,127a b （单位：克）；若该样本的中位数和平均数均为124，则该样本的标准差s=____________（克）（用数字作答） 8. 一般地，矩阵运算''x a b x y c d y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可以看作向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭变换为向量''x y ⎛⎫⎪⎝⎭，我们把矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做变换矩阵，向量''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的像，已知向量cos sin r r αα⎛⎫⎪⎝⎭的像是()()cos sin r r αθαθ+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则对应的变换矩阵是____________9. 已知点O 是ABC V 的重心，内角A,B,C 的所对的边长分别为,,a b c，且203a OAb OB OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，则角C 的大小是____________10. 我们将方程为()222210x y a b b a+=>>的椭圆绕y 轴旋转一周后得到的几何体定义为椭球体，利用祖暅原理，根据一个底面半径为b ，高为2a 的圆柱，挖去两个倒置的圆锥的几何体（如图），可得到这个椭球体的体积为_____11. 2018年3月22日，某校举办了“世界水日”主题演讲比赛，该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛，其中学生丙必须参加，仅当甲乙同学同时参加时候，甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻，那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为____________ 12. 定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：①当[)1,2x ∈时，()1sin 222f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②对任意[)0,x ∈+∞都有 ()()22f x f x =，设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为123,,,,,n x x x x L L ，若1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122n x x x +++=L ____________二、选择题13. 若()3nx y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（） A. 15B. 10C. 8D. 514. 已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成30°角的平面β截球得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） A. 7π B. 9π C. 11πD. 13π15. 已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（）A. 0B. mC. 2mD. 4m16. 已知数列{}n a 满足：13n ≤≤时，n a n =，且()*312n n n n a a a a n N ++++=+∈，则数列{}n na 的前50项和为（） A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652三、解答题17. 设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<，已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.18. 如图，BCD V 与MCD V 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.19. 对于函数()11f x x=-，定义()()()()()*11,n n f x f x f x f f x n N +==∈⎡⎤⎣⎦，已知偶函数()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()10g =，当0x >且1x ≠时，()()2018g x f x =.（1）求()()()()2342018,,,f x f x f x f x ；（2）求出函数()y g x =的解析式；（3）若存在实数(),a b a b <，使得函数()g x 在[],a b 上的值域为[],mb ma ，求实数m 的取值范围.20. 已知椭圆22142x y +=的左右焦点为12,F F ，过M （m,0）（M 不过椭圆的顶点和中心）且斜率为k 直线l 交椭圆于P,Q 两点，与y 轴交于点N ，且,NP MP NQ MQ λμ==u u u r u u u r u u u r u u u u r.（1）若直线l 过点2F ，求1F PQ V 的周长；（2）若直线l 过点2F ，求线段PQ 的中点R 的轨迹方程；（3）求证：λμ+为定值，并求出此定值.21. 数列{}n a 各项均为正数，112a =，且对任意的*n N ∈，有()210n n n a a ca c +=+>. （1）{}n a 能否成为等比数列，若能，请求出c 的值；若不能，请说明理由；（2）记数列1n c ca ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求11nn S a ++的值；（3）若12018c =，是否存在*n N ∈，使得1n a >，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.参考答案一、填空题1. ())10fx x -=> 2. a 3. 36π 4. ()1,212k k x k Z ππ=+-⋅∈ 5. 100 6. 6 7. 1.94 8. cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 3π10. 243ab π 11. 228 12. ()621n -二、选择题13. D 14. A 15. B 16.B三、解答题17.（1）2ω= （2）32-18.（1）5d =（2）519.（1）()11g x x =-（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭20.（1）8 （2）2220x y +-= （3）284m -21.（1）不能（2）2 （3）2020。

2018年高三第三次模拟考数学测试卷(文科)含答案

2017 — 2018学年度高三第三次调研测试文科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1 •答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3•请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

本大题共 12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有个是符合题目要求。

设全集 U =Z , A ={-1,1,3,5,7,9}, B ={-1,5,7}，贝V AplG u B)二B. {-1,5,7}D. {-1,1,3,5,9}__nA . -P ： X 。

R,X o 2 乞3X oB . -p: x R,x 22< 3x2C . — p: 一x R,x ■ 2 3xnD . _p: x 0 R,x 0 2 _ 3x 。

2. 已知复数 i z =1—i（i 为虚数单位），则z 的虚部为3.1 .A. i2已知命题P ：X o1 .B.i 2R,x ； 2 3x 0，则命题 1 C.2p 的否命题为D.4. F 列各组向量中，可以作为基底的是A. q =(0,0), e ? =(1,2)B.eiC.e 1 = (3,5), e 2 = (6,10)D.6 = (-1,2),0 = (5,7)、选择题: 1.A. {1,3,9}C.{-1,1,3x - y 3 _ 0设x, y 满足约束条件*x + yZ0，则z = 3x + y 的最小值是x 兰2S n ,则 S n =，定点的坐标是是某几何体的三视图，则该几何体的体积为C. D.5.6. A. -5 B. 4 C. -3D. 11已知等差数列｛务｝的公差不为0,可=1，且32,34,38成等比数列，设｛a n ｝的前n 项和A.n( n 1) 2B.2C. n 2 12 D.n(n 3) 47.以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线X 二-2相切，这些圆必过一定点，则8. 9. A. (0,2)B. (2, 0)执行如图所示的程序框图，当输出则输入n 的值可以为A.B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为 C.S =210 时,1,粗实线画出的 (4, 0) D. (0, 4)——n = n - 1否甲S = n ・S(■结束2)A.14二B.310二3 5-J IS = 1C 开始3*/ 输入n // 输岀S /n < 5 ?是俯视图正视图F I +•B 8；侧视图-10.已知锐角：•满足cos( ) =cos2＞，则sin〉cos 等于414 411.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中如像招数”五问有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤•只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为：官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.这个问题中，前5天应发大米12•对于定义域为 R 的函数f(x)，若同时满足下列三个条件：①且 X = 0 时，都有 xf (x)0 ；③当 x 1 ::: 0 x 2，且 I 片 |=| x 2 |时，都有 f (xj ::： f (x 2),则称f(x)为偏对称函数”.现给出下列三个函数：3 3 2 x ] ln(1—x), x 兰 0 f i (x)-X x ； f 2(x) = e - x-1； f 3(x)二212x, x > 0则其中是偏对称函数”的函数个数为 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 4个小题，每小题5分。

2018-2019年上海市大同中学高三下周练3(答案不全)

2018学年大同中学高三年级周练卷（三） 2019.3一、填空题1. 不等式204x x ->+的解是____________ 2. 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为____________3. 动点P 到点F （2,0）的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为____________4. 行列式cossin36sincos 36ππππ的值是____________ 5. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d=____________6.函数y =____________7. 在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当n=8时n S 取最大值，则d 的取值范围____________8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B ⋃=____________（结果用最简分数表示）9.如果22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是____________ 10. 已知a R ∈，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若对任意[)3,x ∈-+∞，()f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____________11. 在平面直角坐标系中，已知两定点()11,0F -与()21,0F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于1}，(){}22,1,,Q x y x y x y R =+≤∈，记()(){},,,S x y x y l l P =∉∈，()(){},|,T x y x y Q S =∈⋂，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是____________12. 已知集合{}*|21,A x x n n N ==-∈，{}*|2,n B x x x N ==∈，将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为____________二、选择题13. 直线l 的参数方程是()122x t t R y t=+⎧∈⎨=-⎩，则l 的方向向量是d u r 可以是（）A.（1,2）B.（2,1）C. ()2,1-D. ()1,2-14. 平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：（1）11m n m n ⊥⇒⊥ （2）11m n m n ⊥⇒⊥（3）1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合（4）1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合其中不正确的命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 415. 已知()()1122,,,a a b b a b ==r r 为两个非零向量，集合{}11|0A x a x b =+≥，集合{}22|0B x a x b =+≥，则a r //br 是A=B 的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 已知,,a b e r r r 是平面向量，e r 是单位向量，若非零向量a r 与e r 的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r ，则a b -r r 的最小值是（）A. 1B. 1C. 2D. 2三、解答题17. 在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=BC=2，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体1111ABCD A B C D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1A A 的长；（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）.18. 已知函数()()211x x f x a a x -=+>+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）证明：()f x 在()1,-+∞上为增函数，且方程()0f x =没有负数根.19. 在ABC V 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A+=+. （1）证明：2a b c +=；（2）求cosC 的最小值.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的短轴长为2，以M 为中点的弦AB 经过左焦点()11,0F -，其中点M 不与坐标原点O 重合，射线OM 与以O 圆心的圆交于点P.（1）求椭圆1C 的方程；（2）若四边形OAPB 是矩形，求圆O 的半径；（3）若圆O 的半径为2，求四边形OAPB 面积的最小值.21. 已知数列{}n a 为等差数列，{}12,n a a =的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且 ()2112233124n n n a b a b a b a b n +++++=-⋅+L 对任意的*n N ∈恒成立.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式112111111cos 2n n a a a a πλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（3）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和.参考答案一、填空题1. []2,4-2. 1-3.14 4. 14- 5. 2 6. 7. 34- 8. 3109. 164 10. 1m ≠- 11. 34 12. [][]0,34,15⋃二、选择题13. B 14. D 15. C 16. A三、解答题17.（1）323（2）arcsin 18.（1）()21,22a f x x x ==-+ （2）1t ≤19.（1）()()10cot cot 45,0,45y ααα=+︒-∈︒⎡⎤⎣⎦：),10y m n =>（2）201+20.（1）()1y x =±- （2）2、1 （3）不存在21.（1）1009 （2）10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （3）略。

