天津市和平区2021届高考数学一模试题(含解析)

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天津市和平区2021届高考数学一模试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{}33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )A. {}1B. {}1,1,2-C. {}2D.{}0,1,2【答案】B 【解析】【分析】先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I AC B ．【详解】因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-，故()I AC B ={}1,1,2-．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．2.“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的正切函数值，可知()tan ,666k k Z πππααπ⎛⎫-=⇔-=+∈ ⎪⎝⎭，根据充分必要条件的判断，即可求出结果. 【详解】由题意可知，()()tan ,63663k k Z k k Z ππππααπαπ⎛⎫-=⇔-=+∈⇔=+∈ ⎪⎝⎭,，所以“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题. 3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 【详解】函数()ln 4f x x x =+-(0,)+∞递增，且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈，故()02g x =，故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线2:2(0)y px p Γ=>的准线分别交于A ，B 两点．若双曲线C 的离心率为2，ABO ，O 为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为 ( )A. 0)B. (1,0)C. D. 1(,0)2【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，列出方程，由此方程求出p 的值．【详解】∵双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），∴双曲线的渐近线方程是y ＝±bax 又抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程是x 2p =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±2bp a，又由双曲线的离心率为2，所以c a =2，则3ba =， A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±3p，即AB =3p , 又△AOB 的面积为3，且AB x ⊥轴， ∴13322pp ⨯⨯=，得p ＝2．抛物线的焦点坐标为：（1，0）故选B ．【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A ，B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨．5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝611，P(ξ＝1)＝1139212C C C ⋅＝922，P(ξ＝2)＝23212C C ＝122， ∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.6.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C. 函数()f x 的图象关于16x π=对称D. 函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到【答案】B 【解析】【分析】先将()2221f x sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．【详解】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为16f π⎛⎫≠⎪⎝⎭，则()f x 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误； D 选项，设()g x x =，则()2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：B【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题. 7.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（） A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.a cb >>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，则函数()g x 单调递减，且a =()20.2g ，b =()1g ，c =()3log 5g ，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数()()f x g x x=，则函数()g x 单调递减，()2250.2a f =()()2220.20.20.2f g ==，()1b f =()()111f g ==， 51335c log f log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()333log 5log 5log 5f g ==，230.21log 5<<，a b c ∴>>.故选C .【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（） A. 378 B. 306 C. 268 D. 198【答案】D 【解析】【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 【详解】解：分两种情况讨论. ①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290C C A 种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内媒体,有123633108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D【点睛】本题考查组合数公式的运用,排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序,则是排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.9.已知圆O 的半径为2，P,Q 是圆O 上任意两点，且POQ 60∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足()1λλ=-+OC OP OQ （λR ∈），则CA CB ⋅的最小值为（） A. -1 B. -2C. -3D. -4【答案】C 【解析】【详解】因为()()()2···=++=+++⋅CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CA CB ，由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，所以0OA OB +=，()2214⋅=⨯⨯-=-OA OB ，又60POQ ∠=︒，所以()22·414λλ⎡⎤=-=-+-⎣⎦CA CB CO OP OQ ()()2222·121?··4λλλλ=-+-+-CA CB OP OP OQ OQ·CA CB ()()2243314433λλλλ=-+-=- 2134324λ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，当12λ=时，21333244minλ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故·CA CB 的最小值为3434⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．10.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a ii+=+__．【解析】【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 【详解】解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-，所以20201|||1|1i i i +=-=+.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 11.若83()x x+的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．【答案】﹣2 【解析】【分析】写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ．【详解】由题意展开式通项公式为48831883()r r rr r rr T C xa C x x--+==，令4843r -=，3r =，∴4x 系数为338448a C =-，解得2a =-．故答案为：2-．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．【答案】46π 【解析】【分析】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积，【详解】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =，由图知球半径为222(2)6OC =+=，半球体积为3322(6)4633V OC πππ=⋅=⨯=．故答案为：46π．【点睛】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角面作半球的截面，得出正方体与半球的关系．13.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________. 【答案】6-或2. 【解析】【分析】由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距离d =，则22213+=，求出实数a 的值.【详解】因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+ 代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==. 又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.又因为圆22:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.14.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y+=,则此时2x y +=__,233x y x y++的最小值为__．【答案】(1). 2 (2). 2+ 【解析】【分析】(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y xxy x y++=++,再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】(1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y+=,所以()224222222log 33log3log 3log 3x yx y +⇒=⨯=,所以22x y +=.(2)因为22x y +=,故2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+2=+当且仅当23y x x y =,22x y +=,即62x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号.所以最小值为2+故答案为：2；2+【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题． 15.已知函数11,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则(3)log 2563f =__；若方程()f x x a =+在区间[2-，4]有三个不等实根，则实数1a的取值范围为__．【答案】 (1). 81 (2). {}11,2⎛⎫⋃-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用函数的递推关系式，代入()11f x x =-+即可求解. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围.【详解】（1）由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=，4log 25643381== 答案：81（2）作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根，则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置，所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =.所以，112a <-或11a= 故答案为：{}11,2⎛⎫⋃-∞-⎪⎝⎭【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，2(cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若2a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．【答案】（1）34C π=；（2）（ⅰ）10c =；（ii ）72sin(2)B C -=-．【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴2cos sin sin 0C C C +=，∴2cos C =-，0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2,2a b ==，34C π=，由余弦定理得22222cos 24222()10c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，∴10c = （ⅱ）由5sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以25cos B = 5254sin 225B =⨯⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=， 423272sin(2)sin 2cos cos2sin ()55B C B C B C -=-=⨯--⨯=-【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π；（Ⅲ）32．【解析】【分析】证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ，则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又·0AF CB =．AF ⊂/平面CDE ． //AF ∴平面CDE ．（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，，， ·20·440AD n x DE n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos =4n CD n CDα⋅==⨯⋅因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为4π．（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为得(01,1)n =， (2,2,0)EF =-，设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则 1111sin cos ,2222EF n EF n EFn θ=〈〉===cos θ∴==因此，直线EF 与平面ADE 【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线20l x y -+=:相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OP 的平行线交椭圆与M 、N 两个不同的点，记21PF MS S=，22OF NS S=，令12S S S =+，求S 的最大值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；．【解析】【分析】（1）由圆心到切线的距离求出b ，再由离心率可求得a ，从而得椭圆方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由平行线的等积转化，得12S S S =+2121||||2OMN S OF y y ==-=，因此设直线方程为x ky =1212,y y y y +，代入S 后利用基本不等式可得最大值．【详解】解：（1）由题意可知：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>焦点在x 轴上，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线20l x y -+=:相切，所以b =，又椭圆的离心率2c e a ===，解得：24a =，椭圆C 的方程为：22142x y +=；（2）由（1）可知：椭圆的右焦点2F 0)，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 2//OP F M∴22PF MOF M SS =，122121||||2OMN S S S S OF y y ∴=+===-设直线:2MN x ky =+，222142x kyx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22(2)2220k y ky ++-=， 122222ky y k -+=+，12222y y k -=+， 22222222221()422222(2)k k S k k k -+∴=-⨯=+++， 22221122221(1)111k k k k +==⨯+++++，由22121k k +++，12222S ⨯=，当且仅当2211k k +=+时，即0k =时，取等号，S 的最大值为2．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题中设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求弦长、求面积等．这是直线与椭圆相交问题中的常用方法．19.数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和*()n S n N ∈，{}n b 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ；（Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为*():n T n N ∈（ⅰ）求n T ；（ⅱ）若11312()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．【答案】（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112nnT n =-+；（ii ）3[8，1)2．【解析】【分析】（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围．【详解】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =，32114a a =+，可得121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得21120q q --=，解得1q =-（舍)或 12q =，所以数列{}n a 通项公式为12n n a =．设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =+，45712a b b =+，即1128831616b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得10b =，1d =，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11(1)12211212n n nS -==--，所以211111(111)()(1)122222n n n n T n n =++⋯+-++⋯+=--=-+；（ⅱ）由（ⅰ）可得111311121()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++-+-+====-+++，所以{}n c 的前n 项和122231*********()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++．又n R 在*n N ∈上是递增的，∴13182n R R =<．所以n R 的取值范围为3[8，1)2．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查分组求和法与裂项相消法，解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力． 20.已知函数()xax b f x e x+=,a ,b R ∈,且0a > (1)若函数()f x 在1x =-处取得极值1e,试求函数()f x 的解析式及单调区间； (2)设()(1)()x g x a x e f x =--,()g x '为()g x 的导函数,若存在0(1,)x ∈+∞,使00()()0g x g x +'=成立,求ba的取值范围. 【答案】(1)函数()f x 的解析式为21()xx f x e x+=,定义域为{|0}x x ≠；单调增区间为(-∞,1]-和1[2,)+∞,单调减区间为(1,0)-和1(0,)2；(2)(1,)+∞.【解析】【分析】(1)求导后根据()f x 在1x =-处取得极值1e 可得1(1)(1)0f e f ⎧-=⎪⎨⎪'-=⎩,再求解即可得21()xx f x e x+=,求导分析导函数的零点以及正负区间,进而得到原函数单调区间即可. (2)根据题意可得存在0(1,)x ∈+∞为221()()(23)0xx g x g x e ax a bx -+'=--=的根,再化简可得2(23)21b x x a x -=-,再求导分析2(23)()21x x h x x -=-的值域,进而求得b a的取值范围即可. 【详解】解；(1)由题意()()x x ax b bf x e a e x x+==+, 2()[()]()()()()x x x x b b b b bf x a e a e a e a e x x x x x∴'=+'==+'++'=-++,由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ,得1(1)(1)0f e f ⎧-=⎪⎨⎪'-=⎩,即120a b a b +=⎧⎨-=⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,则函数()f x 的解析式为21()xx f x e x+=,定义域为{|0}x x ≠, 21111()(2)(2)(1)x xf x e e x x x x'=-++=--+, 又0x e >对x ∈R 恒成立, 令()0f x '则有21120x x -++,解得112x -,且10x ≠,即1x -或12x ；同理令()0f x '<可解得10x -<<或102x <<；综上,函数()f x 的单调增区间为(-∞,1]-和1[2,)+∞,单调减区间为(1,0)-和1(0,)2.(2)由题意()(1)()(1)2x xxx x xax b e g x a x e f x a x e e axe ae b x x+=--=--=--, 则2()x xxxxe e g x axe ae b x -'=--22221()()23(23)x x xxxxe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--,由条件存在0(1,)x ∈+∞,使00()()0g x g x +'=成立得22230x xxxxe e axe ae bx ---=,对(1,)x ∈+∞成立,又0x e >221230x ax a bx -∴--=对(1,)x ∈+∞成立, 化简得2(23)21b x x a x -=-,令2(23)()21x x h x x -=-,则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域,求导得222(463)()(21)x x x h x x -+'=-令2463y x x =-+,为二次函数,图象开口向上,△120=-<,则24630x x -+>,又0x >, 则()0h x '>,()h x 在区间(1,)+∞上单调递增,值域为(1,)+∞, 所以ba的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】本题主要考查了根据极值点求参数值的问题,同时也考查了利用导数分析函数的单调性与值域的问题,需要根据题意将所求的问题转换为函数的单调性与值域等.属于难题.。

2021年天津市和平区高考数学第一次质检试卷(一模)

