天津市和平区2021届高考数学一模试题(含解析)

天津市和平区2021届高考数学一模试题（含解析）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{}

33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )

A. {}1

B. {}1,1,2-

C. {}2

D.

{}0,1,2

【答案】B 【解析】 【分析】

先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I A

C B ．

【详解】因为{}

{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-， 故()I A

C B ={}1,1,2-．

故选：B ．

【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．

2.“()3k k Z π

απ=

+∈”是“tan 63πα??-= ??

?”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】 【分析】

根据特殊角的正切函数值，可知()tan ,666

k k Z πππ

ααπ?

?

-=?-=+∈ ?

?

?，根据充分必要条件的判断，即可求出结果. 【

详

解

】

由

题

意可

知

，

()()

tan ,63663k k Z k k Z ππππααπαπ?

?-=?-=+∈?=+∈ ??

?,，

所

以

“()3k k Z π

απ=

+∈”是“tan 6πα??-= ???

”的充分必要条件. 故选：C.

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题. 3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数

()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（ ）

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

【答案】C 【解析】 【分析】

根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 【详解】函数()ln 4

f x x x =+-(0,)+∞递增，

且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->， 所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈， 故()02g x =， 故选：C.

【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.

4.已知双曲线2222:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线2

:2(0)y px p Γ=>的

准线分别交于A ，B 两点．若双曲线C 的离心率为2，ABO ，O 为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为 ( )

A. 0)

B. (1,0)

C. D. 1(,0)2

【答案】B 【解析】 【分析】

求出双曲线双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准

线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，列出方程，由此方程求出p 的值．

【详解】∵双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0），

∴双曲线的渐近线方程是y ＝±

b

a

x 又抛物线y 2

＝2px （p ＞0）的准线方程是x 2

p =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±2bp a

， 又由双曲线的离心率为2，所以

c a =2，则3b

a =， A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±

3p

，即AB =3p , 又△AOB 的面积为3，且AB x ⊥轴， ∴

13322

p

p ??=，得p ＝2． 抛物线的焦点坐标为：（1，0） 故选B ．

【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A ，

B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，

做题时要严谨．

5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为

( )

A.

13

B.

12

C.

23

D.

34

【答案】B 【解析】

由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的

学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝6

11

，P(ξ＝1)

＝1139212C C C ?＝922，P(ξ＝2)＝232

12C C ＝122

， ∴ξ的分布列为

∴E(ξ)＝0×

611

＋1×922＋2×122＝12.选B.

6.已知函数2

()

sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5[

,]88

ππ

上是减函数

C. 函数()f x 的图象关于16

x π

=

对称

D. 函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移

4

π

个单位得到 【答案】B 【解析】 【分析】

先将()2

221f x sin x sin x =-+化简为(

)24f x x π?

?=

+ ??

?，再逐个选项判断即可．

【详解】2

()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π?

?=-+=+=

+ ??

?

A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；

B 选项，当5,88x ππ??∈????时，32,422x πππ??+∈????，则()f x 在区间5,88ππ??

????

上是减函数，结论正确；

C 选项，

因为16f π??

≠

???

，则()f x 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误； D 选项，设(

)g x x =

，则

()2442g x x x x f x πππ?????

?+=+=+=≠ ? ? ??????

?，结论错误．

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题. 7.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有

()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ??=- ???

，则,,a b c 大小关系为（ ） A. c b a >>

B. b c a >>

C. a b c >>

D.

a c

b >>

【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x

=

，则函数()g x 单调递减，且a =()

2

0.2g ，b =()1g ，

c =()3log 5g ，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数()

()f x g x x

=

，则函数()g x 单调递减，

(

)2

250.2

a f =()()222

0.20.20.2

f g =

=，

()1b f =()

()111

f g =

=， 51335c log f log ??=- ???

()

()333log 5log 5log 5f g ==，

230.21log 5<<，a b c ∴>>.

故选C .

