2015年高考数学解答题突破：第19题
2015年高考理科数学19-21题详解
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i
）
表中w i=1，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=，=﹣．
w=，建立
y=c+d适宜作为年销售量
w=，先建立==68
=﹣=563﹣68×6.8=100.6，
的线性回归方程为=100.6+68w
=100.6+68
的预报值=100.6+68
的预报值=576.6
的预报值100.6+68x+13.6当=6.8
20. 在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由））联立y=
2015年高考四川理科数学试题及答案解析
2015年高考四川理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）
（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】A
【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}A B x x ∴=-<<，故选A ． （2）【2015年四川，理2】设i 是虚数单位，则复数3
2i i
-=（ ） （A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i 【答案】C
【解析】3
2
22i
i i i 2i i i i
-=--=-+=，故选C ． （3）【2015年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输
出S 的值是（ ） （A ）3 （B ）3
（C ）1
2- （D ）12 【答案】D
【解析】易得当1,2,3,4k =时时执行的是否，当5k =时就执行是的
步骤，所以51
sin 62
S π==，故选D ． （4）【2015年四川，理4】下列函数中，最小正周期为π且
图象关于原点对称的函数是（ ）
（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2
2015年高考理科数学陕西卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共32页） 数学试卷 第2页（共32页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学
注意事项:
1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.
2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（共60分）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求（本大题共12小题,
每小题5分,共60分）. 1.设集合2
{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( )
A .[0,1]
B .(0,1]
C .[0,1)
D .(,1]-∞
2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137
D .167
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6
y x k ϕ=++,据此函数可知,这段时间水深（单位:m ）的最大值为 ( )
A .5
B .6
C .8
D .10
4.二项式*
(1)()n
x n +∈Ν的展开式中2
x 的系数为15,则
n =
( )
A .7
B .6
C .5
D .4
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4
D .3π+4
6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的
( )
A .充分不必要条件
2015年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分
3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:
球的表面积公式 锥体的体积公式
2
4S R π= 13
V Sh =
球的体积公式
其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 33
4
V R π=
台体的体积公式
其中R 表示球的半径
121
(S )3
V h S =
柱体的体积公式
其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,
V Sh = h 表示台体的高
其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高
选择题部分（共40分）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( )
A .[0,1)
B .(0,2]
C .(1,2)
D .[1,2]
2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .
32
3 cm 3 D .
40
3
cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <
2015年高考理科数学重庆卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:
14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3}B =,则
( )
A .A
B =
B .A
B =∅
C .A B
D .B A 2.在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =则6a =
( )
A .1-
B .0
C .1
D .6
3.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:
则这组数据的中位数是
( )
A .19
B .20
C .21.5
D .23
4.“1x >”是“12
log (2)0x +<”的
( )
A .充要条件
B .充分不必要条件
C .必要不充分条件
D .即不充分也不必要条件
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
2015年天津高考理科数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
第I 卷
注意事项：
·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：
如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B=
（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8
（2）设变量,x y 满足约束条件20
30230x x y x y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数6z x y =+的最大值为
（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为
（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18
（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ） （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2] 【答案】C
【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）
（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340
cm 3
【答案】C
【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高
为2，所以该几何体的体积32132
22233
V =+⨯⨯=，故选C ．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，
则（ ）
（A ）10,0n a d dS >> （B ）10,0n a d dS << （C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>
四川省泸州市高考数学提分专练：第19题 空间几何(解答题)
四川省泸州市高考数学提分专练：第19题空间几何（解答题）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、真题演练 (共6题；共45分)
1. （10分） (2018高二下·佛山期中) 已知多面体中，四边形为平行四边形，
，且 , , ,
（1）求证：；
（2）若，求多面体的体积.
2. （10分）(2017·河北模拟) 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．
3. （5分）如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
4. （5分）(2017·吉林模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC中点．
（Ⅰ）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点E，使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为，若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．
5. （10分）已知棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.
