2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
（2015年-2019年共14套）
一、代数运算（3题）
1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:
2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则
.
解解
，所以
3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0 解：因为所以选B.
4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为
A.
π6
B.
π
3 C. 2π3 D. 5π6
解：因为()a b b -⊥，所以2
()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=2
2||1
2||2
a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为
3
π
，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：1212
22
22
1122
cos x x y y a b a b
x y x y θ+⋅=
=++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式2
2
a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,
k k λ=⎧⎨=⎩，
12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 22
2010-2019北京高考数学(理)真题分类汇编专题五平面向量的概念与运算
2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题五
平面向量的概念与运算
2019年
1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3
2.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．3144
AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．
1344AB AC + 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
4．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3
<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为
A ．4
B ．–4
C ．
D ．– 6．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点
高考数学(理)真题专题汇编：平面向量
高考数学（理）真题专题汇编：平面向量
一、选择题
1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）
设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2
C ．2
D ．3
3.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知非零向量a ，b 满足
||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为
A ．π6
B ．π
3
C ．2π3
D ．5π6
4.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）
如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为
(A) 2116
(B) 3
2
(C) 25
16
(D) 3
5.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
6.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=
A.43AB －41AC
B. 41AB －43
AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之立体几何
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）
专题09立体几何与空间向量
本专题考查的知识点为：立体几何与空间向量，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积与体积，多面体与球的切接问题，空间向量的应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以空间向量的应用，空间几何体的性质为重点较佳.
1．【2020年北京卷04】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．
A．6+√3B．6+2√3C．12+√3D．12+2√3
2．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1B．2C．3D．4
3．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A．3√2B．2√3C．2√2D．2
4．【2016年北京理科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．1
6B．1
3
C．1
2
D．1
5．【2015年北京理科04】设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．【2015年北京理科05】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+√5B．4+√5C．2+2√5D．5
7．【2014年北京理科07】在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D （1，1，√2），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）
2010-2019十年高考数学(文)真题专题5平面向量第13讲平面向量的概念与运算分类汇编
专题五平面向量
第十三讲平面向量的概念与运算
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在
ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
A ．3144A
B A
C B ．1344AB AC C ．
3144AB
AC
D ．
1344AB
AC
2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1a ，1a b
，则(2)
a a
b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知
1OM ，2ON ，120MON ，2BM MA ，
2CN NA ，则·BC OM 的值为
A ．
15
B ．
9
C ．
6
D ．0
4．（2017新课标Ⅱ）设非零向量
a ，
b 满足||||a
b a
b 则
A ．
a b B ．||||a b C ．∥a b
D ．||||
a b 5．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“
存在负数，使得
m n ”是“0m n ”
的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D,分别是边BC AB ,的中点，
连接DE 并延长到点F
，使得
EF DE 2，则AF BC
的值为
A ．
8
5
B ．
81C ．
41D ．
8
11N
M
O
C
B
A
7．（2016全国III 卷）已知向量,则A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)2a
a b ，则a 与b 的夹角为
A ．
3B ．
2
C ．
23D ．
56
9．（2015陕西）对任意向量
2010-2018高考真题分类训练：第十四讲 向量的应用答案
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
答案部分
1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B
，1(,
22
D -，设(1,)C m ,(,)
E x y ，
所以3(,2DC m =
，1(2AD =- ，
因为AD CD ⊥
，所以3
1(,(022m ⋅-=，
即
31()022m ⨯-+=
，解得m
，即(1C ， 因为E 在CD
上，所以
2
y CE CD k k =，
2112
=
+
，即2x =-， 因为(,)AE x y = ，(1,)BE x y =-
，
所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=-++
246y =-+
，令2()46f y y =-+
，y ∈．
因为函数2()46f y y =-+
在[
28
上单调递减，在[8
上单调递
增，所以2min 21
()4(
68816
f y =⨯-+=． 所以⋅uu u r uu r AE BE 的最小值为21
16
，故选A ．
2．A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA = a ，(,)OB x y ==
b ，=(1,0)e ，
由2
430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为
3
π
，所以不妨令点A
在射线y (0x >)上，如图，
数形结合可知min ||||||1CA CB -=-
2009年北京高考数学真题及答案(理科)
2009北京高考数学真题（理科）
第I 卷（选择题 共40分）
一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知向量,a b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 3．为了得到函数3
lg
10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 A ．3
3
B ．1
C ．2
D ．3 5．“2()6
k k Z π
απ=
+∈”是“1
cos 22
α=
”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．若5
(12)2(,a b a b +++为有理数），则a b +=
A ．45
B ．55
C ．70
D ．80
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．648
2009年高考北京数学(理科)试题及参考答案
2009年高考数学北京理科试卷含详细解答
一. 选择题（本大题共8小题，共0分）
1. （2009北京理1）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
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2. （2009北京理2）已知向量a、b不共线，c a b R),d a b,如果c d，那么（）
A．且c与d同向B．且c与d反向
C．且c与d同向D．且c与d反向
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3. （2009北京理3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
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4. （2009北京理4）若正四棱柱的底面边长为1，与底面