【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A. 378 B. 306 C. 268 D. 198

【答案】D 【解析】 【分析】

分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 【详解】解：分两种情况讨论. ①若选两个国内媒体一个国外媒体,

有212

63

290C C A 种不同提问方式；

②若选两个外国媒体一个国内媒体,

有123

6

33108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D

【点睛】本题考查组合数公式的运用,排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序,则是排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

9.已知圆O 的半径为2，P,Q 是圆O 上任意两点，且POQ 60∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足()1λλ=-+OC OP OQ （λR ∈），则CA CB ?的最小值为（ ） A. -1 B. -2

C. -3

D. -4

【答案】C 【解析】

【详解】因为()()

()

2

·

··=++=+++?CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CA CB ， 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，

所以0OA OB +=，()2214?=??-=-OA OB ，又60POQ ∠=?，

所以()2

2·414

λλ??=-=-+-??CA CB CO OP OQ ()()22

2

2·121?··4λλλλ=-+-+-CA CB OP OP OQ OQ

·CA CB ()()

22

43314433λλλλ=-+-=- 2

134324λ????=--?? ???????

，

所以，当1

2λ=时，2

1333244min

λ????--=-?? ???????，故·CA CB 的最小值为3434???-=- ???，故选C ．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．

10.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2

(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020

||1a i

i

+=+__．

【解析】 【分析】

利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 【详解】解：

2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =

20001112(1)111(1)(1)

i i i i i i i ++-∴===-+++-

，所以20201|||1|1i i i +=-=+

.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题. 11.若83

()x x

+

的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．

【答案】﹣2 【解析】 【分析】

写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ． 【详解】由题意展开式通项公式为488318

83()r r r

r r r

r T C x

a C x x

--+==，令4843r -=，3r =，

∴4x 系数为33

8448a C =-，解得2a =-．

故答案为：2-．

【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．

12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__． 【答案】46π 【解析】 【分析】

过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积， 【详解】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =， 由图知球半径为222(2)6OC =

+=，半球体积为

3322

(6)4633

V OC πππ=?=?=．

故答案为：46π．

【点睛】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角面作半球的截面，得出正方体与

半球的关系．

13.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22

:2440C x y x y +-+-=截得

弦长为2，则实数a 的值为________. 【答案】6-或2. 【解析】 【分析】

由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距

离d =

，

则2

2213+=，求出实数a 的值.

【详解】因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+ 代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==. 又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的

图象

在1x =处的切线方程为1y x a =+-.

又因为圆2

2

:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，

所以圆心到切线的距离d =

. 因为切线被圆2

2

:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，

则2

2213+=， 解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.

14.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y

+=,则此时2x y +=__,

233x y x y

++的最小值为__．

【答案】

(1). 2 (2). 2+ 【解析】 【分析】

(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y x

x

y x y

++

=++,再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】(1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y

+=,

所以(

)2

24222222

log 33

log

3log 3log 3x y

x y +?=?=,所以22x y +=.

(2)因为22x y +=,

故

2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+

2=+当且仅当23y x x y =,22x y +=,

即62

x y ?=-??=??时取等号.

所以最小值为2+

故答案为：2

；2+

【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题． 15.已知函数11,[2,0]()2(2),(0,)

x x f x f x x ?-+∈-=?

-∈+∞?，则(3)log 2563f =__；若方程()f x x a =+在区间

[2-，4]有三个不等实根，则实数

1

a

的取值范围为__． 【答案】 (1). 81 (2). {}11,2?

??-∞- ??

?

【解析】 【分析】

（1）利用函数的递推关系式，代入()11f x x =-+即可求解. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数

1

a

的取值范围.

【

详解】（1）由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ?-+∈-?=?-∈+∞??

， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==?-=-=?-=，4log 25643381== 答案：81

（2）作出函数()f x 在区间[

]

2,4-上的图象，如图所示，

设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]

2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置， 所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =.

所以，

112a <-或1

1a

= 故答案为：{}11,2?

??-∞-

??

?

【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，

2(cos cos )0C a B b A c ++=．

（1）求角C 的大小； （2）若2a =

2b =．求：

（ⅰ）边长c ；

（ⅱ）sin(2)B C -的值． 【答案】（1）34

C π=

； （2）（ⅰ）10c =（ii ）72

sin(2)10B C -=-．

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.

