平面法向量的求法法向量怎么求
平面法向量的计算公式
平面法向量的计算公式
另一种方法是使用平面上的三个点来计算法向量。
如果平面上
有三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，那
么可以通过向量叉乘来计算法向量。
假设向量P1P2 = v1 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)，向量P1P3 = v2 = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)，则法
向量n = v1 × v2 = (i, j, k)，其中i、j、k分别是向量v1和
v2的分量。
这样得到的法向量n就是平面的法向量。
另一种情况是，如果已知平面的法向量n = (A, B, C)和平面
上一点P(x0, y0, z0)，也可以直接得到平面的方程为Ax + By +
Cz = D，其中D = Ax0 + By0 + Cz0。
这时平面的法向量就是n = (A, B, C)。
综上所述，平面法向量的计算公式可以根据平面的已知信息来
灵活选择使用点法式、向量叉乘或者直接读取法向量的分量来计算。
这些方法都可以帮助我们准确地计算出平面的法向量。
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
平面一般式的法向量
平面一般式的法向量平面一般式是描述平面的一种常用方式，它由一个方程式表示，即ax+by+cz+d=0，其中a、b、c是平面法向量的分量，d是该平面到原点的距离。
因此，要求解平面一般式的法向量，我们可以按照以下步骤来进行。
1. 确定平面两个点的坐标为了求平面的法向量，我们需要先要有平面上的两个不同点，这两个点的坐标可以由给定的方程中随便选取两个未知数，确定另一个未知数的值，从而求得。
2. 求出平面的方向向量通过两点之间的坐标差，我们可以求得平面的方向向量。
令P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)为平面上的两个点，则平面的方向向量V=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
3. 计算平面的法向量平面的法向量垂直于平面，因此可以通过平面的方向向量和任意一条与该向量垂直的直线来计算得到。
假设平面的法向量为N=(a,b,c)，则根据向量的性质有：N·V=0，其中“·”表示向量的点积，即N和V 各个分量的乘积之和。
将这个点积式子代入到平面的一般式方程中，我们就可以得到一个含有三个未知数的方程组，从中解出a、b、c就能得到平面的法向量了。
4. 归一化法向量得到法向量后，为了方便使用，我们通常会对它进行归一化处理。
归一化是将向量长度缩放到1的过程，可以通过以下公式来实现：N=N/||N||，其中“||N||”表示向量N的长度，即√(a²+b²+c²)。
总之，根据平面一般式的定义，我们可以通过以上步骤来求解平面法向量，得到的结果可以用于解决平面相关的问题，如求平面与直线的交点、判断某个点是否在平面上等等。
平面法向量的快速求解方法
平面法向量的快速求解方法
咱先得知道啥是平面法向量。
简单说呢，平面法向量就是跟这个平面垂直的向量。
那咋求它呢？
有一种挺好用的方法哦。
假如说咱们有一个平面，这个平面是由两个不共线的向量确定的，比如说向量a和向量b。
那这个平面的法向量n就可以设成（x，y，z）。
然后呢，根据法向量和这两个向量都垂直的性质来列方程。
啥叫垂直呢？就是它们的点积为0呀。
那就是n·a = 0，n·b = 0。
这就得到了两个方程，像如果向量a =（a1，a2，a3），向量b =（b1，b2，b3），那就有a1x + a2y+ a3z = 0和b1x + b2y + b3z = 0。
这时候咋解呢？宝子们可别慌。
咱们可以给x或者y或者z先随便赋个值。
比如说，咱令x = 1，然后把这个值代入到那两个方程里，就变成了关于y和z的方程组啦。
解这个方程组就能求出y和z的值啦，这样法向量n就求出来了。
还有一种特殊情况呢。
要是这个平面在坐标轴上有特殊的关系，那求法向量就更简单了。
比如说平面平行于某一个坐标轴，那法向量在这个坐标轴方向上的分量就为0。
就像平面平行于x轴，那法向量就是（0，y，z）这种形式，再根据平面上的向量关系求出y和z就好啦。
宝子们，求解平面法向量其实没那么可怕，只要掌握了这些小技巧，就像找到了小捷径一样。
多做几道题，熟练了之后，一看到求平面法向量，心里就有底了，再也不会抓耳挠腮啦。
加油哦，宝子们，数学的小怪兽咱一个个打败！。
平面法向量的求法
.
(2)已知平面的两个向量a (1,3,0),b (3,2,7),
则平面的一个法向量为
.
【探究】
已知A(a,0,0), B(0,b,0),C(0,0, c),
则面ABC的
一个法
向量n为
(
1 a
,
1 b
,
）如图,在矩形ABCD中,点
E,F分别在线段AB,AD上，AE EB AF 2 FD 4
练习：已知平面的两个向量为 a=(1,3,4),b=(2,5,9),
求此平面的一个法向量. 解：设m=(x,y,z)为平面的法向量，则有
a b
m m
0 , 0
即2x x35y y49z z00,
解 得 ： xy
7 z
z
. 令z 1,m (7,1,1)
.
(1)方程法
▪ 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). ▪ 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
A'(2,2,2 2 ), FA' (2,2,2 2 ), FD (6,0,0), DC (0,8,0)
设n ( x, y, z)为面A' FD的法向量，则
n
A' F
nn0令 z((00,,1，2 ,11))
n FD 0
m (0,0,1)为面FDC的法向量，
则 cos m, n m n
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2z
0 0
▪ 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
▪ 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量n的坐标.
(2)含0速算法
平面的法向量求法及简单应用
AE
D1F
(0,1,
) (0, 2
2
, 1)
0.
AE
D1F .
又A D I A E= A , D1F 平面ADE.