2021年天津市和平区高考数学第一次质检试卷（一模）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x||x|<2}，C={−2,−1,0}，则(A∩B)∪C=()A. {0}B. {0,1，2}C. {−2,−1,0，1}D. {−2,−1,0，1，2}2.设a∈R，则“2<a<3”是“a2−5a−6<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为；[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是()A. 270B. 300C. 330D. 3604.函数y=tanx在(−π,π)的图象大致为()x2+1A.B.C.D.5. 设a =812，b =log 32，c =log 23，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b6. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A −B 1CD 1的体积为( )A. 43B. 83C. 4D. 67. 已知抛物线y 2=8x 的准线经过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为( )A. x 22−y 2=1B. x 2−y 22=1 C. x 24−y 24=1 D. x 22−y 22=1 8. 设函数f(x)=sin2x +cos2x ，给出下列结论：①f(x)的最小正周期是π； ②f(x)在区间(−π8,π8)内单调递增；③将函数y =f(x)的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y =cos2x 的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知a ∈R ，设函数f(x)={x 2−2ax +2a,x ≤1lnx +1,x >1，若关于x 的方程f(x)=−14x +a 恰有两个互异的实数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (5+2√68,+∞)C. (−∞,0]∪(5+2√68，+∞) D. (−∞,5−2√68)∪[54，+∞) 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设i 是虚数单位，复数1−i2+i 的虚部等于______ ． 11. 在(x −3x 2)5的展开式中，x 2的系数是______ ．12. 已知直线l ：x +y −2=0与圆C ：(x −1)2+y 2=1相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为______ ． 13. 甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______ ． 14. 已知a >0，b >0，则22a+√2b的最小值为______ ．15. 如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AB =5，CD =2，BC =√13，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，M ，N 分别是线段AB ，AD 上的点，且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =2√7，c =2，B =π3．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求sin A ；(Ⅲ)求sin(B +2A)的值．17. 如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知侧棱AA 1⊥底面ABCD ，侧面ABB 1A 1是正方形，AB 1与A 1B交于点O ，AB ⊥BC ，AB//CD ，AB =2，BC =CD =1． (Ⅰ)求证：AD//平面COC 1；(Ⅱ)求直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值；(Ⅲ)若点P在线段A1D1上，且A1P=23A1D1，求二面角C−AB1−P的正弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设经过点F的直线l不与坐标轴垂直，直线l与椭圆C相交于点A，B，且线段AB的中点为M，经过坐标原点O作射线OM与椭圆C交于点N，若四边形OANB为平行四边形，求直线l的方程．19.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等差数列，S2=0，b1−a1=1，b3+a2=5，2b5=b4+3b2．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设{b n}的前n项和为T n，c n=(2n+1)a nT n，n∈N∗．(ⅰ)当n是奇数时，求c n+c n+1的最大值；(ⅰ)求证：∑c i 2n i=1<1．20. 已知函数f(x)=axlnx ，a ∈R ．(Ⅰ)当a =1时，直线l 与y =f(x)相切于点(e 23,f(e 23))， (ⅰ)求f(x)的极值，并写出直线l 的方程； (ⅰ)若对任意的x ≥e 都有f(x)≥m xe mx，m >0，求m 的最大值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+x 2有且只有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2>e 2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={0,1，2}，B={x|−2<x<2}，C={−2,−1,0}，∴A∩B={0,1}，(A∩B)∪C={−2,−1,0，1}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查不等式的解法，充要条件的判断与应用，属于基础题．化简不等式a2−5a−6<0，利用充要条件的判断方法，判断即可．【解答】解：由a2−5a−6<0，可得−1<a<6，由2<a<3可推出−1<a<6，由−1<a<6不能够推出2<a<3，所以“2<a<3”是“a2−5a−6<0”的充分不必要条件．故选：A．3.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图可知，低于60分的频率为(0.005+0.01)×20=0.3，因为低于60分的人数是90，=300．所以该年级的学生人数是n=900.3故选：B．先利用频率分布直方图求出低于60分的频率，然后再利用频数、频率以及样本容量之间的关系求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，设f(x)=tanxx 2+1，在区间(−π,π)，有x ≠±π2，其定义域关于原点对称，有f(−x)=−tanxx 2+1=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，排除AC ，又有f(0)=0，排除B ，故选：D ．根据题意，分析函数的奇偶性排除AC ，又由f(0)的值，排除B ，即可得答案．本题考查函数的图像分析，涉及函数的奇偶性的判断，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵a =812=2√2>2， 0=log 31<b =log 32<log 33=1， 1=log 22<c =log 23<log 24=2， ∴a ，b ，c 的大小关系为b <c <a ．故选：C ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，涉及到指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，由图可知，三棱锥A −B 1CD 1是棱长为2√2的正四面体D 1−AB 1C ，设D 1 在底面的射影为O ，可得AO =23√(2√2)2−(√2)2=2√63．∴D 1O =√(2√2)2−(2√63)2=4√33．∴三棱锥A−B1CD1的体积为V=13×12×2√2×2√2×√32×4√33=83．故选：B．由题意画出图形，可知三棱锥A−B1CD1是棱长为2√2的正四面体D1−AB1C，求出底面积与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：抛物线y2=8x的准线x=−2经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点(−2,0)，双曲线的两条渐近线相互垂直，可知a=b，所以c=√2a，所以a=√2，所以x22−y22=1．故选：D．求出抛物线的准线方程，推出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的两条渐近线相互垂直，求解a的值，即可得到选项．本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，①f(x)的最小正周期是T=2π2=π，所以①正确；②当−π2≤2x+π4≤π2时，解得−3π8≤x≤π8时，函数是增函数，所以f(x)在区间(−π8,π8)内单调递增，所以②正确③将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y=√2sin(2x+π2+π4)=√2cos(2x+π4)的图象．所以③不正确；故选：A．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①；利用函数的单调性判断②；三角函数的图象变换判断③即可．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的简单性质的应用，是基础题．9.【答案】D【解析】解：当x >1时，令lnx +1=−14x +a ，则lnx +14x +1−a =0，因为lnx +14x 为增函数，所以当该方程在x >1时无实数根时，14+1−a ≥0，所以a ≤54， ①a >54时，x >1时有一个解，所以x ≤1时，x 2−2ax +2a =−14x +a 有一个解，当x ≤1时，x 2+(14−2a)x +a 是递减的，1+14−2a +a =54−a <0，所以x ≤1时有一个解，所以a >54成立，②a =54时，lnx +1=−14x +a 在x >1时无解，但x 2−2ax +a =−14x +a 在x ≤1时有两个解，所以a =54时成立，③a <54时，lnx +1=−14x +a 在x >1时无解，x ≤1时，x 2−2ax +2a =−14x +a ，所以x 2+(14−2a)x +a =0，该方程要在x ≤1时有2个解， △=4a 2−a +116−4a >0，所以a >5+2√68或a <5−2√68，因为a <54，所以a <5−2√68，且x =1时，1+14−2a +a ≥0，所以a ≤54，所以a <5−2√68，综上，a 的范围为(−∞,5−2√68)∪[54,+∞),故选：D ．根据x >1时求出a ≤54，然后分别讨论a >54,a =54,a <54时根的情况，进而可以求解．本题考查了函数的零点与方程根的问题，涉及到分类讨论思想，考查了学生的分析问题的能力与运算能力，属于中档题．10.【答案】−35【解析】解：复数1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i 5=15−35i 的虚部为−35．故答案为：−35．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．11.【答案】−15【解析】解：展开式的通项为T r+1=C 5r x 5−r (−3x2)r =C 5r (−3)r x 5−3r ，令5−3r =2，解得r =1，所以x 2的系数为C 51(−3)1=−15，故答案为：−15．求出展开式的通项，然后令x 的指数为2，求出r 的值，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】√2【解析】解：根据题意，圆C ：(x −1)2+y 2=1，其圆心为(1,0)，半径r =1，圆心(1,0)到直线x +y −2=0的距离d =√1+1=√22，则|AB|=2×√r 2−d 2=2×√22=√2，故答案为：√2．根据题意，求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线l 的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．13.【答案】1112【解析】解：甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的对立事件是两人同时没有命中， ∴甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是： P =1−(1−34)(1−23)=1112．故答案为：1112．甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的对立事件是两人同时没有命中，由此能求出甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14.【答案】2【解析】解：因为a >0，b >0，所以a 2+1≥2a,b 2+2≥2√2b ，所以22a+√2b=22a+√2b≥√2b a+√2b=2，当且仅当a =1,b =√2时取等号，所以a 2+b 2+3a+√2b的最小值为2．故答案为：2．利用基本不等式得到a 2+1≥2a,b 2+2≥2√2b ，然后将所求式子进行变形，即可得到的答案．本题考查了基本不等式的运用，解题的关键是对所求式子的变形，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．15.【答案】12【解析】解：设AC ，BD 的交点为O ，根据AB//CD ，AB =5，CD =2，可设OC =2x ，OA =5x ；OD =2y ，OB =5y ，则由AC ⊥BD 得： OC 2+OD 2=CD 2，OC 2+OB 2=BC 2，即(2x)2+(2y)2=4①，(2x)2+(5y)2=13②．联立①②可得：x 2=47,y 2=37，故AD 2=OD 2+OA 2=4×37+25×47=16，故AD =4．又BD =7y =7×√3√7=√21．所以在△ABD 中，由余弦定理得：cos∠BAD =AD 2+AB 2−BD 22×AD×AB=12．再设|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−x ，(0<x <2)．所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(2−x)×cos∠BAD =12(−x 2+2x)=12[−(x −1)2+1]，显然，当x =1时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为12．故答案为：12．不妨设AC ∩BD =O ，然后根据CD//AB ，且AC ⊥BD ，利用勾股定理、余弦定理求出BD 的长度，进而求出cos∠BAD ，最后结合数量积的定义、二次函数的性质即可求出最值．本题考查平面向量数量积在几何问题中的应用，以及学生的运算能力．属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为b =2√7，c =2，B =π3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得28=a 2+4−2×a ×2×12，可得a 2−2a −24=0，解得a =6，或−4(舍去)，即a 的值为6．(Ⅱ)由正弦定理asinA =bsinB ，可得sinA =a⋅sinB b=6×√322√7=3√2114．(Ⅲ)因为cosA =b 2+c 2−a 22bc=28+4−362×2√7×2=−√714，所以sin2A =2sinAcosA =2×3√2114×(−√714)=−3√314，cos2A =2cos 2A −1=2×128−1=−1314， sin(B +2A)=sinBcos2A +cosBsin2A =√32×(−1314)+12×(−3√314)=−4√37．【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得a 2−2a −24=0，解方程即可得解a 的值． (Ⅱ)由正弦定理即可得解sin A 的值．(Ⅲ)由已知利用余弦定理可求cos A 的值，利用二倍角公式可求sin2A ，cos2A ，进而根据两角和的正弦公式即可求解sin(B +2A)的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，两角和的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：分别取线段AB ，CC 1的中点E ，F ，连结CE ，OE ，OF ，则AE =CD ，AE//CD ，OE =12AA 1=CF ，OE//AA 1//CF ，所以四边形AECD 和四边形OECF 均为平行四边形，所以AD//CE//OF ，又AD ⊄平面COC 1，OF ⊂平面COC 1，所以AD//平面COC 1；(Ⅱ)解：建立空间直角坐标系如图所示，则A(2,0，0)，C(0,0，1)，B 1(0,2，0)，C 1(0,2，1)，O(1,1，0)，所以OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，设平面AB 1C 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则有{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0，令x =1，则y =1，z =2，故m⃗⃗⃗ =(1,1,2)，所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||OC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√3=√23，所以直线OC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为√23；(Ⅲ)解：根据题意可得，A 1(2,2，0)，D 1(1,2，1)，设P(x 0,y 0,z 0)，则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−2,y 0−2,z 0)，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，因为A 1P =23A 1D 1，所以{x 0−2=−23y 0−2=0z 0=23，所以P(43,2,23)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,2,23)，设平面AB 1P 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则有{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a +2b +23c =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +2b =0，令a =1，则b =1，c =−2，故n ⃗ =(1,1,−2)，所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√6×√6=−13，所以sin <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√1−(−13)2=2√23，故二面角C −AB 1−P 的正弦值为2√23．【解析】(Ⅰ)分别取线段AB ，CC 1的中点E ，F ，连结CE ，OE ，OF ，利用中位线定理以及平行四边形的判定和性质，可得AD//CE//OF ，由线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)建立合适空间直角坐标系，求出点的坐标，利用待定系数法求出平面AB 1C 的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可；(Ⅲ)设P(x 0,y 0,z 0)，利用向量相等的坐标表示求出点P 的坐标，再利用待定系数法求出平面AB 1P 的法向量，然后由用向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用以及空间角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得{c =1c a =√22a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y =k(x −1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立方程{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 整理可得：(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2，所以x 0=2k 21+2k2,y 0=k(x 0−1)=−k 1+2k2，所以点M 的坐标为(2k 21+2k 2,−k 1+2k 2)，在平行四边形OANB 中，有ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点N 的坐标为(x 3,y 3)，所以点N 的坐标为(4k 21+2k 2,−2k1+2k 2)，又因为点N 在椭圆上，所以(4k 21+2k 2)22+(−2k1+2k 2)2=1，解得k =±√22，所以直线l 的方程为y =√22x −√22或y =−√22x +√22．【解析】(Ⅰ)利用已知建立方程组联立即可求解；(Ⅱ)设出直线l 的方程以及点A ，B ，M 的坐标，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点M 的坐标，再由向量的平行四边形法则求出点N 的坐标，代入椭圆方程即可求出直线l 的斜率，由此即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到向量的平行四边形法则以及中点坐标公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)b 1−a 1=1①，b 3+a 2=5②，2b 5=b 4+3b 2③，②−①可得b 3−b 1+a 1+a 2=4，因为S 2=a 1+a 2=0，所以b 3−b 1=4，设{b n }的公差为d ，则2d =4，即d =2，代入③可得b 5−b 4+b 5−b 2=2b 2，所以b 2=4，b 1=2，所以b n =2+2(n −1)=2n ；由①②可得a 1=1，a 2=−1，等比数列{a n }的公比为−1， a n =(−1)n+1(n ∈N ∗)， (Ⅱ)(ⅰ)T n =n(2+2n)2=n(n +1)，当n 为奇数时，c n +c n+1=2n+1n(n+1)−2n+3(n+1)(n+2)=1n +1n+1−1n+1−1n+2=1n −1n+2=2n(n+2)，由c n +c n+1=2n(n+2)，递减，所以当n =1时，c n +c n+1的最大值为23；(ⅰ)证明：∑c i 2n i=1=c 1+c 2+⋯+c 2n =1+12−12−13+⋯−12n −12n+1=1−12n+1<1．即∑c i 2n i=1<1．【解析】(Ⅰ)运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求； (Ⅱ)(ⅰ)由等差数列的求和公式和数列的单调性，可得所求最大值； (ⅰ)运用数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列的通项公式和求和公式、数列的裂项相消求和，考查转化思想、运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)(i)a =1时，f(x)=xlnx ，f′(x)=lnx +1(x >0)，令f′(x)>0，解得：x >1e ，令f′(x)<0，解得：0<x <1e ，故f(x)在(0,1e )递减，在(1e ,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(1e )=1e ln 1e =−1e ，没有极大值，又f(e 23)=e 23lne 23=23e 23，f′(e 23)=lne 23+1=53，故直线l 的方程为y −23e 23=53(x −e 23)，即5x −3y −3e 23=0； (ii)对任意x ≥e 都有f(x)≥m xe m x =e m x lne m x，即f(x)≥f(e mx )恒成立，由m >0，故mx >0，故e mx >1，由(i)知f(x)在(1e ,+∞)单调递增，故x ≥e mx ，可得lnx ≥mx ，即xlnx ≥m ，当x ≥e 时，f(x)的最小值是f(e)=e ，故m 的最大值是e ； (Ⅱ)证明：要证x 1x 2>e 2，只需证明ln(x 1x 2)>2即可，由题意x 1，x 2是方程axlnx +x 2=0的两个不相等的实数根，∵x >0，∴{alnx 1+x 1=0①alnx 2+x 2=0②，消去a ，整理得：ln(x 1x 2)=ln x 1x 2⋅x 1x 2+1x 1x 2−1，不妨设x 1>x 2，令t =x 1x 2，则t >1，故只需证明当t >1时，lnt ⋅t+1t−1>2，即证明lnt >2(t−1)t+1，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，则ℎ′(t)=1t −2t+1−(t−1)(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，于是ℎ(t)在(1,+∞)单调递增，从而ℎ(t)>ℎ(1)=0，故lnt >2(t−1)t+1，故x 1x 2>e 2．【解析】(Ⅰ)(i)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，求出切线方程即可；(ii)问题转化为f(x)≥f(e m x)恒成立，得到e m x>1，求出m的最大值即可；(Ⅱ)问题转化为证明ln(x1x2)>2即可，求出ln(x1x2)=ln x1x2⋅x1x2+1x1x2−1，不妨设x1>x2，令t=x1x2，则t>1，证明lnt>2(t−1)t+1，设ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．。

天津市和平区2024届高三下学期一模试题数学含答案

和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷（答案在最后）温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：•球的表面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径.•如果事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ .•如果事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}22A x x =∈-≤<N ，{}2B x x =∈≤Z ，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（）A.1B.2C.3D.42.函数()32x f x x =+的图象大致是（）A.B.C.D.3.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1a ，314a ，2a 成等差数列，则91089a aa a +=+（）11-C.4+D.4-4.已知a ，b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人.（第5题）A.1B.2C.3D.46.设123a⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122log 3log 9b =-，1312c -⎛⎫=⎪⎝⎭，则有（）A.a b c <<B.a c b<< C.b c a<< D.b a c<<7.已知函数()()22sin cos f x x x x =-∈R ，()f x '是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（）A.函数2f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数B.函数()f x 与()f x '的值域相同C.函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D.函数()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8.若三棱台111ABC A B C -的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O 的表面上，112AB A B ==111ABC A B C -的高为（）A. B.8C.6或8D.或69.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B两点，1112F A F B =，2ABF △的面积为，且220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（）A.22142x y -=B.22144x y -=C.221424x y -= D.221169x y -=第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.2.本卷共11题，共105分.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.i 为虚数单位，复数1i z =+，则3i z +=______.11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为______（请用数字作答）.12.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为______；党员甲能通过初试的概率为______.13.圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为______.14.青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用MA 、MB 表示MO =______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围______.图一图二第（14）题15.若函数()()23sin 4344f x a x ax x a ππ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2a b =+，c =，且sin A C =.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求tan A 的值；（Ⅲ）求cos 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.第（17）题（Ⅰ）求证：PB ⊥平面EFD ；（Ⅱ）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；（I Ⅲ）若直线MF 与平面ABCD 所成的角的正弦值为32222，求此时MC 的长度.18.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为2的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅.19.（本小题满分15分）若数列{}n a满足)*1n a n +=∈N ，其中0d ≠，0n a >，则称数列{}n a 为M 数列.（Ⅰ）已知数列{}n a 为M 数列，当1d =，11a =时，（i ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()*na n ∈N 的通项公式；（ii ）()()()242*11nkn k kk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T=∈∑N .（Ⅱ）若{}n a 是M 数列()*n ∈N ，且0d >，证明：存在正整数n ，使得112024ni ia=>∑.20.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x =，()()()11e 0x g x x x -=->，（a ∈R ，e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当()1,x ∈+∞时，()()g x k x <；（Ⅲ）若()()(),01,, 1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，()2312ln2e 1x x x +<+.和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷参考答案及评分标准一、选择题（95⨯分45=分）123456789DBABDBDCC二、填空题（65⨯分30=分）11.80-.12.95；23.13.()0,7.14.()12MA MB +；[]8,12.15.114319288,,20742031212⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎡⎫⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎬⎨⎬⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭.三、解答题（共75分）16.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin A C =，由正弦定理，所以a =，……1分所以2,,.a b c a =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4,2,ab c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以c =……4分（Ⅱ）由余弦定理222cos 24c b a A bc +-==-，……6分sin 4A ==，所以sin tan cos AA A==.……8分（Ⅲ）23cos22cos 14A A =-=-，7sin22sin cos 4A A A ==-.……12分所以cos 2cos2cos sin2sin 4448A A A πππ-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.……14分17.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）证明：因为四棱雉P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，所以以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，……1分则有()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，()0,0,0D ，()0,0,3P ，33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，330,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为33,0,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，330,,22DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面EFD 的法向量为()1,,n x y z =，则11330,22330.22n DE x z n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则()11,1,1n =- ，……3分又因为()3,3,3PB =- ，则13PB n = ，即1PB n∥，……4分由1n ⊥平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD 得证.（Ⅱ）设平面EFD 与平面ABCD 的夹角为θ，平面EFD 的法向量()11,1,1n =- ，平面ABCD 的法向量()20,0,1n =，……5分所以，1212123cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 则平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为33.……8分（Ⅲ）设MC 长度为()0m m >，(),3,0M m ，设直线MF 与平面ABCD 所成角为1θ，已知1322sin 22θ=，33,,22MF m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，……10分2122232sin cos ,992244MF n MF n MF n m θ⋅===⋅++，……13分求得1m =，则此时MC 长度为1.……15分18.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）依题意，22221,223,.c a ba abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.……4分（Ⅱ）设直线l 的方程为()302y x m m =+≠，设点()11,P x y ，()22,Q x y，221,43.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，联立方程组，整理得223260x m ++-=.……6分()21260m ∆=->，即260m ->，即m <<0m ≠.……7分由韦达定理得12212,26.3x x m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以PQ中点2m T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线OT 方程为32y x =-，设点N 在第二象限， (10)分221,43.2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，联立方程组，求得2M ⎫-⎪⎪⎭，2N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，……11分所以()2276764312m TM TN m ⎛⎫-⋅==- ⎪⎝⎭，……13分221144TP TQ PQ ⋅== (14)分()22272674616312m m ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……15分所以.TP TQ TM TN ⋅=⋅.19.（本小题满分15分）解：（I ）（i ）证明：由)*1n a n +=∈N ，可得()22*11n n a a n +-=∈N ，……2分所以，数列{}2na 是首项为21a公差为1的等差数列，所以，()2211n a a n d n =+-=，……4分又因为0n a >，所以)*n a n =∈N .……5分（ii ）2n a n =，442n a n ==，……6分()()()()222422111111nnnkkk n k kk k k T a ak k ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=-⋅+-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑，设()2211nk k A k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，()211nk k B k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，()()()()22222222142112342374122nk k n n A k n n n n=+⋅⎡⎤=-⋅=-+-+-⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅-==+⎣⎦∑，()21112342nkk B k n n =⎡⎤=-⋅=-+-+-⋅⋅⋅+=⎣⎦∑，……8分所以，22222n T A B n n n n n =+=++=+，()111112121n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，……9分所以，111111111111112223121222nk kT n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑.……10分（Ⅱ）若{}n a 是M 数列，有()2211n a a n d =+-，故n a =，且0d >，即1na = (12)分2->=2d=，……14分则112ni ia d =>⋅⋅⋅+∑)12a d=1a -随n 的增大而增大，法（一）若{}n a 是M 数列，则0n a >且221n n a a d +-=，且n →+∞时，)12a d-→+∞，故对任意的0d >，总存在正整数n使)122024a d>，即总存在正整数n ，使得112024ni ia =>∑.法（二）若)122024a d>，可得()2120241012n a d >+，因为*n ∈N ，故对任意的0d >，总存在正整数n使)122024a d>，即总存在正整数n ，使得112024ni ia =>∑.……15分20.（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()ln 1f x x ='+，令()0f x '>，即ln 1x >-，1ex >，……1分所以()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.……3分（Ⅱ）因为()()11e1x g x x -'=-++，所以()11g '=-，而()10g =，……4分所以()g x 在点()1,0处的切线方程为：()1y k x x ==-+，……5分当()1,x ∈+∞时，令()()()1e 21x x k x g x x x ϕ-=-=-+，()1,x ∈+∞，法（一）：令()()()111ee 21e 2x x x p x x x x ϕ---'==+-=+-，()()12e x p x x -=+'，则()1,x ∈+∞时，()0p x '>，所以()p x 在()1,x ∈+∞上单调递增，()()10p x p >=，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()1,x ∈+∞上单调递增，()()10x ϕϕ>=，所以()0x ϕ>.法（二）易证e 1xx >+，所以，12e21210x x x x x --+>-+>，所以()0x ϕ>，所以()()1e210x k x g x x x --=-+>在()1,x ∈+∞时恒成立，即()1,x ∈+∞时，()()g x k x <得证.……8分（Ⅲ）证明：由题意可知()1ln ,01,e , 1.x x x x h x x x x -<<⎧=⎨-+≥⎩……9分因为1x ≥时，()()1e 1x g x x =-++'，令()()()1e 1x w x g x x ==-++'，()()2e 0xw x x =-+<'，所以()g x '在1x ≥时单调递减，所以()()10g x g ''<<，所以()g x 在()1,+∞为减函数.则由（Ⅰ）有()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，……10分所以11e eh ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()10h =，设()()()1231,0e h x h x h x t ⎛⎫===∈-⎪⎝⎭，设()1y k x x ==-+与y t =交点横坐标为3x '，则31x t '=-，有33x x '<，……11分因为()()()112211111111ln ln ln ln ln ln m m x x x x t x x mx mx x mx x mx ==⇒=⇒=⇒=，可得1ln ln 1m m x m=-，……12分所以111ln ln 1m t x x x m m -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，又21x mx =，所以232321111ln 11m x x x x x t mx t m m x m ⎛⎫⎛⎫'+<+=+-=-+=++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，……13分令()ln 1m d m m m m ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()()()()2221ln ln 11m m m m m m d m m m ----==-'-，()1,2m ∈，法（一）：易证ln 1x x <-，所以，()222ln 1210m m m m m m m m -->---=-+>，()0d m '>，所以()d m 在()1,2m ∈单调递增.法（二）令()()1ln j m m m m =--，则()()()221112121m m m m j m m m m m+---='=--=，当()1,2m ∈时，可得()0j m '>恒成立，()j m 在()1,2m ∈上单调递增，()()10j m j >=，即()0d m '>恒成立，所以()d m 在()1,2m ∈上单调递增.在()1,2m ∈时，()()222ln222ln221d m d <=+=+-，……15分所以()()231122ln212ln2e 1x x x x +<++=+，……16分所以()2312ln2e 1x x x +<+.。

2023年天津市和平区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年天津市和平区高考数学一模试卷1. 已知全集，，则B中元素个数为( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2. 已知a是实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的图象是( )A. B.C. D.4. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法错误的是( )A. 第三组的频数为15人B. 估计样本的众数为75分C. 估计样本的中位数75分D. 估计样本的平均数为75分5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.6. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C.在上单调递增D.的图象关于点对称7. 抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线的渐近线相交于A 、B两点，若的周长为，则( )A. 2B.C. 8D. 48. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是( )A.B. C.D.9. 已知函数设方程，的四个不等实根从小到大依次为，，，，下列判断中一定成立的是( )A. B.C.D.10. 若i 为虚数单位，则复数______ .11. 的展开式中常数项为______.12.直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，若为等边三角形，则a 的值为______ .13. 先后掷两次骰子骰子的六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，记事件A 为“为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数且“，则概率______，______.14. 若实数x ，y 满足，则的最大值是______.15. 已知四边形，且，点E 为线段BD 上一点，且，则______ ，过E 作交AB 于点F ，则______ .16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A的大小；若求的面积；求17. 在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点.求证：；求直线EM与平面CDE所成角的正弦值；求平面CME与平面CDE的夹角的余弦值.18. 已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前n项和为，且，，成等比数列.求数列，的通项公式；求；数列满足，记和分别为和的前n项和，证明：19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，点A是椭圆与x轴负半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且直线AB与圆相切.求椭圆C的方程；已知斜率大于0的直线l与椭圆C有唯一的公共点M，过点A作直线l的平行线交椭圆C 于点P，若的面积为，求直线l的方程.20. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，当时，函数有极小值，求a；证明：恒成立；证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集，又，因为，所以，则，所以，则集合B元素的个数为4个．故选：利用集合全集、补集以及交集的定义分析求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合全集、补集以及交集的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：利用特殊值及基本不等式，结合充分条件及必要条件的定义即可求解．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了基本不等式的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．解：，是偶函数，可排除B、D，由排除C，故选：4.【答案】D【解析】解：分数在内的频率为，所以第三组的频数为人，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为，，所以中位数位于设中位数为x，则，解得，即中位数的估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为：分，故D错误．故选：利用频率分布直方图的性质可判断A，根据众数、中位数和平均数的定义可判断本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查运算求解等能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：，，，因为在上单调递减，故，又，，即故选：利用对数函数的单调性直接求解．本题考查对数的运算，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基6.【答案】C【解析】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象；再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故的最小正周期为，的最小正周期为，故A错误；令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故B错误；当，，函数单调递增，故C正确；令，求得，是最大值，故的图象关于直线对称，故D错误，故选：由题意，根据函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：双曲线渐近线方程为，抛物线的准线方程为，由题意得：，，，又的周长为，解得：故选：由双曲线方程求出渐近线方程，再求出抛物线的准线方程，联立求得A，B的坐标，可得，再由勾股定理求得，，利用的周长为列式求得p值．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础的计算题．8.【答案】B【解析】解：分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示：正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有，俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的OA 相等，设半球半径为R，已知小球半径，，，，，半球面形状的容器的容积是，故选：根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．9.【答案】D【解析】解：方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作函数的图象，由图象可得，，故；易知，即，即，即，即，，，故选：方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作函数的图象分析即可．本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了基本不等式的应用．10.【答案】【解析】解：故答案为：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，同时考查了运算能力，属于基础题．11.【答案】60【解析】解：的展开式通项为：，令得，故的展开式中常数项为：故答案为：求出的展开式的通项，令x的次数为0即可．本题考查二项展开式的通项，属于基础题．12.【答案】【解析】解：由题知圆心为，半径为，圆心到直线l：的距离为，为等边三角形，，，，解得故答案为：由题知圆心为，为等边三角形，可得圆心到直线的距离为，求解即可．本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生的运算求解能力，属基础题．13.【答案】【解析】解：若为偶数，则x、y全为奇数或全为偶数，所以，，事件AB为“为偶数且x、y中有偶数，”，则x、y为两个不等的偶数，所以，，因此故答案为：；由古典概率公式求出、，利用条件概率公式可得结果．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式．是中档题．利用基本不等式，根据把题设等式整理成关于的不等式，求得其范围，则的最大值可得．【解答】解：，，，，整理求得，的最大值是，故答案为：15.【答案】 10【解析】解：如图所示：因为，所以，即有，又因为，所以，即，，解得，所以，所以，又因为，即，所以；又因为，又因为，所以，解得；如图所示：取AB中点M，连接DM，由题意可知且，所以四边形DCBM为平行四边形，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以，由可得，所以，，所以故答案为：由，可得，进而可得，由题意可得，求解即可得第一空答案；取AB中点M，连接DM，根据向量的数乘及加减运算可得，再根据向量的数量积运算即可得第二空答案．本题考查了对于向量的线性运算，关键是将所求向量表示成同一组基底的数量积，然后再进行求参、数量积等运算．16.【答案】解：，由正弦定理得，，，，，；若，，由余弦定理得，即，，，的面积为；由正弦定理，得，，，，，【解析】由正弦定理进行化简可求，进而可求A；利用余弦定理先求c，然后利用三角形的面积公式求解；利用正弦定理求出，再利用二倍角公式求出，，求解即可．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】证明：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建系如图，则，，，，，，，；，，，，，，，设平面CDE的法向量，则，取，直线EM与平面CDE所成角的正弦值为：；由知平面CDE的法向量，设平面EMC的法向量为，，，，取，平面CME与平面CDE的夹角的余弦值为：【解析】以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能证明求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出CM与平面CDE所成的角的正弦值．求出平面CDE的法向量和平面EMC的法向量，利用向量法，向量夹角公式，即可求解．本题考查向量法证明线线垂直问题，向量法求解线面角问题，向量法求解面面角问题，属中档题．18.【答案】解：数列为首项的等比数列，设公比为q，由，，成等差数列，可得，即为，即，解得，则；数列为首项的单调递增的等差数列，设公差为，由，，成等比数列，可得，即为，解得，则；因为，所以；证明：，则，，，，上面两式相减可得，化简可得，则，所以【解析】由等差数列和等比数列的通项公式与求和公式、中项性质，解方程可得公差、公比，进而得到所求；求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；分别由等比数列的求和公式、数列的错位相减法求和，结合不等式的性质，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和与错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：由题意可得，则，由椭圆的方程可得，，所以直线AB的方程为，即，则点O到直线AB的距离，由题意可得，而，则，解得，，所以椭圆C的方程为：；设直线l的方程为，，设，联立，整理可得：，，可得，且，所以，，即，所以直线OM的方程为，即，由椭圆的方程可得，由题意可得直线AP的方程为，联立，整理可得，可得，可得，，即，P到直线OM的距离，，所以，由题意可得，解得，因为，所以，且，解得，所以直线l的方程为或【解析】由离心率的值可得a，c的关系，由题意可知A，B的坐标，进而求出直线AB的方程，求出圆O到直线AB的距离，由直线与圆O相切，可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系，可得a，b的中，进而求出椭圆的方程；设切线l的方程，与椭圆的方程联立，由判别式等于0，可得参数的关系，进而求出M的坐标，求出直线OM的方程，由题意设直线AP的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之积，可得P的坐标，求出P到直线OM的距离d，代入三角形的面积公式，由三角形的面积，可得参数的值，进而求出切线l的方程．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．20.【答案】解：，令得，所以当时，，当时，，所以有极小值，所以，即证明：不等式恒成立，即恒成立，设，则，所以在定义域上的增函数，又，，则在上有一个根，此时在上的单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，因为，所以，因为，所以，所以恒成立，结论成立．证明：由知，，令，则，所以，由此可知，当时，，当时，，当时，，当时，，累加得，又，所以【解析】求导得，分析的符号，进而可得的单调性，极值，即可得出答案．根据题意可得恒成立，设，求导分析的单调性和最值，只需，即可得出答案．由知，，则，当时，，当时，，当时，，当时，，累加，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

天津市和平区2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

天津市和平区2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.2．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 【答案】D 【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.3．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（） A 23B 3C ．223D ．23【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，所以3b a =33，由离心率公式e =即可算出结果. 【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以b a =2e ∴==故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.4．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】设()()g x xf x =，若函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”；若函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.因此，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.5． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.6．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论.【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++ ()2211ab b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.7．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（）A ．-3B ．-1C ．3D ．0【答案】D 【解析】分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系.详解：由题设有()2212018tan 2018tan 11x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++，故有()()212f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=，从而()10f -=，故选D.点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.8．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和． 9．在ABC V 中，12BD DC =u u u vu u uv ，则AD uuu v =（） A ．1344+AB AC u u uv u u u vB ．21+33AB AC u u uv u u u vC ．12+33AB AC u u uv u u u vD ．1233AB AC -u u uv u u u v【答案】B 【解析】【分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==；此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 11．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（） A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴，令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈，因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题． 12．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限．故选：B ．本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市和平区2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析

