平面法向量的求法法向量怎么求

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法向量求法及应用方法

法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。

一、法向量的求法：

1.平面的法向量：

平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。

2.曲面的法向量：

曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。

例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。

而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。

二、法向量的应用方法：

1.曲面法向量的判定：

通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。

2.曲面法向量的插值和平滑：

在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。曲面的法

向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。例如，在曲面细分中，通过计

算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。

3.曲面的切平面和法向量的切线：

对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平

面求得曲线的切向量。切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲

空间平面法向量求法

一、法向量定义

定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

二、平面法向量的求法

1、内积法

在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，

在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的

方程组，解此方程组即可得到。

2、

任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。

Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3

个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

3、外积法

设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两

者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指

由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。

设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=

（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。）

Code

public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,

ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3)

平面方程的法向量怎么求

平面方程的法向量怎么求？

平面方程的法向量求的方法例如:

变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0，平面的法向量为(A,B,C)。证明：设平面上任意两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)

∴满足方程：Ax1+By1+Cz1+D=0，Ax2+By2+Cz2+D=0

∴PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，该矢量满足

A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0

∴矢量PQ⊥矢量(A,B,C)

∴平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)

∴矢量(A,B,C)垂直于该平面

∴平面的法向量为(A,B,C)

高中法向量的求法

在高中数学中，法向量是一个重要的概念。它与向量和平面的关系密切相关，是解决平面几何问题的基础。本文将介绍高中法向量的求法，希望能帮助大家更好地理解和应用这一概念。

一、法向量的定义

法向量是与给定平面垂直的向量。平面上的每个点都可以对应一个法向量，该法向量垂直于该点所在的切平面。在二维空间中，法向量只有一个，而在三维空间中，法向量有无数个。

二、法向量的求法

1. 已知平面的法向量

如果已知平面的一般方程或者点法式方程，可以直接从方程中读取出平面的法向量。一般方程的形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中ABC为法向量的坐标分量。

2. 通过两个向量叉乘求法向量

如果已知平面上的两个不共线向量a和b，可以通过叉乘求出法向量。叉乘的结果是一个新的向量c，它的方向垂直于a和b所在的平面，并符合右手定则。即将右手伸出，让拇指指向向量a的方向，食指指向向量b的方向，剩下的中指的方向就是法向量的方向。

3. 通过点的坐标求法向量

如果已知平面上的三个不共线点A、B、C的坐标，可以通过向量AB和向量AC的叉乘来求得法向量。即向量AB与向量AC做叉乘，得到的向量即为法向量。

三、法向量的性质

1. 法向量与平面上的任意向量都垂直。

2. 平面上的两个不共线向量的叉乘得到的向量是与平面垂直的法向量。

3. 平面上任意两个不共线向量的叉乘得到的向量和平面的法向量平行。

4. 平面上的两个垂直向量的叉乘得到的向量是与平面垂直的法向量。

四、法向量的应用

1. 判断两个平面是否平行或垂直：如果两个平面的法向量平行，则它们平行；如果两个平面的法向量垂直，则它们垂直。

平面法向量的求法

.
(2)已知平面的两个向量a (1,3,0),b (3,2,7),
则平面的一个法向量为
.
【探究】
已知A(a,0,0), B(0,b,0),C(0,0, c),
则面ABC的
一个法
向量n为
(
1 a
,
1 b
,
1
c.)
[应用训练]
1:（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点
E,F分别在线段AB,AD上，AE EB AF 2 FD 4
沿直线EF将 AEF翻成A' EF
,使平面
A'
3
EF
平面BEF
.
（Ⅰ）求二面角A’-FD-C的余弦值；
解:以A为坐标原点，以AD, AB所在直线分别为x, y轴，建系如图： AE EB AF 2 FD 4 A(0,0,0), F(4,0,0), D(10,0,0),C(10,8,0)
3 取EF中点H，连接A' H， AE AF A' H EF, 又面A' EF 面AEF于EF, A' H 面ABCD,
3 ,设二面角的大小为 ,则cos
3 .
mn 3
3
如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的棱长均为4， E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与
点C重合。设二面角C AF E的大小为，

