应用数理统计作业题及参考答案(第二章)(2)

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概率论与数理统计第2章作业题解(初稿)

第二章作业题解:

2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.

解：

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6

由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(=

===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36

5)8()6(=

===X P X P ；366)7(==X P 。即 36

7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a .

解：根据

1)(0

==∑∞=k k X P ，得10

()1k

k k ae

a e ∞

∞

--====∑∑，即111

=---e ae 。故 1-=e a

2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：

(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则

12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题（答案）

一、单项选择题

1．已知连续型随机变量X 的分布函数为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,

0)( 则常数k 和b 分别为（ A ）

（A ）0,1==

b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π

21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数（ A ）

A. f （x ）={x

a e −x 22a

,x ≥01, x <0

(a ＞0); B. f （x ）={1

2cosx, 0< x <π0, 其他

C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他

D. f （x ）={sinx, −π2< x <

0, 其他

3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是（ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续

4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=

5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，

()52+>=μY P p ，则正确的是（ A ）.

应用数理统计习题答案_孙荣恒(全)

3.(1)[||]0.140

(2)[||]0.1

(,4),(,),(0,)

[||]20.1

800

255

(3){||0.1}2(10.95

1.961537

E a D n

E a

N a N a t a N

E t t dt

P t

ξξ

ξξξ

+∞

-==≤⇒=

-≤

==≤

≤=≤=Φ-≥

=⇒≥

⎰

《应用数理统计》参考答案

习题一

0.5

1.(,0.5)(,)

{||0.1}0.997

2.97442

N a N a

P a P

ξξ

⇒

-<=<=

=⇒=

2.(,4)(,)

100

(1)(||)()0.90,0.33

0.20.2

(2):

P(||)

N a N a

a U

P a U P U

ξξ

ξε

⇒

-<=<==

-≥≤

挈比学夫不等式

(5)(5)1255

15(3){15}1{15}1{15,15,,15}121512

1[{

}]22

1[1(1.5)]0.292

P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->

=--Φ=1

121212111

()(1){}{,,,}

{1,1,,1}

()()(1)(1)k n n n

n m n

m n m n m n

i i P k pq P M m P m m m P m m m pq

pq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.

5. 6. 13

.0)25

(1}8

.012

138

.012{

}13{)

,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)12555115

数理统计第二章课后习题参考答案

第二章参数估计

2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()1f x ββ

=；，0x β

<<的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β. 解： 1.30.6 1.7 2.20.3 1.1 1.26

X μ+++++===.

()

()()()()()()2

22222221

11 1.3 1.20.6 1.2 1.7 1.2 2.2 1.20.3 1.2 1.1 1.26n

i i X X n σ=⎡⎤=

-=-+-+-+-+-+-⎣

⎦∑ ()22222221

0.10.60.510.90.10.4076

σ=

+++++==. ()()0

E X x f x dx x

dx β

βββ+∞

-∞

===⎰⎰；.

令()E X X =，则12

X β=，即2X β=.

参数β的矩估计量为ˆ22 1.2 2.4X β

==⨯=.

2.6 设总体X 的密度函数为()f x θ；，1X ，2X ，…，n X 为其样本，求下列情况下θ的MLE.（iii ）

()()100x x e x f x α

αθθαα--⎧>⎪=⎨

⎪⎩，

；，

其它

α已知

解：当0i X >()12i n = ，

，，时，似然函数为： ()()()()1

1111n

i i i n n n x n x i i i i i i L f x x e x e

αθ

θαθθθαθα=----===∑⎛

⎫=== ⎪

⎝⎭

∏∏∏；.

()()1

ln ln ln 1ln n n

i i i i L n n x x α

应用数理统计作业

实验习题二

1.某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm.今从一批产品中随机地抽取15段,测得其长度(单位:cm)如下

10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7

设金属棒长度服从正态分布,且标准差没有变化,(04.02=σ),

试问（1）该机工作是否正常(05.0=α)?

(2)上题中假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化(05.0=α)?

(3)如果只假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化(05.0=α)?

