非线性回归模型的线性化
回归分析(5)概要
(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量,而不能与未知参数有关。 若模型 1 中的 b 未知,则模型 1 不能线 性化。 可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型,不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
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(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关,而且与误 差项的形式也有关。 例如,模型 3 的误差项为乘性误 差项,可以线性化,而模型 4 的误差 项为加性误差项,不可以线性化。 在对非线性回归模型进行线性化 时,总是假定误差项满足可线性化条
34
具体回归方程为 y 62.349 0.840 x1
5.685 x2 其标准化形式为 0.164 x2
2 0.037 x1
y 62.349 0.164 x1
2 0.785 x1
2018/10/29
35
例10.3 用均匀设计法研究从烤烟 中提取粗蛋白的实验条件。目标变量 y 是提取的蛋白质尝试,三个实验因 子分别为:提取液pH值x1,提取时间 x2的,提取温度x1。 采用U7(73)均匀设计表, 试验安排 与结果如下表:
, xp x
p
原模型化为多元线性回归模型
5
y 0 1 x1
pxp
对模型3,可先两边取对数,得 ln y ln a bx 然后再令
y ln y, 0 ln a, 1 b 原模型化为线性回归模型 y 0 1 x
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由于本例中最好的实验条件是 x1 13.1, x2 48.0, x3 60 根据前述分析,影响蛋白提取浓度的 最主要因素是提取时间,提取时间应 在48h以上;提取液pH值是第二重要 因素, pH 值应比 13.10 再低些;提取 温度应该控制在60º C以上。
03-非线性回归模型的线性化
yˆt aˆxtbˆ
• 用来测量当 xt变化 1%时 yt变化 % • 柯布-道格拉斯生产函数模型就是幂函数模型
Qt Lat Ct eut
• 其中Qt表示生产量,Lt表示生产力投入,Ct表示资本投入 量, ,, 是需要被估计的回归系数
• 请对上述模型线性化
• 若回归系数 1 时,该模型是报酬不变型; • 若回归系数 1 时,该模型是报酬递增型; • 若回归系数 1 时,该模型是报酬递减型。 • 例3-1 • 利用柯布--道格拉斯生产函数模型评价中国台湾农业生产
• 例3-5
(b1<0, b2>0, b3<0)
(6) 生长曲线 (logistic) 模型
yt
k
1 e f (t)ut
k
1 e abtut
美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长,得到了上述数学
模型。生长模型(或逻辑斯谛曲线,Pearl-Reed曲线)常用于描述有机体生
长发育过程。其中k和0分别为yt的上限和下限。
•当a>0,
Lim
t
yt
,k当a>0,b>0,
Lim
t-
yt
0
•曲线有拐点,坐标是 ( Lnb , k,) 但是曲线关于拐点不对称
ae
•对于龚伯斯曲线线性化的前提也是必须知道k的取值,
•线性化过程
yt* Lnb at ut 0 1t ut
其中
yt*
Ln
k yt
1
•案例3-1,3-2,3-3.
