数学竞赛用数列求和(1)

合集下载

数列求和常见的7种方法

数列求和的根本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和

分段求和法〔合并法求和〕利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。

数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的根底. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和

利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

++==∑=n n n k S n

k n

[例1]3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 〔利用常用公式〕

＝x x x n --1)1(＝

11)211(21--n ＝1－n 21

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+=； 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n n ； 3、)1(211+==∑=n n k S n

k n ； 4、)12)(1(6

112++==∑=n n n k

S n k n ； 5、21

3)]1(21[+==∑=n n k S n k n . 例1：已知3log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2

12log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x , 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝x x x n --1)1(＝2

11)211(21--n ＝1－n 21. 解析：如果计算过程中出现了这些关于n 的多项式的求和形式，可以直接利用公式。

练习：

（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a ++++＝_____ ；

数学竞赛初级讲座高中数列求和问题

=
na1
+
n( n 2
1)
d.
11112 等比数列前 n 项和公式 :
na1 ( q = 1) ,
Sn =
a1 (1 - qn) 1- q
=
a1 1-
anq q
(
q
≠1)
.
11113 自然数方幂和公式 :
n
6 k = k=1
1 2
n ( n + 1) ;
n
6 k2 = k=1
1 6
n ( n + 1) (2 n + 1) ;
使之能够消去一些项 ,最终达到求和的目的.
117 利用数列周期性求和有的数列是周期数列 , 把握了数列的周期则可顺
利求和. 关键之处是寻找周期. 例 1 已知数列{ an} 的通项公式是 an = n ( n + 1)
·(2 n + 1) ,试求{ an} 的前 n 项的和 S n . 导析 :很多学生会试图计算出 a1 = 6 , a2 = 30 , a3
)
+
(
1 2
-
1 3
)
+
…+
(
1 1992
-
19193)
=1-
1 1993
=
1992 1993
.

数列求和方法

数列是高中数学的重要组成部分，在高考和各类数学竞赛中发挥着重要作用。级数求和是级数的重要内容之一。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