>> clear all

x=[10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7];

>> [h,p,ci,u]=ztest(x,10.5,0.2,0.05,1)

h =

p =

0.6507

10.3951 Inf

u =

-0.3873

一>> [h,p,ci,u]=ztest(x,10.5,0.2,0.05,0)

h =

p =

0.6985

ci =

10.3788 10.5812

-0.3873

二[h,sig]=ztest(x,10.5,0.2,0.05,0)

h =

sig =

0.6985

三

x=[10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,1 0.2,10.7];

应用数理统计作业题及参考答案（第二章）（2）

第二章参数估计（续）

P68

2.13 设总体X 服从几何分布：{}()1

1k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明

样本均值1

i i X X n

∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。

证明：总体X 服从几何分布，

∴()1=

E X

，()2

1-=

p D X p

1 ()

()1

11=====??==

∑

∑ n

n i i i i E X

E X E X n E X n

n n p p .

∴样本均值11n

i i X X n

∑

是()E X 的无偏估计量。

2 ()

2222

1111==--

===??=

∑

∑n

n i i i i p p D X

D X D X n n

n n

p np . ()()()()11

ln ln 1ln 1ln 1-??=-=+--??；X f X p p p p X p .

()

111ln 111111f

X p X X p

p p

--=

=+?--；.

()

ln 11

X p X p

p ?-=-

-；.

()()()()21112

22ln 11

1111f X p X X I p E E E p p p p p --=-=--+=+--??????

； ()

()()

()12

211

11 111111111??-= +

-=+? ?---??

E X p

p p p p p p ()()() ()

111

111-+=

---p p

p p

p p p

应用数理统计习题答案_西安交大（论文资料）

应用数理统计答案

学号：

姓名：

班级：

第一章数理统计的基本概念 (2)

第二章参数估计 (14)

第三章假设检验 (24)

第四章方差分析与正交试验设计 (29)

第五章回归分析 (32)

第六章统计决策与贝叶斯推断 (35)

对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社

第一章数理统计的基本概念

1.1 解：∵

(,)X N μσ∼ ∴ 2

(,)n X N σμ∼

∴

)

(0,1)X N μσ

−∼分布

∴(1)0.95P X P μ−<=<=

又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2

1.96n σ=

1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∼

∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：

800

0.00150

1.2

(800)1(800)

10.0015x P X P X e dx

e −−>==−<=−=∫

∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2

()P e e −−==

(2) ∵ (0.0015)X Exp ∼

∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：

3000

0.00150

4.5

(3000)0.00151x P X e dx

−−<===−∫

∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56

(1)P e −=−

1.4 解：

i n x n x e

x x x P n

i i 1

)(ln 2121)2(),.....,(1

=−−

Π∑

=πσμσ

1.5证：∵

2)(na a x n x a x n

i n

i i

+−=−∑∑==

∑∑∑===−+−=+−+−=n

应用数理统计第二章

注意这里样本的联合分布律 L(x, p) = px1+x2+x3 (1 - p )3 - x1 - x2 - x3 其实就是概率函数 f (x,θ) 。它的含义是：当盒中黑球比例为 p 时，随机事件“有放回取出的三个小球中有两个黑球、一个白球”的概率。对应于参数空间中不同的 p ，样本分布 L(x, p) = p2 (1 - p ) 所对应的这些概率是：
1 n ˆ µ = X = ∑ Xk n k =1
2
1 n 2 1 n ˆ σ = ∑ X k − ( ∑ X k )2 n k =1 n k =1 1 n = ∑ ( X k − X )2 n k =1
□
几个常见分布的矩估计
二项分布 B (N,p)，N 已知均匀分布 U (a,b) 泊松分布 Ρ (λ) 参数为 λ 的指数总体正态总体 N ( µ, σ 2 )
⎛ N ⎞ ∑ xk nN − ∑ xk L ( x ,θ ) = [ ∏ ⎜ ⎟ ] p (1 − p ) ⎝ xk ⎠
这里每一个 xk = 0、1、…、N 中的某个值
取对数再对参数 p 求导，得到对数似然方程：
∂ x N−x =0 ln [L ( x ,θ )] = − ∂θ p 1− p
因此，当 N 已知时，二项分布 B (N,p) 中参数 p 的极大似然估计就是
θ 总体期望： — ；

清华大学杨虎应用数理统计课后习题参考答案2

习题三

1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2

(4.55,0.108)X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？

解由题意知 2

~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立

统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒

绝

域

为

{}

00K x c μ=->，临界值

1/2

1.960.108/0.0947c u α-==⋅=，

由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性

变化.