yt 0 1xt* ut
变量yt 和xt* 已变换成为线性关系。
(4) 双曲线函数模型
多元非线性回归模型
j表示在其他解释变量保持不变的情况下,
Xj每变化1个单位时,Y的均值E(Y)的变化。
非线性的情况:
(1) ln Yi 1 2 ln X i ui
(2) ln Yi 1 2 X i ui
(3)Yi 1 2 ln X i ui
(4)Yi 1 2 X i 3 X i2 ui
非线性回归模型的线性化
一、双对数模型 二、半对数模型 三、幂函数模型 四、多项式函数模型 五、倒数函数模型
一元线性回归模型
Yi 1 2 X i ui
i=1,2…,n
1表示X每变化一个单位时, 的均值E(Y)的变化。 Y
多元线性回归模型
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui i=1,2…,n
Cobb-Dauglas生产函数
Yi AKi Li e
ui
Q:产出量,K:投入的资本;L:投入的劳动
方程两边取对数:
ln Qi = ln A + ln Ki + ln Li+ui
斜率系数衡量的是被解释变量Y关于解释变量X的弹 性, 表示当L不变时,K每变动百分之一,Y的均值 变动的百分比; 表示当K不变时,L每变动百分之 一,Y的均值变动的百分比。
(二)半对数模型
如果设定的非线性模型为
ln Yi 1 2 X i ui
E (lnYi ) E (lnYi 1 ) Y的均值的相对变化 X i X i 1 X的绝对变化
2
斜率系数 2 衡量的是当变量X的绝对量每发生单位变动 时,引起被解释变量Y平均值的相对变动比率。 令
研究119个发展中国家1960-1985年的GDP增长率与 相对人均GDP之间的关系,考虑建立如下模型:
计量经济学第四章非线性模型
• 3.双对数模型
ln Yi b0 b1 ln Xi i
转换
令Yi
ln
Yi ,
X
i
ln
Xi
计 量
Yi
b0
b1
X
i
i
经 济 学
b1
d d
ln ln
y x
dy / dx /
y x
y / x /
y x
此时斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的相对变化
26
• 在研究产品的价格弹性和需求弹性时经常使用双对数 模型
计 量
第四章 非线性模型
经
济
学
1
在实际分析过程中经常研究两类非线性模型;
• 1.被解释变量与解释变量之间非线性,而被解释变量和参 数仍为线性关系;
•如
计 量 经
Yi
b0
b1 Xi
i
济
学 2.被解释变量和解释变量之间非线性,而被解释变量和
参数之间也是非线性关系
如柯布-道格拉斯生产函数
Y AL K e
销售额X
计
(万元)
量
1.5
经
4.5
济
7.5
学
10.2
15.5
16.5
19.5
22.5
25.5
流通费用率Y (%) 7
4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2
12
• 观察商品流通费用率和销售额的散点图,明显发现 它们呈现非线性变化趋势,可以采用双曲线模型, 利用表中数据进行回归,有下面结果:
计 转换过程: 量
令Zi X i (i 1,2, k)
则经济原多项式模型转换为
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用,比如:在财务中可以用回归分析进行财务预测;在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。
高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容,介绍了求线性回归方程的方法。
但在实际问题中,变量间的关系并非总是线性关系,本文结合本人的教学实践,对教材中的这两部分内容进行适当延伸,谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题,供各位同行在教学时参考。
一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和,即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1,2,3,……)的如下形式:0112233y a a x a x a x =++++,其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现,变量y 是各变量i x 的线性函数。
而有些回归模型不具备这个特点,但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式,我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。
在本文中,我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。
二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是:由已知数据,确定解释变量和预报变量,作出散点图,根据经验,确定回归曲线的类型,然后作适当的代数变换,若变换后散点图体现较好的线性关系,即可将其化成线性形式求解,最后还原到原来的回归曲线。
如果回归曲线可用多种形式表示,可以各自将其线性化后求解,再用相关系数2R 进行拟合效果分析,2R 越大,拟合效果越好,所求的回归方程也就越精确。
三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型:(1)双曲线型,其形式为1a b y x =+,其变换为1y y '=, 1x x'=,变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型,其形式为by ax = ,可以变形为ln ln ln y a b x =+,作变换ln y y '= ,ln x x '= ,变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型,其形式为bxy ae = ,以变形为ln ln y a bx =+,作变换ln y y '=,ln a a '= ,变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型,其形式为ln y a b x =+,作变换ln x x '=,变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表,试建立回归方程表述二者之间的关系。
非线性回归
