应用数理统计作业题及参考答案(第二章)(2)

第二章 参数估计（续）
P68
2.13 设总体X 服从几何分布：{}()1
1k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明
样本均值1
1
n
i i X X n
==
∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。

证明： 总体X 服从几何分布，
∴()1=
E X
p
，()2
1-=
p D X p
.
1 ()
()1
11
11
11==⎛⎫⎛⎫===⋅⋅==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑
∑ n
n i i i i E X
E X E X n E X n
n n p p .
∴样本均值11n
i i X X n
==
∑
是()E X 的无偏估计量。

2 ()
2222
1
11
1111==--⎛⎫⎛⎫
===⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑
∑n
n i i i i p p D X
D X D X n n
n n
p np . ()()()()11
11
ln ln 1ln 1ln 1-⎡⎤=-=+--⎣⎦；X f
X p p p p X p .
()
111ln 111111f
X p X X p
p
p
p p
∂--=
-
=+∂--；.
()
()
2
11
2
2
2
ln 11
1f
X p X p
p
p ∂-=-
+
∂-；.
()()()()21112
2
2
22ln 11
1111f X p X X I p E E E p p p p p ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
∂--=-=--+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣
⎦
； ()
()()
()12
2
2
2
2
211
11
111111111⎛⎫-=
+
-=
+
⋅-=+⋅ ⎪---⎝⎭
p
E X p
p
p p p p p p ()()()
()
2
2
2
111
1
111-+=
+
=
=
---p p
p
p p
p p p
p .
()()
()
2
4
2
2
11
1111⎡⎤
'⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=
=
=-⋅⋅⋅⋅
-n p p
e p D X n I p n np
p
p .
∴样本均值1
1n
i i X X n
==
∑
是()E X 的有效估计量。

3
证法一：()2
1lim lim
0→∞
→∞
-== n n p D X np
，01p <<.
∴样本均值11n
i i X X n
==
∑
是()E X 的相合估计量。

证法二：
()()
2
11⎡⎤'⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=
=⋅⋅ n p e D X n I p ，()
()
2
1⎡⎤
'⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴=⋅p D X n I p . ()
()
2
1lim lim 0→∞
→∞⎡⎤'⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
==⋅ n n p D X
n I p . ∴样本均值1
1n
i i X X n ==∑
是()E X 的相合估计量。

证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的， 即对于任给0>ε，有()
{
}
lim 0→∞-≥=n P X E X
ε.
因此，样本均值1
1
n
i i X X n
==
∑是()E X 的相合估计量。

综上所述，样本均值1
1n
i i X X n
==∑
是()E X 的相合、无偏和有效估计量。

2.14 设总体X 服从泊松分布()P λ，1X ，2X ，…，n X 为其子样。

试求参数2θλ=的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界。

解：2θλ=. ()2
g λλ=. ()2g λλ'=.
{}!
-==
k
P X k e
k λ
λ
. 012= ，
，，k ()111ln ln ln !=--；f X X X λλλ. ()
11
ln 1∂=
-∂；f
X X λλ
λ
.
()
2
11
2
2
ln ∂=-
∂；f
X X λλ
λ
.
()()[]211112
2222ln 1⎡⎤
∂⎡⎤⎡⎤=-=--====⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
；E X f X X X I E E E λλλλλλλλλ. ∴参数2
θλ=的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为： ()()()2
2
2
3
322441g nI n n
n θλ
λλλ
θλλ
='⎡⎤⎣⎦
==⋅
=
.
2.19 设总体X 服从泊松分布()P λ，0λ>，1X ，2X ，…，n X 为来自X 的一个样本。

假设λ有先验分布，其密度为()0
00
e h λλλλ-⎧>=⎨≤⎩，，，求在平方损失下λ的贝叶斯估计量。

解：X 服从泊松分布()!
i
x i P e
x λ
λ
λ-=
，12= ，，
，i x n . λ的先验分布密度为()0
00
e h λλλλ-⎧>=⎨≤⎩，，.
给定λ，样本的分布列为：
()()112121
1120!!!!00=--==⎧∑⎪==>⎪
=
=⎨⎪⎪
≤⎩
∏
∏ ，，，，；，，，，n
i i x n nx n n
i n n
n i i
i i e e
x n x x x g x x x P x x λ
λ
λλλλλλ λ的后验概率密度为：
()
()()
()()1212120000+∞
⎧>⎪⎪=⎨⎪
≤⎪⎩
⎰ ，，，，，，，，，
，，n n n g x x x h g x x x g x x x h d λλλλλλλλ 从而在平方损失下，λ的贝叶斯估计为：
()12
ˆ= ，，，n E x x x λλ ()()()()()120
120
120
+∞+∞+∞=
=
⎰
⎰
⎰
，，，，，，，，，n n n g x x x h d g x x x d g x x x h d λλλλλλλλλλ
.
()()0
11
1
10
1!
!
nx n n
n nx i
i nx n n nx
n
i
i e
e
d x e
d e
e
d e
d x λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλλ
λ
λ
λλλ
λ
-+∞-+∞-++=-+∞-++∞-=⋅
⋅=
=
⋅⎰
∏⎰
⎰
⎰
∏………………………………………（*）
其中，()()111
1
1
1
n n nx nx e d d e
n λ
λ
λλλ
+∞+∞-+-+++⎡⎤=-
⎣⎦
+⎰
⎰ ()()1111
1
1n n nx nx e e
d n λ
λ
λλ
+∞-+-+++∞+⎡⎤=-
-
⎢⎥⎣⎦
+⎰
()()()110
1
10111n n nx nx nx nx e d e d n n λλλλλλ+∞+∞-+-++⎡⎤=-
-+=⎢⎥⎣⎦++⎰⎰…………………（**） 将（**）式代入（*）式得：
()()()10
1210
1
11ˆ1
n nx
n n nx
nx e
d nx n E x x x n e
d λ
λ
λλ
λλλλ
+∞
-++∞
-++++===
+⎰⎰
，，，，
即为在平方损失下λ的贝叶斯估计量。