【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=

∴2cos sin sin 0C C C +=，∴2cos 2

C =-，

0C π<<， ∴34

C π=

（2）（ⅰ）因为2,2a b ==，34

C π=

， 由余弦定理得2222

2cos 24222()10c a b ab C =+-=+-???-

=，∴10c = （ⅱ）由

5

sin sin sin c b B C B =?=

，因为B 为锐角，所以25cos B = 5254sin 225

B =?

?=，22

3cos 2cos sin 5B B B =-=，

423272

sin(2)sin 2cos cos2sin ()55B C B C B C -=-=?--?=-

【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.

17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．

（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；

（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π；（Ⅲ）3

． 【解析】 【分析】

证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：

四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，

BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，

又

平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD

平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥

DC ∴⊥平面BCEF ．

以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：

(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ， 则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，

． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．

又·0AF CB =．AF ?

/平面CDE ．

//AF ∴平面CDE ．

（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，

，， ·

20·

440AD n x DE n y z ?=-=??

=-=??得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，

设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，

则cos =

4n CD n CD

α?=

=??

因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为

4

π． （Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为 得(01,1)n =， (2,2,0)EF =-，

设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则 111

1

sin cos ,2

22

2EF n EF n EF

n θ=??=

=

= cos θ∴==

因此，直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值为

2

． 【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小

18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，以

原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线20l x y -+=:

相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OP 的平行线交椭圆与M 、N 两个不同的点，记21PF M

S S

=，22OF N

S S

=，令12S S S =+，求S 的最大值．

【答案】（Ⅰ）22142

x y +=；

． 【解析】 【分析】

（1）由圆心到切线的距离求出b ，再由离心率可求得a ，从而得椭圆方程； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由平行线的等积转化，得

12S S S =+2121||||2

OMN S OF y y ==-=，因此设直线方程为

x ky =1212,y y y y +，代入S 后利用基本不等式

可得最大值．

【详解】解：（1）由题意可知：椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>焦点在x 轴上，以原点O 为

圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线20l x y -+=:

相切，

所以

b =

，

又椭圆的离心率2

c e a ===

，解得：24a =， 椭圆C 的方程为：22

142

x y +=；

（2）由（1）可知：椭圆的右焦点2F 0)，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 2//OP F M

∴22PF M

OF M S

S =，

122121||||2OMN S S S S OF y y ∴=+==

=-

设直线:MN x ky =+

22

2

1

42

x ky

x y

?=+

?

?

+=

?

?

，整理得：22

(2)2220

k y ky

++-=，

122

22

2

k

y y

k

-

+=

+

，

122

2

2

y y

k

-

=

+

，

2

2

2222

22221

()422

222(2)

k k

S

k k k

-+

∴=-?=

+++

，

2

2

2

2

11

2222

1

(1)11

1

k

k k

k

+

==?

++++

+

，

由2

2

12

1

k

k

++

+

，

1

222

2

S?=，

当且仅当2

2

1

1

k

k

+=

+

时，即0

k=时，取等号，

S的最大值为2．

【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题中设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求弦长、求面积等．这是直线与椭圆相交问题中的常用方法．

19.数列{}n a是等比数列，公比大于0，前n项和*

()

n

S n N

∈，{}

n

b是等差数列，已知

1

1

2

a=，32

11

4

a a

=+，

3

46

1

a

b b

=

+，4

57

1

2

a

b b

=

+．

（Ⅰ）求数列{}n a，{}n b的通项公式n a，n b；

（Ⅱ）设{}n S的前n项和为*

():

n

T n N

∈

（ⅰ）求

n

T；

（ⅱ）若113

12()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1

n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．

【答案】（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112

n n

T n =-+；（ii ）3[8，1

)2． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；

（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =

，

32

114a a =+，可得121112114a a q

a q ?=??