设立统计原假设 2

0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时

222

0.0250.9751

1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑

10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ====

拒绝域为 {}

2222

00201//K s c s c σσ=><或

由于22

0/ 3.167 2.567S σ=>，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为

x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ，问这批元件是否合格（0.05α=）？

数理统计第二章参考答案

2
，
D(X
)
1 n2
n i=1
D(
X
i )=
1 n2
n
2 12
=
2 12n
D( X ) E( X 2 ) (E( X ))2
法一：
E(2X )2 E(4X 2 2 4X)
4E( X 2) E( 2) 4E( X )()
4D( X ) 4(E( X ))2 E( 2) 4E( X )()
解：（1）由于 R = ( ) ( ) = ͳ
ͳ െ= ，
故 = = ͳെെ
= ͳ.
（2）将数据等分为三组：第一组：2.14, 2.10, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13；第二组：2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13；第三组：2.11, 2.14, 2.10, 2.11, 2.15, 2.10；
n 2 2 2 n 2
n2
n 1
lim
n+
E( X（n） )2
lim
n+
n 2 n2
2
2
n 2 n 1
lim
n+
2 1 2
2
2
2 1 1
0
n
n
因此 X（n）是的均方相合估计量，故 X（n）必是的相合估计量。
2.22 已知某种元件的寿命服从指数分布 Exp() ，抽出 12 只进行寿命试验，结果为（单位：h）： 20 640 1750 50 1110 1660 640 2410 890 970 1520 750 试求（1）参数和元件的平均寿命的置信度为 90%的置信区间；（2）元件平均寿命的置信度为 90%的单侧置信下限及单侧置信上限；解：

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案.

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

1．离散型随机变量X 的分布函数为

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧≥<≤<≤--<=≤=．

4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律．

解：)0()()(000--==x F x F x X P ，

∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ，

5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ，3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ，∴X 的分布律为

2．设k a k X P 3

()(==， ,2,1=k ，问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律．

解：由规范性，a a a n n k k 2321]32(1[32lim

)32(11

=--=⋅=+∞→∞

+=∑，∴

21=a ，此时，

k k X P 3

(21)(⋅==， ,2,1=k ．3．设离散型随机变量X 的分布律为

求：(1)X 的分布函数；(2)2

(>X P ；(3))31(≤≤-X P ．

解：(1)1-<x 时，0)()(=≤=x X P x F ，

11<≤-x 时，2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ，21<≤x 时，7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ，2≥x 时，1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ，∴X 的分布函数为

数理统计课后答案-第二章

的样本，两个样本相互独立，所以
X i ～ N ( μ , σ 2 ) ， Yi ～ N ( μ , σ 2 ) ， i = 1, 2 ,L, n ，相互独立。
令 Z i = X i + Yi （ i = 1, 2 , L, n ），则有
Z i = X i + Yi ～ N (2μ , 2σ 2 ) （ i = 1, 2 ,L, n ），而且相互独立。 ( Z 1 , Z 2 ,L, Z n ) 可以看作是总体 ζ = ξ + η ～ N (2μ , 2σ 2 ) 的样本，它的样本均值 Z =
i =1 n
2 = nE ( S x2 ) + 2∑ ( μ − μ )( μ − μ ) + nE ( S y )
i =1
n
4
= n⋅
解法二
n −1 2 n −1 2 σ +0+ n⋅ σ = 2(n − 1)σ 2 。 n n
2 2
因为 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 是 ξ ～ N ( μ , σ ) 的样本， (Y1 , Y2 , L , Yn ) 是 η ～ N ( μ , σ )
2
( X1 + X 2 )2 ( X 3 + X 4 + X 5 )2 ⎛ X1 + X 2 ⎞ ⎛ X 3 + X 4 + X 5 ⎞ 2 ～ χ ( 2) 。 =⎜ ⎟ + ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ 2 3 2 ⎠ ⎝ 3 ⎝ ⎠

