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完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（

）

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B

得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的, 75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A 、15

、

C 、35

D40

【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式

为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=35

3. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推

其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数

=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只

选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.

小学奥数精讲：容斥原理习题及答案

年级班姓名得分

一、填空题

1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.

2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.

3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.

4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.

5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.

6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.

7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.

8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人

9.分母是1001的最简真分数有个.

10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.

二、解答题

11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?

(完整版)容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )

A、27人

B、25人

C、19人

D、10人

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B

得A∩B=25，所以答案为B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120

B．144

C．177

D．192

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

容斥原理(二)(含答案)-

容斥原理（二）

【例题分析】

例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的

++---⨯=（人）

方法二：664311210

答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？

30人参

的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参

7。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？

满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有1

2024小升初专项训练容斥原理练习及答案解析

第3讲容斥原理

第一关两量重叠问题

【知识点】

在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．

一般方法：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．

容斥原理1：两量重叠问题

A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数

用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．

【例1】“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行多少天？

【答案】13

【例2】三（1）班同学给“手拉手”小伙伴捐物品，捐衣物的有26人，捐文具的有32人，两样都捐的有18人．捐物品的同学一共有几人？

【答案】40

【例3】同学们去动物园游玩，每人至少参观一个馆．参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参加的有6人，一共有多少人去动物园？

【答案】19

【例4】某班老师建议学生读A、B两本课外读物，结果有25人没有读A，有19人没有读B，20人只读了1本书，11人读过2本书，那么该班共有多少人？

容斥原理练习答案

容斥原理

1.一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的人有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？

【答案】109人.

2.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.

【答案】31人.

3.调查一群小朋友最喜欢吃的水果中，有三种水果最喜欢（苹果、香蕉、草莓），每人都有自己喜欢吃的。其中喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃香蕉的有25人，喜欢吃草莓的有30人，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有8人，既喜欢苹果又喜欢草莓的有7人，既喜欢香蕉又喜欢草莓的有6人，三种都喜欢的有4人，请问一共有多少个小朋友？

【答案】58个.

4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的含有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？

【答案】4种.

5.一次考试共有两题，第一题做对有20人，其中5人第二题错了；第二题总共30人做对，有3人一道题都没做对，请问一共有多少人报名参加？

【答案】38人.

6.光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

【答案】18幅.

7.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕.问：

小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《容斥原理(1)》练习题（含答案）

一、填空题

2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.

3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.

4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.

5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.

6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.

7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.

8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.

9.分母是1001的最简真分数有个.

10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.

二、解答题

容斥原理习题加答案

1。现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )

A、27人

B、25人

C、19人

D、10人

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B

得A∩B=25,所以答案为B.

2。某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】C

【解析】这是一种新题型,该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120

B．144

C．177

D．192

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－｛（x+24)+(z+24)+（y+24）}+24+15

＝199－｛（x+z+y）+24+24+24}+24+15

容斥原理(二)(含答案)-

容斥原理（二）

【例题分析】

++---⨯=（人）

方法二：664311210

答：共有10个小朋友去了冷饮店。

30人参

的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参

7。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有1

第二章容斥原理习题及解答

则方程变为 y1 y2 y3 10, 0 y1 6,0 y2 8, 0 y3 10
令P1为性质 y1 7 ，P2为性质 y2 9 ，P3为性质 y3 11
并设S为 y1 y2 y3 10 的非负整数解集合。
参考答案
[解(续)] 设Ai 为S中满足性质Pi（i=1,2,3）的集合。则所求问题变成在S中计算 | A1 A2 A3 |
第二章容斥原理习题
1、某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5 次，问某甲共参加了几次会议？
参考答案
[解] 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议集， i＝1，…，6．则
A1是方程y1 y2 y3 1（0 y1 7, y2 0, y3 0）的整数解集合，通过作代换
z1 y1 7, z2 y2 , z3 y3 ,
可得
3 3 1
| A1 |
3
10
参考答案
[解(续)] 类似可得
1 3 1
| A2 |
1
3
| A3 | 0
| A1 A2 || A1 A3 || A2 A3 || A1 A2 A3 | 0
参考答案
[解]
令Dn
n ! 1
1 1!