上海市大同中学2018-2019学年高三三模考试数学试题+Word版含解析

2018-2019学年上海大同中学高三三模第Ⅰ卷（共60分）一、填空题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上）1.复数的虚部为__________．【答案】-1【解析】【分析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则有：，则复数的虚部为.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.二项式的展开式中常数项为__________．【答案】-4【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式展开式的通项公式为：，令可得：，则展开式的常数项为：.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．3.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为__________．（用分数作答）【答案】【解析】【分析】由题意结合题意和概率加法公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知，甲袋取出红球，乙袋取出白球的概率，甲袋取出白球，乙袋取出红球的概率，据此可得取出的两球颜色不同的概率.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，概率的加法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．【答案】【解析】【分析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的方程即可. 【详解】设双曲线方程为：，双曲线过点，则：，故双曲线方程为：，即.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.5.已知实数、满足，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】首先确定所表示的平面区域，然后结合点与直线的位置关系整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影区域，易知直线与的交点坐标为，不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点位于直线下方，据此有：，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查不等式组表示平面区域的表示方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意分别确定圆锥的高和底面半径，然后求解其体积即可.【详解】由题意可知，圆锥的底面半径，圆锥的高，则圆锥的体积：.【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合等比数列前n项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果.【详解】很明显数列的公比，且，结合题意和等比数列前n项和公式有：，即：，整理可得：，据此有：，则.【点睛】本题主要考查等比数列前n项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合空间几何体的几何特征首先求解BC的长度，然后确定BD的长度即可.【详解】由题意结合三视图可知，。