数理统计课后习题答案第二章

第二章
1.
从而有
2.
令＝
所以有
２）．其似然函数为
解之得
３．
解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a，b）所以
4.解：（1）设为样本观察值则似然函数为：
解之得：
（2）母体X的期望
而样本均值为：
5.。
解：其似然函数为：
（2）由于
所以为的无偏估计量。
6.
解：其似然函数为：
解得
７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数，
18
29.9
51
124
99
——土壤内所含无机磷浓度；
——土壤内溶于溶液并受溴化物水解的有机磷浓度；
——土壤内溶于溶液但不受溴化物水解的有机磷浓度；
——种在土壤内玉米中的可给态磷。
已知对存在线性回归关系，试求出经验回归平面方程，并检验线性回归是否显著
。
解：
采用线性回归模型
于是
可得
所以
59
54
6
1.7
65
123
77
7
9.4
44
46
81
8
10.1
31
117
93
9
11.6
29
173
93
10
12.6
58
112
51
11

应用数理统计(第2章习题)

c i 1 n ( c 1)
, 1 ,
, n
L( ) L( (1) ) (1)
(7) L( ) （xi 1) 2 (1 ) xi 2
i 1
n
ln L( ) [2 ln ( xi 2) ln(1 ) ln( xi 1)]
7.解：
1 1 1 1 ~ U ( , ), 1 , , n 2 2 2 2 n 1 L( ) 1, 1 1 i 1 ( ) ( ) 2 2 (1) ( n ) or 2
所以不唯一。
8.解
5.解：
~ U ( , 0)
1 (1) L( ) , 1 , n ( ) i 1
n
1
, n 0
max (1) , L( ) L( )
~ U ( , 2 )
(2) L( )
i 1 n
1

1

n
, 1 ,
x (N x )
i
n
n

i 1
i
1
0
1 (5) L( ) e i 1 2
n
n

1 2
2 ( x ) 2 i
( xi ) 2 ln L( ) [ln 2 ] 2 2 i 1 2( xi ) 2( xi ) ln L( ) 2 n [ 0 4 2 2 i 1

数理统计第二章课后习题答案

第二章参数估计

2.2 对容量为n 的子样，对密度函数

其22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα

⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩ 中参数α的矩法估计。解：1202()()a E x x x dx ααα

==-⎰

22022()x x dx ααα=-⎰

2321221333

ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n =+++ 为n 个

样本的观察值。

2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ 为其样本，求下

列情况下θ∧的MLE 。

(ii)

1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩ 其它 0θ （v ）

1,0(;)0,x e x f x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ 解：

(ii)

1111()n n n i i i i L x x θθθθθ--====∏∏

1ln ()ln (1)ln n i i L n x θθθ==+-∑

11111ln ()ln 01(ln )(ln )n i i n n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑ (v)

111()n i i x n L e θθθ=-∑= 11ln ()ln()n

i L n x θθθ==--∑

211ln ()101,n i i n i i d L n X d x x X n θθθθ

θ=∧==-+===∑∑

2.10 设总体123(,1),,,X N X X X μ 为一样本，试证明下述三个估计

数理统计教程第二章课后习题答案

数理统计第二章习题解答

1.设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.

解: p E =ξ ξ=∴p

ˆ 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.

解: 2

αξ+=

E ，()

αβξ-=

D 。令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22

2n S αβξβ

α得 n S 3ˆ-=ξα，.3ˆn

S +=ξβ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=其它,00,2

;2a

x x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.

解: ()322

dx x a a x E a

=-=

⎰

ξ 令

ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()

()

∏∏==

+=+=

i i n

i n

i x x L 1

11αα

ααα ()i i

∀<<1

∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i n

i x n

L ααα，得 ∑=--=n

i i

L x

ln 1ˆα

。

由于 ()

01ln 2

22<+-=∂∂ααn

L 故∑=--=n

i i

L x

ln 1ˆα是α极大似然估计.

(2) 由211+-

=αξE 令ξα=+-211 得 .11

2ˆξ

ξα--=

5.用极大似然法估计几何分布 ()()

,2,1,11

=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .