教材回归(一) 与勾股定理有关的面积问题和梯子滑动问题
勾股定理知识点+对应类型
直角三角形
一、直角三角形的定义
二、直角三角形有关的定理
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3、在直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半，
4、在直角三角形中斜边上的中线等于斜边上的一半。
三、直角三角形的证明;
1、证直角：A直径所对的圆周角是直角B、菱形的对角线互相垂直平分。C:其它
2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
四、特殊的直角三角形（30，60，90或45，45，90）
1、30，60，90：已知一边可求其余两边。例
2、45，45，90：已知一边可求其余两边。例
五、其它：
1、定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
2、.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理
（一）结合三角形：
1.若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2a c b a c b 2624103382
2++=+++，试判断∆ABC
的形状。
（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：
（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米
（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米
勾股定理(知识点+题型分类练习)
A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾股定理（知识点）
【知识要点】
1. 勾股定理的概念：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式
由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC
2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
3. 勾股数：
①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数
（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等
③用含字母的代数式表示n组勾股数：
221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）
； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）
2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
4.判断直角三角形：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角
形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；
勾股定理知识点及典型例题
勾股定理 （一）结合三角形：
1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形
2.在∆ABC 中，若2
a =（
b +
c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90
3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为
4.已知2512-++-y x x 与25102
+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
5.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12
-n ，b =2n ，c =12
+n （n >1） 试说明：∠C=︒90。
6.若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2a c b a c b 2624103382
2++=+++，
试判断∆ABC 的形状。
7.已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 （二）、实际应用：
1. 梯子滑动问题：
（1）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，
如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：
直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） A. 2
b ab = B. 2
2
2
2h b a =+ C.
h b a 111=+ D. 222111h
b a =+ 变：
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 。 求证：（1）
勾股定理知识点+对应类型(整理)4.5
勾股定理
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
a 2＋
b 2＝
c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
a b c
弦股
勾
勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是
勾股数组。）
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2
+b 2
=c 2
，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三
角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
勾股定理的十五种应用题型梳理
勾股定理知识点及其十五种应用归纳梳理
知识点概括
一：直角三角形与勾股定理
直角三角形三边的性质：
1、 直角三角形的两个锐角互余
2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半
3、 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
二：勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数
1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）
3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）。注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数 应用1 勾股定理理解三角形
例题1 在⊙O 中，直径AB ＝15，弦DE ⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5，则DE 的长为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15
勾股定理与梯子问题
如图1，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙上，这时梯子下端 B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2， 测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米．
一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，
吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
如图，有一圆柱，其高为12cm ，它的底面半径为3cm ，在圆柱下 底面A 处有一只蚂蚁，它想得到上面B 处的食物，则蚂蚁经过的最 短距离为________ cm 。（π取3）
一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子 的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米
某摩托车的邮箱最多可存油5升，行驶时邮箱内的余油量y （升） 与行驶的路程x （km ）成一次函数关系，其图象如图。 （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）摩托车加满油后到完全燃烧，最多能行驶多少千米？