法向量怎么求

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：①n·a=0；②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

法向量的主要应用

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离：任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n 为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

法向量的计算公式

平面的法向量怎么求

建立恰当的直角坐标系；设平面法向量n=（x，y，z）；在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3），b=（b1，b2，b3）；根据法向量的定义建立方程组n·a=0与n·b=0；解方程组，取其中一组解即可。

1平面法向量的具体步骤（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

法向量公式是：

由向量AB和BC可知，当B=(0，0，0)，则A(x1，y1，z1)，C(x2，y2，z2)。

则直线AB：x/x1=y/y1=z/z1，

直线CB：x/x2=y/y2=z2。

因此，过B和直线AB垂直的面方程为：x1x+y1y+z1z=0，

过B和直线CB垂直的面方程为：x2x+y2y+z2z=0，

联立上述两方程可得过B和直线AB，CB都垂直的直线方程：

x/(y2z1-y1z2)=y/(x1z2-x2z1)=z/(x2y1-x1y2)。

即所求法向量为(y2z1-y1z2，x1z2-x2z1，x2y1-x1y2)。

垂直

于一个面的向量就是这个面的法向量先表示出这个面中两个不

平行的向量设法向量n=(x,y,z)然后用n点乘找出的两个向量都等于零得出一个不等式组，里面有三个未知数令x,y,z其中任意一个为1，然后就可以表示出法向量n了，n可以为不同的值。

也可以相反，只要垂直这个面的就行然后任何一个向量与n相乘为O就与n垂直，也就与此面平行如果一个向量可以表示成λn（λ是任意实数，n是刚才的法向量），那么就与n平行，也就与此面垂直。

平面的法向量求法及简单应用

3.
平面的向量表示：
AMgn
r
0
给定一点Ar和一个向量 n ,那么过点
l
r
A,以向量 n 为法向量的平面是完
全确定的.
n
M
A
2
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？
3
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为OAgBC OAg(OC OB)
uuur uuur uuur uuur
O OAgOC OAgOB
uuur uuur
uuur uuur
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
uuur uuur
uuur uuur
D
A
C1
B1
E
F
C
B
15
练习.在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E 、F
分别是 BB1 、CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证uu明ur : r设u正uur方体r 的uu棱uur长为ur 1,
z
D1
C1
DA i, DC j, DD1 k.
A1
建立如图的空间直角坐标系

求平面法向量的简便方式

一、引言

在几何学和向量代数中，平面法向量是一个重要的概念。平面法向量垂直于给定平面的每一点，并且可以用于解决许多几何问题和物理问题。本文将介绍一种简便的方式来求解平面的法向量，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

二、求解思路

要求一个平面的法向量，需要知道平面上的两个线性无关的向量。以下是一种简便的方式来求解平面的法向量：

步骤1：确定两个平面上的点

首先，在给定的平面上选择任意两个不共线的点，记作点A和点B。

步骤2：求得平面上的向量

计算向量AB，并将其记作向量a。

步骤3：求得平面法向量

根据向量a，可以求得平面的法向量n。法向量n垂直于平面上的任意向量，它的方向可以通过向量a叉乘自身得到。

n=a×a

三、示例

为了更好地理解上述求解思路，下面给出一个具体的示例。

假设我们有一个平面，它经过点P(1,2,3)、点Q(4,5,6)和点

R(7,8,9)。我们想要求解这个平面的法向量。

步骤1：确定两个平面上的点

选择点P和点Q作为平面上的两个点。

步骤2：求得平面上的向量

计算向量PQ，并将其记作向量a。

a=Q-P=(4,5,6)-(1,2,3)=(3,3,3)

步骤3：求得平面法向量

根据向量a，可以求得平面的法向量n。

n=a×a=(3,3,3)×(3,3,3)=(0,0,0)

根据计算结果，我们可以得出结论：这个平面的法向量是(0,0,0)。

四、总结

通过以上的步骤，我们可以使用一种简便的方式来求解平面的法向量。首先确定平面上的两个点，然后计算得到两点之间的向量。最后，通过向

量的叉乘得到平面的法向量。这种方法适用于求解二维和三维平面的法向量，并且简单易用。

平面方程求法向量公式

一、平面方程的定义和表示方法

平面是三维空间中的一个二维几何图形，可以由其上的一点和法向量来确定。平面方程是表示平面的一种数学表达式，通常形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。