上海市大同中学2021届高三三模考试数学试题

上海市大同中学2018届高三三模考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．复数122i i-+的虚部为__________． 2．二项式4x ⎛ ⎝的展开式中常数项为__________． 3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为__________．（用分数作答）4．过点()6,3M -且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为______．5．已知实数x 、y 满足1210x x y x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为__________．6．设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为__________．7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有()lim k n k n a S S →∞=-成立，则公比q =__________．8．三棱锥D ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示,，则棱BD 的长为．9．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到得到函数图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为__________．10．已知不等式20ln 0m m n n ⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n 恒成立，则实数m 取值范围是__________． 11．若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，且3()cos 202πααλ---=，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______． 12．如图直角梯形ABCD 中，2AB BC ==，1CD =，//AB CD ，AD AB ⊥.点P 是直角梯形区域内任意一点，·0PA PB ≤.点P 所在区域的面积是__________．二、单选题13．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（） A ．1a b >- B ．1a b >+ C ．a b > D ．22a b >14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足190S >，200S <，则11S a ，22S a ，33S a ，⋯，1919S a 中最大项为( ) A ．88S a B ．99S a C ．1010S a D ．1111S a 15．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合；④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP x ∠=（0≤x ≤2π），向量OP 在()=1,0a方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．三、解答题17．如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB＝60°，SD 垂直于底面ABCD ，SB(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的余弦值．18．函数2x y =和3y x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <.（1）设曲线1C ，2C 分别对应函数()y f x =和()y g x =，请指出图中曲线1C ，2C 对应的函数解析式，若不等式()()0kf g x g x ⎡⎤-<⎣⎦对任意()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围；（2）若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a 、b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈，求a 、b 的值.19．已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为,G H .若原点O 在以线段，GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.20．如图一块长方形区域ABCD ，2AD =，1AB =，在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯，其照射角EOF ∠始终为4π，设AOE α∠=，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .（1）当02πα≤≤时，求S 关于α的函数关系式；（2）当04πα≤≤时，求S 的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且6AOG π∠=，求点G 在“一个来回”中被照到的时间. 21．设函数()()23232k kf x x k x k =-++⋅，x ∈R . （1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）对于（2）中的数列{}n a ，设()2121n n n n b a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.参考答案1．-1【解析】【分析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则有：()()()()1221252225i i i i i i i i ----===-++-，则复数122i i-+的虚部为1-. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．-4【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式4x ⎛ ⎝展开式的通项公式为： ()44431441r r r r r r r T C x C x --+⎛==- ⎝，令4403r -=可得：3r =，则展开式的常数项为：()33414C -=-. 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．3．1118【解析】【分析】由题意结合题意和概率加法公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知，甲袋取出红球，乙袋取出白球的概率1452010663618p =⨯==，甲袋取出白球，乙袋取出红球的概率22121663618p =⨯==，据此可得取出的两球颜色不同的概率121118p p p =+=. 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，概率的加法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．221189x y -= 【解析】【分析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的方程即可.【详解】设双曲线方程为：222x y λ-=，双曲线过点()6,3M -，则：222362918x y λ=-=-⨯=，故双曲线方程为：22218x y -=，即221189x y -=. 【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ+=≠，再由条件求出λ的值即可. 5．2m >【解析】【分析】首先确定1210x x y ≥⎧⎨-+≤⎩所表示的平面区域，然后结合点与直线的位置关系整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，1210x x y ≥⎧⎨-+≤⎩所表示的平面区域为图中的阴影区域，易知直线1x =与210x y -+=的交点坐标为()1,1A ，不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点A 位于直线x y m +=下方，据此有：11m +<，即m 的取值范围为2m >.【点睛】本题主要考查不等式组表示平面区域的表示方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．3【解析】【分析】由题意分别确定圆锥的高和底面半径，然后求解其体积即可.【详解】由题意可知，圆锥的底面半径R =，圆锥的高h ==则圆锥的体积：213V R h π==. 【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．12【解析】【分析】由题意结合等比数列前n 项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果.【详解】很明显数列的公比1q ≠，且0q ≠，结合题意和等比数列前n 项和公式有：11k k a S a q -=-，即：()1111111k k a q a a q q q ---=--，整理可得：()111k k k qq q ---=-，据此有：12k k q q -=，则12q =. 【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【解析】试题分析：由已知三视图可知，DC ⊥平面ABC ，且底面ABC ∆为等腰三角形．在ABC ∆中，4AC =，AC 边上的高为23，所以4BC =．在Rt SBC ∆中，由4DC =可得42BD =，故应填．考点：1、三视图．【易错点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图及其空间几何体的面积、体积的计算，考查学生空间想象能力和计算能力，属中档题．其解题过程中容易出现以下错误：其一是不能准确利用已知条件的三视图得出原几何体的空间形状，即不能准确找出该几何体中线线关系、线面关系，导致出现错误；其二是计算不仔细，导致结果出现错误．解决这类问题的关键是正确地处理三视图与原几何体之间的关系．9．6π 【解析】【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，则：()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，整理可得：()136k k Z πϕπ=-∈，则当2k =时，ϕ有最小值6π. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．[]4,5【解析】【分析】由题意结合不等式的性质分类讨论200m n -≥，且ln 0m n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，或200m n -≤，且ln 0m n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两种情况求解实数m 的取值范围即可. 【详解】由题意，200m n -≥，且ln 0m n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，或200m n -≤，且ln 0m n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∴20m n ≤，且1m n ≥，或20m n ≥，且01m n<≤， ∴20n m n ，或20m n n ≤≤， ∵n 为正整数，∴n =4或5，故答案为：[4,5].【点睛】本题主要考查不等式的性质，分类讨论的数学思想，对数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．2【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得2αβ+的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵340sin cos βββλ++=，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin (−2β)−2λ=0. 由3202cos πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭可得3sin 2022ππααλ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故−2β和2πα-是方程x 3+sinx −2λ=0的两个实数解.再由[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，所以2πα-和2β-的范围都是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由于函数x 3+sinx 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故方程x 3+sinx −2λ=0在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个解，所以，22παβ-=-，∴24απβ+=，则2cos αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为2.本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．34π+【分析】首先确定梯形的几何特征，然后结合数量积的几何意义确定点P 的范围，最后求解其面积即可.【详解】如图所示，△ABE 中，2AB =,60ABE ∠=，90BAE ∠=，,C D 分别为边,AE BE 的中点，则梯形ABCD 即为满足题意的图形，以AB 为直径的圆G 及其内部的点满足·0PA PB ≤，则图中的阴影部分为满足题意的点P 所在区域.其中△BFG 为边长为1的等边三角形，其面积11311sin 602S =⨯⨯⨯=，扇形AGF 是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为()221133S ππ=⨯⨯=，综上可得：点P 所在区域的面积是12S S +=3π+【点睛】本题主要考查平面几何知识，三角形面积公式，扇形面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．A【解析】因为a>b,所以a>b-1成立；反之不成立．a>b-1是a>b 成立的必要不充分条件14．C【解析】试题分析：因为S 19>0，S 20<0，所以10,0a d ><，且10110,0a a ><所以，128910110a a a a a a >>>>>>>12891011S S S S S S <<<< 所以，8910121289100S S S S S a a a a a <<<<<< 当1119n ≤≤时，0n nS a < 所以，3191212319,,,,S S S S a a a a 中最大项为1100S a ，故选C ．考点：等差数列．15．D【解析】解：因为选项A 中，投影垂直时，原来的直线不一定垂直，错误选项C 中，投影相交则原来直线不可能重合，错误．选项D 中，投影平行，则原来直线可能相交，错误．选B16．C【解析】试题分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点时的值，再研究点P 从点向点运动时的变化规律，由此即可得出正确选项,设边与轴交点为点，由已知可得因而可得，由此正三角形的边长为连接，可得即则，由图可知当时，射影取到最小值，其大小为由此可排除选项；又当点P 从点向点运动时，变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图像趋于平缓，由此可排除，故选．考点：1、函数的综合应用；2、、排除法；3、特殊值法．17．(1)63π. 【分析】（1）连结BD ，易知BD 为棱锥的高，结合棱锥的特征计算可得四棱锥的体积S ABCD V -=. （2）解法一：取AB 中点E ，连结ME 、DE ，由几何体的特征可知EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，计算可得3DME π∠=，即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π. 解法二：如图以D 为原点，建立空间直角坐标系，结合点的坐标可得31,442DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ 1,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,22SB ⎛= ⎝，则1,2cosDM SB =-，异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π. 【详解】（1）连结BD ，SD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ SD BD ⊥， ABCD 为边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，∴ 1BD AB ==，SB = ∴ SD =AC =，∴ 122ABCD S BD AC =⨯⨯=，∴ 1326S ABCD V -=⨯=. （2）解法一：取AB 中点E ，连结ME 、DE ，∴ //ME SB 且12ME SB ==， ∴ EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，又∵ 在Rt SDA 中，SA =∴ 12DM SA ==，同时，2DE =， ∴ DME ∆为等边三角形，∴ 3DME π∠=，即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π.解法二：如图以D 为原点，建立空间直角坐标系，其中Dx DC ⊥，设Dx 与AB 交于点E，则2DE =， ∴1,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又(S ，∴1,42M -⎝⎭，即31,42DM ⎛=- ⎝⎭， ∵ 1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，∴ 31,2SB ⎛= ⎝， ∴ ·,DMSB cosDM SB DM SB =⋅1112-⨯-==-，即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π. 【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，异面直线所成的角的计算，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．(1)答案见解析;(2)1a =，9b =.【解析】【分析】（1）由函数的特征可知1C 对应的函数为()3f x x =，2C 对应的函数为()2xg x =，将不等式进行恒等变形可得k 的取值范围是14k ≤；（2）令()()()32x x g x f x x ϕ=-=-，易知1x ，2x 为函数()x ϕ的零点，结合函数零点存在定理可得1a =，9b =.【详解】（1）1C 对应的函数为()3f x x =，2C 对应的函数为()2xg x =， ()()3022x x kf g x g x k ⎡⎤-<⇔⋅<⎣⎦，则4x k -<对任意()0,1x ∈恒成立， 14,14x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以14k ≤；（2）令()()()32x x g x f x x ϕ=-=-，则1x ，2x 为函数()x ϕ的零点，由于()110ϕ=>，()240ϕ=-<，()939290ϕ=-<，()103102100ϕ=->，则方程()()()x f x g x ϕ=-的两个零点()11,2x ∈，()29,10x ∈，因此整数1a =，9b =.【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数图象的识别，函数零点存在定理及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．（Ⅰ）10x -=，（Ⅱ）(1,2)【详解】（Ⅰ）∵直线l ：202m x my --=经过)2F ， 22m =，得22m =．又1m >，m ∴=故直线l 的方程为10x -=．（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由22222{1m x my x y m=++=消去x 得222104m y my ++-=， ∴212121,282m m y y y y +=-=-．由22281804m m m ⎛⎫∆=--=-+> ⎪⎝⎭，得28m <，由于()()12,0,,0F c F c -，故O 为12FF 的中点．由,GH 分别为1212,AF F BF F ∆∆的重心，可知1122,,,3333x y x y G H ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵原点O 在以线段GH 为直径的圆内，()1212109x x y y ∴+<．而()222212121212112282m m m x x y y my my y y m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21082m -<，即24m <．又1m >且>0∆，12m ∴<<．m ∴的取值范围是()1,2．20．(1)见解析;(2)max 2S =分钟.【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当04πα≤≤时，111224S tan tan παα⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当04πα<<时，111324S tan tan παα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当1tan α=时，2max S =（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点G 被照到的时间为2分钟.【详解】（1）当04πα≤≤时，E 在AB 上，F 在BC 上111224S tan tan παα⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当04πα<<时，E 、F 都在AB 上，111324S tan tan παα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）当04πα≤≤时，11212S tan tan αα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由于[]0,1tan α∈，所以当1tan α=时，2max S =（3）在“一个来回”中，OE 共转动了33242ππ⨯=，其中点G 被照到时，OE 共转动了263ππ⨯=，点G 被照到的时间为39232t ππ⎛⎫=⨯÷=⎪⎝⎭分钟. 【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．(1)103k ≤≤;(2)21332222n n n ++-+;(3)18-. 【分析】（1）不等式等价于()()31210k k --≤，据此分类讨论可得不等式的解集为103k ≤≤；（2）由题意可得125a a +=，3410a a +=，则123415a a a a +++=，同理分组求和可得212332222n n S n n +=+-+；（3）由题意讨论可知 n T 的最大值必为{}n T 的偶数项，且当n 为偶数时（4n ≥）时，20n n T T --<，据此可知()218n max T T ==-. 【详解】（1）∵ ()10f ≤即()132320k k k k -++⋅<， ∴()()13120k k --≤即()()31210k k --≤， 310210k k -≤⎧⇒⎨-≥⎩或310210k k -≥⎧⎨-≤⎩∴ 103k ≤≤；（2）由()0f x ≤即()()320k x k x --≤的解集为[]212,k k a a -，∴ 2122123232kk k k k k a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴ 1k =时，1123125a a +=⋅+=，2k =时，23432210a a +=⋅+=，∴ 123451015a a a a +++=+=，212342n n S a a a a a =+++++ ()()()1234212n n a a a a a a -=++++++()()()1231232232n n =⋅++⋅+++⋅+ ()()12312222n n =+++++++ ()()2121213332221222n n n n n n +-+=⋅+=+-+-；（3）12n n T b b b =+++，2n ≥时，()11132n n n n n T T b n --==-⋅， n 为奇数时，10n n T T --<，即32T T <，54T T <，76T T <，…，1n n T T -<，…， n 为偶数时，10n n T T -->，即21T T >，43T T >，65T T >，…，1n n T T ->…，∴ n T 的最大值必为{}n T 的偶数项，故当n 为偶数时（4n ≥）时，21n n n n T T b b ---=+ ()11131232n n n n -=-+-⨯⨯ ()10312n n n n +=-<-⨯， ∴ n 为偶数时，{}n T 为递减数列，∴ ()22111323228n max T T ==-+=-⋅⋅⋅. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列求和的方法，数列中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

上海市2018-2019学年大同中学高三上学期数学期中考试(解析版)