天津市和平区2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确；若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题. 2．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A 26-B ．26+C 62-D 62+【答案】A 【解析】【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题. 3．已知(),A A Ax y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（）A ．3B ．2C D 【答案】C 【解析】【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3B y πα=+，2A B y y +=3sin 2αα+，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，22cos(),sin()33B B x y ππαα=+=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3πα+= 132sin sin cos 22ααα-+=33sin cos 3sin()3226πααα+=+≤，当3πα=时，取得等号.故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.4．函数f(x)＝21xx e -的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f(2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.5．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A 【解析】【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==．故选：A ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 6．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ．故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 7．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④. 【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x yx y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2-，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.8．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =，故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π【答案】C 【解析】【分析】原式由正弦定理化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值. 【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A 213B ．413C 27D ．47【答案】D 【解析】【分析】设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a =，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=，所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠，即()222323cos3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得7AF a =，所以，大正六边形的边长为7AF a =，所以，小正六边形的面积为2113222223632S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=，大正六边形的面积为22132137727212S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=，所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D. 【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 11．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先根据图象求出函数()g x 的解析式,再由平移知识得到()f x 的解析式,然后分别找出1()3f x =和2123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设()()sin g x A x ωμ=+,根据图象可知,371,24612A T T πππω⎛⎫==--⇒=⇒= ⎪⎝⎭,再由77sin 211212g ππμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 取3πμ=-, ∴()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 将函数()g x 的图象向右平移34π个单位长度,得到函数()f x 的图象, ∴33()sin 2cos 24433f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.11()cos 2333f x x π⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭,sin 21263x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令6x πθ=-,则21sin cos 212sin 3θθθ=⇒=-=,显然,1cos 2sin 3θθ=⇒=∴1()3f x =是212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题. 12．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（） A ．3- B ．1-C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】由复数的除法运算化简可得1033m m i i+=+-+，因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-，故选：A. 【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市和平区2021届新高考数学最后模拟卷含解析

天津市和平区2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.2．在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（）A ．B ．C ．24D ．【答案】A 【解析】【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V ，由此能求出结果. 【详解】解： Q 在四面体P ABC -中，ABC V 为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且AD 4DE AE ===，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂Q I ，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V1111=863232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 3．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（） A ．12B ．35C ．25D ．310【答案】D 【解析】【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，则第一次检测出B 类产品的概率为35；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=；故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.4．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（）A ．55π B．255πC ．455πD ．855π【答案】C 【解析】【分析】设1B B 的中点为H ，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出BM ⊥平面DCH ，这样可以确定动点P 的轨迹，最后求出动点P 的轨迹的长度.【详解】设1B B 的中点为H ，连接,CH DH ，因此有CH BM ⊥，而DC MB ⊥，而,DC CH ⊂平面CDH ，DC CH C =I ，因此有BM ⊥平面DCH ，所以动点P 的轨迹平面DCH 与正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的交线. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以内切球O 的半径为1R =，建立如下图所示的以D 为坐标原点的空间直角坐标系：因此有(1,1,1),(0,2,0),(2,2,1)O C H ，设平面DCH 的法向量为(,,)m x y z =u r，所以有200(1,0,2)2200y m DC m DC m x y z m DH m DH ⎧⎧=⎧⊥⋅=⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u u v u u u u v v v ，因此O 到平面DCH 的距离为：5m OD d m⋅==u r u u u r u r ，所以截面圆的半径为：22255r R d =-=，因此动点P 的轨迹的长度为452r ππ=. 故选：C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.5．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-【答案】D 【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.6．过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( )A ．2B ．2+C ．2或2D ．21【答案】A 【解析】【分析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线213y x =-为圆2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0，半径为13.设PQ 与曲线213y x =-相切于点Q ，则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB 的距离为13123-=，23231sin 2262OP APO ===⨯∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 4530231tan 45tan 30-=-==-+⨯o ooooo o.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．已知集合{}A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（） A ．03B ．0或3C ．13D ．1或3【答案】B 【解析】【分析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.8．已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)- D ．1(,1)2【答案】A 【解析】【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根，等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.9．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数. 【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）. 故选：D. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题10．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍【答案】D 【解析】【分析】先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.11．若双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A ．B ．2C D ．1【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.12．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．5D ．2【答案】B 【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±bax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 222aba b =-，∴直线l 的方程为y 222aba b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abca b =+，∵2AF FB =u u u r u u u r ，∴222abc a b =+2•2223abca b-，∴a =， ∴c ＝2b ，∴e 3c a ==．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市和平区2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

天津市和平区2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【答案】D 【解析】【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.22215+1425452⨯⨯=所以该几何体的表面积是()2454cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.3．已知向量(22cos 3m x =r，()1,sin2n x =r ，设函数()f x m n =⋅r r，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2π D ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数【答案】D 【解析】【分析】【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f(x)不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f(x)关于点5(,1)12π对称； f(x)得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f(x)在(,0)3π-上是增函数．本题选择D 选项.4．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥【答案】D 【解析】【分析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集. 【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >，所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥. 【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.5．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（）A ．5B ．7C -D ．9-【答案】D 【解析】【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-. 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 【解析】【分析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.7．已知平面向量a r ，b r ，c r满足：0,1a b c ⋅==r r r ，5a c b c -=-=r r r r ，则a b -r r 的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -r r的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=r ，,OA a OB b ==u u u r r u u u r r，且()(),0,0,A m B n ，由于5a c b c -=-=r r r r，所以[],4,6m n ∈.()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--r r r r.所以2222222cos cos sin 252sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()()()()222a b a c b c a c a c b c b c -=---=---⋅-+-r r r r r r r r r r r r r r 482cos 2sin m n θθ=++222m n mn =+≥.当且仅当m n =时取得最小值，此时由22482cos 2sin m n m n θθ+=++得()22482sin cos 4822sin 4m m m πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为4822m -，即224822m m =-，22240m m +-=，解得32m =.所以当且仅当532,4m n πθ===时a b-r r 有最小值为()22326⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 8．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．7【答案】D 【解析】【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。

2021-2022学年天津市和平区名校高三第一次调研测试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（）A ．427B ．13C ．127D ．192．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．y x =D ．y =3．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（）A ．221155x y -= B ．221515x y -= C ．221312y x -= D ．221217y x -= 4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>5．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π7．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（） A ．3(0,)4 B ．2(0,)2 C ．23(,)24 D ．2(,1)28．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（） A ．13 B ．19 C ．1 D ．29．若202031i i z i+=+，则z 的虚部是（） A ．i B ．2i C ．1- D ．110．由曲线3,y x y x == ）A ．512B ．13C ．14D ．1211．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（）A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --12．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（）A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届天津市和平区高三下学期第一次模拟考试数学试题试卷-解析版

2024届天津市和平区高三下学期第一次模拟考试数学试题试卷-解析版注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入10n＝,则输出的结果是( )A．11114(1)35717P=-+-+⋅⋅⋅+B．11114(1)35719P=-+-+⋅⋅⋅-C．11114(1)35721P=-+-+⋅⋅⋅+D．11114(1)35721P=-+-+⋅⋅⋅-2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，:p A、B的体积不相等，:q A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）4．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e -6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠7．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（）A ．22B ．2C ．223D ．238．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0 B ．2π C ．π D ．32π 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．10．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（） A ．15B ．415C ．13D ．2511．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+12．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市和平区2021届新高考数学四月模拟试卷含解析

天津市和平区2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（） A．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i -- 【答案】B【解析】【分析】求得复数1z ，结合复数除法运算，求得12z z 的值. 【详解】易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555i i --==--. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.2．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A ．3πB ．4πC ．2πD ．23π 【答案】A【解析】【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论．【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．则 5.196sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”【答案】B【解析】【分析】解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误；命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确；命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误；命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12 B．CD【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点，故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 5．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…，则((1))f f -=（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…所以2((1))(2)222f f f -==-=. 故选：A .【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.6．执行程序框图，则输出的数值为（）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C【解析】【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件， 12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件， 295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.7．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】A【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值.【详解】复数()()1z a i i R =+-∈，由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案.【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒.故选：C .本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >【答案】C【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环循环前 1 1第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 是故退出循环的条件应为k>5?本题选择C 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．10．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =I （） A ．{|0}x x < B ．1|2x x 禳镲<-睚镲镲铪C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|1}x x >- 【答案】C【解析】【分析】由题意和交集的运算直接求出A B I .【详解】 ∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<< ∴A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.11．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r ，若cos 10BAC ∠=，则实数λ的值是（） A ．-1B ．7C ．1D ．1或7【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos10AB ACBACAB AC⋅∠===u u u r u u u ru u u r u u u r.∴解得1λ=.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.12．已知命题p：1m=“”是“直线0x my-=和直线0x my+=互相垂直”的充要条件；命题q：对任意()2,∈=+a R f x x a都有零点；则下列命题为真命题的是（）A．()()p q⌝∧⌝B．()p q∧⌝C．p q∨D．p q∧【答案】A【解析】【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当1m=时，直线0x my-=和直线0x my+=，即直线为0x y-=和直线0x y+=互相垂直，所以“1m=”是直线0x my-=和直线0x my+=互相垂直“的充分条件，当直线0x my-=和直线0x my+=互相垂直时，21m=，解得1m=±.所以“1m=”是直线0x my-=和直线0x my+=互相垂直“的不必要条件.p：“1m=”是直线0x my-=和直线0x my+=互相垂直“的充分不必要条件，故p是假命题．当1a=时，2()1f x x=+没有零点，所以命题q是假命题．所以()()p q⌝∧⌝是真命题，()p q∧⌝是假命题，p q∨是假命题，p q∧是假命题．故选：A．【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2021年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2021-2021年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}2．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件3．函数f（x）=e x﹣+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．该试题已被管理员删除5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤86．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0），|φ|＜的部分图象如图所示，则f（）等于（）A．1 B．C．D．7．已知抛物线y2=4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1] C．D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．复数=．10．若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是．11．在等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则=．12．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=8，DC=4，则AE=．13．已知圆C：x2+（y﹣2）2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为．14．在直角梯形中ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=2，∠ABC=60°，动点E，F分别在线段BC和CD 上，且，，则的最小值为．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为钝角，sinBcosC+cosBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2且b＞c，△ABC的面积为2，求边b和c．16．福州市某家电超市为了使每天销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某天即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）每天资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本30 10 90工人工资 5 10 40每台利润 2 3问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定每天空调和冰箱的供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD=BC=AB=1，点P为CE中点．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求DE与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求三棱锥D﹣ABP的体积．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）在直线y=2x+2上，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2b n﹣3，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为A n，求证：A n≥．19．椭圆C：=1（a＞b＞0），A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2=﹣（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），交椭圆于P、Q两点，且满足=3，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．20．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若曲线g（x）=f（x）+在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；（Ⅱ）求证：函数φ（x）=f（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；（Ⅲ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x0，y0）为线段AB 的中点，求证：kx0＞1．参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合U，根据集合的补集的定义求出C U A，再根据两个集合的交集的定义求出（C U A）∩B．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，∴C U A={0，2，4，6}，∴（C U A）∩B═{0，2，4，6}∩{4，5，6}={4，6}．故选D．2．设a、b∈R，则a＞b是a2＞b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞b，取a=2，b=﹣3，推不出a2＞b2，若a2＞b2，比如（﹣3）2．＞22，推不出a＞b．所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不不要条件．故选D3．函数f（x）=e x﹣+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=e x﹣+2，可知：x→0+时，f（x）→﹣∞；f（1）=e+1＞0．即可判断出函数的零点所在的情区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣+2，可知：x→0+时，f（x）→﹣∞；f（1）=e﹣1+2=e+1＞0．∴函数f（x）=e x﹣+2的零点所在的一个区间是（0，1）．故选：B．4．该试题已被管理员删除5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=10时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S=+=，n=6满足条件，S=++=，n=8满足条件，S=+++=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤8，故选：D．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0），|φ|＜的部分图象如图所示，则f（）等于（）A．1 B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得求f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0），|φ|＜的部分图象，可得A=1，=+，求得ω=2，再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=0，求得φ=，故f（x）=sin（2x+），f（）=sin（+）=cos=，故选：B．7．已知抛物线y2=4x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a=b，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），双曲线的一条渐近线为y=x，由题意可得d==，即有a=b，c==a，可得e==．故选：C．8．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1] C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】绘出函数f（x）的图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．【解答】解：作出f（x）的图象，如右．由图象可知：要使f（x）≥ax恒成立，只需函数g（x）=ax的图象恒在图象f（x）的下方，可得a≤1显然成立，设g（x）=ax与函数f（x）=x2+2x+2（x≤0）相切于点P（m，n），由f（x）的导数为2x+2，可得切线的斜率为2m+2，即有a=2m+2，am=m2+2m+2，解得m=﹣，a=2﹣2，由图象可得a≥2﹣2，综上可得a的范围是[2﹣2，1]．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．复数=﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：===﹣i，故答案为：﹣i．10．若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是128 ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由=，得R=4，所以a=8，⇒a=，表面积为6a2=128．故答案为：128．11．在等比数列{a n}中，3a1，成等差数列，则= 3 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由3a1，成等差数列，可得2×=3a1+2a3，化为q4﹣2q2﹣3=0，解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵3a1，成等差数列，∴2×=3a1+2a3，∴=，化为q4﹣2q2﹣3=0，解得q2=3．则==q2=3．故答案为：3．12．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=8，DC=4，则AE= 6 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知条件，利用圆的性质和弦切角定理及30°角所对直角边等于斜边长一半，推导出△DCE是∠DEC=90°，∠DCE=30°的直角三角形，由此能求出结果．【解答】解：如图，∵AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=∠ACE，∴CE⊥AD，∵AB=8，DC=4，∴BC=DC=4，∠ABC=∠DCE=30°，∴DE=DC=2，AD=2DC=8，∴AE=8﹣2=6．故答案为：6．13．已知圆C：x2+（y﹣2）2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆C：x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2），半径r=2，再求出圆心到直线的距离，从而得到直线被圆C所截得的弦的长度，由此能求出k的值．【解答】解：∵圆C：x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2），半径r=2，圆心C（0，2）到直线l1：y=x的距离d1==，l1被圆C所截得的弦的长度l1=2=2=2，圆心C（0，2）到直线l2：y=kx﹣1的距离d2==，l2被圆C所截得的弦的长度l2=2=2，∵l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为，∴：2=，∴=1，解得k=．故答案为：．14．在直角梯形中ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=2，∠ABC=60°，动点E，F分别在线段BC和CD上，且，，则的最小值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系，过点C作CK⊥AB，垂足为K．由∠KBC=60°，BC=2，可得BK=1，CK=．DC=AK=3﹣1=2，利用，，（0≤λ≤1）．可得=+，=+．再利用数量积运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过点C作CK⊥AB，垂足为K．∵∠KBC=60°，BC=2，∴BK=1，CK=．∴DC=AK=3﹣1=2，∴A（0，0），B（3，0），C（2，），D（0，），∵，，（0≤λ≤1）．∴=+=，=+=．∴=+3λ=3λ+﹣1≥3×﹣1=5，当且仅当λ=1时取等号．故答案为：5．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为钝角，sinBcosC+cosBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2且b＞c，△ABC的面积为2，求边b和c．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=，又A为钝角，即可解得A的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得bc=8，由余弦定理（b+c）2﹣bc=28，从而解得b+c=6，联立即可解得b，c的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinBcosC+cosBsinC=，∴sin（B+C）=，…．∵A+B+C=π，∴sinA=，…又∵A为钝角…．∴A=．…．（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=．由S=2，得bcsin =2，∴bc=8．①…．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（2）2=b2+c2﹣2bccos，…．即b2+c2+bc=28．∴（b+c）2﹣bc=28．②，…．将①代入②，得（b+c）2﹣8=28，∴b+c=6．…．∵b＞c，∴b=4，c=2．…．16．福州市某家电超市为了使每天销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某天即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）每天资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本30 10 90 工人工资 5 10 40每台利润 2 3问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定每天空调和冰箱的供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【考点】简单线性规划．【分析】设每天调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为z（百元），建立约束关系，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设每天调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为z（百元）则由题意，得…．则，化简得…．目标函数是z=2x+3y，…．把直线l：2x+3y=0向右上方平移，直线经过可行域上的点M，此时z=2x+3y取最大值解方程得M的坐标为（2，3）…．此时最大利润z=2×2+3×3=13百元…．答：空调和冰箱的供应量分别为2，3台，总利润为最大，最大为13百元．…．17．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD=BC=AB=1，点P为CE中点．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求DE与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求三棱锥D﹣ABP的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OD，OE，由已知可得AB⊥OE，结合四边形ABCD是直角梯形，得到OD∥CB，然后利用线面垂直的判定可得AB⊥平面ODE，从而得到AB⊥DE；（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ABE，结合面面垂直的性质可得OE⊥AB，进一步得到OE⊥平面ABCD．得到∠ODEDE与平面ABCD所角，然后求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由P为CE中点，得V D﹣ABP=V P﹣ABD=，则三棱锥D﹣ABP的体积可求．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，∵△ABE是正三角形，∴AB⊥OE．∵四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，∴四边形OBCD是平行四边形，OD∥CB，又AB⊥BC，∴AB⊥OD．∵OD、OE⊂平面ODE，且OD∩OE=O，∴AB⊥平面ODE，∵DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE；（Ⅱ）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊥AB，OE⊂ABE，∴OE⊥平面ABCD．∴∠ODE即为所求，在△ODE中，OD=1，OE=，∠DOE=90°，∴．又∵∠ODE为锐角，∴∠ODE=60°；（Ⅲ）解：∵P为CE中点，∴V D﹣ABP=V P﹣ABD=，∵OE⊥平面ABCD，∴=，∴．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）在直线y=2x+2上，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2b n﹣3，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为A n，求证：A n≥．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分别根据递推公式和求和公式，即可求出数列{a n}，{b n}的通项公式，（2）求出c n==（﹣），根据列项求和和函数的单调性即可证明．【解答】解：（1）∵点（n，）在直线y=2x+2上，∴=2n+2，∴S n=2n2+2n，∴S n﹣1=2（n﹣1）2+2（n﹣1），∴a n=S n﹣S n﹣1=4n，∵T n=2b n﹣3，∴T n﹣1=2b n﹣1﹣3，∴T n=T n﹣1=b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1，∵b1=T1=2b1﹣3，∴b1=3，∴{b n}是以3为首项，以2为等比的等比数列，∴b n=3×2n﹣1，（2）∵c n===（﹣），∴A n=c1+c2+…+c n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），∵f（n）=﹣为增函数，∴f（n）≥f（1）=，∴A n≥（1﹣）=．19．椭圆C：=1（a＞b＞0），A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2=﹣（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），交椭圆于P、Q两点，且满足=3，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k1，k2，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知e==，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：x=my﹣，直线l与椭圆交于P，Q两点，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S△OPQ，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．k1=，k2=﹣k1k2=﹣=﹣，b=a，可得e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知e==，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：x=my﹣，直线l与椭圆交于P，Q两点得（2m2+3）y2﹣4my+6﹣6c2=0，因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，由韦达定理：y1+y2=，y1y2=．又=3，所以y1=﹣3y2，代入上述两式有：6﹣6c2=﹣，所以S△OPQ=|OD|•|y1﹣y2|=||=12•=12•≤12•=，当且仅当m2=时，等号成立，此时c2=，代入△，有△＞0成立，所以椭圆C的方程为：+=1．20．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若曲线g（x）=f（x）+在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；（Ⅱ）求证：函数φ（x）=f（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；（Ⅲ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x0，y0）为线段AB 的中点，求证：kx0＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，根据切线和直线平行，建立方程关系进行求解即可．（2）求函数φ（x）的解析式和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行证明即可．（3）根据中点坐标公式进行转化，构造函数，利用导数证明不等式即可．【解答】解：（1）g（x）=f（x）+=lnx+，（x＞0），则g′（x）=﹣，…g′（2）=，…解得a=3，…（2）φ（x）=f（x）﹣=（x＞0），函数的导数φ′（x）=﹣=≥0 …则函数函数φ（x）=f（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；…（3）设点A（m，lnm），B（n，lnn），不妨设m＞n＞0，则，要证kx0＞1，即•＞1 …即证证＜．只需证，即证，只需证，…，设h（x）=lnx﹣（x＞1），由（2）得，h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∵x＞1，∴h（x）＞h（1）=0，即，即．∴所以不等式kx0＞1．成立．…。