6. （5分） (2015高二上·承德期末) 如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F是CD上的点，AB=AE= AD=4，
2015年高考全国卷2理科数学多种方法解析第20题
2015年高考全国卷2理科数学多种方法解析第20题
高考真题系列：
2015年高考天津卷理科数学从两个不同方向破解第19题第（3）问
2015年高考北京卷理科数学从三个不同方向破解第19题第（2）问
2016年高考全国卷3理科数学从两个不同方向破解第20题第（2）问
2017年高考全国卷1理科数学从两个不同方向破解第20题第（2）问
2017年高考北京卷理科数学从两个不同方向破解第18题第（2）
问
2017年高考全国卷3理科数学多种方法解析第20题
2018年高考全国卷3理科数学从两个不同视角解析第20题第（1）问
2019年高考天津卷理科数学从两个不同视角解析第18题第（2）问
2019年高考全国卷3理科数学从两个不同视角解析第21题第（1）问
2019年高考全国卷2文科数学从两个不同视角解析第20题第（2）问
2015年高考全国卷1文科数学从两个不同视角解析第21题第（1）问
2017年高考全国卷3理科数学从三个不同视角解析第21题第（1）问
2016年高考天津卷理科数学从两个不同视角解析第20题第（2）问
2017年高考全国卷2理科数学从三个不同视角解析第21题第（1）问
2017年高考天津卷文科数学从两个不同视角解析第19题第（2）问
2018年高考浙江卷数学从两个不同视角解析第22题第（2）问2018年高考全国卷2理科数学从三个方向破解第21题第（2）问
2016年高考浙江卷文科数学多种方法解析第20题
2016年高考全国卷2文科数学从三个方向破解第20题第（2）问
2017年高考全国卷2文科数学从三个方向破解第21题第（2）问
2015年江苏高考数学试卷 和答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A
B 中元素的个数为__5_____.
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____6____.
3.设复数z 满足2
34z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为___根号5____.
4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.
5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为___5/6_____.
6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，， 则m -n 的值为______.
2015年高考江苏数学卷19题解法探究_朱允洲
案例分析
新课程 NEW CURRICULUM
2015 年高考江苏数学卷 19 题解法探究
c，函数 （f x）有三个不同的零点，等价转化为两函数 p（x）与 q（x）的
图象有三个不同的交点。p（′ x）=3x2+2ax，令 p（′ x）=0，得 x=0，或 x=-
2a 3
，且易知其为
p（x）的两个极值点，①当
a＞0
时 ，p（x）极 大 值 = p
（- 2a ）=- 4a3 3 27
，p（x）极小值=p（0）=0，应有
）∪（
3 2
，
+∞），此处求解可有两种思路：
思路一 （方程法）
方程
（a-c）（a3-
27 4
a+
27 4
c）=0
的根应为：a=-3，1，
3 2
（二重
根），将它们带入方程得：c=-3，2273 ，1，32 ，经检验只有 c=1 时，上
２ h（a）= ４a３ －a ２７
３ ２
O
３姨 ３ a
－１
２
－２
当 c＞0 时，｛a h（a）＞0，a＞0｝奂｛a h（a）+c＞0，a＞0｝，
2015年高考文科数学山东卷及答案解析
数学试卷 第1页（共18页）
数学试卷 第2页（共18页）
数学试卷 第3页（共18页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|24}A x x =<<，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B = （ ）
A ．1,3（）
B ．1,4（）
C ．2,3（）
D ．2,4（） 2．若复数z 满足z
1i
-=i ，其中i 为虚数单位，则z=
（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+ 3．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是
（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
4．要得到函数π
sin(4)3
y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象
（ ）
A ．向左平移π
12个单位 B ．向右平移
π
12个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
5．若m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 （ ）
A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >
B ．若方程2
0x x m +-=有实根，则0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤
2015年高考文科数学广东卷与全国卷_特点对比分析及启示_郑灿基
中学数学研究
25
2015 年高考文科数学广东卷与全国卷 I 特点对比分析及启示
广东汕头市潮南区砺青中学（515135） 郑灿基
2015 年是广东高考独立自主命题的最后一年，从 2016 年起，广东将采用全国卷考试. 就试题风格和内容特点而言， 广东卷和全国卷 I 不尽相同，为了迎接和适应这种变革，笔者 认为研究和对比 2015 年广东卷与全国 I 卷甚至近几年的广 东卷和全国卷非常有必要，有助于发现规律，为明年高三的 复习备考打下铺垫.