上海市2018-2019学年大同中学高三上学期数学期中考试一、选择题（本大题共4小题）1.下列命题中的假命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】解：对于A，，则，，正确对于B，，则，，正确对于C，，，正确；对于D，，，不正确，故选：D．正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．本题考查不等式的性质，考查命题的真假判断，属于中档题．2.将曲线沿x轴正方向移动1个单位，再沿轴负方向移动2个单位，得到曲线C，在下列曲线中，与曲线C关于直线对称的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：将曲线沿x轴正方向移动1个单位，得到，再沿y轴负方向移动2个单位，得到曲线C，则曲线C的方程为：，曲线C关于直线对称的是．故选：B．将曲线沿x轴正方向移动1个单位，得到，再沿y轴负方向移动2个单位，得到曲线C：，由此能求出曲线C关于直线对称的函数．本题考查函数的解析式的判断，考查函数的平移和对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3.甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的A. 充分但不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】D【解析】解：由x是第一象限的角，不能得到是增函数，反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角．故甲是乙的既不充分又不必要条件．故选：D．由正弦函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题．4.已知等比数列的前n项和为，则下列判断一定正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】解：反例，，，，则；B.反例，，，，则；C.反例同B反例，；故选：D．A.反例，，，，即可判断出正误；B.反例，，，，即可判断出正误；C.反例同B反例；进而判断出D的正误．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的递增区间是______．【答案】【解析】解：函数的递增区间，即函数在时的减区间，而函数在时的减区间为，故答案为：．函数的递增区间，即函数在时的减区间，利用绝对值函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，根式函数、含绝对值的函数的性质，属于中档题．6.已知函数是偶函数，实数a的值是______．【答案】1【解析】解：函数是偶函数，即，则有，变形可得：恒成立，必有；故答案为：1．根据题意，由偶函数的定义可得，即，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．7.已知角在第四象限，且，则的值是______．【答案】【解析】解：在第四象限，，，由，得，与联立，可得，．．故答案为：．由已知结合平方关系求得，的值，然后利用两角和的余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的余弦，是基础题．8.函数的图象相邻的两对称轴之间的距离是______．【答案】【解析】解：函数，函数的图象相邻的两对称轴之间的距离是．故答案为：．推导出函数，由此能求出函数的图象相邻的两对称轴之间的距离．本题考查函数图象相邻的两对称轴之间的距离的求法，考查行列式的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】解：圆锥的底面半径为4，高为3，母线长为5，圆锥的侧面积为：，故答案为：．首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．10.设集合，集合，且，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：或，则或，对于A，且，时，，成立，符合题意，时，或，不会成立，不符合题意，时，或，要使成立，必有，则a的范围是，综合可得，a的取值范围为，即；故答案是：．解可得集合B，对于A，先将转化为且，分，，三种情况讨论，求出集合A，判断是否成立，综合可得a的范围，即可得答案本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．11.若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点：，椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，可得，解得．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，即可列出方程求解即可．本题考查椭圆的简单性质，抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.理在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的面积等于______．【答案】【解析】解：可得，所以，因为，所以，，所以三角形的面积为：．故答案为：利用转化为余弦定理，求出A的余弦值，通过，求出bc的值，然后求出A的正弦，即可求出三角形的面积．本题是基础题，考查余弦定理的应用，向量的数量积，三角形的面积的求法，考查计算能力，转化思想．13.已知数列的首项，数列为等比数列，且，又，则______．【答案】4036【解析】解：数列的首项，数列为等比数列，且，又，，则．故答案为：4036．数列的首项，数列为等比数列，且，又，可得：，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.在的表格填上数字，设在第i行第j列所组成的数字为，，，则表格中共有5个1的填表方法种数为______．【答案】326【解析】解：根据题意，在的表格中，有5个的表格，即、、、、，10个的表格，10个的表格；要求的表格种恰有5个1，则对1出现的位置分3种情况讨论：、5个1都出现在即、、、、这5个表格中，有1种情况；、有1个1出现在、、、、这5个表格中，剩余4个1在其他位置，需要先在、、、、这5个表格中，选出1个，有种情况，在剩下的10个表格中，任选2个，有种情况，则有种填表方法；、有3个1出现在、、、、这5个表格中，剩余2个1在其他位置，需要先在、、、、这5个表格中，选出3个，有种情况，在剩下的10个表格中，任选1个，有种情况，则有种填表方法；则一共有种填表方法；故答案为：326．根据题意，按数字1出现的位置分三种情况讨论，、5个1都出现在即、、、、这5个表格中，、有1个1出现在、、、、这5个表格中，剩余4个1在其他位置，、有3个1出现在、、、、这5个表格中，剩余2个1在其他位置，分别求出每种情况下填表方法的数目，进而由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，关键是正确理解题意的要求，进而进行分类讨论．15.已知O是正三角形ABC内部的一点，，则的面积与的面积之比为______．【答案】【解析】解：，则变为，如图D，E分别是对应边的中点由平行四边形法则知，故由于三角形ABC是等边三角形，故又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半所以的面积与的面积之比为；故答案为：．对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究本题考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义，本题中把两个三角形的面积都用三角形ABC的面积表示出来．16.已知函数，任取，记函数在区间上的最大值为，最小值为，，则函数的值域为______．【答案】【解析】解：，其周期，区间的长度为，又在区间上的最大值为，最小值为，由正弦函数的图象与性质可知，当时，，取得最小值；当时，取得最大值；函数的值域为故答案为：利用正弦函数的周期公式可得其周期，区间的长度为，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数，的值域．本题考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且求C的大小；求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【答案】解：可得：即：．由正弦定理可知：，，，，，可得，C是三角形内角，．由余弦定理可知：，得又，，即：．当时，取到最大值为．【解析】利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可．由余弦定理以及基本不等式求解最值即可．本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD四边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点．Ⅰ证明：直线平面OCD；Ⅱ求异面直线AB与MD所成角的大小；Ⅲ求点B到平面OCD的距离．【答案】解：方法一综合法取OB中点E，连接ME，NE，，又，平面平面平面OCD，为异面直线AB与MD所成的角或其补角作于P，连接MP平面ABCD，，，，所以AB与MD所成角的大小为．平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作于点Q，，，平面OAP，．又，平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，，，，所以点B到平面OCD的距离为．方法二向量法作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：0，，0，，，，0，，0，，，，设平面OCD的法向量为y，，则，即取，解得4，，平面OCD．设AB与MD所成的角为，，，AB与MD所成角的大小为．设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量4，上的投影的绝对值，由，得所以点B到平面OCD的距离为．【解析】方法一：取OB中点E，连接ME，NE，证明平面平面OCD，方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到平面OCD；，为异面直线AB与MD所成的角或其补角作于P，连接MP平面ABCD，菱形的对角相等得到，利用菱形边长等于1得到，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函数定义求出即可．平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作于点Q，，，平面OAP，，又，平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求出距离可得．方法二：分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示出A，B，O，M，N的坐标，求出，，的坐标表示设平面OCD的法向量为y，，则，解得，平面OCD设AB与MD所成的角为，表示出和，利用求出叫即可．设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由，得所以点B到平面OCD的距离为．培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或者公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【答案】解：由题意知，当时，，即，解得或，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；当时，；当时，；；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族S中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少．【解析】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．由题意知求出时x的取值范围即可；分段求出的解析式，判断的单调性，再说明其实际意义．20.已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点．求椭圆和抛物线的方程；设点P为抛物线准线上的任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值；若直线AB交椭圆于C，D两点，，分别是，的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．【答案】解：设椭圆和抛物线的方程分别为和，，中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点．，解得，，，椭圆的方程为，抛物线的方程为．证明：设，过点P与抛物线相切的直线方程为，由，消去x得，由得，，即，．解：设，由得，，则，，直线BA的方程为，即，直线AB过定点．以A为切点的切线方程为，即，同理以B为切点的切线方程为，两条切线均过点，，则切点弦AB的方程为，即直线AB过定点设P到直线AB的距离为d，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，，，由，得，时恒成立．．由，得，恒成立．．．当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时，，，．综上，有最小值．【解析】由中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点，列出方程，能求出椭圆和抛物线的方程．设，过点P与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立可得，由及其根与系数的关系即可证明为定值．设，由得，，可得，，直线BA的方程为，即直线AB过定点以A为切点的切线方程为，同理以B为切点的切线方程为，由两条切线均过点，可得切点弦AB的方程为，即直线AB过定点设P到直线AB的距离为d，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，，，直线方程与抛物线方程联立可得：，时恒成立利用根与系数的关系、弦长公式可得当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为，可得，由此能求出的最小值．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：；存在实数M，使得成立．数列、中，、2，3，4，，判断、是否具有“性质m”；若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，求证：数列具有“性质m”；数列的通项公式对于任意，数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求整数t的值．【答案】解：在数列中，取，则，不满足条件，所以数列不具有“m性质”；分在数列中，，，，，，则，，，所以满足条件；2，3，4，满足条件，所以数列具有“性质m”分因为数列是各项为正数的等比数列，则公比，将代入得，，解得或舍去，分所以，，分对于任意的，，且分所以数列数列具有“m性质”分且分由于，则，，由于任意且，数列具有“性质m”，所以即，化简得，分即对于任意且恒成立，所以分由于及，所以即时，数列是单调递增数列，且分只需，解得分由得，所以满足条件的整数t的值为2和3．经检验不合题意，舍去，满足条件的整数只有分【解析】利用数列具有“性质m”的条件对、2，3，4，判断即可；数列是各项为正数的等比数列，则公比，将代入可求得q，从而可求得，及，分析验证即可；由于，可求得，，利用任意且，数列具有“性质m”，由可求得，可判断时，数列是单调递增数列，且，从而可求得，于是有，经检验不合题意，于是得到答案．本题考查等差数列与等比数列的综合，考查理解新概念与分析运算能力，考查函数的单调性，考查创新思维与综合运算能力，属于难题．。

上海市大同中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

上海市大同中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．3．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.4．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．5．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈6．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．已知1cos()62πα-=，则cos cos()3παα+-=（）A ．12B ．12± C．2 D．2±8．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D109．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||||PF PA 的值最小时，PAF ∆的面积为（）B.2C.D. 4【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等于__________.15．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（）A．5- BC．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

上海市大同中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

上海市大同中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（） A ．15- B ．15C ．-5D ．52．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（）A ．35B ． 36C ．120D ．1213．已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （）A ．1-B ．C ．1-或D ．1-或2- 4．10y -+=的倾斜角为（）A ．150B ．120C ．60 D ．30 5．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（）A ．{2,1,1}--B ．{1,1,2}-C ．{1,1}-D ．{2,1}--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．6．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥7．已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN << 8．如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°10．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D11．已知双曲线和离心率为4sinπ的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（） A ． B ．25 C ．26 D ．2712．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为． 14．函数的最小值为_________.15．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是．16．在空间直角坐标系中，设)1,3(，m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m . 三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高三(下)3月月考数学试卷