2021年天津市部分区高考数学质量调查试卷(一模)(解析版)

2021年天津市部分区高考数学质量调查试卷（一）（一模）一、选择题（共9小题）.1．集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，则（A∩C）∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，2} 2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a＝0.72021，b＝20210.7，c＝log0.72021，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a4．直线x﹣y+2＝0与圆（x+1）2+y2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．5．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（）A．180B．240C．280D．3206．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（2）＝（）A．﹣6B．6C．﹣2D．27．关于函数f（x）＝sin（2x+）有下述三个结论：①f（x）的最小正周期是2π；②f（x）在区间（，）上单调递减；③将f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象．其中所有正确结论的编号是（）A．②B．③C．②③D．①②③8．已知抛物线y2＝16x的焦点与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点F重合，C 的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线（O为坐标原点），则C的方程是（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝19．已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．[﹣4，0）D．[﹣3，0）二、填空题（共6小题）.10．i是虚数单位，复数＝．11．（x2+）5的展开式中x4的系数为．12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是．13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为．14．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC＝，且•＝12，则||＝，若M是线段AB上的一个动点，则•的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2b sin A．（1）求角B的大小；（2）若角B为钝角，且b＝2，a＝c，求c和sin2C的值．17．已知{a n}为等差数列，{b n}为公比大于0的等比数列，且b1＝1，b2+b3＝6，a3＝3，a4+2a6＝b5．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝（2a n﹣1）•b n+1，数列{c n}的前n项和为S n，求S n．18．如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，AEFC是平行四边形，且AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AE＝2，AB＝BC＝1．（1）求证：CD⊥EF；（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值；（3）若点P在棱CF上，直线PB与平面BDE所成角的正弦值为，求线段CP的长．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为．（1）求C的方程；（2）设C的上、下顶点分别为B，D，动点P（横坐标不为0）在直线y＝2上，直线PB 交C于点M，记直线DM，DP的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x+b，（a，b∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若关于x的方程f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，证明：x1+x2＞a．参考答案一、选择题（共9小题）.1．集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，则（A∩C）∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，2}解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，2}，C＝{﹣1，0，1}，所以A∩C＝{﹣1，0，1}，所以（A∩C）∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：解“x2＜4”可得﹣2＜x＜2，x∈R，则“1＜x＜2”能推出“x2＜4”，x∈R，则“x2＜4”不能推出“1＜x＜2”，根据充分条件和必要条件的定义可得x∈R，则“1＜x＜2”是“x2＜4”的充分而不必要条件，故选：A．3．已知a＝0.72021，b＝20210.7，c＝log0.72021，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：∵0＜0.72021＜0.70＝1，20210.7＞20210＝1，log0.72021＜log0.71＝0，∴b＞a＞c．故选：C．4．直线x﹣y+2＝0与圆（x+1）2+y2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．解：根据题意，圆（x+1）2+y2＝2的圆心为（﹣1，0），半径r＝，圆心到直线x﹣y+2＝0的距离d＝＝，则弦长|AB|＝2×＝，故选：D．5．天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若成绩低于60的人数是180，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是（）A．180B．240C．280D．320解：由频率分布直方图可知，低于60分的频率为：（0.01+0.005）×20＝0.3，因为成绩低于60的人数是180，考试成绩在区间[60，80）内的频率为0.02×20＝0.4，则考试成绩在区间[60，80）内的人数是人．故选：B．6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（2）＝（）A．﹣6B．6C．﹣2D．2解：根据题意，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则f（﹣2）＝（﹣2）（﹣2﹣1）＝6，又由f（x）为奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣6，故选：A．7．关于函数f（x）＝sin（2x+）有下述三个结论：①f（x）的最小正周期是2π；②f（x）在区间（，）上单调递减；③将f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象．其中所有正确结论的编号是（）A．②B．③C．②③D．①②③解：对于①，f（x）的最小正周期是≠2π，所以①错；对于②，x∈（，）⇒2x+∈（，），所以f（x）在区间（，）上单调递减，所以②对；对于③，将f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度后，得到函数为y＝f（x﹣）＝sin（2（x﹣）+）＝sin2x，所以③对．故选：C．8．已知抛物线y2＝16x的焦点与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点F重合，C 的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线（O为坐标原点），则C的方程是（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1解：由C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线，可得双曲线的两条渐近线垂直，由渐近线方程y＝±x，可得﹣＝﹣1，即a＝b，又抛物线y2＝16x的焦点为（4，0），即有a2+b2＝16，解得a＝b＝2，则双曲线的方程为﹣＝1，故选：D．9．已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．[﹣4，0）D．[﹣3，0）解：函数f（x）的图象如下图所示：若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），且a＜b＜c，则a+b＝﹣4，c∈（0，1），则af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣4）•c3，令g（c）＝（c﹣4）•c3，则g′（c）＝c3+（c﹣4）•3c2＝4c2•（c﹣3）＜0，故g（c）在（0，1）上单调递减，且g（0）＝0，g（1）＝﹣3，故g（c）∈（﹣3，0），故af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（﹣3，0）．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i是虚数单位，复数＝．解：复数＝＝＝＝故答案为：．11．（x2+）5的展开式中x4的系数为40．解：根据题意得，T r+1＝（x2）5﹣r（）r＝2r x10﹣3r令10﹣3r＝4，得r＝2∴（x2+）5的展开式中x4的系数为22＝40；故答案为40．12．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为0.28；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是0.3024．解：甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．甲、乙各投篮一次，设事件A表示“甲命中且乙未命中”，则甲命中且乙未命中的概率为P（A）＝0.7×（1﹣0.6）＝0.28；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次包含的基本事件有两种情况：①甲命中一次，乙两次都没命中，概率为：p1＝＝0.0672，②甲命中两次，乙命中一次，概率为：P2＝＝0.2352，∴甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是：P＝P1+P2＝0.0672+0.2352＝0.3024．故答案为：0.28，0.3024．13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为8．解：正方体的所有顶点在一个球面上，则正方体的体对角线等于球的直径，设正方体的棱长为a，则体对角线为a，若球的表面积为12π，则4πR2＝12π，即R2＝3，则R＝，则a＝2R＝2，则a＝2，则正方体的体积V＝a3＝（2）3＝8，故答案为：8．14．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为．解：因为a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，所以a＝，因为a＞0，所以0＜b＜1，a+b＝＝＝，当且仅当，即b＝，a＝时取等号，则a+b的最小值．故答案为：．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC＝，且•＝12，则||＝4，若M是线段AB上的一个动点，则•的取值范围是．解：由AB＝BC＝2，∠ABC＝，所以△ABC是等边三角形，同时AB⊥AD，所以可如图建立平面直角坐标系：由已知得：A（0，0），B（），C（），再设D（0，y），M（x，0）．，故＝3y＝12，解得y＝4．所以．f（x）＝＝，（0≤x≤），显然，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，结合，f（0）＝12，f（2）＝18．故•的取值范围是．故答案为：4；[]．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2b sin A．（1）求角B的大小；（2）若角B为钝角，且b＝2，a＝c，求c和sin2C的值．解：（1）因为a＝2b sin A，所以由正弦定理可得sin A＝2sin B sin A，因为sin A≠0，所以sin B＝，由B∈（0，π），可得B＝，或．（2）由（1），若角B为钝角，可得B＝，因为b＝2，a＝c，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得28＝3c2+c2﹣2×c×c×（﹣），整理解得c＝2，可得a＝2，所以cos C＝＝＝，可得sin C＝＝，可得sin2C＝2sin C cos C＝2××＝．17．已知{a n}为等差数列，{b n}为公比大于0的等比数列，且b1＝1，b2+b3＝6，a3＝3，a4+2a6＝b5．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝（2a n﹣1）•b n+1，数列{c n}的前n项和为S n，求S n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q（q＞0），由题设可得：，即，解得：，∴b n＝2n﹣1，a n＝a3+（n﹣3）d＝3+n﹣3＝n；（2）由（1）可得：c n＝（2n﹣1）•2n，∴S n＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，又2S n＝1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，两式相减得：﹣S n＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2×﹣（2n ﹣1）•2n+1，整理得：S n＝（2n﹣3）•2n+1+6．18．如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，AEFC是平行四边形，且AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AE＝2，AB＝BC＝1．（1）求证：CD⊥EF；（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值；（3）若点P在棱CF上，直线PB与平面BDE所成角的正弦值为，求线段CP的长．解：因为AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD、AE⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AD、AB、AE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），E（0，0，2），C（1，1，0），F（1，1，2），（1）证明：因为＝（1，﹣1，0），＝（1，1，0），所以•＝1﹣1＝0，所以CD⊥EF；（2）因为平面ADE的法向量为＝（0，1，0），平面BDE的一个法向量为（，，），取平面BDE的法向量＝（1，2，1），又因为二面角A﹣DE﹣B为锐角，所以二面角A﹣DE﹣B的余弦值为＝＝；（3）设PC＝t，则P（1，1，t），＝（﹣1，0，﹣t），由（2）知平面BDE的法向量＝（1，2，1），所以直线PB与平面BDE所成角的正弦值为＝＝，解之得t＝1，故CP长为1．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为．（1）求C的方程；（2）设C的上、下顶点分别为B，D，动点P（横坐标不为0）在直线y＝2上，直线PB 交C于点M，记直线DM，DP的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．解：（1）因为短半轴长为1，离心率为，所以，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）由题意可知直线PM的斜率存在且不为0，设直线PM的方程为y＝kx+1，联立，得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x＝0或x＝，所以x M＝，y M＝kx M+1＝，联立，解得x＝，所以P（，2），所以k1＝k DM＝＝＝k+＝k﹣＝﹣，k2＝k DP＝＝3k，所以k1k2＝﹣•3k＝﹣．20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x+b，（a，b∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若关于x的方程f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，证明：x1+x2＞a．【解答】（1）解：f′（x）＝2x﹣，f′（1）＝2﹣a，因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，故2﹣a＝0，解得a＝2．（2）解：f′（x）＝2x﹣＝，x＞0，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，令f′（x）＞0，解得x＞，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（3）证明：方程f（x）＝g（x），即x2﹣（a﹣2）x﹣alnx＝b在（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设1＜x1＜x2，则，两式相减得x12﹣x22﹣（a﹣2）（x1﹣x2）﹣a（lnx1﹣lnx2）＝0，所以a＝，要证x1+x2＞a，只需证x1+x2＞，因为1＜x1＜x2，所以x1+lnx1＜x2+lnx2，即需证x12+2x1﹣x22﹣2x2＞（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2），整理得lnx1﹣lnx2＜，即证ln＜，令t＝，t∈（0，1），令h（t）＝lnt﹣，h′（t）＝＞0，所以h（t）在（0，1）上单调递增，所以h（t）＜h（1）＝0，所以x1+x2＞a，得证．。

2024届天津和平区高三一模数学试题(含答案与解析)