今天学姐就简单介绍一下数列求和的基本方法和技巧。

第一类：公式法

用以下几种常见的求和公式求和，是数列求和最基本也是最重要的方法。

第二类：乘公比错项相减（等差×等比）

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

解析：数列{cn}是由数列{an}与{bn}对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

第三类：裂项相消法

这就是分解组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

分析:第一，要观察通项的类型。在对拆分项求和时，我们应该特别注意第一项和第二项是否像例2那样被保留，或者像例3那样被保留四项。

第四类：倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）。

解析:这种类型的关键是抓住距离数列首尾等距离的两项之和相等这一特征进行逆序相加。

这个例子不仅使用了逆序加法，还使用了拆分项的消去法。在数列问题中，要学会灵活运用不同的方法去解决。

高中数学数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）

全国高中数学竞赛考试范围

全国高中数学竞赛考试范围包括但不限于以下内容：

1. 代数部分：包括数列、函数、不等式、解析几何等。

2. 几何部分：包括平面几何、立体几何等。

3. 组合数学部分：包括组合数学的基础知识、组合应用等。

4. 概率与统计部分：包括概率论的基础知识、统计应用等。

5. 数学分析部分：包括极限、导数、微积分等。

一、函数与方程

1. 函数性质：包括奇偶性、单调性、周期性、对称性等，能够根据函数图像进行判断和分析。

2. 函数方程：了解函数方程的概念，掌握求解方法，如换元法、待定系数法等。

3. 函数不等式：能够根据函数的性质求解不等式，如一元二次不等式、高次不等式等。

二、数列与数学归纳法

1. 数列概念：了解数列的定义、分类和表示方法，能够判断数列的类型。

2. 等差数列与等比数列：掌握等差数列和等比数列的通项公式、前

n项和公式及其性质。

3. 数列求和：掌握数列求和的方法，如裂项相消法、错位相减法等。

4. 数学归纳法：掌握数学归纳法的原理和步骤，能够证明简单的数学归纳法命题。

三、解析几何

1. 直线与圆：掌握直线和圆的方程及其性质，能够求解直线与圆的位置关系。

2. 椭圆、双曲线与抛物线：掌握椭圆、双曲线和抛物线的方程及其性质，能够求解相关的几何问题。

3. 坐标变换：了解坐标变换的概念和方法，能够进行坐标变换的求解问题。

四、立体几何

1. 平面几何：掌握平面几何的基本定理和证明方法，能够证明简单的几何命题。

2. 空间几何体：了解空间几何体的结构特征和性质，能够进行相关的计算和证明。

3. 空间位置关系：掌握空间点、线、面之间的位置关系及其性质，能够进行相关的证明和求解。

数学竞赛中的数列问题

数学竞赛中的数列问题主要分为以下几类：

1. 基础数列问题：主要考察学生对数列基本概念和性质的理解，例如求一个数列的前n项，数列的通项公式，数列的极限等。解决这类问题，需要学生掌握数列的基本概念和性质，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。

2. 数列求和问题：主要包括等差数列求和、等比数列求和、分组求和等。解决这类问题，需要学生掌握各种数列求和的方法，并能够根据具体问题选择合适的方法。

3. 特殊数列问题：包括递推数列、周期数列、复合数列等。这些数列的形式更复杂，需要学生通过观察和分析找出数列的规律，并运用相关知识进行求解。

数学竞赛中的数列问题通常需要学生具备扎实的数学基础、灵活的思维方式和良好的解题习惯。为了解决这类问题，学生可以通过大量练习来熟悉各种数列类型和求解方法，并注重培养自己的观察力和分析能力。同时，学生还需要注重总结归纳，以便在遇到类似问题时能够迅速找到解题思路和方法。

(完整word版)高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧

关键词：数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法

合并法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础•在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧•下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧

、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1、等差数列求和公式： S n

n(a1 an)

na !

n(n 1)

2 2

［例］求和 1 + X 2 + X 4+ X 6+…x 2n+4(x 工 0)

解： ••• X M0

•••该数列是首项为1,公比为X 2的等比数列而且有n+3项当x 2= 1即X =±1时和为n+3

评注:

(1)利用等比数列求和公式•当公比是用字母表示时，应对其是否为 1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对 X 是否为0进行讨论.

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第

n 项.

n 1

对应高考考题：设数列 1，( 1+2 )，•••，( 1+2+

2 2 )， ..... 的前顶和为 S n

，则S n

的值。

2、等比数列求和公式：

S n

n^ 印(1 q n )

1 q

3、S n

k 1 1

n(n 1) 2

5、S n

k 1

1 2

［才(n 1)］2

a 1 a n q 1 q

(q 1)

4、S n

—n(n 1)(2 n 1)

k 1

当黑忖1即篡詳主1对？和為

自然数方幕和公式:

数列求和的基本方法和技巧1

数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

)]1(2

[+==

∑=n n k

S n k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求+++++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S ++++=32 （利用常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝

11)

1(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

竞赛中的数列问题(一)

（＋玎１）（＋２）（、２一一Ａ）＜、０．。
故ａ＋】＜：ａ．
例４设－厂（ｎ）是数列０，１，１，２，２，３，
１
３，４，４，５，５，… 的前项的和．
’
（１）给出＿厂（）的公式；
题型
１
有６一１
１
＂＂ — １、’
，
故一，所以。一
１．求数列的通项或求和是常见题型．
例１设数列｛｝的前项和Ｓ满足：
ｓ＋十ｎ一一， ’ 一ｌ１，２，２， … ，则遁通项项
丢一２ｏｏｓ丢．
例６证明：方程２ｘ。＋５ｘ一２＝０恰有
相减得，
令 √ 差＋１ — ６，则得一２ｂ．
一
２ｎ一ｎ一
一
Ｆ
一
￣ｌＪ｛ｂ）是以６一 √ ÷ ＋１ — ２为首项，２
为公比的等比数列．
所以ｂ一２．所以
ａｎ－１
，
＋…＋
一—Ｌ一
＋
２ｎ＋ —２十
—
一— 一— ２ｎ＋ —３