在一段平直的铁路上，一列火车正以80km/h 的速度行驶，突然传来消息，前方路面出现故障，司机决定紧急刹车。2分钟后，速度降为60km/h ，其中速度v km/h 正好是刹车时间t （h ）的一次函数。 （1）写出v 与t 的函数关系式
（2）经过多长时间后，火车刚好停下来？
点燃一支蜡烛，其燃烧后剩余的长度与燃烧时间为一次函数关系，蜡烛原长为21cm ，当点燃6分钟时蜡烛长17.4cm ，设蜡烛点燃时间为x （分钟），燃烧后剩余的长度为y （厘米）； （1）试写出y (cm)与x （分钟）之间的函数关系式； （2）点燃几分钟后烧完？
墙角梯子下滑问题及勾股定理
1、墙角梯子下滑问题例析
2、“勾股定理”错解剖析
3、“勾股定理”应用误区
4、“勾股定理”中的思想方法
5、勾股定理逆定理的运用几例
1、墙角梯子下滑问题例析
把一架梯子的底端放在地上，另一端斜靠在垂直于地面的墙上，从侧面看，此时的梯子、地面和墙面就构成一个直角三角形，课本P18页第11题就是以此为切入点，引出的梯子下滑问题．请大家再欣赏一例．
【题目】如图1，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，∠ABO=60°．
（1）求AO与BO的长．
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC∶BD=2∶3，试计算梯子顶端A沿NO下滑了多少米．
②如图3，当A点下滑到'A点，B点向右滑行到'B点时，梯子AB的中点P 也随之运动到'P点．若∠POP’＝15°，试求'
AA的长．
图1 图2 图3 【分析】（1）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BO的长，然后用勾股定理可求出AO的长．
（2）在①的条件中，我们知道了AC与BD的比例关系，要求AC长，可通过比例关系间接求AC，然后根据下滑的梯子与墙壁仍然构成了直角三角形，把三边关系用勾股定理结合起来可求解．在②中，OP和OP’都是直角三角形斜边上的中线，可马上想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再从斜边与中线构成的等腰三角形中寻找角度关系求解．
解：（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，所以∠OAB=30°
又AB=4m，所以OB＝1
2
勾股定理与梯子问题
勾股定理与梯子问题
例1 如图1，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米．
析解：首先根据图1求出AC 的长度，再由图2求出CE 的长度即可得出答案．因在Rt △ABC 中，AB ＝2.5，BC ＝1.5，根据勾股定理得22222.5 1.52AC AB BC =-=-=．在Rt △DCE 中，DE ＝AB ＝2.5，CD ＝BC ＋BD ＝1.5＋0.5＝2．
同样根据勾股定理可得22222.52 1.5CE DE CD =-=-=．
则AE ＝AC －CE ＝2－1.5＝0.5（米）．即梯子顶端A 下落了0.5米到达点E ．
二、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系
例2 如图3，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离
为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外
移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶
端B 下降至 B ′，那么BB ′
①等于1米；②大于1米；③小于1米．
其中正确结论的序号是________．
析解：在Rt △ABO 中，因22222753AB BO AO =+=+=，
当其下滑到Rt △A ′OB ′位置时，有53A B AB ''==，又因A ′O =3，则根据勾股定理可得 2253944211B O A B A O ''''=
-=-==，则72111B B '=-<，由此可知应
勾股定理知识点+对应类型
勾股定理
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个
三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么
ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角
三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
勾股定理教材分析教案
第十八章“勾股定理”简介
课程教材研究所薛彬本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
本章教学时间约需8课时，具体安排如下：
18．1 勾股定理 4 课时
18．2 勾股定理的逆定理 3课时
数学活动
小结 1课时
一、教科书内容和课程学习目标
本章知识结构框图：
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国着名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的
成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理知识点及典型例题
勾股定理知识点
一、勾股定理的证明
例1
试通过等积法得出啊a ，b ，c 三者的关系。
首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a 2＋b 2＝c 2。即勾股定理可以表述为：
二、勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
a 2＋
b 2＝
c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。其中较短的直角边我们叫它：勾；较长长边我们叫它：股；斜边叫它：弦。
A
B
C
a b c
弦股
勾
既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎
样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆：锐角三角形就通过边长为1的等边三角形来特殊化，显然a 2＋b 2＞c 2
对于钝角三角形，可以通过底角为30度，腰为2的等腰三角形来记忆，计
算可知a 2＋b 2＜c 2
大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： A 、若已知边长：
（1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）
B 、若未知边长，则直接进行第二步。
勾股定理与梯子问题
勾股定理与梯子问题
例1 如图1，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米．
例2 如图3，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2
米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动
到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至 B ′，那么BB ′ ①等于1米；②大于1米；③小于1米．
其中正确结论的序号是________．
例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． 例3 如图3，已知四边形ABCD 中，∠B ＝90°， AB ＝3， BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13．求四边形ABCD 的面积．
例4 已知Rt △ABC 中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长． 例5 如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只
猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树
顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑
到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度． 勾股数规律的探究
1、如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c 的值．
第三讲 勾股定理的应用-【暑假衔接】2021年新八年级数学暑假精品知识点(北师大版)(原卷版)
第三讲 勾股定理的应用
【学习目标】
知识与技能:经历多种方法探索勾股定理，进一步利用勾股定理进行简单的计算和证明，解决实际问题。
【基础知识】
1能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.