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.16
例、已知在空间四边形OABC中，OA BC，
OB AC，求证：OC AB
uuur uuur uuur uuur 证明：由已知 OA B C ，OB AC
uuur uuur uuur uuur 所以 OA BC = 0 , OB AC = 0
uuur uuur uuur
OA ( OC OB ) = 0 uuur uuur uuur
OB ( OC OA ) = 0
uuur uuur uuur uuur
所以 OA OC = OA OB
A
uuur uuur uuur uuur
4
ur
e1
l1
uur
n1
l1 // 1或l1在ur1内uur ur uur e1 n1 e1 n1 0
教材未提
5
l
ur e1
uur n1
ur uur ur uur
l1 1 e1 // n1 e1 n1
教材未提
6
uur n1
1 uur n2
2
1 // 2或1与2u重ur 合uur uur uur
13
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
uAuDuur1
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6。
法向量的求法和其应用
法向量的求法和其应用第一篇：法向量的求法和其应用平面法向量的求法及其应用引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。
其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、平面的法向量→→1、定义：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法ρρϖ方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n=(x,y,1)[或n=(x,1,z)，或n=(1,y,z)]，在平ρρρρρρρ面α内任找两个不共线的向量a,b。
由n⊥α，得n⋅a=0且n⋅b=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可ρ得到n。
方法二：任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
→Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量n=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:为一般式即可求出它的法向量。
xa+yb+zc=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a⨯b 为一长度等于|a||b|sinθ，（θ→→→→为,两者交角，且0<θ<π），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由→的方向转为→的方向时，大拇指所指的方向规定为a⨯b的方向,a⨯b=-b⨯a。
→→→→→→→→x1z1x1y1⎫⎛y1z1⎪,-,设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:a⨯b=yx2z2x2y2⎪⎝2z2⎭（注：1、二阶行列式:M=→→acbd=ad-cb；2、适合右手定则。
平面法向量的求法及其应用
B
又
2 MA ( a,0,0) 2
d
| m MA |
|m|
1 a 2
四
用空间向量解决立体几何 的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直 的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综 合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问 题；（化为向量问题）
求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导(图2-4) ：
①作直线a、b的方向向量，求a、 b的法向量 n ，即此异面直线a、 b的公垂线的方向向量；
B
b
n
A B 图2-4
a
②在直线a、b上各取一点A,B,作 向量 AB ； ③求向量 AB 在 n 上的射影d，则异 面直线a、b间的距离为：
AC PB
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成 二面角的大小 解：以点A为坐标原点建立空 间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0) B(0,2,0) C(1,2,0) D(1,0,0) P(0,0,1)
z P M A By
1 M(0,1, 2)
1 (III ). CM (1,0, ) CA (1,1,0) 2
2 2 2 2 m (a , a , a ) 2 2
2
n (0, 2a 2 , 2a 2 )
m n 0
m n
又 BD1 (
2a,a, a) BA1 (0,a, a)
即平面A1MC⊥平面A1BD1.
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。 解：以点D为坐标原点建立空 间直角坐标系如图所示，则 A( 2a ,0,0 ) B( 2a,a,0)
平面法向量的求法法向量怎么求
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
证明：平面A1AD平面BCC1B1；求二面角ACC1B的正切值．
BD1
．DC2
B1
A1
C1
A B
C
D1
3．如图，正四棱柱ABCDABC111D1中，AA12AB4，A1
5.平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC//
1
AD，
1
1
点E在CC1上且C1E3EC．BE//
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
立体几何中平面法向量的求法
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。
此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。
通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25。
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的 求法及其应用四川省华蓥中学 叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。
1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。
(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。
例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。
求面AMC 的一个法向量。
析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。
说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。
综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2） 说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法向量。
平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。
由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。
其法向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。
、J -1 |tT TJX 1 乙 X 1 y 1设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |y 2 Z2J —X 2 Z 2 JX 2 y 2(注：1、二阶行列式：M=a: =ad_cb ； 2、适合右c d‘手定则。
)例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中， 求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。
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方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
l//ma//bab线线平行
线面平行l//auau0
证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直。
证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直
证明面面平行：在图2-11中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线。
2
mn2
m,ccos().
平面法向量的求法-法向量怎么求
法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用
引言：本节介绍平面法向量的两种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系图D-xyz如图所示.
(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设平面A1BC的法向量为nBCBA1(0,2a2,2a2)
又AD(2a,0,0),nAD0,ADn,即AD//平面A1BC.
五、应用举例：
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D中，E、F分别是BB1、CD的中点. (I)求AE与D1F所成的角(II) (II)证明面AED⊥面A1FD1
|ABn||n|
1
AB=1，M是2
直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-5,直线a与平面
d
ABn|n|
，其中A,Ba。
n是平面的法向量
、平面与平面间的距离:
PB证明：面PAD⊥面PCD；求AC与PB所成的角；
求面AMC与面BMC解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
3、证明ACPB(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PB
5|AC||PB|
111
(III).CM(1,0,)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为mCMCA(,,1).
222
11
又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(,,1).
22
证明线面垂直：在图2-8中,m在向量共线。
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:
方法指导：如图2-7,两平行平面,
(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0)又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)
d
|ABn||n|
，其中A,B。n是平面、的法向量。
mn0，mn，即平面PAD平面PCD。
图2-3
x1z1x1y1y1z1
,,ab
yzx2z2x2y222
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离
(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，
sin|cosn,AB|
一、平面的法向量
1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类，无数条。
2、平面法向量的求法
别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,y,z)，在平面内任找两个不共线
2.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面
ABD1
2
(II).MC(a,0,a)
2
,
2
MA1(a,a,0)
2
,设平面A1MC的法向量为:
mMCMA1(a2,
2222a,a), 22
2
2
B
D
E
又BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设平面A1BD1的法向量为: nBD1BA1(0,2a,2a),