数学竞赛中的数列问题

在数学竞赛中，数列问题是一个比较常见的题型。数列问题可以锻炼学生的逻辑思维、数学能力和创新能力。而在竞赛中拿到高分，除了整体的数学素养，数列问题的应用也是必不可少的。在这篇文章中，我们将探讨一些数列问题及其解决方法。

一、等差数列

等差数列是指相邻两项之差相等的数列。例如，1，3，5，7，9 就是一个以 2 为公差的等差数列。对于等差数列的求和问题，我们可以利用如下公式：

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

其中，$S_n$为前 $n$ 项和，$a_1$为首项，$a_n$为末项，

$n$为项数。

对于等差数列的其他问题，我们可以考虑以下方法：

1. 利用已知条件求出公差 $d$ ，再根据所求问题求解

2. 利用等差数列的性质，推导出所求结果

例如：

问题一：求等差数列 2，5，8，11，……的第 20 项。

解法：由于相邻两项之差相等，故公差 $d=a_2-a_1=5-2=3$，

因此第 20 项为 $a_{20}=a_1+19d=2+19\times 3=59$。

问题二：等差数列1，2，3，……，n 中有多少项是3 的倍数？

解法：首项为 $a_1=1$，公差为 $d=1$，末项为 $a_n=n$，所以$n-a_1=a_{n-1}$。又因为每个 3 个数中一定有且只有一个是 3 的

倍数，因此当 $n \geq 3$ 时，3 的倍数的个数为 $\left\lfloor

\frac{n}{3} \right\rfloor+1$。

二、等比数列

等比数列是指相邻两项之比相等的数列。例如，2，4，8，16，32 就是一个以 2 为公比的等比数列。对于等比数列的求和问题，

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧演示教学

的前 n 项和；
分析：数列的通项公式为 an
n
1 2n
，而数列
n,
1 2n
分别是等差数列、等比数列，求
和时一般用分组结合法； [ 解] ：因为 an n
1 2n
，所以
1
1
1
sn
(1 ) 2
(2
) (3 )
4
8
1 (n 2n )
(1 2 3
111 n) (
248
1 2n
)
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此
第 8页共 9页
8
九、不动点法
例 14 已知数列 { an} 满足 an 1 21an 24 ， a1 4 ，求数列 { an} 的通项公式。 4an 1
例 15 已知数列 { an} 满足 an 1
7an 2an
2 3
，
a1
2 ，求数列 { an} 的通项公式。
第 9页共 9页
9
k n( n 1)
k1
2
4、 Sn
n
k2
k1
1 n(n 1)(2n 1)
6
5、 Sn
n
k3
1 [ n( n
1)] 2
k1
2
[ 例 ] 求和 1＋x2＋x4＋x6＋,x 2n+4(x ≠0) 解： ∵x≠０ ∴该数列是首项为 1，公比为 x2的等比数列而且有 n+3 项当 x2＝1 即 x＝±１时和为 n+3

竞赛中的数列问题(一)

作者：冯惠愚

来源：《新高考·高一数学》2012年第03期

数列是高中数学的重要内容，也是高考、自主招生与数学竞赛中的命题重点内容之一．

一、数列竞赛题中的一些简单题型

求数列的通项或求和是常见题型.

例1 设数列的前n项和满足：＋＝n-1n(n+1)，＝1，，…, 则通项＝．(2008年全国高中数学联赛)

分析利用数列的和与通项的关系，用下标减1法，使所给式简单化．

解＋＋＋＝n(n+1)(n+2)，与＋＝n-相减得，

＋－＝n(n+1)(n+2)－n-1n(n+1)＝-n+2n(n+1)(n+2)．

令＋＋λ(n+1)(n+2)＝＋λn(n+1)，即-2λnn(n+1)(n+2)＝-

＝1．

即＋＋1(n+1)(n+2)＝＋1n(n+1)．

令＝＋1n(n+1)，＝＋12＝＋＝＝0)，

有＋＝，故＝，所以＝－．

例2 设正数列，，，…，，…满足

-－--＝-，

且＝＝1，求的通项公式．

解同除以--得：-＝--＋1，

令-＋1＝，则得＝－．

即是以＝11＋1＝为首项，2为公比的等比数列．

所以＝．

所以-＝－．故，

----

在给出数列后，常常会要求研究数列的某些性质．

例3 设＝

1k(n+1-k)，求证：当正整数时，＋＜．年全国高中数学联赛)