非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中, 有许多回归模型的被解释变量 y 与解释变量 x 之间的关系都不是线性的,其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系,利用线性回归求解未知参数,并作回归诊断。
如下列模型。
y 01 e x------- ( 1) y01 x2 x 2 p x p -------- (2)yae bx e -------------------- ( 3)yae bx-------------(4)对于(1)式,只需令 x e x即可化为 y 对 x 是线性的形式 y 01 x ,需要指出的是,新引进的自变量只能依赖于原始变量,而不能与未知参数有关。
对于( 2)式,可以令 x 1 = x , x 2 = x 2 , ⋯, x p = x p , 于是得到 y 关于 x 1 , x 2 , ⋯,x p 的线性表达式 y1x12x2pxp对与( 3)式,对等式两边同时去自然数对数,得ln y ln a bx, 令yln y ,ln a ,1b ,于是得到 y 关于 x 的一元线性回归模型:y1x。
对于( 4)式,当 b 未知时,不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化,只能用非线性最小二乘方法求解。
回归模型( 3)可以线性化,而( 4)不可以线性化,两个回归模型有相同的回归函数 ae bx ,只是误差项的形式不同。
(3)式的误差项称为乘性误差项, (4)式的误差项称为加性误差项。
因而一个非线性回归模型是否可以线性化, 不仅与回归函数的形式有关, 而且与误差项的形式有关, 误差项的形式还可以有其他多种形式。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异, 其中乘性误差项 模型认为y t 本身是异方差的,而 l n y t 是等方差的。
加性误差项模型认为y t 是等方差的。
从统计性质看两者的差异, 前者淡化了 y t 值大的项(近期数据)的作用,强化了 y t 值小的项(早期数据) 的作用,对早起数据拟合得效果较好,而后者则对近期数据拟合得效果较好。
非线性回归模型的线性化讲解
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
(2) 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为: Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式,
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 (1)多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为:
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
首先对上式做倒数变换得:
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
15
2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 (1)指数函数模型
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
南开大学计量经济学练习题(含答案)
第1章绪论习题一、单项选择题1.把反映某一总体特征的同一指标的数据,按一定的时间顺序和时间间隔排列起来,这样的数据称为()A. 横截面数据B. 时间序列数据C. 面板数据D. 原始数据2.同一时间、不同单位按同一统计指标排列的观测数据称为()A.原始数据 B.截面数据C.时间序列数据 D.面板数据3.用计量经济学研究问题可分为以下四个阶段()A.确定科学的理论依据、建立模型、模型修定、模型应用B.建立模型、估计参数、检验模型、经济预测C.搜集数据、建立模型、估计参数、预测检验D.建立模型、模型修定、结构分析、模型应用4.下列哪一个模型是计量经济模型( )A.投入产出模型B.数学规划模型C.包含随机变量的经济数学模型D.模糊数学模型二、问答题1.计量经济学的定义2.计量经济学的研究目的3.计量经济学的研究内容习题答案一、单项选择题1.B 2.B 3.B 4.C二、问答题1.答:计量经济学是统计学、经济学、数学相结合的一门综合性学科,是一门从数量上研究物质资料生产、交换、分配、消费等经济关系和经济活动规律及其应用的科学2.答:计量经济学的研究目的主要有三个:(1) 结构分析。
指应用计量经济模型对经济变量之间的关系作出定量的度量。
(2) 预测未来。
指应用已建立的计量经济模型求因变量未来一段时期的预测值。
(3) 政策评价。
指通过计量经济模型仿真各种政策的执行效果,对不同的政策进行比较和选择。
3.答:计量经济学在长期的发展过程中逐步形成了两个分支:理论计量经济学和应用计量经济学。
理论计量经济学主要研究计量经济学的理论和方法。
应用计量经济学将计量经济学方法应用于经济理论的特殊分支,即应用理论计量经济学的方法分析经济现象和预测经济变量。
2一元线性回归模型习 题一、单项选择题1.最小二乘法是指( ) A. 使()∑=-nt ttYY 1ˆ达到最小值 B. 使ˆm in i iY Y -达到最小值C. 使tt Y Y ˆmax -达到最小值 D. 使()21ˆ∑=-n t t t Y 达到最小值2. 在一元线性回归模型中,样本回归方程可表示为( )A. 01i i iY X u ββ=++ B.01ˆˆˆi i iY X e ββ=++C .01ˆˆˆi iY X ββ=+ D.()01i iE Y X ββ=+3.线设OLS 法得到的样本回归直线为01ˆˆi i iY X e ββ=++,以下说法不正确的是( )A .0=∑i e B .0),(≠i i e X COVC .Y Y =ˆD .),(Y X 在回归直线上4.对样本的相关系数γ,以下结论错误的是( )A. γ越接近0, X 与Y 之间线性相关程度高B.γ越接近1,X 与Y 之间线性相关程度高C. 11γ-≤≤D 、0γ=,则X 与Y 相互独立二、多项选择题1.最小二乘估计量的统计性质有( )A. 无偏性B. 线性性C. 最小方差性D. 不一致性E. 有偏性2.利用普通最小二乘法求得的样本回归直线01ˆˆˆi i Y X ββ=+的特点( )A. 必然通过点(,)X YB. 可能通过点(,)X YC. 残差ie 的均值为常数 D. ˆiY 的平均值与i Y 的平均值相等 E. 残差i e 与解释变量i X 之间有一定的相关性3.随机变量(随机误差项)i u 中一般包括那些因素( )A 回归模型中省略的变量B 人们的随机行为C 建立的数学模型的形式不够完善。