【考点剖析】
考点一：求梯子滑动的距离
例1．一架云梯AB 斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC ＝24米，梯子底端距墙脚的距离BC ＝7米． （1） 求梯子的长度．
（2） 如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？ 为什么？
考点二：航海问题
例2．如图，一艘轮船从小岛A 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C 处返回A 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）
考点三：求旗杆的高度
例3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m ，当他把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【真题演练】
1．如图，原来从A 村到B 村，需要沿路A →C →B （90C ∠=︒）绕过两地间的一片湖，在A ，B 间建好桥
后，就可直接从A 村到B 村．已知5km AC =，
12km BC =，那么，建好桥后从A 村到B 村比原来减少的路程为（ ）
A ．2km
B ．4km
C ．10 km
D ．14 km
2．如图，在灯塔O 的东北方向8海里处有一轮船A ，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B ，则AB 间的距离为（ ）
《勾股定理》教材分析
东堤头中学 张忠梅
一
教材的地位与作用：
1 学生学习了 “直角三角形两 个锐角互余”，“直角三角形 30°角所对的直角边是斜边的 一半”之后，学习勾股定理。 这是直角三角形非常重要的性 质。
一 教材的地位与作用：
2 勾股定理的应用是直角三角 形性质的拓展，它与实数， 二次根式，方程知识联系， 将来学习四边形，圆，一元 二次方程后，它的应用范围 更大。勾股定理也是后续学 习“解直角三角形”的基础。
A
S1
E
1
S2
2
S3
B
3
C
S4
D
勾股定理中的数学思想： 3 数形结合思想
例：（荆门市）我国古代数学家赵爽 的“勾股圆方图”是由四个全等的直 角三角形与中间的一个小正方形拼成 一个大正方形。如果大正方形的面积 是13，小正方形的面积是1，直角三角 形的两条直角边分别为a,b.那么 （ a+b）2的值为_____ 25
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· DE- BE) ( = (DE+CE)· DE- BE) ( =BD· CD
14.2 勾股定理的逆定理 (1)探索和证明勾股定理的逆定理 （2）逆命题 逆定理的概念 （3）勾股定理逆定理的应用
例题1、如图，四边形ABCD中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°， D 求四边形ABCD的面积
梯子滑动问题
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小议梯子滑动问题
在《勾股定理》的教学中曾跟学生探讨过一个梯子滑动的问题，印象深刻至今仍记忆犹新，并对数学学习感想良多。
一 问题的提出
如图，一个长10米的梯子AB 顶端A 距地面为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端B 将向外滑动多少米？ 二 问题的解决
分析：梯子滑动前与滑动后的长度是不变的，因为滑动前后组成了
两个Rt △，所以可利用勾股定理来解决此题。
解：由题意知1,8,10='===''A A AO AB B A ，
在Rt △AOB 中，BO=68102222=-=-AO AB ,
在Rt △B O A ''中，O B '=14.751)18(102222≈=--='-''O A B A ∴B B '=O B '－BO ≈7.14-6=1.14米。
三 同学们的猜想
一直以来，每解完一道题，我都有一个习惯，就是要求学生对该道题进行反思，提问学生：通过解决这道题，有什么启发，你有什么体会和收获？在这个过程中有一位学生提出一个很有建设性的猜想：从上面这道题可以得出这样一个结论，梯子滑动的垂直距离小于水平距离。学生也对这个结论非常感兴趣。于是因势利导进一步让学生思考：真的是这样吗？
四 猜想遭遇失败
说实话，对这个问题，在课前我并没有意料到。因此让学生思考的同时，自己的大脑也在飞快的转动。还好，很快就找到答案：如果梯子的顶端下滑2米，那么O A '是6米，因为B A ''是10米，所以O B '是8米。可见，梯子滑动的垂直距离等于水平距离。如果梯子的顶端下滑3米，那么O A '是5米，因为B A ''是10米，所以O B '=66.875)38(102222≈=--='-''O A B A 米，所以B B '≈
勾股定理的应用求梯滑落高度问题
勾股定理的应用——求梯滑落高度问题
一、单选题
1．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（）m长的梯子．A．20B．25C．15D．5
【答案】B
【分析】可依据题意作出简单的图形，结合图形利用勾股定理进行求解，即可．
【解析】
如图所示：
∵AC＝20m，BC＝15m，
∵在Rt∵ABC中，25
=m，
故选：B．
【小结】
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2．如图，一架长25米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，梯底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那么梯子底端将向左滑动（）米．
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】
由题意可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端将向左滑动的距离．
【解析】
由题意可得：BE＝7m，AB＝25m，
则AE24（m），
∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20（米），
∵BD+BE＝DE15（m），
∵DB＝15﹣7＝8（米），即梯子底端将向左滑动8米．
故选：C．
【小结】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质特点.
3．一架长25m的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7m,如果梯子的顶端沿墙下滑了4m,那么梯足将滑动（）
A．5m B．8m C．13m D．15m
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数学
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图11
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解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
AC＝ AB2－BC2＝ 2.52－0.72＝2.4 m. (2)∵A′C＝AC－AA′＝2.4－0.4＝2 m，A′B′＝2.5 m，
∴B′C＝ A′B′2－A′C2＝ 2.52－22＝1.5 m， ∴B′B＝B′C－BC＝1.5－0.7＝0.8 m. 答：梯脚 B 将外移 0.8 m.