2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高三（下）3月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合U=R.集合M={y|y=2x .x∈R}.集合N={x|y=lg （3-x ）}.则（∁U M ）∩N=___ ．2.（填空题.3分）已知幂函数f （x ）过点 (2，√2) .则f （x ）的反函数为f -1（x ）=___ ．3.（填空题.3分）直线 {x =1+ty =1−2t(t ∈R ) 的倾斜角是___ ．（用反三角表示） 4.（填空题.3分）行列式 |42k−354−11−2| 中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10.则k=___ ．5.（填空题.3分）等差数列{a n }中.已知a 1=-12.S 13=0.使得a n ＞0的最小正整数n 为___ ．6.（填空题.3分）若x.y 满足 {x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 .则目标函数z=x+2y 的最大值为___ ．7.（填空题.3分）已知无穷数列{a n }前n 项和 S n =13a n −1 .则数列{a n }的各项和为___ 8.（填空题.3分）已知正实数x.y 满足xy+2x+y=4.则x+y 的最小值为___ ．9.（填空题.3分）某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题.他预测同学第一题正确的概率为0.8.两题全对的概率为0.6.则汪老师预测第二题正确的概率为___ ． 10.（填空题.3分）设抛物线y 2=x 的焦点为F.点M 在抛物线上.线段MF 的延长线与直线 x =−14 交于点N.则 1|MF|+1|NF| 的值为___ ．11.（填空题.3分）函数 f (x )=2sin (2ωx +π6)(ω＞0) 图象上有两点A （s.t ）.B （s+2π.t ）（-2＜t ＜2）.若对任意s∈R .线段AB 与函数图象都有五个不同交点.若f （x ）在[x 1.x 2]和[x 3.x 4]上单调递增.在[x 2.x 3]上单调递减.且 x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2) .则x 1的所有可能值是___ 12.（填空题.3分）在实数集R 中.我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的.我们在平面向量集D= {a ⃗|a ⃗=(x ，y)，x ∈R ，y ∈R} 上也可以定义一个称为“序”的关系.记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量 a 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1，y 1)，a 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2，y 2) . a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ 当且仅当“x 1＞x 2”或“x 1=x 2且y 1＞y 2”．按上述定义的关系“＞”.给出如下四个命题：① 若 e 1⃗⃗⃗⃗=(1，0)，e 2⃗⃗⃗⃗ =（0.1）. 0⃗⃗=(0，0) 则 e 1⃗⃗⃗⃗＞e 2⃗⃗⃗⃗ ＞ 0⃗⃗ ； ② 若 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗，a 2⃗⃗⃗⃗⃗＞a 3⃗⃗⃗⃗⃗ .则 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 3⃗⃗⃗⃗⃗ ；③ 若 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ .则对于任意 a ⃗∈D . a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a ⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗ ； ④ 对于任意向量 a ⃗＞0⃗⃗ . 0⃗⃗=(0，0) .若 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ .则 a ⃗•a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a ⃗•a 2⃗⃗⃗⃗⃗ ．其中真命题的序号为___ ．13.（单选题.3分）已知a.b 是实数.则“a+b ＞5”是“ {a ＞2b ＞3 ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合.则这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数.其中与f （x ）=sinx+cosx 构成“互为生成”函数的为（） A.f 1（x ）=sinxB.f 2（x ）= √2 sinx +√2C. f 3(x )=√2(sinx +cosx )D. f 4(x )=√2cos x2(sin x2+cos x2)15.（单选题.3分）如图.右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是（）A.B.C.D.16.（单选题.3分）已知满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域面积为S1.满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域的面积为S2.其中[x].[y]分别表示不大于x.y的最大整数.例如[0.4]=0.[1.6]=1.则.S1与S2的关系是（）A.S1＜S2B.S1=S2C.S1＞S2D.S1+S2=π+317.（问答题.0分）如图.圆柱的轴截面ABCD为正方形.O'、O分别为上、下底面的圆心.E为上底面圆周上一点.已知∠DO'E=60°.圆柱侧面积等于64π．（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线BE与DO所成角θ的大小．18.（问答题.0分）已知向量a⃗=(sinx，cosx)，b⃗⃗=(6sinx+cosx，7sinx−2cosx) .设函数f(x)=a⃗•b⃗⃗．（1）求函数f（x）在x∈[0.2π]的单调递增区间；（2）在∠A为锐角的△ABC中.A.B.C的对边分别为a.b.c.若f（A）=6.且△ABC的面积为3. b+ c=2+3√2 .求a的值．19.（问答题.0分）如图.A.B.C三地有直道相通.AB=5千米.AC=3千米.BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地.经过t小时.他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB.速度为5千米/小时.乙的路线是ACB.速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地．（1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t≤1时.求f （t ）的表达式.并判断f （t ）在[t 1.1]上的最大值是否超过3？说明理由．20.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy 中．椭圆C ： x 22 +y 2=1的右焦点为F.直线为l ：x=2（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程．（2）过点F 作直线交椭圆C 于点A.B.又直线OA 交l 于点T.若 OT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求线段AB 的长；（3）已知点M 的坐标为（x 0.y 0）.x 0≠0.直线OM 交直线x 0x2+y 0y=1于点N.且和椭圆C 的一个交点为点P.是否存在实数λ.使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？.若存在.求出实数λ；若不存在.请说明理由．21.（问答题.0分）若数列各项均非零.且存在常数k.对任意n∈N *.a n+12=a n a n+2+k 恒成立.则成这样的数列为“类等比数列”.例如等比数列一定为类等比数列.则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能.请举例；若不能.说明理由；（2）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.是否存在常数λ.使得a n +a n+2=λa n+1恒成立？（3）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.k=a 2+b 2.求S 1+S 2+…+S 2019．2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高三（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合U=R.集合M={y|y=2x.x∈R}.集合N={x|y=lg（3-x）}.则（∁U M）∩N=___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0]【解析】：求出集合的等价条件.根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】：解：M={y|y=2x.x∈R}={y|y＞0}.N={x|y=lg（3-x）}={x|3-x＞0}={x|x＜3}则∁U M={y|y≤0}．则（∁U M）∩N={y|y≤0}．故答案为：（-∞.0]【点评】：本题主要考查集合的基本运算.求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.（填空题.3分）已知幂函数f（x）过点(2，√2) .则f（x）的反函数为f-1（x）=___ ．【正确答案】：[1]x2（x≥0）【解析】：设幂函数f（x）=xα.（α为常数）．由于幂函数f（x）过点(2，√2) .代入解得α= 1.可得f（x）= √x .由y= √x解得x=y2.把x与y互换即可得出反函数．2【解答】：解：设幂函数f（x）=xα.（α为常数）．∵幂函数f（x）过点(2，√2) .．∴ √2=2α .解得α=12∴f（x）= √x .由y= √x解得x=y2.把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f-1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．【点评】：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义.属于基础题．3.（填空题.3分）直线 {x =1+ty =1−2t (t ∈R ) 的倾斜角是___ ．（用反三角表示）【正确答案】：[1]π-arctan2【解析】：根据直线的参数方程写出直线普通方程.易得其斜率.从而求得倾斜角．【解答】：解：由直线 {x =1+ty =1−2t (t ∈R ) 得到该直线普通方程为：2x+y-3=0．故k=-2．所以其倾斜角为：π-arctan2．故答案为：π-arctan2．【点评】：本题主要考查了直线的参数方程.直线的倾斜角.属于基础题．4.（填空题.3分）行列式 |42k−354−11−2| 中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10.则k=___ ．【正确答案】：[1]-14【解析】：根据余子式的定义可知.在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j 为M 21.求出其表达式列出关于k 的方程解之即可．【解答】：解：由题意得M 21=（-1）3 |2k1−2| =2×2+1×k=-10 解得：k=-14．故答案为：-14．【点评】：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义.会进行矩阵的运算.是一道基础题． 5.（填空题.3分）等差数列{a n }中.已知a 1=-12.S 13=0.使得a n ＞0的最小正整数n 为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得S 13=13a 7=0.可得a 7=0.进而可得等差数列{a n }的前6项为负数.第7项为0.从第8项开始为正数.可得答案．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得S 13=13(a 1+a 13)2 = 13×2a 72=13a 7=0. ∴可得a 7=0.又a 1=-12.∴等差数列{a n }的前6项为负数.第7项为0.从第8项开始为正数. ∴使得a n ＞0的最小正整数n 为：8. 故答案为：8．【点评】：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质.属基础题． 6.（填空题.3分）若x.y 满足 {x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 .则目标函数z=x+2y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：作出不等式对应的平面区域.利用线性规划的知识.通过平移即可求z 的最大值．【解答】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y 得y=- 12 x+ 12 z. 平移直线y=- 12 x+ 12 z.由图象可知当直线y=- 12 x+ 12 z 经过点B 时. 直线y=- 12 x+ 12 z 的截距最大. 此时z 最大．由 {x −y =0x +y =2 .解得 {x =1y =1 .即B （1.1）.代入目标函数z=x+2y 得z=2×1+1=3 故答案为：3．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值.利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．7.（填空题.3分）已知无穷数列{a n }前n 项和 S n =13a n −1 .则数列{a n }的各项和为___ 【正确答案】：[1]-1【解析】：若想求数列的前N 项和.则应先求数列的通项公式a n .