二、平面方程求法向量的原理

对于平面方程Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，可以通过以下公式求得法向量：

法向量 = (A, B, C)

三、求解法向量的步骤

1. 确定平面方程的系数

给定一个平面方程Ax + By + Cz + D = 0，需要确定A、B、C、D 的值。

2. 提取法向量分量

根据平面方程的一般形式，法向量的分量即为平面方程的系数A、B、C。

3. 得到法向量

将法向量分量A、B、C组合起来，得到平面的法向量。

四、示例

以平面方程2x + 3y - z + 4 = 0为例，我们来求解其法向量。

1. 确定平面方程的系数

根据给定平面方程，可以得到A = 2，B = 3，C = -1，D = 4。

2. 提取法向量分量

根据平面方程的一般形式，法向量的分量即为平面方程的系数A、B、C，即A = 2，B = 3，C = -1。

3. 得到法向量

将法向量分量A、B、C组合起来，得到平面的法向量为(2, 3, -1)。

因此，平面方程2x + 3y - z + 4 = 0的法向量为(2, 3, -1)。

五、总结

通过以上的讲解，我们可以发现，平面方程求法向量的方法其实很简单。只需要根据平面方程的系数，提取出A、B、C的值，然后将其组合起来，就可以得到平面的法向量。这个方法在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

法向量的算法与举例

摘要

高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。

关键词：法向量；矩阵；行列式；速算

一、法向量的定义

如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。

由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。

二、法向量的算法

1、待定系数法求法向量与举例

在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且

，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .

具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论

举例：如果，那么与的法向量为?

解：设，因为，，则，，

得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。

例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．

(1)求证：直线S C∥平面BDE；

证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，

所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.

如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，

法向量的求法和其应用

第一篇：法向量的求法和其应用

平面法向量的求法及其应用

引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

一、平面的法向量

→

1、定义：如果a

⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法

ρρϖ

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n=(x,y,1)[或n=(x,1,z)，或n=(1,y,z)]，在平

ρρρρρρρ

面α内任找两个不共线的向量a,b。由n⊥α，得n⋅a=0且n⋅b=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可ρ得到n。

方法二：任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。

→

Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量n=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:为一般式即可求出它的法向量。

=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a⨯b 为一长度等于|a||b|sinθ，（θ

平面法向量的求法法向量怎么求

A
D
能力提升：
1.四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a (01)).
(Ⅰ)求证：对任意的，都有AC⊥BE；
求直线A1C与DE所成角；
B求直线AD与平面B1EDF所成的角，
求平面BD
1EDF与平面ABCD所成的角B
E
3．四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC平面PDB；
3、证明ACPB(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PB
5|AC||PB|
111
(III).CM(1,0,)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为mCMCA(,,1).
222
11
又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(,,1).
22
证明线面垂直：在图2-8中,m在向量共线。
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:

如何求法向量

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：①n·a=0；②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

如何求法向量

1法向量的主要应用

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离：任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

求平面的法向量

平面的法向量是描述平面方向的一个重要概念。在三维空间中，任意的平面都有一个法向量，它垂直于平面并且指向一个确定的方向。本文将详细介绍平面的法向量，包括法向量的定义、计算方法以及相关应用。

一、法向量的定义

平面的法向量是指垂直于平面的一个向量，在数学中通常用符号n 表示。对于二维平面，法向量n可以有两个方向，但我们通常取与顺时针方向垂直的那个方向作为法向量。对于三维平面，法向量只有一个确定的方向。平面的法向量其实是平面上两个方向垂直向量的叉乘结果。

二、计算方法

下面我们将介绍如何计算平面的法向量。首先，我们需要确定平面上的任意两个非平行的向量A和B。然后，通过向量A和B的叉乘，我们可以得到平面的法向量n。具体计算过程如下：

1. 向量A和向量B的定义：

向量A：A = (x1, y1, z1)

向量B：B = (x2, y2, z2)