第四章 非线性回归模型的线性化讲解
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型,又该如何求解呢?
(一)变量关系非线性问题:
若:(1)、变量
Y 和
X 1 , X K
之间不存在
多元线性随机函数关系
Y 0 1 X 1 K X K
那么我们如何估计出模型中的未知参数呢?
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/08/08 Time: 13:51 Sample: 1980 1996 Included observations: 17 Variable Coefficient C -10.46551 X1 1.021132 X2 1.472202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
(2)可线性化的非线性回归模型: 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系,但是可以转化 为线性函数。例如: 生产函数模型: Y AK L e 转化为: ln Y LnA LnK LnL (3)不可线性化的非线性回归模型: 被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系,而且无法转化 为线性函数。 例如:Y 0 1e 1x1 2 e 2 x2
0.99841 S.D. dependent var 0.029873 Akaike info criterion
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型: 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系,但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如: 根据平均成本与产量为U型曲线理论,总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示,得到总成 本函数模型如下: C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
计量经济学基础_非线性回归模型
第四节 非线形回归模型一、 可线性化模型在非线性回归模型中,有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型,从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计,称这类模型为可线性化模型。
在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。
1.倒数模型我们把形如:u xb b y ++=110;u x b b y ++=1110 (3.4.1) 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。
设:xx 1*=,y y 1*=,即进行变量的倒数变换,就可以将其转化成线性回归模型。
倒数变换模型有一个明显的特征:随着x 的无限扩大,y 将趋于极限值0b (或0/1b ),即有一个渐进下限或上限。
有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律,因此可以由倒数变换模型进行描述。
2.对数模型模型形式:u x b b y ++=ln ln 10 (3.4.2)(该模型是将ub e Ax y 1=两边取对数,做恒等变换的另一种形式,其中A b ln 0=)。
上式lny 对参数0b 和1b 是线性的,而且变量的对数形式也是线性的。
因此,我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。
令:x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型: u x b b y ++=*10* (3.4.3)变换后的模型不仅参数是线性的,而且通过变换后的变量间也是线性的。
模型特点:斜率1b 度量了y 关于x 的弹性:xdx y dy x d y d b //)(ln )(ln 1== (3.4.4) 它表示x 变动1%,y 变动了多少,即变动了1b %。
模型适用对象:对观测值取对数,将取对数后的观测值(lnx ,lny )描成散点图,如果近似为一条直线,则适合于对数线性模型来描述x 与y 的变量关系。
第四章 非线性回归模型的线性化
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型: 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系,但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如: 根据平均成本与产量为U型曲线理论,总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示,得到总成 本函数模型如下: C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
-10.46385643
1.287009777
-8.130362812
1.1E-06
X Variable 1
1.021123591
0.029404208
34.72712407
5.5E-15
X Variable 2
1.471943365
0.239290421
6.151284117
2.5E-05
(2)Eviews3.1结果:
0 =lnA 1 =
2 =
X1=lnK
X2=lnL
新生成的线性回归模型为: Y= 0 +1X1+ 2 X2+
对于非线性模型的解决方法:以生产函数为例
案例分析:见Excel表格
解答: (1)Excel回归 (2)Eviews3.1
(1)EXcel回归结果
回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.99930353 1 0.99860754 8 0.99840862 6 0.02991798 5 17
第四章 非线性回归模型的线性化
陈修兰
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型,又该如何求解呢?
(一)变量关系非线性问题:
若:(1)、变量
4非线性回归模型的线性
变量间的非线性关系 变量非线性 变量与参数非线性(可线性化) 变量与参数非线性(不可线性化) 线性化方法(可线性化模型)
变量替换法 函数变换法 级数展开法
案例分析
第一节 变量间的非线性关系
一般的非线性回归模型的表示形式:
Y f ( X 1 , X 2 , , X k , 0 , 1 , , k ) u
i
ui
当b>0和b<0时的图形如图,Xt与Yt的关系是非线性的。
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
令LnXi = Xi*,则
Yi = a + bXi* + ui
变量Yi和Xi*已变换成为线性关系。
4、S-型曲线模型
Yi 1
*
* 0
1 X 1i 2 X 2i u i
* *
——线性模型
用OLS法估计后,再返回到原模型。若参数:
1 + 2 = 1,称模型为规模报酬不变型; 1 + 2 > 1,称模型为规模报酬递增型;
1 + 2 < 1,称模型为规模报酬递减型。
对于对数线性模型,LnYi = Ln0 + 1 LnX1i + 2 LnX2i + ui ,1和2称作弹
性系数。以1为例:
1
LnY LnX
i 1i
Yi
1
Yi
X 1i X 1i
1
X i Yi Yt X 1 i
Yi / Yi X 1i / X 1i
可转化为线性的非线性回归模型
参数的线性函数。
但是,在众多的经济现象中,分析经济变量之间的关系,
根据某种经济理论和对实际经济问题的分析,所建立的经济模
型往往不符合上面的线性要求,即模型是非线性的,称为非线
性模型(Non-linear Model)。
说明
• 在实际经济活动中,经济变量的关系是复杂的,直接 表现为线性关系的情况并不多见。
例:美国咖啡需求:1970-1980
• 美国咖啡消费(Y)与平均真实零售价格(X) 数据,(X=名义价格/食品与饮料的消费者价 格指数,1967年=100),求咖啡消费函数。
• 散点图:确定函数形式:Y-X; lnY-lnX • 建立模型:lnY=+lnX+i • 参数估计:
lndemandˆ 0.777- 0.253lnprice
一、模型的类型与变换
1、非线性回归模型与变量的直接置换法
当变量是非线性的,参数之间是线性时,可 以利用变量直接代换的方法将模型线性化。
因此,关于解释变量的非线性问题都可以通 过变量置换变成线性问题。
对于以下形式的非线性方程,我们可以直接 进行变量代换转换为线性方程:
Y
0
1
1 X
u
令
X* 1 X
Yi
AX
1 1i
X
2 2i
L
X e k ui ki
对上式两边取对数得到:
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i L k ln X ki ui
令
Yi*
ln Y , 0
ln A, X1*i
ln
X
1i
,
X
* 2i
ln X 2i ,L
,
X
* ki
第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)
(2)利用NLS命令也可以估计可线性化的非线性回归 模型;例如,对于倒数变换模型和对数函数模型,可 以直接键入: NLS NLS Y=C(1)+C(2)/X Y=C(1)+C(2)*log(X)
但迭代估计是一种近似估计,并且参数初始值和误差 精度的设定不当还会直接影响模型的估计结果。因此, 对于可线性化的非线性模型,最好还是将其转化成线 性模型进行估计。
我国国有工业企业生产函数( )。例 例6 我国国有工业企业生产函数(例4续)。例4中曾估计 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数, 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数,现建立 Cobb-Dauglas)生产函数: C-D(Cobb-Dauglas)生产函数: 转化成线性模型进行估计: (1)转化成线性模型进行估计: 在模型两端同时取对数, 在模型两端同时取对数,得: lny=lnA+αlnL+βlnK+ε 因此, Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令 软件的命令窗口中依次键入以下命令: 因此,在Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令: GENR LNY = log(Y) GENR LNL = log(L) GENR LNK = log(K) LS LNY C LNL LNK
例6 我国国有工业企业生产函数(例4续)。例4中曾 估计出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数, 现建立C-D(Cobb-Dauglas)生产函数:
Y = ALα K β eε
(方法1)转化成线性模型进行估计: 在模型两端同时取对数,得:
ln y = ln a + α ln 窗口中点击Procs\ Make Equation; (2)在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归 模型的具体形式: Y= C(1)*(X-C(2))/(X-C(3)) (3)选择估计方法为最小二乘法后点击OK。 说明: (1)在方程描述窗口中点击按纽Options,可以设置迭 代估计的最大迭代次数(Max Iterations)和误差精度 (Convergence),以便控制迭代估计的收敛过程。
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k 1 beatut yt
k 1 beatut yt
ln
k yt
1
ln b at
ut
令yt
ln
k yt
1
,
b
ln b
yt b at ut
此时可用最小二乘法估计b*和a。
钉螺存活率曲线 (生长曲线模型)
把一批钉螺埋入土中,以后每隔一个月取出部分钉螺,检 测存活个数,计算存活率。数据见表。
FOOD
3000
2000
1000
0 0
4000
8000
12000
INCOME 16000 20000
9.0 LOG(FOOD)
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0 LOG(LOG(INCOME))
5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
以1为例
1
yt xt1
线性模型中的回归系数(边际系数)是对数线性回归模型中弹性
系数的一个分量。
应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产 效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力 投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下:
Yˆt
0.035X
1.5 t1
X
0.49 t2
yt ke be at
yt ke be at
曲线的上限和下限分别为k和0 。
当a 0, Limyt k, 当a 0,b 0 , Limyt 0
t
t
曲线有拐点,坐标为 Lnb , k
a e
, 但曲线不对称于拐点。
一般情形,上限值k可事先估计,有了k值,龚伯斯曲线才 可以用最小二乘法估计参数。
是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方 法进行估计。
(1) 幂函数模型(全对数模型)
(b > 1)
(b = -1) (b < -1)
(0<b <1)
(0 > b > -1)
yt axtbeut
b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数,得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut 令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为
非线性回归模型的线性化
有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式 是非线性的,但可以通过适当的变换,转化为线性模 型,然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处 理。称此类模型为可线性化的非线性模型。
对于那些不可线性化的非线性回归模型,例如
Yt 0 1 Xt 1 ut Yt 0e1Xt ut
厦门市贷款总额loan与GDP的关系分析(单位:亿元)
从散点图看,用多项式方程拟合比较合理。
Loant = 0 +1 GDPt + 2 GDPt 2 + 3 GDPt3 + ut
(6) 生长曲线 (logistic) 模型
a>0
a<0
一般f(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + … + an t n,常见形式为f(t) = a0 - a t
T 15
(5)多项式函数模型(1)
一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令xt 1 = xt,xt 2 = xt2,xt 3 = xt3,上式变为
yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
yt ke be at
线性化过程如下:当k给定时,
yt e be at k
k ebe at yt
ln
k yt
be
at
ln ln
k yt
ln
b
at
令y
ln ln
k yt
, b
ln
b
y b at
上式可用最小二乘法估计b* 和 a。
案例:硫酸透明度与铁杂质含量的关系
某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。 经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。 影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。 通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最 主要原因。测量了47个样本,得硫酸透明度(y)与 铁杂质含量(x)的散点图如下:
d ln(ln xt )
1 ln xt
1 xt
dxt
6.2072 dyt yt ln xt dxt xt
6.2072 dyt yt ln xt dxt xt
弹性函数 6.2072 ln xt 。说明人均食品支出对人均收入 的弹性系数是随着城镇人均收入的增加而减少的。 当城镇人均收入1000元水平时,人均收入增加1%, 人均食品支出增加0.8986%;当城镇人均收入16000 元水平时,人均食品支出对人均收入的弹性系数下降 到0.6412%。城镇人均食品支出对人均收入的弹性系数 随着人均收入的提高而递减。
yt存活率(%)
100.0 93.0 92.3 88.0 84. 82.0 48.4 41.0 15.0 5.2 3.5 1.3 0.5
t土埋月数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
100
Y 80
60
40
20
T
0
0
2
4
6
8
10
12
设定yt的上渐近极限值k =101(因 为已有观测值yt =100,所以令k =101更好些。),得估计结果如下:
yˆ t
101 1 0.0134e0.76536.5
34.3
(00)
钉螺存活率样本值与拟合值。
100 Y YF
80
60
40
20
T
0
2
4
6
8
10
12
⑺ 龚伯斯(Gompertz)曲线
英国统计学家和数学家最 初提出把该曲线作为控制 人口增长的一种数学模型, 此模型可用来描述一项新 技术,一种新产品的发展 过程。
yt* = a* + b xt* + ut 变量yt* 和xt* 之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型。
全对数模型的特点是模型弹性系数b为常数。
yt axt eb ut
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut
b d ln yt dyt yt d ln xt dxt xt
回归系数b是被解释变量 yt 与解释变量 xt 的变 化率的比,所以称b为弹性系数。b用来测量当 xt 变化1%时,yt 变化百分之多少。
(4) 双曲线函数模型
1/yt = a + b/xt + ut b>0
yt = a + b/xt + ut b>0
1/yt = a + b/xt + ut 令yt* = 1/yt , xt* = 1/xt,得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式,
yt
1
k e f (t
)ut
1
k ea0 at ut
yt
1
k e a 0 at
ut
1
k beat
ut
b ea0
美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长,得到 了上述数学模型。生长模型(或逻辑斯谛曲线,Pearl-Reed曲线) 常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为yt的上限和 下限。
28个省市自治区19852005年城镇居民人均食品支出(food)与 人均收入(income)的关系
用数据估计模型,得回归结果如下:
ln yˆt 5.8117 6.2072ln(ln xt ) (61.7) (137.3)
R2 0.97 , T 588
由上式,导函数是
6.2072 d ln yt dyt yt
因为1.5 0.49 1.99,所以,
此生产函数属规模报酬
递增函数。当劳动力和
资本投入都增加1%时,
产出增加近2%。
(2) 指数函数模型(半对数模型)
60 50 40 30 20 10
0 -10
50 100 150 200 250 300 350 400
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
以a 0为例, Limyt k,
t
Limyt 0
t
曲线有拐点,曲线的上下两部分对称于拐点
ln b , k a 2
。
为能运用最小二乘法估计参数a, b,必须事先估计出生长曲 线上极限值k(根据所研究的问题,k值是可以事先给定的)。 线性化过程如下。当k给出时,作如下变换,
k yt 1 beatut
Lnyt = Lna + b t + ut
b d ln yt dyt yt yt1 yt
dt
dt
yt
回归系数 b 是近似等于单位时间内的增长率。
Lnyt = Lna + b t + ut称为增长模型。
中国税收增长的定量分析 1990-2006年中国税收(Tax,亿元)数据见中国税收 增长的定量分析.wf1
半对数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。
yt aebxt ut Lnyt = Lna + b xt + ut
b d ln yt dyt yt