由已知条件 S n =13a n −1 .结合a n =S n -S n-1可得递推公式 a n =−12a n−1 .因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和.故由公式S= x→∞S n =a11−q =−1 即得【解答】：解：由S n=13a n−1可得：（n≥2）S n−1=13a n−1−1 .两式相减得并化简：a n=−12a n−1（n≥2）.又a1=13a1−1⇒a1=−32.所以无穷数列{a n}是等比数列.且公比为- 12. 即无穷数列{a n}为递缩等比数列.所以所有项的和S=x→∞S n=a11−q=−1故答案是-1【点评】：本题主要借助数列前N项和与项的关系.考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式.并检测了学生对求极限知识的掌握.属于一个比较综合的问题．8.（填空题.3分）已知正实数x.y满足xy+2x+y=4.则x+y的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 2√6−3【解析】：变形利用基本不等式即可得出．【解答】：解：∵正实数x.y满足xy+2x+y=4.∴ y=4−2xx+1（0＜x＜2）．∴x+y=x+ 4−2xx+1 = x+6−(2+2x)x+1=（x+1）+ 6x+1-3 ≥2√(x+1)•6x+1-3= 2√6 -3.当且仅当x+1= 6x+1时.即x= √6−1时取等号．∴x+y的最小值为2√6−3．故答案为：2√6−3．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.属于基础题．9.（填空题.3分）某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题.他预测同学第一题正确的概率为0.8.两题全对的概率为0.6.则汪老师预测第二题正确的概率为___ ．【正确答案】：[1]0.75【解析】：由题意利用相互独立事件的概率乘法公式.求得结果．【解答】：解：他预测同学第一题正确的概率为0.8.两题全对的概率为0.6.设他预测第二题正确的概率为P.则0.8×P=0.6.∴P=0.75.故答案为：0.75．【点评】：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用.属于基础题．10.（填空题.3分）设抛物线y 2=x 的焦点为F.点M 在抛物线上.线段MF 的延长线与直线 x =−14 交于点N.则 1|MF|+1|NF| 的值为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意可得.F （ 14 .0）.准线方程为 x=- 14．过点M 作MH 垂直于准线.垂足为H.准线与x 轴的交点为K.由抛物线的定义可得.|MF|=|MH|.|FK|= 12. 根据△NFK∽△NMH 可得 |FN||MH| = |NF||NF|+|MF| .化简求得 1|MF|+1|NF| 的值．【解答】：解：由题意可得.F （ 14 .0）.准线方程为 x=- 14．过点M 作MH 垂直于准线.垂足为H.准线与x 轴的交点为K.则由抛物线的定义可得.|MF|=|MH|.|FK|= 12.且△NFK∽△NMH ．∴ |FN||MH| = |NF||NF|+|MF| .∴ 12|MF| = |NF||NF|+|MF| .即 12|MF| = |NF||NF|+|MF| .∴2|MF|•|NF|=|NF|+|MF|.两边同时除以|MF|•|NF|可得 1|MF|+1|NF| =2. 故答案为：2．【点评】：本题主要考查抛物线的定义、标准方程.以及简单性质的应用.属于中档题． 11.（填空题.3分）函数 f (x )=2sin (2ωx +π6)(ω＞0) 图象上有两点A （s.t ）.B （s+2π.t ）（-2＜t ＜2）.若对任意s∈R .线段AB 与函数图象都有五个不同交点.若f （x ）在[x 1.x 2]和[x 3.x 4]上单调递增.在[x 2.x 3]上单调递减.且 x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2) .则x 1的所有可能值是___ 【正确答案】：[1] −π6+kπ，k ∈Z【解析】：根据条件求出函数的周期.以及函数的解析式.结合函数的单调性.判断x1=x2- π3.利用函数的最值进行求解即可．【解答】：解：由于|AB|=2π且线段AB与函数图象都有五个不同交点.则2T=2× 2π2ω=2π.即ω=1.则f（x）=2sin（2x+ π6）.由题意得x3-x2= T2 = π2.则x4−x3=x2−x1=23(x3−x2) = 23×π2= π3.即x1=x2- π3.∵若f（x）在[x1.x2]和[x3.x4]上单调递增.在[x2.x3]上单调递减.∴f（x）在x2处取得最大值.即f（x2）=2sin（2x2+ π6）=2.即sin（2x2+ π6）=1.则2x2+ π6=2kπ+ π2.得x2=kπ+ π6.则x1=x2- π3=kπ+ π6- π3=kπ- π6.k∈Z.故答案为：x1=kπ- π6.k∈Z．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.求出函数的解析式是解决本题的关键.综合性较强.有一定的难度．12.（填空题.3分）在实数集R中.我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的.我们在平面向量集D= {a⃗|a⃗=(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系.记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量a1⃗⃗⃗⃗⃗=(x1，y1)，a2⃗⃗⃗⃗⃗=(x2，y2) . a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“＞”.给出如下四个命题：① 若e1⃗⃗⃗⃗=(1，0)，e2⃗⃗⃗⃗ =（0.1）. 0⃗⃗=(0，0)则e1⃗⃗⃗⃗＞e2⃗⃗⃗⃗＞0⃗⃗；② 若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗，a2⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .则a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗；③ 若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .则对于任意a⃗∈D . a1⃗⃗⃗⃗⃗+a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；④ 对于任意向量a⃗＞0⃗⃗ . 0⃗⃗=(0，0) .若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .则a⃗•a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a⃗•a2⃗⃗⃗⃗⃗．其中真命题的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据已知中任意两个向量a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”.逐一判断四个结论的真假.可得答案【解答】：解：∵任意两个向量a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗⇔“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”∵若e1⃗⃗⃗⃗ =（1.0）. e2⃗⃗⃗⃗ =（0.1）. 0 =（0.0）.则e1⃗⃗⃗⃗ ＞e2⃗⃗⃗⃗＞0 .故① 正确；设a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a3⃗⃗⃗⃗⃗ =（x3.y3）.由a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”由a2⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”若“x1＞x2＞x3”.则a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗；若“x1＞x2”.且“x2=x3且y2＞y3”.则“x1＞x3”.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .若“x1=x2且y1＞y2”且“x2＞x3”.则x1＞x3.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .若“x1=x2且y1＞y2”且“x2=x3且y2＞y3”.则x1=x3且y1＞y3.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .综上所述.若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ . a2⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .则a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .所以② 正确设a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a⃗ =（x.y）.则a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗ =（x1+x.y1+y）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗ =（x2+x.y2+y）.由a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”若x1＞x2.则x1+x＞x2+x.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；若x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2.则x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；综上所述.若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .则对于任意a⃗∈D. a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；所以③ 正确（4）设a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a⃗ =（x.y）.由a⃗＞0 .得“x＞0”或“x=0且y＞0”由a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”若“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”.则“xx1=xx2且yy1＜yy2”.所以a⃗• a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a⃗• a2⃗⃗⃗⃗⃗不成立．所以 ④ 不正确综上所述. ① ② ③ 正确. 故答案为： ① ② ③【点评】：本题以命题的真假判断为载体.考查了新定义“》”．正确理解新定义“》”的实质.是解答的关键．13.（单选题.3分）已知a.b 是实数.则“a+b ＞5”是“ {a ＞2b ＞3 ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由“ {a ＞2b ＞3 ”可得“a+b ＞5”.反之不成立.可举反例.即可判断出．【解答】：解：由“ {a ＞2b ＞3”可得“a+b ＞5”.反之不成立.例如：a=1.b=6．因此：则“a+b ＞5”是“ {a ＞2b ＞3 ”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法.考查了推理能力.属于基础题．14.（单选题.3分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合.则这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数.其中与f （x ）=sinx+cosx 构成“互为生成”函数的为（） A.f 1（x ）=sinxB.f 2（x ）= √2 sinx +√2C. f 3(x )=√2(sinx +cosx )D. f 4(x )=√2cos x2(sin x2+cos x2) 【正确答案】：B【解析】：由题意利用新定义.三角恒等变换.化简函数的解析式.再根据三角函数的平移变换规律.得出结论．【解答】：解：∵f（x）=sinx+cosx= √2 sin（x+ π4）.故与f（x）构成“互为生成”函数为 y= √2 sin（x+φ）+k的形式.其中.k、φ∈R．显然.f1（x）=sinx 不满足.故排除A．∵f2（x）= √2 sinx+ √2不满足.B满足条件；∵f3（x）= √2（sinx+cosx）=2sin（x+ π4）.显然.也不满足；∵f4（x）= √2 cos x2（sin x2+cos x2）= √22sinx+ √2• 1+cosx2=sin（x+ π4）+ √22.显然不满足条件.故D不满足．故选：B．【点评】：本题主要考查新定义.三角恒等变换.三角函数的平移问题.属于基础题．15.（单选题.3分）如图.右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：通过简单几何体的三视图的画法法则.直接判断四个选项的正误.即可推出结论．【解答】：解：正视图中.几何体的外轮廓为矩形.但上底面和前侧面的顶点在正视力中应在上底面的中间.故排除BC侧视图中.几何体的外轮廓为矩形.但上底面和右侧面的顶点在正视力中应在上底面的中间.故排除D故选：A．【点评】：本题考查三视图的画出法则.要注意各视图中棱的端点（几何体顶点）的位置.注意排除法.在选择题中的应用.有时起到事半功倍的效果．16.（单选题.3分）已知满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域面积为S1.满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域的面积为S2.其中[x].[y]分别表示不大于x.y的最大整数.例如[0.4]=0.[1.6]=1.