2. 通过向量A和向量B计算法向量n：

n = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)

三、应用场景

平面的法向量在几何学以及计算机图形学中有很多应用。以下列举

几个常见的应用场景：

1. 确定平面的方向：

通过计算平面的法向量，我们可以确定平面的方向。法向量指向

的方向是平面的一个重要属性，它可以帮助我们判断物体在平面上的

位置以及平面所处的空间位置。

2. 碰撞检测：

在计算机图形学和物理模拟中，平面的法向量常被用于碰撞检测。通过计算物体与平面的碰撞情况，可以判断物体是否与平面相交或者

相切。

法向量求法及应用方法

法向量是指与平面或曲面相切且垂直于切平面或切曲面的向量。在数

学和物理领域中，法向量的求法和应用非常广泛。本文将介绍法向量的求

法以及在几何学、物理学和计算机图形学中的应用方法。

一、法向量的求法

1.平面的法向量：

给定平面方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，可以直接读取得到。这是最常见也是最简单的求法。

2.曲面的法向量：

对于一般的曲面方程F(x,y,z)=0，其中F是曲面方程的函数，可以

使用梯度算子求解法向量：

-计算曲面方程在其中一点(x0,y0,z0)处的梯度矢量：

∇F(x0,y0,z0)=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)，其中∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z是偏导数。

-梯度矢量就是曲面在该点处的法向量。

3.曲线的法向量：

对于曲线方程F(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t是曲线的参数，可以

使用导数求解法向量：

-对曲线方程求导得到F'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))，其中x'(t)、

y'(t)、z'(t)是曲线的导数。

-导数矢量就是曲线在该点处法向量的方向。

二、法向量的应用方法

1.几何学中的应用：

法向量是几何学中一个重要的概念，它可以用来判断两个平面或曲面

的关系，如判断两个平面是否相交、平行或垂直。在几何图形的旋转、平

移和投影中，法向量也起到了重要的作用。此外，法向量还可以用来计算

曲面的面积和曲线的弯曲性等几何属性。

2.物理学中的应用：

在物理学中，法向量有广泛的应用。例如在力学中，力的方向可以通

过物体表面的法向量来表示。在光学中，光线的传播也可以通过曲面上的

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点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真ຫໍສະໝຸດ Baidu新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
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平面法向量的求法及其应用
引言：本节介绍平面法向量的两种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
3、证明ACPB(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PB
5|AC||PB|
111
(III).CM(1,0,)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为mCMCA(,,1).
222
11
又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(,,1).
22
证明线面垂直：在图2-8中,m在向量共线。
2.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面
ABD1
2
(II).MC(a,0,a)
2
,
2
MA1(a,a,0)
2
,设平面A1MC的法向量为:
mMCMA1(a2,
2222a,a), 22
2
2
B
D
E
又BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设平面A1BD1的法向量为: nBD1BA1(0,2a,2a),
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
l//ma//bab线线平行
线面平行l//auau0
方法指导：如图2-7,两平行平面,
(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0)又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)
d
|ABn||n|
，其中A,B。n是平面、的法向量。
mn0，mn，即平面PAD平面PCD。
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系图D-xyz如图所示.
(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设平面A1BC的法向量为nBCBA1(0,2a2,2a2)
又AD(2a,0,0),nAD0,ADn,即AD//平面A1BC.
五、应用举例：
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D中，E、F分别是BB1、CD的中点. (I)求AE与D1F所成的角(II) (II)证明面AED⊥面A1FD1
图2-3
x1z1x1y1y1z1
,,ab
yzx2z2x2y222
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离
(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，
sin|cosn,AB|
一、平面的法向量
1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类，无数条。
2、平面法向量的求法
别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,y,z)，在平面内任找两个不共线
证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直。
证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直
证明面面平行：在图2-11中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线。
2
mn2
m,narccos().
|ABn||n|
1
AB=1，M是2
直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-5,直线a与平面
d
ABn|n|
，其中A,Ba。
n是平面的法向量
、平面与平面间的距离:
PB证明：面PAD⊥面PCD；求AC与PB所成的角；
求面AMC与面BMC解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。