初中数学竞赛《容斥原理》练习题及答案 (30)

初中数学竞赛《容斥原理》练习题

1.甲、乙两个汽车总站相距42公里，有3家汽车公司都开辟甲、乙间往返班车；A、B、C

公司的班车分别是每相隔1.4公里、0.5公里、2.1公里设一个上落站，并商定在同一处设上落站的均合用一站．注意马路两侧都设站，不算两个总站，途中共设上落站230个．【分析】以O．1公里为单位，设为1“段”，则甲、乙相距42公里，设为420段，分别求出A、B、C公司的班车设站的段数和所设站数，再找出两站合用的站数，三站合用站数，进一步利用容斥原理解答即可．

【解答】解：以O．1公里为单位，称为“段”，则甲、乙相距420段．

A公司每14段设站，B公司每5段设站，C公司每21段设站，则A，B两公司每70段合用2站，A，C两公司每42段合用2站，B，C两公司每105段合用2站，而三个公司每210段合用2站．

先计算马路一侧的站数：A公司设了29站，B公司设了83站，C公司设了19站，A，B 合用5站，A，C合用9站，B，C合用3站，三公司合用1站，合计设了29+83+19﹣5﹣9﹣3+1＝115个站．

故马路两侧共设了230个站．

【点评】解决本题的关键把公里数转换为段数，结合公倍数的应用，分别求出各自所设站数，两两所设站数，三个通用站数你，再由容斥原理外圆容易得解．

六年级上册奥数试题-第5讲：容斥原理_全国通用(含答案)

第5讲容斥原理

知识网络

我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。解答此类问题的主要依据是容斥原理。

容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：

总量=a+b-ab

容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：

总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc

重点·难点

容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。

学法指导

解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。

因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。

经典例题

[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？

思路剖析

分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分

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1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )

A、27人

B、25人

C、19人

D、10人

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B

得A∩B=25，所以答案为B。

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】C

3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120

B．144

C．177

D．192

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分

数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

小学数学题型归纳：容斥原理练习题(附答案)_

小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）_

学习方法网小编为各位同学整理了小学数学题型归纳，是我们平时学习中的一大难点，希望能对各位同学有所帮助。更多学习材料尽在学习方法网。

小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）

【题目】

某大学的一间学生宿舍里居住着8名大学生，已知其中有6人会游泳，有5人会滑冰，有4人会打乒乓球.该宿舍内这两种运动都会的最多能有人。

【答案】

6+5+4=15，152=71，所以最多能有7人会两种。

今天就和大家就分享到这，祝各位同学学习愉快！

小学奥数精讲：容斥原理习题及答案

⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案

年级班姓名得分

⼀、填空题

1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈.

2.有长8厘⽶,宽6厘⽶的长⽅形与边长为5厘⽶的正⽅形,如图,放在桌⾯上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌⾯的⾯积是平⽅厘⽶.

3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.

4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈.

5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈.

6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个.

7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个.

8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈

9.分母是1001的最简真分数有个.

10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.

⼆、解答题

11.某进修班有50⼈,开甲、⼄、丙三门进修课、选修甲这门课的有38⼈,选修⼄这门课有的35⼈,选修丙这门课的有31⼈,兼选甲、⼄两门课的有29⼈,兼选甲、丙两门课的有28⼈,兼选⼄、丙两门课的有26⼈,甲、⼄、丙三科均选的有24⼈.问三科均未选的⼈数?

第十四讲：容斥原理。

2023年7月22日基础能力训练。

第十四讲：容斥原理。

【例】桌面上有AB两个圆形纸片，A纸片的面积是30平方厘米，B纸片的面积是20平方厘米，AB两个纸片重叠部分面积是10平方厘米，那么AB两块纸片盖住桌面的面积是多少平方厘米？

提醒：1.如果不重叠那么盖住的面积是多少。2.重叠部分算几次，多算了多少。

【练】有两块木板分别长50厘米，现要把两块木板钉成一长条木块，中间重叠部分的长度是8厘米，那么钉成的木板长是多少厘米？

【例】在1---100这些数中，是3的倍数或是7的倍数的数一共有多少个？

提醒：1.分别想想3的倍数与7的倍数分别有多少个。2.既是3又是7的倍数的数字有多少个。

【练】在1---100这些数中，既不是5也不是6的倍数的数有多少个。

【例】某班在短跑、投掷、跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人

【练】一个班级30人，语文数学两科作业，要么完成一种，要么两种都完成。已知语文作业完成20人，数学作业完成23人。那么只完成一种作业的有多少人？

【作业】

8.一个班级有40人，完成语文作业有26人，完成数学作业有18人，两门作业都没完成的有6人。那么两门作业全完成的有多少人？