则.S1与S2的关系是（）A.S1＜S2B.S1=S2C.S1＞S2D.S1+S2=π+3【正确答案】：A【解析】：先把满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域.满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域表达出来.然后看二者的区域的面积.再求S1与S2的关系．【解答】：解：满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域为一个圆；其面积为：π当0≤x＜1.0≤y＜1时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1.1≤y＜2时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1.-1≤y＜0时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当-1≤x＜0.0≤y＜1时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤y＜1.1≤x＜2时.满足条件[x]2+[y]2≤1；∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形.其面积为：5综上得：S1与S2的关系是S1＜S2.故选：A．【点评】：本题类似线性规划.处理两个不等式的形式中.第二个难度较大.[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解17.（问答题.0分）如图.圆柱的轴截面ABCD为正方形.O'、O分别为上、下底面的圆心.E为上底面圆周上一点.已知∠DO'E=60°.圆柱侧面积等于64π．（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线BE与DO所成角θ的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由题设条件可设圆柱的底面半径为r.则圆柱的高为2r.根据圆柱侧面积等于64π建立方程求出底面半径r.即可求得圆柱的高.进一步求体积即可；（2）连接O′B.可证得角O′BE两异面直线所成的角.在三角形中求之即可．【解答】：解：（1）设圆柱的底面半径为r.由题意.得2πr×2r=64π.解得：r=4.∴V=πr2×2r=128π；（2）连接O′B.由于O′B || DO.∴∠EBO′即为BE与DO所成角θ.过点E作圆柱的母线交下底面于点F.连接FB.FO.由圆柱的性质.得△EFB为直角三角形.四边形EO′OF为矩形.BO′=DO=4 √5 . 由∠DO′E=60°.由等角定理.得∠AOF=60°.∴∠BOF=120°.可解得BF=4 √3 .在Rt△EFB中.BE= √EF2+BF2 = 4√7．由余弦定理.cosθ= BE 2+O′B2−O′E22BE×O′B= 112+80−162×4√7×4√5= 11√3570．∴θ=arccos 11√3570．即异面直线BE与DO所成角θ的大小为arccos 11√3570．【点评】：本题考查圆柱的体积公式以及异面直线所成角的求法.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．18.（问答题.0分）已知向量a⃗=(sinx，cosx)，b⃗⃗=(6sinx+cosx，7sinx−2cosx) .设函数f(x)=a⃗•b⃗⃗．（1）求函数f（x）在x∈[0.2π]的单调递增区间；（2）在∠A为锐角的△ABC中.A.B.C的对边分别为a.b.c.若f（A）=6.且△ABC的面积为3. b+ c=2+3√2 .求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=4 √2 sin（2x- π4）+2．即可得出单调区间．（2）f（A）=6.可得4 √2 sin（2A- π4）+2=6．化为：sin（2A- π4）= √22.解得A．由△ABC的面积为3.解得：bc．再利用余弦定理即可得出．【解答】：解：（1）f（x）=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）=6sin2x+8sinxcosx-2cos2x=3（1-cos2x）+4sin2x-（1+cos2x）=4sin2x-4cos2x+2=4 √2 sin（2x- π4）+2．由2kπ- π2≤2x- π4≤2kπ+ π2.解得：kπ- π8≤x≤kπ+ 3π8.k∈Z．∴[0.2π]∩[kπ- π8 . 3π8+kπ]（k∈Z）=[0. 3π8]∪[ 7π8. 11π8]∪[ 15π8.2π]．（2）f（A）=6.∴4 √2 sin（2A- π4）+2=6．化为：sin（2A- π4）= √22.∴2A- π4 = π4或3π4.解得A= π4.或π2（舍去）．A= π4 .由△ABC的面积为3.∴ 12bcsin π4=3.化为：bc=6 √2．又b+c=2+3 √2 .∴a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bc× √22=10．∴a= √10．【点评】：本题考查了和差公式、倍角公式、余弦定理、三角形面积计算公式、正弦函数的图象与性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．19.（问答题.0分）如图.A.B.C三地有直道相通.AB=5千米.AC=3千米.BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地.经过t小时.他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB.速度为5千米/小时.乙的路线是ACB.速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时.求f（t）的表达式.并判断f （t）在[t1.1]上的最大值是否超过3？说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得t 1=AC v 乙 = 38h.由余弦定理可得f （t 1）=PC=√AC 2+AP 2−2AC •AP •cosA .代值计算可得；（2）当t 1≤t≤ 78 时.由已知数据和余弦定理可得f （t ）=PQ= √25t 2−42t +18 .当 78 ＜t≤1时.f （t ）=PB=5-5t.综合可得当 38 ＜t≤1时.f （t ）∈[0. 3√418].可得结论．【解答】：解：（1）由题意可得t 1= AC v 乙= 38 h.设此时甲运动到点P.则AP=v 甲t 1=5× 38 = 158 千米. ∴f （t 1）=PC= √AC 2+AP 2−2AC •AP •cosA= √32+(158)2−2×3×158×35 = 3√418 千米；（2）当t 1≤t≤ 78时.乙在CB 上的Q 点.设甲在P 点. ∴QB=AC+CB -8t=7-8t.PB=AB-AP=5-5t. ∴f （t ）=PQ= √QB 2+PB 2−2QB •PB •cosB = √(7−8t )2+(5−5t )2−2(7−8t )(5−5t )0.8 = √25t 2−42t +18 .当 78 ＜t≤1时.乙在B 点不动.设此时甲在点P. ∴f （t ）=PB=AB-AP=5-5t∴f （t ）= {√25t 2−42t +18，38≤t ≤785−5t ，78＜t ≤1 ∴当 38 ＜t≤1时.f （t ）∈[0. 3√418]. 故f （t ）的最大值没有超过3千米．【点评】：本题考查解三角形的实际应用.涉及余弦定理和分段函数.属中档题．20.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy 中．椭圆C ： x 22 +y 2=1的右焦点为F.直线为l ：x=2（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程．（2）过点F 作直线交椭圆C 于点A.B.又直线OA 交l 于点T.若 OT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求线段AB 的长；（3）已知点M 的坐标为（x 0.y 0）.x 0≠0.直线OM 交直线x 0x2+y 0y=1于点N.且和椭圆C 的一个交点为点P.是否存在实数λ.使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？.若存在.求出实数λ；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设G （x.y ）.由点G 到点F 和直线l 的距离相等.列出方程.能求出点G 的轨迹方程．（2）由题意得x A =x F =c=1.将x A =1代入 x 22+y 2 =1.能求出AB ．（3）假设存在实数λ满足题意.由已知得OM ： y =y0x 0x .x 0x 2+y 0y =1 .椭圆C ： x 22+y 2=1 .分别联立方程组.能推导出存在实数λ=1.使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】：解：（1）∵椭圆C ： x 22 +y 2=1的右焦点为F.直线为l ：x=2.∴F （1.0）. 设G （x.y ）.∵点G 到点F 和直线l 的距离相等. ∴ √(x −1)2+y 2 =|x-2|. 整理.得y 2=-2x+3．∴点G 的轨迹方程为y 2=-2x+3．（2）∵过点F 作直线交椭圆C 于点A.B.又直线OA 交l 于点T. OT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB⊥x 轴.由题意得x A =x F =c=1. ∴将x A =1代入x 22+y 2 =1.解得|y A |= √22.∴AB= √2 ．（3）假设存在实数λ满足题意. 由已知得OM ： y =y0x 0x . ① .x 0x 2+y 0y =1 . ② .椭圆C ： x 22+y 2=1 . ③由 ① ② .得 x N =2x 0x02+2y 02 . y N =2y 0x02+2y 02 .由 ① ③ .得 x P 2=2x 02x 02+2y 02 . y P 2=2y 02x 02+2y 02 . ∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=x P 2+y P 2 = 2x 02x 02+2y 02+2y 02x 02+2y 02 = 2(x 02+y 02)x 02+2y 02 . OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0x N +y 0y N = 2x 02x 02+2y 02+2y 02x 02+2y 02 = 2(x 02+y 02)x 02+2y 02 ． ∴存在实数λ=1.使得 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【点评】：本题考查点的轨迹方程的求法.考查线段长的求法.考查满足条件的实数是否存在的判断与求法.是中档题.解题时要认真审题.注意椭圆性质的合理运用．21.（问答题.0分）若数列各项均非零.且存在常数k.对任意n∈N *.a n+12=a n a n+2+k 恒成立.则成这样的数列为“类等比数列”.例如等比数列一定为类等比数列.则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能.请举例；若不能.说明理由；（2）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.是否存在常数λ.使得a n +a n+2=λa n+1恒成立？（3）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.k=a 2+b 2.求S 1+S 2+…+S 2019．【正确答案】：【解析】：（1）设这个各项均非零的等差数列为{b n }.b n =dn+b （d 、b 为常数）.利用“类等比数列”的定义.可得k=d 2为常数.即可得出结论；（2）存在常数 λ=a 2+b 2−k ab .使得a n +a n+2=λa n+1恒成立.再进行证明即可；（3）{a 2n-1}和{a 2n }均是公比为-1的等比数列.于是可求S n 的通项公式.再利用周期性求解即可．【解答】：解：（1）设这个各项均非零的等差数列为{b n }.b n =dn+b （d 、b 为常数）. ∵b n+12=b n b n+2+k.∴[d （n+1）+b]2=（dn+b ）[d （n+2）+b]+k.化简得k=d 2为常数. ∴各项均非零的等差数列为“类等比数列”．（2）存在常数 λ=a 2+b 2−k ab .使得a n +a n+2=λa n+1恒成立．证明如下：∵a n+12=a n a n+2+k.∴a n 2=a n-1a n+1+k （n≥2.n∈N *）.∴a n+12-a n 2=a n a n+2-a n-1a n+1.即a n+12+a n-1a n+1=a n a n+2+a n 2.∵a n ≠0.∴等式两边同除以a n a n+1.得a n +a n+2a n+1=a n−1+a n+1a n . ∴ a n +a n+2a n+1=a n−1+a n+1a n = a n−2+a n a n−1=⋯=a 1+a 3a 2 .即当n∈N *时.都有 a n +a n+2=a 1+a 3a 2a n+1 ．∵a 1=a.a 2=b.a n+12=a n a n+2+k.∴ a 3=b 2−k a .∴ a 1+a 3a 2=a+b 2−k a b =a 2+b 2−k ab . ∴对任意n∈N *都有a n +a n+2=λa n+1.此时 λ=a 2+b 2−k ab．（3）由题意可知.a 22=a 1a 3+k=a 1a 3+a 12+a 22.∴a 1（a 1+a 3）=0.∵a 1≠0.∴a 1+a 3=0.∴ a n +a n+2a n+1=a n−1+a n+1a n = a n−2+a n a n−1=⋯=a 1+a 3a 2 =0.即a n +a n+2=0.∴{a 2n-1}和{a 2n }均是公比为-1的等比数列.∴ a n ={a (−1)n−12，n 为奇数b (−1)n 2−1，n 为偶数. ∴ S n ={ 0，n =4k a ，n =4k −3a +b ，n =4k −2b ，n =4k −1 （k∈N *）.故S 1+S 2+…+S 2019=[0+a+（a+b ）+b]×504+a+（a+b ）+b=1010（a+b ）．【点评】：本题考查数列的新定义问题.深刻理解新定义的概念.并结合平时所学是解题的关键.综合性很强.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.属于难题．。