2024届天津和平区高三一模考试试卷数学温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：球的表面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径.如果事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ . 如果事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}N 22,Z 2A x x B x x =∈-≤<=∈<，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（） A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数()32x f x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.3. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1321,,4a a a 成等差数列，则91089a a a a +=+（）A.1+B.1-C. 4+D. 4-4. 已知,a b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人. A. 1B. 2C. 3D. 46. 设131122112,log 3log 9,32ab c -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（） A. 函数π2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 B. 函数()f x 与()f x '值域相同 C. 函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D. 函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 8. 若三棱台111ABC A B C -上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，112AB A B ==，则三棱台111ABC A B C -的高为（） AB. 8C. 6或8D. 或69. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，1112F AF B =，2ABF △的面积为220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（）A. 22142x y -=B. 22144x y -=C. 221424x y -=D.221169x y -= 第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10. i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=_______.11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为_______（请用数字作答）. 12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习的的.强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______.13. 圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为_______.14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用,MA MB 表示MO = _______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围_______.15. 若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2,a b c =+=，且sin A C =.（1）求c 的值；（2）求tan A 的值；（3）求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点,E F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.（1）求证：PB ⊥平面EFD ；（2）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；（3）若直线MF 与平面ABCDMC 的长度. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅. 19. 若数列{}n a满足)1n a n *+=∈N ，其中0,0n d a ≠>，则称数列{}n a 为M 数列.（1）已知数列{}n a 为M 数列，当11,1d a ==时. （ⅰ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()n a n *∈N通项公式；（ⅱ）()()242*1(1)nkn kkk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T =∈∑N . （2）若{}n a 是M 数列()n *∈N ，且0d >，证明：存在正整数n .使得112024ni ia =>∑. 20. 已知函数()1()ln ,()1e (0)x f x x x g x x x -==->，（,e a ∈R 为自然对数底数）. （1）求函数()f x 的单调区间：（2）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <；的的（3）若()()(),01,,1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，231(2ln 2e)1x x x +<+.参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}N 22,Z 2A x x B x x =∈-≤<=∈<，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集运算求得集合C ，然后可解. 【详解】因为{}{}0,1,1,0,1A B ==-，所以{}0,1C A B == ，所以集合C 的子集个数为224=. 故选：D2. 函数()32x f x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性可排除C ；利用导数可求得()f x 单调性，由此可排除AD. 【详解】()f x 定义域为R ，()()()3322x x f x f x x x --==-=-++， ()f x \为定义在R 上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C 错误；当0x >时，()32x f x x =+，()()()()()232223223022x x x x x f x x x +-+'∴==>++， ()f x \在()0,∞+上单调递增，AD 错误，B 正确.故选：B.3. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1321,,4a a a 成等差数列，则91089a a a a +=+（）A.1+B.1-C. 4+D. 4-【答案】A 【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且0q >，由等差数列的中项性质列方程计算可得q ，再由等比数列的通项公式计算可得【详解】因为等比数列{}n a 中的各项都是正数，设公比为q ，得0q >，又1321,,4a a a 成等差数列，可得31212312111222242a a a a a a q a a a q ⨯=+⇒+=⇒+=，又10a ≠，所以2220q q --=，解得1q =1q =，又0q >，所以1q =+则()()991098988111a q a a a q a a a q a ++====+++，故选：A4. 已知,a b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【解析】【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要性成立，即可得到答案.【详解】例如：12a b ==，此时22225a b =+>，但122a b +=+<，所以充分性不成立；设直线:2l x y +=，圆22:2C x y +=，则圆心为(0,0)O ，半径为r =可得圆心(0,0)O 到l 的距离为d r ===，此时直线l 与圆C 相切，所以2x y +>与圆C 没有公共点，即满足不等式2a b +>的点(,)a b ，使得222a b +>恒成立，即必要性成立，所以“222a b +>”是“2a b +>”的必要不充分条件. 故选：B.5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人. A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.【详解】由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于31.5m 的概率为()0.20.30.50.25P =+⨯=，故①正确；前三组的频率之和为(0.20.30.4)0.50.4550%++⨯=<，而前四组频率之和为(0.20.30.40.5)0.50.750%+++⨯=>，故中位数位于[)2,2.5，由0.50.4520.5 2.10.70.45-+⨯=-，可以估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ，②正确；估计40万居民中月均用水量不低于33m 的人数为4000000.1560000⨯=，③正确；根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则在用水量31.52m 中应抽取()200.40.54⨯⨯=人，④正确.故选：D6. 设131122112,log 3log 9,32a b c -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a 最小，再利用33b c >得出,b c 大小.【详解】由123a⎛⎫= ⎪⎝⎭可得1133log 2log 10a =<=，11122221log 3log 9log log 313b =-==>，11331202c -⎛⎫===> ⎪⎝⎭，下面比较,b c ，因为2322328⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以3232>，所以32223log 3log 22b =>=，而333327228c ⎛⎫==<=⎪⎝⎭，故32c <，所以c b <，综上，b c a >>. 故选：B7. 已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（） A. 函数π2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 B. 函数()f x 与()f x '的值域相同 C. 函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D. 函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】化简()f x 并求导，结合值域，对称性，单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，22()sin cos cos 2,()2sin 2f x x x x f x x =-=-'=，对A, ππcos 2cos 222f x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故A 错误；对B ，易知()f x 的值域为[]1,1-，()f x '的值域为[]22-,，故B 错误；对C , ππ(cos 042f =-=,故C 错误；对D, ()πππ2π,,2,0,π6333x x ⎛⎫⎛⎫∈∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 2y x =单调递减，故()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D正确. 故选：D.8. 若三棱台111ABC A B C -的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，112AB A B ==，则三棱台111ABC A B C -的高为（）A. B. 8C. 6或8D. 或6【答案】C 【解析】【分析】由题可知，三棱台111ABC A B C -为正三棱台，上下底面的中心1M ，M 连线构成的线段为高，根据球的性质可得17OM =，1OM =，进而可得1M M . 【详解】设球O 的半径为r ，则24π260πr =，得r =，如图所示，1M 为111A B C △的中心，M 为ABC 的中心，由题意可知，三棱台111ABC A B C -为正三棱台，1MM 为其高，球心O 在1MM 上，在111A B C △中11114B M A B ==，在ABC中8BM AB ==，故17OM ==，1OM ==，当O 在线段1M M 上时，118M M OM OM =+=，当O 在线段1M M 的延长线上时，116M M OM OM =-=，故选：C9. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，1112F AF B =，2ABF △的面积为220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（）A. 22142x y -=B. 22144x y -=C. 221424x y -=D.221169x y -= 【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的定义及对称性求出1AF ，2AF ，由余弦定理解三角形可得2c ，即可得解. 【详解】如图，由1112F AF B =及双曲线、直线的对称性可知，1212F A F A =，则由双曲线定义可知，21124AF AF AF a -=== 所以28AF =，24BF =，所以22222211sin 84sin 16sin 22ABF S AF BF AF B AF B AF B =∠=⨯⨯∠=∠=解得2sin AF B ∠=因为220F A F B ⋅> ，所以2π3AF B ∠=，所以122π3F AF ∠=，由余弦定理可知2221212122π2cos1664321123F F AF AF AF AF =+-=++=，所以228c =，22228424b c a =-=-=，所以双曲线方程为：221424x y -=故选：C第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10. i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=_______.【解析】【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可.【详解】3i 3i(1i)2i z +=++=+==，故答案11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为_______（请用数字作答）. 【答案】80- 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为17102(5)33155C (2)(2)C r rrr rrr r T xxx---+=-=-，令71033r-=，解得3r =, 所以333458C 80T x x =-=-，故答案为：80-12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______. 【答案】 ①.95②. 23【解析】【分析】求出随机变量X 的各个取值的概率，求期望，据此求(2)P X ≥即可. 【详解】由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，为则()34310C 410C 12030P X ====，()1264310C C 3631C 12010P X ====， ()2164310C C 6012C 1202P X ====，()36310C 2013C 1206P X ====，所以3119()12310265E X =⨯+⨯+⨯=；党员甲能通过初试的概率为112(2)(2)(3)263P X P X P X ≥==+==+=. 故答案为：95；2313. 圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为_______. 【答案】()0,7 【解析】【分析】根据弦长为6AB =，利用垂径定理可得14p =，进而可得焦点坐标为()0,7.【详解】如图，抛物线()220x py p =>的准线方程为2p y =-，圆226160x y y ++-=即()22325x y ++=，圆心坐标为()0,3-，半径为5，由垂径定理可得2223522AB p ⎛⎫⎡⎤⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，即23162p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得14p =或2p =-（舍去），故抛物线的方程为228x y =，焦点坐标为()0,7. 故答案为：()0,714. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用,MA MB 表示MO = _______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围_______.【答案】 ①. 1122MA MB +②. []8,12【解析】【分析】（i ）根据向量线性运算可直接得到结果；（ii ）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为24MO - ；根据正六边形性质可求得MO的范围，由此可得结果.【详解】（i ）,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，O ∴为AB 中点，1122MO MA MB ∴=+；（ii ）()()()2MA MB MO OA MO OB MO OA OB MO OA OB⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 2224MO OA MO =-=- ；当M 为正六边形顶点时，MO 取得最大值；当OM 与正六边形的边垂直时，MO取得最小值；六边形为正六边形，ODE ∴ 为正三角形，max4MO OD ∴==；作OF DE ⊥，则F 为DE 中点，minMOOF ∴===[]248,12MO ∴-∈ ，即MA MB ⋅的取值范围为[]8,12.故答案为：1122MA MB +；[]8,12.15. 若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.【答案】114[,)207⋃3192[,)4203⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分别分析()2434g x ax x a =-++和()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验.【详解】当0a >，设()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2434g x ax x a =-++，则()g x 为开口向上的二次函数，()()()Δ164344322a a a a =-+=--+， ①当23a =，()0g x =有唯一解3x =，此时()23πsin π34h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23π3π31ππ,34412t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且均不为3，符合题意； ②当2,03a >∆<，()0g x =无解，故()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭区间[]0,5上恰有4个零点，则3π3π5π4π4a ≤-<，解得319420a ≤<，符合题意； ③当20,03a <<∆>，()g x 的对称轴20x a =>，且()()52816,274g a g a =-=-，（i ）当47a =，()()250g g ==，此时()0g x =有两个解：2和5，43π3π59ππ,74428t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解2，5不重合，不合题意，（ii ）当4273a <<，且()()250g g =>，此时()0g x =有两个解，且均属于()2,5，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，若()0h x =有2个解，故3ππ5π2π4a ≤-<，解得7112020a ≤<，则a ∈∅，舍去；（iii ）若()0h x =有3个解，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<，若此时()0g x =有2个解，则必须有1个重根，下面检验重根情况：3πππ4a x k -=，则()43=Z 4k x k a +∈，()0h x =的3个解为3711,,444x a a a=，且[]315(1,2,5411a ∈⊄，[]7735(,2,54211a ∈⊆，[]1111(,5]2,543a ∈⊆，故重根可能为74a ，114a ，34a. 令()24340g x ax x a =-++=，023a <<，解得12x x ==当2x 重合，若2114x a =，则114a =（0a >），解得42,73a ⎛⎫=⎪⎝⎭，满足题意；若274x a =，则74a =，即14-=，无解；若234x a =，34a =，即54-=，无解；当1x 重合，若134x a =，则34a =47a =<（舍去）；若174x a =，则74a =47a =>，符合题意；若1141x a =，则114a =34-=，无解，舍去；（iv ）当407a <<，()()250g g =<，此时()0g x =有1个解，设为m ，则()1,2m ∈，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<，又407a <<，综合得114207a ≤<，同理（iii ）的分析，[]32115(,1,241611a ∈⊆，[]7735(,]2,54211a ∈⊆，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解不重合，符合题意，综上所述：114207a ≤<或19232020a ≤<或23a = 故答案为：114[,)207⋃3192[,)4203⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.（1）求c 的值；（2）求tan A 的值；（3）求cos 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）（2）（3【解析】【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解；（2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解；（3）由二倍角的正余弦公式及两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】sin A C = ，a ∴=，2a b c a =+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，c ∴=.【小问2详解】由余弦定理可得222cos 2c b a A bc +-==，又0πA <<，sin A ∴==sin tan cos A A A ==【小问3详解】因为23cos 22cos 1sin 22sin cos 4,A A A A A =-=-==所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin 444A A A ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点,E F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.（1）求证：PB ⊥平面EFD ；（2）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；（3）若直线MF 与平面ABCD MC 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2 （3）1 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可；（2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；（3）利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，所以以点D 为坐标原点，,,DA DC DP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()()33333,0,0,3,3,0,0,3,0,0,0,0,0,0,3,,0,,0,,2222A B C D P E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3333,0,,0,,2222DE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面EFD 的法向量为()1,,n x y z =，则113302233022n DE x z n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =，则()11,1,1n =- ，又因为()3,3,3PB =- ，则13PB n =，即1//PB n ，由n ⊥平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD【小问2详解】设平面EFD 与平面ABCD 的夹角为θ，平面EFD 的法向量()11,1,1n =- ，平面ABCD 的法向量()20,0,1n =,所以，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅ ，则平面EFD 与平面ABCD【小问3详解】.设MC 长度为(0)m m >，(0),3,M m ，设直线MF 与平面ABCD 所成角为1θ，因为133sin ,,22MF m θ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，2122sin cos ,MF n MF n MF n θ⋅=====⋅，解得1m =，此时MC 的长度为1.18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 方程组，求得,a b 的值，即可求解；（2）设AB的方程为y x m =+，联立方程组，求得1212,x x x x +，得到()2mT ，再由OT 的方程为y x =，联立方程组，求得(M N ，进而求得27(6)12TM TN m ⋅=-，再由弦长公式，求得PQ ，结合21()2TP TQ PQ ⋅=，即可得证. 【小问1详解】解：由椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为12，且过点F 且与x 轴垂直的直线截得的线段长为3，可得22221223c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】证明：设直线AB所在的直线方程为(0)y x m m =+≠，联立方程组22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得223260x m ++-=，所以()()22Δ43260m =-⨯->，解得m <<，设112200(,),(,),(,)P x y Q x y T x y，则21212263m x x x x -+==，所以0x =，则(2m y m =+=，即()2mT ，所以OT的方程为y x =，联立22143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以(M N ，则27(6)12TM TN m ⋅==-，又由2PQ x =-===，又因为T 的中点，可得22221117()(6)24412TP TQ PQ PQ m ⋅====-，所以TP TQ TM TN ⋅=⋅.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略：1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 19. 若数列{}n a满足)1n a n *+=∈N ，其中0,0n d a ≠>，则称数列{}n a 为M 数列.（1）已知数列{}n a 为M 数列，当11,1d a ==时. （ⅰ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()n a n *∈N的通项公式；（ⅱ）()()242*1(1)nkn kkk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T =∈∑N . （2）若{}n a 是M 数列()n *∈N ，且0d >，证明：存在正整数n .使得112024ni ia =>∑. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析，n a =（ⅱ）11222n -+ （2）证明见解析【解析】【分析】（1）(ⅰ)根据等差数列定义即可证明并写出通项公式（ⅱ）分组求和得出n T ，利用裂项相消法求解即可；（2）求出1na ，利用放缩法可得1na >，相加相消即可)1112ni ia a d =>∑，据此即可得证.【小问1详解】（ⅰ）由1n a +=()22*11N n n a a n +-=∈，所以数列{}2n a 是首项为21a 公差为1的等差数列，所以()2211n a a n d n =+-=，又因为0n a >，所以)*N n a n =∈.（ⅱ）4242,n na n a n ===，()222422111(1)(1)(1)nnnkkk n kkk k k T a a k k ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=-⋅+-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 设221(1)n kk A k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，21(1)nkk B k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，()()()22222222142(1)12342374122nk k n n A k n n n n=+⋅⎡⎤=-⋅=-+-+-+=++-==+⎣⎦∑ ，21(1)12342nkk B k n n =⎡⎤=-⋅=-+-+-+=⎣⎦∑ ，所以()2211111222,2121n n T A B n n n n n T n n n n ⎛⎫=+=++=+==- ⎪++⎝⎭， 111111111111112223121222ni n T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 【小问2详解】若{}n a 是M 数列()n *∈N ，有()2211naa n d =+-，故n a =0d >，即1na==>==，则112ni ia d =>++∑)12a d=，1a -随n 的增大而增大，若)122024a d->，可得()2120241012n a d >+，因为n *∈N ，故对任意的0d >，总存在正整数n 使)122024a d->，即总存在正整数n ，使得112024ni ia =>∑.【点睛】关键点点睛：本题解题中，对求和要求较高，裂项相消法求和是解决问题关键，其次利用放缩法适当放缩，继续利用裂项相消法是证明的关键. 20. 已知函数()1()ln ,()1e (0)x f x x x g x x x -==->，（,e a ∈R 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间：（2）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <；（3）若()()(),01,, 1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，231(2ln 2e)1x x x +<+.【答案】（1）单调递增区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导数，解不等式即可得解；（2）求出切线方程，令()()()x k x g x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性，即可得证；（3）由(),()f x g x 的单调性，得出()h x 的单调性，转化为()()()1231,0eh x h x h x t ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，可转化的为231ln 11m x x m m x m ⎛⎫⎛⎫+<++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，构造函数利用导数求最值即可得证.【小问1详解】因为()ln 1f x x '=+，定义域为()0,∞+，令()0f x '>，即1ln 1,ex x >->，所以()f x 递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】因为()()11e1x g x x -'=-++，所以(1)1g '=-，而(1)0g =，所以()g x 在点(1,0)处切线方程为：()1y k x x ==-+，当()1,x ∞∈+时，令()()()()1e 21,1,x x k x g x x x x ϕ∞-=-=-+∈+，由e (1)x y x =-+，e1xy '=-，当0x <时，0'<y ，当0x >时，0'>y ，所以e (1)x y x =-+在(,0)-∞递减，在(0,)+∞上单调递增，故0e (01)0y ≥-+=，即e 1(0)x x x >+≠，所以12e 21210x x x x x --+>-+>，所以()0x ϕ>，所以()()1e210x k x g x x x --=-+>在(1,)x ∈+∞时恒成立，即(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <得证. 【小问3详解】由题意可知()1ln ,01e ,1x x x x h x x x x -<<⎧=⎨-+≥⎩，因为1x ≥时，()()1e 1xh x x =-++'，令()()()()()1e 1,2e 0xxw x h x x w x x ''==-++=-+<，所以()h x '在1x ≥时单调递减，所以()()10h x h ''≤<，所以()h x 在(1,)+∞上为减函数，且()10h =，此时()(],0h x ∞∈-，则由（1）有()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且11e e h ⎛⎫=-⎪⎝⎭，此时()1,0e h x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，的由题意，设()()()1231,0eh x h x h x t ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，设()1y k x x ==-+与y t =交点的横坐标为3x '，则31x t '=-，有33x x '<，因为()()()112211111111ln ln ln ln ln ln mmx x x x t x x mx mx x mx x mx ==⇒=⇒=⇒=，且1ln ln 1m mx m=-，所以111ln ln 1m t x x x m m -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，又21x mx =，所以232321111ln 11m x x x x x t mx t m m x m '⎛⎫⎛⎫+<+=+-=-+=++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，令()ln 1m d m m m m ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()()()()()2221ln ln ,1,211m m m m m m d m m m m ----==∈--' ()()()()()2221ln ln ,1,211m m mm m mf m m m m ----==∈--'，令ln (1)(0)y x x x =-->，则111xy x x-'=-=，所以01x <<时，0'>y ，1x >时，0'<y ，所以函数ln (1)(0)y x x x =-->在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以ln (1)ln1(11)0x x --≤--=，即ln 1(1)x x x <-≠，所以()222ln 1210m m m m m m m m -->---=-+>，()0d m '>，所以()d m 在(1,2)m ∈单调递增. 在(1,2)m ∈时，()()222ln 222ln 221d m d <=+=+-，所以()()231122ln 212ln 2e 1x x x x +<++=+，所以()2312ln 2e 1x x x +<+.【点睛】关键点点睛：本题第三步证明困难，关键在于由()()()123h x h x h x ==，转化为231ln 11m x x m m x m ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，再利用导数求出1ln 11m m m x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,2)m ∈上的最值.。