成60°角，则到底面的距离
为（）
A.B.1
C. D.
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5. （2009北京理5）“”是“”
的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
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6. （2009北京理6）若为有理数），则
（）
A．45 B．55 C．70 D．80
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7. （2009北京理7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）
A．324 B．328 C．360 D．648
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2009年北京市高考数学试卷(理科)及答案
2009年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）
A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向
C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向
3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）
A．B．1 C．D．
5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）
A．45 B．55 C．70 D．80
7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）
A．324 B．328 C．360 D．648
8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B
两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
2 由题意可知： OM
12
1， OM
ON
1
2
cos120
1 ，
结合 数量 积的运算法则 可得：
BC OM 3 ON OM OM
3ON
OM
3OM
2
3
3
6
．故选
C．
第 1页 （共 3页）
3．（2018 天津理）如图，在平面四边形 ABCD 中u，uurAuBur BC ， AD CD ， BAD 120 ， AB AD 1. 若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE 的最小值为 （ ）
二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ， 由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
，∵
cHale Waihona Puke Baidu
/
/(2a
b)
，∴1
2
4
0
，解得
1
.
2
第 3页 （共 3页）
取得最小值
21
，故选
A．
4
16
4．（2018
A．
3 4
十年高考数学真题分类汇编 专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(解析版)
专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理
十年大数据*全景展示
平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件
主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件
平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件
考点47平面向量的概念与线性运算
1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB
A. BC B ． 12AD C ． AD D ． 1
2
BC 【答案】C
【解析】=
+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1
()2
AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是
A ．12(0,0),(1,2)==e e
B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e
C ．12(3,5),(6,10)==e e
D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e
【答案】B
【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．
考点48平面向量基本定理及其应用
1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3
()2
PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．
【答案】
185
【解析】由向量系数33
()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知3
21
PA
PD =，
故2
63
PD PA =
=，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD AD
十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编 专题09 立体几何与空间向量选择填空题 理(含解析)
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表
题型年份考点试题位置
单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06
单选题2016空间向量在立体几何中的应
用2016年新课标1理科11
单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06
单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11
单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12
单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06
单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08
单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07
单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11
单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06
单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10
填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16
填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15
填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)
A．8πB．4πC．2πD．π
【解答】解：如图，
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
历年高考理科数学真题演练分类解析：立体几何的向量方法
【考点14】 立体几何的向量方法
1．（2009·上海卷·理19）（本题满分14分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，
21===AB BC AA ，AB ⊥BC ，
求二面角111C C A B --的大小．
2． (2009·天津卷·理·19)如图,在五面体ABCDEF 中，FA ABCD ⊥平面，////AD BC FE ，
,AB AD M ⊥为EC 的中点，1
2
AF AB BC FE AD ====
． (Ⅰ) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小;
(Ⅱ) 证明平面AMD ⊥平面CDE ; (Ⅲ) 求二面角A CD E --的余弦值． 3． (2009·广东卷·理·18)如图6，已知正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11
BCC B 的中心，点F 、G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点
11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影．
（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值．
4． (2009·福建卷·理·17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，
MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，
且MD=NB=1，E 为BC 的中点
(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值
(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10 平面向量)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（10平面向量）
一、选择题
1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3
，向量b 满足b 2−4e ·
b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）
A
1 B
C ．2
D ．2
1.答案：A
解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，
则2
22430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22
(2)1x y ⇒-+=
如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3
AOx π
∠=.）
∴min
11a b
CD -=-=
.（其中CD OA ⊥.）
2．（2018天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,
2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（ ）
（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0
2．【答案】C
【解析】如图所示，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则()
33BC MN ON OM ==-，
由题意可知：2
211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-， 结合数量积的运算法则可得：
()
2
333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--
=-．故选
C ．
3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若
专题06 平面向量-高考数学(理)十年真题(2010-2019)深度思考(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题06平面向量
历年考题细目表
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵（）⊥，
∴
，
∴
，
∵，
∴
故选：B．
2．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
（）
，
故选：A．
3．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由已知得到如图
由；
故选：A．
4．【2011年新课标1理科10】已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：||＞1⇔θ∈[0，
）；P2：||＞1⇔θ∈（，π]；P3：||＞1⇔θ∈[0，）；P4：||＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）
A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4
【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．
由||＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正
确．
故选：A．
5．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，
∴4•4
＝22+4×2×1×cos60°+4×12
＝12，
∴|2|＝2．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形2；
(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理(含解析)
专题10立体几何与空间向量解答题
历年考题细目
表
解答题2011空间向量在立体
几何中的应用
2011年新课标1
理科18
解答题2010空间角与空间距
离
2010年新课标1
理科18
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
【解答】（1）证明:如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1,且,又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点,得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE,
∴MN∥平面C1DE;
（2)解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2）,A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F
分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明:由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，,
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2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量精心校对版题号一二总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共6小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）向量(1,1)A ，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC （12，01）的点P 组成，则D 的面积为。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB uuu r uu r 的值为；DE DC uuu r uuu r 的最大值为．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）.若a-2b 与c 共线，则k=________________. 4.（2016年北京高考真题数学(文)）已知向量=(1,3),(3,1)a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 5.（2017年北京高考真题数学(文)）已知点P 在圆22=1x y 上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP 的最大值为_________．6.（2018年北京高考真题数学(文)）设向量a =（1,0），b =（-1,m ）,若()m a a b ，则m =_________. 二、选择题（本大题共6小题，每小题0分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
7.（2009年北京高考真题数学(文)）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●