2015年人教版28.2_解直角三角形(二)(三)提高训练(含答案)

28.2 解直角三角形（二）1.如图1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=3/5，则BD的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1a图1 图２图3 图42，图2在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=____，AD=____.（用根号表示）3.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）4.如图4，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）5.如图5，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(s inα－cosα) D.a(tanβ－tanα)图5 图6 图7 图86.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7.如图7，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）8.如图8,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）(sin44°= 0.6946 ,sin32°)= 0.5299, tan32° = 0.6248)图910.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图1028.2 解直角三角形（三）一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( ) A.已知b=3，∠C=90° B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°2.如图1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32 m,则坡角为_______. 二、课中强化(10分钟训练)1树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是____ m. 2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是______________ (tan40° = 0.8391). 3.如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ， 求乙楼CD 的高.三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( ) A.3310B.33C.3315 D.32.Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________. sinA≈0.666 73.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图45.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）(，，）图56.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图628.2 解直角三角形（二）参考答案1.如图1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是()图1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C2.如图２，在离地面高度 5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:33103353.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB 的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图3解：设EF 为x 米， 在Rt △AEF 中,∠AFE=60°， ∴AE=EF·tan60°=3x ，在Rt △AGE 中,∠AGE=45°， ∴AE=GE·tan45°=GE=8+x. ∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米). 答:旗杆AB 高20.4米.4.如图4，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图4解Rt △AEB 与Rt △AEB′,得AE 与BE 、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案. 解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE,∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2).∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m).答：树高BC 为(4+23) m.5.如图5，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为()图5A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D6.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米. （注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图6解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:127.如图7，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图7解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°，∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.8.如图8,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图8解:继续向东行驶,有触礁的危险. 过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°. 设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BDxBD CD =,∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）. （1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米） （2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图9解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473. 在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554.∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米, （2）如图，在Rt △ABC 中， BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597. 在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558，∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.10.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图10解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xxx x x +12.AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时.28.2 解直角三角形（三）参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )A.已知b=3，∠C=90°B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°解析：一般地，已知两边、已知一个锐角一边、已知一个锐角和两个边的关系或已知三边的关系的直角三角形可解.∴C 正确. 答案：C2.如图-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A 的仰角α＝45°，仪器高CD ＝1.2 m ，测倾仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离DB=9.8 m ，这时旗杆AB 的高为________ m.图1解：过C 点作ＡＢ的垂线，垂足为Ｅ点，在Rt △ACE 中,∠ACE=α=45°,BD=9.8,∴AE=9.8.∴AB=AE+CD=11(m). 答案：113.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m ，下底为10 m ，高为32m,则坡角为_______.解：设坡角为α,则坡度=tanα=3)610(2132=-，∴坡角为60°.答案：60°二、课中强化(10分钟训练)1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是_______________ m.解析：如图，在Rt △ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,AC=35,∴AB=AACcos =10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.答案：152.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.解析：如图所示，作CD ⊥A B ,在Rt △ADC 中,得AD=6,∠ACD=50°，∴CD≈5.03，∴面积为30.18.答案：30.183.如图28-2-3-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB 及∠B.图2解：过D 点作DE ⊥AB 于E 点，设AC=x ，则AE=x.在Rt △BED 中，得到BE=3,又由AB 2=AC 2+BC 2，得（3+x ）2=x 2+27,解得x=3,AB=6, sinB=21,∴∠B=30°.4.如图3，已知线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°，测得乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m ，求乙楼CD 的高.图3解：过点A 作AE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB=β，AB=24,∴BD=38.在Rt △AEC中,∠CAE=α,BD=38,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).三、课后巩固(30分钟训练)1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( )A.3310 B.33 C.3315 D.3解析:如图，∵AC ⊥BD,∴AD=331030cos 5=︒. 答案：A2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.解析:由CD=3,得AB=6,∴sinA≈0.666 7.∴∠A≈41.8°. 答案：41.8°3.如图4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米） 解：过A 作BC 的垂线，垂足为D. 在Rt △ADB 中，∠B=60°， ∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°=33AD. 在Rt △ADC 中，∠C=45°，∴CD=AD. 又∵BC=200，∴BD+CD=33AD+AD=200. ∴AD=331200≈126.8(米).答：这段河宽约为126.8米.4.如图4，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m ，上底宽为16 m ，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图4解：作高AE 、DF ，则BE=4,CF=8. ∴CB=28（米）.5.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图5）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m ）图5解：在Rt △ABD 中,AB=9,∠BAD=18°， ∴BD≈2.9.∴CD=2.4.在Rt △CDE 中,∠DCE=18°, ∴CE≈2.3(米). 答：略.6.如图6，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）图6解：如图，作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,设山高为x 米，在Rt △ADE 中，DE=90，AE=390,∴DF=x-390,BF=x-90.在Rt △BFD 中，DF ∶BF=tan30°, ∴x=90+390（米）.。