2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模数学试卷-学生用卷

2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第1题5分若全集U={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,4}，N={2,3,4}，则集合(∁U M)∪(∁U N)=（）．A. {5,6} B. {1,5,6} C. {2,5,6} D. {1,2,5,6}2、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第2题5分已知φ∈R，则“φ=0”是“y=sin⁡(x+φ)为奇函数”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第3题5分2021年陕西西安雁塔区唐南中学高三四模理科第8题5分2020~2021学年3月浙江高三下学期月考（超级全能生）第5题4分ln⁡|x|，其图象大致为（）．已知函数f(x)=|x|−1xA.B.C.D.4、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第4题5分2020~2021学年广东深圳罗湖区深圳中学高三上学期期末第4题5分2020~2021学年广东广州荔湾区广东实验中学高三上学期期末第4题5分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期期末第4题5分2020~2021学年广东广州荔湾区广东广雅中学高三上学期期末第4题5分为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[55,60)，[60,65)，[65,70]这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[55,60)的概率是（）．A. 815B. 920C. 35D. 9105、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第5题5分如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1（长度单位：丈）则楔体PQ−ABCD的体积为（）（体积单位：立方丈）．A. 6√2B. 3√2C. 8D. 56、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第6题5分已知幂函数f(x)=x a满足2f(2)=f(16)，若a=f(log42)，b=f(ln2)，c=f(5−12)，则a，b，c的大小关系是（）．A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a7、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第7题5分2019~2020学年5月浙江杭州滨江区杭州市长河高级中学高二下学期月考第9题4分已知第一象限内的点M既在双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，又在抛物线C2:y2=2px(p>0)上，设C1的左、右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2，是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）．A. 1+√2B. √3C. √2D. 2+√38、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第8题5分已知函数f(x)=sin2x+2√3sin⁡xcos⁡x−cos2x，x∈R，则下列说法正确的是（）．①f(x)在区间(0,π)上有2个零点②(π12,0)为f (x )的一个对称中心 ③f (x )在[π6π2]上单调递增 ④要得到g (x )=2cos⁡(x +π4)的图象，可以将y =f (x )图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①④9、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第9题5分对于函数f (x )，g (x )，设x 1∈{x|f (x )=0}，x 2∈{x|g (x )=0}，若存在x 1，x 2使得|x 1−x 2|⩽2，则称f (x )，g (x )互为“零点相邻函数”．若f (x )=e x−2+x −3与g (x )=x 2−ax −a −2互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（）． A. (−2,145) B. [−2,145] C. (−∞,2)∪(145,+∞) D. (−∞,2]∪[145,+∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第10题5分设复数z =a +bi(a,b ∈R)，且满足(1+i)z =4−2i1−i，则b a = ．11、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第11题5分在(√x 3−2x)6的二项展开式中，x −2的系数为．12、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第12题5分已知直线l:kx +b(k >0)与圆x 2+y 2=1相切，且被圆(x −4)2+y 2=4截得的弦长为2√3，则k = ；b = ．13、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第13题5分某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为23游览B，C，D的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至多游览一个景点的概率为；用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则随机变量X的数学期望E(X)=．14、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第14题5分已知实数x，y满足xy=4x+y(x>0,y>0)，则√xy．15、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第15题5分如图，在△ABC中，D，E，F分别为边BC，CA，AB上的点，且CD=35BC，EC=12AC，AF=1 3AB，设P为四边形AEDF内一点（P点不在边界上)，若DP→=−13DC→+λDE，则实数λ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第16题14分已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且√3c=2asin⁡C．(1) 求A．(2) 若cos⁡B=23，求sin⁡(2B−A)的值．(3) 若a=2，△ABC的面积为√3，求b，c．17、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第17题15分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点P为AC的中点，PA1=PC1=2√2，A1B1=B1C1=2√3，A1C1=4．(1) 求证：A1P⊥C1B．(2) 求PC1与平面PA1B1所成角的正弦值．(3) 求二面角B1−PA1−C1的正弦值．18、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第18题15分在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第19题15分已知首项大于0的等差数列{a n}的公差d=1，且满足1a1a2+1a2a3=23；等比数列{b n}的前n项和为S n，若b3，32b2，2b1成等差数列，且b1≠152，S4=30．(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式．(2) 求(a n )2+1b n的最大值，并求出此时n 的值．(3) 记c n =(−1)a n (an b n+3n+5(an +1)(a n +2)b n)(n∈N ∗)，求数列{c n }的前n 项和T n ．20、【来源】 2021年天津和平区天津市耀华中学高三一模第20题16分已知函数f (x )=ln⁡x +ax +sin⁡x ，其中x ∈(0,π]．(1) 当a =0时，求曲线y =f(x)在点(π2,f (π2))处的切线方程．(2) 判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由． (3) 讨论函数f(x)在[π2,π]上零点的个数．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 B; 10 、【答案】 −12; 11 、【答案】 −160; 12 、【答案】 √33;−2√33;13 、【答案】 14;136; 14 、【答案】 4;15 、【答案】(12,4 3 );16 、【答案】 (1) A=π3．;(2) 4√5+√318．;(3) b=c=2．;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√55．;(3) 25√5．;18 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2) 存在，(0,2)．;19 、【答案】 (1) a n=n，b n=2n．;(2) 54，n=2或3．;(3) T n=−1318+(1n+2+3n+29)⋅(−12)n．;20 、【答案】 (1) y=2πx+ln⁡π2．;(2) 当a<1−1π时，f(x)有极大值；当a⩾1−1π时，f(x)无极值．;(3) a∈(−∞,−2π(1+ln⁡π2))∪(−lnππ,+∞)时无零点；a∈[−2π(1+ln⁡π2),−lnππ]时有1个零点．;。

天津市和平区2023届高三一模数学试卷(原卷+解析)