??=+??，整理得21120q q --=， 解得1q =-（舍)或 12q =

，所以数列{}n a 通项公式为1

2

n n a =． 设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =

+，457

12a b b =+，即11288

31616

b d b d +=??+=?，解得10b =，

1d =，

所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；

（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11

(1)

1

2211212

n n n

S -==--，

所以211111

(111)()(1)122222n n n n T n n =++?+-++?+=--=-+；

（ⅱ）由（ⅰ）可得

1113

11

12

1

()(2)

()(2)112(1)(1)22(1)2

n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++

-+-+=

=

==-+++， 所以{}n c 的前n 项和

122231

111111111

()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++?+=-+-+?+-=-++． 又n R 在*n N ∈上是递增的，∴

131

82

n R R =<． 所以n R 的取值范围为3[8

，1

)2．

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查分组求和法与裂项相消法，解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力． 20.已知函数()x

ax b f x e x

+=

,a ,b R ∈,且0a > (1)若函数()f x 在1x =-处取得极值

1

e

,试求函数()f x 的解析式及单调区间； (2)设()(1)()x g x a x e f x =--,()g x '为()g x 的导函数,若存在0(1,)x ∈+∞,使00()()0g x g x +'=成立,求

b

a

的取值范围. 【答案】(1)函数()f x 的解析式为21()x

x f x e x

+=

,定义域为{|0}x x ≠； 单调增区间为(-∞,1]-和1

[2,)+∞,单调减区间为(1,0)-和1(0,)2

；(2)(1,)+∞.

【解析】 【分析】

(1)求导后根据()f x 在1x =-处取得极值1e 可得1(1)(1)0

f e f ?

-=

???'-=?,再求解即可得

21()x

x f x e x

+=

,求导分析导函数的零点以及正负区间,进而得到原函数单调区间即可. (2)根据题意可得存在0(1,)x ∈+∞为221

()()(23)0x

x g x g x e ax a b

x -+'=--=的根,再化简可得2(23)21b x x a x -=-,再求导分析2

(23)()21x x h x x -=-的值域,进而求得b a

的取值范围即可. 【详解】解；(1)由题意()()x x ax b b

f x e a e x x

+=

=+, 2()[()]()()()()x x x x b b b b b

f x a e a e a e a e x x x x x

∴'=+'==+'++'=-++,

由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ,得1(1)(1)0

f e f ?

-=

???'-=?,即120a b a b +=??

-=?,解得21a b =??=?, 则函数()f x 的解析式为21()x

x f x e x

+=

,定义域为{|0}x x ≠,

21111()(2)(2)(1)x

x f x e e x x x x

'=-

++=--+, 又0x e >对x ∈R 恒成立, 令()0f x '则有21120x x -

++,解得1

12x -,且10x ≠,即1x -或12

x ； 同理令()0f x '<可解得10x -<<或1

02

x <<

； 综上,函数()f x 的单调增区间为(-∞,1]-和1

[2,)+∞,单调减区间为(1,0)-和1(0,)2

.

(2)由题意()(1)()(1)2x x

x

x x x

ax b e g x a x e f x a x e e axe ae b x x

+=--=--=--, 则2

()x x

x

x

xe e g x axe ae b x -'=--

22

221()()23(23)x x x

x

x

xe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--,

由条件存在0(1,)x ∈+∞,使00()()0g x g x +'=成立得2

2230x x

x

x

xe e axe ae b

x ---=,对(1,)x ∈+∞成立,

又

0x e >

2

21

230x ax a b

x -∴--=对(1,)x ∈+∞成立, 化简得2(23)21b x x a x -=-,令2

(23)()21

x x h x x -=-,则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域,

求导得22

2(463)

()(21)x x x h x x -+'=-

令2463y x x =-+,为二次函数,图象开口向上,△120=-<,则24630x x -+>,又0x >, 则()0h x '>,()h x 在区间(1,)+∞上单调递增,值域为(1,)+∞, 所以

b

a

的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】本题主要考查了根据极值点求参数值的问题,同时也考查了利用导数分析函数的单调性与值域的问题,需要根据题意将所求的问题转换为函数的单调性与值域等.属于难题.