分析就是证明数列从第二项起就是单调减的，故因计算＋－．

解-k)＝1n+11k＋1n+1-k，于是＝

1k．若记

＝A＞2．

所以，＋－＝

1k－

1k＝1n+2A＋2n+1－1n+1A

＝2(n+1)(n+2)－1n+1－1n+2A

＝1(n+1)(n+2)(2－A)＜0．

故＋＜．

数列求和常见的7种方法

.
1、等差数列求和公式： Sn
n (a1 an)
n(n 1)
na1
d
2
2
2、等比数列求和公式： Sn
na1 a1 (1 qn )
1q
( q 1)
a1 an q 1q
(q 1)
3、 Sn
n
k
k1
1n(n 1) 2
4、 Sn
n
k2
k1
1n(n 1)(2n 1) 6
5、 Sn
n
k3
1 [ n( n
1)] 2
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础 . 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 .
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定
的技巧 . 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
（裂项求和） tan 88 ]}
1
1
cos1
＝
(tan 89
sin 1
tan 0 ) ＝ sin 1
cot 1 ＝ sin 2 1
∴ 原等式成立
8
数列求和常见的 7 种方法
答案：
六、分段求和法（合并法求和）

数学竞赛教案：第30讲__数列的求和

第11讲数列的求和

本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式

①1+2+…+n =

n (n +1) ②12+22+…+n 2=6

n (n +1)(2n +1)

③13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=4

n 2(n +1)2

2.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1

,11n S S n S n n

3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．

4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：

5.错项相消法

6.并项求和法

A 类例题

例1 已知数列｛a n ｝的通项公式满足：n 为奇数时，a n =6n －5 ，n 为偶数时，a n =4 n ，求s n . 分析数列｛a n ｝的前n 项可分为两部分，一部分成等差数列，用等差数列求和公式；另一部分成等比数列，用等比数列求和公式。但数列总项数n 的奇偶性不明，故需分类讨论. 解若n 为偶数2m ，则S 2m =1+13+25+…+[6(2m －1)－5]+42+44+…+42m =6m 2－5m+1615

高中数学竞赛数列专题

高中数学竞赛数列专题主要涉及以下知识点：

1. 等差数列和等比数列的定义、性质和通项公式。

2. 数列的求和：包括等差数列和等比数列的求和公式和方法，以及一些特殊的数列求和技巧，如裂项相消法、错位相减法等。

3. 数列的递推关系：包括数列的递推公式的推导和应用，以及递推关系的转化和求解。

4. 数列的极限：包括数列极限的定义、性质和计算方法，以及极限在数列中的应用。

5. 数列的函数性质：包括函数的单调性、周期性和对称性等，以及这些性质在数列中的应用。

6. 数列的应用题：包括数列在实际生活中的应用，如增长率、复利等，以及一些与数列相关的数学问题。

在竞赛中，数列常常与其他知识点结合出现，如函数、不等式、组合数学等。因此，考生需要具备扎实的数学基础和灵活的思维，才能更好地应对竞赛中的挑战。

数学竞赛用数列求和(1)

数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧

数学竞赛初级讲座高中数列求和问题

数列求和方法

高中数学 数列求和常见的7种方法

全国高中数学竞赛考试范围

数学竞赛中的数列问题

(完整word版)高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧1

竞赛中的数列问题(一)

数学竞赛中的数列问题

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧演示教学

竞赛中的数列问题(一)

数列求和常见的7种方法

数学竞赛教案：第30讲__数列的求和

高中数学竞赛数列专题

高中数学数列求和常见的7种方法