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图9
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二 梯子滑动问题 (教材P12动脑筋) 如图10，电工师傅把4 m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙 脚B的距离为1.5 m，准备在墙上安装电灯．当他爬上梯子后，发 现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5 m，即移动到C′处．那 么，梯子顶端是否往上移动0.5 m呢？
【思想方法】 此类梯子移动问题，抓住梯子的长度不变，分
别在两个直角三角形中利用勾股定理求线段的长，再进行计算比
较．
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如图11，将长为2.5 m的梯子AB斜靠在墙上，BC长 为0.7 m.
(1)求梯子上端A到墙的底端C的距离(即AC的长)； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m(即AA′＝0.4 m)，则梯脚B 将外移(即BB′的长)多少米？
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如图 12，一根长 6 3 m 的木棒(AB)，斜靠在与地 面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为 60°，当木棒 A 端沿墙下滑至点 A′时，B 端沿地面向右滑行至点 B′.
(1)求OB的长；
(2)当AA′＝1 m时，求BB′的长．
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【思想方法】 勾股定理实质上是反映了直角三角形三边平方
的关系，因此以直角三角形的边向外作图形的面积问题，通常以
勾股定理为桥梁求解．
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图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D 的面积分别为2，5，1，2，则图中最大的正方形E的面积是10 ______．
教材回归(一) 与勾股定理有关的面积问题和梯子滑动问题
一 与勾股定理有关的面积问题 (教材P18习题1.2 B组第8题)
我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方 形，那么S1＋S2＝S3.如图1，如果以直角三角形三条边为直径向外 作半圆，是否也存在S1＋S2＝S3？如果以三条边向外作等边三角形 呢？
图2
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如图3，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，分别 以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为3_0______．
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图3
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如图4所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从 正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再 以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续 下去，…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为 2 ______．
标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形 的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此 规律继续下去，则S2 015的值C为
(
)
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图6
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A.
22 2
012
B.
22 2
013
C.122 012
D.122 013
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【解析】根据题意：第一个正方形的边长为 2，
第二个正方形的边长为 22×2，
第三个正方形的边长为
222×2，
…，
第
n
个正方形的边长是
22n－1×2，
所以
S2
015
的值是
2 2 2
015－1×22＝122
012.
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[2015·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定 理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图7(1))．图 7(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记 图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝1_2______．
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图10
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解：在 Rt△ABC 中，AC＝4 m，BC＝1.5 m， 由勾股定理，得 AB＝ 42－1.52＝ 13.75≈3.71 m. 在 Rt△A′BC′中，A′C′＝4 m，BC′＝1 m， 故 A′B＝ 42－12＝ 15≈3.87 m， 因此 A′A＝3.87－3.71＝0.16 m. 即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m.
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Hale Waihona Puke Baidu
图7
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【解析】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH， MNKT是正方形，
∴CG＝NF，CF＝DG＝FK， ∴S1＝(CG＋DG)2 ＝CG2＋DG2＋2CG·DG ＝GF2＋2CG·DG， S2＝GF2， S3＝(FK－NF)2＝FK2＋NF2－2FK·NF＝GF2－2DG·CG， ∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－2DG·CG＝3GF2 ＝12.
图12
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解：(1)根据题意可知 AB＝6 3 m， ∠ABO＝60°，∠AOB＝90°， 在 Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，
∴OB＝12AB＝12×6 3＝3 3 m.
(2)根据题意可知 A′B′＝AB＝6 3 m， 在 Rt△AOB 中，利用勾股定理得 OA＝ AB2－OB2＝ （6 3）2－（3 3）2＝9 m. ∵OA′＝OA－AA′，AA′＝1 m， ∴OA′＝9－1＝8 m. 在 Rt△A′OB′中，由勾股定理得 OB′＝ A′B′2－OA′2＝ （6 3）2－82＝2 11 m， ∴BB′＝OB′－OB＝(2 11－3 3)m.
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图1
解：都存在 S1＋S2＝S3 的结论． 对于向外作半圆：
∵S1＋S2＝18πa2＋18πb2＝18π(a2＋b2)，S3＝18πc2， 根据勾股定理有 a2＋b2＝c2， ∴S1＋S2＝S3；
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对于向外作等边三角形：
∵S1＝ 43a2，S2＝ 43b2，S3＝ 43c2， 根据勾股定理有 a2＋b2＝c2， ∴S1＋S2＝S3.
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如图8所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝
90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1＋S4＝
100，S3＝36，则S2＝
( B)
A．136 B．64
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图8 C．50
D．81
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如图9所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋ ∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外 作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是 ___S_1_＋__S_3_＝__S_2___．
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图4
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在直线l上依次摆放着七个正方形(如图5所 示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的 四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋4S3＋S4＝ ______．
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图5
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如图6，正方形ABCD的边长为2，其面积