第5道 第6道
表 1 近三年广东卷文科解答题的特点
2013
2014
2015 广东
三角函数
三角函数
三角函数
概率统计
概率统计
概率统计
立体几何
立体几何
立体几何
数列与不等 数列与不等 数列
式
式
解析几何
解析几何
解析几何
函数与导数 函数与导数 函 数 与 不 等
式
解答题 第1道 第2道 第3道 第4道 第5道 第6道
二、试卷结构和命题方式分析
1. 试卷结构的对比分析：2015 年广东卷分为选择题、 填 空 题 和 解 答 题 三 大 部 分. 选 择 题 有 10 道 题，分 值 为 5 × 10 = 50 分，填 空 题 共 有 5 小 题，分 为 必 做 题 和 选 做 题，考生作答 4 小题，满分为 5 × 4 = 20 分，其中必做题有 3 道，选做题有 2 道，由选修系列的“坐标系与参数方程”、“几 何证明选讲”各命制 1 个填空题，考生从 2 题中任选 1 题作 答，若全选则按所做的第一个题给分，满分为 5 分. 解答题共 有 6 小题，满分 80 分. 试卷的总分为 50+20+80=150 分.2015 年全国卷 I 分为第 I 卷和第 II 卷两部分．第 I 卷为 12 个选 择题，全部为必考内容，共 5 × 12 = 60 分. 第 II 卷为非选择 题，分为必考和选考两部分．必考部分题由 4 个填空题和 5 个解答题组成，分别为 4 × 5 = 20 分和 5 × 12 = 60 分. 选考 部分实行超量命题，限量做题，由选修系列 4 的“几何证明选 讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制 1 个解答 题，考生从 3 题中任选 1 题作答，若全选则按所做的第一个题 给分，满分为 10 分. 试卷的总分为 60 + 20 + 60 + 10 = 150 分；
2015年北京高考数学(理科)试题及答案
2015年北京高考数学(理科)试题及答案
LT
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -=
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
2．若x ，y 满足
010x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为
A ．0
B ．1
C ．32
D ．2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A ．()22-，
B ．()40-，
C ．()44--，
D ．()08-，
开始x =1，y =1，k =0
s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t
k =k +1
k ≥3输出(x ，y )
结束
是否
4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且
m α
⊂．“m β∥”是“αβ∥”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要
而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
11俯视图
侧(左)视图
21
A ．25
B ．45
C ．225+
D ．5
6．设{}n
a 是等差数列. 下列结论中正确的是
A ．若1
2
0a a
+>，则2
3
0a a +> B ．若
130
a a +<，则1
2
a a
+<
C ．若1
2
0a a <<，则2
2015年上海高考数学文理科试题(word版)
2015年上海高考数学（理科）：
三、解答题
19、（本题满分12分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AD AB AA ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明：E F C A ,,,11四点共面，并求直线1CD 与平面FE C A 11所成角的大小。
20、（本题满分14分）
如图，A 、B 、C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f （单位：千米），甲的路线是AB ，速度为5千米／小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米／小时，乙到B 地后在原地等待，设1t t =时乙到达C 地， （1）求1t 及()1t f 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当11≤≤t t 时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由。
21、（本题满分14分）
已知椭圆1222=+y x ，过原点的两直线1l 和2l 分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S 。
（1）设()()2211,,y x 、C y x A ，用A 、C 点的坐标表示C 点到直线1l 的距离，并证明12212y x y x S -=；
（2）设直线1l 和2l 的斜率之积为2
1
-，求S 的值。
22、（本题满分16分）
已知数列{}n a 和{}n b 满足()n n n n b b a a -=-++112，*∈N n ， （1）若53+=n b n ，且11=a ，求{}n a 的通项公式；
2015年江苏高考数学试卷(含附加题)
【解析】
D．（不等式选做题）
解不等式
【答案】
【解析】
22．【必做题】如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形， ,
(1)求平面 与平面 所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
【答案】
【解析】
23．【必做题】已知集合 ，设 ，令 表示集合 所含元素个数.