天津市和平区2023届高三一模数学试卷一、单选题1．已知全集{}(){}N 7,1,3,5,7U U A B x x A B ==∈≤=U I ∣ð，则B 中元素个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．已知a 是实数，则“1a <-”是“12a a+<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是A ．B ．C ．D ．4．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[]40,100内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（）A ．频率分布直方图中第三组的频数为15人B ．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C ．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D ．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分5．已知0.20.32log 0.3,log 0.2,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b<c<a B ．c b a <<C ．a b c<<D ．a c b<<6．将函数()sin2f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 的最小正周期为π2B ．()g x 的图象关于直线7π12x =对称C ．()g x 在ππ,2424⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()g x 的图像关于点5π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称7．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22142-=y x 的渐近线相交于A B､两点，若ABF △的周长为p =（）A ．2B ．C ．8D ．48．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A B 3C ．(325πcm+D 39．已知函数()ln ,0(2),2x x e f x f e x e x e ⎧<≤=⎨-<<⎩，设方程()2()xf x b b R -=+∈的四个实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（）A ．122x x +=B ．()22432e 1e x x <<-C ．()()340221e x e x <--<D ．2121x x e<<二、填空题10．设i 为虚数单位，复数3i1i-=+__________.11．631x x ⎛⋅ ⎝的展开式中常数项为__________.12．直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC V 为等边三角形，则a 的值为______．13．若实数x 、y 满足221x y xy ++=，则+x y 的最大值是______．三、解答题14．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos cos tan b C c B A +=.(1)求A 的大小：(2)若1a b ==，（i ）求ABC V 的面积；（ii ）求()cos 2C A -.15．在如图所示的几何体中，EA ⊥平面,ABC DB ⊥平面ABC ；,22,AC BC AC BC BD AE M ⊥====是AB 的中点.(1)求证：CM EM ⊥；(2)求直线EM 与平面CDE 所成角的正弦值；(3)求平面CME 与平面CDE 的夹角的余弦值.16．已知数列{}n a 为首项11a =的等比数列，且12,3,9n n n a a a ++成等差数列；数列{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且124,,3S S S +成等比数列.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求()()*11(1)23,N i ni i i i b n b b =+-+∈∑；(3)数列{}n c 满足3nn na c =，记n G 和n T 分别为{}n a 和{}n c 的前n 项和，证明：2n n G T <.17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点A 是椭圆与x 轴负半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且直线AB 与圆2212:7O x y +=相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知斜率大于0的直线l 与椭圆C 有唯一的公共点M ，过点A 作直线l 的平行线交椭圆C 于点P ，若MOP △的面积为34，求直线l 的方程.18．已知函数()()()e ,ln 2xf x axg x x a =-=+-，其中e 为自然对数的底数，a ∈R .(1)当0a >时，函数()f x 有极小值()1f ，求a ；(2)证明：()()f x g x '>恒成立；(3)证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1nn n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、双空题19．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ､y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x ､y 中有偶数且x y ≠”，则概率()P A =___________，(|)P B A =___________.20．已知四边形,,6,4,60ABCD DC t AB AB AD DAB ∠====o u u u r u u u r ，且6AD CD ⋅=-u u u r u u u r，点E 为线段BD ，上一点，且()213AE AD CB λ=++u u u r u u u r u u u r，则λ=__________，过E 作EF ∥BC 交AB 于点F ，则FD FC ⋅=u u u r u u u r__________.参考答案：1．B【分析】利用列举法表示全集U ，可得到{1,3,5,7}U B =ð，从而得到集合B ，即可得解；【详解】因为{}0,1,2,3,4,5,6,7U A B ==U ，(){1,3,5,7}U A B ⋂=ð，∴{1,3,5,7}U B =ð，{1,3,5,7}A ⊆，∴{0,2,4,6}B =，B 中元素个数为4个，故选：B ．2．A【分析】利用特殊值及基本不等式，结合充分条件及必要条件的定义即可求解.【详解】当12a =-时，11222a a +=--<-；当1a <-时，112a a a a ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以当1a <-时，12a a+<-成立，所以“1a <-”是“12a a+<-”的充分不必要条件.故选: A.3．A【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.考点：函数的图象与性质．4．D【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解.【详解】分数在[)60,70内的频率为1100.0050.0150.0300.0250.0100.15()-⨯++++=，所以第三组[)60,70的频数为1000.1515⨯=（人），故A 正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B 正确；因为(0.0050.0200.010)100.350.5++⨯=<，(0.0050.0200.0100.03)100.650.5+++⨯=>，所以中位数位为：0.50.357010750.03-+⨯=，故C 正确；样本平均数的估计值为：()()()()()()45100.00555100.01565100.01575100.0385100.02595100.01⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯73.5=（分），故D 错误.故选：D.5．C【分析】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．【详解】0.20log 0.31a <=<Q ，0.3log 0.21b =>，2log 31c =>，又20.332lg 21lg 2lg 2lg 2log 0.2log 2lg31lg3lg 3lg3b c --=⋅=⋅=--，因为函数()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()00f =，又因为1lg 3lg 202>>>，所以()()lg 3lg 20f f <<，所以()()lg 21lg 3f f <，即22lg 2lg 21lg 3lg3-<-，所以1bc<，b c ∴<，即a b c <<．故选：C ．6．C【分析】利用图象的伸缩变换、平移变换以及正弦函数的图象与性质进行求解.【详解】函数()sin2f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin4y x =，再将所得的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()ππsin 4s n 4123i g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A ，()y g x =的最小正周期为2ππ42=，所以()g x 的最小正周期为π4，故A 错误；对于B ，当7π12x =时，4π2π3x -=，因为2πx =不是正弦函数sin y x =的对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,2424x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ,3264x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭-，因为正弦函数sin y x =在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；对于D ，当5π24x =时，ππ432x -=，因为π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是正弦函数sin y x =的对称中心，故5π,024⎛⎫⎪⎝⎭不是()y g x =的对称中心，故D 错误.故选：C.7．A【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解.【详解】由题知，双曲线22142-=y x的渐近线为y =，抛物线22(0)x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，由2p y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得A B ､两点坐标为2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2p ⎫-⎪⎭，所以AF BF ===，因为ABF △的周长为，所以2=2p =.故B ，C ，D 错误.故选：A.8．B【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径.【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:正视图中小球球心B ，半球球心O 与切点A 构成直角三角形，则有222OA AB OB +=，俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离11O A 与正视图中的OA 相等，设半球半径为R ，已知小球半径r =1，∴OA 1AB =，OB =1R OB r =++.半球面形状的容器的容积是)331414π1π2323V R =⨯=⨯⨯+=故选：B 9．B【分析】先作图确定四个根的范围，再举反例说明A 不成立，根据不等式性质否定C,D,最后根据放缩法证B 成立.【详解】方程()()2xf x b b R -=+∈的根可化为函数()y f x =与2x y b -=+图象的交点的横坐标，作图如下：由图象可得，123401212x x e x e x e <<<<<<-<<，故2423(2)e x x e <<；因为121212ln ln ln()001x x x x x x ->⇒<⇒<<∴D 错误，若122x x +=，则可取1213,22x x ==，但132213ln 2ln 222----≠-，所以A 错误，因为()()34ln 2ln 2e x e x ->-，所以()()34ln 2ln 2e x e x ->--，即()()34ln 2ln 20e x e x -+->，()()34221e x e x ∴-->，C 错；()()34221e x e x -->Q ()23434421e e x x x x ∴-++>，即()222343434(142442e e x x x x e x e x <-++<-=，∴()23421x x e <-，∴()2234e 2e 1x x <<-.故选：B【点睛】本题考查根据函数零点情况判断不等式，考查综合分析求解判断能力，属中档题.10．12i -##-2i+1【分析】根据复数的除法法则计算即可.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2----===-++-.故答案为：12i -.11．60【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】∵6x ⎛ ⎝展开式第1r +项3662166,0,1,2,3C C ,42,5,6rr r r r r r T x r x --+===，∴当2r =时，223336C 260T x x ==，故展开式中常数项为3316060x x⋅=.故答案为：60.12【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【详解】由条件和几何关系可得圆心C 到直线:l y x =a =．.13【分析】利用不等式求最值即可.【详解】()2222112x y x y xy x y xy +⎛⎫++=⇒+-=≤ ⎪⎝⎭，解得x y ≤+≤x y ==.14．(1)2π3A =；(2)（i （ii ）1114.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和得正弦公式及三角形内角关系即可得出答案；（2）利用余弦定理求得边c ，根据三角形面积公式可得面积，再根据余弦定理可得cos C ，再利用二倍角公式及和差角公式即得.【详解】（1）因为()cos cos tan b C c B A +=，所以()sin cos sin cos tan B C C B A A +=，即()sin tan B C A A +=，则sin tan A A A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以tan A =所以2π3A =；（2）（i ）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即271c c =++，解得3c =-（舍去）或2c =，所以ABC V 的面积为11sin 1222S bc A ==⨯⨯=（ii ）由上可得222cos 2a b c C ab +-===，又()0,πC ∈，所以sin C所以sin 22sin cos C C C ==221cos 2cos sin 7C C C =-=，所以()cos 2cos2cos sin 2si 11n 117214C A C A C A ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭-=+=.15．(1)详见解析；【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出CM u u u u r 和EM u u u u r的坐标，计算0CM EM ⋅=u u u u r u u u u r 即可求证；（2）求平面CDE 的法向量，然后利用线面角的向量求法即得；（3）利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为AC BC ⊥，以C 为原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,1,0M ，()2,0,1E ，所以()1,1,0CM =u u u u r ，()1,1,1EM =--u u u u r，所以1100CM EM ⋅=-++=u u u u r u u u u r，所以CM EM ⊥u u u u r u u u u r，即CM EM ⊥；（2）因为()()2,0,1,0,2,2CE CD ==u u u r u u u r ，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z r=，则20220m CE x z m CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，令1x =，可得()1,2,2m =-r ，又()1,1,1EM =--u u u u r ，设EM 与平面CDE 所成角为θ，则sin θ=即直线EM 与平面CDE（3）由题()1,1,0CM =u u u u r ， ()2,0,1CE =u u u r ，设平面CME 的法向量(),,n a b c =r，由200n CE a c n CM a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令1a =，则()1,1,2n =--r ，又平面CDE 的法向量()1,2,2m =-r，所以cos,m nm nm n⋅===⋅u r ru r ru r r所以平面CME与平面CDE16．(1)113nna-⎛⎫= ⎪⎝⎭；32nb n=-；(2)()11113nn+--；(3)证明见解析.【分析】（1）利用等比数列基本量运算可得{}n a的通项公式，由等差数列的基本量运算结合条件可得{}n b的通项公式；（2）利用裂项相消法即得；（3）利用错位相减法及等比数列求和公式结合条件即得.【详解】（1）设等比数列{}n a的公比为,q数列{}n b的公差为()0,d d>由题知：1269n n na a a++=+，所以2619q q=+，即29610q q-+=，解得13q=，所以11113nnna a q--⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()22143S S S=⋅+，即()()22176d d+=⋅+，解得1d=-（舍）或3d=，所以()13132nb n n=+-=-；（2）由32nb n=-，可得()()()()1613231323(1)23(1)11(11)n nn nn nnn nb n nbb+-⎛⎫⎪--+-+-+⎝==-⎭+，所以()()1114477103231(1)2311111111inii inib b n nb=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝-+=-+⎭⎝⎭⎝+++⎭-∑L()()1111131311n nn n=-+--++=-；（3）因为113nna-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33nn nna nc==，111313112313n n n G ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，231123133333n n n n n T --=+++++L ，则234111231333333n n n n n T +-=+++++L ，所以23121111333333n n n n T +=+++-11111131331322313n n n n n +++-⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭-，∴1393133144234423n n n n n T +⎛⎫⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3313110442343223n n n n n G n nT ⎛⎫⎛⎫=-+⋅--=-< ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭-，所以2n n GT <.17．(1)22143x y +=；(2)4y x =±.【分析】（1）由题可得直线AB 的方程，然后利用直线与圆的位置关系即得；（2）设直线l 的方程为()0y kx m k =+>，根据椭圆与直线的位置关系可得2243m k =+及43,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而可得直线():2AP y k x =+，结合椭圆方程可得2226812,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k ，然后根据三角形面积结合条件进而即得.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由12e =，可得2,a c b ==，则()()2,0,A c B -，所以直线AB的方程为12x c +=-20y -+=，因为直线AB 与圆2212:7O x y +=相切，解得1,2,==c a b 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为()0y kx m k =+>，()11,M x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2224384120k x kmx m +++-=，所以()()()22284434120km k m ∆=-+-=，可得2243m k =+，所以124443km k x k m =-=-+，221443k m k y k m m m m -⎛⎫=⋅-+== ⎪⎝⎭，即43,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线OM 的方程为34y x k=-，即340x ky +=，又 ()2,0A -，由题可得直线():2AP y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222431616120k x k x k +++-=，显然0∆>，设()22,P x y ，则2221612243k x k --=+，2226843k x k -=+，2222681224343k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k ，则P 到直线OM距离为d所以三角形的面积为13324MOPS OM d m ====V ，所以4m =，224316m k =+=，又0k >，所以k =4m =±，所以直线l的方程为4y x =±.18．(1)e a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题；（2）不等式()()f x g x '>恒成立，即()e ln 20xx -+>恒成立，设()()e ln 2xh x x =-+，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论.（2）由（2）知，()e ln 2xx >+，令1t x t-+=，则111eln 2ln ,t tt t t t -+-++⎛⎫>+= ⎪⎝⎭从而有11eln tt t t -++⎛⎫> ⎪⎝⎭，由t 的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论.【详解】（1）()e (0)xf x a a =->'，令()0f x '=，解得ln x a =，当ln x a >时，()0f x ¢>，当ln x a <时，()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a ∞+上单调递增，在(),ln a ∞-上单调递减，所以()f x 有极小值()ln f a ，所以ln 1a =，即e a =.（2）证明：不等式()()f x g x '>恒成立，即()e ln 20xx -+>恒成立，设()()e ln 2x h x x =-+，则()1e 2xh x x ='-+，易知()h x '是定义域上的增函数，又()()11010,1102eh h ''=->-=-<，则()1e 02xh x x =-=+'在()1,0-上有一个根0x ，即001e ,2x x =+当()01,x x ∈-时，()0h x '<，当()0,0x x ∈时，()0h x '>此时()h x 在()01,x -单调递减，在()0,0x 单调递增，()h x 的最小值为()()000e ln 2x h x x =-+，001e ,2x x =+Q ()00ln 2x x ∴=-+，()01,0x ∈-Q ，()()220000000011210222x x x h x x x x x +++∴=+==>+++，()e ln 20x x ∴-+>恒成立，故结论成立.（3）证明：由（2）知，()e ln 2xx >+，令1t x t-+=，则11111eln 2ln ,e ln tt t tt t t t t t -+-+-+++⎛⎫⎛⎫>+=∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由此可知，当1t =时，0e ln2>，当2t =时，213e ln 2-⎛⎫> ⎪⎝⎭，当3t =时，324e ln 3-⎛⎫> ⎪⎝⎭，L L ，当t n =时，11e ln nn n n -++⎛⎫> ⎪⎝⎭，累加得：230121341e e e eln2ln ln ln 23nn n n ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+>+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又0121111e e e e e e 11e 111e e nn ---+⎛⎫- ⎪⎝⎭+++⋯+=<=---，所以23341e ln2ln ln ln 23e 1nn n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.19．12##0.513【分析】由古典概率公式求出()P A 、()P AB ，利用条件概率公式可得结果.【详解】解：若x y +为偶数，则x 、y 全为奇数或全为偶数，所以，()3321662P A ⨯⨯==⨯，事件AB 为“x y +为偶数且x 、y 中有偶数，x y ≠”，则x 、y 为两个不等的偶数，所以，()321666P AB ⨯==⨯，因此，()()()13P AB P B A P A ==.故答案为：12；13.20．1310【分析】由6AD CD ⋅=-u u u r u u u r ，可得12t =，进而可得(1)2(01)AE m AD mCB m =++<<u u u r u u u r u u u r ，由题意可得11223m m λ+=+⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可得第一空答案；取AB 中点M ，连接DM ，根据向量的数乘及加减运算可得16B F D C A A =-+u u u r u u u r u u u r ,23B FD AD A =-+u u u r u u ur u u u r ,再根据向量的数量积运算即可得第二空答案.【详解】解：如图所示：因为,DC t AB =u u u r u u u r所以DC u u u r ∥,AB u u ur 即有DC ∥AB ，又因为6AD CD ⋅=-u u u r u u u r，所以6AD DC =⋅u u u r u u u r，即6t A A B D ⋅⋅=u u u r u u u r，||||cos 660t AD AB ⋅⋅⋅︒=u u u r u u u r，解得12t =，所以12DC AB =u u u r u u u r ，所以1||||32DC AB ==u u u r u u u r，又因为0AD DC CB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r，即120AD AB CB AB ++-=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以22AB AD CB =+u u u r u u u r u u u r ；又因为AE AD DE =+u u u r u u u r u u u rAD mDB =+u u u r u u u r ()AD m AB AD =+-u u u r u u u r u u u r (22)AD m AD CB AD =++-u u u r u u u r u u u r u u u r (1)2(01)m AD mCB m =++<<u u u r u u u r，又因为()213AE AD CB λ=++u u u r u u u r u u u r，所以11223m m λ+=+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1313m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；如图所示：取AB 中点M ，连接DM ，由题意可知DC ∥MB 且DC =3MB =，所以四边形DCBM 为平行四边形，所以DM ∥BC ，又因为EF ∥BC ，所以DM ∥EF ，又因为13DE DB =u u u r u u u r，所以13DE DB =，所以113MF MB ==，2FB =，所以13FB AB =u u u r u u u r ，由22AB AD CB =+u u u r u u u r u u u r可得12BC AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以111326D FC FB AB A A BC AB AB D =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,23FD FA A AB D AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,所以()1(6)23FD FC A AB A D D B A -+-=+⋅⋅u u u r u u u u r u u uu u u r u u r u u u r r 221596AB AB AD AD =-⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r 221516644962=⨯-⨯⨯⨯+10=.故答案为：13；10【点睛】关键点睛：对于向量的线性运算，关键是将所求向量表示成同一组基底的数量积，然后再进行求参、数量积等运算.。

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【解析】
【分析】
(1)由对数运算和换底公式,求得的关系为即可.
(2)根据化简 ,再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】(1)因为 , , ,
所以 ,所以 .
(2)因为 ,故
当且仅当 , ,即时取等号.
所以最小值为
故答案为：2；
【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题．
设，由图象可知要使方程在区间有个不等实根，
则直线应位于与之间或直线的位置，
所以实数a的取值范围为或 .
所以，或
故答案为：
【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知函数，则 __；若方程在区间，有三个不等实根，则实数的取值范围为__．
【答案】(1). 81 (2).
【解析】
【分析】
（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解.
（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围.
详解】（1）由，
则，
答案：81
（2）作出函数在区间上的图象，如图所示，
在处的切线方程为 .
又因为圆，圆心坐标为，半径为，
所以圆心到切线的距离 .
因为切线被圆截得弦长为，
则，
解得实数的值是或 .
故答案为：或 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.
14.若 , ,且 ,则此时 __, 的最小值为__．
【答案】(1). 2 (2).
8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（）
A. 378B. 306C. 268D. 198
【答案】D
【解析】
【分析】
分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可.
9.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）
A.-1B.-2C.-3D.-4
【答案】C
【解析】
【详解】因为，
由于圆的半径为，是圆的一条直径，
所以，，又，
所以
，
所以，当时，，故的最小值为，故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．
4.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
（ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值.
【详解】解：（1）由已知及正弦定理得
，，
，
（2）（ⅰ）因为，，
由余弦定理得，
（ⅱ）由，因为为锐角，所以
，，
【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.
17.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
【详解】（Ⅰ）证明：四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：
，，，，，
则，．
，，
为平面的一个法向量．
又．平面．
平面．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
写出展开式通项公式，令的指数为4，求得的项数，得其系数，由系数为－448可得．
【详解】由题意展开式通项公式为，令，，
∴ 系数为，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．
12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．
16.在中，内角、、的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，．求：
（ⅰ）边长；
（ⅱ）的值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ii）．
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小.
（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边；
故选B．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨．
5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )
18.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别是、，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆与、两个不同的点，记，，令，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（1）由圆心到切线的距离求出，再由离心率可求得，从而得椭圆方程；
天津市和平区2021届高考数学一模试题（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集，，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用补集运算求出，即可根据并集运算求出．
【详解】因为，所以，
故．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】
【分析】
证明平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）为平面的一个法向量，证明平面，只需证明 ;（Ⅱ）求出平面的一个法向量、平面一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，则函数单调递减，且，，，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】构造函数，则函数单调递减，
，
，
，
， .
故选C.
【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（）
A. 4B. 5C. 2D. 3
【答案】C【解析】【分】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值.
【详解】函数递增，
且，，
所以函数存在唯一的零点，
故，
故选：C.
【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则，，
得
平面，平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则
因此，平面与平面所成锐二面角的大小为．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面一个法向量为得
，
设直线与平面所成角为，则
因此，直线与平面所成角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小
10.已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则 __．
【答案】
【解析】
【分析】
利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案.
【详解】解：为纯虚数，且，解得
，所以
故答案为： .
【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
11.若的展开式中的系数为，则实数 __．
（2）设，，，，由平行线的等积转化，得，因此设直线方程为，代入椭圆方程整理后用韦达定理得，代入后利用基本不等式可得最大值．
【详解】解：（1）由题意可知：椭圆焦点在轴上，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，
【答案】
【解析】
【分析】
过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积，

天津市和平区2021届高考数学一模试题(含解析)