上海市2018届高三5月高考模拟练习(三)数学试题(解析版)

2018年高考数学模拟练习3一、填空题.1. 向量在向量方向上的投影为____________.【答案】.【解析】【分析】根据投影的计算公式进行计算.【详解】向量在向量的投影为，填.【点睛】一般地，向量在向量的投影为，而的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积.2. 已知正数满足，则行列式的最小值为____________.【答案】3.【解析】【分析】行列式为，利用基本不等式可求最小值.【详解】.又，所以，当且仅当时等号成立，故，当且仅当取最小值，即的最小值为，填.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.3. 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间，内，则输入的实数的取值范围是____________.【答案】.【解析】试题分析：流程图表示函数，因为输出的函数值在区间内，所以考点：流程图4. 设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.5. 集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________. 【答案】.【解析】【分析】由是充分条件得，故可求的取值范围.【详解】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，故.填.【点睛】在充分条件和必要条件的判断中，注意数学语言叙述上的差异，比如：是的充分条件指若则是真命题，而的充分条件是则是若则是真命题.6. 已知椭圆的焦点在轴上，一个质点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为_____________.【答案】.【解析】试题分析：据题意，椭圆方程是标准方程，，右焦点为，它到已知直线的距离为，，所以，椭圆方程为.考点：椭圆的标准方程.7. 在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得，解出即可.【详解】由正弦定理可得，故，通分得到，.因为，所以，故即.因为，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.8. 已知数列的首项，其前项和为，若，则____________.【答案】.【解析】先求出的通项，再求的通项.【详解】因为，所以.因为，故，所以，是等比数列，公比为，首项为，故，所以.填.【点睛】一般地，与之间的关系是，我们常常用这个关系实现与之间的转化.9. 某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为____________ (精确到0.01)【答案】6.21.【解析】【分析】先根据北纬的纬线长为得到地球仪的半径及的长度，再利用余弦定理算出球心与连线的夹角的余弦值，利用弧长公式可求球面距离.【详解】设地球仪的球心为，因为北纬的纬线长为，纬线所在的小圆的半径为，所以.又地球仪的半径为，所以，所以之间的球面距离为.【点睛】对于球面上两点间的球面距离的计算，关键是球心与两点的连线的夹角的大小计算，可利用纬线长、纬度及两点所在的经度计算的长度，再利用余弦定理算出的大小.10. 已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数____________.【答案】.【解析】直线过点，抛物线的准线为，根据抛物线几何性质可知到准线的距离与到准线的距离之比为，故而为的中点，设，则可求的坐标，从而得到的值.【详解】设，为抛物线的准线方程，过点分别作准线的垂线，垂足为，则，，所以，所以.设，则，故，解得，故.填.【点睛】圆锥曲线中与焦点或准线有关的问题，可以考虑利用其几何性质来处理.如抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离，椭圆上的点到一个焦点的距离可以转化到另一个焦点的距离，也可以转化到相应准线的距离.11. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称，若的最小值为，且，则实数的取值范围为____________.【答案】.【解析】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.考点：图象的变换，函数的最小值，解不等式.12. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个.【答案】224.【解析】中有1和6，分同在或和不同在或两种情况分类讨论即可.【详解】如果为或为，则余下4个元素无限制，共有种，如果中有1，有6，则共有种，如果中有6，有1，则共有种，综上，共有种，填.【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．二、选择题.13. 函数的反函数是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对给定的函数反解（用表示）即可得到反函数．【详解】令，因，故且，因，故，所以反函数为，其中，故选D．【点睛】求给定函数的反函数，只需反解后互换即得反函数，注意反函数的定义域就是原函数的值域且反解时注意自变量的范围．14. 直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为直线的倾斜角，则根据法向量可得方向向量为，故斜率为，由知，因此可用反三角函数表示倾斜角．【详解】直线的方向向量为，所以其斜率为．设其倾斜角为，则．又，所以，故且，故选B．【点睛】用反三函数表示角时，要注意反三角函数值角的范围：如，，，也要注意所要表示的角的范围，如本题中直线的方向向量若为且，因倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为．15. 已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是( )A. 0B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：记单位圆的圆心为，由于，则与同向，，，可见最小值为，(时，取得最小值)．选C．考点：向量的数量积．16. 已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( )A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．三、解答题.17. 在直三棱柱中，，，.求:(1)异面直线与所成角的大小；(2)直线到平面的距离.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.【详解】(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为，，，所以平面，所以.中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，，可得，直线与平面的距离为.【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18. 已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用可计算的值.（2）可证为上的增函数.【详解】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有，整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.【点睛】求奇函数或偶函数中参数的取值，我们可以利用恒等式或来求.特别地，如果奇函数处有定义，则可利用来求参数的值（注意检验）.19. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】(1)，.(2) 时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解析】【分析】（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.（2）令，则，根据可求最大值.【详解】(1)设为,，，，，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【点睛】如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.20. 已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:.【答案】(1).(2).(3)见解析.【解析】【分析】（1），根据可得，利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程.（2）设点，利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为，利用点在双曲线上又可得为定值，故可得的值.（3）设，切线的方程为:，证明等价于证明，也就是证明，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明.【详解】(1)设的坐标分别为,因为点在双曲线上,所以,即,所以，在中,,,所以，由双曲线的定义可知:，故双曲线的方程为:.(2)由条件可知:两条渐近线分别为；.设双曲线上的点,设的倾斜角为，则，又，所以，故，所以的夹角为，且.点到两条渐近线的距离分别为，.因为在双曲线上,所以，所以. (3)由题意,即证:,设,切线的方程为:.时,切线的方程代入双曲线中,化简得:(，所以，.又，所以.时,易知上述结论也成立.所以.综上,,所以.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于，则（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21. 等差数列和等比数列中，，，是前项和.(1)若，求实数的值；(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中?若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中?若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2) 所有的符合题意的.(3) .【解析】试题分析：(1)数列是等比数列，其前和的极限存在，因此有公式满足，且极限为；(2)由于是正整数，因此可对按奇偶来分类讨论，因此当为奇数时，等比数列的公比不是整数，是分数，从而数列从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列中，而当为偶数时，数列的所有项都在中，设，则，展开有，这里用到了二项式定理，，结论为真；(3)存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于是无理数，会发现数列除第一项以外都是无理数，而是整数，不在数列中，命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．试题解析：（1）对等比数列，公比．因为，所以．２分解方程，４分得或．因为，所以．６分（2）当取偶数时，中所有项都是中的项．8分证: 由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．10分当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中。