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A＝{1，2，3 }，B＝{2，4，5 }，则A∪B中元素的个数．
【答案】
【解析】
2．已知一组数据4、6、5、8、7、6，那么这组数的平均数为．
【答案】
【解析】
3．若复数 z 满足z2=3+4i (i是虚数单位)，则复数z 的模_________________
如图，在直三棱柱 中，已知 .设 的中点为D，
求证：（1）
(2)
【答案】
【解析】
17．（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 的距离分别为5千米和40千米，点N到 的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型.
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第19题 数列中最值问题的解题策略
[高考透视]
1．主要类型：(1)数列中的恒成立问题的求解．(2)数列中最大项与最小项问题的求解．(3)数列中前n 项和的最值问题．(4)证明不等式时构建函数求最值(值域)．
2．解题思路：结合条件与待求问题，把所求问题转化为关于n 的函数或方程问题求解．
3．注意事项：(1)数列是定义在N *或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求．
(2)求解过程中要注意项数n 的取值范围，防止出错．
【典例】 (12分)(2014·天津模拟)已知函数f (x )＝log m x (m 为常数，0 (1)若b n ＝a n ·f (a n )，当m ＝22 时，求数列{b n }的前n 项和S n . (2)设c n ＝a n ·lg a n ，如果{c n }中的每一项恒小于它后面的项，求m 的取值范围． [审题：分析信息，形成思路] (1)切入点：求f (a n )，进而求出a n ； 关注点：求S n 时应注意求和方法的选择． (2)切入点：根据a n 求c n ，把恒成立问题转化为求函数的最值问题； 关注点：根据函数的单调性求最值． [解题：规范步骤，水到渠成] 【解】 (1)由题意f (a n )＝2＋(n －1)×2＝2n ， 即log m a n ＝2n ，所以a n ＝m 2n .b n ＝a n ·f (a n )＝2n ·m 2n ， 当m ＝22 时，b n ＝a n ·f (a n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1.2分 所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫120＋2·⎝⎛⎭⎫121＋3·⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ·⎝⎛⎭ ⎫12n －1，(i) 12 S n ＝1·⎝⎛⎭⎫121＋2·⎝⎛⎭⎫122＋3·⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫12n .(ii) (i)－(ii)， 得12 S n ＝1·⎝⎛⎭⎫120＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12 －n ·⎝⎛⎫12n ，4分 所以S n ＝－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1＋4.6分 (2)由(1)知，c n ＝a n ·lg a n ＝2n ·m 2n lg m ，要使c n 即n lg m <(n ＋1)m 2lg m 对一切n ∈N *成立． 0 ⎫n n ＋1min ，8分 n n ＋1＝1－1n ＋1 单调递增，所以当n ＝1时，⎝⎛⎭⎫n n ＋1min ＝12.10分 所以m 2<12 ，且0 ⎛⎭⎫0，22.12分 [变题] (2014·山东济宁二模)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132 ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求证：数列{b n －12 }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)如果对任意n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)对于任意n ∈N *，S n ＋b n ＝n ＋132 ① S n ＋1＋b n ＋1＝(n ＋1)＋132 ② ②－①得b n ＋1＝12b n ＋14 ， 所以b n ＋1－12＝12(b n －12 )． 又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝72 . 所以数列{b n －12}是首项为b 1－12＝3，公比为12 的等比数列， b n －12＝3×(12)n －1，b n ＝3×(12)n －1＋12 . (2)因为b n ＝3×(12)n －1＋12 ， 所以S n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)＋n 2＝3(1－12n )1－12 ＋n 2＝6(1－12n )＋n 2. 因为不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立， 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2(n ＋1)－42n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2 n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列， 当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，c n 为单调递增数列， 116＝c 4 ， 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332 . ∴实数k 的取值范围是[332 ，＋∞)． 【典例2】已知首项为32 的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－ S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32 ，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.